云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考卷(三)(理)数学试题汇总

理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集为R ，集合}0|{≥=x x A ，}086|{2
≤+-=x x x B ，则=B C A R A ．}0|{≤x x B ．}42|{≤≤x x C ．20|{<≤x x 或}4>x D ．20|{<≤x x 或}4≥x 2．设复数z 满足i z i 5)21(=+，则复数z 为
A ．i +2
B ．i +-2
C ．i -2
D ．i --2 3．在等比数列}{n a 中，81=a ，534a a a =，则=7a A ．
16
1 B ．
8
1 C ．
41 D ．
21
4．若椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b y a
x 的离心率为2
1，则双曲线12
22
2=-
b
y a
x 的渐近线方程为
A ．x y 2
3
±
= B ．x y 3±= C ．x y 2
1±
= D ．x y ±=
5．下列有关命题的说法错误的是
A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．“1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件
C ．“
2
1s i n =
x ”的必要不充分条件是“6
π
=
x ”
D ．若命题0R 2
00≥∈∃x x p ，：，则命题0R 2
<∈∀⌝x x p ，：
6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的t x ,均为2，则输出的M
A ．2
1 B ．
2
3 C ．
2
5 D ．
2
7
图1
7．如图2，网格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 A ．25 B ．
2
7
C ．432+
D ．3
33+
8．已知ABC ∆和点M 满足0=++MC MB MA ，若存在实数m ，使得AM m AC AB =+成立，则m 等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知如图3所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，
ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，
32
===BD CD BC ，则球O 的表面积为
A ．π4
B ．π12
C ．π16
D ．π36
10．设函数b bx x x f ()(3
+-=为常数)，若方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内，且函数)(x f 在区间)1,0(上单调递增，则b 的取值范围是
A ．),3[+∞
B ．]4,3(
C ．]4,3[
D ．]4,(-∞
11．抛物线x y 82
=的焦点为F ，点),(y x P 为该抛物线上的动点，又已知点)0,2(-A ，则
|
|||PF PA 的取值范围是
A ．),3[+∞
B ．]2,1(
C ．]4,1[
D ．]2,1[ 12．若曲线2
1x y C =：与曲线x
ae y C =：2存在公切线，则a 的 A ．最大值为2
8e B ．最大值为2
4e C ．最小值为2
8
e
D ．最小值为
2
4
e
B
A C
D
图3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．掷2个骰子，至少有一个1点的概率为 ．（用数字作答） 14．已知)2
,
0(π
α∈，且3)4tan(=+
π
α，则=--+)cos sin 4lg()cos 6sin 8lg(αααα ．
15．已知数列}{}{n n b a ，满足2
11=a ，1=+n n b a ，2
11n
n n a b b -=+，*
∈N n ，则=2015b ．
16．已知函数)(x f 满足=-)(x f )(x f ，且=+)2(x f )(x f )2(f +，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，那么在区间]3,1[-内，关于x 的方程R (1)(∈++=k k kx x f 且)1-≠k 恰有4个不同的根，则k 的取值范围是 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
18．（本小题12分）
如图4，四边形ABCD 为菱形，
60=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，
E 为PC 中点．
（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求平面PBA 与平面EBD 所成二面角（锐角）的余弦值．
A
B
C
D
E
P
图4
2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员)，下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．
注：（1）表中b a /表示出手b 次命中a 次； （2）0
0TS
(真实得分率)是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
罚球出手次数）
投篮出手次数全场得分
⨯+⨯=
44.0(2TS
．
（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联
在该场比赛中00
TS 超过00
50的概率； （Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联 在这两场比赛中00TS 至少有一场超过0060的概率； （Ⅲ）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中
国队该场的总分，画出散点图如图5所示，请根据 散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结 合实际简单说明理由． 20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于55
2，且过点)5
5
2,
1(．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ，两点，交y 轴于M 点，若
BF MB AF MA 21λλ==，，求证：21λλ+为定值．
．
．
． ．
．
．
0 5
10
15
20 25
30
20
40
60
80
100
120
0 易建联得分
中
国队得分
图5
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙
∙
已知函数x
x x f ln )(=
，m
x e
x g +=)(，其中 718.2=e
（Ⅰ）求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）当2-≥m 时，证明：)(x f )(x g <．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图6，P 为⊙O 外一点，PC 交⊙O 于F ，C ，PA 切⊙O 于B A ，为线段PA 的中点，BC 交⊙O 于D ，线段PD 的延长线与⊙O 交于E ，连接FE ．求证：
（Ⅰ）PBD ∆∽CBP ∆； （Ⅱ）FE AP //． 23．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为ϕϕϕ(,
sin ,
cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数)，以O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线3
3
)cos 3(sin =+
θθρ：l ，射线3
π
θ=
：OM ．射线OM 与圆C 的交
点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数||)(a x x f -=．
（Ⅰ）当2=a 时，解不等式|1|4)(--≥x x f ； （Ⅱ）若1)(≤x f 的解集为]2,0[，)00(211>>=+n m a n
m ，，求证：42≥+n m ．
图6
云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】 1．由已知得{|0}A x x =≥，{|24}
B
x x =≤≤，{024}
A
B x x =<>R ∴≤或ð，故选
C ．
2．5i 5i(12i)
2i
12i
(12i)(12i)
z
-=
=
=+++-，故选A ．
3．{}n a ∵是等比数列，2
14354
8a a a a a ===，，410a =∴
或（舍），又2
417718a a a a ==
，∴，故选B ．
4．椭圆22221(0)
x y a b a b +
=>>的离心率为
12
，可得
22
14
c a
=
，可得
2
2
2
14
a
b a
-=
，解得
2
b a
=
，∴双
曲线
222
2
1
x y a
b
-=的渐近线方程为：2y
=±
，故选A ．
程序结束．输出32
M
=，故选B ．
7．所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱，其体积为171121132
2
V =⨯⨯+
⨯⨯⨯=
，故选B ．
8．M A M B M C +
+=
∵，∴M 是△A B C 的重心，33
A B A C A M m +=
=∴
，∴，故选B ．
9．如图1所示，∵2
2
2
A B A C
B C
+=，∴C A B ∠为直角，即过△A B C
的小圆面的圆心为B C 的中点O '，A B C △和D B C △所在的平面互 相垂直，则圆心在过D B C △的圆面上，即D B C △的外接圆为球的 大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2
R =，球的
表面积为2
4π16π
S R
==，故选C ．
10．函数
3
()f x x b x
=-+(b 为常数)，所以
2
()()0f x x b x =--=的根都在区间[2,2]-
内，所以24
b ⇒≤；又因为函数()
f x 在区间(0，1)上单调递增，所以
2
()30
f x x b '=-+>在区间(0，
1)上恒成立，所以3b ≥，综上可得：34b ≤≤，故选C ． 11．由抛物线定义得||2
P F
x =+
，又||P A =
=
||||
2
P A P F x =
=+∴0
x
=时，
||1
||
P A P F =；当0
x
≠时，
||||
P A P F ==2
x
=时取等号．44
x x
x
+
=∵
≥
，
||||
P A P F =∴
，综上所述，
||||
P A P F 的取值范围是[1，故选D ．
12．设公共切线与曲线1C 切于点2
11()x x ，，与曲线2C 切于点2
2(e
)
x x a ，，则2
2
2
1
1
21
e
2e
x x a x x a
x x -==
-，
图1
将2
1
2e
x x a =代入2
2
1
1
21
e
2x a x x x x -=
-，可得
1222
x x =-，代入2
1
2e
x x a =可得2
24(1)e
x x a
-=
，设
4(1)()e
x
x f x -=
，求导得
4(2)()e x
x f x -'=
，可得
()
f x 在(12)，上单调递增，
()
f x 在(2)
+
∞，上
单调递减，所以m ax 2
4()(2)e
f x f ==
，故选B ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】 13．5511166
36
P
⨯=-
=⨯．
14．π02α
⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭∵，且πta n 34α
⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，tan 13
1tan αα
+=-∴
，1tan 2
α=
∴
，
lg (8sin 6co s )lg (4sin co s )αααα+--∴8sin 6co s 8tan 6lg
lg lg 1014sin co s 4tan 1
ααααα
α++====--．
15．12
11n n n n n
b a b b a ++==
-∵
且，1
12n n
b b +=
-∴，111
11
1
n n b b +=
---∴
，又112
b =
，11
2
1
b =--∴，
11n b ⎧⎫
⎨⎬
-⎩⎭
∴是首项为2-，公差为1-的等差数列，11
1
n n b =---∴
，1
n
n b n =
+∴，2015
20152016
b =
∴．
16．令1y kx k =++，则化为1(1)y k x -=+，即直线1y kx k =++恒过(11)M -，．根据题意，画出
(
)[13]y f x x =∈-，，的图象与直线1y kx k =++，如图2所示，由图象可知当直线介于直线M A 与M B 之间时，关于x 的方程
()1f x kx k =++(k ∈R 且1k ≠-)恰有4个不同的根，又因为
M A k =，13
M B
k =-
，所以10
3
k -
<<．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得1co s 2a C c b
+=，即1sin
co s sin sin 2
A C C B
+
=，
又sin sin ()sin co s co s sin B
A C A C A C
=+=+，
1sin co s sin 2
C A C
=∴
．
…………………………………………………………（4分）
1sin 0co s 2
C A ≠=
∵，∴．
又(0π)A ∈∵，，π3A =
∴
．
………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得sin
sin a B b
B c C
A
=
=
=
，，
1sin )1sin ()]
l a b c B C B A B =++=+
+=+
++∴
1π12in c o s 12s in 226B B B ⎛⎫⎛
⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ………………………………（10分）
π3
A =
∵，
2πππ5π0366
6B B ⎛
⎫⎛⎫
∈+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭∴，
，，，
π1s in 162B ⎛⎫⎛⎤
+∈ ⎪ ⎥
⎝⎭⎝⎦
∴，．
故△ABC 的周长l 的取值范围是(23]，． ……………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图3，连接AC 交BD 于O 点，连接EO ， ∵四边形ABCD 是菱形，A O C O
=∴，
∵E 为PC 中点，
E O P A
∴∥，
P A ⊥∵平面ABCD ，E O ⊥
∴平面ABCD ，
E O ⊂
∵平面BED ，
∴平面BED ⊥
平面ABCD ． ………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：方法一：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面EBD ⊥
平面ABCD ，
∴平面P AB 和平面EBD 的交线与平面ABCD 垂直，
A B O
∠∴即为平面P AB 和平面EBD 所成角的平面角，
∵BD 是菱形ABCD 的对角线，
1302
A B O A B C ∠=
∠=︒
∴，
∴平面PBA 与平面EBD
2
． ……………（12分）
方法二：∵四边形ABCD 是菱形，
A C
B D ⊥∴，
E O ⊥
∵平面ABCD ，
E O A C
⊥∴，E O
B D
⊥，
如图4，建立空间直角坐标系O x y z
-， …………………………………………（8分）
∵y 轴⊥平面BED ， ∴平面BED 的法向量为(010)
u
=，，．
设F 为AB 中点，连接CF ，菱形ABCD 的边长为2a ， 则C F
A B
⊥，C F
⊥
∴平面P AB ，
∴平面P AB 的法向量为33022C F a ⎛⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，
c o s 2
||||
u C F
u C F θ=
=
-
∴
∴平面PBA 与平面EBD 2
． ……………（12分）
图4
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A ， 则8()
9
P A =． ………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B ，
252
9
C 13()1C 18
P B =-=
． …………………………………………………………（8分）
（Ⅲ）不具有线性相关关系． ……………………………………………………（10分） 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围． 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛． ……………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为
222
2
1(0)
x y a b a
b
+
=>>，
2
225511,
c a a
b ⎧=
⎪⎪⎪⎨⎛ ⎪ ⎝⎭
⎪
+=⎪⎩∴ 2
5
a
=∴
，21b =，
∴椭圆C 的标准方程为
2
2
1
5
x
y
+=． ………………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：设点A ，B ，M 的坐标分别为11220()()(0)
A x y
B x y M y ，，，，，，
又易知F 点的坐标为(20)，．
显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是(2)
y
k x =-，
将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得
2
2
2
2
(15)202050
k x k x k
+-+-=， ……………………………………………（8分） 22
12122
2
20205
,1515k
k
x x x x k
k
-+=
=
++∴，
……………………………………………（9分）
又12,M A
A F M
B B F
λλ=
=∵，
将各点坐标代入得121
21
2
,22x x x x λλ==
--，
…………………………………（11分）
12
1212121
2
1212
2()22242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=
+
=
---++∴
2
2
22
22
2
2
202052151510
20205
42
1515k k k k k
k
k
k
⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=
=---+
++． ………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：
ln 1(1)0
1
f =
=，即切点为(10)，．
2
1ln ()x f x x
-'=
，2
1ln 1(1)
11
f -'=
=∴，即切线的斜率1k =，
∴切线方程为1y x =-，即10x y --=． ………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：方法一：
()
f x 的定义域为(0)+
∞，，要证()()f x g x <只需证e
ln 0
x m
x
x +->，
∵当2m -≥时，2
e
e
x m
x +-≥，故只需证明2
e
ln 0
x x
x -->．
设2
()
e
ln x h x x x
-=-，2
2
1()e
e
x x h x x x
--'=
+-
，
函数2
2
2
1()2e
e
x x h x x x
--''=++>在(0)+∞，内单调递增，
又12
12
12(1)
e
1e
10
1
e
h --'=+-
=-<，
66
22
55
665e e
556
h --⎛⎫
'=+
-
=
> ⎪⎝⎭
，
()0
h x '=∴在(0)+
∞，内有唯一的实根0x ，且0
615x ⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭，，
当0(0)x x ∈，时，()0
h x '<； 当0()
x x ∈+∞，时，()
h x '>．
从而当0x x =时，()h x 取得最小值．
由0()
h x '=得0
02
2
00
1e e
x
x x x --=
-，
代入02
00
()
e
ln x h x x x -=-得02
00
1()
e
ln x h x x x -=
--，
故02
000
16()
e
ln 5x h x x h x -⎛⎫
=
--> ⎪
⎝⎭
，
设2
1()
e
ln x x x
x ϕ-=
--，
2
2
11()e
x x x
x
ϕ-'=---
，
∵当(0,
)
x ∈+∞时，()0
x ϕ'<，
()x ϕ∴在(0,)+∞单调递减，
1
1
4411
4
55
5
5
5
3
34
5
656116(e )
(2)e
ln
e ln
ln e
ln 1.7280
565
2
3
5
2e ϕ-
-
-⎛⎫
=--=
-+
-=
+-> ⎪⎝⎭
，
0605
x <<
∵，06()
5x ϕϕ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
∴，即00()
()0
h x x ϕ=>．
综上所述，当2m -≥时，()()f x g x <．
……………………………………（12分）
方法二： 设2
()
ln h x x
x x
=--，定义域为(0)+
∞，，则1(21)(1)
()21x x h x x x
x
+-'=--
=
．
当(01)x ∈，时，()0
h x '<，()h x 单调递减； 当(1)
x ∈+
∞，时，()
h x '>，()h x 单调递増．
所以()(1)0
h x h =≥，即2
ln 0
x x x --≥，则
ln 1x x x
-≤．
设2
e
()
1x x x ϕ-=-+，定义域为(0)+∞，，则2
e
()1
x x ϕ-'=-．
当(02)x ∈，时，()0
x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当(2)
x ∈+
∞，时，()
x ϕ'>，()x ϕ单调递増．
所以()(2)0
x ϕϕ=≥，即2e 10
x x --+≥，则2e 1
x x
--≥．
当2m -≥
，(0)
x ∈+∞，时，2e 1e x m x x
+--≥≥．
所以1e ln x m x x x
+-≥≥，因为两个不等号分别当2
x
=，1x =时取得，
所以n e l x m
x x
+>
．
综上所述，当2m -≥时，()()
f x
g x <． ………………………………………（12分）
方法三： 设2
()e
x h x -=，则2
()
e
x h x -'=，
由()
1h x '=可解得2x =，(2)1
h =，
即()h x 在点(21)，处的切线方程为12
y x -=-，即为1y x =-，
由（Ⅰ）可知
()
f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，
()
y f x =，()
y
h x =，1y
x =-在同一坐标系
内的图象如图5所示， 可得
()1()f x x h x -≤≤，①
因为2m -≥，所以2
e
e
x m
x +-≥，
即
()()()
f x h x
g x ≤≤，
又因为①式中取等号的条件不相同， 所以
()()
f x
g x <．
………………………………………（10分）
（采用方法三证明第（Ⅱ）问时，过程不严密，第（Ⅱ）问给分不超过6分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
证明：（Ⅰ）如图6，∵P A 切⊙O 于A ，
2
B A
B D B C
=∴，
∵B 为线段P A 的中点，
PB BA =∴，
2
P B
B D B C
=∴，即P B B C B D
P B
=
，
P B D C B P
∠=∠∵，
图6
图
5
P B D C B P
∴△∽△． ……………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）P B D C B P ∵△∽△，
B P D
C ∠=∠∴，
C E
∠=∠∵， BPD E ∠=∠∴，
AP FE
∴∥．
……………………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）圆的普通方程为：2
2
(1)1
x
y
-+=．
co s sin x y ρθρθ
==∵，，
∴圆C 的极坐标方程为：2co s ρθ
=． …………………………………………（5分）
（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，
则1112c o s π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得11
1π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，
.
设22()ρθ，为点Q 的极坐标，
则2222
(s in o s )π
3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，
解得22
3π
3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，
12
θθ=∵，
122
P Q ρρ=-=∴，
∴线段PQ 的长为2．
…………………………………………………………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）解：当2
a
=时，不等式为|2||1|4
x x -
+-≥．
∵方程|2||1|4
x
x -+-=的解为1
2172
2
x x =-
=
，，
∴不等式的解集为1722⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
，，．
……………………………………（5分）
（Ⅱ）证明：由
()1f x ≤得||1x a -≤，
解得11a x a -+≤≤， 而
()1f x ≤的解集为[02]
，，
1012a a -=⎧⎨+=⎩
，
∴，1a =∴，
111(00)
2m n m
n
+
=>>∴
，，
1122(2)2422n m m n m n m
n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪
⎝⎭∴≥．
………………………………（10分）。