第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

Ux 和 Uy 是一组模为1的正交矢量
Uy
Ux
Ax
x
平面矢量分解图
A c1Ux c2Uy
4.1 信号分解为正交函数
空间中的矢量分解图
y
Ay
Uy Uz
A
Ux
Ux Ux Uy Uy Uz Uz 1 Ux Uy Uy Uz Uz Ux 0
4.2 傅里叶级数
二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
f (t )的对称条件
展开式中系数特点
4 t0 T f (t ) f (t )，纵轴对称（偶函数 ） bn 0，an 2 f (t ) cos ntdt T t0
4 t0 T 2 f (t ) f (t )，原点对称（奇函数） an 0，bn f (t ) sin ntdt t T 0
VxVy vxiv yi 0
T i 1
3
其内积为0
例：矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 是否为正交矢量集？ 例：三维空间的矢量A =(2，5，8)，表示为一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz}分量的线性组合。 A= 2vx+ 5 vy+ 8vz 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F F
f (t ) f (t
T 谐波分量 )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 2
4.2 傅里叶级数
例、有一偶函数，其波 形如图所示，
f (t )
求其傅立叶展开式 .
T 2 0
4.2 傅里叶级数
4 T 2E 2 2 an t cos ntdt ( ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin nt 0 sin ntdt] 0 n T n
2E n [( 1 ) 1] 2 ( n )
4E ( n )2 0 ( n为奇数) ( n为偶数)

t2 t1
f (t ) d t C 2 jKj
2 j 1

帕斯瓦尔(Parseval)公式，表明： 在区间(t1 ,t2 )上 f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中 分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。
f (t ) C j j (t )
1 t 2 t1
2

t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t
j 1
n
4.1 信号分解为正交函数
为使上式最小
Ci
2 Ci Ci

t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为
结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小， 则这个分量是原矢量的垂直投影。
E A－CA1
cA1 (c )
E A1
4.1 信号分解为正交函数
A Ax Ay
y
Ay
A
Ux Ux Uy Uy 1 Ux Uy 0
a0 An cos(nt n ) 2 n 1
n tg 1
周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 a0/2为直流分量； A1cos( t+1)称为基波或一次谐波，频率与原周期信号相同； A2cos(2 t+2)称为二次谐波，频率是基波的2倍； Ancos(n t+n)称为n次谐波。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2
Az
x
Ax
Ux Uy Uz是一组模为1的正交矢量。
z
A Ax Ay Az
A c1Ux c2Uy c3Uz
4.1 信号分解为正交函数
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交：
4.1 信号分解为正交函数
信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。
一、矢量的分量和矢量的分解 A E A E A 1 A1 cA1 c A 1 (a) (b )
图(a)中
A

E ——用分量 CA1 来近似代表原矢量 A 的误差矢量。
第四章 傅里叶变换与系统的频域分析
Chapter4
本章要点
F 信号表示为正交函数集 F 周期信号的傅里叶级数 F 周期信号的频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 能量谱与功率谱 F 周期信号的傅里叶变换 F 连续时间系统的频域分析 F 取样定理
引言
时域分析： 1）以冲激函数为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。 3）yzs(t) = h(t)*f(t)。 频域分析： 1）正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
E

E 2
E 3
6
0
2
4

E n 3n (cos 1 cos cos n ) n 2 2 0 n为奇数 E (1 cos n ) n 2E n为偶数 n
1 f (t ) sin nt n2 j n
2E

j 1、 2、
4.2 傅里叶级数
t1
an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
4.2 傅里叶级数
将上式同频率项合并，可写为
a0 f (t ) 2 n 1
An an bn
2
2
an cos nt bn sin nt
n
bn
an
bn an
An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…
1 Ki

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
代入，得最小均方误差
n t2 1 2 [ f (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1 2
4.1 信号分解为正交函数
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大， 则均方误差越小。 当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。
t 1 T
t1
f (t ) cos ntdt cos ntdt
2

t 1 T
2 T 2 T

t 1T
t1
f (t ) cos ntdt
t1
t 1 T
bn
t1
f (t ) sin ntdt sin ntdt
2
t 1 T
t 1 T
t1
f (t ) sin ntdt
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f(t)满足 狄氏条件时， an , bn 才存在。
4.2 傅里叶级数
设f(t)是周期为T,角频率 =2/T的函数
a0 f (t ) an cosnt bn sin nt 2 n 1
在均方误差最小的条件下
an

4.1 信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1( t1
1 (t ) 2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
*
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，当 这些函数在区间(t1，t2)内满足 t2 i j 0, * t1 i (t ) j (t ) d t K i 0, i j 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
2E 1 T 1 3T ( sin n sin n T n 4 n 4 1 T sin n ) n 2 E n 3n (sin sin )0 n 2 2
4.2 傅里叶级数
An
3T 2 T bn ( 4 E sin ntdt T 4 E sin ntdt) T 0 2

T
T 2
E
T 2

T
解:
t
f ( t )在一个周期内可写为如 下形式 2E T t 0t T 2 f (t ) 2E T t t 0 T 2
f (t )是偶函数，故 bn 0
2 a0 T
T 2 T 2
0 2E 2 2E f (t )dt [ tdt T tdt] E T T 2 T
An
E/2
1
3

5
4E 25 2

0
4E
4E 9 2
2
E 4E 1 f (t ) 2 2 cosnt 2 n1,3,5 n
4.2 傅里叶级数
例、有一偶谐函数，其 波形如图所示，
f (t )
E
求其傅立叶展开式
解:
T 4 T 2
0
T
t
3T 2 T an ( 4 E cos ntdt T 4 E cos ntdt) T 0 2
4.1 信号分解为正交函数
例: 三角函数集
1, cost , cos 2t ,cos nt ,, sin t , sin 2t ,sin nt ,