§1.1集合的概念及其基本运算(教师)
§1.1 集合的概念及其基本运算(9.3)
D. A=B B={ y| y≥0} D=
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E代表抛物线y=x2-2x+1上的点表示的集合
变式训练 1
(1)(10 湖北)设集合 A {( x , y ) |
x x 1} ， {( x , y ) | y 3 } , B 4 16
2
y
2
则 A∩B 的子集的 个数是（ A ） A. 4 B.3 C.2 D.1
(2)(2012 济南)
A
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变式训练 1
(2)(2012 济南)
A
解析
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题型二 集合间的基本关系
解：∵A＝{0，－4}，∴B⊆A 分以下三种情况： 解：∵A＝{0，－4}，∴B⊆A 分以下三种情况： 解：∵A＝{0，－4}，∴B⊆A 分以下三种情况： 解：∵A＝{0，－4}，∴B⊆A 分以下三种情况： (1)当 B＝A 时，B＝{0，－4}， (1)当 B＝A 时，B＝{0，－4}， (1)当 B＝A 时，B＝{0，－4}， (1)当 B＝A 时，B＝{0，－4}， 由此知 0 和－4 是方程 x22＋2(a＋1)x＋a22－1＝0 的两个根， 由此知 和－4 是方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两个根， 由此知 0 0 和－4 是方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两个根， 由此知 0 和－4 是方程 x ＋2(a＋1)x＋a －1＝0 的两个根， Δ＝4a＋122－4a22－1＞0， Δ＝4a＋12－4a2－1＞0， Δ＝4a＋1 －4a －1＞0， Δ＝4a＋12－4a2－1＞0，
01集合的概念及运算
要点梳理
忆一忆知识要点
(2) 集合的运算性质
1) 并集性质
(1)A A A;(2)A A;
(3)A B B A;
(4)A A B; A B B;
(5)A B A B A.
2) 交集性质
(1)A A A;(2)A ; (3)A B B A;
(4)A B A, A B B;
②若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，
则A____B(或ÜB____A). Ý
③ ∅___A；A___A； A⊆B，B⊆C⇒A_____C.
④若A含有n个元素，则A的子集有_2_n_个，A的非空 子集有__2_n_-_1_个，A的非空真子集有__2_n_-_2__个.
(2)集合相等
(2当①②要综)(((((∁2当①②要综222当①②要综当①②要综当①②要综当当使上(2当①②要综R)∁))))∁∁∁∁AR当当使上(当当当当使上使上((当当使上(∁可当当使上(R∁RR∁∁R∁BBBAR∁＝AAAARRRR可可可可A＝≠⊆R)得可BBBBBBBBBBBAAAA＝∩＝＝＝BBBA{＝＝≠⊆＝≠⊆＝≠⊆＝≠⊆)得x))得得)得∅∅∁，＝≠⊆)得∩∩∩∩{B{{{|∩R{xx，，xxx∅∅∁∅∅∅∅∁∁∅∅∁，，，，Ax＝实∅∅∁<，BBB|B|||RRRRBx|xxxR，，，，，，，，，12x即即AAAA，，＝＝＝实＝实实实<<<<BA数＝实或<，，，，12121212需即即即即即即即即，12即即BBB数B数数时数aa或或或或B数或ax需需需需≥<需时时时时aaaaaaaa，>时的0aaaaaaxxxx≥<≥≥<<≥－<a30x≥<，>，，>>，>时的的的0的B000}，>取的0－时－－－3033，0030a－⊆30时时时时BBBB，}}}}取≤时取取取B值}时时时时取，，，a，，aaa时⊆⊆⊆，⊆a∁，⊆，，，≤≤≤≤B值12，值值值≤范，R，，，值满，，∁∁∁∁＝AB∁BBB12112212范范范B范RRRR12围满满满范满R，，足，，，＝满＝＝＝解AAAA{，＝Ax围围围围是，，，足，足足围足即解解解解，{足{{{|得解B{－xxxx是是是是x即即即即是⊆|||得|得得得a即BBBB－－－－|－A得B－≥⊆⊆⊆⊆a∩aa∁a－⊆－－－AAAA－a14－A≥≥≥≥R－≥≤∩∩∩∁∩∁∁∁AB－∩－－1－∁4114414a－14RRRR－－－－≤R≤≤14≤；＝－<aA≤BAABBABaABaaa.<xa141414；＝14；；＝＝；＝<<<a<aaa∅14；＝<<0a....<<<<xxxx..<x.∅∅∅∅<<<0<000∅<0－.......... －－－－a－}aaaa，a}}}}}，，，，，
(浙江专版)高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算(讲)
第 01 节会合的观点及其基本运算【考纲考点分析】
考点考纲内容 5 年统计
1．认识会合、元素的含义及其关系。
2．理解全集、空集、子集的含义，
1.会合间的
及会合之间的包括、相等关系。
基本关系
3．掌握会合的表示法( 列举法、描
述法、 Venn 图 ) 。
2018 浙江卷， 1
2017浙江卷， 1
2016浙江卷文理， 1
1．会求简单会合的并集、交集。
2.会合的基2015浙江卷文理， 1
2．理解补集的含义，且会求补集。
本运算2014浙江卷文理， 1
【知识清单】
1．元素与会合
(1)会合元素的特征：确立性、互异性、无序性．
分析展望
1.会合交、并、补的运算是考察的热门；
2.会合间的基本关系极少波及；
3.题型：选择题
4.备考要点：
(1)会合的交并补的混淆运算；
(2)以其余知识为载体考察会合之间的关系；
(3)简单不等式的解法 .
(2) 会合与元素的关系：若a
属于会合
A a A
；若
b
不属于会合
A b A ．
，记作，记作
(3)会合的表示方法：列举法、描绘法、图示法．
(4)常有数集及其符号表示
自然数正整数有理数
数集整数集实数集
集集集
*
N 或
符号N Z Q R
N＋
2．会合间的基本关系
（ 1）子集：关于两个会合 A 与 B，假如会合 A 的任何一个元素都是会合B的元素，我们就说会合
A 包括于会合 B，或会合
B 包括会合 A，也说会合 A 是会合 B 的子集。记为 A B或B A ．
（ 2）真子集：关于两个会合A与 B，假如A B
，且会合 B 中起码有一个元素不属于会合A，则
称会合 A 是会合 B 的真子集。记为AB ．
2013届高考数学一轮复习讲义 第一章1.1集合的概念及其基本运算
(1)1∈A，则 a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3 可以分别为 1，但又 要注意它们互不相同． (2)从集合元素互异性的特点分析，它们必须具备两两不等．
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(1)当 a＋2＝1，即 a＝－1 时， (a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1 与 a＋2 相同， ∴不符合题意．
当(a＋1)2＝1，即 a＝0 或 a＝－2 时， ①a＝0 符合要求． ②a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1 与(a＋1)2 相同，不符合题意．
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变式训练 2
已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若 A⊆B，则实 数 a 的取值范围是(c，＋∞)，其中 c＝________. 4
由 log2x≤2，得 0<x≤4， 即 A＝{x|0<x≤4}，而 B＝(－∞，a)， 由于 A⊆B，如图所示，则 a>4，即 c＝4.
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变式训练 3
设全集是实数集 R，A＝{x|2x2 －7x＋3≤0}，B＝{x|x2 ＋ a<0}． (1)当 a＝－4 时，求 A∩B 和 A∪B； (2)若(∁RA)∩B＝B，求实数 a 的取值范围．
1 (1)∵A＝{x| ≤x≤3}， 2
当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}， 1 ∴A∩B＝{x| ≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}． 2
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集合论 第1章 集合及其运算
二、性质（并、交运算以及它们之间的关系）
定理1 设A,B,C是任意三个集合，S为全集，则 1. 交换律成立，即A∪B=B∪A 2. 结合律成立，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 3. 幂等律成立，即A∪A=A 4. ¢∪A=A 5. S∪A=S 6. A∪B=BAB 定理2 设A,B,C是任意三个集合，S是全集，则 1. 交换律成立，即A∩B=B∩A 2. 结合律成立，即(A∩B) ∩C=A∩(B∩C) 3. 幂等律成立，即A∩A=A 4. ¢∩A=¢ 5. S∩A=A 6. A∩B=AAB
I (Z )
四、几种特殊集合的表示符号 N－自然数集合： I(Z)－整数 I+－正整数 I-－负整数 Q－有理整数 Q+ －正有理数 Q-－负有理数 R－实数 R+ －正实数 R- －负实数 C－复数 等等 1.2集合的具体表示方法－外延和内涵表示法 一、外延表示法――把集合中的全部元素一一列举出 来， 元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。
§3 集合的基本运算
3.1并、交运算
一、定义 定义1 设A，B是任意两个集合，则由至少属于集合A与集合B 之一的一切元素组成的集合，称为集合A和B的并集，记为 A∪B。 定义2 设A，B是任意两个集合，则由既属于A又属于B的一切 元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记为A∩B 。 例题：A={1,3,5,…},B={2,4,6, …}，则A∩B= ¢ A={a,b,c,d,e,f},B={c,d,e,h,j}，则A∩B= {c,d,e} 说明：1. 当两个集合的交集为空集时，则称它们是不相交的 2. 两两不相交 3. 两个集合并、交运算可以推广到多个集合上去
第一章§1.1 集合的概念及运算
12.(2019江苏,1,5分)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=
.
答案 {1,6}
解析 本题考查了集合的表示方法、集合的交集运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核
心素养是数学运算.
∵A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},集合A中大于0的元素为1,6,∴A∩B={1,6}.
11.(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q= ( ) A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 答案 C ∵P={x|x≥2或x≤0},∴∁RP={x|0<x<2}, ∴(∁RP)∩Q=(1,2).
栏目索引
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B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 匀变速直线运动
1.(2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 ( ) A.9 B.8 C.5 D.4 答案 A 本题主要考查集合的含义与表示. 由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},集合A中共有9个元素,故 选A.
栏目索引
2.(2019课标Ⅰ文,2,5分)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA= () A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 答案 C 本题考查集合的运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 由题意知∁UA={1,6,7},又B={2,3,6,7}, ∴B∩∁UA={6,7},故选C. 解题关键 明确补集与交集的含义是解决本题的关键.
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念
1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。用符号表示为A ⊆ B。例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法
1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。用符号表示为A ∪ B。例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B
的所有元素的集合。用符号表示为A ∩ B。例如，集合A = {1, 2}和集
合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。用符号表示为A'。例如，
集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
集合的概念及其基本运算PPT优秀课件1
1 ∴ UP={x|x≤0或x> 2
1 P={x|0<x≤ 2
}, },
1 2
∴(
UM)∩(
UP)={x|x≤0或
<x<1}.
5.(2010·常州模拟)已知全集U=R,集合M={x|x≥ x 1 1},N={x| ≥0},则 U(M∩N)=__________. {x|x≤2} x2 解析 因为M={x|x≥1},N={x|x>2或x≤-1},
合语言进行相互转化.
2.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨 论,防止漏掉. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属
关系;二是集合与集合的包含关系.
4.解答集合题目,认清集合中元素的属性(是点集、数集
或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
25 2 2 1 {( m , n ) | m n 或 m n } 成的集合为___________________________. 9 9
2 2
解析
因为A∩B为单元素集,即圆x2+(y+n)2=4与圆
2 2 3 m ) ( n 2 n ) 3 2 (x-3m)2+(y-2n)2=9相切,此时(
2.(2010·南京模拟)已知集合M={x|y2=x+1}，P= x|-1≤x≤3} {x|y2=-2(x-3)},那么M∩P{ =____________. 由M:x=y2-1≥-1,即M={x|x≥-1}, 1 2 由P:x= y +3≤3,即P={x|x≤3}, 2 所以M∩P={x|-1≤x≤3}. 解析
集合的基本概念、关系及运算(课件类别)
课件精选
8
五、集合的分类
有限集 ——含有有限个元素的集合。 无限集——含有无限个元素的集合。
空集——不含任何元素的集合。记作 ，
如：{x R | x 2 1 0}
课件精选
9
课堂小结
1．集合的定义;
2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性；
3．数集及有关符号；
4. 集合的表示方法；
课件精选
18
观察2
下面两个集合，你能发现什么？
（1）A={x∣x是两条边相等的三角形} B={x∣x是等腰三角形}
（2）A={2，4，6} B={6，4，2}
共性:集合B中元素与集合A的元素是一样的.
课件精选
19
知识要 点
3.集合相等与真子集的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合A与集合B中 的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等. 记作 A＝B
A B用Venn图表示如下：（有两种情况）
A
B
A（B）
思考1
包含关系{a} A与属于关系 a A有什么区别吗？
课件精选
17
注意
与 的区别：前者表示集合与集合之间的关
系；后者表示元素与集合之间的关系.
思考2
a与{a}一样吗？有什么区别？
§1.1集合的概念及其基本运算(教师)
§1.1集合的概念及其基本运算(教师)
§1.1集合的概念及其基本运算
基础自测
1.（2008·山东，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 .
答案 2
2.设集合A ={1，2}，则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数是 .
答案 4
3.设全集U ={1，3，5，7}，集合M ={1，|a -5|}，,
U M ⊆U M ={5，7}，则a 的值为 .
答案 2或8
4.(2008·四川理，1)设集合U ={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=则
U （A
B ）等于 .
答案
{}5,4,1
5.（2009·南通高三模拟）设集合A ={}R ∈≤-x x x ,2|2||，B ={}21,|2≤≤--=x x y y ，则
R
（A B ）= .
答案 （-∞,0） (0, +∞)
例题精讲
例1 若a ,b ∈R,集合
{},,,0,,1⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧=+b a
b a b a 求b -a 的值. 解 由
{}⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧=+b a
b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a +b =0，则有以下对应关系： ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===+1
0b a a b b a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10a
b
a b b a ② 由①得,11⎩⎨
⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2. 例2 已知集合A =
{}510|≤+<ax x ，集合B =.22
1|⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤<-x x
(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；
集合的含义及集合间的基本关系-讲义(教师版)
集合的含义及集合间的基本关系
学习目标
1．了解集合的含义、元素与集合的关系；理解集合的常用表示方法并能求解问题．
2．理解子集、相等、真子集的概念并掌握应用其求解问题．
3．掌握集合子集个数的求解方法．
一、集合的含义
1. 集合的含义及元素的特性
1、集合的含义
一般地，我们把研究范围内的对象统称为元素，通常用小写拉丁字母，，，表示．把满足某种要求或者标准的对象（元素）的总体称之为集合（简称为集），通常用大写拉丁字母，，，表示．
2、元素与集合的关系
元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系．如果是集合的元素，就说属于集合，记作
；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．
3、集合元素的特性
（1）确定性
集合里的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合．如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过的同学”这一组对象可以构成一个集合．
（2）互异性
集合中的元素一定是不同（互异）的，也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次．如方程的解构成的集合的元素只有一个，而不是两个．
（3）无序性
集合中元素的排列顺序无先后之分，如集合中含有两个元素，那么谁在前谁在后都一样．
集合中的元素必须具备以上三个特性，反之，一组对象如若不具备上述三个特性，就构不成集合，故这三个特性是判断一些对象能否构成集合的依据．
经典例题
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】【标注】已知元素，且，则的值为（ ）．
【答案】A
由题意知，元素，且
，所以的值为．
§1.1 集合的概念及运算
选择题
易
考点 集合的运算 充分条件与
必要条件 集合的运算
集合的运算
集合的运算
集合的运算
考向 实数集求交集 充要条件的判定 离散数集求交集 离散数集求并集 实数集与离散数集求交集 实数集求并集
解题方法 定义法 定义法 定义法 定义法 定义法 数轴法
核心素养 逻辑推理
逻辑推理
逻辑推理
逻辑推理 逻辑推理、 数学运算 逻辑推理
（ ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
{ａ－１≤３，
解析 （ １） 因为 Ａ⊇Ｂ， 所 以 ａ＋２≥５，所以 ３ ≤ ａ ≤４， 故
选 Ｃ．
（２）由 Ｍ∪Ｎ ＝ Ｍ 可得 Ｎ⊆Ｍ，即找集合 Ｍ 的子集个数，集合
Ｍ 的子集有⌀，｛０｝ ，｛１｝ ，｛０，１｝ ，共 ４ 个．故答案为 Ｄ．
答案 （１）Ｃ （２）Ｄ
集合 Ａ 与集合 Ｂ 中的所有元素 相等
都相同 集合 Ａ 中任意一元素均为集合 子集 Ｂ 中的元素
真 集合 Ａ 中任意一元素均为集合 子 Ｂ 中的元素，且 Ｂ 中至少有一个
集 元素 Ａ 中没有
记法 Ａ＝Ｂ Ａ⊆Ｂ 或 Ｂ⊇Ａ
Ａ⫋Ｂ 或 Ｂ⫌Ａ
空集
空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集
⌀⊆Ｂ ⌀⫋Ｂ（ Ｂ≠⌀）
集类型，则常 借 助 数 轴 求 解； 若 集 合 的 元 素 较 为 抽 象， 则 常 用
1集合的概念与运算【讲义】
第一章 集合
集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.
§1.1 集合的概念与运算
【基础知识】
一．集合的有关概念
1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.
2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.
4. 集合间的关系：
二．集合的运算
1．交集、并集、补集和差集
差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.
2.集合的运算性质
(1)A A A = ,A A A = (幂等律);
(2)A B B A =, A B B A =(交换律);
(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);
(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);
(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);
(6)A A C C U U =)((对合律);
(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)
第一章 第1节 集合的概念及其基本运算
§1.1 集合的概念及其基本运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：____________、______________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或__________关系，用符号______或______表示．
(3)集合的表示法：____________、__________、__________、__________.
(4)常用数集:自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为__________、__________、________. 2．集合间的基本关系
(1)子集、真子集及其性质
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则________(或________)．
∅______A；A______A；A⊆B，B⊆C⇒A______C.
若A含有n个元素，则A的子集有______个，A的非空子集有________个，A的非空真子集有________个．
(2)集合相等:若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
交集：A∩B＝____________；
补集：∁U A＝__________.
U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．
(2)集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：
1.1 集合的概念及其基本运算
【思维启迪 思维启迪】 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法，关 思维启迪 键是要分类准确.
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解析 ①A1=时，A2={1，2，3}，只有一种分拆；②A1是单 ∅ 元素集时（有3种可能），则A2必须至少包含除该元素之外的 两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况 （如A1={1}时， A2={2，3}或A2={1，2，3}），这样A1是单元素集时的分拆有6 种； ③A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须至少包含 除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2 个元素（如A1={1，2}时，A2={3}或A2={1，3}或A2={2，3}或 A2={1，2，3}），这样A1 是两个元素的集合时的分拆有12种； ④A1是三个元素的集合时（只有1种），则A2可能包含0，1， 2或3个元素（即A1={1，2，3}时，A2可以是集合{1，2，3}的 任意一个子集），这样A1={1，2，3}时的分拆有23=8种.所以 集合A={1，2，3}的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.
(3)A、B能否相等？若能,求出a的值；若不能，试说明理由.
【思维启迪 思维启迪】 利用数轴作工具，使问题得到解决. 思维启迪
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解 A中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a=0，则A=R； R
1 4 ②若a＜0，则A={x| ≤x＜}; a a 1 4 ③若a＞0,则A= {x|＜x≤ }. a a
1.1 集合的概念及其基本运算
知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.
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知能迁移4
对任意两个正整数m、n,定义某种运算
, m n, m与n奇偶性相同则集合P= :mn , mn, m与n奇偶性不同 {(a,b)|a b=8，a ,b∈N*}中元素的个数为 ( C
补集的性质：
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基础自测
1.（2008·四川理）设集合U={1，2，3，4，5}, A={1，2，3}，B={2，3，4},则 A.{2，3} C.{4，5} 解析 ∴A∩B={2，3}. 又U={1，2，3，4，5}， ∴
U(A∩B)={1，4，5}. U(A∩B)等于
解析
∵A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16},
a 2 16, ∴ a 4, 答案 D
∴a=4.
探究提高 掌握集合元素的特征是解决本题的关键. 解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.
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知能迁移1 b-a等于
b 设a,b∈R，集合{1,a+b,a}= {0, , b}, 则 a (C )
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解析
①A1=时，A2={1，2，3}，只有一种分拆；
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§1.1集合的概念及其基本运算
基础自测
1.（2008·山东，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 .
答案 2
2.设集合A ={1，2}，则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数是 .
答案 4
3.设全集U ={1，3，5，7}，集合M ={1，|a -5|}，,
U M ⊆U M ={5，7}，则a 的值为 .
答案 2或8
4.(2008·四川理，1)设集合U ={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=则
U （A
B ）等于 .
答案
{}5,4,1
5.（2009·南通高三模拟）设集合A ={}R ∈≤-x x x ,2|2||，B ={}21,|2≤≤--=x x y y ，则
R
（A B ）= .
答案 （-∞,0） (0, +∞)
例题精讲
例1 若a ,b ∈R ,集合
{},,,0,,1⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+b a
b a b a 求b -a 的值.
解 由
{}⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧=+b a
b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a +b =0，则有以下对应关系： ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===+1
0b a a b b a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10a
b
a b b a ② 由①得,11⎩⎨
⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2. 例2 已知集合A =
{}510|≤+ 1|⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧≤<-x x (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； （3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a =0，则A =R ; ②若a ＜0，则A =;14| ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤a x a x ③若a ＞0，则A=,41 |⎭ ⎬⎫⎩ ⎨⎧≤<- a x a x (1) 当a =0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a ＜0时，若A ⊆B ，如图， 则,21214⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->a a ∴⎪⎩⎪ ⎨⎧-≤-<，218a a ∴a ＜-8. 当a ＞0时，若A ⊆B ，如图， 则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-a a ∴.22 ⎩⎨⎧≥≥a a ∴a ≥2.综上知，此时a 的取值范围是a ＜-8或a ≥2. (2)当a =0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时,若B ⊆A ，如图， 则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤21214a a ∴⎪⎩⎪ ⎨⎧->-≥,