云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考卷(三)(理)数学试题汇总
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理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1页至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集为R ,集合}0|{≥=x x A ,}086|{2
≤+-=x x x B ,则=B C A R A .}0|{≤x x B .}42|{≤≤x x C .20|{<≤x x 或}4>x D .20|{<≤x x 或}4≥x 2.设复数z 满足i z i 5)21(=+,则复数z 为
A .i +2
B .i +-2
C .i -2
D .i --2 3.在等比数列}{n a 中,81=a ,534a a a =,则=7a A .
16
1 B .
8
1 C .
41 D .
21
4.若椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b y a
x 的离心率为2
1,则双曲线12
22
2=-
b
y a
x 的渐近线方程为
A .x y 2
3
±
= B .x y 3±= C .x y 2
1±
= D .x y ±=
5.下列有关命题的说法错误的是
A .若“p ∨q ”为假命题,则p ,q 均为假命题
B .“1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件
C .“
2
1s i n =
x ”的必要不充分条件是“6
π
=
x ”
D .若命题0R 2
00≥∈∃x x p ,:,则命题0R 2
<∈∀⌝x x p ,:
6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的t x ,均为2,则输出的M
A .2
1 B .
2
3 C .
2
5 D .
2
7
图1
7.如图2,网格纸的小正形的边长是1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为 A .25 B .
2
7
C .432+
D .3
33+
8.已知ABC ∆和点M 满足0=++MC MB MA ,若存在实数m ,使得AM m AC AB =+成立,则m 等于
A .2
B .3
C .4
D .5
9.已知如图3所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上,
ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直,3=AB ,3=AC ,
32
===BD CD BC ,则球O 的表面积为
A .π4
B .π12
C .π16
D .π36
10.设函数b bx x x f ()(3
+-=为常数),若方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内,且函数)(x f 在区间)1,0(上单调递增,则b 的取值范围是
A .),3[+∞
B .]4,3(
C .]4,3[
D .]4,(-∞
11.抛物线x y 82
=的焦点为F ,点),(y x P 为该抛物线上的动点,又已知点)0,2(-A ,则
|
|||PF PA 的取值范围是
A .),3[+∞
B .]2,1(
C .]4,1[
D .]2,1[ 12.若曲线2
1x y C =:与曲线x
ae y C =:2存在公切线,则a 的 A .最大值为2
8e B .最大值为2
4e C .最小值为2
8
e
D .最小值为
2
4
e
B
A C
D
图3
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
注意事项:
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.把答案填写在答题卡上相应的位置,在试题卷上作答无效.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.掷2个骰子,至少有一个1点的概率为 .(用数字作答) 14.已知)2
,
0(π
α∈,且3)4tan(=+
π
α,则=--+)cos sin 4lg()cos 6sin 8lg(αααα .
15.已知数列}{}{n n b a ,满足2
11=a ,1=+n n b a ,2
11n
n n a b b -=+,*
∈N n ,则=2015b .
16.已知函数)(x f 满足=-)(x f )(x f ,且=+)2(x f )(x f )2(f +,当]1,0[∈x 时,x x f =)(,那么在区间]3,1[-内,关于x 的方程R (1)(∈++=k k kx x f 且)1-≠k 恰有4个不同的根,则k 的取值范围是 .
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
18.(本小题12分)
如图4,四边形ABCD 为菱形,
60=∠ABC ,⊥PA 平面ABCD ,
E 为PC 中点.
(Ⅰ)求证:平面BED ⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值.
A
B
C
D
E
P
图4
2015男篮亚锦赛决赛阶段,中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军,同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券.赛后,中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员),下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.
注:(1)表中b a /表示出手b 次命中a 次; (2)0
0TS
(真实得分率)是衡量球员进攻的效率,其计算公式为:
罚球出手次数)
投篮出手次数全场得分
⨯+⨯=
44.0(2TS
.
(Ⅰ)从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联
在该场比赛中00
TS 超过00
50的概率; (Ⅱ)从上述9场比赛中随机选择两场,求易建联 在这两场比赛中00TS 至少有一场超过0060的概率; (Ⅲ)用x 来表示易建联某场的得分,用y 来表示中
国队该场的总分,画出散点图如图5所示,请根据 散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系?结 合实际简单说明理由. 20.(本小题满分12分)
已知椭圆C 的焦点在x 轴上,离心率等于55
2,且过点)5
5
2,
1(.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ,两点,交y 轴于M 点,若
BF MB AF MA 21λλ==,,求证:21λλ+为定值.
.
.
. .
.
.
0 5
10
15
20 25
30
20
40
60
80
100
120
0 易建联得分
中
国队得分
图5
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙
∙
已知函数x
x x f ln )(=
,m
x e
x g +=)(,其中 718.2=e
(Ⅰ)求)(x f 在1=x 处的切线方程; (Ⅱ)当2-≥m 时,证明:)(x f )(x g <.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题10分)【选修4-1:几何证明选讲】
如图6,P 为⊙O 外一点,PC 交⊙O 于F ,C ,PA 切⊙O 于B A ,为线段PA 的中点,BC 交⊙O 于D ,线段PD 的延长线与⊙O 交于E ,连接FE .求证:
(Ⅰ)PBD ∆∽CBP ∆; (Ⅱ)FE AP //. 23.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中,已知圆C 的参数方程为ϕϕϕ(,
sin ,
cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数),以O 为极点,x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程;
(Ⅱ)已知直线3
3
)cos 3(sin =+
θθρ:l ,射线3
π
θ=
:OM .射线OM 与圆C 的交
点为P O ,,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长. 24.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】
设函数||)(a x x f -=.
(Ⅰ)当2=a 时,解不等式|1|4)(--≥x x f ; (Ⅱ)若1)(≤x f 的解集为]2,0[,)00(211>>=+n m a n
m ,,求证:42≥+n m .
图6
云南师大附中2016届高考适应性月考卷(三)
理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
【解析】 1.由已知得{|0}A x x =≥,{|24}
B
x x =≤≤,{024}
A
B x x =<>R ∴≤或ð,故选
C .
2.5i 5i(12i)
2i
12i
(12i)(12i)
z
-=
=
=+++-,故选A .
3.{}n a ∵是等比数列,2
14354
8a a a a a ===,,410a =∴
或(舍),又2
417718a a a a ==
,∴,故选B .
4.椭圆22221(0)
x y a b a b +
=>>的离心率为
12
,可得
22
14
c a
=
,可得
2
2
2
14
a
b a
-=
,解得
2
b a
=
,∴双
曲线
222
2
1
x y a
b
-=的渐近线方程为:2y
=±
,故选A .
程序结束.输出32
M
=,故选B .
7.所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱,其体积为171121132
2
V =⨯⨯+
⨯⨯⨯=
,故选B .
8.M A M B M C +
+=
∵,∴M 是△A B C 的重心,33
A B A C A M m +=
=∴
,∴,故选B .
9.如图1所示,∵2
2
2
A B A C
B C
+=,∴C A B ∠为直角,即过△A B C
的小圆面的圆心为B C 的中点O ',A B C △和D B C △所在的平面互 相垂直,则圆心在过D B C △的圆面上,即D B C △的外接圆为球的 大圆,由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2
R =,球的
表面积为2
4π16π
S R
==,故选C .
10.函数
3
()f x x b x
=-+(b 为常数),所以
2
()()0f x x b x =--=的根都在区间[2,2]-
内,所以24
b ⇒≤;又因为函数()
f x 在区间(0,1)上单调递增,所以
2
()30
f x x b '=-+>在区间(0,
1)上恒成立,所以3b ≥,综上可得:34b ≤≤,故选C . 11.由抛物线定义得||2
P F
x =+
,又||P A =
=
||||
2
P A P F x =
=+∴0
x
=时,
||1
||
P A P F =;当0
x
≠时,
||||
P A P F ==2
x
=时取等号.44
x x
x
+
=∵
≥
,
||||
P A P F =∴
,综上所述,
||||
P A P F 的取值范围是[1,故选D .
12.设公共切线与曲线1C 切于点2
11()x x ,,与曲线2C 切于点2
2(e
)
x x a ,,则2
2
2
1
1
21
e
2e
x x a x x a
x x -==
-,
图1
将2
1
2e
x x a =代入2
2
1
1
21
e
2x a x x x x -=
-,可得
1222
x x =-,代入2
1
2e
x x a =可得2
24(1)e
x x a
-=
,设
4(1)()e
x
x f x -=
,求导得
4(2)()e x
x f x -'=
,可得
()
f x 在(12),上单调递增,
()
f x 在(2)
+
∞,上
单调递减,所以m ax 2
4()(2)e
f x f ==
,故选B .
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
【解析】 13.5511166
36
P
⨯=-
=⨯.
14.π02α
⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭∵,且πta n 34α
⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
,tan 13
1tan αα
+=-∴
,1tan 2
α=
∴
,
lg (8sin 6co s )lg (4sin co s )αααα+--∴8sin 6co s 8tan 6lg
lg lg 1014sin co s 4tan 1
ααααα
α++====--.
15.12
11n n n n n
b a b b a ++==
-∵
且,1
12n n
b b +=
-∴,111
11
1
n n b b +=
---∴
,又112
b =
,11
2
1
b =--∴,
11n b ⎧⎫
⎨⎬
-⎩⎭
∴是首项为2-,公差为1-的等差数列,11
1
n n b =---∴
,1
n
n b n =
+∴,2015
20152016
b =
∴.
16.令1y kx k =++,则化为1(1)y k x -=+,即直线1y kx k =++恒过(11)M -,.根据题意,画出
(
)[13]y f x x =∈-,,的图象与直线1y kx k =++,如图2所示,由图象可知当直线介于直线M A 与M B 之间时,关于x 的方程
()1f x kx k =++(k ∈R 且1k ≠-)恰有4个不同的根,又因为
M A k =,13
M B
k =-
,所以10
3
k -
<<.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由已知得1co s 2a C c b
+=,即1sin
co s sin sin 2
A C C B
+
=,
又sin sin ()sin co s co s sin B
A C A C A C
=+=+,
1sin co s sin 2
C A C
=∴
.
…………………………………………………………(4分)
1sin 0co s 2
C A ≠=
∵,∴.
又(0π)A ∈∵,,π3A =
∴
.
………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由正弦定理得sin
sin a B b
B c C
A
=
=
=
,,
1sin )1sin ()]
l a b c B C B A B =++=+
+=+
++∴
1π12in c o s 12s in 226B B B ⎛⎫⎛
⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. ………………………………(10分)
π3
A =
∵,
2πππ5π0366
6B B ⎛
⎫⎛⎫
∈+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭∴,
,,,
π1s in 162B ⎛⎫⎛⎤
+∈ ⎪ ⎥
⎝⎭⎝⎦
∴,.
故△ABC 的周长l 的取值范围是(23],. ……………………………………(12分)
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:如图3,连接AC 交BD 于O 点,连接EO , ∵四边形ABCD 是菱形,A O C O
=∴,
∵E 为PC 中点,
E O P A
∴∥,
P A ⊥∵平面ABCD ,E O ⊥
∴平面ABCD ,
E O ⊂
∵平面BED ,
∴平面BED ⊥
平面ABCD . ………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)解:方法一:∵平面PAB ⊥平面ABCD ,平面EBD ⊥
平面ABCD ,
∴平面P AB 和平面EBD 的交线与平面ABCD 垂直,
A B O
∠∴即为平面P AB 和平面EBD 所成角的平面角,
∵BD 是菱形ABCD 的对角线,
1302
A B O A B C ∠=
∠=︒
∴,
∴平面PBA 与平面EBD
2
. ……………(12分)
方法二:∵四边形ABCD 是菱形,
A C
B D ⊥∴,
E O ⊥
∵平面ABCD ,
E O A C
⊥∴,E O
B D
⊥,
如图4,建立空间直角坐标系O x y z
-, …………………………………………(8分)
∵y 轴⊥平面BED , ∴平面BED 的法向量为(010)
u
=,,.
设F 为AB 中点,连接CF ,菱形ABCD 的边长为2a , 则C F
A B
⊥,C F
⊥
∴平面P AB ,
∴平面P AB 的法向量为33022C F a ⎛⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭
,,,
c o s 2
||||
u C F
u C F θ=
=
-
∴
∴平面PBA 与平面EBD 2
. ……………(12分)
图4
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A , 则8()
9
P A =. ………………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B ,
252
9
C 13()1C 18
P B =-=
. …………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)不具有线性相关关系. ……………………………………………………(10分) 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围. 篮球是集体运动,个人无法完全主宰一场比赛. ……………………………(12分)
20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:设椭圆C 的方程为
222
2
1(0)
x y a b a
b
+
=>>,
2
225511,
c a a
b ⎧=
⎪⎪⎪⎨⎛ ⎪ ⎝⎭
⎪
+=⎪⎩∴ 2
5
a
=∴
,21b =,
∴椭圆C 的标准方程为
2
2
1
5
x
y
+=. ………………………………………………(4分)
(Ⅱ)证明:设点A ,B ,M 的坐标分别为11220()()(0)
A x y
B x y M y ,,,,,,
又易知F 点的坐标为(20),.
显然直线l 存在斜率,设直线l 的斜率为k , 则直线l 的方程是(2)
y
k x =-,
将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中,消去y 并整理得
2
2
2
2
(15)202050
k x k x k
+-+-=, ……………………………………………(8分) 22
12122
2
20205
,1515k
k
x x x x k
k
-+=
=
++∴,
……………………………………………(9分)
又12,M A
A F M
B B F
λλ=
=∵,
将各点坐标代入得121
21
2
,22x x x x λλ==
--,
…………………………………(11分)
12
1212121
2
1212
2()22242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=
+
=
---++∴
2
2
22
22
2
2
202052151510
20205
42
1515k k k k k
k
k
k
⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=
=---+
++. ………………………………………………(12分)
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:
ln 1(1)0
1
f =
=,即切点为(10),.
2
1ln ()x f x x
-'=
,2
1ln 1(1)
11
f -'=
=∴,即切线的斜率1k =,
∴切线方程为1y x =-,即10x y --=. ………………………………………(4分)
(Ⅱ)证明:方法一:
()
f x 的定义域为(0)+
∞,,要证()()f x g x <只需证e
ln 0
x m
x
x +->,
∵当2m -≥时,2
e
e
x m
x +-≥,故只需证明2
e
ln 0
x x
x -->.
设2
()
e
ln x h x x x
-=-,2
2
1()e
e
x x h x x x
--'=
+-
,
函数2
2
2
1()2e
e
x x h x x x
--''=++>在(0)+∞,内单调递增,
又12
12
12(1)
e
1e
10
1
e
h --'=+-
=-<,
66
22
55
665e e
556
h --⎛⎫
'=+
-
=
> ⎪⎝⎭
,
()0
h x '=∴在(0)+
∞,内有唯一的实根0x ,且0
615x ⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭,,
当0(0)x x ∈,时,()0
h x '<; 当0()
x x ∈+∞,时,()
h x '>.
从而当0x x =时,()h x 取得最小值.
由0()
h x '=得0
02
2
00
1e e
x
x x x --=
-,
代入02
00
()
e
ln x h x x x -=-得02
00
1()
e
ln x h x x x -=
--,
故02
000
16()
e
ln 5x h x x h x -⎛⎫
=
--> ⎪
⎝⎭
,
设2
1()
e
ln x x x
x ϕ-=
--,
2
2
11()e
x x x
x
ϕ-'=---
,
∵当(0,
)
x ∈+∞时,()0
x ϕ'<,
()x ϕ∴在(0,)+∞单调递减,
1
1
4411
4
55
5
5
5
3
34
5
656116(e )
(2)e
ln
e ln
ln e
ln 1.7280
565
2
3
5
2e ϕ-
-
-⎛⎫
=--=
-+
-=
+-> ⎪⎝⎭
,
0605
x <<
∵,06()
5x ϕϕ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
∴,即00()
()0
h x x ϕ=>.
综上所述,当2m -≥时,()()f x g x <.
……………………………………(12分)
方法二: 设2
()
ln h x x
x x
=--,定义域为(0)+
∞,,则1(21)(1)
()21x x h x x x
x
+-'=--
=
.
当(01)x ∈,时,()0
h x '<,()h x 单调递减; 当(1)
x ∈+
∞,时,()
h x '>,()h x 单调递増.
所以()(1)0
h x h =≥,即2
ln 0
x x x --≥,则
ln 1x x x
-≤.
设2
e
()
1x x x ϕ-=-+,定义域为(0)+∞,,则2
e
()1
x x ϕ-'=-.
当(02)x ∈,时,()0
x ϕ'<,()x ϕ单调递减; 当(2)
x ∈+
∞,时,()
x ϕ'>,()x ϕ单调递増.
所以()(2)0
x ϕϕ=≥,即2e 10
x x --+≥,则2e 1
x x
--≥.
当2m -≥
,(0)
x ∈+∞,时,2e 1e x m x x
+--≥≥.
所以1e ln x m x x x
+-≥≥,因为两个不等号分别当2
x
=,1x =时取得,
所以n e l x m
x x
+>
.
综上所述,当2m -≥时,()()
f x
g x <. ………………………………………(12分)
方法三: 设2
()e
x h x -=,则2
()
e
x h x -'=,
由()
1h x '=可解得2x =,(2)1
h =,
即()h x 在点(21),处的切线方程为12
y x -=-,即为1y x =-,
由(Ⅰ)可知
()
f x 在1x =处的切线方程为1y x =-,
()
y f x =,()
y
h x =,1y
x =-在同一坐标系
内的图象如图5所示, 可得
()1()f x x h x -≤≤,①
因为2m -≥,所以2
e
e
x m
x +-≥,
即
()()()
f x h x
g x ≤≤,
又因为①式中取等号的条件不相同, 所以
()()
f x
g x <.
………………………………………(10分)
(采用方法三证明第(Ⅱ)问时,过程不严密,第(Ⅱ)问给分不超过6分) 22.(本小题满分10分)【选修4−1:几何证明选讲】
证明:(Ⅰ)如图6,∵P A 切⊙O 于A ,
2
B A
B D B C
=∴,
∵B 为线段P A 的中点,
PB BA =∴,
2
P B
B D B C
=∴,即P B B C B D
P B
=
,
P B D C B P
∠=∠∵,
图6
图
5
P B D C B P
∴△∽△. ……………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)P B D C B P ∵△∽△,
B P D
C ∠=∠∴,
C E
∠=∠∵, BPD E ∠=∠∴,
AP FE
∴∥.
……………………………………………………………………(10分)
23.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
解:(Ⅰ)圆的普通方程为:2
2
(1)1
x
y
-+=.
co s sin x y ρθρθ
==∵,,
∴圆C 的极坐标方程为:2co s ρθ
=. …………………………………………(5分)
(Ⅱ)设11()ρθ,为点P 的极坐标,
则1112c o s π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,,解得11
1π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
,
.
设22()ρθ,为点Q 的极坐标,
则2222
(s in o s )π
3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
,
解得22
3π
3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,,
12
θθ=∵,
122
P Q ρρ=-=∴,
∴线段PQ 的长为2.
…………………………………………………………(10分)
24.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】
(Ⅰ)解:当2
a
=时,不等式为|2||1|4
x x -
+-≥.
∵方程|2||1|4
x
x -+-=的解为1
2172
2
x x =-
=
,,
∴不等式的解集为1722⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
,,.
……………………………………(5分)
(Ⅱ)证明:由
()1f x ≤得||1x a -≤,
解得11a x a -+≤≤, 而
()1f x ≤的解集为[02]
,,
1012a a -=⎧⎨+=⎩
,
∴,1a =∴,
111(00)
2m n m
n
+
=>>∴
,,
1122(2)2422n m m n m n m
n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪
⎝⎭∴≥.
………………………………(10分)。