2017年春季新版冀教版七年级数学下学期11.1、因式分解教案5

河北省石家庄市第三十一中学八年级数学上册《因式分解》复习

教案冀教版.

教材解读精华要义

数学与生活

630能被哪些数整除？说说你是怎么想的.

思考讨论在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×32×5×7.

类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？

知识详解

知识点1 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.

例如：

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 提公因式法

多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).

探究交流

下列变形是否是因式分解？为什么，

(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；

(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；

(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.

点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.

(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义

(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.

(4)不是因式分解，是整式乘法.

知识点3 公式法

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.

例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).

(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.

其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.

探究交流

下列变形是否正确？为什么？

(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；

(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；

(3)x2-2x-1=(x-1)2.

点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.

(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.

(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.

知识点4 分组分解法

(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

=(m+n)(a+b)

(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2

=(x+1)2-y2

=(x+y+1)(x-y+1).

把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.

知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.

例如：将a m+a n+bm+bn因式分解，方法有两种：

方法1：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).

方法2：a m+a n+bm+bn=(a m+bm)+(a n+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).

(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.

例如：a m+a n+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：

(1)按字母分组；

(2)按次数分组；

(3)按系数分组.

例如：把下列各式因式分解.

(1) a m+bm+a n+bn；

(2)x2-y2+x+y；

(3)2a x-5by+2a y-5bx.

知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

事实上：x2+(p+q)x+pq

=x2+px+qx+pq

=(x2+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q).

∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.

例如：把x2+3x+2分解因式.

(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.

解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)

典例剖析师生互动

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；

(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.

例1 用提公因式法将下列各式因式分解.

(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；

(4)36a by-12a bx+6a b；(5)3x(a-b)+2y(b-a)；

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).

(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.

解：(1)a x-a y=a(x-y)

(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).

(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).

(4)36a by-12a bx+6a b=6a b(6y-2x+1).

(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)

=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)

=(m-x)(m-y)(x-m)

=-(m-x)2(m-y).

小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.

如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)

=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]

=(x+y)(4m-6n).

=2(x+y)(2m-3n).

(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).

例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.

本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成