高中数学第二章推理与证明章末复习同步学案新人教B选修1_2

第二章推理与证明章末复习学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法．①综合法是从已知条件推出结论的证明方法．②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×)4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ×)类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f (n )(n ∈N ＋)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt△ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1； ③Rt△ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ，平面ABD ，平面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt△ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt△ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt△ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2.经检验，S 2Rt△ABC ＋S 2Rt△ACD ＋S 2Rt△ABD ＝S 2△BCD . 即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n 个图形由n 个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n 个图形中有________根火柴棒． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 13 3n ＋1解析 设第n 个图形中火柴棒的根数为a n ，可知a 4＝13. 通过观察得到递推关系式a n －a n －1＝3(n ≥2，n ∈N ＋)， 所以a n ＝3n ＋1. 类型二 综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1， 可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0，只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立．综合法 ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 (综合法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2恒成立，所以原不等式成立． 类型三 反证法例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)， 则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.(*)又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N ＋.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N ＋)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N ＋)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9. 故选B.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1(ab ≠0)表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1D ．ax ＋by ＋cz ＝1答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A.3．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 4．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a≤2b －a 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .5．已知等差数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________． 考点 题点 答案 S 4＝56解析 显然S 1是正确的．假设后三个数均未算错， 则a 1＝8，a 2＝12，a 3＝16，a 4＝29，这四项不成等差数列， 但可知前三项成等差数列，故a 4有误，应为20， 故S 4算错了，S 4应为56.1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④答案 C解析①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①②④是合情推理．2．在等差数列{a n}中，若a n<0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是( )A．b4＋b8>b5＋b7B．b5＋b7>b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b5>b7＋b8答案 A3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2答案 C解析观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想( )A．n≥1时，2n>n2B．n≥3时，2n>n2C．n≥4时，2n>n2D．n≥5时，2n>n2考点归纳推理题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析当n＝1时，2n>n2；当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2n<n2；当n＝4时，2n＝n2；当n ＝5时，2n >n 2；当n ＝6时，2n >n 2. 故猜想当n ≥5时，2n>n 2.5．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B解析 利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形； 小前提：四边形ABCD 是矩形； 结论：四边形ABCD 的对角线相等．6．定义运算：x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，例如3⊗4＝4，则下列等式不成立的是( )A ．x ⊗y ＝y ⊗xB ．(x ⊗y )⊗z ＝x ⊗(y ⊗z )C ．(x ⊗y )2＝x 2⊗y 2D ．c ·(x ⊗y )＝(c ·y )⊗(c ·x )(c >0) 考点 合情推理的综合应用 题点 合情推理在函数中的应用 答案 C解析 由定义可知：“⊗”是求两个数中的较大者，所以A ，B ，D 均是恒成立的． 7．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意．综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．二、填空题8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．答案 332解析 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332. 9．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．考点 类比推理题点 类比推理在图形中的应用答案 AE EB ＝S △ACD S △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B .∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ， 故结论为AE EB ＝S △ACD S △BCD.10．已知f (x )＝x e x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N ＋.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－x e x ，…，照此规律，f n (x )＝________. 答案 (－1)n (x －n )e x 解析 观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x . 三、解答题11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a ＞1.求证：1＋a ＞11－b .证明 要证1＋a ＞11－b 成立，只需证1＋a ＞11－b， 只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1，∴a －b ＞ab ，只需证a －b ab＞1(a ＞0，b >0)， 即证1b －1a ＞1.又1b －1a＞1成立， ∴1＋a ＞11－b 成立．12．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立． 考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．13．已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，只需证(a －c )2<(c 2－ab )2，只需证a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证2ac >a 2＋ab ，因为a >0，所以只需证2c >a ＋b .因为2c >a ＋b 已知，所以原不等式成立．四、探究与拓展14．设S ，V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有________________________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝015．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。