2020-2021年数学必修第一册课件课后作业三角函数：第五章5-5-1-4随堂巩固验收(人教A版)
人教版高中数学必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (课件)
1. 通过做正弦、余弦函
数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画 数的图象，培养直观想象
出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点) 素养．
2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)
2．借助图象的综合应用，
3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 提升数学运算素养.
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y＝sin
x(x∈R)的图象平移得到的原
因是什么？
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1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函 PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
人教A版高中数学必修第一册 第5章 三角函数 课件(1)(共38张PPT)
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周 奇期 偶性 性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
第五章
人教2019A版必修 第一册
三角函数
小结与复习
知识框图
三 角 函 数
பைடு நூலகம்
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
解得ab＝ ＝－ －41， .
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋6π)的 值域，但对整个函数的最值的取得与 a 有关系，故对 a 进行分 类讨论．
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
[解析] 原函数变形为 y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a42. 当 0≤a≤2 时，－a2∈[－1,0]， ∴ymax＝1＋b＋a42＝0.① ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4② 由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6(与 0≤a≤2 矛盾)．
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 函数y=Asin(ω+φ)的性质及其应用
2
π
6
B.y=cos 2 +
C.y=sin
π
26
π
26
+
D.y=cos
2π
解析 由(1)知 T=π=||,|ω|=2,排除
π
由(2)(3)知当 x=3 时,f(x)取最大值,
经验证只有 C 选项符合要求.
π
3
A.
π
x=3 对称;(3)在
π π
-6,3
1 2 3 4 5
4.[2023河南郑州惠济期末]如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该
π
2
个单位
长度,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到
函数 h(x)的图象,当 h(x)的图象的一条对称轴为直线
解 依题意有 h(x)=f
-
4
=2cos
1
2
因为其图象的一条对称轴为直线
2π
× - 3 -2φ=kπ(k∈Z),
π
π
解得 φ=- 2 − 6 (k∈Z).
π
根据选项检验可知 φ 的一个可能取值为 .
4
变式探究 本例中,若将函数
长度,得到的图象关于直线
π
y=sin(2x+φ)图象上所有的点向右平移6 个单位
π
x= 对称,则
4
φ 的最小正值等于
π
3
.
π
解析 函数 y=sin(2x+φ)图象上所有的点向右平移6 个单位长度,
π
得到 y=sin 2- 3 + 的图象,
1
3, 2
2π
·
.
5.2.1三角函数的概念教学课件(人教版)
例4 确定下列三角函数的符号, 然后用计算工具验证：
(1) cos 250;
(2)
sin
4
;
(3) tan(672);
(4) tan 3
(1)因为250第三象限角, 所以cos 250 0;
(2) 因为
4
是第四象限角,
所以
sin
4
0;
(3)因为tan(672) tan(48 2 360) tan 48,
(2) cos 9 cos( 2 ) cos 2 ;
4
4
42
(3)
tan
11
4
tan
6
2
tan
6
3. 3
解题方法（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成 2kπ＋α 的形式，其中 α∈[0，2π)， k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角 α 的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
x
x
唯一确定的. 所以, y tan( x 0)也是以角为自变量, 以单位圆上点
x 的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （trigonometic function），通常将它们记为：
正弦函数 余弦函数
正切函数
y sin x, x R;
5
5
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
新教材高中数学必修第一册第5章 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点 二倍角公式思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况． 预习小测 自我检验1．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α＝________.答案24252．已知cos α＝13，则cos 2α＝________.答案 －793．cos 245°－sin 245°＝________. 答案 04．已知tan α＝43，则tan 2α＝________.答案 －247一、给角求值例1 求下列各式的值：(1)2cos 225π12－1；(2)1－tan 2π8tan π8；(3)cos 20°cos 40°cos 80°.解 (1)原式＝cos25π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝cos π6＝32. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫1－tan 2π82tan π8＝2×12tan π81－tan 2π8＝2×1tanπ4＝2.(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18.反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 求下列各式的值： (1)sin π6cos π6；(2)cos 2π8－sin 2π8；(3)2tan 15°1－tan 215°. 解 (1)原式＝12×2sin π6cos π6＝12sin π3＝34.(2)原式＝cos π4＝22.(3)原式＝tan 30°＝33. 二、给值求值例2 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 的值．解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.延伸探究1．若本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解 原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值． 解 由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35， 得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925， ∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925， 即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725. 反思感悟 解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (3)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x .跟踪训练2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.三、化简与证明例3 (1)化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2. (2)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .(1)解 sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x2cos x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx 2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x ·cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx2＝tan x .(2)证明 因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .反思感悟 证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 跟踪训练3 (1)化简：1cos 2θ－tan θtan 2θ. (2)求证：sin 3αsin 3α＋cos 3αcos 3α＝cos 32α. (1)解1cos 2θ－tan θtan 2θ＝1cos 2θ－sin θsin 2θcos θcos 2θ＝cos θ－2sin 2θcos θcos θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝cos 2θcos 2θ＝1.(2)证明 左边＝sin 2αsin αsin 3α＋cos 2αcos αcos 3α ＝1－cos 2α2sin αsin 3α＋1＋cos 2α2cos αcos 3α＝12(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋12cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α) ＝12cos(α－3α)＋12cos 2αcos(3α＋α) ＝12cos 2α＋12cos 2αcos 4α ＝12cos 2α(1＋cos 4α) ＝12cos 2α·2cos 22α＝cos 32α＝右边．1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°答案 B解析 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32； 2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32； sin 215°＋cos 215°＝1，故选B. 2．若sin α2＝33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.3．sin 4π12－cos 4π12等于( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12 ＝－cos π6＝－32.4．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.5．sin 22.5°cos 202.5°＝________.答案－2 4解析sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)＝－12sin 45°＝－2 4.1．知识清单：(1)二倍角公式的推导；(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简和求值．2．方法归纳：换元思想，整体思想．1．sin 15°sin 75°的值为()A.12B.32C.14D.34 答案 C解析 原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14. 2.⎝⎛⎭⎫cos π8－sin π8⎝⎛⎭⎫cos π8＋sin π8的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.22答案 D解析 原式＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.3．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53答案 A解析 由sin α＋cos α＝33， 平方得1＋2sin αcos α＝39＝13，∴2sin αcos α＝－23.∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53.∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴cos α－sin α＝－153， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－53. 4．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2D. 3答案 D解析 ∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3.6．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________.答案 －45解析 由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. 所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45. 7．化简：sin 235°－12sin 10°cos 10°＝________. 答案 －1解析 原式＝2sin 235°－12sin 10°cos 10°＝－cos 70°sin 20°＝－cos 70°sin (90°－70°)＝－1. 8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________．答案 725解析 方法一 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725，所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法二 由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， 得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725. 9．已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值． 解 tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34， tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝1. 因为α，β均为锐角，且tan α＝17<1，tan β＝13<1， 所以α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π4， 所以α＋2β＝π4.10．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 解 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45.11．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2等于() A ．－233 B.233 C.43 D ．－33答案 A解析 ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43.又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.12．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( ) A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值答案 D解析 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ,0<x ≤π3， 所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是______． 答案 3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 14．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下， ∴当t ＝1时，f (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.15．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 答案 459解析 设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 16．已知α为锐角且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3. (1)求tan α的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α的值． 解 (1)因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝3，即1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝12. (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α＝cos α(sin 2α＋cos 2α)－sin αcos 2α＝2cos 2αsin α＋cos 2αcos α－sin αcos 2α＝cos 2α(cos α＋sin α)cos 2α＝cos α＋sin α. 因为α为锐角且tan α＝12， 所以cos α＝2sin α.由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝15， 所以sin α＝55，cos α＝255， 可得cos α＋sin α＝355.即原式＝355.。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第五章三角函数章末复习课
(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0， 即x≤0，y>0， 所以3mm＋－29>≤0，0， 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】 已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]， 单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2
解析 由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可 以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次 式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 教学课件
5.5三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 P178
5.5.2 简单的三角恒等变换 P200
5.6函数y＝Asin（ωx+φ） P219
5.7三角函数的应用 P241
学习目标
1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角
课堂小结
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的
观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，
“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝
α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个
k·360°+45° ＜
②
＜ k·360°+90°,k∈Z
k=2n+1(n∈Z)时，
k·360°+225° ＜
所以
＜ k·360°+270°,k∈Z
的终边位于第一或者第三象限.
③
也可以运用图示的高阶方法，从
轴正半轴沿逆时针把每个象限平
分成2部分，并且依次标①②③④，
则标②的就是
所在的区域.
即时巩固
5.1任意角和弧度制
5.1.1
任意角
5.1.2
弧度制 P25
5.2三角函数的概念
5.2.1
三角函数的概念 P43
5.2.2
同角三角函数的基本关系 P63
5.3诱导公式 P86
5.4三角函数的图象和性质
高中数学新人教A版必修第一册课件： 第5章 三角函数 5
[解析] (1)依题意，x2＋232＝1，解得 x＝± 35，于是 sin α＝23，cos α
2
＝±35，tan α＝
3
5＝±2
5
5 .
±3
(2)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1，2)，由 r＝|OP|
＝
12＋22＝
5，得
sin
α＝
25＝2 5 5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
当 a＝1 时，r＝ 2，sin θ＝－ 22，cos θ＝ 22；
当 a＝－1 时，r＝
2，sin
θ＝－
22，cos
θ＝－
2 2.
课堂检测 ·固双基
1．已知角 α 的终边过点 P(－2，1)，则 cos α 的值为 ( D )
A．－12
B．
5 5
C．2 5 5
D．－2
5 5
[解析] 由角 α 的终边过点 P(－2，1)，所以 cos α＝ （－－2）2 2＋12＝
【对点练习】❷ 已知角 θ 的终边在射线 y＝－1ax(a≠0，y<0)上，且
tan θ＝－a，求 sin θ，cos θ 的值．
[解析] 因为角 θ 的终边在射线 y＝－1ax(a≠0，y<0)上，所以可设 P(a，
－1)(a≠0)为角 θ 终边上任意一点，则 r＝ a2＋1(a≠0)．
又 tan θ＝－a，所以－1a＝－a，解得 a＝±1.
(4)若已知角 α 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【对点练习】❶ (1)若角 α 的终边与单位圆的交点是 P(x，23)，则 sin
2
5
25
α＝__3__，cos α＝__±__3__，tan α＝__±__5__．
新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.4二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修第一册
【解题策略】 1.化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降低次. 2.化简三角函数式的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因 式后进行约分； (3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等.
【思路导引】结合题目特点，利用二倍角的正弦、余弦公式化简.
【变式探究】
本例(2)若改为：1＋sin 4＋cos 4 ，试化简.
1＋sin 4－cos 4
【解析】原式=1＋2sin 2cos 2＋2cos2 2－1
1＋2sin 2cos 2＋2sin2 2－1
＝2cos2 2＋2cos 2sin 2 2sin2 2＋2sin 2cos 2
【思考】
(1)所谓的“二倍角”公式，一定是角α与2α之间的转化关系吗？为什么？
提示：不一定.对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α
是 3α的二倍角，α是 的二倍角， 是 的二倍角，…，这里蕴含着换
2
2
24
元思想.这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗？ 提示：对于公式S2α、C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证 tan 2α，tan α有意义且分母1-tan2α≠0.
【题组训练】
1.cos4 -sin4 的化简结果为
(
2
2
A.cos
B.cos α
C.cos 2α
2
【解析】选B.cos4 -sin4
2
2
=(cos2 －sin2 )(cos2=c＋ossinα2. )
新教材人教A版数学必修第一册课件：第五章 正弦函数、余弦函数的图象
【解】 把函数
图像在 轴下方的部分翻折到 轴上方，加上原来上方
的部分就可以得到函数
的图像(蓝色部分)，如图.
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即时巩固
【例4】已知函数 （1）作出函数
的图像； (2)求方程
【解】 (1)当
时，
当
时，
的解.
所以 (2)由图像可知方程
，图像如图所示. 的解是
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2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在 其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.
随堂小测
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
A.0，π2，π，32π，2π
B.0，π4，π2，34π，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，π6，π3，π2，23π
解析 “五点法”作图是当 2x＝0，π2，π，32π，2π 时的 x 的值，此时 x
＝0，π4，π2，34π，π，故选 B.
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5.若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围. 解 由题意可知，sin x－2m－1＝0在[0,2π]上有2个根，即sin x＝2m＋1 有两个根， 可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点. 由y＝sin x图象可知， －1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0， 解得－1＜m＜0，且 m≠－12. ∴m∈－1，－21∪－12，0.
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正弦函数的图像
高中数学新人教A版必修第一册课件：第五章三角函数5
解 (1)以时间 t 为横坐标，活动人数 y 为纵坐标，在平面直角坐标系中 画出散点图，如图所示．
根据图象，可考虑用函数 y＝Asin(ωt＋φ)＋h 描述人数与时间之间的对应 关系．
从图象和数据，可知 A＝50，h＝100，T＝12，φ＝0. 由 T＝2ωπ＝12，得 ω＝π6. 所以这个活动室的活动人数 y 与时间 t 的函数关系式为 y＝50sin6πt＋100，t∈[0,24]． (2)由 y≥140，即 y＝50sin6πt＋100≥140， 得 sinπ6t≥45，
5. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝Asinωt＋6π(A>0，ω≠0)的 图象如图所示，则当 t＝510秒时，电流强度是( )
A．－5 安 B．5 安 C．5 3安 D．10 安 答案 B
解析 由图象可知 A＝10，T＝2×3400－3010＝510，∴2ωπ＝510，∴ω＝100π. ∴I＝10sin100πt＋6π.当 t＝510秒时，I＝10sin100π×510＋π6＝5(安)．
(1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒钟内小球能往返振动多少次？
解 (1)令 t＝0，得 h＝3sinπ4＝3 22，所以小球开始振动的位置为离开平 衡位置向上32 2 cm 处．
(2)由题意知，t∈[0，π]，当 h＝3 时，t＝π8，即最高点为π8，3； 当 h＝－3 时，t＝58π，即最低点为58π，－3. (3)T＝22π＝π≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次． (4)f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次．
所以 900＝100sinπ6×6＋φ＋800， 所以 sin(π＋φ)＝1，所以 sinφ＝－1，所以取 φ＝－π2. 所以 y＝100sinπ6t－π2＋800. (2)当 t＝2 时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.
高中数学新人教A版必修第一册课件： 第5章 三角函数 5
＝－sin
α·(－cos
sin α)·cos
αα＝sin2α.
(2)原式＝（－ta（n α－）s·i（n α－）c2o·s（α－）c3o·（s α－）tan α）
＝－－tsainn22αα·ccooss3αα＝1.
[归纳提升] 利用诱导公式一～四化简应注意的问题： (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改 变． (3) 同 时 有 切 ( 正 切 ) 与 弦 ( 正 弦 、 余 弦 ) 的 式 子 化 简 ， 一 般 采 用 切 化 弦，有时也将弦化切．
[解析] (1)∵cos56π＋α
＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－ 33，
sin2α－π6＝sin2－π6－α
＝1－cos2π6－α＝1－ 332＝23，
∴cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
3 .
(2)∵cos(α－75°)＝－13<0，且 α 为第四象限角， ∴α－75°是第三象限， ∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2（α－75°） ＝－ 1－－132＝－23 2， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝2 3 2.
β；⑤tan α＝－tan β.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由诱导公式四知①③⑤正确，故选C．
4．已知
sin(45°＋α)＝153，则
5 sin(135°－α)＝__1_3_．
5．化简：scions（（－3ππ－＋αα））·tan(2π－α)＝__－__1_．
3 3.
[归纳提升] 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．