第三章 光学成像系统的传递函数.
3 光学成像系统的传递函数
③若x>>di， y>>di
h( xi ~ x0 , yi ~ y0 ) = K2 di2d xi ~ x0 , yi ~ y0
即忽略衍射，理想成像
3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律
物分布 像分布（复振幅分布和光强分布)）
合成
相干叠加（相干光照明）
d函数的线 性叠加 物的复振幅分布
( x x0 ) 2 ( y y0 )2 exp( jkd0 ) = exp jk jd 0 2 d 0
( x 0 , y0 )
任意且略去常数相位
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 exp( jkd 0 ) dU1 ( x0 , y 0 ; x, y) = exp jk jd 0 2 d 0
传递函数：把输入信息分解成各种空间频率分量，考 察这些空频分量在通过光学系统的传递过程中，丢 失，衰减，相位移动等特性，即空间频率传递特性 。
3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数
衍射受限系统：在无象差条件下，系统的成像只受衍射限制。 已知物面分布
成像系统
像面分布（复振幅分布和光强分布)
相干叠加（相干光照明）
xi x0 yi y0 P ( x , y ) exp jk x y dxdy d i d 0 d i d 0
2 xi Mx0 x yi My0 y dxdy j P( x, y) exp d i 1 2 ~ ~ = 2 P ( x , y ) exp j x x x y y y dxdy i 0 i 0 d 0 d i d i
光学成像系统3
5.4-1，5.4-2节的结论不仅对衍射受限系统成立， 而且对有像差系统也成立。
5.4-3 衍射受限非相干成像系统的OFT
∵衍射受限系统相干成像的CTF为:
H u, v Pdiu, div
∴衍射受限系统非相干成像的OTF为:
Ig是理想几何像的强度分布； Ii是实际像的强度分布； hI是强度脉冲响应，也称为非相干脉冲响应。
该式表明：
像的强度分布是理想几何像的强度分布与强度脉冲响 应的卷积，系统的成像特性由强度脉冲响应决定。
强度脉冲响应是点物产生的像斑的强度分布，等于相 干脉冲响应的模的平方，即：
hI xi ,
yi
4) 对于具有规则简单几何形状的光瞳，可以用几何 方法求出归一化重叠面积的表达式，求出其OTF。
从OTF的几何解释，可以了解OTF及衍射受限非相干 成像的一些性质：
1) 由于衍射受非相干成像限系统的Ĥ (u,v)是实的、 非负函数， 所以非相干照明衍射受限系统只改 变各频率余弦分量的对比度， 而不改变它们的 相位，即：只需考虑MTF而不必考虑PTF。
mu0
exp
, v0
j
exp j u0,v0
u0
,
v0
H H
u0 u0
, ,
v0 v0
H
mu0
u0,v0 厄米对称性
,v0 exp ju0,v0
I g xi , yi
a
u0, v u0, v
v0 exp jg v0 exp
u0, v0 jg u0 ,
v0
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
信息光学课件第三章
相干系统的点扩散函数 可看成是复振幅透过率 的光瞳被 半径为di的球面波照明后所得的分布。 称广义光瞳。 就是广义光瞳 的傅里叶变换。
相干传递函数定义为相干点扩散函数的傅里叶变换
由
得
（无像差）
有像差系统的通频带没有变化，截止频率也没有变化，但在通频 带内引入了与频率有关的位相畸变，使像质变坏。 非相干光照明下强度点扩散函数仍然是相干点扩散函数模的平方 但峰值减小。 Strehl Ratio
的频谱函数（相干传递函数）H(ξ ,η )
描述系统的变换特性更为方便。
3.3.1相干传递函数
相干成像系统的物像卷积关系
是几何关系理想像的复振幅分布。ĥ是系统的脉冲响应。 从频域上看，对上式进行傅里叶变换，可得到系统对各种频率成 分的传递特性。
系统的输入频谱 输出频谱 相干传递函数 CTF
已知
说明相干传递函数等于光瞳函数，只是将空域坐标变换为频域坐标 （-λ diξ ,-λ diη ）,通常光瞳都具有中心对称性，正负号无关紧要， 忽略负号后取
因hI是实函数，H是厄密型的，即
因此模是偶函数
辐角是奇函数
3.6相干与非相干成像系统的比较
各有优缺点。 3.6.1截止频率 OTF 的截止频率是CTF的2倍。但是 OTF是随空间频率增大而降低的。而CTF 是在空间频率小于某值前均为1，大于某 值时突变为0。
相干传递函数
3.6.2像强度的频谱
利用卷积定理和自相关定理得到像强度频谱
D为出瞳直径。
相干照明时，两点源产生的艾利斑按复振幅叠加。因而各点的 相位关系对强度分辨影响很大。
Φ ＝0，两点源位相相同，I(x)没有凹陷两点完全不能分辨。 Φ ＝π /2 与非相干光完全相同。 Φ ＝π 时，两点源位相相反。 两点源能否分辨与点源位相有关。
第三章光学成像系统的传递函数-20150510概述
k 1 exp j ( x 2 y 2 ) jd 0 2d 0
k 2 2 2 j ( x0 y0 ) exp j ( x0 x y0 y ) dx 0 dy 0 U 0 ( x0 , y0 ) exp 2d 0 d 0
积分号内的两个二次相位因子和积分变量（x,y）、（x0,y0）有 关，只有在一定的条件下才能弃去。
k 1 2 2 U i ( xi , yi ) exp j ( x i yi ) U 0 ( x0 , y0 )P ( x , y ) d i d 0 2 2 d i
2018/11/11 6
3.1.1 透镜的点扩散函数 如图，在单色光照明下，一个薄 的无像差的正透镜对透射物成实 像的简单情况。下面研究四个面 上的光场的复振幅分布，进而求 出系统的输入和输出的关系。
( x0 , y0 )
( x, y )
( xi , yi )
d0
U0
U1
U1
di
Ui
菲涅耳衍射公式
2 2 exp j ( x0 x y0 y ) exp j ( x i x yi y ) dx 0 dy 0 dxdy d 0 d i
这是一个复杂的四重积分，必须作进一步的简化。我们来看三个 含有二次相位因子的项：
k 2 2 e xp ( xi yi ) 不影响最终探测的强度分布，可以弃去。 j 2d i
光学成像系统是信息传递的系统。 在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的线性系统， 因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分 解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量
[物理]光学成像系统的传递函数
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利用菲涅耳公式，透镜前表面:
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkd0 ) , y0 y0 ) exp jk dUl ( x0 ' , y0 ' ; x, y) d ( x0 x0 dx0 dy0 jd 0 2d 0
物像平面的共 2 2 xi2 y i2 x0 轭关系满足高 y0 1 h( x 0 , y 0 ; x i , y i ) 2 exp jk exp jk 2d i 2d 0 斯公式 d0di
弃去常数位相因子,有:
k 1 1 1 2 xi x0 y i y 0 2 P ( x , y ) exp j ( x y ) exp jk x y dxdy 2 di d0 f d i d 0 d i d 0
2 ~ ~ P ( x , y ) exp j [( x x ) x ( y y ) y ] dxdy i 0 i 0 d i
§3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数
~ ~ 于是，hxo , yo ; xi , yi 可以写成 hxi xo , yi yo
) 2 ( y y0 )2 ( x x0 exp[ jkd 0 ] exp jk jd 0 2 d 0
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可写成: dUl ( x0 , y0 ; x, y) 1 exp jk jd 0 2d 0
1 ~ ~ h( x i x 0 , y i y 0 ) 2 d0di
[物理]光学成像系统的传递函数
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像方：以理想像点为中心的会聚球面波，它照明出射光瞳的
有限孔径。在像平面（照明光波的会聚平面）产生以
理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费衍射花样。
点扩散函数为
h (x 0 ,y 0 ;x i,y i) K P (x ,y )e x j2 p d i[x i( M 0 )x x (y i M 0 )y ] d y x
如果光瞳足够大，P (di~ x0,di~ y)1过渡到几何光学的理想成像：
d h ( x i ~ x 0 , y i ~ y 0 ) K 2 d i 2 ( x i ~ x 0 , y i ~ y 0 )~x
x
di
,~y
y
di
§3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律
照明光源的相干性问题: 物理图像
几何光学像 或理想像
U g ( ~ x , ~ y) ~ h ( x i ~ x ,yi ~ y) d ~ x d ~ y ~
U g(xi,yi)h(xi,yi)
物理意义：衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。
物通过衍射受限系统后的像分布是理想像和点扩散函数的卷积。
像的强度分布为: Ii(xi,yi)Ui(xi,yi)
P (x,y)ex pjk d xii d x0 0 x d yii d y0 0 y dxdy
成像透镜的横向放大率
M di d0
ex jp 2k d0(x0 2y0 2) ex jp 2k d0 xi2 M 2 yi2 也可略去
d (x0-x0’, y0 -y0’)
沿光波传播方向，逐面计算后面三
个特定平面上的场分布。可最终导
出一个点源的输入输出关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
d d l( x 0 U ',y 0 '; x ,y ) e jj d x 0 0 k ) p d ( x 0 ( x 0 ,y 0 y 0 ) e j x ( k x x p 0 ) 2 2 d 0 ( y y 0 ) 2 d 0 d 0 x
第三章光学成像系统的传递函数-20150510
( x0 , y0 )
( x, y )
( xi , yi )
d0
di
k 1 U1 2 2 U1 U0 Ui U1 ( x, y) exp j ( x y ) jd 0 2d 0 k 2 2 2 j ( x0 y0 ) exp j ( x0 x y0 y ) dx 0 dy 0 U 0 ( x0 , y0 ) exp d 0 2d 0
31相干照明衍射受限系统的点扩散函数任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合而每个面元都可以看做一个加权的函数对于一个透镜或一个成像系统如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成像系统后在像平面上造成的光振动分布情况通过线性迭加原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形成的像面光场分布进而求得像面强度分布这就是相干照明下的成像过程关键是求出任意小面元的关键是求出任意小面元的光振动所对应的像场分布光振动所对应的像场分布
U i ( xi , yi )
U
( x0 , y0 )h( x i , y i ; x0 , y0 )dx 0 dy 0
h M h 因此 h 可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。
~
~
x0 Mx0 , y0 My0 是几何光学理想像点的坐标。
~
~
我们可以定义一个新函数
1 x y 2 G ( , ) P ( x , y ) exp j ( x x y y ) 0 dxdy i i d i d 0 2 d d d i 0 0
x y G0 ( , ) d0 d0
而
d i d 0
变换，卷积定 2 1 x y 理 e xp j ( x x y y ) G ( , ) dxdy i i 2 0
3 光学成像系统的传递函数
K是与xo , yo和xi , yi 无关的复常数。
P（x,y）是出瞳函数（光瞳函数），在光瞳内是1，其外为0.
h( xi ~o , yi ~o ) K2 d i2 x y
如果略去积分号前面的系数，脉冲响应就是光瞳 函数的傅里叶变换，即夫琅和费衍射，其中心在几何 光学的理想像处。 同样对物平面上的坐标和光瞳平面上的坐标做坐标变换， ~ M~ , ~ M~ ; ~ x , ~ y xo xo yo yo x y d i d i 得
xi xo yi yo k 1 1 1 2 2 P( x, y) exp[ j 2 ( di do f )( x y )] exp{ jk[( di do ) x ( di do ) y]}dxdy
1 1 1 由高斯成像公式 di do f
，得
2 2 xi2 yi2 xo yo 1 h( xo , yo ; xi , yi ) 2 exp[ jk ] exp[ jk ] do di 2d i 2d o xi xo yi yo P( x, y) exp{ jk[( di do ) x ( di d o ) y]}dxdy
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) 2 do di
xi xo yi yo P( x, y) exp{ jk[( di do ) x ( di do ) y]}dxdy
又 M d i ，代入得
do
1 2 h( xo , yo ; xi , yi ) 2 P( x, y ) exp{ j [( xi Mxo ) x ( yi Myo ) y ]}dxdy do di d i 1 2 2 P( x, y ) exp{ j [( xi ~o ) x ( yi ~o ) y ]}dxdy x y do di d i
(光信息处理)第三章光学成象系统的衍射特性及频率传递函数
定义：
tl
x,
y
U l Ul
x, y x, y
S
O1
O2
S
(3.1.1)
p
P1 P2
q
若：透镜前表面： U l al x, y e jl x,y (3.1.2)
透镜后表面： U l al x, y e jl x,y (3.1.3)
将式(3.1.2)和式(3.1.3)代入式(3.1.1)得：
示为：
Ul
x,
y
A exp
jkdi
exp
j
k 2di
x2 y2
(3.1.7)
根据透镜复振幅透过率的定义(3.1.1)，并利用式(3.1.6)和(3.1.7)有：
tl
x,
y
exp
j
k 2
x2 y2
1 di
1 do
(3.1.8)
3.1 .3 透镜的位相调制作用
根据透镜成像定律，物距do、像距di和透镜的焦距f应满足：
紧贴透镜后平面上光场复振幅是经透镜 位相调制作用的复振幅，在不考虑透镜 的有限孔径时，利用(3.1.24)有
Ul(
x0
,
y0
)
t
(
x0
,
y0
)
exp
j
k 2f
x02 y02
f
图3.2.1 物体紧贴透镜前 平面的傅里叶变换光路
(3. 2. 1)
3.2 .1.1 物体放在紧贴透镜前平面时其在透镜后焦面上的复振幅分布
考虑透镜孔径的有限大小，用P(x,y)表示孔径函数（光瞳函
数），其定义为
P(x, y)
1, 0,
透镜孔径内 其它
相干光成像系统传递函数的物理意义及实验证明
相干光成像系统传递函数的物理意义及实验证明1 相干光成像系统的传递函数在光学成像中，传递函数是描述成像系统成像质量的重要物理特征。
相干光成像系统的传递函数与非相干光成像系统的传递函数有所不同，它描述了相干光束的相对相位和幅度。
相干光成像系统的传递函数可以分为振幅传递函数和相位传递函数两部分。
振幅传递函数描述了光束的衰减和传输过程。
可以表示为：$T_a(u, v) = \exp(-k(u^2 + v^2)^{\frac{1}{2}}z)$其中，$k$为波长，$(u, v)$为频率，$z$为光路的传输距离。
可以看出，振幅传递函数与频率有关，即它描述了光束在不同频率下的传输效果。
相位传递函数描述了光束在传输过程中相对相位的变化。
可以表示为：$T_p(u, v) = \exp[jk(u^2 + v^2)^{\frac{1}{2}}z]$其中，$j$为虚数单位。
相位传递函数与频率有关，即它描述了光束在不同频率下的相对相位变化情况。
所以，相干光成像系统的传递函数可以表示为：$H(u, v) = T_a(u, v)T_p(u, v)$相干光成像系统的传递函数是成像系统的重要物理特征之一，它描述了光束在不同频率下传输和相位变化的情况。
了解传递函数的物理意义，可以更好地理解成像系统的成像质量和影响因素。
2 相干光成像系统传递函数的实验证明为了验证相干光成像系统传递函数的物理意义，科学家们进行了相关实验证明。
首先，科学家们使用了具有不同点源密度的人工光源，来模拟真实的光场情况。
在光路传输过程中，科学家们对光源进行了平移和旋转，以便模拟真实光束的传输情况。
接着，他们使用了一种名为“菲涅尔衍射模拟”的技术，来模拟光束的反射和折射过程。
最后，科学家们使用了具有不同特征的CCD相机，来记录光场模拟结果。
在实验证明过程中，科学家们发现，相干光成像系统传递函数描述了成像系统的光学成像特征。
而传递函数的振幅传递函数部分可以描述光束在光路中的衰减和分辨率，而传递函数的相位传递函数部分则可以描述光束在光路中的相对相位变化。
光学传递函数-360百科词条
光学传递函数-360百科词条光学传递函数免费编辑添加义项名B 添加义项义项指多义词的不同概念，如李娜的义项：网球运动员、歌手等；非诚勿扰的义项：冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。
查看详细规范>>所属类别 :其他光学传递函数(optical transfer function)是指以空间频率为变量，表征成像过程中调制度和横向相移的相对变化的函数。
光学传递函数是光学系统对空间频谱的滤波变换。
一个非相干照明的光学成像系统，像的强度也是线性的，满足叠加原理。
基本信息•中文名称光学传递函数•外文名称optical transfer function•特征光学系统对空间频谱的滤波变换目录1基本简介2概念说明3基本原理4点扩展函数折叠编辑本段基本简介光学传递函数(optical transfer function)是指以空间频率为变量，表征成像过程中调制度和横向相移的相对变化的函数。
光学传递函数是光学系统对空间频谱的滤波变换。
一个非相干照明的光学成像系统，像的强度也是线性的，满足叠加原理。
折叠编辑本段概念说明生活中观察到的各类物体，通过光学仪器(如照相机、望远镜、显微镜)和光学系统看到、探测到的图像和目标，通过电荷耦合器件(CCD)、数码相机和计算机多媒体获得的图形、图像，具有颜色和亮度两个重要的参数。
限于考虑二维的非相干单色光平面图像，则图像的光强分布就成为描绘、规定该图像的主要参数。
一幅单色光图像总是由缓慢变化的背景、粗大的物体和急剧变化的边缘、局部细节构成。
傅里叶光学中用空间频率ν来描述光强空间变化的快慢程度，把图像中缓慢变化的成分看作图像的"低频"，而把急剧变化的成分看作图像的"高频"，单位是"1/毫米"，即每毫米中光强变化的周期数。
空间频率等于0表明图像中没有光强变化(如一张白纸)。
一幅图像中既有零频分量，又有非零频分量，后者包含了各种空间频率的分量。
光学成像系统的传递函数-PPT
U o ( α , β )L{ δ( xo α , yo β )}dαdβ
U o ( α , β )h( xi Mα , yi Mβ )dαdβ
1
M2
Uo(
~xo M
, ~yo M
)h( xi
~xo , yi
~yo
)d~x o d~yo
§4.相干照明衍射受限系统的成像规律
2.理想光学成像系统
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数
c.衍射受限系统的点扩散函数 当不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的 衍射限制时的情况。
无论系统多么复杂，均可从系统分析角度，
简化为：
阿贝认为系统
衍射限制主要
由入瞳引起。
瑞利认为系统 衍射限制主要 由出瞳引起。
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数
c.衍射受限系统的点扩散函数 将光学系统的出瞳函数替代薄透镜的光瞳函 数，并用出瞳到像面之间的距离替代薄透镜 的像距，则衍射受限系统的点扩散函数为：
Gi ( ξ ,η ) F { U i ( xi , yi )}
Gg ( ξ ,η ) F { U g ( xi , yi )}
Hc(
ξ
,η
)
Gi ( ξ ,η ) Gg( ξ ,η )
§5.衍射受限系统的相干传递函数
b.相干传递函数Hc(,)与光瞳函数的关系
h~( xi , yi ) F { p( λdi x , λdi y )}
2q
]dx' dy'
§2. 透镜的傅里叶变换
b.透镜的傅里叶变换特性
U1( x' , y'
)
A0 jλd0
0
t( x0 , y0
)exp[
光学传递函数的定义
光学传递函数的定义
《说说光学传递函数》
嘿，咱今天来聊聊光学传递函数哈。
你们知道吗，有一次我去看 3D 电影，那感觉可神奇了。
我戴着那副特别的眼镜，哇，电影里的画面就好像真的在眼前一样。
我就在想啊，这背后肯定有啥高深的东西在起作用呢。
后来我才知道，这里面就有光学传递函数的事儿。
光学传递函数呢，就像是一个神奇的指挥家，它能决定光的信息怎么传递，怎么呈现出我们看到的那些精彩画面。
它会影响图像的清晰度、对比度这些重要的方面哦。
就好比在那场 3D 电影里，如果光学传递函数没做好，那可能画面就会模糊不清，或者颜色怪怪的，那可就太影响观影体验啦！
我还特意去了解了一下，原来它在很多光学领域都超级重要呢，比如相机镜头的设计呀，还有各种光学仪器的制造。
它就像是一个幕后英雄，默默地让我们能看到更美妙、更清晰的世界。
总之呢，光学传递函数虽然听起来很专业很高深，但其实和我们的生活息息相关呀，就像那次看 3D 电影给我留下的深刻印象一样。
以后再看到那些精彩的画面，我可就知道背后有光学传递函数在悄悄发挥作用啦！哈哈！。
光学传递函数 课程思政
光学传递函数课程思政
光学传递函数是光学系统中的一项重要概念，它描述了光学系统在频域上的传递特性。
它可以通过计算输入和输出之间的复振幅和相位之间的关系来表示。
光学传递函数被广泛应用于光学系统的设计和分析中，对于研究和理解光学系统的性能具有重要意义。
光学传递函数的定义可以用如下公式表示：
H(u, v) = ∫∫ h(x, y) exp(-j2π(ux+vy)) dx dy
其中，H(u, v)表示传递函数，h(x,
y)表示系统的点扩散函数，u和v表示频率域上的坐标。
光学传递函数是一个复值函数，它包含了光学系统的频率响应信息。
通过分析传递函数的振幅和相位特性，可以确定光学系统的分辨率、聚焦性能和像差等关键参数。
传递函数还可以帮助我们理解光学系统对不同频率成分的处理能力，从而优化系统的设计和性能。
在光学系统设计中，我们常常需要考虑系统的传递特性对信号的影响。
通过分析光学传递函数，我们可以确定信号在光学系统中的传输过程中的衰减、失真和相位变化等情况。
这有助于我们优化系统的设计并提高信号的质量。
除了在光学系统设计中的应用外，光学传递函数还被广泛用于信号处理和图像处理领域。
通过使用光学传递函数，我们可以对输入信号进行滤波、增强和重构等处理，从而改善信号的质量和可视化效果。
光学传递函数是光学系统设计和分析中不可或缺的工具。
它提供了对光学系统传递特性的准确描述，并帮助我们理解系统对信号的影响。
充分理解光学传递函数的作用和应用，将有助于我们提高光学系统的性能，并推动光学技术的发展。
【信息光学课件】第三章 光学成像系统的传递函数 PDF版
x +y exp( jk ) 2d 0
2 0 2 0
jk x + y ≈ exp( ) 2 2d 0 M
2 i 2 i
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 p ( x , y ) ∫ ∫ λ d 0 d i −∞ xi x0 yi y 0 exp− jk[( + ) x + ( + ) y ] dxdy di d0 di d0
2
~ x0 U0 ( M
~ y0 , ) M
~ x0 ~ y0 理想像 U g ( xi , yi )与物 U 0 ( M , M ) 的分布形式 是一样的，只是在 xi , yi方向放大了M倍。
令
~ ~ ~ h ( xi − x0 , yi − y0 ) =
1 ~ ~ h ( x x , y y ) − − 0 0 i i 2 2 kλ d i
=
~ U g ( xi , yi ) ∗ h ( xi , yi )
−∞
3.2.1物理意义：物 U 0 ( x0 , y0 ) 通过衍射受 限系统后的像分布 U i ( xi , yi ) 是 U 0 ( x0 , y0 ) ~ 的理想像点 U g ( xi , yi ) 和点扩散函数h ( xi , yi ) 的卷积。 衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。
−∞
+∞
×
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ] exp[ jk 2d 0
dx0 dy0
= =
′ ) + ( y − y0 ′) ( x − x0 exp(ikd 0 ) ] exp[ jk 2d 0 jλ d 0
2 2
光学传递函数符号
光学传递函数符号光学传递函数（optical transfer function，OTF）是一种用于描述光学系统成像性能的数学工具。
它通过对系统的输入和输出之间的关系进行频域分析，提供了关于光学系统成像能力和图像质量的有用信息。
H(u) = A(u)exp[iφ(u)]其中，H(u)表示光学传递函数，A(u)表示幅度传递函数，φ(u)表示相位传递函数，u表示频率。
幅度传递函数描述了输入光场中不同频率分量的衰减程度，而相位传递函数描述了输入光场中不同频率分量的相位延迟程度。
幅度传递函数和相位传递函数可以提供关于图像的模糊程度和分辨率的信息。
对于一个理想的光学系统，幅度传递函数在整个频率范围内保持常数，并且相位传递函数是线性的，因此可以保持输入光场的完美重建。
然而，在实际的光学系统中，傅里叶频谱会受到光学系统的各种因素的影响导致变形，从而影响了输出图像的质量。
这些因素包括：衍射效应、光源的波长和强度分布、透镜的畸变和散焦、光学元件的表面粗糙度等。
光学传递函数可以通过傅里叶变换对光学系统的物理参数进行建模，从而预测输出图像的特性。
一般来说，光学传递函数可以通过实验测量或数值模拟进行确定。
对于实验测量，可以通过使用干涉仪、透射电镜或其他频谱分析仪器来获取输入和输出光场的频谱信息。
对于数值模拟，可以使用光学设计软件进行建模和分析。
通过分析光学传递函数，可以得出以下几个重要的结论：1. 分辨率：光学传递函数的幅度传递函数的截止频率（cut-off frequency）决定了系统的分辨率。
截止频率越高，系统的分辨率越高。
2.傅里叶频谱形状：光学传递函数的幅度传递函数的形状可以用来描述系统对不同频率分量的衰减程度。
系统对高频分量的衰减越大，图像的细节越模糊。
3.相位畸变：光学传递函数的相位传递函数可以描述输入光场中不同频率分量的相位延迟程度。
相位传递函数的非线性性质可能导致图像中的畸变和像差。
4.衍射限制：衍射效应是一个不可避免的物理限制。
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当透镜的孔径比较大时，物面上每一物点 产生的脉冲响应是一个很小的像斑，那么 能够对于像面上 ( xi , yi ) 点产生有意义贡 献的，必定是物面上以几何成像所对应的 以物点为中心的微小区域。在这个区域内 ( xi , yi ) 可以近似的认为 ( x0 , y0 ) 不变，其值与 点的共轭物坐标 x0 xi M ， y0 yi M 相同，即可做以下近似
第三章 光学成像系统的传递函数 （频谱分析）
光学传递系统是信息传递或处理系统， 它用于传递二维的光学图像信息。 从物面到像面，输出图像的质量完全 取决于光学系统的传递特性。
几何光学是在空域研究光学系统的成 像规律。
神舟七号
哈勃望远镜
如何评价光学成像系统传递信 息的能力？ 如何评价光学系统的成像质量？
将 M di / d0 带入，则
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 p ( x, y ) d0di
2 exp j [(xi Mx0 ) x ( yi My0 ) y ] dxdy d i
=
2 ~ ~ exp j [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] dxdy d i
光学系统 （黑箱）
阿贝认为衍射是有限大小的入瞳大小引起的。 瑞利认为衍射效应是有限大小的出瞳引起的。（本书采用 瑞利的说法）
h( x0 , y0 ; xi , yi ) K p ( x, y )
2 exp j [(xi Mx0 ) x ( yi My0 ) y ] d i
exp(ikdi ) h( x0 , y0 ; xi , yi ) = jd i
( xi x) ( yi y) ] dxdy ( x0 , y0 ; x, y) exp[ jk dU1 2di
2 2
略去包括-1在内的常数位相因子
2 2 2 2 1 x y xi yi 0 0 exp( jk ) exp( jk ) = 2 d0di 2d 0 2d i
有三个平面： dU dU 透镜前 1 ，透镜后 1 ，像面（物平面的共轭面）h 利用菲涅耳衍射公式：
dU1 ( x0 , y0 ; x, y)
exp(ikd0 ) = jd 0
( x x , y y ) 0 0 0 0
2 2
( x x0 ) ( y y0 ) exp[ jk ] 2d 0
x y exp( jk ) 2d 0
2 0 2 0
jk x y ≈ exp( ) 2 2d 0 M
2 i 2 i
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 d 0 d i
p ( x, y )
xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅考虑系统的 衍射限制，或者当像差很小或者系统的孔径和视场都不 大，边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散 球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面 波。 有像差的系统：有像差的边端条件，点源发出的发散球 面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的透射波场明 显偏离理想球面波
dx0 dy0
=
=
) ( y y0 ) exp(ikd0 ) exp[ jk ( x x0 ] 2d 0 jd 0 2 2 ) ( y y0 ) ( x x0 1 exp[ jk ] 2d 0 jd 0
2 2
为了书写方便，可略去常 数位相因子
此波通过孔径为 后，复振幅
Ui ( xi , yi ) =
U 0 ( x0 , y0 )
= U 0 ( , ) ( x0 , y0 )dd
p ( x, y )
xi x0 yi y0 exp jk[( ) x ( ) y] dxdy di d0 di d0
k 1 1 1 2 2 exp[ j ( )(x y )] 2 di d0 f
由于
1 1 1 di d0 f
于是点扩散函数简化为
本章介绍从频域来分析研究系统
的传递特性，学习用传递函数来 表征光学成像系统的性能
光学系统是线性系统，有时还是线性空间 不变系统。 用线性系统研究它的性能。把输入信息分 解成各种空间频率分量，然后考虑这些空 间频率分量在通过系统的传递过程中，丢 失、衰减、相位移动等变化。 也就是研究系统的空间频率传递特性即传 递函数。
因而 点物 不能成 理想点像
相干照明情况： 设物的复振幅分布为 U 0 ( x0 , y0 ) ，物面上各点是完全相 干的。将物分布用 函数表达为
U 0 ( x0 , y0 ) U 0 ( , ) ( x0 , y0 )d d
物函数通过系统以后所得的像的复振幅分布 Ui ( xi , yi ) ， 即
1 2 d0di
p ( x, y )
~ ~ 式中， x0 Mx0 , y0 My0 于是 ~ h( x0 , y0 ; xi , yi ) 可以写成 h( xi ~ x0 , yi y0 )
的形式，即：
~ ~ h( xi x0 , yi y0 )
1 = 2 p ( x, y ) d 0 d i
我们假定这些系统最终可以在空间产生一个实像。
成像系统的各个器件都有自己的边框，我们把对光束孔径限制最 多的边框，即真正决定通过系统光束孔径的边框叫做孔径光阑。 入射光瞳：孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称 入瞳 出射光瞳：孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称 出瞳
关系：入瞳与孔径光阑，孔径光阑与出瞳，入瞳与出 瞳满足物像共轭关系
dxdy
略去积分号前的系数，单位脉冲通过衍射受限系统的脉冲响应就是 光瞳函数（出瞳函数）的傅立叶变换。做坐标变换：
~ ~ 2 2 ~ ~ h( xi x0 , yi y0 ) = K di p(di x , di y )
~ ~ ~ ~ ~ exp j 2 [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] d~ x dy
2 ~ ~ exp j [(xi x0 ) x ( yi y0 ) y ] dxdy d i
在近轴条件下，透镜成像系统是空不变的。透 镜的脉冲响应函数就等于透镜孔径的夫琅禾费 ~ ~ ( x , 衍射图样。中心位于理想像点 0 y0 ) 处。透 镜的孔径的衍射作用明显与否，是由透镜孔径 线度相对于波长 和像距 di 的比例决定的， 为此对孔径平面上的坐标x,y做如下变换，令
成像质量的评价：星点法，分辨率法 星点法：指检验点光源经过光学系统所产生的像 斑是否规则。由于相差，玻璃材料不均匀以及加 工和装配缺陷等使像斑不规则。
缺点：很难对它做出定量的计算和测量。检验者的主管判断 会带入检验结果中。
分辨率法：能定量评价系统分辨景物细节的能力。
缺点：并不能对可分辨范围内的像质好坏给于全面评价 。
入瞳
孔径光阑
出瞳
一个成像系统的外部性质可以由入瞳或出瞳来描述，为此可 以不考虑成像系统的内部结构，把系统看成是一个“黑箱”， 成像过程可以这样来理解：
物平面 入瞳面 出瞳面 像平面
y0 x0
光组
yi xi
黑箱
d0
di
采用这种方法的好处是：我们可以用几种不同的方法来直观 想象对波前的空间限制(衍射)的起源；这种限制可以认为是 系统内部实际的物理装置(孔径光阑)引起的，也可以等价地 认为是系统的入瞳或出瞳引起的。（本课程通常考虑出瞳。）
3.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数
3.1.1透镜的点扩散函数
h( x0 , y0 ; xi , yi ) 表示物平面上 ( x0 , y0 ) 点的单位脉冲
通过成像系统后在像平面上 ( xi , yi ) 点产生的光场分布。
( x0 , y0 )
( x, y )
( xi , yi )
d0
di
( x0 , y0 ) 点发出的单位脉冲为 ( x0 x0 , y0 y0 )
~ 如果光瞳大小比 d i 大的多时，在 ~ x, y 坐标中，在无限大的区域内 p(di ~ x , di ~ y)
等于1
2 2 ~ ~ ~ ~ = h( xi x0 , yi y0 ) k di ( xi x0 , yi y0 )
理想系统的脉冲几何响应
3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律
p ( x, y )
，焦距为f的透镜
( x0 , y0 ; x, y) = p ( x, y ) dU1 2 2 x y exp( jk ) dU1 ( x0 , y0 ; x, y) 2f
从透镜后到像面，光场的传播满足菲涅耳 衍射，于是物平面上的单位脉冲在观察面 上引起的复振幅分布即点扩散函数可写作
任何物体，都可分解 为无穷多个小面元 —— 点物
点物 经系统成 像元
叠加 构成 像 因此，研究成像特性，关键是求出
像元
脉冲响应
图示
点物 像元
物 体
分解
点 源
经成像系统
像 元
叠加
像
图示
为什么点物不能成 理想点像？？？
入射光瞳
物面
出射光瞳
像面
点物
像元
d0
di
显然，由于高频分量被有限孔径阻挡，不能参与成像
x ~ y ~ x ,y d i d i
~ ~ h( xi x0 , yi y0 ) =