2.9 函数的极值与最大值最小值

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§2.9 函数的单调性与极值

x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x) ↑
大
↓
小
值
值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
例2 求函数y x 1 3 x2的极值.
解
y
3
x2
(x
1) 2
1
x 3,
3
x
5x 2 33 x
由y 0得驻点
x1
2; 5
得奇点x2=0.
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x)
+
0
+ 不存在 -
f(x)
↑
无极值 ↑
极大
↓
故函数 f(x)在 x=1取得极大值 f(1)=3.
定理3第二充分条件设 f x 在x0处具有二阶导数，
且 f x0 0，f x0 0，那末 1 当 f x0 0时，函数 f x 在x0处取得极大值; 2 当 f x0 0时，函数 f x 在x0处取得极小值;
如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数, 且在x0 处取得极值,那末必定 f (x0) 0 .
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.

函数的极值与最大值最小值

lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0；当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0；因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0，但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.

函数的极值和最值

函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。

本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。

极值分为两种情况：局部极值和全局极值。

1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。

设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。

其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。

2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。

设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。

其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。

二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。

首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。

这些点就是可能的极值点。

接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。

当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。

2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。

首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。

然后，通过比较函数值得出极值。

例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。

三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。

例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。

2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。

函数的极值与最值

函数的极值与最值函数的极值与最值是数学中一个重要的概念，它帮助我们了解函数在特定区间内的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化函数的性能具有重要意义。

在本文中，我们将探讨函数的极值和最值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

1. 函数的极值与最值概述函数的极值指的是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。

极大值是指函数在该点的函数值大于或等于该点邻近的其他点的函数值，而极小值则是指函数在该点的函数值小于或等于该点邻近的其他点的函数值。

函数的最大值和最小值则是函数在整个定义域内取到的最大和最小的函数值。

2. 求解函数的极值与最值为了求解函数的极值与最值，我们可以采用以下方法：2.1 导数法对于可导的函数，我们可以通过求导来找到函数的极值。

首先，我们计算函数的导数，然后求解导数为零的点，即可得到函数的极值点。

通过求二阶导数，我们可以进一步判断该点是极大值还是极小值。

2.2 边界法如果函数在一个闭区间上连续，我们可以通过计算该区间的边界点和函数在这些点上的函数值，来找到函数的最值。

比较边界点上的函数值，即可得出函数的最大值和最小值。

3. 函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中有广泛的应用。

以下是几个例子：3.1 经济学在经济学中，函数的极值与最值可以用来优化生产效益、成本最小化和利润最大化的问题。

例如，一个公司可以通过求解该公司的生产函数的最大值，来确定最优的生产量和工人数量。

3.2 物理学在物理学中，函数的极值与最值可以用于研究运动的轨迹、优化物体的能量和速度等问题。

通过求解物体的加速度函数或能量函数的极值，可以找到物体在特定条件下的最优运动轨迹。

3.3 工程学在工程学中，函数的极值与最值可以用于设计和优化工程系统。

例如，通过求解某个系统的效率函数的最大值，可以找到系统的最佳工作点，从而提高工程系统的性能和效益。

总结：函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们帮助我们优化函数和解决实际问题。

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值函数的极值及其求法最大值最小值问题函数的极值及其求法定义设函数()f x 在点0x 的某个邻域()0U x 内有定义，若对任意()0x U x ∈，有0()()f x f x <，则称0()f x 为函数()f x 的一个极大值，而称0x 为极大值点. 若对任意()0x U x ∈，有0()()f x f x >，则称0()f x 为函数()f x 的一个极小值，而称0x 为极小值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.注函数的极大值或极小值是指在局部范围内，该函数值是最大值或最小值，而不一定是函数在整个考察范围内的最大值或最小值.F EDCABb5x 4xa3x 1x2x Oyx一个定义在某区间上的函数可以有许多极大值和极小值，极大值可能小于极小值.定理（极值存在的必要条件）设函数()f x在0x 处可导，且在0x 处取得极值，则0()0f x '=. 注 (1)可导函数的极值点必定是其驻点.(2)驻点是函数的可能极值点.函数在导数不存在的点处也可能取得极值.例如，()f x x =在点0x =处不可导，但函数在0x =处取得极小值.所以驻点和不可导点是可能的极值点.定理（极值存在的第一充分条件）设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某个去心邻域()0,U x δ内可导.(1) 若()00,x x x δ∈-时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；()y f x =yOx0x δ-00()f f ''>< 0x 0+x δ(2)若()00,x x x δ∈-时，()0f x '<，而()00,x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值； ()y f x =yOx0x δ-00()f f ''<> 0x 0+x δ(3)若()0,x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值.()y f x =yOx0x δ-00()f f ''>> 0x 0+x δ()y f x =yOx0x δ-00()f f ''<< 0x 0+x δ求函数()f x 的极值点和相应极值的步骤(1) 求出()f x ，进而求出()f x 的全部驻点和不可导点；确定是极大值点还是极小值点；(2) 判别（1）中求出的点是否为极值点；若为极值点， (3) 求出各极值点处的函数值，得到函数()f x 的全部极值.例求函数23()(1)1f x x =-+的极值. 解（1）()f x 在(,)-∞+∞内连续可导，得1231,0,1x x x =-==. （2） ⇒11x =-，31x =不是极值点，20x =为极小值点；x (,1)-∞- (1,0)- (0,1) (1,)+∞()f x ' - - + +（3）极小值为(0)0f =. 由()0f x '=, 22()6(1)f x x x '=-例求函数23()1(2)f x x =--的极值. 解（1）()f x 在(,)-∞+∞内连续，除2x =外处处可导，且32()32f x x '=-- （2）2x ⇒=为极大值点；（3）极大值为(2)1f =.x (,2)-∞ (2,)+∞()f x ' +-定理（极值存在的第二充分条件）设函数在 0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值；（2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值.注此定理不能判定不可导点，而且对满足0()0f x '=，0()0f x ''=的点也不能判定其是否为极值点.例如，函数3(),f x x =4(),p x x =4(),q x x =-它们在0x =处的一阶导数和二阶导数均为零，显然3()f x x =在0x =处不取得极值，4()p x x =在0x =处取得极小值，4()q x x =-在0x =处取得极大值.最大值最小值问题在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上可归结为求某一函数（目标函数）的最大值或最小值问题.假设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点.（1）函数在[],a b 上的最大值及最小值存在；（2）如果函数的最大值或最小值在(),a b 内的某一点0x 处取得，则0()f x 也一定是()f x 的极大值或极小值，从而0x 一定是()f x 的驻点或不可导点；（3）()f x 的最大值或最小值也有可能在区间端点取到.求()f x在闭区间[],a b上的最大值最小值的方法（1）求出()f x在(),a b内的所有驻点或不可导点；（2）计算()f x在上述驻点、不可导点处的函数值以及()f b；f a、()（3）比较上述函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.例求函数()32231214f x x x x =+-+在[]3,4-上的最大值及最小值. 解（1）()()()26612621f x x x x x '=+-=+-，由()0f x '=，得12x =-，21x =；（2）()323f -=，()234f -=，()17f =，()4142f =；（3）最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =.+∞内的若要求此函数()32=+-+在(0,)231214f x x x x最小值呢？结论若函数()f x 在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有唯一的驻点0x ，并且这个驻点是极值点，则当()0f x 是极大值时，()0f x 就是()f x 在该区间上的最大值；当()0f x 是极小值时，()0f x 就是()f x 在该区间上的最小值.例求函数()32231214f x x x x =+-+在(0,)+∞内的解（1）()()()26612621f x x x x x '=+-=+-，由()0f x '=，得1x =；（2）()126f x x ''=-，()160f ''=>，所以1x =为极小值点；（3）最小值为(1)7f =.最小值.例铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处20km，AC垂直于AB，为了运输需要，要在AB线上选一点D向工厂修筑一条公路. 已知铁路与公路每千米求D的位置. DA B AC A A20100货运的费用之比为3:5. 为使货物从B到C的运费最省，解设AD x =km ，则100BD x =-，设铁路每千米运费为a ，则公路每千米运费为53a ，故总运费为()254001003y x a x a =+⋅+-，0100x ≤≤； 22220400CD x x =+=+；铁路与公路每千米费用之比3:5D AB AC AA A 20100（1） 225251332400400x x y a a a x x ⎛⎫'=-=- ⎪++⎝⎭，由0y '=得15x =km.（2） 400(0)3y a =，380(15)3y a =， 50104(100)3y a =； (3) 380(15)3y a =为最小，即当D 距A 15km 处，总运费为最省.()254001003y x a x a =+⋅+-，0100x ≤≤；结论对实际问题，根据问题的性质可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内取得，这时如果函数()f x 在定义区间内只有一个驻点0x ，那么就可以断定()0f x 是最大值或最小值.由0y '=得15x =km.（2）由于运费的最小值一定存在，而且必在(0,100)内取得，而且y 在(0,100)内只有一个驻点15x =km ，解 ()254001003y x a x a =+⋅+-，（1）225251332400400x xy a a a x x ⎛⎫'=-=- ⎪++⎝⎭，0100x ≤≤；所以当D 距A 15km 处，总运费为最省.。

2.9 函数的极值与最大值最小值

f ( x0 )为极大值 (极小值);
(2) 若f ( x)在x0附近不变号 f ( x0 ) 不是极值. ,则
y

x0

x
y

O

x0
x
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O
§2.9 函数的极值与最大值最小值
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根及不可导点；
2 3
f 当x 2时， ( x ) 0; f 当x 2时， ( x ) 0.
y
1
f ( x ) 1 ( x 2)
2 3
因此, f ( 2) 1为f ( x )的极大值 .
O
2
x
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
定理3 (第二充分条件) 设 f ( x )在x0处具有二阶导数，
令 f ( x ) 0，得驻点 x1 4, x2 2.
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
注
① 可导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点； ② 导数不存在的点也可能是极值点. 例如，
y
y x3
x
y
y x
O
O
x
0是驻点，但在 (0,0)函数无极值
例5 某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R 是产量Q的函数，且
2 Q , 0 Q 400 400Q R 2 80000, Q 400
问生产多少产品时总利润最大？最大利润是多少？总利润=总收益-总成本
=总收益-固定成本-生产成本

函数的极值和最值

函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。

在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。

本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。

一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。

根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。

当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。

为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。

首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。

这些点就是函数可能存在极值的点。

接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。

二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。

与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。

当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。

要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。

临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。

然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。

综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。

通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。

而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。

这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。

函数的极值和最值

函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。

极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。

极大值和极小值统称为极值。

二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。

具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。

2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。

3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。

- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。

- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。

- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。

三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。

四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。

1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。

- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。

2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。

- 然后，找出f'(x)的零点。

- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。

- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。

需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。

总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。

函数的极值与最大值最小值-精选文档

( 2 )若 f (x ) 在 x 附近不变号 ,则 f ( x0 ) 不是极值. 0
y

x0

x
y

O
O
x0
x
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§2.导数 f ( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根及不可导点；
( 3 ) 检查 f ( x ) 在驻点及不可导点左右的正负号，判断极值点 ;
在(0,0)取得极小值，但0点不可导
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
3. 极值的充分条件定理2(第一充分条件) 设 f( x ) 在 x 点连续 , 且在 0
x0的某去心邻域内可导.
)0 ( 0); (1)如果在 x 0 左侧附近，有 f(x )0( 0), 则而在 x 0 右侧附近，有f(x f ( x0 )为极大值 (极小值);
§2.9 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值二、函数的最大值和最小值
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值
1. 函数极值的定义 y
a x1 O
x 2x
3
x
4
x
5
x
6
b x
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
定义1 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义 , x0是 (a , b )内的一个点, 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的任何点 x ,除了点 x0外, f ( x ) < f ( x0 )均成立, 就称
定理1（必要条件）如果函数 f ( x ) 在点 x 处取得 0
f ( x ) 0 . x 处可导 ,则必有极值, 且在 0 0

函数的极值与最值知识点总结

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

函数的极值与最大值最小值

第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,

2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为是极大点，
是极小点，其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间，列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形

函数的极值与最值

函数的极值与最值函数在数学中具有重要的地位和作用，在各个领域中都有广泛的应用。

函数的极值与最值是函数中的一个重要概念，它们与函数的变化趋势和特征密切相关。

本文将探讨函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。

极大值是函数在该区间内的最大值，极小值是函数在该区间内的最小值。

计算函数的极值的常用方法是求导。

如果函数在某一点的导数为0，且在该点的左侧导数由负变正，右侧导数由正变负，那么该点就是函数的极值点。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2x，在取得极值的点处，f'(x)=0。

我们可以求得f'(x)=3x^2-6x+2=0，解得x=1或x=2/3。

分别代入函数，可以得到极小值f(2/3)=-4/27，以及极大值f(1)=0。

二、函数的最值函数的最值是指函数在整个定义域上的最大值和最小值。

计算函数的最值的方法可以通过求函数的导数，或者通过对函数的定义域进行讨论。

对于闭区间，只需要计算函数在端点上的值并进行比较即可找到最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，定义域为[-1,3]。

首先计算端点的值，f(-1)=8，f(3)=6。

然后求导得到f'(x)=2x-4，令其等于0得到x=2。

将x=2代入函数得到f(2)=-1。

因此，在定义域[-1,3]上，f(x)的最大值为8，最小值为-1。

三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在经济学中，函数的最大值可以表示最大的利润或最小的成本；在物理学中，函数的极小值可以表示最短的路径或最小的能量。

以一个经济学的例子为说明：假设一家公司的生产函数为Q=100L-2L^2，其中Q表示产量，L表示劳动力的数量。

这个函数是一个抛物线函数，通过求导可以找到其极值点。

求导得到Q'=100-4L=0，解得L=25，即劳动力的数量为25时，产量最大。

函数的极值与最值

函数的极值与最值函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在数学中，我们经常会遇到寻找函数的极值和最值的问题。

本文将介绍函数的极值和最值的概念、求取方法以及相关的应用。

一、函数的极值和最值概念函数的极值指的是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。

极大值是函数在该区间内取得的最大值，而极小值则是函数在该区间内取得的最小值。

极大值和极小值统称为极值。

而最大值和最小值则是函数在整个定义域内的最大值和最小值。

二、求取函数极值的方法有多种方法可以求取函数的极值，下面介绍常用的两种方法：导数法和二阶导数法。

1. 导数法导数法是一种基于函数导数的方法，它通过求取函数的导数来判断函数在某一点的递增或递减性，从而确定极值的存在和位置。

具体步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）求取导数为零的点，即导数为零的点可能是函数的极值点；（3）求取导数为零点的二阶导数，并判断二阶导数的正负性；（4）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。

2. 二阶导数法二阶导数法是基于函数的二阶导数来判断函数极值的存在和位置。

通过求取函数的二阶导数，我们可以确定函数的凹凸性，并进而确定极值的存在和位置。

具体步骤如下：（1）求取函数的二阶导数；（2）求取二阶导数为零的点，即二阶导数为零的点可能是函数的极值点；（3）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。

三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 最优化问题最优化问题是函数极值与最值的常见应用之一。

在实际问题中，我们常需要寻找一个函数的最大值或最小值，以满足特定的条件。

例如，生产厂家为了最大化利润，需要确定产量的最优值，这就是一个最优化问题。

2. 经济学应用函数的极值和最值在经济学中也有广泛的应用。

例如，生产函数和效用函数都需要求取最大值或最小值来确定最佳生产方案或消费方案。

3. 物理学应用在物理学中，函数的极值和最值也有很多应用。

函数的极值,最大值与最小值PPT课件

(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .

函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。

这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。

1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。

具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。

2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。

•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。

•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。

3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。

4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。

•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。

•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。

5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。

因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。

函数的极值与最大(小)值(解析版)

函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。

本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。

一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。

定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。

二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。

其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。

2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。

通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。

3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。

通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。

4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。

这种方法在实际问题中应用较多。

三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。

2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。

3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。

4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。

总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。

函数的极值与最大值最小值

在闭区间因此也可通过
例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处
20
km , AC⊥ AB ,
要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路, 已知铁路与公路每公里货运
价之比为3:5 ,
为使货物从B 运到工
20
厂C 的运费最省,
问D点应如何取?
解: 设
则
总运费
( k 为某常数 )
例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高
于
观察者的眼睛1.8 m ,
问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角最大) ?
解: 设观察者与墙的距离为 x m ,
则
令
得驻点
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,
唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
驻点又
例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是
即
成本函数收入函数
即边际收入＝边际成本（见右图）
亏损最大收益最大
内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : (2) 第一充分条件
过过
使导数为0 或不存在的点
由正变负由负变正
(3) 第二充分条件
(4) 判别法的推广
定理3
为极大值为极小值
为极大值为极小值
定理3
2. 连续函数的最值
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且则在点取极大值 ; 则在点取极小值 .
证: (1) 存在
由第一判别法知 (2) 类似可证 .
例2. 求函数
解: 1) 求导数
的极值 .
2) 求驻点令

函数的极值与最值

函数的极值与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系，并在数学建模和问题求解中扮演重要角色。

函数的极值和最值是在特定区间内，函数取得的最大值和最小值。

本文将介绍函数的极值与最值的概念，并探讨如何求解函数的极值和最值。

一、函数的极值与最值概念在某个区间内，如果函数的值在该区间的其它点上都小于（或大于）该点的函数值，那么该点被称为函数的极值点。

函数的最大值和最小值就是函数在整个定义域内的极值。

对于实数域上的函数f(x)，如果存在一个实数c，使得在区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≥f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值；如果对于区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≤f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。

二、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法函数极值点必须满足导数为0或者不存在导数的条件。

通过求函数的导数，我们可以找到导数为零的点，然后判断这些点是否为函数的极值点。

当导数从正数变为负数时，函数的最大值出现；当导数从负数变为正数时，函数的最小值出现。

2. 端点法对于定义在有界闭区间上的函数，其最大值和最小值可能出现在区间的两个端点上。

因此，在求解函数的最大值和最小值时，我们需要检查区间的两个端点是否为候选点，并与导数法的结果进行比较。

3. 二次函数法对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），其极值点为顶点，可以通过求解一元二次方程来确定顶点的横坐标，再将横坐标代入函数中求得纵坐标。

4. 函数图像法通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的极值和最值。

在计算机图像绘制软件中，可以绘制函数的图像，然后从图像中读取函数的极值和最值。

三、应用举例下面通过几个具体的例子来说明如何求解函数的极值与最值。

例1：求解函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的极值和最值。