高中数学解题思想之分类讨论思想
高中数学分类讨论思想方法
高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。
它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。
分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。
下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。
首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。
这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。
例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。
首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。
根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。
根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。
2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。
根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。
3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养1. 引言1.1 引言在高中数学解题教学中，分类讨论思想的培养是非常重要的。
通过分类讨论思想，学生可以更加系统和全面地分析问题，找到解题的关键点，从而提高解题的效率和准确性。
分类讨论思想不仅在数学学科中有着重要的意义，而且也是一种重要的思维方式，可以帮助学生在面对复杂问题时更好地进行分析和解决。
本文将从分类讨论思想的重要性、分类讨论思想的培养方法、实例分析、提高高中数学解题能力的建议以及培养学生分类讨论思想的意义等方面进行探讨。
通过对这些内容的深入研究和分析，希望能够为高中数学教学提供一些新的思路和方法，帮助学生更好地掌握分类讨论思想，提高数学解题能力，培养扎实的数学思维能力。
接下来，我们将详细讨论分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性，以及如何有效地培养学生的分类讨论思想。
让我们一起探究这一重要而有趣的话题！2. 正文2.1 分类讨论思想的重要性分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性不言而喻。
分类讨论思想能够帮助学生在解决数学问题时有条不紊地进行思考和分析，避免盲目性的试错，提高解题效率。
分类讨论思想可以帮助学生培养逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学素养，对于学生日后的学业和职业发展都具有积极的意义。
分类讨论思想还可以激发学生对数学的兴趣，让他们更加深入地理解数学知识，从而提高学习的主动性和参与度。
在教学实践中，老师可以通过设计各种不同类型的数学问题，引导学生运用分类讨论思想进行解题，不断提升他们的分析和推理能力。
老师还可以组织学生参加数学竞赛和数学建模等活动，让他们有机会运用分类讨论思想解决实际问题，从而加深对这一思维方法的理解和应用。
分类讨论思想在高中数学解题教学中不仅具有重要的作用，而且对学生的综合素质提升和未来发展都有着积极的影响。
教师应当重视和加强对分类讨论思想的培养，帮助学生掌握这一重要的解题方法，为他们的学习和未来打下坚实的基础。
2.2 分类讨论思想的培养方法1. 引导学生理清问题关键点：在解题过程中，学生需要理清问题的关键点，将问题分解为更小的部分，从而有助于更好地理解问题和寻找解决方法。
浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用
浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在数学教学中的重要性在高中数学教学中，分类讨论思想是一种非常重要的教学方法。
分类讨论思想可以帮助学生建立起系统的思维结构，培养学生的逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。
通过分类讨论思想，学生可以将知识点整理成一种有机的体系，更加深入地理解和掌握数学知识。
分类讨论思想还可以帮助学生发现知识之间的联系和规律，从而激发学生对数学的兴趣，提高学习的积极性和主动性。
在高中数学教学中，引导学生采用分类讨论思想是非常必要的。
通过分类讨论思想的应用，可以使教学更加系统化、深入化，提高教学的效果和质量，培养学生全面发展的数学素养，使他们具备扎实的数学基础和优秀的数学思维能力。
分类讨论思想不仅是教师教学的方法，更是促进学生全面发展的重要途径，它在高中数学教学中具有不可替代的重要作用。
2. 正文2.1 分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念涉及到对问题或者知识点进行分类，然后在每一个类别里进行讨论和分析的方法。
这种思想贯穿于数学教学的各个环节，可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的逻辑思维能力。
在高中数学教学中，分类讨论思想可以应用在各种数学问题中。
比如在解题过程中，通过将问题分解成几个小问题，然后分别讨论和解决，可以使学生更加清晰地理解问题的结构和解题思路。
分类讨论思想也可以帮助学生在实验教学中更好地总结实验数据，分析实验现象，从而加深对数学原理的理解。
分类讨论思想还可以在数学知识点梳理和素养培养中发挥重要作用。
通过将数学知识点按照特定的规则分类，可以帮助学生系统地掌握知识结构，提高记忆和理解效果。
而在素养培养方面，分类讨论思想可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使他们具备独立思考和解决问题的能力。
2.2 分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用是非常重要的。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论思想是一种在高中数学解题中十分常见的思维方式，它能够帮助学生更加系统、全面、深入地分析问题，从而得出更加准确、严谨的解答。
一、分类讨论思想的概念及特点分类讨论指的是将问题分成若干个独立的情况，并对每种情况进行分析，最终得出全面、深入的结论的思维方式。
分类讨论思想的特点是：有目的性、有系统性、有针对性、有全面性、有严谨性。
此外，分类讨论还要注意分类的互斥性和完备性。
1. 函数解析式的确定。
对于一些比较复杂的函数，可以采用分类讨论的思想来确定它的解析式。
例如，已知函数f(x)如下：$$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geqslant 0\\2x+1,&x<0\\\end{cases}$$我们可以发现，这个函数在x=0处存在“分界点”，如果使用同一种方法求解，就会产生问题。
因此，我们可以采用分类讨论的思想，将问题分为x≥0和x<0两种情况，对每种情况分别求解。
2. 组合数学问题。
组合数学中很多问题也可以使用分类讨论的思想进行求解。
例如，假设有n个格子要涂黑，但是其中的一些格子不能被涂黑。
我们可以考虑将格子分成两类：可以涂黑和不能涂黑的。
然后，对于可以涂黑的格子，我们可以使用组合数学的知识求解涂黑的方法数；对于不能涂黑的格子，我们可以先对它们进行计数，再将它们从总数中减去，得出最终的结果。
3. 几何问题。
几何问题中也常常需要使用分类讨论的思想。
例如，对于一个梯形，如果我们要计算它的面积，需要先确定底边长和高，这就需要对梯形进行分类讨论。
具体来说，我们可以将梯形分成上底和下底相等和上底和下底不相等两种情况，分别求解它们的面积，最终将两者相加即可得到梯形的面积。
三、分类讨论思想的教学策略针对分类讨论思想的教学，我们可以采用以下几种策略：1. 举例法。
在讲解分类讨论思想时，可以通过举一些对应的数学问题进行解析，让学生通过对具体问题的分析，加深对分类讨论思想的理解。
分类讨论思想
分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。
二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。
三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。
七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。
即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。
第二步：根据公式、定理确定分类标准。
运用公式、定理对分类对象进行区分。
第三步：分类解决“分目标”问题。
对分类出来的“分目标”分别进行处理。
第四步：汇总“分目标”。
分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中的应用分类讨论思想是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。
分类讨论思想的核心就是将问题进行分类，然后分别讨论每个分类下的情况。
这种思想在解决数学问题时非常有用，可以帮助学生更好地理解问题、找到解题的路径，提高解题的效率。
本文将针对高中数学中常见的几个知识点，介绍分类讨论思想在这些知识点中的应用。
一、组合数学中的分类讨论思想在高中数学中，组合数学是一个重要的内容，它涉及到排列、组合等概念。
而分类讨论思想在组合数学中有着广泛的应用。
以排列组合问题为例，当问题比较复杂时，可以通过分类讨论的方法将问题简化，从而更好地解决问题。
有一道高中数学题目：“从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，将它们按照从小到大的顺序排列成一组数，那么共有多少种排列方式？”这个问题涉及到排列的概念，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。
我们可以将这个问题分成两种情况来讨论，一种是选取的3个数字没有重复，另一种是选取的3个数字中有重复的数字。
对于第一种情况，我们可以直接使用排列的公式来计算出结果；对于第二种情况，我们可以先计算出选取的3个数字中有重复的数字的情况，然后再根据具体的情况来进行讨论。
通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解问题，更快速地找到解决问题的路径。
二、几何中的分类讨论思想在几何中，分类讨论思想同样有着重要的应用。
几何问题通常涉及到图形的性质、面积、体积等概念，而分类讨论思想可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。
有一道高中数学题目：“在平面直角坐标系中，有一个正方形的对角线的两个端点分别为A（1，2）和B（4，5），求这个正方形的面积。
”这个问题涉及到正方形的性质和面积的计算，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。
我们可以确定正方形的另外两个顶点的坐标，然后再根据正方形的性质来计算出正方形的面积。
通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解图形的性质和面积的计算方法，更快地解决问题。
高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想 含解析
分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。
一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。
二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。
三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。
由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。
由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。
5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。
由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。
高中数学思想方法之“分类讨论思想”
高中数学思想方法之“分类讨论思想”（2012.8.6）一、知识整合：1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式2ax >时分0a >、0a =和0a <三种情况讨论。
这称为含参型。
6．中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；④反比例函数y ＝k x(x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在．二、典型例题：例1．已知圆x y 224+=，求经过点P ()24，，且与圆相切的直线方程。
例2．1log (1)1a x x->解关于的不等式：例3．设，问方程表示什么曲线？k R k x k y k k ∈-+-=--()()()()848422例4、（2012广东高考文科数学21题）设0＜a ＜1，集合{|0}A x R x =∈>,2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>,D AB =．（1）求集合D （用区间表示）三、巩固练习1. 若3201log (1)log (1)a a a a p a a q a a >≠=++=++，且，，，则,p q 的大小关系为（ ） A. p q= B. p q < C. p q > D. a p q >>1时，；01<<<a pq 时， 2. 若{}A x x p x x R =+++=∈|()2210，，且A R +=∅，则实数中的取值范围是（ ） A. p ≥-2 B. p ≤-2 C. 40p -<< D. p >-43．已知集合{}{}10,1,1A x ax B x =--==-,若A B B =，则实数a 的取值的集合是（ ） A. {}1- B. {}1 C. {}1,1- D. {}0,1,1-4. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. 70250x y x y +-=-=或D. 70250x y y x ++=-=或5. 若sin cos 1sin cos ()n n x x x x n N +=+∈则的值为，（ ）A. 1B. -1C. 11-或D. 不能确定 6. 函数fx m x mx ()()=+-+231的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为（ ）A. [)0，+∞B. (]-∞，1C. (]01，D.7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x ||x －3|<a ，x ∈R }，若A ∩B=B ，那么a 的取值范围是( )A ．0≤a ≤1B ．a ≤1C ．a <1D ．0<a <18．若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为 ( ) A ．(2k,0)，(－2k,0) B ．(0，2k )，(0，－2k )C ．(2|k |，0)，(－2|k |，0)D ．由k 的取值确定9．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞) 10．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为 ( ) A.53 B.52 C.52或153 D.53或5411．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是____________．12．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为___________13. 若lo g a 231<，则a 的取值范围为________________ 14. 与圆x y 2221+-=()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________ 15．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是________． 16．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0,＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围为________．17、（1）求曲线y ＝13x 3＋43经过点P (2,4)的切线方程. （2）已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)，求函数f (x )的单调区间；18、解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<。
[全]高中数学：分类讨论思想(含详细分析和例题解析)
![[全]高中数学：分类讨论思想(含详细分析和例题解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/2b688f08700abb68a882fb5a.png)
[全]高中数学：分类讨论思想（含详细分析和例题解析）所谓分类讨论，就是当题目所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每个类别级别进行研究，得出每一类的结论，最后将各类结果进行综合，得到整个问题的解答。
分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。
在高中数学中，分类讨论时非常重要的一种解题思路，每次高考的数学试卷中，必然会有需要用到这种思想方法的题目。
一、分类讨论的要求及其意义1、分类讨论的要求：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
2、分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等。
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等。
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。
二、分类讨论思想的原则为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则：(1) 同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用在高中数学中，分类讨论思想是一个非常重要的解题方法。
通过将问题进行分类讨论，可以帮助我们更好地理解问题的本质，找到解题的方法，提高解题的效率。
本文将从基本概念、思维方法和实际应用三个方面来浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用。
一、基本概念分类讨论思想是指将问题按照某种特定的特征或性质进行分类，然后分别讨论各个类别的情况，最后将不同情况的结果进行综合。
这种思维方法在高中数学中尤为常见，可以应用于代数、几何、概率等各个领域的解题中。
分类讨论思想的关键在于合理地划分类别，确保每个类别都是互不重叠且全面覆盖的。
只有这样才能保证我们对问题的分析不会遗漏任何一种情况。
分类讨论也要求我们具备较强的逻辑推理能力，能够将不同类别的情况进行合理的比较和综合。
二、思维方法在实际解题过程中，如何正确运用分类讨论思想是非常重要的。
以下是几种常见的思维方法：1. 同时考虑全部情况：在某些问题中，我们可以将问题的所有情况列举出来，然后进行分类讨论。
在排列组合中，我们可以将排列或组合的条件进行分类讨论，然后分别计算不同类别的情况。
2. 构造特殊情况：有时候，我们可以通过构造特殊的情况来帮助我们理解问题。
在几何证明中，我们可以通过构造特殊的图形或角度来帮助我们理解问题的本质，然后再进行一般性的证明。
3. 排除法：有些问题可以通过排除法来简化解题过程。
在概率问题中，我们可以通过排除不可能发生的情况来简化计算过程，从而得出最终结果。
以上思维方法并不是孤立的，有时候我们需要结合使用，根据具体问题的情况来进行思考和运用。
三、实际应用现在我们以代数、几何和概率三个方面来举例说明分类讨论思想在高中数学解题中的应用。
1. 代数问题如何将一个三位数分解成其各位数字之和的问题。
我们可以将三位数的情况分为百位数、十位数和个位数三种情况，然后分别讨论。
通过这样的分类讨论，我们可以找到所有满足条件的三位数。
2. 几何问题如何证明一个四边形是平行四边形的问题。
分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中的应用分类讨论思想是数学中非常重要的一种思维方式，它在高中数学中的应用也非常广泛。
本文将从高中数学的各个领域入手，探讨分类讨论思想在高中数学中的具体应用。
一、代数在代数学中，分类讨论思想常常用于解决方程组、不等式和函数的性质等问题。
在解决代数方程组的问题时，我们经常会遇到由未知数或系数的范围条件所限制的方程组，这时可以通过分类讨论的方法来解决。
已知方程组a +b = 10ab = 16求解a和b的值。
我们可以先根据ab=16进行分类讨论，列出所有符合条件的数对，然后再通过a+b=10的条件筛选出符合条件的解，这样就可以很方便地得到方程组的解。
不等式问题中，分类讨论思想也常常发挥重要作用。
对于不等式|x-2|<3，我们可以通过分类讨论的方法得到其解集为-1<x<5。
在函数的性质问题中，分类讨论思想也经常被用于证明函数的单调性、奇偶性等性质。
代数学中分类讨论思想的应用丰富多样，为我们解决代数问题提供了有力的工具。
二、几何在几何学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。
几何问题常常涉及到对图形的分类和判断，这时就需要运用分类讨论的方法来解决。
对于平面几何中的定理证明问题，常常需要对几何形状进行分类讨论，从而得出定理的证明。
在证明平行四边形的性质时，就需要通过对各种情况的分类讨论来得到结论。
三、概率与统计在概率论与统计学中，分类讨论思想也有着广泛的应用。
概率论问题常常涉及到对事件的分类和计算，这时就需要通过分类讨论的方法来得出事件的概率。
在掷骰子问题中，我们可以通过对骰子点数的分类讨论来计算各种事件的概率。
统计学中也常常需要通过分类讨论的方法来得出数据的统计特征。
在描述某个总体的特征时，我们经常需要对数据进行分类讨论，从而得出总体的统计特征。
分类讨论思想在概率与统计学中有着重要的应用，它为我们解决概率与统计问题提供了有力的工具。
四、数论分类讨论思想在高中数学中有着广泛的应用。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论是一种常见的数学思想，它在高中数学解题中起到了重要的作用。
本文将讨论分类讨论思想在高中数学解题中的应用。
一、分类讨论思想的特点分类讨论是一种通过将问题拆分成不同情况，进行分别考虑的方法。
它具有如下特点：1.适用范围广：分类讨论可以用来解决各种问题，包括一元方程、二次方程、几何问题等等。
2.思维灵活：分类讨论可以采取不同的拆分方式，具有很大的灵活性。
3.准确性高：分类讨论可以保证每种情况都被考虑到，并得到相应的结果，不会漏掉任何一种情况。
四.难度低：分类讨论不需要很高的数学功底，只需要将问题分解成各种情况进行分别考虑。
1.一元二次方程的解法一元二次方程ax²+bx+c=0的解法有多种，其中一种常用的方法是分类讨论。
当a≠0时，如果Δ=b²-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；如果Δ<0，则方程无实数根。
2.几何证明在几何证明中，分类讨论也是一个常见的方法。
例如，在证明“等腰三角形的两底角相等”时，可以将三角形分成底角等于顶角的情况和底角小于顶角的情况，分别证明。
3.概率问题在解决概率问题时，分类讨论也是一种常用的方法。
例如，要求抛掷两个骰子点数和为6的概率，可以将所有情况分成两个骰子点数和小于6的情况和等于6的情况，然后计算出每种情况的概率，再相加。
4.数列问题在数列问题中，分类讨论也可以用来解决一些难题。
例如，要求找出一个数列的通项公式，可以将其分成等差数列和等比数列两种情况，然后根据每种情况的特点进行计算。
5.排列组合问题总之，分类讨论是一种非常实用的数学思想，它可以解决多种问题，需要我们在高中数学学习中积极掌握和应用。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想是一种解决复杂问题的方法，它在高中数学解题中有着广泛的应用。
分类讨论思想的核心思想是将问题分解为若干个易于解决的小问题，然后逐个解决这些小问题，最后得到整体的解答。
在高中数学中，分类讨论思想常常用于解决一些复杂的数学问题。
举个例子，我们来看一个典型的题目：已知集合A由3个元素组成，集合B由4个元素组成，且集合A与集合B的交集有2个元素。
现在要求集合A与集合B的并集中元素的个数。
我们可以将这个问题分解为两个小问题：求集合A与集合B的并集元素的个数和求集合A与集合B的交集元素的个数。
对于第一个小问题，我们可以根据集合的定义，知道并集的元素个数等于两个集合元素个数之和减去交集的元素个数，即并集的元素个数
=3+4-2=5。
对于第二个小问题，已知集合A与集合B的交集有2个元素，考虑到两个集合的元素个数，我们可以将这2个元素分别放在A和B的两个元素中去，然后将剩下的元素填补到A和B的元素中，这样就能得到满足题目要求的集合A和集合B了。
通过分类讨论思想，我们可以很轻松地解决这个问题。
这里只是一个简单的例子，分类讨论思想在实际应用中也可以更加复杂。
但无论是简单还是复杂的问题，分类讨论思想都是一个非常有效的解决方法。
分类讨论思想
分类讨论思想一．知识探究：分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；3．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；4．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得出结论；5．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。
如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。
如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。
如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在解题中的重要性分类讨论思想在解题中的重要性可以说是至关重要的。
在解决数学问题时，分类讨论思想可以帮助我们将复杂的问题分解成若干个简单的子问题，从而更清晰地理解和解决整个问题。
通过分类讨论思想，我们可以将问题进行分类归纳，找到问题的规律和特点，有针对性地进行思考和解决。
这种系统化的方法可以帮助我们更快速地找到解题的思路，提高解题的效率。
分类讨论思想还可以帮助我们培养逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过对问题进行分类、归纳和比较，我们可以锻炼自己的思维能力，提高自己的解题水平。
分类讨论思想在解题中的重要性不言而喻。
它不仅可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，还可以培养我们的思维能力和解决问题的方法。
在高中数学的学习中，我们应该重视分类讨论思想的应用，不断提升自己的解题能力。
在解决实际问题时，也可以借鉴分类讨论思想的方法，提高解决问题的效率和准确性。
1.2 分类讨论思想的定义分类讨论思想是指在解决问题时，将问题按照某种特定的标准进行分类，并对每一类情况进行详细讨论和分析的思维方法。
通过分类讨论思想，我们可以将复杂的问题化繁为简，从而更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方法。
分类讨论思想的核心在于将问题进行分类，将问题的各种可能性进行系统地归纳和分析。
通过将问题细分为不同情况，我们可以更具体地审视每个情况下的特点和规律，从而更有针对性地解决问题。
分类讨论思想的关键在于对问题进行合理的分类和细致的讨论，以确保我们不会遗漏任何可能的情况，也不会将不同情况搞混。
分类讨论思想在解题中的应用是非常广泛的，无论是在代数问题、几何问题、概率问题还是综合性问题中，都能发挥重要作用。
通过分类讨论思想，我们可以更高效地解决问题，提高解题的准确性和深度。
掌握分类讨论思想是高中数学学习中的重要内容，也是培养学生逻辑思维和分析能力的重要途径。
1.3 分类讨论思想的应用意义分类讨论思想可以帮助我们更好地理清解题的思路，将一个复杂的问题分解为若干个简单的子问题，从而有针对性地进行解决。
分类讨论思想在高中数学教学中的应用
分类讨论思想在高中数学教学中的应用分类讨论思想，在数学讲解中属于一种比较常见的思维方式，其应用范围广泛，可以涵盖数学中几乎所有的知识点。
在高中数学教学中，分类讨论思想常被运用于解决复杂的数学问题，尤其是那些需要逐一针对不同情况进行分析的问题。
本文将从分类讨论思想的概念及其在高中数学中的应用方面进行探讨。
一、分类讨论思想的概念分类讨论思想是指在求解问题时，将问题分成不同的情况，并对每种情况分别进行讨论求解的一种思想方式。
它的基本思路是将问题进行分解，将问题拆分成不同的部分，然后分别求解每个部分，最后综合各个部分的结果，得出整个问题的解。
分类讨论思想具有逻辑严密性、灵活性、易于掌握和应用等特点，是一种很好的解决复杂问题的思维方式。
二、分类讨论思想在高中数学中的应用1.方程的分类讨论在高中数学中，方程问题是非常常见的一个问题类型。
利用分类讨论思想，可以将方程问题分成不同的类别，然后对每个类别进行独立求解。
例如在解一元二次方程时，可以将问题分成三种情况：Δ>0，Δ=0，Δ<0，然后分别求解，得到三个解析式。
2.曲线的分类讨论曲线在高中数学中也是必须要进行分类讨论的一个问题类型。
例如在解代数方程组时，需要通过曲线的分类讨论来分类求解。
具体来说，可以通过对曲线的性质进行分析，判断该曲线的解析式的方程组有多少个解。
3.三角函数的分类讨论在解三角函数的问题时，分类讨论也是一种比较常见的方法。
例如在解正弦函数、余弦函数等问题时，需要根据不同的情况进行分类讨论。
例如在求某个特定区间内的函数值时，需要先判断这个区间的端点处是不是极值点，然后再判断在该区间内函数值的正负情况，最后得出答案。
4.极限的分类讨论在高中数学中，极限的分类讨论也是经常用到的一种思想方式。
例如在极限求解的时候，可以通过不同的方法来分别求出左极限和右极限。
这种思想方式同样也适用于求导数、定积分等高中数学中的其他重要问题。
三、如何提高分类讨论思想的应用能力？在高中数学教学中，提高分类讨论思想的应用能力是非常重要的。
高中数学解题中的分类讨论策略
高中数学解题中的分类讨论策略高中数学中分类讨论是一种非常重要的解题策略，在分类讨论中，通过不断地对题目的知识点进行化整为零、归类整理，将题目包含的多种知识点与情况逐次分析，从而达到解题的目的。
1.分类讨论的含义与解题步骤分类讨论是一种逻辑方法，也是一种常见的解题思路，在解题过程中分类讨论的应用十分广泛。
我们在解决数学问题的过程中，经常会遇到一些不能用同一标准，或同一运算，或同一类型来概括的问题，因此，需要分成若干个局部问题去解决，需要化整为零，各个击破，这就是分类讨论思想。
一般地来说，引起分类讨论的原因大致可以归纳为以下几点：一是，由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成角、直线的斜率等，这类问题要以定义所受的限制条件来分类。
二是，由数学运算、定理、公式引起的分类，如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式的两边同乘以一个正数还是负数等。
三是，由函数性质引起的分类讨论，如函数的单调性、奇偶性，最值问题。
四是，由图形位置的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等。
五是，由参数的变化范围引起的分类讨论，如含参数的方程或不等式，直线的点斜式或斜截式方程等。
在对数学问题的研究与解答中，分类讨论可以依据题给数据的共性与特性进行划分，具体步骤为：首先要明确讨论的对象与解题中心，这里要全面审题，将已知条件进行罗列；其次要根据已知条件进行科学分类，其分类的标准可以根据条件的属性、数量等进行确定，要做到不重不漏；最后要对解题过程进行总结。
2.分类讨论在解题中的应用与思考例题已知mR，求函数f（x）=（4-3m）x2-2x+m在区间[0，1]上的最大值。
解析：由于当4-3m=0时，f（x）是一次函数，当4-3m0时，f（x）是二次函数，因函数图像的开口方向不同，求最大值的方法也不同，所以应对m分类讨论。
高中高考数学专题总结复习分类讨论思想
二、分类议论思想高考动向分类议论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中常常使用的数学思想方法之一.突出考察学生思想的谨慎性和周祥性，以及认识问题的全面性和深刻性，提升学生剖析问题，解决问题的能力，能表现“侧重考察数学能力”的要求.所以分类议论是历年数学高考的要点与热门 .并且也是高考的一个难点.数学中的分类议论贯串教材的各个部分，它不单形式多样，并且拥有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类议论的常有情况（ 1）由数学观点惹起的分类议论：主假如指有的观点自己是分类的，在不一样条件下有不一样结论，则一定进行分类议论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（ 2）由性质、定理、公式惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，2在不一样条件下结论不一致，如二次函数y=ax +bx+c(a ≠，0)由 a 的正负而致使张口方向不确定，等比数列前n 项和公式因公比q 能否为 1 而致使公式的表达式不确立等.（3）由某些数学式子变形惹起的分类议论：有的数学式子自己是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0， a=0， a＜0， a＞ 0 解法是不一样的 .（4）由图形惹起的分类议论：有的图形的种类、地点也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的地点关系等 .（5）由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中常有.（6）由参数变化惹起的议论：所解问题含有参数时，一定对参数的不一样取值进行分类议论；含有参数的数学识题中，参变量的不一样取值，使得变形受限致使不一样的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确立的，标准是同一的；分类议论问题的难点在于什么时候开始议论，即认识为何要分类议论，又从几方面开始议论，只有明确了议论原由，才能正确、适合地进行分类与议论.这就要求我们正确掌握所用的观点、定理、定义，考虑问题要全面. 函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线地点关系中的鉴别式等等，常常是分类议论区分的依照.（ 2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级议论.当问题中出现多个不确立要素时，要以起主导作用的要素进行区分，做到不重不漏，而后对区分的每一类分别求解，再整合后获取一个完好的答案.数形联合是简化分类议论的重要方法.3．分类议论的一般步骤第一，明确议论对象，确立对象的范围；第二，确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类议论，获取阶段性结果；第四，概括总结，得出结论.4.分类议论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类议论是一种重要的解题策略，但这类分类议论的方法有时比较繁琐，如有可能，尽量防止分.经典例题透析种类一：不等式中的字母议论1、（ 2010·山）若于随意，恒建立， a 的取范是________.一反三：【式 1】解对于的不等式:（）.【式 2】解对于的不等式:.种类二：函数中的分类议论2、数，函数的最大，（Ⅰ），求的取范，并把表示的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求足的全部数 .分析：（ I）∵，∴要使存心，必且，即∵，且⋯⋯①∴的取范是，由①得：，∴，，（ II ）由意知即函数，的最大，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种状况进行议论：（ 1）当时，函数，的图象是张口向上的抛物线的一段，由知在上单一递加，故；（ 2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是张口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（ III ）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，进而有或，要使，一定有，，即，此时，，综上所述，知足的全部实数为：或.贯通融会：【变式1】函数的图象经过点(-1， 3)，且 f(x) 在 (-1， +∞)上恒有f(x)<3 ，求函数 f(x).分析： f(x) 图象经过点 (-1， 3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不知足题意；(2)当，则，此时，x∈ (-1，+∞)时，即 f(x)<3 ，知足题意为所求.综上，.【变式 2】已知函数有最大值2，务实数的取值.分析：令，则().(1)当即时，，解得 :或（舍）；(2)当即时，,解得 :或（舍）；(3) 当即时，，解得（全都舍去） .综上，当或时，能使函数的最大值为 2.贯通融会：【变式 1】设，（ 1）利用函数单一性的意义，判断f(x) 在（ 0， +∞）上的单一性；（2）记 f(x) 在 0<x≤1上的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的分析式 .分析：（1）设 0<x 1<x 2<+∞则f(x 2)-f(x 1)=由题设 x2-x1>0 ，ax1·x2>0∴当 0<x 1<x2≤时，，∴ f(x2)-f(x1)<0，即 f(x 2)<f(x 1)，则 f(x) 在区间 [0，]单一递减，当<x 1<x 2<+∞时，，∴ f(x 2)-f(x 1)>0，即 f(x 2)>f(x 1)，则 f(x) 在区间（，+∞）单一递加.（ 2）由于 0<x≤1，由（ 1）的结论，当 0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当>1，即 0<a<1 时， g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a) ＝.种类三：数列4、数列 {a n} 的前n 项和为S n，已知 {S n} 是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.分析：设等比数列 {S n} 的公比为q，则 q>0①q=1 时， S n=S1=a1当 n=1 时，，a2=0，∴，即当 n≥2时， a =S -Sn-1 =a -a =0，，即nn 1 1n-1n-1 (2)q ≠1时， S n=S1·q=a1·q当n=1 时，∴ ，即.当 n ≥2 ，a n =S n -S n-1 =a n-1n-2n-21·q -a 1·q =a 1·q (q-1)此∴ q>1 ，，0<q<1 ，.升 ： 等比数列前 n 和公式分 q=1 或 q ≠1两种状况 行 .一反三：【 式 1】求数列： 1， a+a 2 234 3456n,a +a +a ,a +a +a +a , ⋯⋯（此中 a ≠0）的前 n 和 S .分析： 数列的通 n-1 n2n-2a n =a +a +⋯ +a：（ 1）当 a=1 ， a n =n ， S n =1+2+⋯ +n=（ 2）当 a=-1 ，，∴ ，（ 3）当 a ≠±1且 a ≠0 ，，∴.【变式 2 】设 {a n} 是由正数组成的等比数列， S n是其前n项和，证明:.分析：（ 1）当 q=1 时，S n=na1，进而，（ 2）当 q≠1时，，进而由（ 1）（ 2）得 :.∵函数为单一递减函数.∴∴.【变式 3】已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列 .(Ⅰ )求 q 的值；(Ⅱ )设 {b } 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 S ，当 n≥2时，比较 S n n nn的大小，并说与 b明原由 .分析：2(Ⅰ )由题设 2a3=a1+a2，即 2a1q =a1+a1q,∵a1≠0，∴ 2q2 -q-1=0，∴或，(Ⅱ )若 q=1 ，则当 n≥2时，若当 n≥2时，故对于 n∈N +，当 2≤n≤9时， S n>b n；当 n=10 时， S n=b n；当 n≥11时， S n<b n.【变式 4 】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，此中；一般地，规定为的 k 阶差分数列，其中且 k∈ N* ， k≥2。
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分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝qB. p<qC. p>qD.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q3.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。
4.若θ∈(0, π2)，则limn→∞cos sincos sinn nn nθθθ＋θ-的值为_____。
A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－15.函数y＝x＋1x的值域是_____。
A. [2,+∞)B. (-∞,-2]∪[2,+∞)C. (-∞,+∞)D. [-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. 893 B.493 C.293 D.493或8937.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0B. x＋y－5＝0C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能确定【简解】1小题：对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2小题：对底数a 分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C ；3小题：分x 在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；4小题：分θ＝π4、0<θ<π4、π4<θ<π2三种情况，选D ； 5小题：分x>0、x<0两种情况，选B ；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D ；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C 。
Ⅱ、示范性题组：例1. 设0<x<1，a>0且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数a 分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1① 当0<a<1时，log a (1－x)>0，log a (1＋x)<0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)]＝log a (1－x 2)>0; ② 当a>1时，log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x) －log a (1＋x)＝－log a (1－x 2)>0；由①、②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|。
【注】本题要求对对数函数y ＝log a x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。
去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。
例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。
并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C 中元素如何取法。
另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C 203－C 83＝1084。
例 3. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。
①. 证明： lg lg S S n n ++22<lgS n +1； ②.是否存在常数c>0，使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。
(95年全国理)【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。
其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况。
【解】 设{a n }的公比q ，则a 1>0，q>0①．当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n S n +2－S n +12＝na 1(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 12＝－a 12<0； 当q ≠1时，S n ＝a q qn 111()--，从而 S n S n +2－S n +12＝a q q q n n 1222111()()()---+－a q q n 1212211()()--+＝－a 12q n <0； 由上可得S n S n +2<S n +12，所以lg(S n S n +2)<lg(S n +12)，即lg lg S S n n ++22<lgS n +1。
②. 要使lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2,分两种情况讨论如下：当q ＝1时，S n ＝na 1，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12<0当q ≠1时，S n ＝a q q n 111()--，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝[a q q n 111()--－c][ a q qn 1211()--+－c]－[a q q n 1111()--+－c]2＝－a 1q n [a 1－c(1－q)] ∵ a 1q n ≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q11-而S n －c ＝S n －a q 11-＝－a q qn11-<0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c>0, 使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。
该题文科考生改问题为：证明log log ..050522S S n n ++>log 05.S n +1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围。
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
【解】当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a ∴ 111220a f a ≤＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f aa ()＝ 或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪∴ a ≥1或12<a<1或φ 即 a>12； 当a<0时，f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ； 当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意由上而得，实数a 的取值范围是a>12。
【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a 分a>0、a<0、a ＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。
本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。
例5. 解不等式()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a ≠－12)【分析】 含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，故对参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12<a<0、a<－12分别加以讨论。
【解】 2a ＋1>0时，a>－12； －4a<6a 时，a>0 。
所以分以下四种情况讨论： 当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x 2>0，解得：x ≠0； 当－12<a<0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得: x<6a 或x>－4a ； 当a>－12时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。