2016届河北省衡水中学高三下学期六调考试数学(理)试题(A卷)课件

合集下载

河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试(A卷)数学(理)试题Word版含答案.doc

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意）1．复数122ii +-的共轭复数是（） A ．35i B ．35i -C ．iD ．i -2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞D ．()1,+∞3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（） A ．24B ．30C ．36D ．404．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（） A ．2B ．3C ．72D ．527．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),0-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞-11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=- ，则111AB BC CAk k k ++=______．14．设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则201512015220153201l o g l o g l o g l o g x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______． 15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1x g x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈．（1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数20402020通过公路2的频数 10 40 40 10假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ．（1）求证：MN PE ；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OAB ∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠．（l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽；（2）求CE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试数学（理）试题（A 卷）参考答案一、选择题DCCCD DADDB AA 二、填空题13．0 14．1- 15．2116．3 三、解答题17．解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123n n n S S +=+．…………………………………………1分 ∴11132332232333n n n nn n n n n nn n n S S S S S S +++-+--⨯===---．…………………………………………………4分且130a -≠，所以{}3n nS-是以13a -为首项，以2为公比的等比数列．…………………………………………6分（2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，()()1211113233223n n n n n n n a S S a a ----=-=-⨯+--⨯+- ()2113223n n a --=-⨯+⨯．…………8分若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立．当2n ≥时，()()1211132233223n n n n a a --+-⨯+⨯>-⨯+⨯，则2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对*2,n n N ≥∈恒成立，则19a >-；…………………………………………………………………………………………………10分又2113a a a =+>所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9 18．解：（Ⅰ）频率分布表，如下：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频数0.10.40.40.1设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；1B 、2B 分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；()0.20.40.6P A =+=， ()20.10.40.5P A =+=， ()10.20.40.20.8P B =++=， ()20.10.40.40.9P B =++=，所以汽车A 选择公路，汽车B 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：X 42 40 38 36 P0.20.40.20.2()420.2400.4380.2360.239.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．∴表示汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）．设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =．则Y 的分布列如下：X 42.4 40.4 38.4 36.4 P0.10.40.40.1()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．19．（1）如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ= ，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，12P ⎛ ⎝⎭，1,2E t μ⎛ ⎝⎭，由AM AN AE AP λ==，得()111,,1,0,,022M t N MN t λλμλλμ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，且00MN ⋅= n ，故0MN ⊥n ，又∵MN ⊄平面ABC ，即知MN 平面ABC ，又∵,,,B C M N 四点共面，∴MNBC PE ；（2）()10,,0,1,,22MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面CMN 的法向量()1111,,x y z =n ，则110,0MN CM ⋅=⋅=n n ，可取1⎛= ⎝n ，又∵()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，由0101cos θ⋅=⋅n n n n ，以及45θ=︒2=，即22440λλ+-=，解得1λ=（负值舍去），故1λ=．20．解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，=QP QF ，则|4|QE QF QE QP EF +=+=>=故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为()222210x x a b a b +=>>，可知2,a c ===1b =，3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->………………………………………………………6分∵12,,k k k 构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即：()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =．∵k >，∴12k =………………………………………………8分此时()21620m ∆=->，即(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠从而()(m ∈ ．故1212S AB d x =⋅=-m m ==10分又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分 21．（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞， ∵()1ln x f x x ax-=-， ∴()()()22211111x ax a x ax a f x x ax xax -⨯---'=-==-，若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上单调递减；若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞；若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--，由（Ⅰ）可知，()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,2上单调递减，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=；而1112ln 1ln 222f ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭；()1121ln 2ln 222f =--=-， ()()1132ln 21ln 22ln 2 1.520.70.10222f f ⎛⎫-=---+=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()f x 在()0,+∞上的最大值为()111ln10f =--=，即()0f x ≤．22．（Ⅰ）因为BD CE ，所以DBF BFC ∠=∠，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以CBF BDF ∠=∠，所以BDF FBC ∆∆∽．（Ⅱ）因为B D C E ，且A B B C =，所以22,2F C B D D F A D ====，因为BDF FBC ∆∆∽，所以BD DF BF BF CB CF ==，即有BD BF BF CF =，即12BFBF =，则BF =，又BD DF BF BC =，即2BC =，所以CB =，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以2CB CF CE =⋅，即82CE =，所以4CE =．23.解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t-⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，……………………………………………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒= 又222,cos x y x ρρθ=+= 所以，圆C的标准方程为()222x a y a -+=，…………………………………………………………5分（2）因为直线l 与圆C恒有公共点，所以a ≤，………………………………………7分两边平方得2940250a a --≥，∴()()9550a a +-≥ 所以a的取值范围是59a ≤-或5a ≥……………………………………………………………………10分24．（1）由绝对值的性质得()()55522f x x x a x x a a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭，………………3分所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a的最大值为54．…………………………………………………………………………………5分（2）由于,,0x y z >，所以()32132123x y z x y z x y z ⎛⎫++=++⋅++ ⎪⎝⎭22216≥=+=+当且仅当23321x y zx y z==，即:::3:1x y =时，等号成立．……………………………………8分 ∴321x y z++的最小值为。

【数学】河北省衡水中学高三下学期六调考试试卷(理)(解析版)

河北省衡水中学高三下学期六调考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，故，选项为C.3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B二、填空题（每题5分，共20分.）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且.（I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.解：（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.（Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.（1）证明：∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）解：取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）解：分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差. 解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332.将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，的故中位数为.（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和.（3）记样本中8个题目成绩分别为，，…，2个题目成绩分别为，，由题意可知，，，，故样本平均数为.样本方差为.故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.20.已知椭圆的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)由题得，，解得，椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设，，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：，则原点到直线的距离为，联立方程，化简得，，由得，则，，即对任意恒成立，则，，当直线斜率不存在时，也成立. 故当时，点到直线AB 的距离为定值.21.已知函数. （1）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（2）当时，函数的图象与轴交于两点，，且，又是的导函数.若正常数，满足条件，.试比较与0的关系，并给出理由解：（1）因为，所以，因为在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由，有，，令t =x +1>4的则y=2(t+在t>4单调递增，故（2）∵，又有两个实根，，∴，两式相减，得，∴，于是.∵，∴，∴.要证：，只需证：只需证：.（*）令，∴（*）化为，只需证∵在上单调递增，，∴，即.∴.请考生在22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4一4：坐标系与参数方程选讲：已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.解：（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ∴点的直角坐标由得，即所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为设，则那么点到直线的距离，所以点到直线的最小距离为23.选修4-5：不等式选讲.设函数，.（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.综上可得，不等式的解集为.（2）设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则.。

衡水中学高2017届16-17学年（下）六调试题——数学理

衡⽔中学⾼2017届16-17学年（下）六调试题——数学理河北衡⽔中学2016—2017学年度下学期六调考试⾼三年级（理科）数学试卷第I 卷（选择题部分，共60分）⼀、选择题：共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．若复数11mii +-为纯虚数，则m 的值为（） A ．1m =- B ．1m =C ．2m =D ．2m =-2．全集U R =，集合{}1()12x A y y ==+，集合{},B y y b b R ==∈，若A B =? ，则b 的取值范围是（）A ．0b <B ．0b ≤C ．1b <D ．1b ≤ 3．甲、⼄、丙三⼈投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下⾯的频数条形统计图所⽰，则甲、⼄、丙三⼈训练成绩⽅差2s 甲，2s ⼄，2s 丙的⼤⼩关系是（）A ．2s 丙<2s ⼄<2s 甲B ．2s 丙<2s 甲<2s ⼄C ．2s ⼄<2s 丙<2s 甲D ．2s ⼄<2s 甲<2s 丙4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，它的⼀条渐近线与圆22(2)4x y -+=相切，则双曲线的离⼼率为（）AB ．2CD．5．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等⽐数列，则212a ab -等于（） A ．14 B ．12 C ．12- D ．12或12- 6．执⾏如图所⽰的框图，若输出的sum 的值为2047，则条件框中应填写的是（）A ．9i <B ．10i <C ．11i <D ．12i < 7．已知6)z +展开式中，系数为有理数的项的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某个多⾯体的三视图，若该多⾯休的所有顶点都在球O 表⾯上，则球O 的表⾯积是（）A ．36πB ．48πC ．56πD ．64π9．已知锐⾓α、β满⾜sin sin 2cos cos αββα+<，设tan tan ,()log ,x a a f x αβ=?=侧下列判断正确的是（） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(sin )f f αβ> C ．(sin )(sin )f f αβ> D ．(cos )(cos )f f αβ>10．以抛物线2y x =的⼀点(1,1)M 为直⾓顶点作抛物线的两个内接Rt MAB ?,Rt MCD ?,则线段AB 与线段CD 的交点E 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(2,4)-D ．(1,4)-11．将单位正⽅体放置在⽔平桌⾯上（⼀⾯与桌⾯完全接触），沿其⼀条棱翻动⼀次后，使得正⽅体的另⼀⾯与桌⾯完全接触，称⼀次翻转。

2016届河北省衡水中学高三下学期第六次调研考试(A)数学(理)试卷及解析

8．已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线
与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出的值.
12．已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：①
当时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1
个零点．则正确的判断是（）
A．③④B．②③C．①④D．①②
【答案】A
【解析】
试题分析：若 .当 ,即时, ,解得；当 ,即时, ,当 ,解得适合；当 ,解得不适合.若 ,若 ,则 ,即 ,当合适, 时不合适；若 ,则 ,即也即 ,当时适合；当不合适.因此当时有四个根；当只有一个根 ,应选A.
则的最小值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：由得 ,即 .因为 ,即 ,所以 ,即的最小值为 .
【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件与的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为 ,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式 .然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出的最小值.
A． B． C． D．
【答案】C
3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法

2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题(解析版)

2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】C【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{0,1,2,3,4}B =，所以{1,3,4}A B = ，所以A B 的子集个数为328=，故选C ．【考点】1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z【答案】B【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==- 为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ．【考点】复数的概念．3．下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③【答案】D【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ．【考点】函数的极值．4．已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为（）A．．2 D ．4【答案】D【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数12z x y =+经过点(1,2)A时取得最大值，所以212max 4z ⨯+==，故选D ．【考点】简单的线性规划问题．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ．【考点】程序框图．6．两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（）A ．2B ．3C ．4513D ．7027【答案】B【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ．【考点】1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质．7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000σσ>，，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 【答案】B【解析】试题分析：由题意知ξ服从正态分布2(100,)σ，(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P P ξξ<<=-<<=，故选B ．【考点】正态分布． 8．函数()()s i n 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．0B ．．．【答案】A【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++= ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++ ＝(8)0f -=，故选A ．【考点】1、三角函数的图象及周期性．【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T ；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω．9．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（）A ．-2B ．-3C ．125D ．-131 【答案】C【解析】试题分析：令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++ ，即1283a a a +++=- ．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--= ，故选C ．【考点】二项式定理．10．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦， C．⎫⎪⎪⎣⎭ D．0⎛ ⎝⎦【答案】B【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．【考点】1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】试题分析：设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t-≥-，即()(s t st -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C此时四面体ABCD 外接球表面积为（） A ．7π B ．19π CD【答案】A【解析】试题分析：根据题意作图如下，由图可知翻折后的高AD ⊥平面BCD ，即四面体的高为AD ．在B C D ∆中，1,1,B D C D B ==，由余弦定理，得2221cos 22BD CD BC BCD BD CD +-∠==-⋅，所以23BCD π∠=，所以由正弦定理可知BCD ∆的外接圆半径为112sin BCBDC⨯=∠．设这个外接圆的圆心为O '，半径为O C '，则由外接球的对称性可得12OO AD '==．在OO C '∆中，222OO O C R ''+=，即222714R =+=，所以外接球表面积为247R ππ=，故选A ．【考点】1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .【解析】试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2锥，所以该几何体的体积为2123V =⨯=．【考点】1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14．已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .【答案】1 【解析】试题分析：因为A PB ⊥，所以0AP BC ⋅=．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC ACλλ⋅=+⋅-=⋅+ －2AB AB AC λ-⋅ ＝22(1)||||cos60||||AB AC AC AB λλ-︒+- ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．【考点】1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为x c =-，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为22b a ，所以2223b a =，即23b a =，所以e ==整理，得422910e e -+=，解得2e =或e =又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以e =．【考点】1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式． 16．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-【解析】试题分析：由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++- ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++- ＝113(21)n ++++- ＋1(2)(4)(22)n g g g ++++- ＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+ ，即(1)f n +－()4nf n =，分别取n为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=- ．又(1)(fg =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3nf ng g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-= ．【考点】1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题17．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a b B A ==+=（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =，得3sin sin A B=，即3sin B A =.sin B A +=sin 2A =. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c +-=，即2320c c -+=.解得1c =或2c =.当1c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为22c o s024a c B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯⨯=【考点】1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（1）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.（只需写出结论）【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0．【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. 由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =.（2）由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2.且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，所以X 的分布列为所以()0121999+=E X =⨯+⨯⨯. （3）当0b =时，2s 达到最小值.试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较；（2）写出X 的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解．【考点】1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1AD DC ⊥，如图2.（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）7-（3）不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）易证得DE DC ⊥，结合1A D DC ⊥可推出DC ⊥平面1A DE ，从而推出1DC A E ⊥，进而结合翻折的性质可使问题得证；（2）以,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，得到相关点坐标与相关向量，利用空间夹角公式求解；（3）假设存在点(,0,0)P t ，求出平面1A DP 的一个法向量，从而根据两平面垂直两法向量的数量积为0，求出t 的值，从而作出判断．试题解析：：（1）∵D E B E ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D = ，∴DC ⊥平面1A D E .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DC DE D = ，∴1A E ⊥平面BCDE ；（4分）（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，∴1(2,0,2)BA =-，BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n = ，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅= ，0BC m ⋅= ，得220230x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,3)m = ，∴c o s ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A D P⊥平面1A B C ，设(,0,0)(02P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，12)A D =-，设平面1ADP 的法向量为111(,,)p x y z = ，由10A D p ⋅= ，10A P p ⋅=，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t = ，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅= ，即0，解得3t =-，∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．（12分）【考点】1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20．如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.（1）若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（1）23k =或38k =；（2）【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线AB 的方程，然后设l 的方程为y kx =.设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，联立直线l 与椭圆的方程，得到12,x x 间的关系，再由6ED DF =与点D 在线段AB 上求得k 的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点,A B 到线段EF 的距离，从而得到四边形AEBF 的面积的表面式，进而求得其最大值．试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <，联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.（3分）故21x x =-=6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k=，所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（2）根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为12h h ==，又||EF =，所以四边形AEBF 的面积为()122121||2k S EF h h +=+====≤当且仅当14k k =，即12k =时，取等号，所以四边形AEBF 面积的最大值为【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21．设函数()()22ln f x x a x a x =---.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.【答案】（1）当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3；（3） 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；（2）由（1）知()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<，令()4ln42ah a a =+-，求得()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；（3）由12,x x 是方程()f x c=的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=，两式相减，得221122112222ln ln x x x x a x x x x =＋－－＋－－，然后通过换元求导即可证明．试题解析：()()()22221'220a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>-（）（)(）．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02ax <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分）（2）由（1）得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.（3） 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由（1）知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞2a即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，设t因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数．又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分）【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> （()'0f x <）解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，()f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.（1）求证：22QC BC QC QA ⋅=-；（2）若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】（1）见解析；（2）103AB =．【解析】试题分析：（1）利用切割线定理求解；（2）由弦切角定理与角平分线定理可推出BAC CBA ∠=∠，从而可求得QC 的值，然后证得QAB QCA ∆∆，利用相似比求解．试题解析：（1）∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.（5分）（2）∵PQ 与⊙O相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及（1）知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆∆，∴AB QA CA QC=，∴103AB =.（10分）【考点】1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形．23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P坐标(，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 【答案】（1）直线l的普通方程为30x y --=，圆C 的直角坐标方程为(225x y +=；（2）【解析】试题分析：（1）把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：（1）由32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l的普通方程为30x y ---=.（2分）又由s i nρθ=得圆C 的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +=.（5分）（2）把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |PA t +=+=.（10分）【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ，（它们都是参数的函数）的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． 24．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数；（2）若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m 的最大值. 【答案】（1）[]3,1x ∈-；（2）3．【解析】试题分析：（1）利用零点分段法求解；（2）利用柯西不等式求解．试题解析：（1） ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数. （2）由柯西不等式得())2222222x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以353y z -+≤，当且仅当==，即333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3. 【考点】1、零点分段法；2、柯西不等式．。

河北省衡水中学2016届高三二调数学(理)试题(含答案解析)

河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()UB A =ð（） A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．[)0,3 D ．()0,32、正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a14a =，且6542a a a =+，则14m n +的最小值是（）A ．32B ．2C ．73D ．2563、设向量a 与b 满足2a =，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与a b λ-垂直，则λ=（）A ．12 B ．1 C ．2 D ．34、已知函数()sin y x mωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5、在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c，若C S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cos Ca b c B +A=，则c =（）A． B． C ．4 D．6、设M 是C ∆AB 所在平面上的一点，且33C 022MB +MA +M=，D 是C A 的中点，则DM BM 的值为（）A ．13B ．12 C ．1 D ．27、已知锐角A 是C ∆AB 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A -A =，则下列各式正确的是（）A ．2b c a +=B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥8、已知函数()2g x a x =-（1x e e ≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x=的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣9、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25S =（）A ．232B ．233C ．234D ．235 10、函数()cos f x xπ=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为（）A ．0B ．2C ．4D ．6 11、已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且25c a c b -+-=2c a+的取值范围是（）A ．[]1,3B ．⎡⎤⎣⎦C．5⎡⎢⎣D ．,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12、定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2 D ．()2,3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若110tan tan 3αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为．14、已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为． 15、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑥67a a >．其中正确命题的个数是．16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．()1求{}n a 的通项公式；()2记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）已知角A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，a ，b ，c 是各角的对边，若向量()1cos ,cos 2m A -B ⎛⎫=-A +B ⎪⎝⎭，5,cos 82n A -B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且98m n ⋅=． ()1求tan tan A ⋅B 的值；()2求222sin Cab a b c +-的最大值．19、（本小题满分12分）已知函数()22sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π．()1求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a b c <<2sin c =A ，求角C 的大小；()3在()2的条件下，若3112213f π⎛⎫A +=⎪⎝⎭，求cos B 的值．20、（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a=-+，其中R a ∈，e 为自然对数底数．()1讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；()2设R b ∈，若函数()f x b ≥对任意R x ∈都成立，求ab 的最大值．21、（本小题满分12分）设函数()()()21ln 1f x x m x =+-+，()2g x x x a=++．()1当0a =时，()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；()2当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；()3是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()g x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x ax x=++-（R a ∈）．()1当14a =时，求函数()y f x =的单调区间；()2若对任意实数()1,2b ∈，当(]1,x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题参考答案。

河北省衡水中学2016届高三下学期第六次调研考试文数试题(A卷) 含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知i 是虚数单位，则复数131ii-=+（） A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+ 【答案】C考点：复数的运算．2．已知集合{}{}0,1,2,3xP Q y y ===，则PQ =（ )A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．∅ 【答案】C 【解析】试题分析：由于}2,1{),,0(=+∞=Q P Q ,因此应选C. 考点：集合的运算．3．命题:p 若sin sin x y >,则x y >;命题22:2q x y xy +≥，下列命题为假命题的是（）A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．p ⌝ 【答案】B 【解析】试题分析：由于p 是假命题,q 是真命题，因此p 且q 是假命题；命题q , p 或q 和p ⌝都是真命题.应选B.考点:复合命题的真假和判定．4．设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时,()2log f x x =,则()2f -=( ） A ．12- B ．12C ．2D ．2- 【答案】B 【解析】试题分析:由于函数()f x 为偶函数，因此212log )2()2(2===-f f ,应选B. 考点：函数的奇偶性和对数的运算． 5．已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（） A ．21k -- B ．21k -C ．21k ±-D ．k - 【答案】A考点：同角的关系和诱导公式的运用．6．函数()()tan 0f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（） A ．3-B 3C ．1D 3【答案】D 【解析】试题分析：由于2πωπ==T ，因此2=ω，所以33tan ==π,应选D 。

河北省衡水中学2016届高三小学期一调考试理科数学试题_Word版含答案

2015—2016学年度小学期一调研考试高三年级数学试卷（理科）命题人赵鸿伟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共85分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.若集合A={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（）A ．0B ．4C ．0或4D ． 22. 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则:p x A x B ⌝∃∈∈（） A ． :,2p x A x B ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉ D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 4．设}3,21,1,1{-∈a ，则使函数a x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( ) A.1,3 B.1,1- C.3,1- D.3,1,1-5. 设f(x) 是定义在R 上的函数,则下列叙述一定正确的是（） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数6．如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO,AC 与BO 交于点E,某指数函数xa y =0(>a 且)1≠a 经过点E,B,则=a （）A ．2 B.3 C.2 D.3 7.设3.02=a ，2.03=b ，1.07=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A.b c a <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c <<8．关于函数31)212()(x x f x x•-=和实数n m ,的下列结论中正确的是（）A ．若n m <≤-3，则)()(n f m f < B. 若0≤<n m ,则)()(n f m f < C. 若)()(n f m f <则22n m < D. 若)()(n f m f <则33n m <9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线()y f x =，另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（）A ．B ．C ． D. 10.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋nln nD ．1＋n ＋ln n11.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数．当0>x 时，0)(')(>⋅+x f x x f ，且0)1(=f ，则不等式0)(>⋅x f x 的解集为（） A ．)1,0()0,1(⋃- B ．),1()0,1(+∞⋃- C ．),1()1,(+∞⋃--∞ D ．)1,0()1,(⋃--∞12.已知等差数列前n 项的和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项13. 已知是定义在 R 上的偶函数，对任意都有且等于 ( )A ．1B ． 2C ．3D ．414. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A ．B ．C ．（D ．15.设，则下列不等式成立的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则16. 已知直线y ＝mx 与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（） A ．( ，4) B ．( ，＋∞) C ．( ，5)D ．(， )17.对于函数)(x f ，若任意R c b a ∈,,，)(),(),(c f b f a f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为“可构造三角形函数”，已知函数1)(++=x x e te xf 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A.),0[+∞B.]1,0[C.]2,1[D.]2,21[第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共30分。

河北省衡水中学高2016届高三下学期一模考试理科数学试题

2015-2016学年度下学期高三年级一模考试理数试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设命题甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ;命题乙：01a <<,则命题甲是命题乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.设,a b R ∈且0b ≠,若复数()3a bi +(i 为虚数单位)是实数,则( ) A.223b a = B.223a b = C.229b a = D.229a b = 3.等差数列{}n a 中,2nna a 是一个与n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( ) A.{}1 B.11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭4.ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511,则ABC ∆为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=的右焦点,P 是C 上一点,()2,1A -,当APF ∆周长最小时,其面积为( ) A.4 B.8D.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =( )A.()1,2,3,4B.()0,3,4,0C. ()0,3,4,1--D.()1,0,2,2--8.如图所示是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD 长为2,侧视图是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且1AB BC ==,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是( )A.1 C.2D.129.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：若数学成绩90分(含90分)以上为优秀,物理成绩85(含85分)以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系( )A.99.9%B. 99.5%C.97.5%D.95% 参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 的值的计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++10.在一个棱长为4的正方体内,你认为最多放入的直径为1的球的个数为( ) A.64 B.65 C.66 D.6711.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++,依次类推可得：11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++,其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤,则21x y x +++的最小值为( )A.232B.52C.87D.34312.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图像在4x π=-处相切,设()2x g x e bx a =++,若在区间[]1,2上,不等式()22m g x m ≤≤-恒成立,则实数m ( )A.有最小值e -B.有最小值eC.有最大值eD.有最大值1e +第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知函数()2f x x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线与直线320x y ++=垂直,执行如图所示的程序框图,输出的k 值是 .14.在直角坐标系xOy 中,已知点()0,1A 和点()3,4B -,若点C 在AOB ∠的平分线上,且2OC =,则OC = .15.如图,将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后,构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中,点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线,分别交两轴于,M N 两点,则M 在Ox 轴上表示的数为x ,N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 .16.已知ABC ∆的面积为S ,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且2sin C A 成等比数列,2213,218322b a c ac =≤+≤,241c +的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知,12a =,且1234,3,2S S S 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设25n n b n a =-⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .18(本小题满分12分)如图,四边形PCBM 是直角梯形,90,,1,2PCB PMBC PM BC ∠=︒==,又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥,直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.(1)求证：PC AC ⊥;(2)求二面角M AC B --的余弦值; (3)求点B 到平面MAC 的距离.19.(本小题满分12分)电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告：高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供你选择(其中有一种为草莓口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖).(1)小王花10元钱买三瓶,请问小王共有多少种不同组合选择方式？(2)小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差.20.(本小题满分12分)已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是直线:2l x =上的动点,F 为椭圆的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆2C 相交于,P Q 两点,与椭圆1C 相交于,A B 两点,如图所示.①若PQ =求圆2C 的方程;②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ,若12S S λ=,求λ的取值范围.21.(本小题满分12分)设a 为实数,函数()()211x f x x e a x -=--. (1)当1a =时,求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值; (2)设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时,总有()()'211x g x f x λ≤,求实数λ的值(()'f x 为()f x 的导函数).请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图,ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点,P BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ,若210PA PB ==. (1)求证：2AC AB =; (2)求AD DE ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).(1)化12,C C 的方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线; (2)若1C 上的点P 对应的参数为,2t Q π=为2C 上的动点,求PQ 的中点M 到直线332:2x tC y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈. (1)当3a =时,求函数()f x 的最大值; (2)解关于x 的不等式()0f x ≥.参考答案及解析一、选择题1-5 CABCC 6-10 ACCBC 11-12 CD 二、填空题13. 6 14. 55⎛- ⎝⎭15.2210x y xy ++-= 16.34(2)当1,2n =时,250n -<,当3n ≥时,()34101232252n n T n =+⨯+⨯++-⨯()4512201232252n n T n +=+⨯+⨯++-⨯,两式相减,得 ()()()()43451121210822222522225212n n n n n T n n -++--=-+++++--⨯=-+⨯--⨯-()134722n n +=-+-⨯ ()134272n n T n +∴=+-⨯ ()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪∴==⎨⎪+-⨯≥⎩18.(1),,PC BC PC AB AB BC B ⊥⊥⋂=PC ∴⊥平面ABC ,AC ⊆平面ABC ,PC AC ∴⊥(2)在平面ABC 内,过点C 作BC 的垂线,并建立空间直角坐标系,如图所示设()()()130,0,0,0,,0,1,,0,22P z CP z AM z z ⎫⎛⎫∴==--=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos 60cos 3AM CP AM CP AM CP⋅︒=〈⋅==⋅且0z >131,1222z AM⎛⎫=∴=∴=-⎪⎪⎝⎭设平面MAC的一个法向量为(),,1n x y=则由3100201122yn AM xn CA yx y⎧⎧++=⎪⎧⋅==⎪⎪⎪⇒∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=--=⎩⎪⎩,3,1,1n⎛⎫∴=--⎪⎪⎝⎭∴平面ABC的一个法向量为()0,0,1CP=21cos,7n CPn CPn CP⋅〈〉==⋅显然,二面角M AC B--为锐二面角,所以二面角M AC B--的余弦值为7(3)点B到平面MAC的距离2217CB ndn⋅==19.(1)若三瓶口味均不一样,有3856C=若其中两瓶口味不一样,,有118756C C=,若三瓶口味一样,有8种,所以小王共有56+56+8＝120种选择方式(2)ξ可能的取值为0,1,2,3由于各种口味的高级口香糖均不超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,有8种不同口味所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为18故随机变量ξ服从二项分布,即13,8Bξ⎛⎫⎪⎝⎭()033113430188512P Cξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()1213111471188512P Cξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()212311212188512P Cξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()30331113188512P Cξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ξ的分布列为期数学期望()388E np ξ==⨯=方差()()1721138864D np p ξ=-=⨯⨯=20.(1)椭圆短轴下端点在抛物线24x y =的准线上,1b ∴=c e a ===,a ∴= 所以椭圆1C 的方程为2212x y += (2)①由(1),知()1,0F ,设()2,M t ,则2C 的圆心坐标为1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭2C 的方程为()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,当0t =时,PQ 所在直线方程为1x =,此时2PQ =,与题意不符,不成立,0t ∴≠.∴可设直线PQ 所在直线方程为()()210y x t t=--≠,即()2200x ty t +-=≠ 又圆2C 的半径r ==由2222PQ d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得()222211444t ⎛⎫+⨯=+⎝⎭ 解得242t t =⇒=±∴圆2C 的方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=②当0t ≠,由①,知PQ 的方程为220x ty +-=由2212220x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y ,得()222816820t x x t +-+-=则()()()()22242164882840tt tt ∆=--+-=+>21212221682,88t x x x x t t-∴+==++2248t AB t +∴===+2222241142288t t S OM AB t t ++∴=⨯⨯==++ ()221124,4S r t S S ππλ==+=()221224488828t S S t πλ+⎫====≥⨯=+=,即0t =时取等号又0,2t λ≠∴>,当0t =时,直线PQ 的方程为1x = 2AB OM ==,212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴==⎪⎝⎭,122S S λ∴=== 综上,2λ≥所以实数λ的取值范围为,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 21.(1)当1a =时,()()211xf x x ex -=--则()()21'211221x xx x x e fx x xee-----=--=,令()212x h x x x e -=--,则()'122x h x x e -=-- 显然()'h x 在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数,又'31042h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内,总有()'0h x <()h x ∴在区间3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数,又()10h =∴当3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x >,()'0f x ∴>,此时()f x 单调递增;当()1,2x ∈时,()0h x <()'0f x ∴<,此时()f x 单调递减;()f x ∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值也即最大值是()11f =(2)由题意,知()()21x g x x a e -=-,则()()()'212122x xg x x x a e x x a e --=-+=-++根据题意,方程220x x a -++=有两个不同的实根()1212,x x x x <440a ∴∆=+>,即1a >-,且122x x +=121211,2x x x x x <∴<=-且,由()()'211x g x f x λ≤其中()()'212x f x x x e a -=--,得()()()()1111222111111222x x x x a ex x e x x λ--⎡⎤--≤-+-⎣⎦21120x x a -++=所以上式化为()()()()1111221111112222x x x x e x x e x x λ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦ 又120x ->,所以不等式可化为11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦,对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.①当10x =,11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立,R λ∈;②当()10,1x ∈时,1111210x x eeλ---+≤恒成立,111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x x x e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内的减函数,当()0,1x ∈,()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++ ③()1,0x ∈-∞时,1111210x x eeλ---+≥恒成立,即111121x x e e λ--≤+由②,当(),0x ∈-∞,()()201e k x k e >=+,即21ee λ≤+综上所述,21ee λ=+. 22.(1)PA 是圆O 的切线,PAB ACB ∴∠=∠,又P ∠是公共角,ABPCAP ∴∆∆22CA APAC AB AB BP∴==∴=; (2)由切割线定理,得2,20PA PB PC PC =⋅∴=,又5,15PB BC == 又AD 是BAC ∠的平分线,2AC CDAB DB∴== 由相交弦定理,得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.23.(1)()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是()4,3-,半径是1的圆,2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当2t π=时,()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-,故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭3C 的普通方程为270x y --=,M 到3C的距离3sin 13d θθ=-- 所以当43cos ,sin 55θθ==-时,d取得最小值5. 24.(1)当3a =时,()()()()1,332135,131,1x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩所以当1x =,函数()f x 取得最大值2. (2)由()0f x ≥,得21x a x -≥- 两边平方,得()()2241x a x -≥- 即()2232440x a x a +-+-≤得()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以当1a >时,不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当1a =时,不等式的解集为{}|1x x =a<,不等式的解集为2,23aa+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.当1。

河北省衡水中学2016届高三下学期一调考试数学试题

2015-2016 学年度放学期高三年级一调考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知复数 z x yix, y R ，且有x1 yi ，则 z（）1 iA ． 5B ． 5C ．3D ． 32.已知全集 U R ，会合 A x | x2x 60 , Bx |x1 0 ，那么会合 A C U Bx4（）A ． x | 2 x 4B ． x | x 3或x 4C ． x | 2 x1D ． x | 1 x 33.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x 2 y 0，则它的离心率为（）A ． 5B ．5C ． 3D ．224.履行所示框图，若输入 n6, m 4 ，则输出的 p 等于（）A ． 120B ． 240C ．360D ．7205.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都起码有 1 名同学报考，那么这5名同学不一样的报考方法种数共有（）A． 144 种B．150 种C．196 种D．256 种6.在VABC中，三边之比a : b : c2:3: 4，则 sin A 2sin B（）D．1sin 2CA． 1B． 2C．-328.将函数f x sin 2x 的图像向右平移0个单位后获得函数 g x 的图像，2若对知足 f x1 f x2 2 的x1, x2，有x1x2min，则（）A．53 B．C．D．612349.某几何体的三视图如右图，若该几何体的全部极点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4B．28C．44D．20 3310.已知S n和 T n分别为数列a n与数列b n的前 n 项和，且45b nn N n获得最大值时，n的值为（）a1 e , S n eS n 3 e , a n e，则当 TA． 4B．5C．4或 5D．5或611.在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形 ABCD 的中心，M , N分别为AB, BC中点，点Q为平面 ABCD 内一点，线段D1Q与 OP uuuur uuuur的值有（）相互均分，则知足 MQ MN 的实数A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个12.已知函数f xx2x3x4x2015x2x3x4x20151 x3L, g x 1 x34L，设24201522015函数 F x f x 3 , g x 4，且函数 F x 的全部零点均在区间a, b a, b Z，则 b a 的最小值为（）A． 6B．8C．9D．10第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 11 1 x 5的睁开式中 x r （ r Z 且 1 r5 ）的系数为 0，则xr.3xy 2 014.设 x, y 知足拘束条件 xy0 ，若目标函数 z ax 2by a 0,b0 的最大值为x 0, y1，则1212 的最小值为 .a4bx 2 y 215.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C : a 2b 21 a 0, b0 的渐近线与抛物线C 2 : x 22 py p 0 交于点 O, A, B ，若 VABC 的垂心为 C 2 的交点，则 C 1 的离心率为.16.在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB PDC , AB2, BC 1, ABC 60 ，动点 E 和 F 分别在uuuruuur uuur uuur uuur uuur.线段 BC 和 DC 上，且 BEBC, DF1DC ，则AE AF 的最小值为9三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 a n 知足 a n 2 qa n （ q 为实数，且 q 1 ），n N , a 1 1,a 2 2 ，且 a 2 a 3 ,a 3 a 4 ,a 4 a 5 成等差数列 .⑴求 q 的值和 a n 的通项公式；⑵设 b nlog2a n, nN ，求数列 b n 的前 n 项和 .a2 n118（本小题满分 12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力状况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生体检表，并获得如图的频次散布直方图 .⑴若直方图中后四组的频数成等差数列，试预计整年级视力在 5.0 以下的人数；⑵学习小构成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比许多，为了研究学生的视力与学习成绩能否相关系，对年级名次在1-50 名和951-1000 名的学生进行检查，获得右表中数据，依据表中的数据，可否在出错的概率不超出0.05 的前提下以为视力与学习成绩相关系；⑶在⑵中检查的 100 名学生中，依据分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步检查他们优秀的护眼习惯，而且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 1-50 的学生人数为 X ，求 X 的散布列和数学希望.附：19.（本小题满分 12 分）如图，在VABC中，O是BC的中点，AB AC, AO 2OC 2 ，将 VBAO 沿 AO 折起，使 B 点与图中 B'点重合.⑴求证： AO平面B'OC；⑵当三棱锥 B' AOC 的体积取最大时，求二面角 A B'C O 的余弦值；⑶在⑵条件下，试问在线段 B' A 上能否存在一点 P ，使 CP 与平面B'OA所成角的正弦值为2？证明你的结论 . 32220.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C :x2y2 1(ab 0) 的左，右焦点分别为 F 1, F 2 ，a b点 M 0,2 是椭圆的一个极点， VF 1MF 2 是等腰直角三角形 .⑴求椭圆 C 的方程；⑵设点 P 是椭圆 C 上一动点，求线段 PM 的中点 Q 的轨迹方程；⑶过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点，设两直线的斜率分别为k 1 ,k 2 ，且k 1 k 2 8 ，研究 AB 能否过定点，并说明原因 .21.（本小题满分 12 分）已知函数 f xe x , g x ln x m .⑴当⑵若m1时，求函数 F xf x xg x 在 0,xm2 ，求证：当 x 0,3时， f x g x10上的极值；.（参照数据： ln 2 0.693,ln3 1.099,ln51.609,ln 7 1.946 ）请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，圆 O 1 与圆 O 2 内切于点 A ，其半径分别为 3 与 2，圆 O 1 的弦 AB 交圆 O 2 于点 C（ O 1 不在 AB 上）， AD 是圆 O 1 的一条直径 .⑴求 AC的值；AB⑵若 BC3 ，求 O 2到弦 AB 的距离 .23.（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x2t cos 在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为的直线 l :3（ t 为参数）与曲线y t sinC :x2cos （为参数）订交于不一样的两点A,B .y sin⑴若，求线段 AB 中点 M 的坐标；3⑵若 PA PB OP2，此中 P 2, 3 ，求直线l的斜率.24.（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 a0, b0, c0，函数f xx a x b c⑴求 a b c 的值；⑵求1a21b2c2的最小值. 49参照答案一、选择题1-5BDACB6-10BBDBC11-12 CD二、填空题13. 214.815.316.29218三、解答题又因为 q1，所以 a2 a32由 a3 qa1,q2当 n 2k 1 kn1 N 时，a n a2 k 1 2 2n当 n 2k k N 时，a n a2k22n122 , n为奇数所以数列a n的通项公式为a nn;22 , n为偶数(2)由(1)，得b n log 2 a2 n nn 1 , n N、a2n 12设数列 b n的前 n 项和为 S n，则S n11 21 L n12212n 11S n 1 1 2 1 L n 1221 22 2n上述两式相减，得1 S n 1 1 1L1 n 12 2021 222n 12nn 222nn 2S n42n 1, n N所以数列 b n 的前 n 项和为 S n 4nn 12, n N218.(1)设各组的频次为 f i i 1,2,3,4,5,6由图可知，第一组有 3 人，第二组有 7 人，第三组有 27 人，因为后四组的频数成等差数列所此后四组频数挨次为 27,24,21,18所以视力在 5.0 以下的频次为0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82故整年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 0.82820 ；100 41 18 32 92(2) K 2300 4.110 3.841 50 50 73 2773所以在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为视力与学习成绩相关系；(3)依题意 9 人中年级名次在 1 : 50名和 951: 1000名的人数分别为 3人和6人所以 X 可能的取值为 0,1,2,3P X 05，PX 1 15，P X 2 3，PX 0121 281484X 的散布列为X0 1 2 3P5153121281484 E X051 152331 1 .2128148419.(1)Q AB AC，且 O是BC的中点AO BC ，即AO OB' , AO OC又Q OB 'OC O AO'平面 BOC(2)在平面B'OC内，作B'D OC于点D则由 (1)可知B'D OA ，又 OC OA O B' D平面 OAC即 B'D 是三棱锥B'AOC 的高又 B'D B' O当 D 与 O 重合时，三棱锥B'AOC 的体积最大过 O点作OH B'C 于点H，连结AH由(1)知，AO平面 B'OCQ B'C 平面 B'OC ， B'C AOQ AO OH O B'C 平面 AOH , B'C AH ，所以AHO 即为二面角A B'C O 的平面角2在 RtVAOH 中，AO 2,OH2AH3 2 ,cos AHO OH12AH3(3)存在，且为线段AB'的中点，以O为坐标原点，成立，如下图的空间直角坐标系uuur uuur2 ,0,uuur uuur uuur22 ,1,设 AP AB， CP CA APur0,1,0又平面 B'OA 的一个法向量为muuur urCP m21220232110 uuur ur5 25CP m383解得：1111,舍去21020.(1)由已知可得b2, a228 2b所以所求椭圆方程为x2y21；84(2)设点P x0, y0, PM的中点坐标为Q x, y，即x02y021 840x0 , y0 y0，得 x0 2 y ，代入上式，得x22由 x2x, y0y；11 222(3)若直线AB的斜率存在，设AB方程为y kx m ，依题意m2设 A x1 , y1 , B x2 , y2，由x2y2112k 2x24kmx2m280 84y kx mx1 x214km2, x1 x22m228，由已知y12y228 2k 1 2k x1x2所以所以kx1m 2 kx2m 28 ，即 2k m 2x1x28 x1x2x1 x2k km 4 m 1 k2m22故直线 AB 的方程为y kx 1k 2,即 y k x12 22所以直线 AB 过定点 1 , 2 ；2若直线 AB 的斜率存在，设AB 方程为x x'设 A x' , y' , B x' , y'由已知 y'2y'28x'1x'x'2此时 AB 方程为x 1，明显过点 1 ,2 22综上，直线 AB 过定点1, 2. 221.(1)e x F 'e xF x x ln x 1 ,x 2 x1ln xx xF x在区间 0,1上单一递减，在区间1,上单一递加，所以极小值为 F 1 e 1 ，无极大值；(2)结构函数h x f x g x e x ln x 2h x e x1在区间 0,上单一递加xQ h1e20, h'ln 20 ，h'x 在区间 0,上有独一零点 x01 ,ln 222e x01，即 x0ln x0，由h x的单一性x0有 h x h x0e x0ln x021x02x0结构函数t t1 2 在去甲0,ln2 上单一递减tQ x01,ln 2,x01ln 221 2ln 210即 h x01， h x1 f x g x 1 . 10101022.(1)设AD交圆O2于点E，连结BD, CE因为圆 O1与圆 O2内切于点A，所以点 O2在AD上，所以 AD, AE 分别是圆 O1与圆 O2的直径所以 ABD ACE,BD PCEAC AE22AB AD3(2)若BC 3 ，由⑴的结果可知， AB 3 3，面 AD6,在 RtVABD 中， A 30，又由 AO2 2 ，得 O2到弦AB的距离为1.23.(1)将曲线C :x2cos，化为一般方程，得x2y21y sin4当，设点 M 对应的参数为t03x2 1 t直线 l 的参数方程为2（ t 为参数）y3 3 t2代入曲线 C 的一般方程x2y21 4即 13t 256t480设直线 l 上的点A, B对应的参数分别为t1, t2 t1t228则 t0213所以点 M 的坐标为12,3；1313(2)将l :x 2 t cos代入曲线 C 的一般方程x2y21y3t sin4得 cos24sin 2t 28 3 sin4cos t120因为因为PA PB t 1t 2 12 7 ，得 tan 2 5cos 2 4sin 2 1632cos 2 3 sin cos 0故 tan 5 ，所以直线 l 的斜率为 5 . 4 424.(1)因为 f x x a x b c x ax b c a b c 当且仅当 a x b 时，等号成立又 a 0, b 0 所以 a b a b ，所以 f x 的最小值为 4，所以 a b c 4 ；(2)由(1)知 a b c 4 ，由柯西不等式，得 1a 2 1b 2c 2 4 9 1 a 2 b 3 c 14 9 2 3a b c 2 16故 1 a 2 1 b 2 c 2 84 9 7 1 a 1 b c ,即 a 8 18 2 时等号成立当且仅当 2 3 ,b ,c 2 3 1 7 77 故 1 a 2 1 b 2 c 2 的最小值为 8 .4 9 7。

2016届河北省衡水中学高三下学期五调考试数学(理)试题

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数131ii-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -2.已知集合{}A m =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（） A ．03 B ．0或3 C ．13 D ．1或33.已知函数()sin()cos()()66f x x x x R ππ=--∈，则下列结论错误的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5[0,]12π上是增函数 4.若3*1()()ny x n N xy+∈的展开式中存在常数项，则常数项为（） A ．15 B ．20 C ．30 D ．1205.已知函数2,0()21,0x x ax x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在x R ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,0]-∞B ．[2,2]-C ．(,2]-∞D ．(0,2] 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为（） A ．2 B ．13 C ．12- D ．-37.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（） A ．100 B ．200 C ．300 D ．4008.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45616a a a ++=，则9S =（） A ．48 B ．128 C ．144 D ．1469.点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，过右焦点(1,0)F 且倾斜角为6π的直线与直线2x a =交于点P ，若APF ∆为等腰三角形，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．2 C ．3 D ．310.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A ．28B ．2462+C ．20213+D ．1662213+11.设实数,x y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（）A ．13B ．16C ．17D ．1912.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（）A ．(,0]-∞B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点(1,2)A ，点(12,22)B +-，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π后得点P ，则点P 的坐标为 .14.抛物线2y x =与直线0x =、1x =及该抛物线在(01)x t t =<<处的切线所围成的图形面积的最小值为 .15.已知菱形ABCD 的边长为3，且60BAD ∠=o，将ABD ∆沿BD 折起，使,A C 两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为 .16.如图，在正方形ABCD 中作如下操作，先过点D 作直线1DE 交BC 于1E ，记11CDE α∠=，第一步，作1ADE ∠的平分线交AB 于2E ，记22ADE α∠=，第二步，作2CDE ∠的平分线交BC 于3E ，记33CDE α∠=，第三步，作3ADE ∠的平分线交AB 于4E ，记44ADE α∠=，以此类推，得数列123,,,,,n ααααL L ，若112πα=，那么数列{}n α的通项公式为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知233b c =，3A C π+=. （1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若33b =，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面EFBD ⊥平面ABCD . （1）证明：//DE 平面ACF ；（2）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线12l l ⊥于P ，连接PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ，设点H 的轨迹为曲线r . （1）求曲线r 的方程；（2）过点P 作曲线r 的两条切线，切点分别为,C D . （ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线L 交曲线r 于点,A B ，直线CD 交L 于点Q ，试探究||||||||PQ PQ PA PB +是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()21xf x e ax ax =+--. （1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）设函数'()()g x f x =，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于,C D 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点. （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()|1||2|f x x x =-+-. （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围.衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题：CBCBC DBDAB BB 12.解：由xxex f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x2))((='设c x x f e x+=2)(，由1)0(=f 得1=c ，所以x e x x f 1)(2+=，则xe x xf 2)1()(--='所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈ 二、填空题： 13. (1,0) 14. 121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα三、解答题：17.【解析】（1）因为A B C π++=，3A C π+=，所以2B C =. 由正弦定理得：sin sin b cB C=，所以sin sin b Bc C=，即2sin cos 3sin C C C =. 又sin 0C ≠.故化简得cos C =. （2）因为(0,)C π∈，所以sin C ===，所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====. （3）因为2B C =，所以211cos cos 22cos 12133B C C ==-=⨯-=-，因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B CB C B C =+=+223166()33339=⨯+-⨯=. 因为233b c =，33b =. 所以92c =. 所以ABC ∆的面积119692sin 3322294S bc A ==⨯⨯⨯=. 18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯=(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯=(3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2X123P2125191255612548125…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF 由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………3分又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AMAO ⊥Q 平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯⨯= 所以2=OP .由1222PF OB ==，得22102BF OF OP PF ==+=因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以2105OB OP OM BF ⋅==，故223105AM OA OM =+= …………………10分所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OA u u u r ，OB uuu r ，OP uuu r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯+⨯= 所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此2(2,20),(0,2)2AB BF =-=-u u u r u u u r ，，设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，得220220x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则(2,2,1)n =r 因为AO BD ⊥，所以AO ⊥平面EFBD ，故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA =u u u r于是22222cos ,32212OA n OA n OA n ⋅<>===⋅++⋅u u u r ru u u r r u u u r r 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D --的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H 到点F （0，1）的距离与到直线l 1：y=﹣1的距离相等，∴点H 的轨迹是以点F （0，1）为焦点，直线l 1：y=﹣1为准线的抛物线∴点H 的轨迹方程为x 2=4y ．………2分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P （x 1，﹣1），切点C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．由214y x =，得'12y x =．∴直线PC ：111()2C y x x x +=-，又PC 过点C ，214C C y x =，∴2111111()242c c c c y x x x x x x +=-=-， ∴11122c c c y y x x +=-，即11102c c x x y -+=．同理11102D D x x y -+=， ∴直线CD 的方程为11102xx y -+=∴直线CD 过定点（0，1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1，﹣1）在直线CD 的方程为11102xx y -+=，得x1=1，直线CD 的方程为1102x y -+=．设l ：y+1=k （x ﹣1），与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ．联立y+1=k （x ﹣1）与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4A B x x k +=．44A B x x k =+ ∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴||||11||()||||||||PQ PQ PQ PA PB PA PB +=+111|()|1||1|Q A B x x x =-+-- 11|1|()|1||1|Q A B x x x =-+-- 242(1)21(1)(1)A B A B x x k k x x +-+=-•--- 5422215k k -=•=-∴||||||||PQ PQ PA PB +为定值，定值为2. ……… 12分 21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时， ()=1x f x e x '+-易知()f x '在R 上单调递增，且(0)0f '=，因此，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 …………………4分（Ⅱ）由条件可得()22x g x e ax a =+-，()2xg x e a '=+（i ）当0a =时，()0x g x e =>，()g x 无零点（ii ）当0a >时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增 (0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<，即12a >时，(0)120g a =-<，()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=，即12a =时，(0)0g =，()g x 有一个零点0 ③若120a ->，即102a <<时，21221()102a a a g e a --=-<，()g x 在21,02a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分（iii ）当0a <时，令()0g x '>，得ln(2)x a >-；令()0g x '<，得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减，在()ln(2),a -+∞单调递增，[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<，即202e a -<<时，()0g x >，()g x 无零点 ②若ln(2)20a --=，即22e a =-时，(2)0g =，()g x 有一个零点2 ③若ln(2)20a -->，即22e a <-时，(1)0g e =>，(ln(2))0g a -<，()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点； ………………10分设2()(1)x h x e x x =-≥，则()2x h x e x '=-，设()2x u x e x =-，则()2xu x e '=-，当1x ≥时，()220x u x e e '=-≥->，所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增，()(1)20h x h e ''≥=->，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，()(1)10h x h e ≥=->，即1x >时，2x e x >，故2()22g x x ax a >+-设()ln (1)k x x x x =-≥，则11()10x k x x x-'=-=≤，所以()k x 在[1,)+∞单调递减， ()(1)10k x k ≤=-<，即1x >时，ln x x < 因为22e a <-时，221a e ->>，所以ln(2)2a a -<-，又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->，()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点，故()g x 有两个零点综上，当22e a <-时，()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点，共有两个零点；当22e a =-时，()g x 有一个零点2；当202e a -<≤时，()g x 无零点；当102a <<时，()g x 在21,02a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点；当12a =时，()g x 有一个零点0；当12a >时，()g x 在(0,1)上有一个零点. ………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(Ⅰ) AB Q 为圆O 的一条直径； ,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆…………………4分解：(Ⅱ) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即(22AD =⋅，解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===，又AFB ADH ∆∆:，则DH AD BF AF=，得DH = 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，BH ==，故BDF ∆的外接圆半径为2．……………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++ 当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x y +取到最大值为6. ……10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f 由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ，解得21<x 或25>x .故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分（Ⅱ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++又∵2=-++≥-++mnm n m m nm n m ∴2)(≤x f . ∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。

河北省衡水中学2016届高三下学期第六次调研考试(A)数学(理)试题附详细解析必考经典试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数122ii+-的共轭复数是（）A．35i B．35i -C．iD．i-2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A．()2,+∞B．[)2,+∞C．{}[)12,+∞ D．()1,+∞3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（）A．24B．30C．36D．404．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．8?i >B．9?i >C．10?i >D．11?i >5．已知把函数()sin 3f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（）A．6x π=B．76x π=C．12x π=D．56x π=6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（）A．2B．3C．72D．527．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A．2218x x -=B．22163x x -=C．22172x x -=D．22154x x -=9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（）A．B．C．D．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．(),0-∞B．332,2⎛-∞- ⎝⎭C．()0,+∞D．(),1-∞-11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A．403πB．503πC．12πD．15π12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（）A．③④B．②③C．①④D．①②第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=- ，则111AB BC CAk k k ++=______．14．设曲线()1*n y xx N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为nx ，则20151201522015320152014log log log log x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1x g x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3nn n a a S n N +≠=+∈．（1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数）10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ．（1）求证：MN PE ；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OAB∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠．（l）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e xx x+≤．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽；（2）求CE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数122ii+-的共轭复数是（）A．35i B．35i -C．i D．i -【答案】D 【解析】试题分析：由于122i i +-i ii ii =-+=)2()21(,因此应选D．考点：复数的运算．2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A．()2,+∞B．[)2,+∞C．{}[)12,+∞ D．()1,+∞【答案】C考点：二次不等式的解法和集合的运算．3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（）A．24B．30C．36D．40【答案】C 【解析】试题分析：因120248=+k k ,故36120103,2=⨯=k ,应选C.考点：抽样方法及计算．4．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．8?i >B．9?i >C．10?i >D．11?i >【答案】C 【解析】试题分析：从所给算法流程可以看出当10=i 时仍在运算,当1011>=i 时运算就结束了,所以应选C.考点：算法流程图的识读和理解．5．已知把函数()sin 3f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（）A．6x π=B．76x π=C．12x π=D．56x π=【答案】D 【解析】试题分析：因()sin 3f x x x =+)3sin(2π+=x ,向右平移4π个单位后变为12sin(243sin(2)(πππ+=-+=x x x f ,再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到)1221sin(2)(π+=x x g ,应选D.考点：三角函数的图象和性质．6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（）A．2B．3C．72D．52【答案】D考点：等比数列的前n 项和与函数的极值.7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【答案】A 【解析】试题分析：先将穿红衣服的两人排定有22A 种排法；再将穿黄衣服的两人插空有23A 种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有48462=⨯⨯种排法,应选A.考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A．2218x x -=B．22163x x -=C．22172x x -=D．22154x x -=【答案】D 【解析】考点：双曲线的几何性质．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含c b a ,,的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的b a ,的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出b a ,的值.9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】试题分析：侧视图就是左视图,也就是从几何体的左侧向右看,几何体所投射到平面上所得到的图形,由于EF 被遮挡故应画虚线,所以应选D.考点：三视图的识读和理解．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．(),0-∞B．32,2⎛-∞- ⎝⎭C．()0,+∞D．(),1-∞-【答案】B考点：导数在研究函数的零点中的运用．11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A．403πB．503πC．12πD．15π【答案】A 【解析】试题分析：设球心为O ,ABC ∆外接圆的圆心为1O ,外接圆的半径为r ,则⊥1OO 平面ABC ,由于PA ⊥平面ABC ,因此121//1=PA OO ,在ABC ∆中,由余弦定理得7)21(21241=-⨯⨯⨯-+=BC ,所以r 2120sin 7=,即37=r .由此可得310)37(122=+=R ,所以球的面积是340π=S ,应选A.考点：球的几何性质与表面积的计算．【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形ABC ∆的外接圆的半径37=r ,再借助PA ⊥平面ABC ,球心O 与ABC ∆的外接圆的圆心1O 的连线也垂直于ABC ∆所在的平面,从而确定球心O 与1,,O A P 共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（）A．③④B．②③C．①④D．①②【答案】A 【解析】试题分析：若x x f x 2log )(,0=>.当0log 2>x ,即1>x 时,01)(log log ))((22=+=x x f f ,解得2=x ；当0log 2≤x ,即10≤<x 时,011)(log ))((2=++=x k x f f ,当0>k ,解得122<=-kx 适合；当0<k ,解得122>=-kx 不适合.若1)(,0+=≤kx x f x ,若01<+kx ,则011))((2=+++=k x k x f f ,即022=++k x k ,当22,0kk x k +-=>合适,0<k 时不合适；若01>+kx ,则01)1(log ))((2=++=kx x f f ,即211=+kx 也即kx 21-=,当0>k 时适合；当0<k 不合适.因此当0>k 时有四个根k k k k21,2,2,222-+--；当0<k 只有一个根2=x ,应选A.考点：函数的零点和分类整合思想．【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量x 的分类讨论,建立了关于函数)(x f 的方程,再通过对参数k 的分类讨论,求解出方程01))((=+x f f 的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程01))((=+x f f ,如何进行分类整合.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=- ，则111AB BC CAk k k ++=______．【答案】0【解析】试题分析：设)0,2(),,(),,(),,(332211pF y x C y x B y x A ,由FA FB FC +=- 可得0321=++y y y .因2112122y y p x x y y k AB +=--=,故312y y p k AC +=,322y y pk BC +=,则111AB BC CA k k k ++=233112222y y y y y y p p p+++++0=.考点：抛物线的几何性质．14．设曲线()1*n y xx N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为nx ，则20151201522015320152014log log log log x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】1-考点：导数的几何意义．15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．【答案】21【解析】试题分析：由cos 2cos 22cos 2A B C +=得C B A 222sin 2sin sin =+,即2222c b a =+.因为ab c b a 22222≥=+,即12≥ab c ,所以2122cos 2222≥=-+=ab c ab c b a C ,即C cos 的最小值为21.考点：余弦定理和基本不等式的运用．【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件cos 2cos 22cos 2A B C +=与cos C 的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为C B A 222sin 2sin sin =+,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式2222c b a =+.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出cos C 的最小值.16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1xg x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______．【答案】3考点：导函数的几何意义．【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数m 的值.求解时依据题设条件先对函数()ln 1x g x e x x =+-+和xx g x F )()(=求导,建立不等式组,求参数m 的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数m 的值进行逐一检验,最终获得答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3nn n a a S n N +≠=+∈．（1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)()()+∞-,33,9 .【解析】（2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，()()1211113233223n n n n n n n a S S a a ----=-=-⨯+--⨯+-()2113223n n a --=-⨯+⨯．…………8分若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立．当2n ≥时，()()1211132233223n n n n a a --+-⨯+⨯>-⨯+⨯，则2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对*2,n n N ≥∈恒成立，则19a >-；…………………………………………………………………………………………………10分又2113a a a =+>所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9 考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用．18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数）10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．【答案】(1)汽车A 选择公路1，汽车B 选择公路2；(2)汽车B 为生产商获得毛利润更大．.【解析】试题分析：(1)依据题设条件计算概率,通过比较分析求解；(2)借助题设条件运用数学期望的大小分析推证.试题解析:（1）频率分布表，如下：所用的时间（天数）10111213通过公路1的频数0.20.40.20.2通过公路2的频数0.10.40.40.1设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；1B 、2B 分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；()0.20.40.6P A =+=，()20.10.40.5P A =+=，()10.20.40.20.8P B =++=，()20.10.40.40.9P B =++=，所以汽车A 选择公路1，汽车B 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：X 42403836P0.20.40.20.2()420.2400.4380.2360.239.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．∴表示汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）．设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =．则Y 的分布列如下：X 42.440.438.436.4P0.10.40.40.1()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用．19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ．（1）求证：MN PE ；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．【答案】(1)证明见解析；(2)1λ=-.【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立空间直角坐标系推证；(2)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解.试题解析:（2）()10,,0,1,,22MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面CMN 的法向量()1111,,x y z =n ，则110,0MN CM ⋅=⋅= n n，可取1⎛= ⎝n ，又∵()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，由0101cos θ⋅=⋅n n n n ，以及45θ=︒可得22=，即22440λλ+-=，解得1λ=（负值舍去），故1λ=-．考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用．【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出1λ=.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OAB ∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．【答案】(1)2214x y +=；(2)5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】试题分析：(1)依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立函数求解.试题解析:（1）连结QF ，根据题意，=QP QF ，则|4|QE QF QE QP EF +=+=>=，故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为()222210x x a b a b +=>>，可知2,a c ===，则1b =，3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．4分（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->………………………………………………………6分∵12,,k k k 构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即：()2120km x x m ++=由韦达定理代入化简得：214k =．∵0k >，∴12k =………………………………………………8分此时()21620m∆=->，即(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠从而()(m ∈ ．故1212S AB d x =⋅=-⋅m m ==10分又22221212144x x y y +=+=则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=当且仅当1m =±时等号成立．综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用．21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠．（l）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤．【答案】(1)若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞，若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；(2)最大值为0，最小值为1ln 2-+；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)依据题设条件依据导数和函数的单调性的关系分类求解；(2)借助题设条件运用导数求解；(3)运用导数的知识及最大最小值进行推证.（2）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--，由（1）可知，()11ln f x x x =--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,2上单调递减，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=；而1112ln 1ln 222f ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭；()1121ln 2ln 222f =--=-，()()1132ln 21ln 22ln 2 1.520.70.10222f f ⎛⎫-=---+=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（3）由（2）可知，函数()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()f x 在()0,+∞上的最大值为()111ln10f =--=，即()0f x ≤．故有11ln 0x x --≤恒成立，所以11ln x x -≤，故12ln 1x x-≤+，即21ln e x x x+≤．考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽；（2）求CE 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)4CE =.【解析】试题分析：(1)依据题设条件构造等角,探寻相似三角形的条件推证；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理求解.试题解析:（1）因为BD CE ，所以DBF BFC ∠=∠，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以CBF BDF ∠=∠，所以BDF FBC ∆∆∽．考点：圆的有关知识的及运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)4350x y -+=，()222x a y a -+=；(2)59a ≤-或5a ≥.【解析】试题分析：(1)依据题设条件消参化直角坐标方程,再将极坐标化为直角坐标；(2)借助题设条件运用点到直线的距离公式建立不等式求解.试题解析:（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t -⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，……………………………………………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒=又222,cos x y x ρρθ=+=所以，圆C 的标准方程为()222x a y a -+=，…………………………………………………………5分考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．【答案】(1)54；(2)163+.【解析】试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解.试题解析:（1）由绝对值的性质得()()55522f x x x a x x a a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭，………………3分所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a 的最大值为54．…………………………………………………………………………………5分（2）由于,,0x y z >，所以()32132123x y z x y z x y z ⎛⎫++=++⋅++ ⎪⎝⎭2232123323163x y z x y z ≥=+=+当且仅当23321x y z x y z==，即::3x y z =时，等号成立．……………………………………8分∴321x y z++的最小值为16+．…………………………………………………………………10分考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．。