上海交通大学附属中学2015届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案

上海交通大学附属中学2014-2015学年度一学期
高三数学摸底考试卷
（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．函数的反函数________________．
答案：
解：∵，∴，由得，故
2. 函数的最小值_________
答案：
3. 若，则的取值范围是___________
答案：
4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．答案：-1
解：因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此
5．同时满足（1）
答案：15
6．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．
答案：
解：“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，
，由得或，即或
，所以的范围是.
7．已知，则．
答案：
解：由可得，所以
8．方程有解，则________
答案：
9. 如果
答案：
10．函数图像的对称中心是．
答案：
解：因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数
图像的对称中心是.
11.
答案：
12.
答案：
13. 关于函数
必定是
的整数倍；（2）的表达式可改写为；
（4）
____________
答案：（2），（3）
14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设
，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．
答案:45
解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素
，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以
，时，适合上式，时，．当，
不成立，当时，，，由于，
，，所以，最小的为．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．下列说法正确的是（）
A．命题“若，则”的否命题是“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“若，则”的逆否命题是真命题
D．“”是“”的充分不必要条件
答案：C
解：中，否命题应该是“若，则”，错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．
16. 若是的最小值，则的取值范围为（）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
答案：D
解：由于当时，在时取得最小值，由题意当时，
应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．
17.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（
）
A ．和都是锐角三角形
B ．和都是钝角三角形
C ．是钝角三角形，是锐角三角形
D ．是锐角三角形，是钝角三角形
答案：D
解： 是锐角三角形
如果是锐角三角形，则，，，不可能成立；
如果是直角三角形，不妨设，则，A 1=0不合题意；
所以是钝角三角形。

（可求出钝角的大小为135°）
18. 定义一种新运算：，已知函数，若函数
恰有两个零点，则的取值范围为（）.
A.(1,2]
B.．
C.
D.
答案：B
解：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中实质上就是取中的最小值，因此就是与
中的最小值，函数在上是减函数，函数在上是增函数，且，因此当时，，时，
，因此，由函数的单调性知时取得最大值，又时，是增函数，且，，又
时，是减函数，且.函数恰有两个零点，说明函数的图象与直线有两个交点，从函数的性质知
.选B.
三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)
19. 解关于x的不等式：
解：
20．在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
解：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：
，.
（2）由正弦定理得：，，
，即：.
21．数列的首项,
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？
答案：(1) ；（2）.
解：（1）
又，
则即奇数项成等差，偶数项成等差
（或: ）（2）当为偶数，即时：
当为奇数，即时：
22．阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.
答案：（1）9；（2）18；（3）证明见解析.
解：（1）， 2分
而，
当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.
（2），
而，，
当且仅当，即时取到等号，则，
所以函数的最小值为.
（3）
当且仅当时取到等号，则.
23．已知函数满足2+，对x≠0恒成立，在数列{a n}、{b n}中，a1=1，b1=1，对任意x∈N+，，。

（1）求函数解析式；
（2）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（3）若对任意实数,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k 的最小值。

答案:（1）（2）（3）3
解：（1），∴，联立解得
（2）∵，∴，
∴是以1为首项、2为公差的等差数列，，∴
又，相加有，∴
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立，
则恒成立，变形为，恒成立。

设，
∴，
∴∴或，n∈N+
故k min=3。