ax2+bx+c的图象和性质作业课件 (新版)新人教版
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
人教版九年级上册数学作业课件 第22章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
解：(1)对称轴是直线 x＝－1，顶点(－1，72 )，y 最大＝72
(2)对称轴是直线 x＝－3，顶点(－3，－18)，y 最小＝－18
14．(2020·仙桃)把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度， 再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数关系式； (2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由； (3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1， y2的大小．
解：(1)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∵把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先 向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，∴C2： y＝(x＋1－4)2＋2－5，即y＝(x－3)2－3，∴抛物线C2的函数关系式为y ＝(x－3)2－3
(2)动点P(a，－6)不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关 系式为：y＝(x－3)2－3，∴函数的最小值为－3，∵－6＜－3，∴动点
＝－12 x2＋2x，∴PD＋BD＝－12 x2＋2x＋54 x＝－12 (x－143 )2＋13629 ，∵54 ＜
x＜4，－12
＜0，∴当 x＝143
时，PD＋BD 有最大值为13629
，此时，点
13 P( 4
，
－5372 )
(3)设平移后的抛物线 L′解析式为 y＝12 (x－m)2－13221 ，联立方程组可得
(1)求直线 AB 的解析式及抛物线顶点的坐标； (2)如图 1，点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，PC 交 AB 于点 D，求 PD＋BD 的最大值，并求出此时点 P 的坐标；
(3)如图 2，将抛物线 L：y＝12 x2－54 x－3 向右平移得到抛物线 L′，直线 AB 与 抛物线 L′交于 M，N 两点，若点 A 是线段 MN 的中点，求抛物线 L′的解析式．
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章二次函数 第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
解：(1) y = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2，顶点坐标为(1，0). (2) y = 2x2 − 4x + 6 = 2(x −1)2 + 4，顶点坐标为(1，4).
问题1 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗
？答：对称轴是直线
2 x=
6，顶点坐标是
(6，3).
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相
等；
（3）4a + b = 0；
–1 O
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0. –2
其中正确的是 （2） .
x 3
x=1
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. （1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x =为 −5. （2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. （3）新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3．
5 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
5 10 x
要点归纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成
y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y ax2 bx c
a
问题1 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗
？答：对称轴是直线
2 x=
6，顶点坐标是
(6，3).
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相
等；
（3）4a + b = 0；
–1 O
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0. –2
其中正确的是 （2） .
x 3
x=1
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. （1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x =为 −5. （2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. （3）新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3．
5 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
5 10 x
要点归纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成
y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y ax2 bx c
a
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》课件
［备选例题］ 已知二次函数 y＝－12x2－7x＋125，若自变
量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值 y1，
y2，y3 的大小关系正确的是（ A ）
A.y1＞y2＞y3
B.y1＜y2＜y3
C.y2＞y3＞y1
D.y2＜y3＜y1
［解析］ 根据 x1，x2，x3 与对称轴的大小关系，判断 y1， y2，y3 的大小关系.
增减性
最值
y＝ax2＋bx＋c
a>0
a<0
向上
向下
x＝ －2ba
－2ba，4ac4－a b2
当 x<－2ba时，y 随 x 的增大而减小； 当 x<－2ba时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而增大 当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而减小
y 最小＝4ac4－a b2
第1课时 二次函数y=ax +2bx+c的图象和性质
［归纳总结］ 确定函数 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴、顶点坐 标有两种方法：①配方法，即 y＝ax2＋bx＋c＝ax＋2ba2＋ 4ac4－a b2；②公式法，即 x＝－2ba，y＝4ac4－a b2.
第1课时 二次函数y=ax +2bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax +2bx+c的图象和性质
新知梳理
► 知识点一 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的顶点式解析式 y＝ax2＋bx＋c＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2.
第1课时 二次函数y=ax +2bx+c的图象和性质
► 知识点二 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的性质
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
【例 1】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
新人教版九年级上册初三数学 22.1.4二次函数图像和性质 课件PPT
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象 和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数 y=ax2+bx+c 图象和性质?
探究新知
知识点 1 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能
否利用这些知识来讨论 y
1 2
x2
6x
21
的图象
和性质？
【思考1】怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k 2
性质
例1 画出函数
y 1 x2 x 5
2
2
的图象，并说明这个函
数具有哪些性质.
解: 函数
y 1 x2 x 5
2
2
通过配方可得
y 1 (x 1)2 2 2
，
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
素养考点 3 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左
(3)
y
2
x
1 2
x
2;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
探究新知
知识点 1 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能
否利用这些知识来讨论 y
1 2
x2
6x
21
的图象
和性质？
【思考1】怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k 2
性质
例1 画出函数
y 1 x2 x 5
2
2
的图象，并说明这个函
数具有哪些性质.
解: 函数
y 1 x2 x 5
2
2
通过配方可得
y 1 (x 1)2 2 2
，
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
素养考点 3 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左
(3)
y
2
x
1 2
x
2;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
九年级数学下册 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质精品课件 人教新课标版
y ax2 bx c b c 提取二次项系数 2 a x x 配方:加上 a a 并减去一次 2 2
2 b b b c a x x 项系数一半 a 2a 2a a 的平方 2 b 4ac b 2 整理:前三项化为平 a x 方形式,后两项合并 2 2a 4a 2 2
3.5
6
3
7
3.5
8
5
9
7.5
… …
y
10
5
O
5
10
x
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
例.求次函数 y=ax² +bx+c的 对称轴和顶点 坐标． 1.配方:
老师提示:
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 6.已知 y x 2 x 1 . 2 (1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称 轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标; (3)作出函数的草图; (4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的增大而减小; (5)观察图象:当x何值时,y＞0;当x何值时, y=0;当x何值时,y＜0.
2+bx+c 二次函数y=ax
的图象与性质
抛物线y＝a(x-h)2+k的性质 h （1）对称轴是直线x＝_________
(h、k) （2）顶点坐标是___________
(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左 减小 侧y随x的增大而_______；在对称轴的 右侧y随x的增大而________。 增大
最新人教版九年级下册数学精品课件26.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(3) y 2( x 3 )2 41 对 称 轴 ：x 3 , 顶 点 坐 标 ： （ 3 ，41）
48
4
48
(4) y 2(x 1)2 9
对 称 轴 ： x 1, 顶 点 坐 标 ： （ 1， 9）
最新人教版数学精品课件设
1.二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … -2.5 0 1.5 2 1.5 0 -2.5 …
y
y 1 (x 3)2 2
注意：列表时自变量
2
取值要均匀和对称。21 1源自 3-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x
-2
-3
-4
y 1 x2 3x 5
2 最新人教版数学精品课件设
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
最新人教版数学精品课件设
抛物线y＝a(x-h)2+k的性质
（1）对称轴是直线x＝___h______
（2）顶点坐标是___(_h_、__k_)___
(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左 侧y随x的增大而__减__小___；在对称轴的 右侧y随x的增大而__增__大____。
2
2
轴 和 顶 点 坐 标 ， 并 画 图。
解: 将 1 x 2 3 x 5 配 方 得 ：
2
2
y 1 (x2 6x 5) 2
1 ( x 3)2 4 2
1 (x 3)2 2 2
所以,顶点坐标最新是人(教-版3数,学2精)品,课对件称设 轴是x= -3．
x为何值时,y随x的增大而减小;
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