全国备战中考数学一元二次方程的综合备战中考真题分类汇总及答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴
cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是
；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y，
∴1
2PB•BC=12，即
1
2
×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当16
3
＜x≤
22
3
时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
1 2BP•CQ=
1
2
（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-2
3
（舍去）；
③22
3
＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
1 2QP•CB=
1
2
（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．
2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x 千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，
整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，
（x ﹣75）（x+10）=0，
解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x ）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
3．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．
【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4
【解析】
分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a 的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54
a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，
222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．
∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把
22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：
a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨
52m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920
m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了
152m %，求出m 的值． 【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+
52m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣
920m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152
m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120；
解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．
答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+
52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52
m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a
（1+
152
m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．
答：m 的值是20． 点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
5．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．
（1）求m 的取值范围；
（2）若1
1
1αβ+=-，则m 的值为多少？
【答案】（1）14m ≥
；（2）m 的值为3． 【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简
11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，
解得：m≥-34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵
111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2
+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，
由（1）知m≥-
34
， ∴m 1=﹣1应舍去，
∴m 的值为3．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
6．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n 的取值范围；
(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．
【解析】
【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.
【详解】
(1)根据题意知，[]
224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->
解之得：0n >；
(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，
∴1n =，
则方程为220x x -=，
即(2)0x x -=，
解得120,2x x ==．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.
7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【答案】(1)2000；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2， 根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x
-= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=26
3
（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20
千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x
2
×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元），54
100%=90% 60
.
答：该店应按原售价的九折出售.
9．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x的值为2或7.【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩
解之得：108
a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=
解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意
答：x 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.
【答案】x 1，x 2
【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x ＋1)(x －1)＝
x 2-2x-1=0
∵a=1，b=-
c=-1
∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0
∴
∴x
1x 2.。