高考数学理(北师大版)大一轮总复习练习：6-5合情推理与演绎推理(含答案解析)

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高考数学(理科)一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案

高考数学（理科）一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案37 合情推理与演绎推理导学目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．自主梳理自我检测．观察′＝2x，′＝4x3，′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f满足f＝f，记g为f的导函数，则g等于A．fB．－fc．gD．－g2．给出下面类比推理命题：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈c，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a ＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈c，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是A．0B．1c．2D．33．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．5．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．探究点一归纳推理例1 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移 1 观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二类比推理例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有paha＋pbhb＋pchc＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt△ABc中，若∠c＝90°，Ac＝b，Bc ＝a，则△ABc的外接圆半径r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有_______________________________________________．探究点三演绎推理例3 在锐角三角形ABc中，AD⊥Bc，BE⊥Ac，D、E是垂足．求证：AB的中点m到D、E的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．一、选择题．定义A*B，B*c，c*D，D*A的运算分别对应下图中的、、、，那么下图中的、所对应的运算结果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*cc．B*c，A*DD．c*D，A*D2．设f＝1＋x1－x，又记f1＝f，fk＋1＝f)，k＝1,2，…，则fXX等于A．－1xB．xc.x－1x＋1D.1＋x1－x3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a•b＝b•a”；②“t＝mt＋nt”类比得到“•c＝a•c＋b•c”；③“t＝m”类比得到“•c＝a•”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a•p＝x•p⇒a＝x”；⑤“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a•b|＝|a|•|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a•cb•c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是A．1B．2c．3D．44．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A．289B．1024c．1225D．13785．已知整数的数对如下：，，，，，，，，，，，，…则第60个数对是A．B．c．D．二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________ _____________________．7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：8．观察下列等式＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为___________________________________________________ __．三、解答题9．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋1＋2＝0．计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．10．已知函数f＝－aax＋a，证明：函数y＝f的图象关于点12，－12对称；求f＋f＋f＋f＋f＋f的值．1．如图1，若射线om，oN上分别存在点m1，m2与点N1，N2，则＝om1om2•oN1oN2；如图2，若不在同一平面内的射线oP，oQ和oR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．学案37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊自我检测．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g＝－g．] 2．c [①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．]3．1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除大前提2100＋1是奇数小前提所以2100＋1不能被2整除结论课堂活动区例1 解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{an}的通项公式为an＝2n＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1an＝1＋×12＝12n＋12，所以通项公式an＝2n＋1.变式迁移1 解猜想sin2α＋cos2＋sinαcos＝34.证明如下：左边＝sin2α＋cos[cos＋sinα]＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα＋12sinα＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34＝右边．例2 解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.则有paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.证明如下：paha＝13S△BcD•pa13S△BcD•ha＝VP—BcDVA—BcD，同理有pbhb＝VP—cDAVB—cDA，pchc＝VP—BDAVc—BDA，pdhd＝VP—ABcVD—ABc，VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABc＝VA—BcD，∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABcVA—BcD＝1.变式迁移2 在三棱锥A—BcD中，若AB、Ac、AD两两互相垂直，且AB＝a，Ac＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝a2＋b2＋c22例3 解题导引在演绎推理中，只有前提和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABD中，AD⊥Bc，即∠ADB＝90°，——小前提所以△ADB是直角三角形．——结论因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提而m是Rt△ADB斜边AB的中点，Dm是斜边上的中线，——小前提所以Dm＝12AB.——结论同理Em＝12AB，所以Dm＝Em.变式迁移3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．课后练习区．B [由图得A表示|，B表示□，c表示—，D表示○，故图表示B*D和A*c.]2．A [计算f2＝f1＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x ＝－1x，f3＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5＝f1＝1＋x1－x，归纳得f4k＋i＝fi，k∈N*，i＝1,2,3,4.∴fXX＝f2＝－1x.]3．B [只有①、②对，其余错误，故选B.]4．c [设图中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝nn＋12.而图中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1225满足a49＝49×502＝b35＝352＝1225.]5．D [观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn ＋12＝60⇒n＝120，n∈Z，n＝10时，nn＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是，，，，，∴第60个数对是．]6．空间正四面体的内切球的半径是高的14解析利用体积分割可证明．7．n8．n＋＋…＋＝2解析∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋＋…＋＝2.9．解当n＝1时，S1＝a1＝－23.当n＝2时，1S2＝－2－S1＝－43，∴S2＝－34.当n＝3时，1S3＝－2－S2＝－54，∴S3＝－45.当n＝4时，1S4＝－2－S3＝－65，∴S4＝－56.猜想：Sn＝－n＋1n＋2．0．证明函数f的定义域为R，任取一点，它关于点12，－12对称的点的坐标为．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a•axa＋a•ax＝－axax＋a，∴－1－y ＝f．即函数y＝f的图象关于点12，－12对称．解由有－1－f＝f，即f＋f＝－1.∴f＋f＝－1，f＋f＝－1，f＋f＝－1，则f＋f＋f＋f＋f＋f＝－3.1．解类似的结论为：Vo—P1Q1R1Vo—P2Q2R2＝oP1oP2•oQ1oQ2•oR1oR2.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2m2⊥平面P2oQ2于m2，连接om2.过R1在平面oR2m2作R1m1∥R2m2交om2于m1，则R1m1⊥平面P2oQ2.由Vo—P1Q1R1＝13S△P1oQ1•R1m1＝13•12oP1•oQ1•sin∠P1oQ1•R1m1＝16oP1•oQ1•R1m1•sin∠P1oQ1，同理，Vo—P2Q2R2＝16oP2•oQ2•R2m2•sin∠P2oQ2.所以＝oP1•oQ1•R1m1oP2•oQ2•R2m2.由平面几何知识可得R1m1R2m2＝oR1oR2.所以＝oP1•oQ1•oR1oP2•oQ2•oR2.所以结论正确．。

【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：6-5合情推理与演绎推理(含答案解析)

配餐作业(三十七) 合情推理与演绎推理一、选择题1．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n 。

由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝xcosx 满足f(－x)＝－f(x)对∀ x ∈R 恒成立，推断：f(x)＝xcosx 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝＋2n －2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确。

因此选A 。

答案：A2．(2016·宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ∈N *，n≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：A 项中两条直线平行，同旁内角互补(大前提)，∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角(小前提)，∠A ＋∠B ＝180°(结论)，是从一般到特殊的推理，是演绎推理，而B ，D 是归纳推理，C 是类比推理。

答案：A3．(2016·滁州模拟)若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2＞0，那么这个演绎推理出错在( )A ．大前提B ．小前提C ．推理过程D ．没有出错解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确。

北师大版高考文科数学考点训练-合情推理与演绎推理练习试题及答案解析

合情推理与演绎推理考点一类比推理1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )A.4πB.8πC.16πD.32π2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为( )A.3B.5C.D.3【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,把y=h代入椭圆+=1可得x=±,所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2=16π.2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=,则所求距离d==5.类比推理的分类考点二演绎推理【典例】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N+).(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{a n}的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1) 猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2) 证明数列是等差数列证明-=常数【解析】(1)因为数列{a n}中,a1=1,a n+1=,a2=,a3=,a4=,猜想:a n=.(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若a n+1-a n=d,d是常数,则{a n}是等差数列,…大前提又因为-=,为常数;…小前提所以数列是等差数列.…结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2-S n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列.【解析】(1)由a n=2-S n,当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,…由此归纳推理得a n=(n∈N*).(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若=p,p是非零常数,则{a n}是等比数列;因为通项公式a n=,又=;所以通项公式a n=的数列{a n}是等比数列.。

北师大版高三数学(理科)一轮复习12.3合情推理与演绎推理学案

第3讲合情推理与演绎推理1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×(教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：选C.由a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n －1，则 a 2＝a 1＋2×2－1＝4；a 3＝a 2＋2×3－1＝9； a 4＝a 3＋2×4－1＝16，所以a n ＝n 2.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．答案：②在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)与数字(数列)有关的等式的推理； (2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理．[典例引领]角度一与数字(数列)有关的等式的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 【答案】 1 051角度二与不等式(式子)有关的推理(2016·高考山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)角度三与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】 D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[通关练习]1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是()11 112 1133 11464 1…11045…4510 1A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．＋1)2．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．答案：3×2n －3(n ∈N *)类比推理[典例引领]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】如题图所示，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P -DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2 A ＋cos 2 B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c2＝1. 于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.[通关练习]1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2>0⇒z 1>z 2”．其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a ，b ，c ，d 都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．2．(2018·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e ，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A ，C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线的离心率为e ，则有________________．解析：在双曲线中，设△ABC 的外接圆的半径为r ，则|AB |＝2r sin C ，|AC |＝2r sin B ，|BC |＝2r sin A ，则由双曲线的定义得||BA |－|BC ||＝2a ，|AC |＝2c ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝|AC |||BA |－|BC ||＝sin B|sin A －sin C |，即|sin A －sin C |sin B ＝1e .答案：|sin A －sin C |sin B ＝1e演绎推理[典例引领]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．易错防范(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.(a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．3．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q 2 B ．q 2 C.qD.n q解析：选C.由题意知，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝b n1q （n －1）n2，所以nT n ＝b 1qn －12，所以等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.4．(2018·陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65D ．66解析：选B.第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， …故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.5．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：选C.1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 6．在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD7．(2018·陕西咸阳模拟)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）22.答案：1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）228．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb2＝19．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，因为y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12…其中表n (n ＝1，2，3，…)有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ，解得e ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去. 2．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人D ．5人解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A ，B 两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3. 3．考察等式：C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C r n ，(*)其中n ，m ，r ∈N *，r ≤m <n 且r ≤n －m .某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品．现从中随机取出r 件产品，记事件A k ＝{取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则P (A k )＝C k m C r －k n －mC rn，k ＝0，1，…，r .显然A 0，A 1，…，A r 为互斥事件，且A 0∪A 1∪…∪A r ＝Ω(必然事件)，因此1＝P (Ω)＝P (A 0)＋P (A 1)＋…＋P (A r )＝C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m C rn，所以C 0m C rn －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn ，即等式(*)成立．对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一．但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断： ①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确．试写出所有正确判断的序号：____________．解析：显然公式C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn 是正确的，该公式的证明过程利用了构造概率事件的方法，其列举了该事件发生的所有的互斥事件，且其和事件为必然事件，其概率之和为1，故其证明过程是正确的，正确判断的序号为①③. 答案：①③4．(2018·湖北八校联考模拟) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．解析：椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －13π×b 2a )＝43π×b 2a .答案：43π×b 2a5．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：结论：在四面体V -BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明如下：在四面体O -BCD 与V -BCD 中，设其高分别为h 1，h ，则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h113S △BCD·h ＝V O BCD V V BCD. 同理，OF DF ＝V O VBC V D VBC ；OG BG ＝V O VCD V B VCD ；OH CH ＝V O VBDV C VBD ，所以OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O BCD ＋V O VBC ＋V O VCD ＋V O VBDV V BCD＝V V BCDV V BCD＝1. 6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数y ＝f (x )(x ∈D )，对任意x ，y ，x ＋y2∈D 均满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]，当且仅当x ＝y 时等号成立．(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f (x )∈M ，试比较f (3)＋f (5)与2f (4)的大小； (2)设函数g (x )＝－x 2，求证：g (x )∈M . 解：(1)对于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]，令x ＝3，y ＝5得f (3)＋f (5)≤2f (4)． (2)证明：g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－12[g (x 1)＋g (x 2)] ＝－（x 1＋x 2）24＋x 21＋x 222＝（x 1－x 2）24≥0，所以g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12[g (x 1)＋g (x 2)]，所以g (x )∈M .。

高考数学理科一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案

合用精选文件资料分享高考数学（理科）一复合情推理与演推理教课方案附答案教课方案 37 合情推理与演推理学目： 1. 认识合情推理的含，能利用和比等行的推理，认识合情推理在数学中的作用.2. 认识演推理的重要性，掌握演推理的基本模式，并能运用它行一些推理.3.认识合情推理和演推理之的系和差异．自主梳理自我1．(2010?山 ) 察 (x2) ′＝ 2x，(x4) ′＝ 4x3，(cos x) ′＝－ sin x，由推理可得：若定在 R上的函数 f(x)足 f( －x) ＝f(x) ，g(x) f(x)的函数， g( －x) 等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－ g(x) 2．(2010?珠海 ) 出下边比推理命 ( 此中 Q有理数集， R数集， C复数集 ) ：①“若 a，b∈R， a－b＝0? a ＝b” 比推出“若 a，b∈C， a－b＝0? a＝b”；②“若 a，b，c，d∈R，复数 a＋bi ＝c＋di ? a＝ c，b＝d” 比推出“若 a，b，c，d∈Q， a＋b2＝c＋d2? a＝c，b＝d”；③“若 a，b∈R， a－ b>0? a>b” 比推出“若 a，b∈C， a－b>0? a>b”．此中比正确的个数是 () A ．0 B．1 C．2 D．3 3 ．(2009?江 ) 在平面上，若两个正三角形的比 1∶2，它的面比 1∶4，似地，在空中，若两个正四周体的棱比 1∶2，它的体比 ________． 4 ．(2010?西) 察以低等式： 13＋23＝32,13 ＋23＋33＝62,13 ＋23＋33＋43＝102，⋯，依据上述律，第五个等式． 5 ．(2011?州月考 ) 全部奇数都不可以被 2 整除， 2100＋1 是奇数，所以 2100＋1 不可以被 2 整除，其演推理的“三段”的形式．研究点一推理例 1 在数列 {an} 中，a1＝ 1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想个数列的通公式，个猜想正确？明理由．式迁徙 1察：① sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin26 °＋ cos236°＋ sin 6 °cos 36 °＝ 34. 由上边两的构律，你能否提出一个猜想？并明你的猜想．研究点二比推理例 2 (2011?川月考 ) 在平面内，可以用面法明下边的：从三角形内部任意一点，向各引垂，其长度分别为 pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有 paha＋pbhb＋pchc＝1. 请你运用类比的方法将此结论推行到四周体中并证明你的结论．变式迁徙 2 在 Rt△ABC中，若∠ C＝90°， AC＝b，BC＝a，则△ ABC的外接圆半径 r ＝a2＋b22，将此结论类比到空间有．研究点三演绎推理例3在锐角三角形ABC中， AD⊥BC，BE⊥AC，D、E 是垂足．求证： AB的中点 M到 D、E的距离相等．变式迁徙 3指出对结论“已知 2 和 3 是无理数，证明2＋3 是无理数”的下述证明能否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而 2 与 3 都是无理数，∴ 2＋ 3 也是无理数． 1 ．合情推理是指“符合情理”的推理，数学研究中，获取一个新结论以前，合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理常常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从详尽问题出发? D→观察、解析、比较、联想? D→概括、类比 ? D→提出猜想 . 一般来说，由合情推理所获取的结论，但是是一种猜想，其靠谱性还需进一步证明． 2 ．概括推理与类比推理都属合情推理：(1) 概括推理：由某类事物的部分对象拥有某些特色，推出该类事物的全部对象都拥有这些特色的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为概括推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理称为类比推理，它是一种由特别到特其余推理． 3 ．从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，把这类推理称为演绎推理，也就是由一般到特其余推理，三段论是演绎推理的一般模式，包含大前提，小前提，结论． ( 满分： 75 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分) 1 ．(2011?福建厦门华侨中学模拟) 定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应以以下图中的 (1) 、(2) 、(3) 、(4) ，那么以以下图中的 (A) 、(B) 所对应的运算结果可能是() A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 2．(2011?厦门模拟 )设 f(x) ＝1＋x1－x，又记 f1(x) ＝f(x) ，fk ＋1(x) ＝f(fk(x)) ，k＝1,2 ，⋯， f2 010(x)等于() A ．－ 1x B ．x C.x －1x＋＋x1－x 3．由代数式的乘法法比推向量的数目的运算法：①“ mn＝nm” 比获取“ a?b＝b?a”；②“ (m＋n)t ＝mt＋nt ” 比获取“ (a ＋b)?c ＝a?c＋b?c”；③“ (m?n)t＝m(n?t)” 比获取“(a?b)?c ＝a?(b?c) ”；④“ t ≠0，mt＝xt ? m＝x” 比获取“ p≠0，a?p＝x?p? a＝x”；⑤“ |m?n|＝|m|?|n|” 比获取“ |a?b|＝|a|?|b|”；⑥“ acbc＝ab” 比获取“ a?cb?c＝ab”．以上的式子中，比获取的正确的个数是() A ．1 B．2 C．3 D．4 4．(2009?湖北 ) 古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数，比方：他研究 (1) 中的 1,3,6,10 ，⋯，因为些数能表示成三角形，将其称三角形数；似的，称 (2) 中的 1,4,9,16 ，⋯的数正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1 024 C ．1 225 D ．1 378 5 ．已知整数的数如下： (1,1)，(1,2) ，(2,1) ，(1,3) ，(2,2) ，(3,1) ，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1) ，(1,5) ，(2,4) ，⋯第 60 个数是 ()A．(3,8) B．(4,7)C．(4,8) D．(5,7) 二、填空 ( 每小 4 分，共 12分) 6．已知正三角形内切的半径是高的 13，把个推行到空正四周体，似的是___________________________________________________________ _____________． 7 ．(2011?广深圳高中学模) 定一种运算“* ”：于自然数 n 足以下运算性： 8 ．(2011?西) 察以低等式 1 ＝1 2 ＋3＋4＝9 3 ＋4＋5＋6＋7＝25 4 ＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ⋯照此律，第n 个等式．三、解答 ( 共 38 分) 9 ．（12 分）已知数列 {an} 的前 n 和 Sn，a1＝－23，且 Sn＋1Sn＋1＋2＝0(n ≥2) ．算 S1，S2，S3，S4，并猜想Sn 的表达式．10．(12 分)(2011? 杭州研 ) 已知函数 f(x) ＝－ aax＋a (a>0 且 a≠1) ，(1)明：函数 y＝f(x) 的象关于点 12，－12 称； (2) 求 f( －2)＋f( －1) ＋f(0) ＋f(1) ＋f(2) ＋f(3) 的． 11 ．(14 分) 如 1，若射 OM，ON上分存在点 M1，M2与点 N1，N2，＝OM1OM2?ON1ON2；如2，若不在同一平面内的射 OP，OQ和 OR上分存在点 P1，P2，点 Q1，Q2和点 R1，R2，似的是什么？个正确？明原由．教课方案37合情推理与演推理自主梳理推理全部象部分个比推理些特色特别到特别①一般原理②特别状况③特别状况一般特别自我 1 ．D[ 由所函数及其数知，偶函数的函数奇函数．所以当f(x)是偶函数，其函数奇函数，故 g( －x) ＝－ g(x) ．] 2．C[ ①②正确，③ ．因两个复数假如不全部是数，不可以比大小．] 3．1∶8 解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它的面之比是相似比的平方．同理，两个正四周体是两个相似几何体，体之比相似比的立方，所以它的体比 1∶8. 4 ．13＋23＋ 33＋43＋53＋63＝212 解析由前三个式子可以得出以下律：每个式子等号的左是从 1 开始的正整数的立方和，且个数挨次多 1，等号的右是一个正整数的平方，后一个正整数挨次比前一个大 3,4 ，⋯，所以，第五个等式13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 5．全部奇数都不可以被 2 整除大前提2100 ＋1 是奇数小前提所以 2100＋1 不可以被 2 整除堂活区例 1 解引分完满和不完满，由推理所得的然未必是靠谱的，但它由特别到一般、由详尽到抽象的功能，科学的是十分合用的，察、，有限的料作整理，提出律性的法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an} 中， a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23， a3 ＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，⋯，所以猜想 {an} 的通公式 an＝2n＋1. 个猜想是正确的，明以下：因 a1＝1，an＋1＝2an2＋a n，所以 1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即 1an＋1－1an＝12，所以数列 1an 是以 1a1＝1 首， 12 公差的等差数列，所以 1an＝1＋(n －1) ×12＝ 12n＋12，所以通公式 an＝2n＋1. 式迁徙 1解猜想 sin2 α＋cos2( α＋30°) ＋ sin αcos( α＋30°) ＝ 34. 明以下：左＝ sin2 α＋cos( α＋30°)[cos( α＋30°) ＋ sin α] ＝sin2 α＋32cos α －12sin α32cos α＋12sin α＝sin2 α＋34cos2α－14sin2 α＝34＝右侧．例 2 解题导引类比推理是依据两个对象有一部分属性近似，推出这两个对象的其余属性亦近似的一种推理方法，比方我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必然清楚类比其实不是论证，它可以帮助我们发现真谛．类比推理应从详尽问题出发，经过观察、解析、联想进行比较、概括、提出猜想．解类比：从四周体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为 pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为 ha，hb，hc，hd. 则有 paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1. 证明以下：paha＝13S△BCD?pa13S△BCD?ha＝VP―BCDVA―BCD，同理有 pbhb＝VP―CDAVB―CDA， pchc＝VP―BDAVC―BDA， pdhd＝VP―ABCVD―ABC，VP―BCD＋VP―CDA＋VP―BDA＋VP―ABC＝VA―BCD，∴paha＋ pbhb＋pchc＋pdhd ＝VP―BCD＋VP―CDA＋VP―BDA＋VP―ABCVA―BCD＝ 1.变式迁徙 2 在三棱锥 A―BCD中，若 AB、AC、AD两两相互垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径 R＝a2＋b2＋c22 例3解题导引在演绎推理中，只有前提( 大前提、小前提) 和推理形式都是正确的，结论才是正确的，不然所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前说起两者之间的逻辑关系．证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，――大前提在△ ABD 中，AD⊥BC，即∠ ADB＝90°，――小前提所以△ ADB是直角三角形．――结论 (2) 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，――大前提而 M是 Rt△ADB斜边 AB的中点， DM是斜边上的中线，――小前提所以 DM＝12AB.――结论同理 EM＝12AB，所以 DM＝E M. 变式迁徙 3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不用然是无理数，所以原理的真实性仍没法判断．课后练习区1．B[ 由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□， C表示―， D表示○，故图 (A)(B) 表示 B*D 和 A*C.] 2．A [ 计算 f2(x) ＝f1 ＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－ 1x， f3(x) ＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1， f4(x) ＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x) ＝f1(x) ＝1＋x1－x，概括得 f4k ＋i(x) ＝fi(x) ，k∈N*， i ＝1,2,3,4. ∴f2 010(x) ＝ f2(x) ＝－ 1x.] 3 ．B [ 只有①、②对，其余，故 B.] 4 ．C [ (1) 中数列 1,3,6,10 ，⋯的通公式 an， a2 －a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，⋯， an－an－1＝n. 故 an－a1＝2＋3＋4＋⋯＋ n，∴an＝＋而 (2) 中数列的通公式 bn ＝n2，所以所的中只有 1 225 足 a49＝49×502＝ b35＝352＝1 225.] 5．D [ 察可知横坐和坐之和2 的数有 1 个，和3 的数有 2 个，和4 的数有 3 个，和5 的数有 4个，挨次推和 n＋1 的数有 n 个，多个数的排序是依据横坐挨次增大的序来排的，由＋＝60? n(n ＋1) ＝120，n∈Z， n＝10 ，＋＝55 个数，差 5 个数，且 5 个数的横、坐之和 12，它挨次是 (1,11) ，(2,10)，(3,9)，(4,8) ，(5,7) ，∴第 60 个数是 (5,7) ．] 6 ．空正四周体的内切球的半径是高的 14 解析利用体切割可明． 7 ．n 8．n ＋(n ＋1) ＋⋯＋ (3n －2) ＝(2n －1)2解析∵1＝12,2 ＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第 n 个等式 n＋(n ＋1) ＋⋯＋ (3n－2)＝(2n －1)2. 9．解当 n＝1 ，S1＝a1＝－ 23.(2 分) 当 n＝2， 1S2＝－ 2－S1＝－ 43，∴S2＝－ 34.(4 分)当n＝3，1S3＝－2－S2＝－ 54，∴S3＝－ 45.(6 分) 当 n＝4 ， 1S4＝－ 2－S3＝－65，∴S4＝－ 56.(8 分) 猜想：Sn＝－ n＋1n＋2 (n ∈N*) ．(12 分) 10．(1) 明函数f(x)的定域R，任取一点(x，y)，它关于点12，－ 12 称的点的坐 (1 －x，－ 1－y) ．(2 分) 由已知得 y＝－a ax＋a，－ 1－y＝－ 1＋aax＋a＝－ axax＋a，(4 分) f(1 －x)＝－ aa1－x＋a＝－ aaax＋a ＝－ a?axa＋a?ax＝－ axax＋a，∴－ 1－y＝f(1 －x) ．即函数 y＝f(x) 的象关于点 12，－12 称．(6 分)(2) 解由(1) 有－ 1－f(x) ＝f(1 －x) ，即 f(x) ＋f(1 －x) ＝－ 1.(9分) ∴f( － 2) ＋f(3) ＝－ 1，f( －1) ＋f(2) ＝－ 1， f(0)＋f(1)＝－1，f( －2) ＋f( －1) ＋f(0) ＋f(1) ＋f(2) ＋f(3) ＝－ 3. (12 分) 11．解似的： VO―P1Q1R1VO―P2Q2R2＝OP1OP2?OQ1OQ2?OR1OR2(4.分) 个是正确的，明以下：如， R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2于 M2，接 OM2. R1在平面 OR2M2作 R1M1∥R2M2交 OM2于 M1，R1M1⊥平面 P2OQ2. 由 VO―P1Q1R1＝13S△P1OQ1?R1M1＝13?12OP1?OQ1?sin∠P1OQ1?R1M1＝16OP1?OQ1?R1M1?sin∠P1OQ1，(8分) 同理， VO―P2Q2R2＝16OP2?OQ2?R2M2?sin∠P2OQ2. 所以＝OP1?OQ1?R1M1OP2?OQ2?R2M2分.(10)由平面几何知识可得R1M1R2M2＝O R1OR2.(12分) 所以＝OP1?OQ1?OR1OP2?OQ2?OR2所以.结论正确． (14 分)。

高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题

课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)．解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。

高三文科数学6.5《合情推理与演绎推理含答案》复习课件2019届高考一轮.ppt

三角形数 N(n,3)＝12n2＋21n，正方形数 N(n,4)＝n2，五边形数 N(n,5)＝32n2－21n，六边形数 N(n,6)＝2n2－n， …
可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)＝________.
【解析】 (1)根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为 a，则第二层的三个数为 a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为 a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a ＋18，
「基础小题练一练」
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，
猜想 an 的表达式是( )
A．an＝3n－1
B．an＝4n－3
C．an＝n2
D．an＝3n－1
解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2.
答案：C
2．(2017 届重庆一诊)某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为( )
A．21
B．34
C．52
D．55
解析：因为 2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，
所以第 10 年树的分枝数为 21＋34＝55.
答案：D
3．(2016 年全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数学之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：在△ABC 中作 EH⊥AC 于 H， EF⊥BC 于 F，则 EH＝EF，所以ABCC＝SS△ △ABECCE＝EABE. 根据面积类比体积，长度类比面积可得， VVBA－－CCDDEE＝SS△ △ABCCDD即AEEB＝SS△ △ABCCDD.

高考数学大一轮复习第六章不等式与推理证明 6.5 合情推理与演绎推理课时规范训练理北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第六章不等式与推理证明 6.5 合情推理与演绎推理课时规范训练理北师大版[A 级基础演练]1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．答案：C2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}a n 的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N ＋，(n ＋1)2>2n解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{}a n 是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．答案：A3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：C 4．观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．解析：由前三个式子观察归纳可得结论．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)5．(2016·深圳模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：本题考查类比推理知识．可取特殊情况研究，当将一个正方体的一个顶点垂直放在另一个正方体的中心时，易知两正方体的重叠部分占整个正方体的18，故其体积为a38.答案：a 386．(2016·陕西质量检测)观察下列等式：1＝1,1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 27．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．(1)求第n 行实心圆点个数与第n －1，n －2行实心圆点个数的关系； (2)求第11行的实心圆点的个数．解：(1)设第n 行实心圆点有a n 个，空心圆点有b n 个，由树形图的生长规律可得⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝a n －1，a n ＝a n －1＋b n －1，∴a n ＝a n －1＋b n －1＝a n －1＋a n －2，即第n 行实心圆点个数等于第n －1行与第n －2行实心圆点个数之和．(2)由(1)可得数列{a n }为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数是该数列的第11项55.8．已知等差数列{a n }的公差为d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳S n ，T n 的大小规律．解：(1)S n ＝5n ＋n n －12×2＝n (n ＋4)．(2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴S 1＝5，S 2＝12，S 3＝21，S 4＝32，S 5＝45，T 1＝5，T 2＝18，T 3＝39，T 4＝68，T 5＝105.由此可知S 1＝T 1，当5≥n ≥2(n ∈N ＋)时，S n ＜T n ，猜想，当n ≥2，n ∈N ＋时，S n ＜T n .[B 级能力突破]1．(2016·枣庄九中模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ＋，则f 2 017(x )＝( )A ．sin x ＋cos xB ．－sin x －cos xC ．sin x －cos xD ．－sin x ＋cos x解析：f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，f 6(x )＝f ′5(x )＝cos x －sin x ，…，可知f n (x )是以4为周期的函数，∵2 017＝504×4＋1，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ．故选A.答案：A2．(2016·昆明调研)设S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( ) A.310B.13C.19D.18解析：由已知得a 1＝2a 1＋14d －3a 1－9d ，得a 1＝52d ，又S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ，将a 1＝52d 代入化简得S 8S 16＝310. 答案：A3．(2014·高考北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：利用反证法解决实际问题．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．答案：B4．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )A.1140B.1105C.160D.142解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：A5．(2015·高考山东卷)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； …；照此规律，当n ∈N ＋时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________. 解析：用归纳法求解．观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.答案：4n －16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z，则f (x ，y ，z )的最小值是________．解析：由题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB→|·|AC →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x＋4x ＋y ＋zy＋9x ＋y ＋zz＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9x z ＋z x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时等号成立.答案：367．(2014·高考北京卷)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小．T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

高考数学大一轮总复习第六章不等式、推理与证明 6.5 合情推理与演绎推理课件理北师大版

基础自测
[判一判] (1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确。( × ) 解析错误。归纳推理和类比推理所得的结论都不一定正确。 (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理。( √ ) 解析正确。此推理为合情推理中的类比推理。 (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适。( × ) 解析错误。平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作类比对象较合适。
3．合情推理合情推理是根据实际和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实
和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式。 4．演绎推理的一般模式——“三段论” (1)大前提——已知的一般原理。 (2)小前提——研究对象的特殊情况。 (3)结论——由大前提和小前提作出的判断。
解析观察不等式两边式子的特点，总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系。左边的式子的通项是 1＋212＋312＋…＋n＋112。右边式子的分母依次增加 1，分子依次增加 2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161。
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是__F_＋__V_－__E_＝__2__。解析由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－ 12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的等式是F＋V－E＝2。
3．“因为指数函数 y＝ax 是增函数(大前提)，而 y＝13x 是指数函数(小前
J 基础知识自主学习

高考数学北师大版二轮复习课件6-5 合情推理与演绎推理

3．(2011 年江西)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝ 78 125，…则 52 011 的末四位数字为( A．3125 C．0625 B．5625 D．8125 )
解析：∵55＝ 3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625， 59＝1 953 125,510＝9 765 625，… ∴5n(n∈Z，且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记 5n(n∈Z，且 n≥5)的末四位数字为 f(n)，则 f(2 011)＝f(501×4 ＋7)＝f(7)， ∴52011 与 57 的末四位数字相同，均为 8 125.故选 D. 答案：D
第五节
合情推理与演绎推理
目标定位 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
学习指向
1.以选择题、填空题的形式考查合情推理． 2. 以选择题或解答题的形式考查演绎推理． 3.题目难度不大，多以中低档题为主.
1．数列 0,1,3,7,15,31 的一个通项公式是( A．an＝2n－1 C．an＝2n－1－1 B．an＝2n－1 D．an＝2n－1＋1
)
解析：∵0＝20－1,1＝21－1,2＝22－1， 7＝23－1,15＝24－1,31＝25－1， ∴猜想 an＝2n 1－1.
－
答案：C
2．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝anbn 与(a＋b)n 类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay 与 sin(α＋β)类比，则有 sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 与(a＋b)2 类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a· b ＋b2. 其中结论正确的个数是( A．0 C．2 解析：③正确．答案：B ) B．1 D．3

高考北师大版文科数学一轮复习核准研析合情推理与演绎推理 Word版含解析

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核心考点·精准研析考点一类比推理1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于 ( )A.4πB.8πC.16πD.32π2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为( )A.3B.5C.D.3【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,把y=h代入椭圆+=1可得x=±,所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆=16π.锥)=22.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=,则所求距离d==5.类比推理的分类考点二演绎推理【典例】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N+). 世纪金榜导学号(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{a n}的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1)猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2)证明数列是等差数列证明-=常数【解析】(1)因为数列{a n}中,a1=1,a n+1=,a2=,a3=,a4=,猜想:a n=.(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若a n+1-a n=d,d是常数,则{a n}是等差数列,…大前提又因为-=,为常数;…小前提所以数列是等差数列.…结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2-S n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列.【解析】(1)由a n=2-S n,当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,…由此归纳推理得a n=(n∈N*).(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若=p,p是非零常数,则{a n}是等比数列;因为通项公式a n=,又=;所以通项公式a n=的数列{a n}是等比数列.关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学一轮总复习 6.5合情推理与演绎推理练习

2021年高考数学一轮总复习 6.5合情推理与演绎推理练习一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.答案 B2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析由A 可知其为椭圆的定义；B 由a 1＝1，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，属于归纳推理；C 由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ，是类比推理；D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，也属于类比推理，故选B. 答案 B3．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析方法一：由已知得第n 个式子左边为2n －1项的和且首项为n ，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.方法二：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，都不是4，故只有3n－2＝4，故选C.答案 C4．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( )A. B.C. D.解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．答案 A5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1 S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝( )A.18B.19C.164D.127解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V1V2＝1 27.答案 D6．(xx·青岛模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是( )A．25 B．250C．55 D．133解析第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，可知操作后得到的数以3为周期重复出现，而2 011＝3×670＋1，所以第2 011次操作后得到的数等于第1次操作后得到的数，即为133.答案 D 二、填空题7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________．解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．观察下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋...＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋ (7)71＋72＝28，即第6个图中有28个小正方形．答案 289．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }有________________．解析设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝(b 1qp －1)m －n·(b 1qm －1)n －p·(b 1qn－1)p －m＝b 01·q 0＝1.答案 b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝1 三、解答题10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中，(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．观察下表： 1， 2,3， 4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15， …，问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 013是第几行的第几个数？解 (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n －12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．培优演练1．设非空集合M 同时满足下列两个条件：①M ⊆{1,2,3，…，n －1}；②若a ∈M ，则n －a ∈M (n ≥2，n ∈N *)，则下列结论正确的是( )A ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n 2个B ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n2－1个C ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n －12个 D ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n ＋12个解析当n ＝2时，M ⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝3时，M ⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝4时，M ⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M ，故集合M 的个数为3个，故可排除A ，C ，D ，选B. 答案 B2．观察下列算式： 13＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 解析某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案 453．(xx·福建卷)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况： (1)当①成立时，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，此种情况不成立； (2)当②成立时，则a ＝2，b ＝2，c ＝0，此种情况不成立； (3)当③成立时，则a ＝2，b ≠2，c ≠0，即a ＝2，b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案 2014．设函数f n (θ)＝sin nθ＋(－1)ncos nθ，0≤θ≤π4，其中n 为正整数． (1)判断函数f 1(θ)，f 3(θ)的单调性，并就f 1(θ)的情形证明你的结论； (2)证明：2f 6(θ)－f 4(θ)＝(cos 4θ－sin 4θ)(cos 2θ－sin 2θ)．解 (1)f 1(θ)，f 3(θ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上均为单调递增函数．对于函数f 1(θ)＝sin θ－cos θ，设θ1<θ2，θ1，θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则f 1(θ1)－f 1(θ2)＝(sin θ1－sin θ2)＋(cos θ2－cos θ1)，可得sin θ1<sin θ2，cos θ2<cos θ1，∴f 1(θ1)<f 1(θ2)，函数f 1(θ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增．(2)证明：∵原式左边＝2(sin 6θ＋cos 6θ)－(sin 4θ＋cos 4θ)＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θ·cos2θ＋cos4θ)－(sin4θ＋cos4θ)＝sin4θ－2sin2θcos2θ＋cos4θ＝(sin2θ－cos2θ)2＝cos22θ.又∵原式右边＝(cos2θ－sin2θ)2＝cos22θ，∴2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)(cos2θ－sin2θ)．6 25583 63EF 揯 27731 6C53 汓S30941 78DD 磝29964 750C 甌40764 9F3C 鼼~36299 8DCB 跋36384 8E20 踠z&。

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理课件文北师大版

答案： a2＋b2＋c2 2
考点一归纳推理
挖掘 1 与数字(数列)有关的推理/自主练透
[例 1] (1)(2020·新乡模拟)从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三
角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数
的和可以为( )
A．2 011
B．2 012
C．2 013
B．S2＝S121＋S122＋S123
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝S11＋S12＋S13
[解析] 如图，作 OD⊥BC 于点 D，连接 AD，则 AD⊥BC，
从而
S2
＝
12BC·AD
2
＝
1 4
BC2·AD2
＝
1 4
BC2·(OA2
＋
OD2)
＝
1 4
(OB2
＋
OC2)·OA2
＋
1 4
BC2·OD2＝12OB·OA2＋12OC·OA2＋12BC·OD2＝S21＋S22＋S23.
定义域内单调递减，所以大前提错误．故选 A.
[答案] A
[破题技法] 用演绎推理证明问题时，大前提往往是定义、定理或一些固定结论，小前提为问题的条件，一般大前提可省略，当大前提、小前提及推理正确时，结论就正确．
[解析] 由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：
平面图形顶点数边数区域数
关系
①
3
3
2
3＋2－3＝2
②
8
12
6 8＋6－12＝2
③
Hale Waihona Puke 6956＋5－9＝2
④
10 15
7 10＋7－15＝2

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理课时规范练文含解析北师大版

第六章不等式、推理与证明第四节合情推理与演绎推理课时规范练A组——基础对点练1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x)B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．答案：D3．(2020·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3，9) B．(4，8)C．(3，10) D．(4，9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.答案：D4．下列结论正确的个数为()(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8. A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确．答案：D5．如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)表示为( )A.2942 B ．710C.1724D ．73102解析：由已知中归纳可得第n 行的第一个数和最后一个数均为2（n ＋1）（n ＋2），其他数字等于上一行该数字“肩膀”上两个数字的和，故A (15，2)＝16＋16＋110＋115＋…＋215×16 ＝16＋2×⎝⎛⎭⎫13－116 ＝1724. 故选C. 答案：C6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2>0⇒z 1>z 2.” 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由复数的减法运算可知①正确；因为a ，b ，c ，d 都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．答案：C7．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q2 B ．q 2 C.qD.n q解析：由题设得，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝b n 1q （n －1）n 2. 所以n T n ＝b 1q n －12，所以等比数列{nT n }的公比为 q .答案：C8．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N ＋)，观察下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N ＋)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( ) A ．22 016＋2 B ．22 016 C ．22 016－2D ．22 016－4解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg （k ＋2）lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2.答案：C9．观察如图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183. 答案：18310．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12nB 组——素养提升练11．(2020·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( ) A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日D ．2日和11日解析：1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了，余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天，显然，6日只能是丙去值班了．答案：C12．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为11，9，7，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为a i ，j ，比如a 3，2＝9，a 4，2＝15，a 5，4＝23，若a i ，j ＝2 017，则i ＋j ＝( )A ．64B ．65C ．71D ．72解析：奇数数列a n ＝2n －1＝2 017⇒n ＝1 009，按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有1＋2＋…＋i ＝i （1＋i ）2个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i ＝45，j ＝27⇒i ＋j ＝72. 答案：D13．(2020·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0，1}(i ＝0，1，2)，信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( ) A ．11010 B ．01100 C ．10111D ．00011解析：对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110. 答案：C14．(2020·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c(a ，b ，c ，d ∈N＋)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( ) A.227 B ．6320C.7825D ．10935解析：由题意：第一次用“调日法”后得165 是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715＜π＜165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227.答案：A15．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N ＋)，其中λ＞0，{a n }的通项公式是________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n16．(2020·合肥模拟)已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞ax 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．解析：运用类比思想与数形结合思想，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22 的纵坐标，即sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立．sin x1＋sin x22＜sin x1＋x2 2答案：。

2022届高考数学(文)一轮总复习检测：第六章第五节合情推理与演绎推理 Word版含解析

第五节合情推理与演绎推理1．合情推理(1)归纳推理.①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理.①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理.归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所争辩的特殊状况；③结论——依据一般原理，对特殊状况作出的推断．1．(质疑夯基)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(3)“全部9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m肯定是3的倍数”，这是三段论推理．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理 D．以上都不是解析：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相像性或全都性．(2)用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．选B.答案：B3．“由于指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误解析：“指数函数y ＝a x 是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．由于实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．答案：A4．(2021·山东卷)观看下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．解析：观看每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最终一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.答案：4n －15．(2021·课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可推断乙去过的城市为________．解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过B 城市，因此甲肯定去过A 城市和C 城市．又乙没去过C 城市，所以三人共同去过的城市必为A ，故乙去过的城市就是A.答案：A 城市一个过程合情推理的过程概括为从具体问题动身→观看、分析、比较、联想→ 归纳、类比→提出猜想一种模式演绎推理的一般模式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提．假如大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．三个防范1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相像甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推想未知的结论，发觉与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，留意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．一、选择题1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9.归纳推理则x－20＝12，因此x＝32.答案：B2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．答案：B3．(2022·开封模拟)观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．199解析：从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案：C4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：由向量的数量积的定义及运算律知，①②正确，③④⑤⑥错误．故选B.答案：B5．(2022·北京卷)同学的语文、数学成果均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若同学甲的语文、数学成果都不低于同学乙，且其中至少有一门成果高于乙，则称“同学甲比同学乙成果好”．假如一组同学中没有哪位同学比另一位同学成果好，并且不存在语文成果相同、数学成果也相同的两位同学，那么这组同学最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人解析：用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格．明显，语文成果得A的同学最多只有一人，语文成果得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组同学的成果为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故同学最多为3人．答案：B二、填空题6．(2022·长春模拟)已知x∈(0，＋∞)，观看下列各式：x＋1x≥2，x＋4x 2＝x2＋x 2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a＝______．解析：第一个式子是n＝1的状况，此时a＝11＝1；其次个式子是n＝2的状况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的状况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝n n.答案：n n7．在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，假如用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.答案：S21＋S22＋S23＝S248．观看等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．解析：依据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发觉tan30°＋90°2＝3，tan15°＋75°2＝1，tan20°＋40°2＝33，故对于一般的角α，β的等式为sin α＋sin βcos α＋cos β＝tanα＋β2.答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tanα＋β2三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四周体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四周体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四周体的相关性质为： (1)四周体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四周体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四周体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.(2)归纳三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

【金版教程】高考数学大一轮总复习 6-5(2)合情推理与演绎推理限时规范训练理

05限时规范特训A 级基础达标1．三段论推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：①的逆否命题是：“不是平行四边形的四边形一定不是矩形”，由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．答案：B2．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是( )A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号4解析：由已知和图形得，小兔自第1次交换位置后依次坐在④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环．因为2014÷4的余数为2，所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为3.答案：C3．[2014·金版]无限循环小数为有理数，如：0.1·，0.2·，0.3 ·，…，观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝13，…，则可归纳出0.45 ··＝( ) A.12 B.511 C.120D.5110解析：观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝39，…，则可归纳出0.45 ··＝4599＝511.答案：B4. [2012·江西高考]观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A. 28B. 76C. 123D. 199解析：观察各等式的右边，它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…故a 10＋b 10＝123. 答案：C5．[2014·太原模拟]给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”，类比推出，“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”，类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比正确的为( ) A ．①② B ．①④ C ．①②③D ．②③④解析：对于③，“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”是错误的，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，则a －b ＝1>0，但2＋i>1＋i 不正确；对于④，“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”是错误的，如y ＝12＋12i ，|y |＝22<1，但－1<12＋12i<1是不成立的．故选A. 答案：A6．[2014·广东六校联考]如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2012a 2013＝( )A.20102011 B.20112012 C.20122013D.20132012解析：由图案可得第n 个图案中的点数为3n ，则a n ＝3n －3，∴当n ≥2时，9a n a n ＋1＝9n －n ＝1nn －＝1n －1－1n ，∴9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2012a 2013＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(12011－12012)＝1－12012＝20112012，故选B.答案：B7．观察下列不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；….则第n 个不等式为________．解析：观察题中不等式知，分母中根号下被开方数依次是1×2；2×3；3×4；…，所以所求的不等式为12＋16＋112＋…＋1nn ＋<n .答案：12＋16＋112＋…＋1n n ＋<n8．[2014·浙江模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4T 12T 89．观察下列等式：可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含n 的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝14n 2(n ＋1)2.答案：14n 2(n ＋1)210．[2014·淮北模拟]在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1kk ＋＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1nn ＋＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1nn ＋n ＋(n ∈N *)”，其结果为________．解析：先改写第n 项，1n n ＋n ＋＝1n ＋1×1n n ＋＝12×1n ＋1(1n －1n ＋2)＝12×[1n n ＋－1n ＋n ＋]，所以11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋n ＋＝12[11×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋1n n ＋－1n ＋n ＋]＝12[11×2－1n ＋n ＋]＝n n ＋n ＋n ＋.答案：n n ＋n ＋n ＋11．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1的值．解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，∴f (n )＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1(n ≥2)．又n ＝1满足上式，所以f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12nn －＝12(1n －1－1n)，∴1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n. B 级知能提升1．[2014·西安五校模拟]已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样前n 组一共有n n ＋2个“整数对”，注意到＋2<60<＋2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.答案：B2．[2014·荆州高中毕业班质检]如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则(1)按网络运作顺序第n 行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…)是________；(2)第63行从左至右的第4个数字应是________．解析：设第n 行的第1个数字构成数列{a n }，则a n ＋1－a n ＝n ，且a 1＝1，∴a n ＝n 2－n ＋22，而偶数行的顺序从左到右，奇数行的顺序从右到左，第63行的第1个数字为1954，从左至右的第4个数字是从右至左的第60个数字，从而所求数字为1954＋59＝2013.答案：n 2－n ＋2220133．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)； (2)证明：1f＋1f＋1f＋…＋1fn <43. 解：(1)f (4)＝37，f (5)＝61. 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， f (4)－f (3)＝37－19＝3×6， f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1 ＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. (2)证明：当k ≥2时， 1fk ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13(1k －1－1k)．所以1f＋1f＋1f＋…＋1f n<1＋13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋13(1－1n )<1＋13＝43.。

【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：6-5合情推理与演绎推理

课后课时作业[A组·基础达标练]1．[2015·鹰潭二模][x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.S1＝[1]＋[2]＋[3]＝3S2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10S3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…，依此规律，那么S10等于()A．210 B．230C．220 D．240答案 A解析∵[x]表示不超过x的最大整数，∴S1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，…，S n＝[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n－1]＋[n2＋2n]＝n×(2n＋1)，∴S10＝10×21＝210.2．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C 为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①②正确，③错误，因为两个复数如果不是实数，不能比较大小，故选C.3．[2015·闸北二模]平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22 D ．n 2＋n ＋1 答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D答案 B解析观察图形及对应运算分析可知：基本元素为A→，B→，C→————，D→，从而可知图(a)对应B*D，图(b)对应A*C.5．[2015·河南一模]从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2097 B．1553C．1517 D．2111答案 C解析根据如题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a ＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这9个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝1517，得a＝157，是自然数．且a为表中第20行第5个数，符合；若9a＋104＝2097，a≈221.4不合题意；若9a＋104＝1553，a＝161，a为表中第21行第一个数，不合题意；若9a＋104＝2111，a＝223，a为表中第28行第7个数，不合题意．6．[2014·陕西高考]已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．答案 f 2014(x )＝x1＋2014x解析由f1(x )＝11＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x ＝x1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，故可猜想：f 2014(x )＝x1＋2014x . 7．[2015·咸阳三模]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______．答案 6n ＋2解析由题意知，图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6＝8，所以第n 条小鱼需要6n ＋2根．8．[2016·龙岩模拟]代数式1＋11＋11＋…(“…”表示无限重复)是一个固定的值，可以令原式＝t ，由1＋1t ＝t 解得其值为5＋12，用类似的方法可得2＋ 2＋2＋…＝________.答案 2解析由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子的值．令2＋2＋2＋…＝m (m >0)，则两边平方得， 2＋2＋2＋2＋…＝m 2，即2＋m ＝m 2，解得m ＝2(－1舍去)． 9．[2015·南昌一模]观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8，… 由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________.答案n (n ＋1)2解析由已知中的式子，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项系数分别为1,3,6,10，…，即1×22，2×32，3×42，4×52，…根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式中a 2为n (n ＋1)2.10．[2015·江西模拟]有下列各式：1＋12＋13 >1,1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为________．答案 1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)解析观察各式左边为1、12、…、1n (n ∈N *)的和的形式，项数分别为：3,7,15，故可猜想第n 个式子中应有2n ＋1－1项，不等式右侧分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子中应为n ＋12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)．[B 组·能力提升练]1．[2016·龙泉驿区模拟]对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝2，求1x ＋4y 的最小值”，给出如下一种解法：∵x ＋y ＝2，∴1x ＋4y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ， ∵x >0，y >0，∴y x ＋4xy ≥2y x ·4xy ＝4，∴1x ＋4y ≥12(5＋4)＝92，当且仅当⎩⎨⎧y x ＝4xyx ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝43时，1x ＋4y 取最小值92.参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则1A ＋9B ＋C 的最小值为( )A.16πB.8πC.4πD.2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，α＋βπ＝1，参考题干中解法，则1A ＋9B ＋C ＝1α＋9β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋9β(α＋β)1π＝1π⎝⎛⎭⎪⎫10＋βα＋9αβ≥1π(10＋6)＝16π，当且仅当βα＝9αβ，即3α＝β时等号成立． 2．[2015·湖北高考]设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析由[t ]＝1，得1≤t <2.由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5，所以2≤t 2< 5.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4，所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.3．[2015·山东高考]观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.答案 4n －1解析第一个等式，n ＝1，而右边式子为40＝41－1；第二个等式，n ＝2，而右边式子为41＝42－1；第三个等式，n ＝3，而右边式子为42＝43－1；第四个等式，n＝4，而右边式子为43＝44－1；……归纳可知，第n个等式的右边为4n－1.4．[2015·福建高考]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n ∈N*)，其中x k(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：{x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．答案 5解析因为x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k＝5.5．[2015·西安五校联考]已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．答案(5,7)解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有n(n＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2<60<11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．。