第三章 光学成像系统的传递函数.
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3 光学成像系统的传递函数
1 成像系统的黑箱模型
物平面 入瞳平面 出瞳平面 像平面
菲涅尔衍射 二、分类
黑箱模型
菲涅尔衍射
衍射受限系统：物面上任一点源发出的发散球面波投 射到入瞳被变换为出瞳上的会聚球面波。
有像差系统：偏离理想球面波。
2、衍射受限系统的点扩散函数
2 xi Mx0 x yi My0 ydxdy h( x0 , y 0 ; xi , yi ) = K P( x, y) exp j d i
( x x0 ) 2 ( y y0 )2 exp( jkd0 ) = exp jk jd 0 2 d 0
( x 0 , y0 )
任意且略去常数相位
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 exp( jkd 0 ) dU1 ( x0 , y 0 ; x, y) = exp jk jd 0 2 d 0
k k 2 2 exp j x0 y 0 exp j 2d 0 2d 0
xi 2 y i 2 M2
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 d0 di
1 h( x 0 , y 0 ; x i , y i ) = 2 d0di
小面元叠加 （加权函 成像系统 数） 加权d函数
光学传递函数ppt课件
dxi dyi
FThI xi , yi
hI xi , yi dxidyi
FT h~xi , yi 2 h~xi , yi 2 dxidyi
H
, H , H , 2 dd
H H 说明：对于同一个系统来说，光学传递函数
的自相关归一化函数。
等于相干传递函数
11
衍射受限系统的OTF的计算
对于同一个衍射受限系统，有相干传递函数 H , Pdi , di
所以光学传递函数为
Η
,
Pdi, di Pdi , di
Pdi,di 2 dd
光学传递函数 OTF
对于非相干光照明下的衍射受限系统，表征系统的成像质量的 指标就是光学传递函数。
非相干成像系统是强度的线性空不变系统（LSI）。
一. 非相干光照明下，衍射受限系统的成像规律
1. 物像关系（空域中）
Ii xi , yi k I g ~x0 , ~y0 hI xi ~x0 , yi ~y0 d~x0d~y0
从照明光、截止频率、像强度的频谱和两点的分 辨等方面对这两种成像进行比较。
相干成像 （相干光照明）
非相干成像 （非相干光照明）
备注
截止 频率
c
l
2d i
光学系统的光学传递函数OTF测定方法理论(实验)研究---终稿
本科毕业设计(论文)
光学系统的光学传递函数OT Ｆ测定方法
理论（实验)研究
学 院_ 物理与光电工程学院__
专 业_____ 光信息科学与技术_
(光电显示与识别技术方向）
年级班别_＿__＿_＿_2010级(２)班__
学 号__＿＿＿____３１1００0894５＿__＿__
学生姓名＿__＿_______林清贤__＿
指导教师＿________＿_雷 亮＿___
2014 年 4 月 28 日
摘要
光学传递函数是定量描述成像性能的完备函数。但是对于实际的光电成像器件(如CCD器件)，通过解析法建立这一函数的表达式又是非常困难的,因此光学传递函数的实测技术就显得尤为重要。
光学传递函数是一个客观的、准确的、定量的像质评价指标,并且其能够直接方便的测量，因此已经广泛应用于光学设计、加工、检测和信息处理中。本文主要介绍了光学传递函数的性质及其测量原理分析，并对固有频率目标法和狭缝扫描法进行了实验研究。我们采用光学显微镜作为待测量光学传递函数的光学系统,通过改变显微镜的放大倍数,比较分析放大倍数对调制传递函数(MTF)测量的影响,并比较两种测量方法的优劣。实数傅立叶变换是整个实验中需要透彻理解和运用的数学概念,在此基础上理解离散傅立叶级数与MTF定义的理论依据，并由此建立数学模型。由本文建立的理论模型出发,结合实验所测得的数据，最后得到了基本可靠的实验结果。本文最终给出两种测量法对应的ｍaｔlaｂ程序、数值测量结果、实验测得的可靠的MTF实验结果撰写毕业论文主要内容。
关键字: 光学传递函数，傅立叶变换，固有频率目标法，狭缝扫描法
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案
第一章 线性系统分析
1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx
d
x g =
（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2
⎰
∞
∞
--=
αααd x h f x g
（5）
()()απξααd j f ⎰∞
∞
--2exp
解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛π
证明：左边＝∑∑∑∞
-∞
=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ
∑∑∑∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=∞
-∞=∞
-∞=∞
-∞
=∞
-∞
=--+-=
-+-=-+-=
+=n n
n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )
()
1()()
()exp()()
()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边
当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞
-∞
=-n n x )2(2δ
所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式
0)(,)
()
()]([1
≠''-=∑
=i n
i i i x h x h x x x h δδ
光学传递函数及像质评价实验
实验十一 光学传递函数测量及像质评价实验
光学成像系统是信息（结构、灰度、色彩）传递系统，从物面到像面，输出图像的质量取决于光学系统的传递特性。在频域中分析光学系统的成像质量时，可以把光学成像系统看成是一个低通空间滤波器，将输入信息分解成各种空间频率分量。通过考察这些空间频率分量在通过系统的传递过程中丢失、衰减、相位移动等变化，也就是研究系统的空间频率传递特性即光学传递函数（OTF ，Optical Transfer Function ），来获取成像的空间频谱特性。光学传递函数的性质主要体现在：它定量反映了光学系统的孔径、光谱成分以及像差大小所引起的综合效果；用它来讨论光学系统时，其可靠性依赖于光学系统对线性和空间不变性的满足程度；用它来分析讨论物像之间的关系时，不受试验物形式的限制；可以用各个不同方位的一维光学传递函数来分析处理光学系统，简化了二维处理；它可以根据设计结果进行计算，也能对已制成的光学系统进行测量。可见，光学传递函数表征光学系统对物体或图像中不同频率的信息成分的传递特征，可用于光学系统成像质量的评价。本实验利用非相干面光源、光栅、透镜、CCD （Charge-coupled Device ，电荷耦合元件）图像传感器、数据采集和处理系统，测出光学成像系统的光学传递函数曲线图，并对成像质量作出评价。
一、实验目的
1．了解光学传递函数及其测量方法。
2．掌握传递函数测量和像质评价的近似方法。
3．熟悉抽样、平均和统计算法。
二、实验仪器
面光源、凸透镜、CCD 图像传感器、数据采集及处理系统、计算机、导轨（滑块）、调节支座（支架）、干版架、可调节光阑。
信息光学课件第三章
在(ｘ0＇,y0＇)点发出的单位脉冲δ (x0-ｘ0＇,yo-yo＇) 在透镜前的场分布dU1;透镜后场分布dU1 ＇。
（菲涅耳衍射）
对任意输入点可去掉＇，略去常数相位因子。
通过孔径函数P（x,y）、透镜（焦距为 f）后
再传输di距离到像面上，产生的分布即为点扩散函数。
代入dU1 ＇略去1/j和exp(jkdi) 常数相位因子。
像的调制度
合并两式 Vi＝M(ξ,η)Vg M为输出信号与输入信号对比度的比值，称这种频率的透过率。 而调制传递函数MTF就是由多种频率的透过率构成的透过谱。 像和理想像的相位差
H(x,h)的辐角j(x,h)是余弦像和余弦物（理想像）的相位差。
3.4.2OTF与CTF的关系
☆
巴塞伐定理
所以光学传递函数可以用相干传递函数表示。
其中
cosθ＝1时θ＝0，这时有λdiξ=D, 这时重叠面积为0。 相干传递函数（是孔径函数）的截止频率ρc＝D/2λdi。 而光学传递函数OTF的截止频率为2ρc。 相干传递函数 因此
例 衍射受限非相干成像系统的 光瞳为正方孔，边长l。求OTF。 解 光瞳函数为 光瞳总面积So＝l2 .当P(x,y)在 x , y 方向分别移动-λdiξ,-λdiη 后，得P(x+λdiξ,y+λdiη)，重叠面积 即
意义：光瞳函数定义为孔内为1，孔外为0。相干传递函数也有这种 性质，即低于某频率为1，可以通过;高于某频率为0，不能通过。
第三章习题解答及参考答案
②
σ ( f x ,0 ) 2λd i =1− f x = 1− f x f0 σ0 l
l l ≤ λd i f x ≤ (见附图3 - 4(b)) 4 2
2 1 l l σ ( f x ,0 ) = (l − λd i f x ) l − = − λd i l f x 2 2 2
fL2 2 Ly f I (x f , y f ) = sinc 2 λd ⋅ 2λ d 1 1 2 Lx f 2 L 2 L sinc λd + 4 sinc λd (x f − λdf 0 ) + 4 sinc λd (x f + λdf 0 )
假定 L=1 cm, f 0 = 100线 / cm ,大致画出焦平面上沿 x 轴的强度分布， 标出各个衍射分量之间 的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。 解：由附图 3-2 可知，物平面被照明光斑的直径为 2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其最 大线度（对角线方向）为 2 L = 振幅分为：
第三章 光学成像系统的频率特性
部分习题解答及参考答案
[3-1] 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过率函数：
t (r ) =
式中， r =
1 r 1 + cos αγ 2 circ 2 l
(
)
σ ( f x ,0 ) 2λd i =1− f x = 1− f x f0 σ0 l
l l ≤ λd i f x ≤ (见附图3 - 4(b)) 4 2
2 1 l l σ ( f x ,0 ) = (l − λd i f x ) l − = − λd i l f x 2 2 2
fL2 2 Ly f I (x f , y f ) = sinc 2 λd ⋅ 2λ d 1 1 2 Lx f 2 L 2 L sinc λd + 4 sinc λd (x f − λdf 0 ) + 4 sinc λd (x f + λdf 0 )
假定 L=1 cm, f 0 = 100线 / cm ,大致画出焦平面上沿 x 轴的强度分布， 标出各个衍射分量之间 的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。 解：由附图 3-2 可知，物平面被照明光斑的直径为 2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其最 大线度（对角线方向）为 2 L = 振幅分为：
第三章 光学成像系统的频率特性
部分习题解答及参考答案
[3-1] 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过率函数：
t (r ) =
式中， r =
1 r 1 + cos αγ 2 circ 2 l
(
)
信息光学基本概念要点2010综述
L
f ( x, y)
a f ( x, y )
式中a为一复数，叫本征值，则称 f (x,y)为算符 L所表征的系统的 本征函数
也就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输 出函数等于输入函数与一复常数的乘积。
由上面的讨论可知，复指数函数可以形式不变地通过线性不变 系统，因此，它正是线性不变系统的本征函数。 对于非相干处理系统，系统对光强是线性的，这种系统可以把 一个实值输入变换成一个实值输出，也是一种常见的系统，这 类系统的传递函数是厄米的，余弦函数是本征函数。
*
2
惠更斯---菲涅耳原理是在惠更斯子波的假设与杨氏干涉 原理的基础上提出的，它是描述光传播过程的基本原理。该原 理指出：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上的各面元 可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则在波传播的空 间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源各自发出 的子波在该点相干叠加的结果。
g( x, y ) f ( x , y ) * h( x , y )
上式是输入和输出关系在空域表示，利用卷积定理，可以 得到频率的关系式。
G( , ) F ( , ) H ( , ) F ( , )
输入 频谱
G( , )
H ( , )
输出 频谱
系统的传递函数或频率响应
巴比涅原理对这样一类衍射装置特别有意义，即衍射屏由平面波照明，其 后装有透镜，在焦平面上接收衍射图像（衍射屏的夫琅和费衍射图样）。 这时的自由光场在像平面上除焦点外，U0处处为零。从而除像点外，处处有
(第三章)光学成象系统的衍射特性及频率传递函数
f > 0 → f < 0 正 ( 会 聚 ) 透 镜 , 中 心 点 x = 0, y = 0厚 度 最 大 , 位 相 延 迟 (kn 0 )最 多 , 离 开 中 心 , 透 镜 逐渐变薄,位相延迟逐渐减少,比中心 x2 + y2 ; 减少了k 2f 负 (发 散 )透 镜 中 心 点 x = 0, y = 0厚 度 最 薄 , 位 相 延 迟 (- kn 0 )最 小 , 离 开 中 心 , 透 镜 逐渐变厚,位相延迟逐渐增加,比中心 x2 + y2 增大了-k . 2f
≈ 1-
x2 + y2 ) ( 2 R1
2
2
(3.1.16)
(x 1
+ y2 )
2
R2
(x ≈ 1-
+ y2 )
2
(3.1.17)
2 R2
3.1 .4 透镜的厚度函数 透镜的厚度函数 将式(3.1.16)和式 将式 和式(3.1.17)的近似,实质上是将近轴区域的球面近似 的近似, 和式 的近似 为抛物面.将式 和式(3.1.17)代入式 代入式(3.1.14)得: 为抛物面.将式(3.1.16)和式 和式 代入式 得
1 ( x, y )
x +y
2 2
图3.1.2 透镜厚度函数
2 ( x, y )
x2 + y2
R1
≈ 1-
x2 + y2 ) ( 2 R1
2
2
(3.1.16)
(x 1
+ y2 )
2
R2
(x ≈ 1-
+ y2 )
2
(3.1.17)
2 R2
3.1 .4 透镜的厚度函数 透镜的厚度函数 将式(3.1.16)和式 将式 和式(3.1.17)的近似,实质上是将近轴区域的球面近似 的近似, 和式 的近似 为抛物面.将式 和式(3.1.17)代入式 代入式(3.1.14)得: 为抛物面.将式(3.1.16)和式 和式 代入式 得
1 ( x, y )
x +y
2 2
图3.1.2 透镜厚度函数
2 ( x, y )
x2 + y2
R1
光学成像系统的传递函数
即为点扩散函数
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 当透镜孔径远远大于 此时：
h( xi ~ xo , yi ~ yo ) M
λd i 时，可作近似：
p( λd i ~ x , λd i ~ y ) 1
Байду номын сангаас
exp{ j 2π [( xi ~ x0 ) ~ x ( yi ~ yo ) ~ y ]} d~ xx~ y
§ 1. 评定光学成像系统的主要方法 a.星点法 用点光源经过光学成像系统所产生的像斑特 征来评定。 定性评定、主观因素很大 b.分辨率法 用系统能分辨出景物最小尺寸的能力来评定 从定性到定量、信息量较小、 不能全面评价、主观因素较大 c.光学传递函数法 从空域到频域，通过研究光学系统的频域特 性来评价光学系统像质 定量、信息量大、全面评价、客观评价、 计算复杂 计算机技术解决了这一问题
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 c.衍射受限系统的点扩散函数 将光学系统的出瞳函数替代薄透镜的光瞳函 数，并用出瞳到像面之间的距离替代薄透镜 的像距，则衍射受限系统的点扩散函数为：
h( xi ~ xo , yi ~ yo ) M p( λd i ~ x , λd i ~ y ) exp{ j 2π [( xi ~ x0 ) ~ x ( yi ~ yo ) ~ y ]} d~ xd~ y
[物理]光学成像系统的传递函数
![[物理]光学成像系统的传递函数](https://img.taocdn.com/s3/m/5abec103caaedd3383c4d39f.png)
透镜后的透射光场复振幅:
d U l(x 0 ,y 0 ;x ,y ) P (x ,y )e x jp k x 2 2 fy 2 dl(U x 0 ,y 0 ;x ,y )
透镜后表面xi,yi平面: 再次运用菲涅耳衍射公式：
h (x 0 ,y 0 ;x i,y i) ejx j d ik i)p d d U (l (x 0 ,y 0 ;x ,y )e x j( k x ip x )2 2 d ( iy i y )2 dx
• 在近轴成像条件下，透镜成像系统是空不变的。 • 透镜的脉冲响应等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心 位于理想像点处。透镜孔径的衍射作用,决定于孔径线度相对
于波长和像距的比例。
对孔径平面上的坐标做如下变换： ~x x ,~y y
透镜的点扩散函数表达式 ：
di
di
h ( x i ~ x 0 ,y i ~ y 0 ) M P (d i ~ x ,d i~ y ) e x j 2 [ x p i ( ~ x 0 ) ~ x ( y i ~ y 0 ) ~ y ] d ~ x d ~ y |M|=di/d0
d M(xi~ x0,yi~ y0)
这时物点成像为一个像点，即几何光学理想像。
§3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律
理想成像：点物通过系统后形成点像。实际像质受多种因素限制 衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，像质仅仅受到系统衍射
[物理]光学成像系统的传递函数
![[物理]光学成像系统的传递函数](https://img.taocdn.com/s3/m/b97cf5f076a20029bc642d25.png)
x0, y0 平面上的一 个点源，在透镜前 平面上产生的分布。
§3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数 (x x ) ( y y ) 1
dUl ( x0 , y0 ; x, y )
2
2
exp jk jd 0
0
0
2d 0
透镜后的透射光场复振幅:
x2 y2 dU l( x0 , y0 ; x, y) P( x, y ) exp jk 2 f dUl ( x0 , y0 ; x, y)
透镜后表面xi,yi平面: 再次运用菲涅耳衍射公式：
( xi x) 2 ( yi y) 2 exp( jkdi ) h( x0 , y0 ; xi , yi ) dU l( x0 , y0 ; x, y) exp jk dxdy jdi 2d i
第三章 光学成像系统的传递函数
Transfer Function of Optical Image Systems
目的: 从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价 透镜成像质量的频域方法
物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ 函数时，通过透镜产生的像场 分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 hxo , yo ; xi , yi 表示。
物像平面的共 2 2 xi2 y i2 x0 轭关系满足高 y0 1 h( x 0 , y 0 ; x i , y i ) 2 exp jk exp jk 2d i 2d 0 斯公式 d0di
光学成像系统的传递函数-频谱分析
U g (xi , yi ) h(xi , yi )
3.2.1物理意义：物 U0 (x0 , y0 ) 通过衍射受限系
统后的像分布
的理想像点 U
U
g(
i (xi ,
xi , yi
yi
)
) 是 U 0 (x0 , y0
和点扩散函数
)h~(
xi
,
yi
)
的卷积。
衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。
阿贝认为衍射是有限大小的入瞳大小引起的。 瑞利认为衍射效应是有限大小的出瞳引起的。（本书采用 瑞利的说法）
h(x0, y0; xi , yi ) K p(x, y)
exp
j
2 di
[(xi
Mx0
)x
(
yi
My0
)
y]
dxdy
略去积分号前的系数，单位脉冲通过衍射受限系统的脉冲响应就是 光瞳函数（出瞳函数）的傅立叶变换。做坐标变换：
研究脉冲响应有何意义？？
脉冲响应 —— 点物 经系统所成的 像（像元）
任何物体，都可分解 为无穷多个小面元 —— 点物
点物 经系统成 像元
像元 叠加 构成 像 因此，研究成像特性，关键是求出 脉冲响应
图示
点物
像元
物 分解
点 经成像系统
像
体
源
光学传递函数
光学传递函数
光学传递函数是光学系统的重要参数，它反映了光的衍射和折射，可以用于研究光学系统的物理特性，可以提供光学设计的有用信息。因此，光学传递函数在光学设计、检测、验证及改进中发挥着重要作用。本文将介绍光学传递函数的概念、原理及其在实际应用中的作用，以便为学习者提供有关光学传递函数的认识。
一、光学传递函数概念
光学传递函数（OTF）是衡量光系统效果的技术参数，它能反映
光在系统中的衍射和折射。它类似于信号处理中的传递函数，可以用来衡量系统对光信号的衰减和整形能力。不同于光学成像系统的整体成像质量，光学传递函数仅关注系统的一些特定频率的光的传输性能。
二、OTF的原理
光学传递函数是衡量光系统的一个重要参数，它可以提供有关系统的衰减和整形能力的信息。当光通过一个光学系统时，它的幅度和相位会受到系统的影响，幅度和相位的变化构成了光学传递函数。
显然，OTF由三个参量描述，即幅频响应、相频响应和调制传递功能。由于幅频响应和相频响应均随频率变化，因此OTF也随之变化，其表示形式如下：
OTF＝A（u）x P（u）x MTF（u）
其中，A（u）是幅频响应，P（u）是相频响应，MTF（u）是调制传递功能，它是受折射、衍射、干涉和其它一些特性而形成的。
三、OTF在实际应用中的作用
1、用于研究光学系统的物理特性
OTF能衡量光系统的衰减和整形能力，提供有关系统的信息，因此可以用于研究光学系统的物理特性，包括折射、衍射及其他影响等，从而为光学设计、检测、验证和改进提供参考。
2、用于测量摄像机的性能
OTF能够衡量摄像机的衰减和整形能力，因此可以用来测量摄像机的性能，跟踪摄像机的变化，使用户能够更好地控制和改进摄像机的质量。
第三章光学成像系统的传递函数-20150510
U i ( xi , yi )
U
( x0 , y0 )h( x i , y i ; x0 , y0 )dx 0 dy 0
h M h 因此 h 可看作系统的脉冲响应，即点扩散函Leabharlann Baidu。
~
~
x0 Mx0 , y0 My0 是几何光学理想像点的坐标。
~
~
我们可以定义一个新函数
1 1 1 0 d0 di f
则积分号内关于（ x,y)的二次相位因子将消失，上式正是几 何光学的透镜成像定律。 这样上式已大简化。我们先对(x0,y0)积分
1 U i ( xi , yi ) d i d 0
2
2 U ( x , y ) e xp j ( x x y y ) 0 0 0 dx0dy0 0 0 d 0
当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫 做点扩散函数或脉冲响应，通常用
h( x0 , y0 ; xi , yi )
表示
它表示物平面上（ x0,y0 ）点的单位脉冲通过成像系统后在像
平面上（ xi,yi ）点产生的光场分布。一般来说，它既是 （ x0,y0 ）的函数，又是(xi,yi）的函数。
是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶 变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳 的截取。 该式的傅里叶
U
( x0 , y0 )h( x i , y i ; x0 , y0 )dx 0 dy 0
h M h 因此 h 可看作系统的脉冲响应，即点扩散函Leabharlann Baidu。
~
~
x0 Mx0 , y0 My0 是几何光学理想像点的坐标。
~
~
我们可以定义一个新函数
1 1 1 0 d0 di f
则积分号内关于（ x,y)的二次相位因子将消失，上式正是几 何光学的透镜成像定律。 这样上式已大简化。我们先对(x0,y0)积分
1 U i ( xi , yi ) d i d 0
2
2 U ( x , y ) e xp j ( x x y y ) 0 0 0 dx0dy0 0 0 d 0
当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫 做点扩散函数或脉冲响应，通常用
h( x0 , y0 ; xi , yi )
表示
它表示物平面上（ x0,y0 ）点的单位脉冲通过成像系统后在像
平面上（ xi,yi ）点产生的光场分布。一般来说，它既是 （ x0,y0 ）的函数，又是(xi,yi）的函数。
是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶 变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳 的截取。 该式的傅里叶
3 光学成像系统的传递函数
3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数
衍射受限系统：是指不考虑系统的几何像差，仅仅考 虑系统的衍射限制。 一、普适模型——“黑箱”模型 一个实际的光学系统在只考虑衍射的情况下，系统 对光波传播的限制是由系统的孔径光栏决定的。 1）光学成像系统的孔径光栏、入瞳和出瞳
孔径光栏：光学系统中对光波传播起最大限制作用的孔 径或光栏
x y 于是：h( xi ~o , yi ~o ) M
M ( xi ~o , yi ~o ) x y
此时，物点成像为一个像点，点物成点像，即理想成像。
exp{ j 2 [( xi ~o ) ~ ( yi ~o ) ~ ]}d~d~ x x y y x y
把光学系统看成线性系统，而且在一定条件下是线性空 不变系统，用线性系统理论来研究光学成像系统的性能。 基于线性系统理论，把输入图像信息分解为各种空间频 率分量，考察这些空间频率分量在通过系统的传递过程中的 丢失、衰减、相位移动等变化，即研究成像系统的空间频率 传递特性—传递函数，从而做到全面、定量的评价。
则：
h( xi ~o , yi ~o ) M x y
P(d i ~, d i ~ ) exp{ j 2 [( xi ~o ) ~ ( yi ~o ) ~ ]}d~d~ x y x x y y x y
当孔径很大，比λ di大很多时，可不考虑透镜孔径 x y 边界的衍射效果。认为在 ( ~, ~) 坐标系中，在无限大 的区域内 P(di ~, di ~)的值为1. x y
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任何物体，都可分解 为无穷多个小面元 —— 点物
点物 经系统成 像元
叠加 构成 像 因此，研究成像特性，关键是求出
像元
脉冲响应
图示
点物 像元
物 体
分解
点 源
经成像系统
像 元
叠加
像
图示
为什么点物不能成 理想点像？？？
入射光瞳
物面
出射光瞳
像面
点物
像元
d0
di
显然，由于高频分量被有限孔径阻挡，不能参与成像
dx0 dy0
=
=
) ( y y0 ) exp(ikd0 ) exp[ jk ( x x0 ] 2d 0 jd 0 2 2 ) ( y y0 ) ( x x0 1 exp[ jk ] 2d 0 jd 0
2 2
为了书写方便，可略去常 数位相因子
此波通过孔径为 后，复振幅
3.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数
3.1.1透镜的点扩散函数
h( x0 , y0 ; xi , yi ) 表示物平面上 ( x0 , y0 ) 点的单位脉冲
通过成像系统后在像平面上 ( xi , yi ) 点产生的光场分布。
( x0 , y0 )
( x, y )
( xi , yi )
d0
di
( x0 , y0 ) 点发出的单位脉冲为 ( x0 x0 , y0 y0 )
这是物点成像为一个像点（点物成点像）， 即理想成像
=
~ ~ h( xi x0 , yi y0 )
3.1.2衍射受限系统的点扩散函数
单透镜 一般的成像系统
成像系统的普遍模型 这里所说的成像系统是指由多个相隔一定距离的透镜（凸的 或凹的）、光阑（小孔）等组成的光学系统。这些透镜不一 定要求是“薄”的。
2 2 1 xi yi exp( jk ) 2 d0di 2d i
h( x0 , y0 ; xi , yi )
2 0
=
2 0
x y ) p ( x, y ) exp( jk 2d 0 xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅考虑系统的 衍射限制，或者当像差很小或者系统的孔径和视场都不 大，边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散 球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面 波。 有像差的系统：有像差的边端条件，点源发出的发散球 面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的透射波场明 显偏离理想球面波
Black Box
yi
B’ 非
相 A’ 干 照 明
本节目的：确定在相干照明下，某一给定的物复振幅分布通过衍射受限
系统后，在像平面上形成的像复振幅分布和光强分布。
27
相干光：像面上的响应是复振幅相干叠加。 非相干光：非相干叠加，是光强叠加
研究脉冲响应有何意义？？ 脉冲响应 —— 点物 经系统所成的 像（像元）
因而 点物 不能成 理想点像
相干照明情况： 设物的复振幅分布为 U 0 ( x0 , y0 ) ，物面上各点是完全相 干的。将物分布用 函数表达为
U 0 ( x0 , y0 ) U 0 ( , ) ( x0 , y0 )d d
物函数通过系统以后所得的像的复振幅分布 Ui ( xi , yi ) ， 即
~ ~ 当孔径大小比 d i 大的多时，在 x , y 坐标中，
在无限大的区域内
~ ~ p(di x , di y )
=1
M ~ ~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] d~ x dy
=
M
~ ~ ( xi x0 , yi y0 )
第三章 光学成像系统的传递函数 （频谱分析）
光学传递系统是信息传递或处理系统， 它用于传递二维的光学图像信息。 从物面到像面，输出图像的质量完全 取决于光学系统的传递特性。
几何光学是在空域研究光学系统的成 像规律。
神舟七号
哈勃望远镜
如何评价光学成像系统传递信 息的能力？ 如何评价光学系统的成像质量？
当透镜的孔径比较大时，物面上每一物点 产生的脉冲响应是一个很小的像斑，那么 能够对于像面上 ( xi , yi ) 点产生有意义贡 献的，必定是物面上以几何成像所对应的 以物点为中心的微小区域。在这个区域内 ( xi , yi ) 可以近似的认为 ( x0 , y0 ) 不变，其值与 点的共轭物坐标 x0 xi M ， y0 yi M 相同，即可做以下近似
光学系统 （黑箱）
阿贝认为衍射是有限大小的入瞳大小引起的。 瑞利认为衍射效应是有限大小的出瞳引起的。（本书采用 瑞利的说法）
h( x0 , y0 ; xi , yi ) K p ( x, y )
2 exp j [(xi Mx0 ) x ( yi My0 ) y ] d i
成像质量的评价：星点法，分辨率法 星点法：指检验点光源经过光学系统所产生的像 斑是否规则。由于相差，玻璃材料不均匀以及加 工和装配缺陷等使像斑不规则。
缺点：很难对它做出定量的计算和测量。检验者的主管判断 会带入检验结果中。
分辨率法：能定量评价系统分辨景物细节的能力。
缺点：并不能对可分辨范围内的像质好坏给于全面评价 。
p ( x, y )
xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
k 1 1 1 2 2 exp[ j ( )(x y )] 2 di d0 f
由于
1 1 1 di d0 f
于是点扩散函数简化为
1 2 d0di
p ( x, y )
~ ~ 式中， x0 Mx0 , y0 My0 于是 ~ h( x0 , y0 ; xi , yi ) 可以写成 h( xi ~ x0 , yi y0 )
的形式，即：
~ ~ h( xi x0 , yi y0 )
1 = 2 p ( x, y ) d 0 d i
2 ~ ~ exp j [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] dxdy d i
在近轴条件下，透镜成像系统是空不变的。透 镜的脉冲响应函数就等于透镜孔径的夫琅禾费 ~ ~ ( x , 衍射图样。中心位于理想像点 0 y0 ) 处。透 镜的孔径的衍射作用明显与否，是由透镜孔径 线度相对于波长 和像距 di 的比例决定的， 为此对孔径平面上的坐标x,y做如下变换，令
dxdy
略去积分号前的系数，单位脉冲通过衍射受限系统的脉冲响应就是 光瞳函数（出瞳函数）的傅立叶变换。做坐标变换：
~ ~ 2 2 ~ ~ h( xi x0 , yi y0 ) = K di p(di x , di y )
~ ~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] d~ x dy
有三个平面： dU dU 透镜前 1 ，透镜后 1 ，像面（物平面的共轭面）h 利用菲涅耳衍射公式：
dU1 ( x0 , y0 ; x, y)
exp(ikd0 ) = jd 0
( x x , y y ) 0 0 0 0
2 2
( x x0 ) ( y y0 ) exp[ jk ] 2d 0
p ( x, y )
，焦距为f的透镜
( x0 , y0 ; x, y) = p ( x, y ) dU1 2 2 x y exp( jk ) dU1 ( x0 , y0 ; x, y) 2f
从透镜后到像面，光场的传播满足菲涅耳 衍射，于是物平面上的单位脉冲在观察面 上引起的复振幅分布即点扩散函数可写作
wenku.baidu.com
Ui ( xi , yi ) =
U 0 ( x0 , y0 )
= U 0 ( , ) ( x0 , y0 )dd
本章介绍从频域来分析研究系统
的传递特性，学习用传递函数来 表征光学成像系统的性能
光学系统是线性系统，有时还是线性空间 不变系统。 用线性系统研究它的性能。把输入信息分 解成各种空间频率分量，然后考虑这些空 间频率分量在通过系统的传递过程中，丢 失、衰减、相位移动等变化。 也就是研究系统的空间频率传递特性即传 递函数。
将 M di / d0 带入，则
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 p ( x, y ) d0di
2 exp j [(xi Mx0 ) x ( yi My0 ) y ] dxdy d i
=
2 ~ ~ exp j [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] dxdy d i
我们假定这些系统最终可以在空间产生一个实像。
成像系统的各个器件都有自己的边框，我们把对光束孔径限制最 多的边框，即真正决定通过系统光束孔径的边框叫做孔径光阑。 入射光瞳：孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称 入瞳 出射光瞳：孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称 出瞳
关系：入瞳与孔径光阑，孔径光阑与出瞳，入瞳与出 瞳满足物像共轭关系
x ~ y ~ x ,y d i d i
~ ~ h( xi x0 , yi y0 ) =
~ ~ M p(di x , di y )
~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ]
~ ~ dx dy
这就是透镜的点扩散函数（脉冲响应函数）表达式， 也是物平面上单位脉冲在观察面上引起的复振幅分布， 式中 M di / d0
x y exp( jk ) 2d 0
2 0 2 0
jk x y ≈ exp( ) 2 2d 0 M
2 i 2 i
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 d 0 d i
p ( x, y )
xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
exp(ikdi ) h( x0 , y0 ; xi , yi ) = jd i
( xi x) ( yi y) ] dxdy ( x0 , y0 ; x, y) exp[ jk dU1 2di
2 2
略去包括-1在内的常数位相因子
2 2 2 2 1 x y xi yi 0 0 exp( jk ) exp( jk ) = 2 d0di 2d 0 2d i
照明光源的相干性问题 x0 A B y0 xi
相 干 照 明 A, B两点光振动位相变化 步调一致 —— 称为两点相干 则以A’, B’为中心的两个光分布也相干 —— 相遇时 振幅叠加 A, B两点光振动位相变化 步调不一致 —— 称为两点不相干 则以A’, B’为中心的两个光分布也不相干 —— 相遇时 强度叠加
入瞳
孔径光阑
出瞳
一个成像系统的外部性质可以由入瞳或出瞳来描述，为此可 以不考虑成像系统的内部结构，把系统看成是一个“黑箱”， 成像过程可以这样来理解：
物平面 入瞳面 出瞳面 像平面
y0 x0
光组
yi xi
黑箱
d0
di
采用这种方法的好处是：我们可以用几种不同的方法来直观 想象对波前的空间限制(衍射)的起源；这种限制可以认为是 系统内部实际的物理装置(孔径光阑)引起的，也可以等价地 认为是系统的入瞳或出瞳引起的。（本课程通常考虑出瞳。）
~ 如果光瞳大小比 d i 大的多时，在 ~ x, y 坐标中，在无限大的区域内 p(di ~ x , di ~ y)
等于1
2 2 ~ ~ ~ ~ = h( xi x0 , yi y0 ) k di ( xi x0 , yi y0 )
理想系统的脉冲几何响应
3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律
点物 经系统成 像元
叠加 构成 像 因此，研究成像特性，关键是求出
像元
脉冲响应
图示
点物 像元
物 体
分解
点 源
经成像系统
像 元
叠加
像
图示
为什么点物不能成 理想点像？？？
入射光瞳
物面
出射光瞳
像面
点物
像元
d0
di
显然，由于高频分量被有限孔径阻挡，不能参与成像
dx0 dy0
=
=
) ( y y0 ) exp(ikd0 ) exp[ jk ( x x0 ] 2d 0 jd 0 2 2 ) ( y y0 ) ( x x0 1 exp[ jk ] 2d 0 jd 0
2 2
为了书写方便，可略去常 数位相因子
此波通过孔径为 后，复振幅
3.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数
3.1.1透镜的点扩散函数
h( x0 , y0 ; xi , yi ) 表示物平面上 ( x0 , y0 ) 点的单位脉冲
通过成像系统后在像平面上 ( xi , yi ) 点产生的光场分布。
( x0 , y0 )
( x, y )
( xi , yi )
d0
di
( x0 , y0 ) 点发出的单位脉冲为 ( x0 x0 , y0 y0 )
这是物点成像为一个像点（点物成点像）， 即理想成像
=
~ ~ h( xi x0 , yi y0 )
3.1.2衍射受限系统的点扩散函数
单透镜 一般的成像系统
成像系统的普遍模型 这里所说的成像系统是指由多个相隔一定距离的透镜（凸的 或凹的）、光阑（小孔）等组成的光学系统。这些透镜不一 定要求是“薄”的。
2 2 1 xi yi exp( jk ) 2 d0di 2d i
h( x0 , y0 ; xi , yi )
2 0
=
2 0
x y ) p ( x, y ) exp( jk 2d 0 xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅考虑系统的 衍射限制，或者当像差很小或者系统的孔径和视场都不 大，边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散 球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面 波。 有像差的系统：有像差的边端条件，点源发出的发散球 面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的透射波场明 显偏离理想球面波
Black Box
yi
B’ 非
相 A’ 干 照 明
本节目的：确定在相干照明下，某一给定的物复振幅分布通过衍射受限
系统后，在像平面上形成的像复振幅分布和光强分布。
27
相干光：像面上的响应是复振幅相干叠加。 非相干光：非相干叠加，是光强叠加
研究脉冲响应有何意义？？ 脉冲响应 —— 点物 经系统所成的 像（像元）
因而 点物 不能成 理想点像
相干照明情况： 设物的复振幅分布为 U 0 ( x0 , y0 ) ，物面上各点是完全相 干的。将物分布用 函数表达为
U 0 ( x0 , y0 ) U 0 ( , ) ( x0 , y0 )d d
物函数通过系统以后所得的像的复振幅分布 Ui ( xi , yi ) ， 即
~ ~ 当孔径大小比 d i 大的多时，在 x , y 坐标中，
在无限大的区域内
~ ~ p(di x , di y )
=1
M ~ ~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] d~ x dy
=
M
~ ~ ( xi x0 , yi y0 )
第三章 光学成像系统的传递函数 （频谱分析）
光学传递系统是信息传递或处理系统， 它用于传递二维的光学图像信息。 从物面到像面，输出图像的质量完全 取决于光学系统的传递特性。
几何光学是在空域研究光学系统的成 像规律。
神舟七号
哈勃望远镜
如何评价光学成像系统传递信 息的能力？ 如何评价光学系统的成像质量？
当透镜的孔径比较大时，物面上每一物点 产生的脉冲响应是一个很小的像斑，那么 能够对于像面上 ( xi , yi ) 点产生有意义贡 献的，必定是物面上以几何成像所对应的 以物点为中心的微小区域。在这个区域内 ( xi , yi ) 可以近似的认为 ( x0 , y0 ) 不变，其值与 点的共轭物坐标 x0 xi M ， y0 yi M 相同，即可做以下近似
光学系统 （黑箱）
阿贝认为衍射是有限大小的入瞳大小引起的。 瑞利认为衍射效应是有限大小的出瞳引起的。（本书采用 瑞利的说法）
h( x0 , y0 ; xi , yi ) K p ( x, y )
2 exp j [(xi Mx0 ) x ( yi My0 ) y ] d i
成像质量的评价：星点法，分辨率法 星点法：指检验点光源经过光学系统所产生的像 斑是否规则。由于相差，玻璃材料不均匀以及加 工和装配缺陷等使像斑不规则。
缺点：很难对它做出定量的计算和测量。检验者的主管判断 会带入检验结果中。
分辨率法：能定量评价系统分辨景物细节的能力。
缺点：并不能对可分辨范围内的像质好坏给于全面评价 。
p ( x, y )
xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
k 1 1 1 2 2 exp[ j ( )(x y )] 2 di d0 f
由于
1 1 1 di d0 f
于是点扩散函数简化为
1 2 d0di
p ( x, y )
~ ~ 式中， x0 Mx0 , y0 My0 于是 ~ h( x0 , y0 ; xi , yi ) 可以写成 h( xi ~ x0 , yi y0 )
的形式，即：
~ ~ h( xi x0 , yi y0 )
1 = 2 p ( x, y ) d 0 d i
2 ~ ~ exp j [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] dxdy d i
在近轴条件下，透镜成像系统是空不变的。透 镜的脉冲响应函数就等于透镜孔径的夫琅禾费 ~ ~ ( x , 衍射图样。中心位于理想像点 0 y0 ) 处。透 镜的孔径的衍射作用明显与否，是由透镜孔径 线度相对于波长 和像距 di 的比例决定的， 为此对孔径平面上的坐标x,y做如下变换，令
dxdy
略去积分号前的系数，单位脉冲通过衍射受限系统的脉冲响应就是 光瞳函数（出瞳函数）的傅立叶变换。做坐标变换：
~ ~ 2 2 ~ ~ h( xi x0 , yi y0 ) = K di p(di x , di y )
~ ~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] d~ x dy
有三个平面： dU dU 透镜前 1 ，透镜后 1 ，像面（物平面的共轭面）h 利用菲涅耳衍射公式：
dU1 ( x0 , y0 ; x, y)
exp(ikd0 ) = jd 0
( x x , y y ) 0 0 0 0
2 2
( x x0 ) ( y y0 ) exp[ jk ] 2d 0
p ( x, y )
，焦距为f的透镜
( x0 , y0 ; x, y) = p ( x, y ) dU1 2 2 x y exp( jk ) dU1 ( x0 , y0 ; x, y) 2f
从透镜后到像面，光场的传播满足菲涅耳 衍射，于是物平面上的单位脉冲在观察面 上引起的复振幅分布即点扩散函数可写作
wenku.baidu.com
Ui ( xi , yi ) =
U 0 ( x0 , y0 )
= U 0 ( , ) ( x0 , y0 )dd
本章介绍从频域来分析研究系统
的传递特性，学习用传递函数来 表征光学成像系统的性能
光学系统是线性系统，有时还是线性空间 不变系统。 用线性系统研究它的性能。把输入信息分 解成各种空间频率分量，然后考虑这些空 间频率分量在通过系统的传递过程中，丢 失、衰减、相位移动等变化。 也就是研究系统的空间频率传递特性即传 递函数。
将 M di / d0 带入，则
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 p ( x, y ) d0di
2 exp j [(xi Mx0 ) x ( yi My0 ) y ] dxdy d i
=
2 ~ ~ exp j [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] dxdy d i
我们假定这些系统最终可以在空间产生一个实像。
成像系统的各个器件都有自己的边框，我们把对光束孔径限制最 多的边框，即真正决定通过系统光束孔径的边框叫做孔径光阑。 入射光瞳：孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称 入瞳 出射光瞳：孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称 出瞳
关系：入瞳与孔径光阑，孔径光阑与出瞳，入瞳与出 瞳满足物像共轭关系
x ~ y ~ x ,y d i d i
~ ~ h( xi x0 , yi y0 ) =
~ ~ M p(di x , di y )
~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ]
~ ~ dx dy
这就是透镜的点扩散函数（脉冲响应函数）表达式， 也是物平面上单位脉冲在观察面上引起的复振幅分布， 式中 M di / d0
x y exp( jk ) 2d 0
2 0 2 0
jk x y ≈ exp( ) 2 2d 0 M
2 i 2 i
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 d 0 d i
p ( x, y )
xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
exp(ikdi ) h( x0 , y0 ; xi , yi ) = jd i
( xi x) ( yi y) ] dxdy ( x0 , y0 ; x, y) exp[ jk dU1 2di
2 2
略去包括-1在内的常数位相因子
2 2 2 2 1 x y xi yi 0 0 exp( jk ) exp( jk ) = 2 d0di 2d 0 2d i
照明光源的相干性问题 x0 A B y0 xi
相 干 照 明 A, B两点光振动位相变化 步调一致 —— 称为两点相干 则以A’, B’为中心的两个光分布也相干 —— 相遇时 振幅叠加 A, B两点光振动位相变化 步调不一致 —— 称为两点不相干 则以A’, B’为中心的两个光分布也不相干 —— 相遇时 强度叠加
入瞳
孔径光阑
出瞳
一个成像系统的外部性质可以由入瞳或出瞳来描述，为此可 以不考虑成像系统的内部结构，把系统看成是一个“黑箱”， 成像过程可以这样来理解：
物平面 入瞳面 出瞳面 像平面
y0 x0
光组
yi xi
黑箱
d0
di
采用这种方法的好处是：我们可以用几种不同的方法来直观 想象对波前的空间限制(衍射)的起源；这种限制可以认为是 系统内部实际的物理装置(孔径光阑)引起的，也可以等价地 认为是系统的入瞳或出瞳引起的。（本课程通常考虑出瞳。）
~ 如果光瞳大小比 d i 大的多时，在 ~ x, y 坐标中，在无限大的区域内 p(di ~ x , di ~ y)
等于1
2 2 ~ ~ ~ ~ = h( xi x0 , yi y0 ) k di ( xi x0 , yi y0 )
理想系统的脉冲几何响应
3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律