【2016成才之路】(北师大版)数学必修1课件：第三章 指数函数和对数函数 3.6
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高中数学北师大版必修一3.3.1指数函数的概念 指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件.ppt
[解析]
由题意可得
a3＝π，∴a＝3
1
π＝π3
，
x
1
所以 f(x)＝π3 ，因此 f(0)＝π0＝1，f(1)＝π3 ，f(－3)＝π－1
＝1π.
易错疑难辨析
•
函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，
求实数a的值．
• [错解] 因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，所以 有a2－3a＋3＝1.
[思路分析] 先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求
出值域
[规范解答] (1)由 x－4≠0 得 x≠4.∴定义域为{x|x≠4}．
又x－1 4≠0，∴2x1-4
1
≠1.∴y＝2x-4
的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
(2)定义域为 R.∵|x|≥0，∴－|x|≤0. ∴(32)－|x| ≥1，∴y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}． (3)定义域为 R. 令 t＝2x，则 t>0，从而函数可化为 y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2>1. ∴y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y>1}． [规律总结] 对于函数 y＝af(x)
(2)定义域为 R，由 2x>0 得 2x＋1>1，∴0<2x＋1 1<1， 从而－2<2－x＋21<0，则－1<1－2x＋2 1<1， 即值域为(－1,1).
• 指数函数的图像及其变换
•
利用y＝2x的图像，如何变换得到下列函
数的图像？试作出它们的图像．
• (1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2－x；(4)y＝－2x； (5)y＝－2－x；(6)y＝2|x|.
• (4)将y＝2x图像关于x轴对称，可得到y＝－2x的图 像，如图④.
新北师大版高中数学必修1第三章指数函数和对数函数3指数函数第3课时指数函数图像和性质的应用课件
解析：∵当 x＝1 时，y＝2，∴图像恒过定点(1,2). 答案：(1,2)
ax，x≥0， 8.函数 f(x)＝3－ax＋a2，x<0 为区间(－∞，＋∞)上的单
调增函数，则实数 a 的取值范围为________. 解析：函数 f(x)为区间(－∞，＋∞)上的单调增函数，
a>1， 则3－a>0，
a0≥a2，
答案：(1,2]
即aa><13， ， a≤2，
解得 1<a≤2.
三、解答题
9.已知函数
f(x)＝ax2+3x－4，g(x)＝a
x2+2x－2
(a>0
且
a≠1)，
若 f(x)>g(x)，试确定 x 的取值范围. 解：当 a>1 时，由 ax2+3x－4>ax2+2x－2，
得 x2＋3x－4>x2＋2x－2，得 x>2.
∴13≤a<1.∴a 的取值范围是13，1.
知识点二 利用单调性比较大小
3.设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系
是( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<b<a
解析：选 C ∵y＝0.6x 是减函数，∴0.60.6>0.61.5，即 a>b.
间[1,2]上都是减函数，则 的取值范围是( )
A.(－1,0)
B.(0,1]
C.(0,1)
D.(－1,0)∪(0,1)
解析：选 B 由 f(x)＝－x2＋2ax 在[1,2]上为减函数可知，
a≤1，由 g(x)＝(a＋1)1－x 在[1,2]上为减函数知 a＋1>1，得 a>0.
ax，x≥0， 8.函数 f(x)＝3－ax＋a2，x<0 为区间(－∞，＋∞)上的单
调增函数，则实数 a 的取值范围为________. 解析：函数 f(x)为区间(－∞，＋∞)上的单调增函数，
a>1， 则3－a>0，
a0≥a2，
答案：(1,2]
即aa><13， ， a≤2，
解得 1<a≤2.
三、解答题
9.已知函数
f(x)＝ax2+3x－4，g(x)＝a
x2+2x－2
(a>0
且
a≠1)，
若 f(x)>g(x)，试确定 x 的取值范围. 解：当 a>1 时，由 ax2+3x－4>ax2+2x－2，
得 x2＋3x－4>x2＋2x－2，得 x>2.
∴13≤a<1.∴a 的取值范围是13，1.
知识点二 利用单调性比较大小
3.设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系
是( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<b<a
解析：选 C ∵y＝0.6x 是减函数，∴0.60.6>0.61.5，即 a>b.
间[1,2]上都是减函数，则 的取值范围是( )
A.(－1,0)
B.(0,1]
C.(0,1)
D.(－1,0)∪(0,1)
解析：选 B 由 f(x)＝－x2＋2ax 在[1,2]上为减函数可知，
a≤1，由 g(x)＝(a＋1)1－x 在[1,2]上为减函数知 a＋1>1，得 a>0.
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数
)
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_32
2 、 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、 归纳分析问题的能力。
复习回顾
指数函数的定义：
形如 y=ax (a0，且a 1)的函数叫做指数函数，
其中x是自变量，a 是常量,函数的定义域是R.
指数函数与幂函数的区别：
• 系数为1
y ax
•
底数为常数 (a0，且a 1)
• 指数为自变量X
y xa
• 系数为1 • 底数为自变量X
• 指数为常数
1：指出下列函数那些是指数函数,幂函数？
(1) y 4x ;
(4) y (4)x;
(7) y xx;
(2) yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x4 ;
(3) y 4 x ;
(5) y x;
(6) y 1 x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
y 2x, y (1)x, y 3x, y (1)x
2
3
x … -3 -2 -1 0
y 2x …
1
1
8
4
y (1)x …
2
18
4
1
y 3x … 27
9
y (1)x … 27 9
3
11
2
21
复习回顾
指数函数的定义：
形如 y=ax (a0，且a 1)的函数叫做指数函数，
其中x是自变量，a 是常量,函数的定义域是R.
指数函数与幂函数的区别：
• 系数为1
y ax
•
底数为常数 (a0，且a 1)
• 指数为自变量X
y xa
• 系数为1 • 底数为自变量X
• 指数为常数
1：指出下列函数那些是指数函数,幂函数？
(1) y 4x ;
(4) y (4)x;
(7) y xx;
(2) yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x4 ;
(3) y 4 x ;
(5) y x;
(6) y 1 x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
y 2x, y (1)x, y 3x, y (1)x
2
3
x … -3 -2 -1 0
y 2x …
1
1
8
4
y (1)x …
2
18
4
1
y 3x … 27
9
y (1)x … 27 9
3
11
2
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北师大版高中数学必修一课件3.2
5－2)－1＋(
2－
3)0.
[思路分析] 负化正、大化小，根式化分数指数幂，小数 化分数，是化简运算常用技巧．
[规范解答] (1)原式＝29512 ＋0.112＋6247－23 －3＋3478＝53＋ 100＋196－3＋3478＝100.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1 ＝140－1＋116＋18＋110＝18403.
[思路分析] 根据分数指数幂的定义进行求解．
[规范解答] (1)由分数指数幂的意义可知 x－1>0，解得 x>1，故 x 的取值范围是{x|x>1}． (2)①因为 a3＝54，所以 a＝543 . ②因为 a3＝(－2)8＝28， 所以 a＝283 ； ③因为 a－3＝104m(m∈N＋) 所以 a＝10－43m ＝(110)43m
∴原方程可化为(x－8)－(10－x)＝2x－18，该方程对任意 实数 x 都成立．
当 x<8 时，x－8<0，x－10<0，此时 x－82＝8－x， x－102＝10－x，
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x＝8，不 合题意．
综上所述，所求 x 的取值范围为 8≤x≤10. [规律总结] 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、
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成才之路·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 第三章 指数函数和对数函数
第三章 §2 指数扩充及其运算性质
课前自主预习 课堂典例讲练
易错疑难辨析 课后强化作业
课前自主预习
情境引入导学
指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工程师司 蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号，以后又有人将其扩展到 负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿(Newton)开始用an表示 任意实数指数幂．现代工程技术的计算不再仅仅是乘法计算， 它还需要进行乘方、开方运算，科学技术中的许多变化和规律 都与指数的运算密切相关，因此指数幂问题成为科学家研究的 热点．那么，指数的概念是如何一步步扩充的呢？
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数数y=2^x和y=(1%函2)^x的图像和性质》示范课件_0
情景设计
问题1 一尺之棰,日取其半,万世不竭
用x表示y的关系式是：
…
设木棒原长为１个单位
截取次数x １ ２ ３ ４ …
剩余长度y
…
情景设计 问题2 细胞分裂问题
用x表示y的关系式是：
………… ………… ………… …………
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
…
分析：
这两个解析式的形式有什么共同特征？ 1.等号左右两端：左端是因变量 y,
谢 谢 , 再 见！
用图形计算器展示下列四个函数图象
(1) y 2x , (2) y 3x
(3)
y
1 2
x
,
(4)
y
1 3
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
x
-3 0.125
的图象.-2 0.25
8
-1 0.5
01 1 0.5 2 0.25
y
1 2
x
6 4 2
3 0-.110 25
-5
y 2x
5
01 12 24
x
3 10 8
-2
探究2：在同一直角坐标系内作出若干个
底数不同的指数函数 y ax a 0且a 1
的图象.观察图象，你能发现它们有哪些共 同特征？
1、画出函数图象
列表 描点
连线 2、研究函数性质
图形计算 器绘图
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
问题1 一尺之棰,日取其半,万世不竭
用x表示y的关系式是：
…
设木棒原长为１个单位
截取次数x １ ２ ３ ４ …
剩余长度y
…
情景设计 问题2 细胞分裂问题
用x表示y的关系式是：
………… ………… ………… …………
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
…
分析：
这两个解析式的形式有什么共同特征？ 1.等号左右两端：左端是因变量 y,
谢 谢 , 再 见！
用图形计算器展示下列四个函数图象
(1) y 2x , (2) y 3x
(3)
y
1 2
x
,
(4)
y
1 3
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
x
-3 0.125
的图象.-2 0.25
8
-1 0.5
01 1 0.5 2 0.25
y
1 2
x
6 4 2
3 0-.110 25
-5
y 2x
5
01 12 24
x
3 10 8
-2
探究2：在同一直角坐标系内作出若干个
底数不同的指数函数 y ax a 0且a 1
的图象.观察图象，你能发现它们有哪些共 同特征？
1、画出函数图象
列表 描点
连线 2、研究函数性质
图形计算 器绘图
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 正整数指数函数》示范课课件_10
(1)写出x,y间的函数关系式;
(2)求出经过5年后，森林面积;
(3)至少经过多少年后，森林面积
可达1 300 hm2 ?
课堂练习
2.一种产品的年产量原来是10 000 件.在今后m年内,计划使年产量每年比 上一年增加p％.写出年产量y随经过年 数m变化的函数关系式.
3.一种产品的成本原来是a元，在 今后m年内,计划使成本每年比上一年 降低p％,写出成本y随年数变化的函数 关系式.
课后练习
习题3-1
细胞个 2 4 8 16 32 64 128 256 数y
问题情境 （2）用图像表示1个细胞分裂次数n，
n∈N+与得到的细胞个数 y之间的关系；
y 解 32
16 8 4 O 246 x
问题情境
（3）写出得到的细胞个数与分裂次数 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞 分裂15次、20次得到的细胞个数. 解:细胞个数n与分裂次数y之间的关系式为 用科学计算器得
y2n n N 215 32 768 220 1048576
细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别 是32 768个和1 048 576个.
问题情境
问题 2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏 了大气层中的臭氧层，臭氧含量Q近似满足 关系式 QQ0 0.9975 t ，其中Q0是臭氧的初始 量，t是时间（年），这里设Q0 =1.
(2)下图表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像 也是由一些孤立的点组成；
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加，臭 氧的含量在逐渐减少.
问题情境
Q 1.0 0.8 0.6 0.4
0.2 20 40 60 80 100 t
归纳结
形如y=ax(a＞0,a≠1,x∈N+)的函数叫正 整数函数.其中x是自变量，定义域是正整 数集N+ .
(2)求出经过5年后，森林面积;
(3)至少经过多少年后，森林面积
可达1 300 hm2 ?
课堂练习
2.一种产品的年产量原来是10 000 件.在今后m年内,计划使年产量每年比 上一年增加p％.写出年产量y随经过年 数m变化的函数关系式.
3.一种产品的成本原来是a元，在 今后m年内,计划使成本每年比上一年 降低p％,写出成本y随年数变化的函数 关系式.
课后练习
习题3-1
细胞个 2 4 8 16 32 64 128 256 数y
问题情境 （2）用图像表示1个细胞分裂次数n，
n∈N+与得到的细胞个数 y之间的关系；
y 解 32
16 8 4 O 246 x
问题情境
（3）写出得到的细胞个数与分裂次数 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞 分裂15次、20次得到的细胞个数. 解:细胞个数n与分裂次数y之间的关系式为 用科学计算器得
y2n n N 215 32 768 220 1048576
细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别 是32 768个和1 048 576个.
问题情境
问题 2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏 了大气层中的臭氧层，臭氧含量Q近似满足 关系式 QQ0 0.9975 t ，其中Q0是臭氧的初始 量，t是时间（年），这里设Q0 =1.
(2)下图表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像 也是由一些孤立的点组成；
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加，臭 氧的含量在逐渐减少.
问题情境
Q 1.0 0.8 0.6 0.4
0.2 20 40 60 80 100 t
归纳结
形如y=ax(a＞0,a≠1,x∈N+)的函数叫正 整数函数.其中x是自变量，定义域是正整 数集N+ .
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_4
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
（三）典例精讲
类型一 两个数比较大小 （1）30.8，30.7 (2) 0 .75-0.1，0.750.1(3)1.70.3，0.93.1
解:(1)利用指数函数单调性，考虑函数y=3x ∵3>1
∴1.70.3 > 0.93.1
小结:比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利 用单调性来判断. (2)不同底数指数幂比大小,利用指数函数图 像与底的关系来判断. (3)底数、指数都不同的两个幂比大小,则应 通过中间值来判断.常用1和0.
知识检测1： 课本第73页 练习1 1.
5
在解指数函数不等式时，将其转化为一 次不等式或通过性质求解
知识检测2 解下列不等式：
3 4 2 （1） x1 1 (2) x x1 3 0 81
四、小结归纳，拓展深化
通过本节课的学习，你学到了那些知识？ 你有掌握了哪些学习数学方法？
五、布置作业.
必做题 P77:A组3，4，5 选做题 P77:B组2.
定义域: R
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是 增函数
在 R 上是 减函数
你还能发
现指数函数图 像的关系吗？
y
y 1 x 2
y 1 x 3
在第一象限 沿箭头方向
底增大
y 3x y 2x
.
(一)复习回顾
1、指数函数的定义：一般地，形如 y =ax (a>0,a≠1)
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数_16
即当a>1时,a1.3<a2.5;
当0<a<1时,a1.3>a2.5.
2
3
2
3
5
3
5
(2)∵ >0, < ,∴
<
3
4
6
4
6
1
(3)∵ <a<1,∴1>a>1-a>0.
2
2
3
∴(1-a)a<(1-a)1-a,(1-a)1-a<a1-a,
∴(1-a)a<a1-a.
.
题型一
题型二
题型三
题型三 解指数不等式
【例3】 解下列指数不等式:
(1)
1 2+1
3
<
1 3-2
;
3
(2)a5x>ax+ 8(a>0,且 a≠1).
问题要使分母不为0,根式问题要使被开方数有意义;结合换元法,联
系函数的图像,根据单调性等确定值域.
解:(1)要使函数有意义,必须x-4≠0,则x≠4,
故所求函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
1
1
∵x≠4, ≠0,∴2-4 ≠1,
-4
故函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
题型一
题型二
题型三
.
题型一
题型二
题型三
反思求与指数函数有关的函数的定义域和值域时,要充分考虑指
数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.对于解析式中某
些较复杂的式子,往往采用换元法求解,这样可以使问题变得简单.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 求下列函数的定义域、值域:
当0<a<1时,a1.3>a2.5.
2
3
2
3
5
3
5
(2)∵ >0, < ,∴
<
3
4
6
4
6
1
(3)∵ <a<1,∴1>a>1-a>0.
2
2
3
∴(1-a)a<(1-a)1-a,(1-a)1-a<a1-a,
∴(1-a)a<a1-a.
.
题型一
题型二
题型三
题型三 解指数不等式
【例3】 解下列指数不等式:
(1)
1 2+1
3
<
1 3-2
;
3
(2)a5x>ax+ 8(a>0,且 a≠1).
问题要使分母不为0,根式问题要使被开方数有意义;结合换元法,联
系函数的图像,根据单调性等确定值域.
解:(1)要使函数有意义,必须x-4≠0,则x≠4,
故所求函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
1
1
∵x≠4, ≠0,∴2-4 ≠1,
-4
故函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
题型一
题型二
题型三
.
题型一
题型二
题型三
反思求与指数函数有关的函数的定义域和值域时,要充分考虑指
数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.对于解析式中某
些较复杂的式子,往往采用换元法求解,这样可以使问题变得简单.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 求下列函数的定义域、值域:
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_8
的图像向左平移 1 个单位得
到，结合指数函数的图像可知 A 正确．故选 A.
解析 答案
考点一
考点二
考点三
(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图像如图所示，由图可知：如 果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈[－1,1]．
[答案] (1)A (2)[－1,1]
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
解析 答案
考点一
考点二
考点三
易知
f(x)＝2x－2－x
在
R
上为递增函数，又
a＝79
1 4
＝97
1 4
9 >7
1 5
＝
b>0，c＝log279<0，则 a>b>c，所以 f(c)<f(b)<f(a)．选 B. [答案] B
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型
函数图像，数形结合求解．
考点一
考点二
考点三
[母题变式] 1．将本例(1)改为函数 f(x)＝2|x－1|的图像是( )
解析 答案
考点一
考点二
考点三
2x－1，x≥1， f(x)＝12x－1，x＜1，
故选 B.
答案：B
解析 答案
解析 答案
考点一
考点二
考点三
(1)设 t＝x2＋2x－1，则 y＝12t.因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝12t 为关于 t 的减函数，所以 0＜y＝12t≤12－2＝4，故所求函数的值 域为(0,4]．
(2)因为 x∈[－3,2]，若令 t＝12x，则 t∈14，8.则 y＝t2－t＋1＝
高中数学 3.1 指数函数和对数函数课件 北师大版必修1
第九页，共37页。
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024，…但到第64个格子时，麦粒数 目变得极为(jíwéi)庞大，是264，令人错愕．事实上，这个数目 将近1845亿．这个例子中的函数模型就是本节将要学的正整数指 数函数．
第十页，共37页。
1.正整数指数函数
知能自主 (zìzhǔ)梳理
第二十九页，共37页。
[规范解答] (1)由 4x>23－2x 知，22x>23－2x，
所以 2x>3－2x，则 x>34，x∈N＋.
故不等式的解集为xx>34，x∈N＋
.
(2)由 0.3×0.4x<0.2×0.6x，得00..46xx<00..23，
即23x<231，所以 x>1，x∈N＋， 故不等式的解集为{x|x>1，且 x∈N＋}．
番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4
B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2
D．(1＋x)20＝4
[答案] D
[解析] 本题为增长率模型函数(hánshù)，为指数函数
(hánshù)形式：
设1990年总产值为1，则(1＋x)20＝4.
第十六页，共37页。
4．若正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)在N＋上是减函 数，则实数a的取值范围是________．
成才之路·数学 (shùxué)
北师大版 ·必修 (bìxiū)1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共37页。
第三章 指数函数(zhǐ shù hán shù) 和对数函数
第三章
第二页，共37页。
公元1797年，拿破仑将军参观国立卢森堡小学时，赠送了一 束价值(jiàzhí)3个金路易的玫瑰花，并许诺说：“只要法兰西共 和国存在一天，我将每年送一束价值(jiàzhí)相当的玫瑰花，以作 两国友谊的象征．”
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024，…但到第64个格子时，麦粒数 目变得极为(jíwéi)庞大，是264，令人错愕．事实上，这个数目 将近1845亿．这个例子中的函数模型就是本节将要学的正整数指 数函数．
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1.正整数指数函数
知能自主 (zìzhǔ)梳理
第二十九页，共37页。
[规范解答] (1)由 4x>23－2x 知，22x>23－2x，
所以 2x>3－2x，则 x>34，x∈N＋.
故不等式的解集为xx>34，x∈N＋
.
(2)由 0.3×0.4x<0.2×0.6x，得00..46xx<00..23，
即23x<231，所以 x>1，x∈N＋， 故不等式的解集为{x|x>1，且 x∈N＋}．
番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4
B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2
D．(1＋x)20＝4
[答案] D
[解析] 本题为增长率模型函数(hánshù)，为指数函数
(hánshù)形式：
设1990年总产值为1，则(1＋x)20＝4.
第十六页，共37页。
4．若正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)在N＋上是减函 数，则实数a的取值范围是________．
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第三章 指数函数(zhǐ shù hán shù) 和对数函数
第三章
第二页，共37页。
公元1797年，拿破仑将军参观国立卢森堡小学时，赠送了一 束价值(jiàzhí)3个金路易的玫瑰花，并许诺说：“只要法兰西共 和国存在一天，我将每年送一束价值(jiàzhí)相当的玫瑰花，以作 两国友谊的象征．”
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_19
性质
函数值 当 x>0 时，_y_>_1_；
当 x>0 时，_0_<_y_<_1__；
的变化 当 x<0 时，_0_<__y<__1_
当 x<0 时，_y_>_1__
单调性 是 R 上的_增___函__数__
是 R 上的_减__函__数___
数学 必修1
第三章 指数函数和对数函数
自主学习·新知突破
[问题 1] 你能写出 x 与 y 的函数关系吗？
[提示] y＝2x. [问题2] 这个函数自变量x位置有何特点？ [提示] 这个函数自变量x位于幂的指数位置．
数学 必修1
第三章 指数函数和对数函数
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
学习目的 1．理解指数函数的概念和意义．(重点) 2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．(难点) 3. 会根据指数函数的图像,探究指数函数的性质(重点)
第三章 指数函数和对数函数
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
[思路探究] 1．底数不同的指数函数的图像在第一象限内是如何分布的？ 2．指数函数的图像恒过哪个点？为什么？
数学 必修1
第三章 指数函数和对数函数
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
解析： (1)可先分为两类，③④的底数一定大于 1，①②的底数一定小于 1， 然后再由③④比较 c，d 的大小，由①②比较 a，b 的大小．当指数函数的底数大 于 1 时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近 y 轴；当底数大于 0 小于 1 时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近 x 轴，故选 B.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_17
4
(2)、设y1
2 3
3
x
1
，y2
2 3
2
x
，确定x为何指时,
有(1) y1 y2； (2) y1 y2； (3) y1 y2
课堂小结
1、指数函数概念；
函数y = ax(a0且a 1)叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
2、同底数指数幂比较大小的方法；
)x
y 2x
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
2x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4
8…
2x … 8 4
2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
y 3x 与
y
(
1 3
)
x
y 3x
x
…
3x … 3x …
-2.5 -2 -1 -0.5 0 0.06 0.1 0.3 0.6 1 15.6 9 3 1.7 1
函
x … -3
-2
-1
0 1 2 3…
数
y=2x … 1/8 1/4 1/2
1
24
8…
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
图
象
yy 3
o -3 -2 -1 1 2 3
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2
北师大版高中《数学》必修一第三章第三节
1.指数函数的概念
回顾旧知
函数y = ax(a0且a 1)叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
高中数学北师大版必修1课件：第3章指数函数和对数函数4对数4.1对数及其运算4
合作探究 攻重难
指数式与对数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1； (4)log132＝－5；(5)lg 0.001＝－3；(6)ln e＝1.
2
[解] (1)log21128＝－7；(2)log327＝3；(3)log100.1＝－1；(4)12－5 ＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e1＝e.
取对数
[探究问题] 1．已知a＝2lg 3，b＝3lg 2，则a，b的大小关系是什么？ 提示：∵lg a＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2，lg b＝lg 3lg 2＝lg 2lg 3. ∴lg a＝lg b ∴a＝b.
2．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值是什么？
提示：由2a＝5b＝m，取对数得alg 2＝blg 5＝lg m， ∴a＝llgg m2 ，b＝llgg m5 ，又1a＋1b＝2， ∴llgg m2 ＋llgg m5 ＝2，
第三章 指数函数和对数函数
§4 对 数 4.1 对数及其运算
学习目标
核心素养
1.理解对数的概念．(重点) 1.通过指数式与对数式的互化及
2．掌握指数式与对数式的互 对数的基本性质，培养逻辑推理
化．(重点) 素养．
3．掌握对数的基本性质．(难点) 2．通过推导对数运算性质的过
4．掌握对数的运算性质，理解其 程，提升数学运算素养.
利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关 系，其中两式中的底数是相同的.
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①35＝243；②13m＝5.73；③log1216＝－4； ④ln 10＝2.303. [解] ①l；④e2.303＝10.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_26
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
Байду номын сангаас
四、指数函数性质的简单应用
例1.比较下列各题中两个值的大小
⑴1.72.5 ，1.73；
⑵0.8-0.1，0.8-0.2；
⑶1.70.3，0.93.1.
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
0 a 1
问题6：
y ax
y
(
1 a
)x
图像有什么关系？
y
(
1 a
)x
y ax
图像关于y轴对称
问题7：底数 a对图像有什么影响？
下列函数图像中那一个分别对应
y
2x,
y
3x ,
y
(
1 2
)
x
,
y
(
1 3
)
x？
6
y
(
1 3
)
x
5
y
(
1 2
)x
4
y
(
1 2
)x
图像
列表如下：
x -3 -2 -1 -0.5 0
2x 0.125 0.25 0.5 0.707 1
(
1 2
)
x
8
4
2
1.414 1
0.5 1
1.414 2 0.707 0.5
23
4
8
0.25 0.125
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现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规 律，其中最接近的一个是( A．v＝log2t t 2 －1 C．v＝ 2 [答案] C ) B．v＝log1 t
2
D．v＝2t－1
[解析] 代入(3.0,4.04)，(4.0,7.5)检验即可．故选C.
第三章 §6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
[思路分析]
充分利用函数的图像和性质 ( 如单调性等 ) 来
比较两数的大小．
第三章 §6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
[规范解答] (1)y＝log1 x 在(0，＋∞)上递减，
2
4 6 4 6 又5<7，∴log1 5>log1 7. 2 2 (2)1.250.2＝0.8－0.2 由于 0<0.8<1， 所以指数函数 y＝0.8x 在(－ ∞，＋∞)上为减函数，所以 0.8
[1，＋∞)上函数的增长情况． [思路分析] [规范解答] 解答本题时，应分析对于相同的自变量的增 指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时， 量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异． Δx＝2，Δy＝23－21＝6； 对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，而 Δy＝log23－log21＝1.5850.
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
由此可知，在区间 [1 ，＋ ∞ )
内，指数函数y＝2x随着x的增长函 数值的增长速度逐渐加快，而对 数函数 y ＝ log2x 的增长速度逐渐变 得很缓慢．
[规律总结]
在同一坐标系内
作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图 像上可观察出函数的增减变化情
4．函数y＝x2与函数y＝lnx在区间(0，＋∞)上增长较快的是
________． [答案] y＝x2 [解析] 作出y＝x2与y＝lnx的图像，通过比较图像可得． 5 ．函数 y1＝log3x 与函数 y2＝ 3x，当 x 从1 增加到 m时，函数
的增量分别是 Δy1 与 Δy2 ，则 Δy1________Δy2( 填“ >”“＝”或
[答案] A
[ 解析 ]
A 与 D 都是指数型函数， ∴ 增加速度快排除 B ，
C，又e>2，故选A.
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
3．函数 v 随着 t 变化的函数值列表如下： t 1.99 v 1.5 3.0 4.0 5.1 6.12
4.04 7.5 12 18.01
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
第三章
指数函数和对数函数
第三章
指数函数和对数函数
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
第三章
§6 指数函数、幂函数、
对数函数增长的比较
第三章
指数函数和对数函数
“<”)． [答案] < [解析] 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的 增长速度，所以Δy1<Δy2.
第三章 §6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
课堂典例讲练
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
比较函数增长的差异
分析指数函数 y ＝ 2x 与对数函数 y ＝ log2x 在区间
第三章 §6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)， 增 y＝xn(n>0)都是____(填“增”或“减” )函数，但它们的增长速 度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y ＝ xn(n>0) 的增长 速度，而y ＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存 在一个x0，当x>x0时，就有logax_____ xn____ax. < <
1x [解析] 结合指数函数 y＝(2) 和对数函数 y＝log1 x 的图像 2 易得 C 正确.
第三章 §6
[答案] C
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
比较大小问题
比较下列各组值的大小： 4 6 (1) log1 5与log1 7； 2 2 (2)0.8－0.1 与 1.250.2； (3)log32.5 与 log52.5； (4)(lgm)1.7 与(lgm)2.1(m>1)．
况．如图所示：
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
1x 下面对函数 f(x)＝log1 x 与 g(x)＝(2) 在区间(0，＋∞)上的 2 衰减情况的说法中正确的是( ) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
1.函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图像的交点个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
)
[答案] C
[解析] 点个数是2. 当x＝2或x＝4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
课前自主预习
第三章
§6
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修1
一天，一个叫杰米的百万富 翁碰上一件奇怪的事：一个叫韦 伯的人对他说：“我想和你定个 合同，我将在整整一个月中每天 给你 10 万元，而你第一天只需 给我一分钱，以后每天给我的钱 是前一天的两倍．”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同 生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰 米吃了大苦头．本节课我们就来研究此类问题.