运城市景胜中学高二9月适应性测试数学试题

高二数学适应考试试题（9月）文理同卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.2. 经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A. B. C.或 D.或3. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.4. 已知，是空间中两不同直线，，是空间中两不同平面，下列命题中正确的是A.若直线，，则B.若平面，，则C.若平面，，，则D.若，，，则5. 如图，等边为圆锥的轴截面，为的中点，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6. 如图，已知正方体的棱长为，点在线段上，且，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为( )A. B. C. D.7. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8. 已知平行四边形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，若为的中点，则在翻折过程中（点平面），给出以下命题：①的长是定值；②平面；③存在某个位置，使；④异面直线与所成的角的大小是定值．其中，正确的命题个数是( )A. B. C. D.9. 在三棱锥中，，若过的平面将三棱锥分为体积相等的两部分,则棱与平面所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10. 某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.11. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（）A.B.平面C.三棱锥的体积为定值D.异面直线，所成的角为定值12. 已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球．若球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为( )A. B. C. D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有________条．14. 一个正方体内接于一个高为，底面半径为的圆锥，则正方体的棱长为________．15. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为________．16. 如图，为正方体，下面结论中正确的结论是________．（把你认为正确的结论都填上）①平面；②平面；③过点与异面直线与成角的直线有条；④二面角的正切值是.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 14 分，共计70分）17. 如图，已知平面，，，且是的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积．18. 如图，在四棱锥中，，．求证：平面平面；若为的中点，求证：平面；若与平面所成的角为，求四棱锥的体积．19. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．20. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，且．求证：；过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并给出证明．21. 如图，直三棱柱中，，，是棱上的点，（1）求证：为中点；（2）求直线与平面所成角正弦值大小；（3）在边界及内部是否存在点，使得面，存在，说明位置，不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】A【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，则由题意可得，所以，所以圆锥的高.所以该圆锥的体积.故选．2.【答案】C【解答】当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．3.【答案】D【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是的正三棱柱砍去一个三棱锥得到的几何体．．故选．4.【答案】D【解答】解：若直线，，则或，故不对；若平面，，则或，故不对；若平面，，，则或，是异面直线，故不对；根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得正确，故选．5.【答案】C【解答】解：取中点，中点，连接，，，，则就是直线与所成角．设．则，，所以，即直线与所成角的余弦值为.故选．6.【答案】B【解答】解：如图，连接，，连接并延长交于点，取中点为，连接，，∴ ，则，，∴ ，∴ ，即为中点，故.∴ 在正方体中，四边形为正方形，∴ ，∴ .又，∴ .又为中点，同理易得，∴ 四边形为菱形，故，又平面，平面，∴ 平面经过点，，，即平面为正方体被平面所截得的截面.在菱形中，连接，则与必相交，交点为，由于，为菱形的对角线，∴ ，，，∴ .在正方体中，易得，∴ .又，故，∴ ，∴ ，∴ .即正方体被平面所截得的截面面积为．故选.7.【答案】A【解答】解：取的中点为，连接，因为是边长为的等边三角形，所以，且，又因平面平面，平面平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角.又平面，可得由平面，平面可得，又，所以∴平面,所以在中，由可得在中， .故选．8.【答案】C【解答】解：如图，取中点，连结，，取中点，连结，，易知，，∴ 为平行四边形，∴ ，故①正确；∴ 平面，平面，∴ 平面，故②正确；∴ 异面直线与所成的角为，故④正确；若，由已知得，故平面，则，而由已知是正三角形得是正三角形，矛盾，故③错误．故选．9.【答案】D【解答】解：根据题意得图：设的中点为，∴ .∴ ,∴ 可知平面即为平面,且∴平面，∴ 棱与平面所成角为，∴∴ ,∴ 棱与平面所成角的余弦值为.故选.10.【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是侧棱底面的三棱锥，如图所示：是边长为的正三角形，取的三等分点，则为的外心，作平面，为直角三角形，外心是的中点，则平面，则为三棱锥外接球的球心，，，∴ 三棱锥外接球的半径，∴ 该几何体外接球的表面积：．故选．11.【答案】【解答】此题暂无解答12.【答案】【解答】解：如图，取的外心，连接，，则必过，，且平面，可知为侧棱与底面所成的角，即.取的中点，连接，.设圆，的半径分别为，，令，则，，，，，所以，即.从而，所以，则，所以球与球的表面积之比为．故选．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【解答】正方体的共有条棱中，成异面直线的有：，，，，，，共条．【答案】【解答】解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为，则，∴ ，解得，∴ 正方体的棱长为，故答案为：．15.【答案】【解答】由三视图知，该几何体由正方体沿面与面截去两个角所得．正方体的棱长为，该几何体的体积为，16.【答案】①②④【解答】解：在正方体中，由于，由直线和平面平行的判定定理可得平面，故①正确．由正方体的性质可得，，故平面，故.同理可得．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，平面，故②正确．过点与异面直线成角的直线必和也垂直，过点与直线成角的直线必和垂直，则该直线必和平面垂直，满足条件的只有直线，故③不正确．取的中点，则即为二面角的平面角，中，，故④正确．故答案为：①②④.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 14 分，共计70分）17.【考点】直线与平面平行的性质平面与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解答】此题暂无解答18.【答案】证明因为，所以，又因为，所以平面．所以平面平面．取的中点，连接，．因为为的中点，所以，又因为，所以所以四边形是平行四边形，又平面，平面，所以平面．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】略略解法：过作于，连接．因为，所以为中点，又因为平面平面，如图建立空间直角坐标系设．由题意得，，．所以．设平面的法向量为，则即令，则．所以．因为与平面所成角为，所以解得所以四棱锥的体积．法：取中点，连接，，设．∴ ，∴ 四边形为平行四边形，∴ ，∴ 与面所成角即与面所成角，设为在三棱锥中，∴ ，∴ ，∴∴ ．19.【答案】【考点】直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.证明：连结交于点，，，，，，则，平面平面，平面平面，平面，又平面，．由，易知，，又平面，平面平面，，，即为线段上靠近点的五等分点，即．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的性质直线与平面平行的性质【解析】左侧图片未提供解析．左侧图片未提供解析．【解答】证明：连结交于点，，，，，，则，平面平面，平面平面，平面，又平面，．由，易知，，又平面，平面平面，，，即为线段上靠近点的五等分点，即．21.【答案】证明：（1）根据题意以、、所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，∴ ，，，，∴ ，，∴ ，解得，∴ 为的中点．（2），设面的法向量，则，设，得，设直线与平面所成角为，则．∴ 直线与平面所成角正弦值大小为．（3）设，，，，∴ ，∴ 面，∴ ，∴ ，解得，∴ ，∴ 在边界及内部是不存在点，使得面．【解答】证明：（1）根据题意以、、所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，∴ ，，，，∴ ，，∴ ，解得，∴ 为的中点．（2），设面的法向量，则，设，得，设直线与平面所成角为，则．∴ 直线与平面所成角正弦值大小为．（3）设，，，，∴ ，∴ 面，∴ ，∴ ，解得，∴ ，∴ 在边界及内部是不存在点，使得面．。