2018年秋高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版选修2_3

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2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角课件新人教B版选修2_3

��-1 2 ��+1 2 �� 2
题型一
杨辉三角的应用
【例1】在“杨辉三角”中,每行的两端都是1,其余每个数都是它 “肩上”两个数的和,“杨辉三角”开头几行如图所示.
(1)利用“杨辉三角”展开(1-x)6; (2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是 3∶4∶5? 分析运用“杨辉三角”的性质规律可以将二项式系数直接写出来.
+1 C��
=
化简得
3 4 4 5
= =
�� , ��+1-�� 解得 ��+1 , ��-��
Hale Waihona Puke �� = 62, �� = 27.
26 28 27 即在第 62 行会出现C62 ∶ C62 ∶ C62 =3∶4∶5.
…, �� C�� =1.
因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间. 当 n 是偶数时,n+1 是奇数,展开式共有 n+1 项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为C�� . 当 n 为奇数时,n+1 是偶数,展开式共有 n+1 项,所以展开式有中间两项,这两项的二项式系数相等并且最大,最大为C�� = C�� .
=
2 ,解得 3
n=34.
答案:34
2.二项式系数的性质从杨辉三角表,可以看出二项式系数具有下面的性质: (1)表中每一行的两端都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个 �� 数的和.事实上,设表中任一不为 1 的数为C�� +1 ,那么它“肩上”的两个

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质高效演练新人教A版选

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1.3。

2“杨辉三角"与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x）2n＋1（n∈N*）的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是（）A．n,n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2,n＋3解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n ＋1，n＋2。

答案：C2．设（x2＋1）(2x＋1)9＝a0＋a1（x＋2)＋a2(x＋2）2＋…＋a11（x＋2)11,则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（）A．－2 B．－1 C．1 D．2解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×（－1）9＝－2,故选A。

答案：A3．已知（1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（1－2x）n（1＋x）展开式中含x2项的系数为（）A．71 B．70 C．21 D．49解析:因为奇数项的二项式系数和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此（1－2x)n(1＋x）展开式中含x2项的系数为C27(－2）2＋C错误!(－2）＝70。

2018-2019学年高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

的二项式系数最大
3
它们是 T3＝C25( x2)3(3x2)2＝90x6.
3
22
T4＝C35( x2)2(3x2)3＝90x 3 .(6 分)
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大．
3
10＋4k
又 Tk＋1＝Ck5( x2)5－k(3x2)k＝Ck53kx 3 ，(7 分)
Ck53k≥Ck5－13k－1，得
59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开
式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各
项系数分别为 A0，A1，A2，…，An，且第(r＋1)项最大，
Ar≥Ar－1，
应用
解出 r，即得出系数的最大项．
Ar≥Ar＋1，
[类题尝试] 在(3x－2y)20 中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项．解：(1)二项式系数最大的项是第 11 项，为 T11＝ C2100·310·(－2)10x10y10＝C1200·610x10y10.
(2)因为(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4 －a5.
令x＝－1，得[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4 ＋a5，

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，即C r n ＋1＝□03C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________.(3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋10)×92＋C 312＝274. 拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1] (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案 (1)n 2－n ＋22(2)2n－1 32解析 (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2 二项展开式的系数和问题例2 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510,故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1. (5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r·(3)r x r，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∵T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)．设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－3x n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1 答案 D 解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.。

2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版选修2-3

＝ ( C 2 2 ＋ C 1 2 ＋ C 1 3 ＋ … ＋ C 1 9 － C 2 2 ) ＋ ( C 3 3 ＋ C 3 2 ＋ … ＋ C 9 2 ) ＝ C120＋ C130－ 1＝ 164.
(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,即
二项展开式的第14项和第15项的系数比为
C.0
D.2
(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60. ①求n的值;
②求
的值.
a21a 22 2a 23 3 1na 2n n
【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.
(2)①由a2=60,求出n的值.
②令x=0,求出a0,再令x=-1 即可求得. 2
这C 正0 n 1 好C 是1 n第C nn 2 +1 2C 条3 n 细2 斜C 4 n 线 3 上… 各数之和.
类型二求展开式中的系数和
【典例2】(1)(2017·济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+
a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7的值等于 ( )
A.-1
B.-2
【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.
【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是
C
,第2 2项
2
是 ,第3项是
项是C 12 ,
答案:7
C
6 13
6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求a1+a3+a5.

高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案新人教A版选修23

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表n 展开式的二项式系数1234567活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn.设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1n n －k ＋1k，所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n 最大． (板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n 2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n ，令x ＝1，则即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n ＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中，令a＝1，b＝－1，则得(1－1)n＝C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n C n n，即0＝(C0n＋C2n＋…)－(C1n＋C3n ＋…)，所以C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．【巩固练习】C17＋C27＋C37＋…＋C77＝__________解：因为C07＋C17＋C27＋C37＋…＋C77＝27＝128，所以【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________.2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x，n≥y，x ，y ，n∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________．4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________.请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：由2n ＝2 048＝211，得n ＝11.2．解：由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12.3．解：由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．解：由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12. 设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________． 3．已知(x 3＋1x 2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项． 1．解：在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r中，令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．解：中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192. 3．解：由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x 30－5r ，所以当r ＝6时，不含x 的项是210. 课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用．3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( )A ．16B ．15C ．14D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1【答案或解答】1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 023 3．D 4.D【拓展练习】5．若(31x ＋51x2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项． 6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值．答案：5.解：系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115. 6．解：依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1.∴x＝1或x ＝110. 设计说明二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教材从传授知识的角度出发，有它的合理性，但教学过程中不能照本宣科平铺直叙．经过认真探索，发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力．同时还能发挥教材中史情内容的教育功能，唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情，并转化为学习数学的动力而发奋学习．这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，要求教师不断地挖掘规律，简化学生的记忆负担．即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，要想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此引入了杨辉三角，利用图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，教与学是一对矛盾，它是一个已知教未知和未知求新知的过程，两者对立统一、辩证发展．现代教育学强调：“在教学过程中，应自始至终地确立学生的主体地位及教师在教学中的主导作用．”那么在“以教师为主导，学生为主体”的教学思想指导下，如何来发挥“主导与主体”作用呢？我们认为一定要突出“引”和“放”，即在教师正确引导下，放开让学生积极参与教学，而不是简单地接收、模仿．这里关键在于教师设法创造良好的教学环境，思路一起探索，疑难一同解决，规律共同发现，结论一起获得，错误一起纠正，师生密切配合才能提高学生的学习效果，促进其个性健康发展．第四，要充分发挥“以教师为主导、学生为主体”的作用，首先要深入研究教材，结合教材具体内容及学生实际情况和需求(学生感兴趣)，创设适合学生思维水平的教学环境，贯彻启发性原则，激发学习动机，引起学习兴趣，使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与，突出“引”与“放”．本课如果照本宣科则平淡无奇，对学生思维能力的培养毫无作用．上述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳，能摸到”，促进学生思维能力的提高．第五，引导学生积极参与的内容要防止两种情形．一是过易，不能充分发挥学生的主体作用．二是过难，学生摸不着头绪就没兴趣参与．教师要在充分了解学生的原有认知结构的前提下，确立一个相对较低的起点，难度高的还要适当铺设台阶，多层次展开问题，使每个层次的学生在我们引导下都能积极参与，做到一分耕耘一分收获．第六，要重视并加强对学生数学思想方法的培养，善于揭示教材的内隐性．像杨辉三角教学中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比较内隐，如果不是精心研究，并去揭示三角数阵的结构，以及它与二项式系数性质相联系的规律，不去展开观察、分析、类比和归纳等思维过程，就不能够发展学生的智能，其他功能也会受影响．只有当学生从被动上升到主动去应用这些数学思想和方法，才能形成能力，培养学生只学会还不够，教师培养学生的目标是使之会学，那将是受益终身的财富．备课资料伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．。

2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n ＋1，n＋2.答案：C2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.答案：A1 n3．已知(x2＋x)的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A．5 B．20 C．10 D．40解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，T r＋1＝C r5x2(5－r)·x－r＝C r5x10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C35＝10，故选C.答案：C4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C ＝729，则C ＋C ＋C 的值等于()n n1n3n5A．64B．32 C．63D．311解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝×26＝32.2答案：B3 n5．已知(x＋3 x)的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4 B．5 C．6 D．714n解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，又各二项式系数的和为2n，故＝64.所以n＝6.2n答案：C二、填空题6．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．13解析：C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝C170a3( a)7＝120a.213答案：120a27．(1＋x)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C24( x)2＝6x.答案：6x8．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．12 234 3477 45111411 5616252516 6…解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：n（n－1）n2－n＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.2 2n2－n＋2 答案：462三、解答题9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.2解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26，解得n＝8.所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1 120x4.C2k≥C2k－1，{C2k≥C2k＋1，)设第(k＋1)项系数最大，则有解得5≤k≤6.又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.B级能力提升1．若9n＋C n＋11·9n－1＋…＋C n－＋1·9＋C n＋n1是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数1解析：9n＋C n＋11·9n－1＋…＋C ·9＋C ＝(9n＋1＋C ·9n＋…＋C ·92＋C ＋Cn＋－1 n＋n1 n＋11n＋－1 n＋n191 1 1 1n＋1)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．9 9 9 9答案：A2．(2015·山东卷)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，3C2n0－1＋C2n1－1＋C2n2－1＋…＋C2n n－－11＝________．解析：具体证明过程可以是：1 1C2n0－1＋C2n1－1＋C2n2－1＋…＋C2n n－－11＝(2C2n0－1＋2C2n1－1＋2C2n2－1＋…＋2C2n n－－11)＝[(C ＋C2n－0 12 212n－1)＋(C2n1－1＋C )＋(C ＋C )＋…＋(C ＋C )]＝(C ＋C ＋C ＋…＋2n－122n2－1 2n－312n n－－112nn－1 2n－0 1 2n1－1 2n2－121C2n n－－11＋C2nn－1＋…＋C )＝·22n－1＝4n－1.2n－12答案：4n－116 1 53．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(的展开式的常数项，而(a2＋1)nx2＋x)5的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．20－5r16 1 16x2 1 165 5－r r 5－r解：由(得T r＋1＝C 5 )＝ C x ，x2＋r 2x)(x )(5 )r55令T r＋1为常数项，则20－5r＝0，16所以r＝4，常数项T5＝C45·＝16.5又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝C24a4＝54.解得a＝± 3.4。

高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系

2．二项式系数的性质对称性与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cnn－m)．
n＋1 增减性当 k<___2___时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
• 那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数__相__等____． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___和___，即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
4．(2018·深圳二模)若(x－4x)n 的展开式中各项系数的和为 81，则该展开式中的常数项为___9_6__．
[解析] 在(x－4x)n 中，令 x＝1 可得，其展开式中各项系数和为(－3)n，结合题意可得(－3)n＝81，解得 n＝4．
∴(x－4x)n 的展开式的通项公式为：Tr＋1＝C4rx4－r(－4x)r＝(－4)r·Cr4·x4－2r，令 4－2r＝0，解得 r＝2.∴常数项为 C24×(－4)2＝96．故答案为 96．
Байду номын сангаас
[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23；第 4 项是 C13…第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211．
故 S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C312＝274．

2018年高中数学第1章计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

K12课件
2
n＋1 (2)增减性与最大值：当k<__2___时，二项式系数逐渐增大．由
对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
n
当n是偶数时，中间一项__C_n2__取得最大值；
n－1 n－1
当n是奇数时，中间两项Cn2 ，Cn2 相等，同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：
①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n ， ②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋Cn5＋…＝ 2n－1 .
K12课件
12
[解] (1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 016＝(－1)2 016＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 016＝32 016.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 015)＝1－32 016，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
015＝1－232
016
K12课件
18
[一题多变] 1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．
解：由本例(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正．故系数最大的项为T7＝C68·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5C85·25x －127 ＝－1 792x.－127
A．5
B．6
C．7
D．8
答案：A
3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是
()
A．第n2＋1 项
B．第 n 项
C．第 n＋1 项
D．第 n 项与第 n＋1 项
答案：C
4．在(a＋b)n 的展开式中，第 2 项与第 6 项的二项式系数相等，

2017-2018学年高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2杨辉三角与二项式

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质[课时作业] [A 组基础巩固]1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项解析：第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．答案：B2．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n的展开式中各项系数和为( ) A ．2n ＋1B ．2n－1 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：令x ＝1，得2＋22＋ (2)＝2n ＋1－2.答案：D3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n，又各二项式系数的和为2n，故4n2n ＝64，∴n ＝6.答案：C4．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70D ．80解析：∵(1＋2)5＝1＋C 15×2＋C 25×(2)2＋C 35×(2)3＋C 45×(2)4＋C 55×(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋4 2 ＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C. 答案：C5．(2015年高考湖北卷)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．212B ．211C ．210D ．29解析：∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C 3n ，C 7n ， ∴C 3n ＝C 7n ，得n ＝10.从而有C 010＋C 110＋C 210＋C 310＋…＋C 1010＝210，又C 010＋C 210＋…＋C 1010＝C 110＋C 310＋…＋C 910，所以奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29. 答案：D6．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答)解析：令x ＝0，得a 0＝(－2)5＝－32.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：317．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x2n的展开式中仅第六项系数最大，则展开式中不含x 的项为________．解析：由题意知，展开式各项的系数等于各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n ＝10. ∴通项为T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r .令30－5r ＝0，得r ＝6. ∴常数项为T 7＝C 610＝210. 答案：210 8．若(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x2 004(x ∈R)，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 004)＝________.(用数字作答) 解析：在(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x2 004中，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 004＝(－1)2 004＝1，故 (a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 004) ＝2 003a 0＋a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 004 ＝2 004. 答案：2 0049．已知(1－x )8的展开式，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项．解析：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4. (2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定．由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.10．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 7(x －1)7.求： (1) a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6. 解析：(1)令x ＝2，得(1－2×2)7＝－37＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－37.(2)令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝1. 又由(1)得，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－37，两式相加，可得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝1－37. ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1－372.[B 组能力提升]1．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：由条件知2n＝32即n ＝5，在通项公式T r ＋1＝C r5(x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x r ＝C r 5a r x1556r -中，令15－5r ＝0得r ＝3，∴C 35a 3＝80.解得a ＝2. 答案：C 2．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x2 015(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x2 015，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.答案：C3．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析：在(1＋x )6的展开式中，x m的系数为C m6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，所以原式＝20＋60＋36＋4＝120，故选C. 答案：C4．如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即C 13n ∶C 14n ＝2∶3，所以n ！n －！·13！∶n ！n －！·14！＝2∶3，∴14n －13＝23，∴n ＝34. 答案：345．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解析：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121， ∴1＋n ＋n n －2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中，二项式系数最大的项是第八、九两项，T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7，T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8. 6．应用二项式定理证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)．证明：当n ＝1时，21＋1＝4,12＋1＋2＝4，所以2n ＋1＝n 2＋n ＋2；当n ≥2时， 2n ＋1＝2(1＋1)n ＝2(1＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn )≥2(1＋C 1n ＋C 2n )＝2[1＋n ＋n n －2]＝n 2＋n ＋2. 所以2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)成立．。

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课前导引素材新人教B版

“杨辉三角〞与二项式系数性质课前导引问题导入在〔a+b 〕n 展开式中，奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数和相等吗？思路分析：在展开式〔a+b 〕n =0n C a n +1n C a n-1b+2n C a n-2b 2+3n C a n-3b 3+…+nn C b n 中，令a=1,b=-1,那么得〔1-1〕n =0n C -1n C +2n C -3n C +…+〔-1〕n n n C , 即0=〔0n C +2n C +4n C +…〕-〔1n C +3n C +5n C +…〕.所以0n C +2n C +4n C +…=1n C +3n C +5n C +….这是二项式一个题目，本节我们讨论是否还有其他更直观解决方法，它就是杨辉三角. 知识预览1 第0行1 1 第1行1 2 1 第2行1 3 3 1 第3行1 4 6 4 1 第4行1 5 10 10 5 1 第5行1 6 15 20 15 6 1 第6行……其规律是：表中每行每端都是1，而且除1以外每一个数都等于它肩上两个数____________.事实上，设表中任一不为1数为r n C 1+，那么它肩上两个数分别为____________和____________，由组合数性质2，知识r n C 1+=____________+____________. 答案：和 1-r n C r n C 1-r n C r n C〔1〕对称性：与首末两端____________两个二项式系数相等.〔2〕增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项二项式系数、相等，且同时取得最大值.〔3〕各二项式系数和：0n C +1n C +22C +…+nn C =_________________,0n C +2n C +4n C +…=_________________,1n C +3n C +5n C +…=_________________. 答案：等距离 21-n n C 21-n n C 2n 2n-1 2n-1。

2017-2018学年高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件新人教A

解与“杨辉三角”有关的问题的一般思路： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．
1．如图所示，满足①第 n 行首尾两数均为 n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n≥2) 的第 2 个数是________．
A．180
B．－180
C．45
D．－45
解析：a8＝C810·22＝180.
答案：A
3．若x＋x1n 的展开式的各项系数之和为 64，则展开式的常数项为(
)
A．10
B．20
C．30
D．120
解析：由 2n＝64，得 n＝6，∴Tk＋1＝Ck6x6－k1xk＝Ck6x6－2k，由 6－2k＝0，得 k＝3， ∴T4＝C36＝20. 答案：B
(1)∵n＝5，展开式共 6 项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
2
∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
2
10 4 k
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大，则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 增大的．由对称性知它的后半
部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数
π C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
Cn－2 1n，Cn＋2 1n
相
等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
A．第六项
B．第七项
C．第八项
D．第九项
解析：展开式中共有 14 项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．