高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1-1

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新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的定义及其标准与方程教案新人教B版选修2_1

（１）两个焦点的坐标分别是（1，0），（-1，0），椭圆上一点与两焦点的距离的和等于6.
（２）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点。
（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，是椭圆上一点，并且的等差中项，求椭圆的标准方程。
例3.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（１）（２）
A B C D
4. 的椭圆的标准方程是（）
A B C D以上都不对
5.椭圆上的一点到一个焦点的距离为5，则另一个焦点的距离为（）
A 5 B6 C4 D 10
6.椭圆的焦距等于2，则的值为（）
A 5或3 B8 C5 D 16
1.叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距
2.方程和叫做椭圆的标准方程。
3.椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系是。
二、简单应用
例1、已知B，C是两个定点，BC长度等于4，且的周长等于16，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。
椭圆的定义及其标准与方程
教学过程设计
教材处理
师生活动
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
教学过程设计
教材处理
师生活动
7.方程表示椭圆，则的取值范围是（）
A B C D
8.求过点且与有相同焦点的椭圆的方程。
板书设计：
教学日记：
教学过程设计
教材处理
师生活动
练习：
1.方程上一点P到两个焦点的距离的和为（）
A 26 B24 C 2 D
2.椭圆的焦点坐标是（）
A B C D 3.已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则的范围是（）
教学
目标
1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)

a＝4 2，解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
2a＝5×2b，由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51，，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b，由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形等知识．

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(2)导学案新人教B版选修1_1

2.1.2椭圆的几何性质（2）一、学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案（一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。

练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点PP 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。

②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290FPF ∠=,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程教学案新人教B版选修1_1

2．1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2要点一用待定系数法求椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．解 (1)方法一因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，所以a ＝10.又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. 方法二设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 方法二设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝＋2＋02＋－2＋02＝10,2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26,2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆标准方程为y 2169＋x 2144＝1. 要点二椭圆定义的应用例2如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解在椭圆x25＋y24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理．跟踪演练2 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．解由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.要点三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(不包括与x 轴的两交点)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10；由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又因为点A 不在x 轴上，所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．规律方法利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A 不在x 轴上，因此y ≠0.跟踪演练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－r ，即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 答案 B解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0⇒0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.4．已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，从而简化运算．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质预习导学案新人教B版选修1

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质预习导学案新人教B版选修1
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系．
2．尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质．
3．尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
提示：因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.
离心率的大小对椭圆形状的影响：
①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；
②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c(c2＝a2－b2)
对称性
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点
离心率
e＝ ∈(0,1)，其中c＝
思考1焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的几何性质的不同点有哪些？
提示：两种位置的椭圆范围不同，交换了x，y的取值范围；顶点也发生了改变．
思考2如何根据e的大小变化确定椭圆的形状？
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为20)

【精品】高中数学第二单元圆锥曲线与方程2-1-2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1

2．1.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2
25＋
y2
16
＝1，C2：
y2
25
＋
x2
16
＝1.
思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？
思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
梳理
思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a
，叫做椭圆的____________．
(2)性质：离心率e 的取值范围是________，当e 越接近于1，椭圆越________，当e 越接近于________，椭圆就越接近于圆．
类型一椭圆的几何性质
例1 求椭圆9x 2
＋16y 2
＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．引申探究
已知椭圆方程为4x 2
＋9y 2
＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2
＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦
点坐标及顶点坐标．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)课堂导学案新人教B版选修21

2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x 2+（m+3）y 2=m （m ＞0）的离心率e=23，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解析：椭圆的方程可化为：322++m my m x =1 ∵m -3)2(3++=+m m m m m ＞0，∴m＞3+m m 即a 2=m ，b 2=3+m m ， c=3)2(22++=-m m m b a 由e=23得32++m m =23， ∴m=1.∴椭圆的标准方程为x 2+412y =1. ∴a=1，b=21，c=23. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1（-23，0），F 2（23，0）四个顶点分别为A 1（-1，0），A 2（1，0），B 1（0，21-），B 2（0，21）. 二、求椭圆的离心率【例2】 2006山东潍坊一模，8 在Rt△ABC 中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为（） A.36- B.2-1 C.236- D.263- 解析:设另一个焦点为C′，则有AC+AC′=2a，BC+BC′=2a，又∵BC=2，BC′=1-AC′， ∴⎩⎨⎧='-+='+aC A a C A 212,21，解得AC′=22，a=422+， c=222C A AC '+=2211+=46， ∴离心率e=ac =36-，故选A. 答案：A温馨提示本题考查椭圆的定义、离心率公式及相关运算能力.三、离心率的应用【例3】已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=32,求椭圆的方程. 解:∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA ＝32, ∴点A 不是长轴的端点（是短轴的端点）.∴｜OF ｜＝c ，｜AF ｜＝a ＝３. ∴3c ＝32.∴c ＝2，b 2＝32-22＝５. ∴椭圆的方程是5922y x +＝１或9522y x +＝１. 温馨提示△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练 1求椭圆25x 2+y 2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解:把已知方程化成标准方程：252y +x 2=1，这里a=5,b=1,所以c=125-=26.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F 1(0，-26)、F 2(0，26)，椭圆的四个顶点是A 1(0，-5)、A 2(0，5)、B 1(-1，0)和B 2(1，0).变式提升 1已知点P （3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P 点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标（P 点除外）？这几个点的坐标是什么？解:根据椭圆关于两坐标轴对称及P 点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是（3，-6）、（-3，-6）、（-3，6）.类题演练 2 设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到准线l 1的距离，则椭圆的离心率是__________________. 答案：21 变式提升2 椭圆2222b y a x +=1和2222by a x +=k （k ＞0）具有（） A.相同的长轴长 B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点答案：C类题演练 3已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上，离心率e=31，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程. 解：∵e=31，∴22a b =1-e 2=98. ∴可设所求椭圆方程为ty t x 8922+=1（t ＞0）， ∴c 2=9t-8t=t ，c=t ，M （t ，4）.∵M 在椭圆上，∴849)(22+t =t ， ∴t=49. 故所求椭圆的方程是1848122y x +=1. 变式提升 3若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41 答案：C。

2017_2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1_

N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，
∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝＝ c，
那么由椭圆的概念可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴ c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方式二注意到核心三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
那么由离心率的三角形式，可得
2．1.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.依照椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.依照几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.
试探1 如何求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练4 解 (1)当核心在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同理可求出当核心在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
e＝＝
＝
＝
＝＝－1.
跟踪训练2
解析如下图，∵∠BAF2＝60°，
|AB|＝|AF2|，
∴△ABF2是等边三角形，
∴△ABF2的周长＝3|AF2|
＝4a，
∴|AF2|＝，∴|AF1|＝ .
在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝( )2＋( )2－2× × ×cos 60°，
化为a2＝3c2，解得e＝＝ .

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质学案新人教B版选修21

2.2.2 椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a 、b 、c 的几何意义． (重点)2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的简单几何性质阅读教材P 43～P 44第5自然段，完成下列问题.【答案】 a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0) －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 2b2a 2c 坐标轴原点1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )A ．81B ．9C ．18D ．45【解析】由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 【答案】 C2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．14D ．4【解析】方程化为x 2＋y 21m＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m＝2×2，∴m＝14. 【答案】 C 教材整理2 离心率阅读教材P 44“离心率”～P 44“例1”，完成下列问题．1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比________叫做椭圆的________．【答案】 e ＝c a离心率2．性质：离心率e 的范围是________．当e 越趋近于1时，椭圆________；当e 越趋近于________时，椭圆就越趋近于圆．【答案】 (0,1) 越扁 01．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．【解析】 ∵a 2＝16，b 2＝8， ∴e ＝1－816＝22. 【答案】222．已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．【解析】 ∵AF 1→·AF 2→＝0， ∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭圆定义知：3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.【答案】3－1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型](3,0)，则椭圆的标准方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B ．x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 29＝1 【精彩点拨】根据椭圆的几何性质解题．【自主解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 【答案】 B1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．[再练一题]1．已知椭圆方程为9x 2＋16y 2＝144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【解】已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1.∴a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7.∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e ＝c a ＝74. 焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)；四个顶点的坐标为A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3).(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【精彩点拨】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a 、b 、c 分别为多少？怎样求出？【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝ca ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，∵e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．3．在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a等构造方程(组)加以求解．[再练一题]2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．【解析】 2a ＝10，c ＝4，∴a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝9. 焦点在x 轴上，故标准方程为x 225＋y 29＝1.【答案】x 225＋y 29＝1 [探究共研型]探究已知椭圆x 2a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .【提示】由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．【精彩点拨】能否由已知条件构造关于c a的方程．【自主解答】由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a－5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.求e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下： (1)若已知a ，c 可直接代入e ＝ca求得； (2)若已知a ，b ，则使用e ＝1－b 2a2求解； (3)若已知b ，c ，则求a ，再利用(1)或(2)求解；(4)若已知a ，b ，c 的关系，可转化为关于离心率e 的方程(不等式)求值(范围)．[再练一题]3．若过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．【解析】由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|. 设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3.即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33. 【答案】33[构建·体系]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的短轴长与y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝15，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9【解析】由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，且2a ＝10，a ＝5,2b ＝6，b ＝3，故a 2＝25，b 2＝9.【答案】 D2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．x 24＋y 23＝1 【解析】右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为ca＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 【答案】 D3．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．【解析】根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)．所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.【答案】 454．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________.【导学号：15460031】【解析】椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.【答案】x 220＋y 225＝1 5．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)焦距为8，在y 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．【解】 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝63，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a 2－b 2a ＝63，所以a 2＝27.所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得c ＝4，b ＝4，则a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的标准方程为y 232＋x 216＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是( )A.x 2100＋y 236＝1 B ．x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D ．x 225＋y 29＝1 【解析】由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35，解得c ＝3，a＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，故选C.【答案】 C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )A.12 B ．13 C.14D ．22【解析】由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 【答案】 A3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )A.513 B ．－513C.21313D ．－21313【解析】由题意，a 2＝4，b 2＝3，故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 23＝1，解得y 0＝±32，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝132.由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－322×132×132＝－513.【答案】 B5．如图224，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )图224A.15 B ．25 C.55D ．255【答案】 D 二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．【解析】如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.【答案】 127．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB＝y 2－y 1x 2－x 1，k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21，b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a2.【答案】－b 2a28．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．【解析】因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.【答案】 [1,2] 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.(2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．【解】不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b2a ＝b2－b23b＝223.[能力提升]1．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B ．2－1C ．2－ 2D ．2－12【解析】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得|PF 2|＝b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3，当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163，即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．【答案】 A3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．【解析】由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.【答案】 124．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值为15.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案新人教B版选修2-1(2021年

辽宁省本溪满族自治县高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案新人教B 版选修2-1椭圆的几何性质辽宁省本溪满族自治县高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案新人教B 版选修2-1习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得教学过程设计教材处理师生活动题型一由椭圆方程研究其几何性质【例1】设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点的距离为)12(4-,求此椭圆方程及它的离心率，焦点坐标、顶点坐标。

【练习1】已知椭圆m y m x =++22)3(的离心率e=23,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。

题型三求椭圆【例3】以等腰顶点的椭圆的离【练习3】已知点和上顶点,P 圆中心）时，求板书设计：教学过程设计教材处理师生活动题型二由椭圆的几何性质求椭圆方程【例2】已知21,F F 椭圆12222=+b ya x （a 〉b 〉0)的左右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若0212=•F F AF ，椭圆的离心率等于2,22AOF ∆的面积为22,求椭圆的方程。

【练习2】已知21,F F 椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的左右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆上，且满足0=+OB OA (O 是坐标原点，212F F AF ⊥.若椭圆的离心率等于2,22ABF ∆的面积等于24，求椭圆的方程。

辽宁省本溪满族自治县高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案新人教B版选修2-1教学目标1。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性

2.1.2 椭圆的几何性质课堂探究探究一利用标准方程研究几何性质解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a ，b 的值，并求出c 的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．【典型例题1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．解：把已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，所以a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74. 两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．探究二利用椭圆的几何性质求它的方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：【典型例题2】已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)的形式求解．解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3·2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1. 若焦点在y 轴上，则设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3·2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，b ＝3.所以椭圆方程为y 281＋x 29＝1. 综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 解法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝1，2m ＝3·2n或⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝1，2n ＝3·2m . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝9，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝9，n ＝81.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 探究三与离心率有关的问题求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程由焦点的位置确定a 2，b 2，求出a ，c 的值，利用定义e ＝c a求解或构造关于a ，c 的齐次方程求解；要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a ，b ，c 满足的关系式，化为关于a ，c 的不等式求解．【典型例题3】设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1，F 2，若在椭圆上存在一点P ，使1PF u u u r ·2PF u u u u r ＝0，求椭圆的离心率e 的取值范围．思路分析：由条件1PF u u u r ·2PF u u u u r ＝0，知PF 1⊥PF 2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．解：如图所示，由题意知点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即在圆x 2+y 2=c 2上，又点P 在椭圆上，所以圆x 2+y 2=c 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1有公共点，连接OP ，则易知0＜b ≤c ＜a ，所以b 2≤c 2＜a 2，即a 2-c 2≤c 2＜a 2.所以22a ≤c 2＜a 2，所以2≤c a ＜1，所以e ∈⎤⎥⎣⎦. 点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e ＜1.探究四易错辨析易错点不能确定焦点在哪个坐标轴上【典型例题4】若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，求k 的值．错解：由已知得a 2＝k ＋8，b 2＝9.又因为e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4. 错因分析：忽视了椭圆的焦点在y 轴上的情况．正解：(1)若焦点在x 轴上，即当k ＋8＞9时，a 2＝k ＋8，b 2＝9. 又因为e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4. (2)若焦点在y 轴上，即当0＜k ＋8＜9时，a 2＝9，b 2＝k ＋8.又因为e ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－k 9＝14，解得k ＝－54. 综上知，k ＝4或k ＝－54.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质教案新人教B1新人教B数学教案

教学过程设计
教材处理
师生活动
题型三求椭圆的离心率
【例3】以等腰直角的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为。
【练习3】已知为椭圆的左焦点，A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当 (O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率。
板书设计：
教学日记：
教学过程设计
教材处理
师生活动
题型二由椭圆的几何性质求椭圆方程
【例2】已知椭圆（a>b>0）的左右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若，椭圆的离心率等于的面积为，求椭圆的方程。
【练习2】已知椭圆（a>b>0）的左右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足 (O是坐标原点， .若椭圆的离心率等于的面积等于，求椭圆的方程。
教学
目标
1．通过对椭圆标准方程的讨论，掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a,b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系。
2．通过对椭圆的标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线的性质的。
重点
难点
重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。
难点：椭圆几何性质的实际应用。
教法
尝试、变式、互动
教具
教学过程设计
教材处理
师生活动
知识解析
1、若椭圆的标准方程为（a>b>0）
（1）方程中x,y的取值范围分别为。
（2）椭圆关于、、都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做。
（3）椭圆的四个顶点坐标为。长轴长为。短轴长为。
2、椭圆的焦距与长轴的比e=,叫做椭圆的离心率，离心率e的范围，当e越接近1,椭圆，当e越接近于，椭圆就越接近圆。