高中数学第一章第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征优化练习新人教A版必修1
高中数学棱柱、棱锥和棱台总结练习含答案解析S
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台名称定义、特点、分类及记法图形棱柱 1.一般地,由一个平面多边形① 形成的空间几何体叫做棱柱.平移② 叫做棱柱的底面,多边形的边③ 叫做棱柱的侧面,相邻④ 叫做棱柱的侧棱.2.棱柱的特点:两个底面是⑤ ,且对应边⑥ ,侧面都是⑦ .3.底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为⑧ ……4.右图六棱柱记作⑨ .棱锥 1.当棱柱的一个底面⑩ 时,得到的几何体叫做棱锥.相邻侧面的 叫做棱锥的侧棱,由棱柱的一个底面 的点叫做棱锥的顶点.2.棱锥的特点:. 3.的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥.4.右图四棱锥记作 .棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然是棱锥,另一个称之为棱台.即棱台是棱锥被 之间的部分.多面体1.棱柱、棱锥和棱台都是由围成的几何体.2.叫做多面体.3.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是.一、填空题1.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台.2.下列命题中正确的序号是.①棱柱的底面一定是平行四边形;②棱柱的底面一定是三角形;③棱锥被截面分成的两部分不可能都是棱锥;④棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱.3.一个棱柱至少有个面.4.将梯形沿某一方向平移形成的几何体是.5.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为4∶9,则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为.6.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线,则六棱柱有条体对角线.7.如图,三棱台ABC A'B'C',沿A'BC截去三棱锥A'ABC,则剩余部分是.①四棱锥;②四棱台;③三棱柱;④三棱锥.8.将图中所给出的平面图形,按虚线折痕折起并黏合,制作成几何体.你能说出得到的几何体的名称吗?请填在对应的横线上.二、解答题9.画一个三棱台,再把它分成:(1)一个三棱柱和另一个多面体;(2)三个三棱锥,并用字母表示.10.甲乙两足球队决赛互罚点球时,罚球点离球门约10米,乙队守门员违例向前冲出3米,因而扑住了点球,不光彩地赢得了比赛.事实上,乙队守门员违例向前冲出了3米后,其要封堵的区域面积变小了.问此时乙队守门员需封堵的区域面积与原来球门的面积的比是多少?11.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1各顶点处割去一个三棱锥,使三棱锥的底面三角形的顶点为正方体各棱的中点(例如顶点A1处割去了三棱锥A1EFG,E、F、G分别为A1A、A1B1、A1D1的中点),试问所得到的几何体有多少个面?多少个顶点?多少条棱?知识清单①沿某一方向平移②起止位置的两个面③平移所形成的面④侧面的公共边⑤全等的多边形⑥互相平行⑦平行四边形⑧三棱柱、四棱柱、五棱柱⑨六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1⑩收缩为一个点公共边收缩而成底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形底面为三角形、四边形、五边形四棱锥S-ABCD平行于底面的一个平面所截后,截面和底面一些平面多边形由若干个平面多边形围成的几何体四面体基础过关一、填空题1.答案①③④;⑥;⑤解析由棱柱、棱锥和棱台的定义知,①③④符合棱柱的定义;②是一个三棱柱被截去了一部分;⑤符合棱台的定义;⑥符合棱锥的定义.故①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.2.答案④解析根据棱柱、棱锥的几何特征作图判断可得答案.3.答案 5解析根据定义知底面边数最少的棱柱是三棱柱,有5个面.4.答案四棱柱解析多边形平移形成的几何体是棱柱,梯形是四边形.故填四棱柱.5.答案2∶1解析截得的小棱锥与原棱锥的侧棱之比为2∶3,故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为2∶1.6.答案18解析画出六棱柱,按照顺序找出体对角线,共18条.7.答案①解析在题图中,截去三棱锥A'-ABC后,剩余的是以四边形BCC'B'为底面,A'为顶点的四棱锥.8.答案(1)四棱柱(2)三棱柱(3)六棱柱(4)四棱柱(5)三棱锥(6)四棱锥(7)正方体(8)八面体(9)四棱台解析求解此类题目的关键是要熟悉各种几何体的结构特征.有条件的可以用硬纸卡片进行折叠操作.二、解答题9.解析(1)如图①所示,三棱柱AB2C2A1B1C1与另一个多面体.(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A1ABC,B1A1BC,C1A1B1C.图①图②10.解析从罚球点S向球门ABCD四个角引线,构成四棱锥S ABCD(如图),守门员从平面ABCD向前移动3米至平面A'B'C'D',只需封堵A'B'C'D'即可,故S A'B'C'D'S ABCD =(710)2=49100.11.解析正方体原来有6个面,现在8个顶点都被割去,因此增加了8个面,这样所得到的几何体一共有14个面;它的棱数正好是8个三角形边数之和,所以一共有24条棱;每个顶点引出了4条棱,但一条棱连着两个顶点,设顶点数为V,则有4V2=24,即V=12.故所得到的几何体一共有14个面,12个顶点,24条棱.。
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：棱柱、棱锥、棱台的结构特征【含答案及解析】
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的平面展开图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)关键能力提升练10.(多选题)(2021江苏宜兴期中)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是()A.三棱锥B.四棱台C.六棱锥D.六面体,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D 有可能.故选BC.11.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.12.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.13.下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF 为等腰三角形,△PEF 为等腰直角三角形,△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF =12a 2,S △DPF =S △DPE =12×2a×a=a 2,S △DEF =S 正方形ABCD -S △PEF -S △DPF -S △DPE =(2a )2-12a 2-a 2-a 2=32a 2.学科素养创新练15.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BC=4,A 1A=5,现有一只甲壳虫从点A 出发沿长方体表面爬行到点C 1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为√90,√74,√80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E BE=157,再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=15,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为7√74.。
新教材人教版高中数学必修1 第八章 8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
课堂篇探究学习
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都不正确
答案:B
解析:因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不
可能是棱锥.
2.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
概 侧棱:相邻侧面的公共边;
念 顶点:侧面与底面的公共顶点
分 类
①依据:底面多边形的边数; ②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱
(底面是四边形)……
用表示底面各顶 点的字母表示.
如图棱柱可记作: 棱柱 ABCDEFA'B'C'D'E'F'
课前篇自主预习
一
二
三
四
(2)棱柱的分类
直棱柱:侧棱垂直 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱 棱柱 于底面的棱柱 一般的直棱柱
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
变式训练下列说法正确的有
(填序号).
①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧
面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.
答案:①②④⑤
解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
随堂演练
多面体表面距离最短问题 例2如图,在三棱锥V-ABC 中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF, 求△AEF周长的最小值.
河南省焦作市沁阳一中高中数学 1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征导学案 新人教A版必修1
1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A例1：如图，截面BCEF把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ）A ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A ． 3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2 D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）A ．必须都是直角三角形B ．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.答案棱柱、棱锥、棱台的结构特征问题1 ：若干个平面多变性能够围成的几何体叫做多面体。
8.1 基本立体图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台的结构特征【优创课堂】2022-2023学年高一数学
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱，5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
答案：D.
).
例析
例1.将下列各类几何体之间的关系用图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
解：如图所示：
练习
题型一：棱柱的结构特点
举反例 通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不
吻合，给予排除
练习
题型二：棱锥、棱台的结构特点
例2.下面是关于棱锥、棱台的四种说法：
①棱锥的侧面只能是三角形；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③由四
个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是
棱锥.
其中说法错误的是（
A.①
形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公
共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
探索新知
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥
− .棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱
棱、顶点.
棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台 − ’ ’ ’ ’ .
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱
台……
新知探索
辨析1：判断正误.
（1）一个多面体至少有六条棱.
(
)
（2）封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
(
)
答案：√，√.
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.底面是正
8.1 基本几何图形 第1课时 棱柱、棱锥、棱台(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
学科素养
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解； 2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点； 3.直观想象：判断空间几何体； 4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转 化的思想方法.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
练习： 1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的 公共边折叠围成一个正方体的是( )
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图 中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。 （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分 叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、 顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、 五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
思考：
1．面数最少的多面体是什么？ 提示：围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少 的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体． 2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行 四边形．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点 例1 (1)下列命题中正确的是________．(填序号) ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面； ③三棱锥的任何一个面都可看作底面； ④棱台各侧棱的延长线交于一点． (2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
人教a版数学必修二讲义：第1章 1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.1空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标核心素养1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点)通过对空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的数学素养.1．空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的空间几何体叫做多面体旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，其中定直线叫做旋转体的轴2(1)棱柱的结构特征定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱图示及相关概念底面：两个互相平行的面.侧面：底面以外的其余各面. 侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、…思考：棱柱的侧面一定是平行四边形吗？[提示]根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．(2)棱锥的结构特征定义有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥图示及相关概念底面：多边形面.侧面：有公共顶点的三角形面. 侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、…[提示]不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．(3)棱台的结构特征定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台图示及相关概念上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：除上下底面以外的面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…[提示]根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．1．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为() A．1个B．2个C．3个D．4个D[每个三角形都可以作为底面．]2．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．] 3．下面属于多面体的是________(填序号)．①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．①②[①②属于多面体，③④属于旋转体．]棱柱的结构特征A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形D[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：①②③图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D.](2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．[解]①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1MCC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1DCND1.有关棱柱结构特征问题的解题策略：(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．1．下列关于棱柱的说法错误．．的是()A．所有棱柱的两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D．棱柱至少有五个面C[对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]棱锥、棱台的结构特征①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．①②③[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．](2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？[解]①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱C[图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥．图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]多面体的表面展开图1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？[提示]棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：2．棱台的侧面展开图又是什么样的？[提示]棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．【例3】(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？思路探究：(1)正方体的平面展开图⇒以其中一个面不动把其他面展开．(2)常见几何体的定义与结构特征⇒空间想象或动手制作平面展开图进行实践．A[(1)由选项验证可知选A.](2)解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．1.将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．6C．快D．乐B[将图形折成正方体知选B.]2．将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示．(1)该几何体是哪种几何体？(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面？[解](1)该几何体是四棱台．(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．2．棱柱、棱台、棱锥关系图1．下面多面体中，是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D[根据棱柱的定义进行判定知，这4个几何体都是棱柱．]2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥D[根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A B C DD[A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．]4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．53[面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．]5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．[解]画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.①②。
高中数学空间几何体棱柱、棱锥和棱台的结构特征学案
1.1。
2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其形成过程，会画棱柱、棱锥、棱台的图形．3．掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质，并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算．1．多面体与截面(1）多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的公共边叫做多面体的______；棱和棱的公共点叫做多面体的______；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的________．按围成多面体的面的个数分为：四面体、五面体、六面体……多面体至少有______个面．(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做________．(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的______．【做一做1】长方体有__________条对角线，一个多面体至少有__________个面．2．棱柱（1)棱柱的概念．有两个互相平行的面,其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的________;其余各面叫做棱柱的________；两侧面的公共边称为棱柱的________;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的________．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______．(2)棱柱的表示法．用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．（3)棱柱的分类．按底面多边形的________分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做________棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做______棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做__________．底面是平行四边形的棱柱叫做___________．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做__________，底面是矩形的直平行六面体是________，棱长都相等的长方体是_______．在四棱柱中，应掌握好以下关系：用图示表示如下：【做一做2－1】四棱柱有( ）．A．4条侧棱，4个顶点B．8条侧棱，4个顶点C．4条侧棱,8个顶点D．6条侧棱，8个顶点【做一做2－2】下列三种说法中，正确的个数是（）．①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③棱柱的侧面都是平行四边形．A．0 B．1 C．2 D．33．棱锥（1）棱锥的概念．有一面为________,其余各面是___________，这些面围成的几何体叫做棱锥．棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的________;各侧面的公共顶点叫做棱锥的________；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的________；多边形叫做棱锥的________．顶点到底面的距离，叫做棱锥的______．（2)棱锥的表示法．用表示顶点和底面各顶点的字母或用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．（3）棱锥的分类．按底面多边形的________分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥……(4）正棱锥的概念．如果棱锥的底面是__________，且它的顶点在过底面中心且与底面________的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的__________,这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的________．(1）只有正棱锥才有斜高，其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长．（2)正棱锥中有几个重要的特征直角三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题解决．如图所示，正棱锥中，点O为底面中心，M是CD的中点，则△SOM，△SOC均是直角三角形，常把一些量归结到这些直角三角形中去计算．很明显，△SMC，△OMC也是直角三角形．【做一做3－1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【做一做3－2】正四棱锥S －ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条侧棱作截面SAC ，如图所示，则截面的面积为（ ）．A ．32a 2 B ．a 2C ．错误!a 2D ．错误!a 24．棱台(1)棱台的概念．棱锥被________于底面的平面所截，________和______间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的________和________；其他各面称为棱台的________；相邻两侧面的公共边称为棱台的________;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的________；两底面间的距离叫做棱台的______．(2)棱台的表示法．用表示上下底面各顶点的字母表示棱台． (3）棱台的分类．按底面多边形的________分为:三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念．由________截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的________，这些等腰梯形的高叫做棱台的________．在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题,常转化为这几个直角梯形的计算问题．【做一做4】棱台不具有的性质是( ）． A ．两底面相似 B ．侧面都是梯形 C ．侧棱都平行D ．侧棱延长后都交于一点1．棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较 剖析：（1)有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，反例如下图．（2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，反例如下图．2．教材中的“思考与讨论" 如何判断一个多面体是棱台？剖析：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是否平行,其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台．题型一 识别简单的空间几何体【例1】下列几何体是棱柱的有（ )．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个反思：本题容易错认为几何体②也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图形，看到图形就想到文字叙述．题型二概念的理解和应用【例2】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )．A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的两条棱互相垂直D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形反思：在本题的解答过程中易出现选B的情况,导致此种错误的原因是两个侧面垂直于底面，并不能保证侧棱一定垂直于底面，只有是两个相邻的侧面才可以．题型三有关柱、锥、台的计算问题【例3】正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．反思:本题由正四棱台的性质可知：上,下底面都是正方形,侧面是全等的等腰梯形,即可得出上、下底边及斜高的长；再由两个直角梯形便可计算出侧棱、斜高、高．故解题时应注意优先分析几何图形的关系，减少盲目性．【例4】如图所示，直平行六面体AC1的侧棱长为100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比为2∶3，求它的两个对角面的面积（过相对侧棱的截面叫对角面）．分析：直平行六面体的对角面是矩形,因此只要求出该对角面矩形相邻的两边,就可求出其面积．反思：截面问题首先应弄清截面的形状、位置、性质,然后才能进行下一步的计算．在本题中还要注意积累平行四边形中的一个恒等式，即BD2＋AC2＝2(AB2＋AD2)．题型四立体图形的展开与平面图形的折叠问题【例5】如图,在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为错误!，设这条最短路线与CC1的交点为N。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 棱柱、棱锥和棱
4.棱台 (1)棱台的概念. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥 的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面;其他各面称为棱台的侧面; 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做 棱台的顶点;两底面间的距离叫做棱台的高. (2)棱台的表示法. 用表示上、下底面各顶点的字母表示棱台. (3)棱台的分类. 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念. 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形, 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.
(4)正棱锥的概念. 如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这 些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.
思考 3 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是
棱锥吗?为什么?
提示:不一定,判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的 3 个本质特 征:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是三角形;(3)这些三角形有一个公 共顶点.这 3 个特征缺一不可,显然,这种说法不满足(3).反例如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一 棱柱的结构特征
判断一个几何体是棱柱的依据及关键点 (1)依据:判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义. (2)抓住三个关键点. ①底面:两个多边形全等且所在平面互相平行. ②侧面:都是平行四边形. ③侧棱:互相平行且相等. 以上三点缺一不可.
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:①④⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究二 棱锥、棱台的结构特征
高一数学人教A版必修二课件：1.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
解:所截两部分分别是四棱柱和三棱柱.几何体ABCD-
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、简单几何体的表面展开与折叠问题 1.绘制展开图
(1)绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发 挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.
(2)在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面 体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开
图
示
底面:两个互相平行的面
及
侧面:底面以外的其余各面
相
侧棱:相邻侧面的公共边
关
顶点:侧面与底面的公共顶
概
点
念
记 法
棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
分 类
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…
目标导航 预习导引
12
(2)棱锥的结构特征:
定 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶
义 点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
紧扣概念解题 在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定义 判断,这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延,切 忌只凭图形主观臆断,如本例若意识不到棱台各侧棱延长后
交于一点则会致错.
多个梯形相连.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
【例3】 (1)请画出如图所示的几何体的表面展开图.
(2)根据下面所给的平面图形,画出立体图形.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
思路分析:由题意首先弄清几何体的侧面各是什么形状,然 后再通过空间想象或动手实践进行展开或折叠. 解:(1)展开图如图所示
A1B1C1平行于平面ABC,
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征学案(含
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征[提出问题观察下列图片：问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ 提示：由若干个平面多边形围成．问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的． 问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？ 提示：可以． [导入新知] 1．空间几何体1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a 所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b 所示． (4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c 所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．[例1](1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[答案] (3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形答案：D[例2](1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．[答案] (2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：下列说法正确的有( )①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A[例3][解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．1 B．7C．快D．乐答案：B1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例] 如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[答案] (1)(3)(4)(5)[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案：A[随堂即时演练]1．下列几何体中，棱柱的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案：D2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )答案：D3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)答案：③⑤①④5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱，多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 016？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)有1 007个面．[课时达标检测]一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )答案：C2.如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案：B3．下列说法正确的是( )①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①②B．①③C．②③D．②④答案：B4．(广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案：D5．下列命题正确的是( )A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．答案：三 57．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)答案：(1)不一定(2)不一定三、解答题9．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1MCC1N，下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．。
【数学】基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件 高一下人教A版(2019)必修第二册
重难探究·能力素养全提升
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
角度1.棱柱的结构特征
【例1】 下列关于棱柱的说法:①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行.其中正确说法的序号是____.
③
[解析] ①错误,底面可以是其他多边形而不光是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义可知.
√
2.有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗？
提示 不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.
知识点4 棱台的结构特征
棱台
图形及表示
定义
用一个________棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
用表示底面各顶点的字母表示._
×
（3）棱台的各条侧棱延长后必交于一点. ( )
√
2.下列几何体中,________是棱柱,____是棱锥,____是棱台.（填序号）
①③④
⑥
⑤
[解析] 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 空间几何体的定义、分类与相关概念
1.空间几何体:如果只考虑物体的______和______,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的__________就叫做空间几何体.
形状
大小
空间图形
2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类.
3.多面体和旋转体
分类
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
三棱柱
四棱柱
续表
2.棱柱的分类
8.1-第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征(习题)-高一下学期人教A版(2019)必修第二册课件
底面(底)：多边形 按 底 面 面．
各面都是有一个
侧面：有公共顶点 多 边 形
公共顶点的
的各个三角形面．的 边 数
__三__角__形__ ， 由这
如图可记作：棱锥
侧棱：相邻侧面的 公共边．
分：三棱 锥、四棱
些面所围成的多 S-ABCD
顶点：各侧面的公 锥……
面体叫做棱锥
共顶点
多面体 定义
图形及表示
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是
()
【答案】D 【解析】A，B，C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能 围成棱柱．故选D．
3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________ 是棱台．(仅填相应序号)
【答案】①③④ ⑥ ⑤ 【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱 锥，⑤是棱台．
①若延 A1B1 展开，使面 AB1 与面 A1C1 共面，可求得 AC1＝ 42＋5＋32＝ 80＝4 5.
②若延 BC 展开，使面 AC 与面 BC1 共面，可求得 AC1 ＝ 32＋5＋42＝ 90＝3 10.
③若延 BB1 展开，使面 BC1 与面 AB1 共面，可求得 AC1＝ 4＋32＋52 ＝ 74.
A′B′C．
图1
图2
题型2 棱锥、棱台的结构特征 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图 形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________． 素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养．
【答案】①② 【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；② 正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四 棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
基本立体图形 课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 高一数学(人教A版2019必修第二册)
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面.侧面：底面以外的其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱
2.棱锥的结构特征
定义
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥
[解析] 由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有 （个）面.
作中间部分的横截面，由题意知，该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形 ，如图，设其边长为 ，则正八边形的边长为半正多面体的棱长.连接 ，过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，则 .又 ，所以 ，解得 ，所以半正多面体的棱长为 .
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.（数学建模）
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.（逻辑推理）
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.（数学运算）
B
[解析] （1）①中的平面不一定平行于底面，所以不一定是棱台，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点的几何体不是棱台，故②③错误.
（2）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错误.
二、棱锥、棱台的结构特征
例3 （1）有下列三种说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的说法有( ).A.0个B.1个C.2个D.3个
高中数学课时提升作业(一)第课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
__________,ABCD是它的__________.
(3)图(3)中的几何体叫做__________,它是由棱锥__________被平行于底面 ABCD
的平面__________截得的,AA′,BB′为其__________,BCC′B′,DAA′D′为其
__________.
【解析】根据棱柱,棱锥,棱台的结构特征,可依次得出答案.
【解析】选 C.图 C 不能围成正方体. 3.关于棱台,下列说法正确的是 ( ) A.两底面可以不相似 B.侧面都是全等的梯形 C.侧棱长一定相等
-1-
D.侧棱延长后交于一点 【解析】选 D.只有 D 符合棱台的特征.选项 A,B,C均不正确. 4.下列命题中正确的是 ( ) A.由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B.棱锥的高线可能在几何体之外 C.仅有一组对面平行的六面体是棱台 D.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥 【解析】选 B.三棱柱是由五个平面围成的多面体,故 A 不正确. 仅有一组对面平行的六面体可以是四棱柱,故 C 不正确. D 中,当这些三角形不共用一顶点时,不一定是棱锥,故 D 不正确,故 B 正确. 5.(2013·嘉兴高一检测)如图都是正方体的表面展开图,还原成正方体后,其中 两个完全一样的是 ( )
MN= (23a)2 ― (2a)2
= 22a. 二、填空题(每小题 5 分,共 10分)
5.在如图①～④4 个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图? 其序号是________.(把你认为正确的序号都填上)
-8-
【解析】将①②沿折痕折起,为三棱锥;③④沿折痕折起,构不成空间封闭图形. 答案:①② 【误区警示】本题易得答案①③,①正确,③不正确.错误的原因是思维想象能力 较差,可动手制作几何体,观察其展开图,提高识图能力. 6.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:
高一数学人教A版必修棱柱棱锥棱台的结构特征公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
第14页
图形 用表示底面各顶点的 字母 表示棱柱，如上图中的
表示法 棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 按底面多边形的 边数 分为三棱柱、四棱柱、五
分类 棱柱……
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[破疑点]有两个面互相平行，其余各面为平行四边形的几 何体，却不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱．因 为棱柱要求有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，而该图中有相邻 四边形的公共边是不平行的．
(2) 平 行 平 面 共 有 四 对 。 即 平 面 ABB′A′ 与 平 面 DEE′D′，平面 BCC′B′与平面 EFF′E′，平面 CDD′C′ 与 平 面 FAA′F′ ， 平 面 ABCDEF 与 平 面 A′B′C′D′E′F′，但能作为棱柱底面的只有一对，即上、 下两个平行平面．
第42页
第一章
空间几何体
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第一章
1．1 空间几何体的结构
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第一章
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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课前自主预习
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温故知新 在初中，我们学习了一些平面几何知识，了解了三角形、 四边形、圆等一些平面图形的性质，也直观地认识了一些简单 的几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等，在此基础 上你能用六根火柴首尾相连最多拼成几个全等的等边三角 形？(提示：若你能在空间中思考这个问题，就会知道答案 4 个)
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[点评] 根据棱柱的结构特征判断．判断时可首先确定底 面，看是否存在两个互相平行的面，再看侧面和侧棱．
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(1)观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱底面 的有几对？
(2)观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱 柱底面的有几对？面，有三对平面可作为棱柱的底 面 ． 它 们分 别 为 平面 ABCD 与 平面 A′B′C′D′ 、 平 面 ADD′A′ 与 平 面 BCC′B′ 、 平 面 ABB′A′ 与 平 面 DCC′D′.
课时作业20：第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
§1.1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征基础过关1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点解析四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案 C2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．答案 B3．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.答案 B4．下列三个命题，其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．解析①截面不一定与底面平行，不正确；②侧棱不一定相交于一点，不正确；③侧棱不一定相交于一点，不正确．答案05．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案136．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2， S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.7．如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BB 1M －CC 1N ，下方部分是四棱柱ABMA 1－DCND1.能力提升8．下列命题中，真命题是()A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若P A＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题．答案 D9．如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．其中，正确的说法是()A ．①②B ．①C ．①②③D ．①③解析 显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH 的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE －DCGH 的高不变，所以梯形ABFE 的面积不变，所以AE ＋BF 是定值，故③正确．所以四个命题中①③正确．故选D.答案 D10．从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．解析 如图所示：四边形ABCD 为矩形，故(1)满足条件；四面体D －A 1BC 1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D －B 1C 1D 1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C －B 1C 1D 1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个．故答案为4.答案 411．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．解析 设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝12，bc ＝6，ac ＝8，∴abc ＝24.分别除以bc ，ac ，ab ，得a ＝4，b ＝3，c ＝2.∴体对角线长为42＋32＋22＝29.答案2912．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.创新突破13．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．。
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第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．棱柱的侧面都是( )
A．三角形 B．四边形C．五边形D．矩形
解析：由棱柱的定义知棱柱的侧面都是平行四边形．
答案：B
2．下列说法正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解析：由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．
答案：B
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：A、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，B中展开图的底面在同一侧，故不能围成棱柱．故选D.
答案：D
4．一个棱锥至少由几个面构成( )
A．三个 B．四个 C．五个 D．六个
解析：选在所有的棱锥中，只有三棱锥的面数最少，共4个面，故一个棱锥至少由四个面构成，故选B.
答案：B
5.在如图所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是
________．
解析：此几何体由△OAB ，△OAD ，△ODC ，△OBC 和正方形ABCD 围成，是四棱锥． 答案：四棱锥
6．如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________ cm.
解析：由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm ，3 cm ，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是13 cm. 答案：13
7．一个棱台至少有_______个面，面数最少的棱台有_______个顶点，有________条棱． 解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点， 9条棱．
答案：5 6 9
8．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm. 解析：∵棱柱有10个顶点，
∴该棱柱为五棱柱，
∴每条侧棱长为605
＝12(cm)． 答案：12
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解析：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
[B 组 能力提升]
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中取四棱锥A1ABCD，则此四
棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.
答案：D
2．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都相交于一点
解析：只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．
答案：C
3．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
解析：将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1
＝AD2＋DD21＝10.
答案：10
4．设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
其中真命题的序号是________．
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的，因直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的，由棱台的定义知命题④是正确的．
答案：①④
5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC ＝60°.
答案：60°
6.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF
及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为
P .
问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？
(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？
(3)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？
解析：(1)三棱锥．
(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF ，面DFP ，面DEP ，面EFP .由平面几何体知识可知DE ＝DF ，∠DPE ＝∠EPF ＝∠DPF ＝90°，所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△DEP 为直角三角形，△EFP 为等腰直角三角形．
(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32
a 2. 敬请批评指正。