微机械陀螺的动力学特性研究
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摘要 有关微机械振动式陀螺的动力学特性测试的结果很多， 而与微机械振动式陀螺设计相关的动力学特性的定
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量结果却很少见。文中基于拉格朗日方程建立微机械振动式陀螺的动力学方程， 分析其动力学特性， 推导其灵敏度与非 线性度的计算公式， 考虑输入角加速度影响的情况下， 分析其带宽特性， 并对其带宽特性进行模拟。所得结论对微机械 振动式陀螺的设计提供一定的理论依据。 关键词 微机械陀螺 ()##* 灵敏度 非线性 带宽 中图分类号
（*） ： F:G3?4A :H )75C4?<54A #237?=2C *$$"， *J **& N *K* " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
的 ! 的范围， 将 ! 最大值带入式 （’?） ， 可以求出微机 械陀螺驱动模态的固有频率的最小值。
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带宽特性分析
当输入角速度为谐波形式时， 其动力学方程可由 ,* , 与 -$ +、 式 （,） （E） 确定， 由于式 （,"） 中的 )’ *# ’ )’# D 相比很小， 可以忽略， 则微机械陀螺的动力学方程可以 简化为 , F #& . # - $ + F /& . （ )& F )’ ） . + F /’ * , F # ’G * # C ’ )’ . , ! C )’ . ! , )’ * （’&"） （’&(）
驱动ຫໍສະໝຸດ Baidu态与敏感模态的振幅
如果驱动力 4 / 如式 （A） 所示， 可以假设式 （?） 的稳
所示。 态解为谐波形式， 如式 （":） （". ） 4 / 5 6 / -.3 （". 6#" ） ( 5 * -.3 （". 6#! ） ) 5 + -.3 （A） （":+） （":7）
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微机械陀螺的动力学特性研究 !
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! ! 朱二辉
韩光平
刘
凯
刘迎伟
（西安理工大学 机械与精密仪器工程学院， 西安 "#$$%&） "() *&+,-.’,- /0# 1+’ /0# 2’,-34’ （ !"#$%&’"(& )* +",-$(.,$/ $(0 1(2&%3’"(&$/ 4(5.(""%.(5 ， 6.’ $( "#$$%&， ;-.($ ） 6.’ $( 7(.8"%2.&9 )* :",-()/)59 ，
是敏感模态加了敏感电压后的等效 式中 3 !@ 5 3 ! 9 3 # ， 刚度系数。从上式可以看出， 敏感电压降低了敏感模 态的刚度系数， 这是敏感电压的静电负刚度效应， 所以 降低了敏感模态的固有频率， 可以通过它调节敏感模 态的固有频率， 使得驱动模态与敏感模态的固有频率 匹配。
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陀螺大多是振动式的， 其性能不高， 而提高的重要途径 之一是分析其动力学特性及误差， 以便找到一个有效
［"］ 的设计方法 。文献 ［& N #$］ 研究了框架式和音叉式
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微机械陀螺的动力学特性及误差， 文献 ［##］ 研究了具 有解耦框架的微机械陀螺的动力学特性。还没有微机 械振动式陀螺的分析设计方法， 因而在微机械陀螺的 设计中大量采用模拟与实验的方法。另外， 在微机械 振动式陀螺研究中， 有许多研究针对改进微机械陀螺
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［"8］ 根据拉格朗日方程
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第 !A 卷第 ! 期
朱二辉等： 微机械陀螺的动力学特性研究
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式中! 为微机械陀螺的角位移， ?、 9 和 6、 @ 分别为惯 性质量在活动坐标系与固定系中的位移。 在这个结构中， 系统的总动能是两个惯性质量平 动动能与转动动能之和。而系统的总势能是弹簧的弹 性势能以及梳状驱动电极以及敏感电容中的静电势能
（ QQ$I$%%） 资助。 *$$L$J#I 收到修改稿。西安市科技计划工业攻关项目 ! *$$L$"*I 收到初稿， 男， 陕西咸阳人， 汉族。西安理工大学硕士研究生， 研究方向为微机械陀螺的动力学特性分析及优化。 #J&$ 年 #* 月生， ! ! 朱二辉，
梳状电极的静电驱动力 4 / 为 ( 方向为驱动模态， !" # （8） !( 其静电力是 ) 的非线性函数， ) 方向为敏感模态方向， 称其为经典负刚度力， 其大小可近似为下式 4/ 5 !" # 5 9 35 ) !) 忽略角加速度的影响， 则式 （=） 可简化为 - 6 3 " ( 5 ! $! ) -! - 6 4/ 2 6 ’" ( （ $" 6 $! ） ( 2 6 ’! ) - 6 3 !@ ) 5 9 ! $! ( -! $! ) （>） （?+） （?7）
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从式 （&!(） 可以看出， 机械灵敏度为常数， 但是式 （&&） 在非线性响应分析中是非常重要的。
考虑角加速度的影响， 分析微机械陀螺的带宽特 性。式 （’&"） 的稳态解为式 （&?"） 形式。其中 ! 形式如 （&!"） 所示。由于输入的旋转角速度 ! 是谐波形式， 即 （ （’’） ! # !? ;<5 $0 ） 同时考虑到输入旋转角速度的频率 $ 远远小于 驱动频率， 将式 （’’） 带入式 （’&(） 的右端， 并令式 （’&(） 则可以近似得到式 （’+） 。 右端等于 - ; ， （ （ - ; # C )’"! 0 C%] F ;<5[ 0 C%] } !? { ;<5[ " F$） " C$） （’+） 根据式 （’&(） 、 （’+） ， 考虑式 （’&(） 的线性特性， 则 敏感模态的稳态解可以确定为 （" F$） 0 C%F$ ] F * # %" F$ ;<5 [ （" C$） 0 C%C$ ] %" C$ ;<5 [ )’"! !? % # ’G
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非线性函数。方程 （!"） 右边第一项是由科氏力引起的 耦合项， 一般情况下与驱动力相比很小， 通常被忽略， 成为通常用的微机械振动陀螺的动力学方程。这样可 以得到线性的机械灵敏度。忽略这一项后， 式 （!） 的解 为 !# %# " $ % #& !$& （&!"） （&!(）
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振动式微机械陀螺的动力学方程
图 # 是微机械振动式陀螺的动力学模型， 它由 * 个集中质量、 一个梳状驱动电极 * 个弹簧、 * 个阻尼器、 和一个平行板敏感电容构成。其中坐标系 ?9> 与微机 械陀螺固联， 则固定坐标系与活 6@< 是固定坐标系， 动坐标系的坐标转换关系为 ;/8 ! O( (6 ) @ 8:7 ! P 8:7 ! ? ) ( 9) ;/8 !
［#* N #L］ 的各种性能 ， 很少有关于微机械陀螺带宽特性的
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引言
研究。本文根据微机械陀螺的工作原理和拉格朗日方 程建立微机械陀螺的动力学方程， 分析其动力学特性， 给出其灵敏度及其线性度的计算公式， 考虑谐波角速 度输入时其带宽特性。为微机械陀螺的设计提供一定 的理论基础。
微电子机械系统 （ 9:;3/!2,2;-3/!92;.47:;4, 8<8-298） 基于微电子和微机械的有机集成， 集约各学科前沿领 域研究的新技术、 新成果， 与纳米科学技术 （ 747/ 8;:! ［#］ 。 一起被列为 *# 世纪的关键技术 27;2 47> -2;.7/,/1<） 目前， 微机械加工技术已取得快速的发展， 可以加工各 种微器件、 微传感器、 微电子机械系统， 微机械陀螺便 是其中之一。微机械陀螺由于具有体积小、 重量轻、 可 批量生产、 成本低等优点， 在军用与民用领域具有广泛 的应用前景。国内外很多研究机构对其进行了研究， 设计多种结构的微机械陀螺
可以得到驱动模态与敏感模态的振幅 * 与 + ， 如 式 （""） 6 / #7! B 3 " ! < "） 6 7（ "） ; $B < $B #7" 7! 9 7（ 6 $ +5 ! < （ 7 7 9 7 B B"） $ "） 6 7（ ; < ! #" ! *5 式中 $ 5! 6 8 65! / ! 3 " "! ! ! ! （" 9 8 " ） 6 （! 7" 5 %" 8 " ）
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量结果却很少见。文中基于拉格朗日方程建立微机械振动式陀螺的动力学方程， 分析其动力学特性， 推导其灵敏度与非 线性度的计算公式， 考虑输入角加速度影响的情况下， 分析其带宽特性， 并对其带宽特性进行模拟。所得结论对微机械 振动式陀螺的设计提供一定的理论依据。 关键词 微机械陀螺 ()##* 灵敏度 非线性 带宽 中图分类号
（*） ： F:G3?4A :H )75C4?<54A #237?=2C *$$"， *J **& N *K* " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
的 ! 的范围， 将 ! 最大值带入式 （’?） ， 可以求出微机 械陀螺驱动模态的固有频率的最小值。
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带宽特性分析
当输入角速度为谐波形式时， 其动力学方程可由 ,* , 与 -$ +、 式 （,） （E） 确定， 由于式 （,"） 中的 )’ *# ’ )’# D 相比很小， 可以忽略， 则微机械陀螺的动力学方程可以 简化为 , F #& . # - $ + F /& . （ )& F )’ ） . + F /’ * , F # ’G * # C ’ )’ . , ! C )’ . ! , )’ * （’&"） （’&(）
驱动ຫໍສະໝຸດ Baidu态与敏感模态的振幅
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所示。 态解为谐波形式， 如式 （":） （". ） 4 / 5 6 / -.3 （". 6#" ） ( 5 * -.3 （". 6#! ） ) 5 + -.3 （A） （":+） （":7）
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是敏感模态加了敏感电压后的等效 式中 3 !@ 5 3 ! 9 3 # ， 刚度系数。从上式可以看出， 敏感电压降低了敏感模 态的刚度系数， 这是敏感电压的静电负刚度效应， 所以 降低了敏感模态的固有频率， 可以通过它调节敏感模 态的固有频率， 使得驱动模态与敏感模态的固有频率 匹配。
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图" $%&’ " 微机械陀螺的动力学模型 ()*+,%- ,./#0 .1 ,%-2.&)2.3-.4#
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其中 8 " 、 8 ! 为频率比， 8 " 5 "B"" ， 8 ! 5 "B"! ， "" 、 "! 为 （=+） （=7） （=-） 驱动模态与敏感模态的固有频率， %" 与%! 为阻尼比， ， ! 5 ’ ! ! #3 !@ $! 。 从 式 " $ " 6 $ ! ）% %" 5 ’ " ! #3（ （""7） 可以看出， 敏感模态的振幅 + 是$ 的非线性函 + 数， 因此微机械陀螺的机械灵敏度 9 , 5 ! 也是$ 的 $ !
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微机械陀螺的动力学特性及误差， 文献 ［##］ 研究了具 有解耦框架的微机械陀螺的动力学特性。还没有微机 械振动式陀螺的分析设计方法， 因而在微机械陀螺的 设计中大量采用模拟与实验的方法。另外， 在微机械 振动式陀螺研究中， 有许多研究针对改进微机械陀螺
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第 !A 卷第 ! 期
朱二辉等： 微机械陀螺的动力学特性研究
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之和。系 统 总 动 能 ! 、 势 能 "、 瑞利耗散能 # 如式 （!） 。式中， $! 是外部与内部质量块的质量， %" 、 %! $" 、 是转动惯量， &" 、 &! 、 ’" 、 ’ ! 分别是驱动模态与检测模 是电极中的静电 态的刚度系数与阻尼系数， "（ )） # (， 势能， 包括梳状电极以及敏感电极中存储的静电势能。 # 为系统的瑞利耗能函数。其中 * 为驱动方向， +为 敏感方向， , 为旋转轴。
式中! 为微机械陀螺的角位移， ?、 9 和 6、 @ 分别为惯 性质量在活动坐标系与固定系中的位移。 在这个结构中， 系统的总动能是两个惯性质量平 动动能与转动动能之和。而系统的总势能是弹簧的弹 性势能以及梳状驱动电极以及敏感电容中的静电势能
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振动式微机械陀螺的动力学方程
图 # 是微机械振动式陀螺的动力学模型， 它由 * 个集中质量、 一个梳状驱动电极 * 个弹簧、 * 个阻尼器、 和一个平行板敏感电容构成。其中坐标系 ?9> 与微机 械陀螺固联， 则固定坐标系与活 6@< 是固定坐标系， 动坐标系的坐标转换关系为 ;/8 ! O( (6 ) @ 8:7 ! P 8:7 ! ? ) ( 9) ;/8 !
［#* N #L］ 的各种性能 ， 很少有关于微机械陀螺带宽特性的
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引言
研究。本文根据微机械陀螺的工作原理和拉格朗日方 程建立微机械陀螺的动力学方程， 分析其动力学特性， 给出其灵敏度及其线性度的计算公式， 考虑谐波角速 度输入时其带宽特性。为微机械陀螺的设计提供一定 的理论基础。
微电子机械系统 （ 9:;3/!2,2;-3/!92;.47:;4, 8<8-298） 基于微电子和微机械的有机集成， 集约各学科前沿领 域研究的新技术、 新成果， 与纳米科学技术 （ 747/ 8;:! ［#］ 。 一起被列为 *# 世纪的关键技术 27;2 47> -2;.7/,/1<） 目前， 微机械加工技术已取得快速的发展， 可以加工各 种微器件、 微传感器、 微电子机械系统， 微机械陀螺便 是其中之一。微机械陀螺由于具有体积小、 重量轻、 可 批量生产、 成本低等优点， 在军用与民用领域具有广泛 的应用前景。国内外很多研究机构对其进行了研究， 设计多种结构的微机械陀螺
可以得到驱动模态与敏感模态的振幅 * 与 + ， 如 式 （""） 6 / #7! B 3 " ! < "） 6 7（ "） ; $B < $B #7" 7! 9 7（ 6 $ +5 ! < （ 7 7 9 7 B B"） $ "） 6 7（ ; < ! #" ! *5 式中 $ 5! 6 8 65! / ! 3 " "! ! ! ! （" 9 8 " ） 6 （! 7" 5 %" 8 " ）