重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学(文)试题 Wor

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2019年重庆一中高2019届高三下期第一次月考数学(文)试题及答案

2019年重庆一中高2019届高三下期第一次月考数学（文）试题及答案一、选择题（每题5分，共计50分）1．集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合1B y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则有（）A AB ⊆ B A B ⋂=∅C B A ⊆D 以上均错误2．一个半径为1球内切于一个正方体，切点为,,,,,A B C D E F ，那么多面体ABCDEF 的体积为（）A 112B 16C 23D 433．对于任意[1,5]x ∈，则x 满足不等式2340x x --<的概率为（）A 34B 15C 35D 454．（原创）直线cos sin 20x y θθ+-=与圆221(sin )(2cos ),()4x y R θθθ-+-=∈的位置关系为（）A 相交，相切或相离B 相切C 相切或相离D 相交或相切 5．已知:p “tan tan 1αβ=”， q ：“cos()0αβ+=”，那么p 是q 的（）条件 A 充要 B 既不充分，也不必要 C 必要不充分 D 充分不必要6．向量(2,3),(1,)a b λ=-=-r r ，若,a b r r的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）A23λ>B 23,32λλ>≠-且C 23,32λλ>-≠且D 23λ>-7．（原创）首项为1的正项等比数列{}n a 的前100项满足1=3S S 奇偶，那么数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（）A 先单增，再单减B 单调递减C 单调递增D 先单减，再单增8x m=+没有实数根，则实数m 的取值范围为（）A (,)-∞⋃+∞B ⎡⎣C (,)-∞⋃+∞D9．式子的最大值为（）A 12 B 110．（原创）定义在实数集R 函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()1f x -为奇函数，现有以下三种叙述：（1）8是函数()f x 的一个周期；（2）()f x 的图像关于点(3,0)对称；（3）()f x 是偶函数.其中正确的是（） A （2）（3） B （1）（2） C （1）（3） D （1）（2）（3）二、填空题（每题5分，共计25分）11．椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的左顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，且点1F 分2AF uuu r 的比为12，则该椭圆的离心率为12．三角形,6,4,8ABC AB BC AC ===中，则AB BC ∙=uu u r uu u r13．某小区共有2018人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了人14．（原创）直线l 过定点(2,2)且与圆229x y +=交于点,A B ，当AB 最小时，直线l 恰好和抛物线29x ay =-（0a <）相切，则a 的值为15．（原创）集合{}3,[1,2]A y y x x ==∈，集合{}ln 20B x x ax =-+>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是三、解答题（共计75分） 16．（13分）现从两个文艺组中各抽一名组员完成一项任务，第一小组由甲，乙，丙三人组成，第二小组由丁，戊两人组成.（1）列举出所有抽取的结果；（2）求甲不会被抽到的概率.17．（13分）函数44()cos sin 2sin cos 2,()f x x x x x x R =-++∈ （1）求函数)2(x f 的最小正周期和对称轴；（2）求函数)8(π+x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域.18．（13分）数列}{n a 满足,11=a 且),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n b 满足n n a b 1=，求数列}{n b 的前n 项的和n S .19．原创（12分）直三棱柱111ABC A B C -，棱1AA 上有一个动点E 满足1AE A E λ=.（1）求λ的值，使得三棱锥E ABC -的体积是三棱柱111ABC A B C -体积的19；（2）在满足（1）的情况下，若12AA AB BC AC ====，1CE AC M⋂=，确定BE 上一点N ，使得11//MN BCC B 面，求出此时BN 的值.20．（12分）已知函数()()2ln 20f x x ax bx a =-+>，且'(1)0f =（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）试问函数()f x 图像上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，使得函数()f x 在C 1B 1A 1MECB122x x x +=的切线与直线AB 平行？若存在，求出,A B 的坐标，不存在说明理由.21．原创（12分）点1F ，2F 是椭圆C 的22143x y +=左右焦点，过点1F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于,P Q 两点. （1）若22PF QF ⊥，求此时直线PQ 的斜率k ；（2）左准线l 上是否存在点A ，使得V PQA 为正三角形？若存在，求出点A ，不存在说明理由.出题人：廖桦审题人：张伟2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考数学答案（文科）一、选择题（每题5分，共计50分） BDACD CACBD二、填空题（每题5分，共计25分）11．12； 12．6； 13. 2014．18- 15．2ln 8(,)8+-∞三、解答题（共计75分）16．（13分）解：（1）结果有：甲丁，甲戊，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊；（2）记A=“甲不会被抽到”，根据（1）有3264)(==A P17．（13分）解：（1）44()cos sin 2sin cos 2cos 2sin 22)24f x x x x x x x x π=-++=++=++所以2)44sin(2)2(++=πx x f根据公式，其最小正周期242ππ==T ，要求其对称轴，则有Zk k x ∈+=+,244πππ，即对称轴为Z k k x ∈+=,164ππ（2）22cos 22)22sin(2)8(+=++=+x x x f ππ，根据单调性，其在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22218．（13分）解：（1）由),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-有n a a n n =--1，由叠加可得 121321(1)()()()12(2)2n n n n n a a a a a a a a n n -+=+-+-++-=+++=>L L ，当1=n 时，上式的值为1，满足条件,11=a所以，2)1(+=n n a n（2）)111(2)1(2+-=+=n n n n b n ，所以12)1113121211(2+=+-++-+-=n n n n S n19．（12分）解：（1）根据条件，有11=39Sh Sh 锥柱，1=3h h 锥柱，即点E 到底面ABC 的距离是点1A 到底面ABC 距离的13，所以12λ=；（2）根据条件，易得112AE EM CC CM ==，则当13EM EN MC BN ==时//BC MN ，即有11//MN BCC B 面，即34BN BE=时，有，所以BN =20．（12分）解：（1）()'122f x ax b x =-+，又'(1)0f =，所以有221b a =-，所以()()'1122112,f x ax a x a x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭又0,0a x >>，所以()'0f x >有01x <<，所以()f x C 1B 1A 1ME CB的单调递增区间为(0,1) （2）根据条件()21111ln 21y x ax a x =-+-，()21222ln 21y x ax a x =-+-，所以()()1212121212ln ln 21AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，而()()'1212122212ABx x f a x x a k x x +⎛⎫=-++-= ⎪+⎝⎭，则整理可得121212ln ln 2x x x x x x -=-+，即有12121221ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令12(0t 1)x t x =<<，即4ln 201t t +-=+，令()4g ln 2(0t 1)1t t t =+-<≤+，则()()()2'21g 01t t t t -=≥+，则函数()g t 在(]0,1上单增，而()g 10=，所以在()0,1内，()g 0t <，即4ln 201t t +-=+在()0,1内无解，所以，不存在.21．（12分）解：（1）设直线PQ 为()1y k x =+，联立椭圆方程22143x y +=可得()22223484120k xk x k +++-=，设点()()1122,k ,,k P x x k Q x x k ++，则有221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，又22PF QF ⊥，可得220PF QF ∙=uuu r uuu r，即有()()()22212121110kx x k x x k -+++++=，整理可得279,k k ==（2）记PQ 的中点为M ，要使得PQA 为正三角形，当且仅当点A 在PQ 的垂直平分线上且PQ MA 23=,现作l MM ⊥1于1M ，则123MM PQ >,根据第二定义可得PQePQ MM ==21，则有123>，显然不成立，即不能存在.。

重庆市2020届第一中学高三下学期第一次月考数学(文)试题(有答案)

2020届重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．若全集{}14U x x =-≤≤ ，集合13273xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则U C A =（）A ．[]1,3-B ．(]3,4C ．[]3,4D ．()3,4【答案】B【解析】先求出集合A ，再按补集的定义求解即可. 【详解】解不等式13273x ≤≤，得13x -≤≤，所以{}13A x x =-≤≤，故(]3,4U C A =. 故选：B. 【点睛】本题考查补集的定义及求法，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，则232019i i i i +++⋅⋅⋅+等于（） A ．0 B ．1C ．-1D ．i -【答案】C【解析】按照复数的运算法则和等比数列的前n 项和计算即可. 【详解】232019201922(1)(1)(1)111(1)(1)i i i i i i i i i i i i i i i+++⋅⋅⋅-++=====----++.故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，考查等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于基础题.3．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>分别过点()2,0A 和()0,1B -，则该椭圆的焦距为（）A B ．C D ．【答案】B【解析】由题意可得a 2＝4，b 2＝1，利用隐含条件求得c ，则2c 即为所求．【详解】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选：B 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题． 4．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A ，B 显然正确；对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错. 故选：D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题 5．若34tan 43πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 2θ=（）A ．725-B ．725C ．724-D ．724【答案】C【解析】由两角差的正切求得tan 7θ=，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为34tan 43πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以tan 141tan 3θθ+=--，解得tan 7θ=，从而22tan 7tan21tan 24θθθ==--. 故选C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查两角差的正切及二倍角公式，考查运算求解能力，是基础题6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3620a a +=，535S =，则7S =（） A ．57 B ．60C ．63D ．66【答案】C【解析】利用等差数列前n 项和公式及性质求出a 3，再利用等差数列通项公式求出a 1，d ，由此能求出{a n }的前n 项和公式，进而求得7S ．【详解】因为()1535355253522a a a S a +⨯===⨯=，所以37a =，又3620a a +=，解得37a =，613a =，设数列{}n a 的公差为d ，所以6336a a d -==，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以22n S n n =+，从而763S =.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题，注意等差数列性质的合理运用．7．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（） A ．36π B ．27πC ．18πD ．12π【答案】A【解析】由轴截面求得圆柱的高和底面圆半径，再计算圆柱的侧面积．【详解】设底面圆的半径为r ，则高为2r ，由2236r r ⋅=，得29r =， ∴222436S r r r πππ=⋅==侧面. 故选：A. 【点睛】本题考查了圆柱的轴截面与侧面积的应用问题，是基础题．8．若变量x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则yx 的最大值是（）A ．13- B ．12-C ．-2D ．32-【答案】B【解析】作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．【详解】画出不等式组表示的可行域，yx表示通过可行域内的点(),x y 与坐标原点的直线的斜率，又3020x y x -+=⎧⎨+=⎩解得C ()2,1-，由图可知：点C ()2,1-与坐标原点()0,0的连线斜率最大，即max 1122y x ⎛⎫==-⎪-⎝⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．9．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =异面直线1AC 与11A B 所成的角为（） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，1CC =∴1BC ==，∴1tan BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10．已知函数222()4()x x f x x x m e e --=-+++有唯一零点，则实数m =（） A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】D【解析】通过转化可知问题等价于函数24y x x =-的图象与函数22()x x y m ee --=+的图象只有一个交点求m 的值，分0m =，0m >，0m <三种情况，结合函数的单调性分析可得结论. 【详解】函数222()4()x x f x x x m e e --=-+++有唯一零点，等价于函数24y x x =-的图象与函数22()x x y m ee --=+的图象只有一个交点，当0m =时，224(2)44y x x x =-=--≥-，此时有两个零点，不满足题意；当0m >时，由于224(2)4y x x x =-=--在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且22()x x y m ee --=+在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以函数24y x x =-的图象最低点为(2,4)-，函数22()x x y m e e --=+的图象最低点为(2,2)a ，由于204a >>-，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意；当0m <时，由于224(2)4y x x x =-=--在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且22()x x y m ee --=+在(,2)-∞上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以函数24y x x =-的图象最低点为(2,4)-，函数22()x x y m e e --=+的图象最低点为(2,2)a ，若两函数只有一个交点，则24a =-，即2a =-.故选：D. 【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与划归的思想，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.11．已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=（）.A ．57B ．37C ．67D ．97【答案】C【解析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，易知120,0y y ><.由题意知2p =，则抛物线2:4C y x =.因为3QF =，所以2222(1)9x y -+=，又2224y x =，得22x = （负值舍去），2y =-联立24x my y x⎧-=⎪⎨=⎪⎩，得240y my --=，故12y y =-，所以1y =故152x =，过点P 作PP '垂直于准线:1l x =-，垂足为P '，过点Q 作QQ '垂直于准线:1l x =-，垂足为Q '，易知RQQ RPP ''V V ∽，故36772QRF PRFS QRQQ S PR PP =='='=V V ，故选C ．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∴,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可．【详解】令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--，则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．二、填空题13．已知()2,01,0x e x f x x x ⎧->=⎨-<⎩，则()()ln3f f =______.【答案】8【解析】根据分段函数的定义直接求解即可. 【详解】()()ln32ln3()(3)(3)18f f f e f =-=-=--=.故答案为：8. 【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于基础题,14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数.现从()3,4,5，()5,12,13，()6,8,10，()7,24,25，()8,15,17，()9,40,41，()9,12,15，()10,24,26，()15,20,25，()15,36,39这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为______. 【答案】25【解析】利用古典概型定义直接求解即可. 【详解】从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中能构成等差数列的有：()3,4,5，()6,8,10，()9,12,15，()15,20,25，共4种，故所求概率为：42105P ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查古典概型概率公式及应用，考查了数学文化的背景，考查理解能力，属于基础题,15．在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆221169x y C +=：上运动，则点P 到直线100x y --=的距离的最大值为______.【答案】2【解析】设与直线100x y --=平行的直线方程为：0x y c -+=，与椭圆方程联立消元，令0∆=，可得c 的值，求出两条平行线间的距离，即可得解. 【详解】设与直线100x y --=平行的直线方程为：0x y c -+=，与椭圆方程联立消去y 得：222532161440x cx c ++-=，令221024100(16144)0c c ∆=--=，即：2576144000c -+=，解之得：5c =±，2=或2，所以点P 到直线100x y --=的距离的最大值为2.故答案为：2. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线100x y --=平行，且与椭圆相切的直线方程，属于常考题.16．已知三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，6AB =，AC =AB AC ⊥，顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点，且5DE =，则球O 的体积为______. 【答案】2563π【解析】先画出图形，求出外接球的半径，然后计算体积即可. 【详解】如图，在ABC ∆中，6AB =，AC =AB AC ⊥，所以BC ==，12AE BC ==O 的半径为R ，则2215(5)R R +-=，解之得：4R =，所以球O 的体积为：33256444333V R πππ==⨯=. 故答案为：2563π. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，考查数形结合思想，考查计算能力，属于常考题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题18．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上的一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，将ABE ∆沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且有SC SD =.（1）证明：SH ⊥面BCDE ；（2）求三棱锥C SHE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）取CD 的中点M ，分别连接HM 和SM ，由已知易得SH BE ⊥，先证SM CD ⊥，再证HM CD ⊥，可得CD ⊥平面SHM ，进而可得CD SH ⊥，又CD ，BE 不平行，即可证SH ⊥面BCDE ；（2）因为C SHE C SHE S HEC V V V ---==，利用等体积法计算即可得解.（1）如图，取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，在矩形ABCD 中，Q 2AB =，3BC =，且2AE ED =，∴2AE AB ==，∴2SE SB ==，又点H 是BE 的中点，∴SH BE ⊥， Q SC SD =，点M 是线段CD 的中点，∴SM CD ⊥，又因为HM 平行于BC ，∴HM CD ⊥，又HM SM M ⋂= ∴CD ⊥平面SHM ，又SH ⊂平面SHM ，∴CD SH ⊥，又CD 与BE 不平行，∴SH ⊥面BCDE ；（2）由（1）知2sin 45SH AH ==⨯︒=()1332122HEC S ∆=⨯⨯-=，∴三棱锥C SHE -的体积13322C SHE C SHE S HEC V V V ---===⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查等体积法的应用，考查空间想象能力和运算能力，考查转化思想，属于高考常考题型.19．某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y （百件）与月份x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，5121.2i i i x y ==∑.【答案】（1）ˆ0.320.24y x =+；2.16（百台）；（2）15P =【解析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值．【详解】（1）因为()11234535x =++++=，()10.60.8 1.2 1.6 1.8 1.25y =++++= 所以221.253 1.2ˆ0.325553b -⨯⨯==-⨯，则ˆ 1.20.3230.24a =-⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.320.24yx =+. 当6x =时，ˆ0.3260.24 2.16y=⨯+=（百台）. （2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a ，b ，c ，d ，购买意愿为12月份的抽2人记为A ，B ，从这6人中随机抽取3人的所有情况为(),,a b c 、(),,a b d 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c d 、(),,a c A 、(),,a c B 、(),,a d A 、(),,a d B 、(),,a A B 、(),,b c d 、(),,b c A 、(),,b c B 、(),,b d A 、(),,b d B 、(),,b A B 、(),,c d A 、(),,c d B 、(),,c A B 、(),,d A B ，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(),,a A B 、(),,b A B 、(),,c A B 、(),,d A B ，共4种，故所求概率为41205P ==. 【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题． 20．已知抛物线()220y px p =>，直线2y x =+是它的一条切线.（1）求p 的值；（2）若()2,4A ，过点(),0p m 作动直线交抛物线于B ，C 两点，直线AB 与直线AC 的斜率之和为常数，求实数m 的值. 【答案】（1）4p =；（2）2m =-【解析】（1）联立拋物线与直线的方程，利用0∆=，解得p 即可.（2）设()11,B x y ，()22,C x y ，将AB AC k k +表示成关于12y y ，的表达式，设出过点(),0P m 的动直线的方程，代入抛物线方程，结合韦达定理化简得到8842AB AC t k k t m ++=+-，满足8842m=-时符合题意，解之即可.【详解】（1）由2y x =+，得2x y =-，代入22y px =，得2240y py p -+=，因为拋物线()220y px p =>与直线2y x =+相切，所以()22440p p ∆=-⨯=，解得4p =. （2）设()11,B x y ，()22,C x y ，则()()12122212121212884488444162288AB AC y y y y k k y y y y y y y y ++--+=+=+=+++++--. 设过点(),0P m 的动直线的方程为x ty m =+，代入28y x =，得2880y ty m --=，所以264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-，所以()()121212888841642AB AC y y t k k y y y y t m++++==++++-.若t 变化，AB AC k k +为常数，则需满足8842m=-，解得2m =-. 【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查了斜率公式，考查了韦达定理的应用，考查了运算能力，属于较难题．21．设函数2()(2)ln ()f x ax a x x a R =---∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(44ln 2,)++∞【解析】（1）()()()()211122x ax f x ax a x x-+=---='，讨论a ，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解【详解】（1）因为()()22ln f x ax a x x =---，其定义域为()0,∞+，所以()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'.∴当0a ≥时，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >，此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.∴当20a -<<时，令()0f x '<，得102x <<或1x a>-；令()0f x '>，得112x a<<-，此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.∴当2a =-时，()0f x '≤，此时()f x 在()0,∞+上单调递减. ∴当2a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或12x >；令()0f x '>，得112x a -<<，此时()f x 在10,a⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）可知：∴当0a ≥时，()14ln224af x f -⎛⎫==+⎪⎝⎭极小值. 易证ln 1x x ≤-，所以()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+. 因为()110313a <≤+，()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭， ()120f =>.所以()f x 恰有两个不同的零点，只需14ln2024af -⎛⎫=+<⎪⎝⎭，解得44ln2a >+.∴当20a -<<时，114ln2024af f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意. ∴当2a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意. ∴当2a <-时，由于()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且14ln2024af -⎛⎫=+>⎪⎝⎭，又1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1102a <-<，1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 最多只有1个零点，与题意不符.综上可知，44ln2a >+，即a 的取值范围为()44ln2,++∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合,直线l 的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C 的极坐标方程为:4sin ρθ=.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点,直线l 过定点M ,若MP MQ +=直线l 的斜率.【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）1-.【解析】（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）把2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入()2224x y +-=，整理得()24cos sin 40t t αα+-+=，由1212MP MQ t t t t +=+=+，得34πα=，能求出直线l 的斜率．【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=.即224x y y +=，即()2224x y +-=.（2）把直线l 的参数方程带入()2224x y +-=得()24cos sin 40t t αα+-+=设此方程两根为12,t t ，易知()2,0M ,而定点M 在圆C 外，所以1212MP MQ t t t t +=+=+，4cos sin αα∴-=cos sin αα∴-=[0,)απ∈，可得34πα=， ∴1k =-，所以直线l 的斜率为-1. 【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 23．己知0a >，函数()f x x a =-.（1）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（2）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23x x -≤≤；（2）(0,4]【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于()2max 2g x a c ≥-，由2x a x a x a x a a --+≤---=，得不等式即可求解【详解】（1）当2a =时，()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，由125x -≤，解得21x -≤<-；当12x -≤<时，由35≤，解得12x -≤<；当2x ≥时，由215x -≤，解得23x ≤≤. 综上可知，原不等式的解集为{}|23x x -≤≤. （2）()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+.存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，等价于()2max 2g x a a ≥-.又因为2x a x a x a x a a --+≤---=，所以222a a a ≥-，即240a a -≤.解得04a ≤≤，结合0a >，所以实数a 的取值范围为(]0,4. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题。

【重庆市第一中学】2017届高三下学期第一次月考数学(文科)试卷

（1）求的值；
（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，恒成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程：，曲线的参数方程：（为参数），且与有两个不同的交点．
（1）写出曲线和曲线的直角坐标方程；
A． B． C． D．
10．（原创）已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知点的坐标满足不等式组，为直线上任一点，则的最小值是（）
A． B． C．1D．
12．已知函数，在处取得最大值，以下各式中：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
5.4
若之间的线性回归方程为，则的值为（）
A．-0.96B．-0.94C．-0.92D．-0.98
7．若是等差数列的前项和，且，则的值为（）
A．66B．48C．44D．12
8．在如图所示
A． B． C． D．
9．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
（2）求实数的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．
（1）求三棱柱的体积；
（2）已知点是平面内一点，且四边形为平行四边形，在直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．
19．函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

重庆市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

重庆市2023-2024学年度下期高2026届第一次月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(AB BC AD +-=（）A.AD B.DAC.CDD.DC【答案】D 【解析】【分析】直接用向量加减法容易得解．【详解】解：AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题．2.在ABC 中，已知120B =︒，AC ，2AB =，则BC =（）A.1B.C.D.3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3.已知向量()63,9a t =+ ，()42,8b t =+ ，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（）A .1- B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值．【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+ ，所以()63,1113a b t =++ ，()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4.在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，记AE a = ，CD b = ，则AC =（）A.()13a b - B.()12a b - C.1123a b - D.()23a b -【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，()12a AB AC =+ ，1122b AB CA AB AC =+=-．两式相减，得32a b AC -= ，所以()23AC a b =-．故选：D ．5.已知向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，则一定共线的是（）A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出,BD AC，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= ，则有//AB BD，而,AB BD 有公共点B ，有A ，B ，D 共线，A 是；0BC ≠ ，不存在实数λ，使得AB BC λ=，因此,AB BC 不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠，不存在实数μ，使得CD BC μ= ，因此,BC CD 不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；130AC AB BC b =+=≠ ，不存在实数t ，使得CD t AC =，因此,AC CD 不共线，A ，C ，D 不共线，D不是.故选：A6.已知对任意平面向量(,)AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ，点()14B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为（）A.31,2⎫+⎪⎭ B.31,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.52⎛⎝ D.(5,212【答案】A 【解析】【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合A 点坐标可得点P 的坐标．【详解】O 为坐标原点，由已知2)AB =，ππππ12sin()2cos()](,333322AP =----+-=- ，又(1,2)A ，所以P点坐标为13(1,2)(,)(1,)2222OP OA AP =+=+-=+ ，故选：A ．7.如右图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，则2x y +的最小值为A.2B.13C.33+ D.34【答案】C 【解析】【分析】由题意可得MG GN λ=，利用三角形重心的向量表示，化简可得113x y+=.然后利用基本不等式来求得最值.【详解】因为M ，N ，G 三点共线，所以MG GN λ=，所以()AG AM AN AGλ-=- 又因为G 是ABC 重心，所以()13AG AB AC =+，所以()()1133AB AC x AB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得113x y +=，由基本不等式得()(1111212233333x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2113x y y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2122,36x y ==时，等号成立，故选：C 【点晴】8.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，2AB =，BC =AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A.B. C.4 D.6【答案】D 【解析】【分析】设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，利用余弦定理求得2AC ，表示出sin β，进而可求得2BD ，结合辅助角公式即可求得答案.【详解】由题意2AB =，BC =设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，则由余弦定理得：2222··cos 12AC AB BC AB BC ABC α=+-∠=-，由正弦定理得：sin β=因为AC CD ⊥，则90BCD β︒∠=+，在BCD △中，()28122cos 90BD a β︒=+--⨯+20α=-+π202016sin 4ααα⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，3π4α∴=时，2BD 的最大值为36，BD 取得最大值6，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A.()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅ B.若a b = ，则a b=± C.若a b ⊥，则a b a b+=- D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c=【答案】ABD 【解析】【分析】根据数量积的意义判断A ，根据向量模的意义判断B ，根据向量数量积的运算律运算及向量垂直判断C ，根据向量的数量积运算判断D.【详解】对于A ，因为()a b c ⋅⋅ 表示向量c λ，()a cb ⋅⋅ 表示向量b μ ，当,c b不共线且0,0λμ≠≠时，两个向量一定不相等，故A 错误；对于B ，因为a b = 时，向量,a b 的方向不确定，故a b =±不正确，故B 错误；对于C ，a b a b +=-⇔ 22a b a b+=- 2222220a a b b a a b a b b a b ⇔+⋅+=-⋅+⇔⋅=⇔⊥，所以C 正确；对于D ，由cos ,cos ,a b a c a b a b a c a c ⋅=⋅⇒⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，不能得出b c =，故D 错误.故选：ABD10.在ABC 中，AB =，2BC =，45A ∠=︒，则ABC 的面积可以为（）A.B.32C.332+ D.622+【答案】AC 【解析】【分析】由余弦定理可求得b ，再用三角形面积公式可得解.【详解】c =，2a =，o 45A =，∴2222cos a b c bc A =+-，即2222cos 4622b ac bc A b =-+=-+⨯⨯，整理得220b -+=，解得1b =+1，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A +==⨯⨯=，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A -==⨯⨯=，所以ABC 的面积为332+故选：AC.11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，则下列结论正确的有（）A.22OA OD ⋅=-B.OB OH +=C.AH HO BC BO⋅=⋅D.AH 在AB 向量上的投影向量为2AB【答案】ABD 【解析】【分析】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，对于A ，11cos1352OA OD ⋅=⨯⨯︒=- ，故A 正确；对于B ，90BOH ∠=︒，则以OB ，OH 为邻边的对角线长是||OA 倍，可得OH OB +==，故B 正确；对于C ， AH BC = ，||||HO BO = ，AH 与HO 的夹角为180AHO ︒-∠，BC 与BO的夹角为OBCAHO ∠=∠，故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r，故C 错误；对于D ，AH 在AB 向量上的投影向量为cos1352AH AB AB AB AB AB AB⋅⋅=⋅=-，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】【详解】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．考点：向量共线．13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.【答案】67【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+ ，122n e ke =+ ，12111cos 602e e ⋅=⨯⨯︒= ，22121211221(32)(2)6(34)26(34)2112m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++= ，解得：67k =．故答案为：67．14.已知平面向量a ，b ，c满足：2a b c ⋅== ，3a c -= ，4b c -= ，则a b c +-= ___________，且a b +的取值范围为___________.【答案】①.5②.[]3,7【解析】【分析】第一空：由题意可设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，进一步有()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，结合2a b ⋅=有2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，而a b c +-也可以用含x y +的式子来表示，从而即可得解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.【详解】第一空：2c = ，3a c -= ，4b c -= ，设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，从而3,4CA CB ==，设()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，从而()2cos 3cos 4cos ,2sin 3sin 4sin a b c θαβθαβ+-=++++，又因为2a b ⋅=，所以()24cos6cos cos 8cos cos 12cos cos θθαθβαβ+++()24sin 6sin sin 8sin sin 12sin sin 2θθαθβαβ++++=，记6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，从而2x y +=-，所以a b c +-=5===；第二空：对于两个向量,u v，有u v u v u v -⋅≤⋅≤⋅ ，进一步有222222222u u v v u u v v u u v v -⋅+≤+⋅+≤+⋅+ ，所以u v u v u v -≤+≤+ ，注意到2c = ，5a b c +-=，从而3a b a b c c +=≥+-- ，等号成立当且仅当,a b c c +-反向，7a b a b c c +=≤+-+ ，等号成立当且仅当,a b c c +-同向，所以a b +的取值范围为[]3,7.故答案为：5，[]3,7.【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合2a b ⋅=，得到2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量a ，b ，2,1a b == ，且a 与b的夹角为π3.（1）求2a b +；（2）若2a b + 与()2a b λλ+∈R 垂直，求λ的值【答案】（1）（2）4-【解析】【分析】（1）根据已知利用向量的数量积公式得出a b ⋅，即可由向量模长的求法列式2a b +=，结合向量的运算代入值求解即可；（2）根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可.【小问1详解】2,1a b == ，且a 与b 的夹角为3π，π1cos 21132a b a b ∴=⨯⨯⋅==22a b +== 【小问2详解】2ba + 与()2ab λλ+∈R 垂直，()()202a b b a λ∴⋅+=+，即222024a b a a b b λλ+⋅+⋅=+，即8240λλ+++=，解得：4λ=-.16.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.【答案】（1）72（2）4【解析】【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA ＝2.5分（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若cos 3B =，求()sin 2B A +的值；（3）若ABC的面积为3，3a =，求ABC 的周长和外接圆的面积.【答案】18.π319.620.8，3π【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出b c +，再由正弦定理求外接圆半径即可.【小问1详解】由cos cos 2cos +=ac B b C A，由正弦定理sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos A AB C A A A +=⇒=，sin 0A ≠ ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.【小问2详解】因为sin 3B ==，所以23,1sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-，πππ223sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭.【小问3详解】因为11sin 2223S bc A bc ==⋅=，所以163bc =，由余弦定理得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即()216933b c =+-⨯，解得5b c +=，所以ABC 的周长为8a b c ++=，由32πsin sin 3a R A ===所以外接圆的面积2π3πS R ==.19.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数.（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；（2）设()()ππ3cos 63g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM共线的单位向量；（3）已知()2,3A -，()2,6B，()OT = 为函数()()πsin R 6h x m x m ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()π23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）410-；（2）)OM =，1,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在点()0,2，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据向量的伴随函数求出()f x ，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；（2）化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得OM，继而进一步计算即可；（3）根据题意确定m 的值，继而得到函数()π2sin 6h x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，继而得到()2cos 2xx ϕ=，设点,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.【小问1详解】根据题意知，向量(ON = 的相伴函数为()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当()π82sin 35f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.【小问2详解】因为()ππ3cos 63g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭3cos x x =+，故函数()g x的相伴特征向量)OM =，则与)OM =共线单位向量为)313,622OM OM⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】因为()π31sin sin cos 622h x m x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故32112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()π2sin 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()πππ2sin 23236x x x h ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 2cos 222x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，设点,2cos2x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以22cos 3,2,2cos 622x x AP x BP x ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，若AP BP ⊥ ，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2244cos 18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为139522cos 2,2cos ,22222x x -≤≤-≤-≤-，故22591692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭成立，故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解答本题的关键.。

重庆市重庆一中高三数学下学期第一次月考试题文

2015年重庆一中高2015级高三下期第一次月考数学试题卷（文科）数学试题（文史类）共4页，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）命题“若5=6πα，则1sin 2α=”的逆否命题是（A ）若56πα≠，则1sin 2α≠ （B ）若5=6πα，则1sin 2α≠ （C ）若1sin 2α≠，则56πα≠ （D ）若1cos =2α，则5=6πα （2）设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=x x N ，则N C M R I 等于（A ）[]1,1- （B ）)0,1(- （C ）[)3,1 （D ）)1,0( （3）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本恰好是A 样本每个数据都加4后所得数据，则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是（A ）众数（B ）平均数（C ）中位数（D ）标准差（4）直线平分圆222420x y x y ++-+=的周长，则此直线的方程可能是（A ）10x y -+= （B ）30x y ++= （C ）10x y +-= （D ）30x y --=（5）已知sin (01)m m θ=<<，则3cos()2πθ+=（A ）m -（B ）m（C（D）（6）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是（A ）3（B ）（C ）12（D ）3（7）若关于x 的方程240x mx -+=在[1,3]上有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是（A ）13(4,]3（B ）(4,5] （C ）(4,6)（D ）(4,)+∞（8）运行如图所示的流程图，则输出的结果na 是（A ）5-（B ）4-（C ）1-（D ）1（9）函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+---- 在区间1(,2)2上的图像大致为（A（C ）（D ）（10）（改编）如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心的单位圆与x 轴的交点，点A在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中060POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若AH xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是（A ）1(0,]4 （B ）11[,]164 （C ）13[,]1616 （D ）31[,]164（第8题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上（11）已知i 是虚数单位,复数2(1)(1)z x x i =-++是纯虚数,则实数x 的值为．（12）在[0,2]π上随机取一个数x ，则sin 0x >的概率为．（13）满足约束条件错误!未找到引用源。

重庆一中高三数学下学期第一次月考试题文新人教A版

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数学试题卷（文科）2014.3一、选择题（每题5分，共计50分）1．集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合1B y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则有（）A AB ⊆ B A B ⋂=∅C B A ⊆D 以上均错误 2．一个半径为1球内切于一个正方体，切点为,,,,,A B C DEF ，那么多面体ABCDEF 的体积为（）A 112B 16C 23D 433．对于任意[1,5]x ∈，则x 满足不等式2340x x --<的概率为（）A 34B 15C 35D 454．（原创）直线cos sin 20x y θθ+-=与圆221(sin )(2cos ),()4x y R θθθ-+-=∈的位置关系为（）A 相交，相切或相离B 相切C 相切或相离D 相交或相切 5．已知:p “tan tan 1αβ=”， q ：“cos()0αβ+=”，那么p 是q 的（）条件 A 充要 B 既不充分，也不必要 C 必要不充分 D 充分不必要6．向量(2,3),(1,)a b λ=-=-r r ，若,a b r r的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）A23λ>B 23,32λλ>≠-且C 23,32λλ>-≠且D 23λ>-7．（原创）首项为1的正项等比数列{}n a 的前100项满足1=3S S 奇偶，那么数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（）A 先单增，再单减B 单调递减C 单调递增D 先单减，再单增8x m=+没有实数根，则实数m 的取值范围为（）A (,)-∞⋃+∞B ⎡⎣C (,)-∞⋃+∞D9．式子的最大值为（）A 12 B 110．（原创）定义在实数集R 函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()1f x -为奇函数，现有以下三种叙述：（1）8是函数()f x 的一个周期；（2）()f x 的图像关于点(3,0)对称；（3）()f x 是偶函数.其中正确的是（）A （2）（3）B （1）（2）C （1）（3）D （1）（2）（3）二、填空题（每题5分，共计25分）11．椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的左顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，且点1F 分2AF uuu r 的比为12，则该椭圆的离心率为12．三角形,6,4,8ABC AB BC AC ===中，则AB BC •=uu u r uu u r13．某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了人14．（原创）直线l 过定点(2,2)且与圆229x y +=交于点,A B ，当AB 最小时，直线l 恰好和抛物线29x ay =-（0a <）相切，则a 的值为15．（原创）集合{}3,[1,2]A y y x x ==∈，集合{}ln 20B x x ax =-+>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是三、解答题（共计75分） 16．（13分）现从两个文艺组中各抽一名组员完成一项任务，第一小组由甲，乙，丙三人组成，第二小组由丁，戊两人组成. （1）列举出所有抽取的结果；（2）求甲不会被抽到的概率.17．（13分）函数44()cos sin 2sin cos 2,()f x x x x x x R =-++∈ （1）求函数)2(x f 的最小正周期和对称轴；（2）求函数)8(π+x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域.18．（13分）数列}{n a 满足,11=a 且),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n b 满足n n a b 1=，求数列}{n b 的前n 项的和n S .19．原创（12分）直三棱柱111ABC A B C -，棱1AA 上有一个动点E 满足1AE A E λ=.（1）求λ的值，使得三棱锥E ABC -的体积是三棱柱111ABC A B C -体积的19；（2）在满足（1）的情况下，若12AA AB BC AC ====，1CE AC M⋂=，确定BE 上一点N ，使得11//MN BCC B 面，求出此时BN 的值.20．（12分）已知函数()()2ln 20f x x ax bx a =-+>，且'(1)0f =C 1B 1A 1MECBA（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）试问函数()f x 图像上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，使得函数()f x 在122x x x +=的切线与直线AB 平行？若存在，求出,A B 的坐标，不存在说明理由.21．原创（12分）点1F ，2F 是椭圆C 的22143x y +=左右焦点，过点1F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于,P Q 两点. （1）若22PF QF ⊥，求此时直线PQ 的斜率k ；（2）左准线l 上是否存在点A ，使得V PQA 为正三角形？若存在，求出点A ，不存在说明理由.出题人：廖桦审题人：张伟2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数学答案（文科）2014.3 一、选择题（每题5分，共计50分） BDACD CACBD二、填空题（每题5分，共计25分）11．12； 12．6； 13. 2014．18- 15．2ln 8(,)8+-∞三、解答题（共计75分）16．（13分）解：（1）结果有：甲丁，甲戊，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊；（2）记A=“甲不会被抽到”，根据（1）有3264)(==A P17．（13分）解：（1）44()cos sin 2sin cos 2cos 2sin 22)24f x x x x x x x x π=-++=++=++所以2)44sin(2)2(++=πx x f根据公式，其最小正周期242ππ==T ，要求其对称轴，则有Zk k x ∈+=+,244πππ，即对称轴为Z k k x ∈+=,164ππ（2）22cos 22)22sin(2)8(+=++=+x x x f ππ，根据单调性，其在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,222 18．（13分）解：（1）由),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-有n a a n n =--1，由叠加可得 121321(1)()()()12(2)2n n n n n a a a a a a a a n n -+=+-+-++-=+++=>L L ，当1=n 时，上式的值为1，满足条件,11=a所以，2)1(+=n n a n（2）)111(2)1(2+-=+=n n n n b n ，所以12)1113121211(2+=+-++-+-=n n n n S n Λ19．（12分）解：（1）根据条件，有11=39Sh Sh 锥柱，1=3h h 锥柱，即点E 到底面ABC 的距离是点1A 到底面ABC 距离的13，所以12λ=；（2）根据条件，易得112AE EM CC CM ==，则当13EM EN MC BN ==时//BC MN ，即有11//MN BCC B 面，即34BN BE=时，有，所以BN =20．（12分）C 1B 1A 1ME CBA解：（1）()'122f x ax b x =-+，又'(1)0f =，所以有221b a =-，所以()()'1122112,f x ax a x a x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭又0,0a x >>，所以()'0f x >有01x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)（2）根据条件()21111ln 21y x ax a x =-+-，()21222ln 21y x ax a x =-+-，所以()()1212121212ln ln 21AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，而()()'1212122212ABx x f a x x a k x x +⎛⎫=-++-= ⎪+⎝⎭，则整理可得121212ln ln 2x x x x x x -=-+，即有12121221ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令12(0t 1)x t x =<<，即4ln 201t t +-=+，令()4g ln 2(0t 1)1t t t =+-<≤+，则()()()2'21g 01t t t t -=≥+，则函数()g t 在(]0,1上单增，而()g 10=，所以在()0,1内，()g 0t <，即4ln 201t t +-=+在()0,1内无解，所以，不存在.21．（12分）解：（1）设直线PQ 为()1y k x =+，联立椭圆方程22143x y +=可得()22223484120k xk x k +++-=，设点()()1122,k ,,k P x x k Q x x k ++，则有221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，又22PF QF ⊥，可得220PF QF •=uuu r uuu r ，即有()()()22212121110kx x k x x k -+++++=，整理可得279,k k ==（2）记PQ 的中点为M ，要使得PQA 为正三角形，当且仅当点A 在PQ 的垂直平分线上且PQ MA 23=,现作l MM ⊥1于1M ，则123MM PQ >,根据第二定义可得PQePQ MM ==21，则有123>，显然不成立，即不能存在.。

重庆市第一中学高中毕业班第一次月考数学文科试卷

重庆市第一中学2008届高中毕业班第一次月考数学文科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。

如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上.1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A =（）A ．{2}B ．{2，3，5}C ．{1，4，6}D ．{5} 2．下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（）A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．),()()(R a a ∈=μλλμμλD ．00=⋅AB3．直线3)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定 4．不等式011>-+xx的解集是（） A ．}11|{≠->x x x 且 B ．}11|{<≤-x xC ．}11|{≤≤-x xD ．}11|{<<-x x5．已知θθθθθcos sin cos sin 2tan -+=，则的值为（）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 6．若数列}{n a 为等比数列，则“a 3a 5=16”是“a 4=4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车恰好有2天准时到站的概率为（）A ．12581B ．12554 C ．12536 D ．12527 8．已知函数22)(+=x xx f 的反函数为)()(11x f x f --，则的值为（）A ．32 B ．－2C ．2D ．19．设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为（）A ．－4B ．313 C ．3 D ．610．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意一条直线m//平面β，则平面α//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线⊥n 直线m ，则直线⊥n 平面α；④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心. 其中正确命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（）A ．4B ．52C ．6D ．328-12．已知三棱锥P —ABC 的侧棱两两垂直，且PA=2，PB=PC=4，则三棱锥P —ABC 的外接球的体积为（）A ．π316B ．32πC ．288πD ．36π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案直在题中横线上. 13．某校高中学生共有1500人，其中高一年级有450人，高二年级有550人，高三年级有500人，拟采用分层抽样的方法抽取容量为60人的样本，则应从高三年级抽取的人数为.14．在6)1(xx -的展开式中，常数项是15．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为16．关于函数xx x f 1lg )(2+=，有下列结论： ①函数)(x f 的定义域是（0，+∞）；②函数)(x f 是奇函数； ③函数)(x f 的最小值为2lg ； ④当0>x 时，函数)(x f 是增函数.其中正确结论的序号是 . （写出所有你认为正确的结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）设函数)( 1cos sin 32cos 2)(2R x x x x x f ∈-+=（Ⅰ）化简函数)(x f 的表达式，并求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的值域.18．（本小题满分12分）一纸箱中装有大小相等，但已编有不同号码的白色和黄色乒乓球，其中白色乒乓球有6个，黄色乒乓球有2个.（Ⅰ）从中任取2个乒乓球，求恰好取得1个黄色乒乓球的概率；（Ⅱ）每次不放回地抽取一个乒乓球，求第一次取得白色乒乓球时已取出的黄色乒乓球个数不少于1个的概率.19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA 1=2，D 、E 分别为BB 1、AC 的中点. （Ⅰ）证明：BE//平面AC 1D ；（Ⅱ）求二面角A 1—AD —C 1的大小.20．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n （*N n ∈），且.15,151=-=S a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式a n ；（Ⅱ）设nS b n n 41+=，求数列{b n }的前n 项和T n （*N n ∈）.21．（本小题满分12分）已知向量a ax x f a a a m -=>-=221)()0( )21,1(，将函数的图象按向量m 平移后得到函数)(x g 的图象. （Ⅰ）求函数)(x g 的表达式；（Ⅱ）若函数]2,2[)(在x g 上的最小值为3043)()(-=a h a h ，且，求a 的值.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q.（Ⅰ）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121=⋅A A ，求点T 的坐标；（Ⅱ）求直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过（Ⅰ）中的点T 作直线l 与（Ⅱ）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B （点B 在点A 与点T 之间），设)( R ∈=λλ，求λ的取值范围.重庆市第一中学2008届高中毕业班第一次月考数学（文）试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.A2.C3.A4.D5.A6.B7.B8.C9.D 10.B 11.B 12.D 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．20 14．15 15．4516．①③ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．解：（Ⅰ）∵1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f)62sin(22sin 32cos π+=+=x x x …………4分∴函数)(x f 的最小正周期π=T ………………2分（Ⅱ）∵20π≤≤x ， ∴67626πππ≤+≤x ………………1分∴1)62sin(21≤+≤-πx ………………3分 ∴2)62sin(21≤+≤-πx ………………1分∴函数]2,0[)(π∈x x f 在时的值域为[－1，2] ………………1分18．解：（Ⅰ）记“任取2个乒乓球，恰好取得1个黄色乒乓球”为事件A ，则73)(281612==C C C A P ………………6分（Ⅱ）记“第一次取得白色乒乓球时，恰好已取出1个黄色乒乓球”为事件B ；记“第一次取得白色乒乓球时，恰好已取出2个黄色乒乓球”为事件C. 则143)(17181612==C C C C B P ………………2分281)(161718161112==C C C C C C C P ………………2分 ∵事件B 与事件C 是互斥事件，∴第一次取得白色乒乓球时，已取出的黄色乒乓球个数不少于1个的概率为 P （B+C ）=P （B ）+P （C ）=41281143=+ …………2分 19．（Ⅰ）证明：以BA 所在的直线为x 轴、BC 所在直线为y 轴、BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz B -.则A （1，0，0），A 1（1，0，2），C 1（0，1，2）， D （0，0，)0,21,21(),22E …………2分 ∴).22,1,0(),22,0,1(1--=-=D C AD 设平面AC 1D 的法向量为n =（x ，y ，z ），则由⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅211 .022022001z y x z y z x C AD 取n n∴平面AC 1D 的法向量为n =（1，－1，2） …………2分又)0,21,21(=BE ， ∴.002121=+-=⋅n BE …………2分 ∵⊄BE 平面AC 1D ，∴BE//平面AC 1D …………1分[注：也可不建系，取AC 1的中点F ，连结DF 、EF ，证明DF//BE. 若使用此法，此问得6分]（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面AC 1D 的法向量为n =（1，－1，2）又平面A 1AD 的法向量为m =（0，1，0） …………1分 ∵︒>=⇒<-=⋅⋅>=<120 ,21| ||| ,cos m n m n m n m n …………2分又由图形可知，所求二面角为锐角∴二面角A 1—AD —C 1的大小为60° …………2分 20．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意.2152)15(5)1(515151=⇒=-⋅+-⋅⇒=-=d d S a ， …………3分 ∴*)( 32N n n a n ∈-= ………………2分（Ⅱ）∵n n n n n S n 222)1()1(2-=⋅-⋅+-⋅= …………2分 ∴)211(21)2(121412+-=+=+=+=n n n n n n n S b n n …………2分∴数列{b n }的前n 项和)2111111614151314121311(21+-++--++-+-+-+-=n n n n T n )23(453)2111211(2122+++=+-+-+=n n n n n n …………3分 21．解：（Ⅰ）设P （x ，y ）是函数)(x f y =图象上的任意一点，它在函数)(x g y =图象上的对应点),(y x P '''，则由平移公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+='a y y ax x 211 …………2分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'=-'=a y y ax x 211 代入函数a ax x f y -==221)(中，得.)1(21212a ax a a y --'=+' ………………2分 ∴函数)(x g y =的表达式为.21)1(21)(2a a a x a x g ---= …………1分（Ⅱ）函数)(x g 的对称轴为.01>=ax①当22210><<a a 即时，函数)(x g 在[2,2]上为增函数， ∴30432)2()(-≠-==g a h ………………2分 ②当2221212≤≤≤≤a a 即时， ∵)21(21)1()(aa a a ag a h +-=--== 令2221 .65533043)21(≤≤=⇒-=+-a a a a 而或 ∴53=a …………2分 ③当21021<<>a a 即时，函数)(x g 在[2,2]上为减函数，∴301730432)2()(=⇒-=-==a a g a h 而213017>=a ，应舍去 ………………2分综上所述，有53=a …………1分22．解：（Ⅰ）由题，得)0,2(),0,2(21A A -，设),(),,(0000y x Q y x P -则).,2(),,2(002001y x Q A y x P A --=+=由.3,1212020202021=-=--⇒=⋅y x y x Q A P A 即 …………① 又),(00y x P 在双曲线上，则.122020=-y x …………② 联立①、②，解得 20±=x 由题意， .2 ,000=∴>x x∴点T 的坐标为（2，0） …………3分（Ⅱ）设直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的坐标为（x ，y ）由A 1、P 、M 三点共线，得)2()2(00+=+x y y x …………③ …………1分由A 2、Q 、M 三点共线，得)2()2(00--=-x y y x …………④ …………1分联立③、④，解得 .2,200xyy x x ==…………1分 ∵),(00y x P 在双曲线上， ∴.1)2(2)2(22=-xy x∴轨迹E 的方程为).0,0( 1222≠≠=+y x y x …………1分（Ⅲ）因为T 的坐标为（2，0），容易验证直线l 的斜率不为0.故可设直线l 的方程为 12222=++=y x ky x ，代入中，得 .024)2(22=+++ky y k ……（*）设 00),,(),,(212211≠≠y y y x B y x A 且则由根与系数的关系，得24221+=+k ky y ……⑤ .22221+=k y y ……⑥ …………2分 ∵B TB TA ，且点λ=在点A 与点T 之间， ∴有.121>=λλ，且y y 将⑤式平方除以⑥式，得282128222222221+=++⇒+=++k k k k y y y y λλ …………1分又（*）式的判别式.20)2(816222>⇒>+-=∆k k k∴.8214828422<++<⇒<+<λλk k …………2分即 .01201661222>+-<+-⇒<+<λλλλλλ且∴.1223223≠+<<-λλ且 …………1分又,1>λ∴2231+<<λ ………………1分。