2018届高三复习数学(文)(人教版)高考小题标准练：(十八) 含解析

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高三数学教师备考计划范文（五篇）

高三数学教师备考计划范文一、教学计划与要求由于本校学生的基础较差，我备课组决定____年高三（文科）数学分两轮进行复习，我校学生基础较差，而数学又是基础最差的，因此我们复习着重在第一轮的基础复习。

第一轮为系统复习（具体安排见附表），此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。

在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。

在教学中重点抓好各种通性、通法以及常规方法的复习，使学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。

同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。

第二轮（第二学期）专题复习与综合考试相结合。

要精选专题，紧扣高考内容，抓紧高考热点与重点，授课时脚踏实地，讲透内容;通过测评，查漏补缺，既提高解决综合题的分析与解题能力，又能调适心理，使学生进入一个良好的心理和竞技状态。

二、教学措施1、进一步转变教育观念，真正做到面向全体学生，尊重学生的身心发展规律。

教师特别注意调整教学心态，不能因为是复习阶段而“满堂灌”，惟恐学生吃不饱，欲速则不达。

在教学过程中处理好几个矛盾：一是讲和练的统一;二是量和内容的整合;三是自我探究和他人帮助的协调。

每天采用有针对性的内容进行限时小剂量的过关练习，帮助差生争取基本分，学生可以解决，鼓励他自己完成，克服机械模仿带来的负迁移，同时增强信心。

注意用分层教学来落实全体性与差异性。

不能一个水平，一个内容，一个进度对待所有学生，既要求保底，又要大胆放飞。

能达到什么水平就练什么水平的试题，保持这个水平是首要的，同时鼓励学生根据自己实际，大胆向前冲。

对于基础较薄弱的学生，应多鼓励多指导学法。

因为进入复习阶段，这些学生会无所适从，很容易产生放弃念头，教师的关心与鼓励，是他们坚持下去的良药。

以能力为中心，以基础为依托，调整学生的学习习惯，调动学生学习的积极性，让学生多动手、多动脑，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。

2018届高三复习数学(文)(人教版)高考小题标准练：(十八)含解析

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高考小题标准练(十八)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i为虚数单位,则i+i2+i3+i4= ( )A.0B.iC.2iD.-i【解析】选A.由i2=-1可知,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.2.已知集合A={x|x2-x+4>x+12},B={x|2x-1<8},则A∩(B)= ( )A.{x|x≥4}B.{x|x>4}C.{x|x≥-2}D.{x|x<-2或x≥4}【解析】选B.由A={x|x<-2或x>4},B={x|x<4},故A∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x≥4}={x|x>4}.3.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C. D.R【解析】选B.根据分段函数f(x)=的图象可知,该函数的值域为(-1,+∞).4.在等差数列{a n}中,7a5+5a9=0,且a9>a5,则使数列的前n项和S n取得最小值的n=( )A.5B.6C.7D.8[来源:学科网ZXXK]【解析】选B.因为a9>a5,所以公差d>0.由7a5+5a9=0,得7(a1+4d)+5(a1+8d)=0,所以d=-a1.由a n=a1+(n-1)d≤0,解得n≤.又a n+1=a1+nd≥0,解得n≥,所以n=6.5.公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π,刘徽称这个方法为“割圆术”,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.如图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序,则输出的n的值为:(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305) ( )A.48B.36C.30D.24【解析】选D.模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°=,不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin 30°=3,不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin 15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24.6.将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象,则下列说法正确的是( )A.函数F(x)是奇函数,最小值是-B.函数F(x)是偶函数,最小值是-C.函数F(x)是奇函数,最小值是-2D.函数F(x)是偶函数,最小值是-2【解析】选A.将函数f(x)=cos2x-sin2x=cos的图象向左平移个单位后得到函数F(x)=cos[2(x+)+]=cos=-sin2x的图象,故函数F(x)是奇函数,且它的最小值为-.7.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是边长为2的正三角形,正视图是矩形,且AA1=3,则该几何体的体积为世纪金榜导学号46854397( )。

2018届高三二轮复习数学(文)(人教版)高考小题标准练：(六) Word版含解析

高考小题标准练(六)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x|3+2x-x2>0},集合B={x|2x<2},则A∩B等于( )A.(1,3)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-3,1)【解析】选C.因为A=(-1,3),B=(-∞,1),所以A∩B=(-1,1).2.若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限,则实数a可以是( )A.-4B.-3C.1D.2【解析】选A.若z=+a=(3+a)-ai在复平面上对应的点在第二象限,则a<-3.3.已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选 D.因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a||b|·cos<a,b>=8,所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.4.已知x,y取值如表: 世纪金榜导学号46854325从所得的散点图分析可知:y与x线性相关,且=0.95x+,则等于( )A.1.30B.1.45C.1.65D.1.80【解析】选B.根据题意=4,=5.25,样本点中心(4,5.25)代入回归直线方程,可知=1.45.5.已知sin cos+cos sin=,则cosx等于( )A. B.- C. D.±【解析】选B.sin cos+cos sin=sin=-cosx=,即cosx=-.6.设f=且f=4,则f等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为f=4,即a2=4,a=±2,又因为a是底数,所以a=-2舍去,所以a=2,所以f=log28=3,故选C.7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【解析】选A.直线x-y+1=0与x轴的交点为即(-1,0). 根据题意,圆心为(-1,0).因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d==,则圆的方程为(x+1)2+y2=2.8.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )A.4B.4C.4D.8【解析】选B.由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,面积最小的面为面VAB,S△VAB=×2×4=4.9.如图是一个程序框图,若输出i的值为5,则实数m的值可以是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.S=2,i=2,2≤2m;S=6,i=3,6≤3m;S=13,i=4,13≤4m;S=23,i=5,23>5m,此时程序结束,则≤m<,故选B.10.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,如果墙足够厚,S n为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S5= 世纪金榜导学号46854326( )A.31B.32C.33D.26【解析】选 B.大老鼠、小老鼠每天打洞尺数分别构成等比数列,,公比分别为2,,首项都为1,所以S5=+=32.故选B.11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称,则双曲线的离心率为( )世纪金榜导学号46854327 A. B.3 C.2 D.【解析】选C.易得点A坐标为(a,b),因为直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称,所以直线AF的斜率为-,即=-⇒=2.12.若函数f=-x2+x+1在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )世纪金榜导学号46854328 A. B.C. D.【解析】选C.f′(x)=x2-ax+1,由题设知x2-ax+1≤0在上恒成立,故即a≥.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是________.【解析】假设乙是罪犯,那么甲和丙的供词是真话,乙和丁的供词是假话,符合题意;假设丙是罪犯,那么说真话的就有甲、乙、丁三人;假设丁是罪犯,那么说真话的只有甲;假设甲是罪犯,那么说真话的只有丙.后面三个假设都与题目要求不符合,假设不成立,故罪犯是乙.答案:乙14.已知区域M:定点A(3,1),在M内任取一点P,使得|PA|≥的概率为________.【解析】如图,区域M表示边长为2的正方形,其面积为22=4.满足|PA|<的点P在以点A(3,1)为圆心,为半径的圆内(阴影部分).连接AB,AC,由|AB|=|AC|==,|BC|=2,知AB⊥AC,则S阴影=×2-××=-1.故在M内任取一点P,使得|PA|<的概率为p==-.故所求的概率为1-p=1-+=-.答案:-15.已知等比数列{a n}为递增数列,a1=-2,且3(a n+a n+2)=10a n+1,则公比q=______.世纪金榜导学号46854329 【解析】因为等比数列{a n}为递增数列,且a1=-2<0,所以公比0<q<1,又因为3(a n+a n+2)=10a n+1,两边同除a n可得3(1+q2)=10q,即3q2-10q+3=0,解得q=3或q=,而0<q<1,所以q=.答案:16.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是________.世纪金榜导学号46854330 【解析】令Q(c,d),由新的运算可得=m⊗+n=+=,即消去x得d=sin,所以y=f(x)=sin,易知y=f(x)的值域为答案:关闭Word文档返回原板块。

人教版2018最新高三数学一轮复习练习题全套—(含答案)Word版

高考数学复习练习题全套(附参考答案)1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是．2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y+的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈．（1）若AC BC ⊥，求2sin α．（2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角．4. 已知：数列{}n a 满足()211232222n n na a a a n N -+++++=∈……．（1）求数列{}n a 的通项．（2）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．姓名作业时间： 2010 年月日星期作业编号 002 1. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于．2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是．3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．0.01频率组距姓名作业时间： 2010 年月日星期作业编号 003 1. 复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 2. 一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 . 3. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后：（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．4. 在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ．（1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．姓名作业时间： 2010 年月日星期作业编号 0041. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S =2．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于 __． 3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．4. 已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n na AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++． ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=nk k C ．批阅时间等级DA B 1C 1D 1E课堂作业参考答案（1）1. 32a ≤；2. 23； 3. 解：（1）()()cos 5,sin ,cos ,sin 5AC BC αααα=-=-…………………………1分AC BC ⊥，∴()()cos cos 5sin sin 50AC BC αααα⋅=-+-=，即1sin cos 5αα+=………………………………………………………………4分 ∴()21sin cos 25αα+=， ∴24sin 225α=-………………………………………7分（2）()5cos ,sin OA OC αα+=+，∴(5OA OC +==9分∴1cos 2α=又()0,απ∈，∴sin α=, 1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴53OB OC ⋅=11分设OB 与OC 夹角为θ，则52cos 512OB OC OB OCθ⋅===⋅⋅，∴30θ︒= , OB 与OC 夹角为30︒……14分。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 H单元解析几何(文科2013)和答案

H 单元解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程21．B12，H1 已知函数f(x)＝x 2e －x . (1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x)＝－e －x x(x －2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0，2)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为 y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3.由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x ＋2x(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2 D.125．C 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2.15．H1，C8，E8 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离20．H2，H4 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2，求圆P 的方程．20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.4．H2、H3和H4 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.H3 圆的方程14．H3 若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．14．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254 r 2＝4＋(r －1)2，得r ＝52，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，－32.故圆C的方程是(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.21．F2、F3、H3、H5和H8 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈)．设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以 S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值22.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.4．H2、H3和H4 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系6．H4 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 66．C 圆的标准方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝1，所以直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0所截得的弦长l ＝2r 2－d 2＝4.7．H4 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝07．A 设直线方程为y ＝－x ＋m ，且原点到此直线的距离是1，即1＝m 2，解得m ＝± 2.当m ＝－2时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.14．H4 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．14．4 圆心到直线的距离d ＝1，r ＝5，r －d>d ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.10．H4 如图1－3所示，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y ＝f(t)的图像大致为( )图1－3图1－410.B 如图，设∠MOA＝α，cos α＝1－t ，cos 2α＝2cos 2 α－1＝2t 2－4t ＋1，x ＝2α·1＝2α，y ＝cos x ＝cos 2α＝2t 2－4t ＋1，故选B.20．H2，H4 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.13．H4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 13．22 设弦与圆的交点为A 、B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝22.8．H4 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．B 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交．5．H1，H4 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.125．C 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2.20．H4，E8，B1 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数．20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得 (1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．13．H4 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 13．45 圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|5＝5，所以弦长为252－（5）2＝220＝45.4．H2、H3和H4 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.H5 椭圆及其几何性质21．H5，H10 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点A(0，22)，联结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．21．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P(2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意，E 点坐标为(x 0，0)，设D(x D ，0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D，－22)．再由AD⊥AE 知，AE →·AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以G 8x 0，0，故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8.又因Q(x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0x －8x 0.②将②代入椭圆C 方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．19．M2，H5，H10 直线y ＝kx ＋m(m≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3.所以|AC|＝23.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．15．H5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．15．0 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部，目标函数的几何意义是直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，显然在点A 取得最小值，点A(1，1)，故z min ＝－1＋1＝0.8．H5 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 8．C 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b 2a (c＝1)，所以2b 2＝3a ，即2(a 2－1)＝3a ，2a 2－3a －2＝0，a>0，解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.15．H5，H8 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．15.3－1 如图，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，所以∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.根据椭圆定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1.9．H5 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 9．D 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由题知c ＝1，c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，选D.12．H5 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.于是d 1＝|－bc|b 2＋c 2＝bc a ，d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c.由d 2＝6d 1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2，化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0，即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33.20．H5，H8 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图1－8所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m.证明：2m －k 为定值．图1－820．解：(1)因为e ＝32＝c a，所以a ＝23c ，b ＝13c ，代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：因为B(2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k≠0，k≠ ±12，①①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D(0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ，0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k （2k ＋1）2（2k ＋1）2－2（2k －1）2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．方法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2.直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为：y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立⎩⎨⎧y ＝12（x ＋2），y ＝y0x 0－2（x －2），解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－（4－4y 20）＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2. 所以2m －k ＝2（y 0－1）2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2（y 0－1）（x 0－2）－y 0（2y 0＋x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－2y 20－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－12（4－x 20）－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝12(定值)．11．H5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.6711．B 设椭圆的右焦点为Q ，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，所以e ＝57.5．H5 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.335．D 设PF 2＝x, 则PF 1＝2x ，由椭圆定义得3x ＝2a ，结合图形知，2a2c ＝33c a ＝33，故选D. 22．H5，H8 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP→＝tOE →，求实数t 的值．22．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，故题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(i)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意－2＜m ＜0或0＜m ＜ 2. 将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝2－m 22. 所以S △AOB ＝|m|2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m ，0)＝(mt ，0)，因为P 为椭圆C 上一点，所以（mt ）22＝1.②由①②得 t 2＝4或t 2＝43，又因为t>0，所以t ＝2或t ＝233.(ii)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h. 将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k 2，所以|AB|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 221＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k 2，所以S △AOB ＝12|AB|d＝12×2 21＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2|h|1＋k2 ＝ 21＋2k 2－h 21＋2k 2|h|.又S △AOB ＝64，所以 21＋2k 2－h 21＋2k 2|h|＝64.③令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2，因为P 为椭圆C 上一点，所以t 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 21＋2k 2t 2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43，又知t>0，故t ＝2或t ＝2 33，经检验，适合题意．综合(i)(ii)得t ＝2或t ＝2 33.20．H5，H8 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2（x －1）2＋y 2. 化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，所以，直线m 的斜率为－32或32.9．H5 从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22 D.329．C 由已知，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，A(a ，0)，B(0，b)，于是由k AB ＝k OP得－b a ＝b 2a－c ，整理得b ＝c ，从而a ＝b 2＋c 2＝2c.于是，离心率e ＝c a ＝22.18．H5，H8 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC→·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝3，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b ＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)．由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.21．H5、H9、H10 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.21．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1，2＝－4±627，所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－2时，由图形的对称性得|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.9．H5，H6 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图1－4A.2 B.3C.32D. 629．D 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.21．F2、F3、H3、H5和H8 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈)．设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以 S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值22.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.H6 双曲线及其几何性质22．H6、H8、D3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2 a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝22.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．4．H6 双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 24．B 取一顶点(1，0)，一条渐近线x －y ＝0，d ＝12＝22，故选B. 2．H6 已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．D c 1＝c 2＝sin 2 θ＋cos 2 θ＝1，故焦距相等．14．H6 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．14.3＋1 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故ca ＝23－1＝3＋1.3．H6 双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x.11．H6，H7 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.2 33D.4 3311．D 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12p x2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′错误!错误!＝错误!.又∵双曲线错误!－y 2＝1的渐近线方程为错误!±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．11．H6 双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．11.54 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则e ＝c a ＝54. 11．H6，H7 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y23＝1 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y23＝1.7．A2，H6 双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12 B ．m ≥1C ．m>1D ．m>27．C 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋m>2，解得m>1.故选C.4．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．C 52＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x. 9．H5，H6 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图1－4A.2 B.3C.32D. 629．D 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝6，选择D.10．E1、H6和H8 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2 33，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2 33，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2 33，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2 33，＋∞10．A 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b a 必须满足33<b a ≤3，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有233<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以233<e ≤2.H7抛物线及其几何性质9．H7若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程为________.9．2 x＝－1 ∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，∴p2＝1，解得p＝2，∴准线方程为x＝－1.20．H7，H8如图1－5，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．图1－520．解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝5，所以|MN|＝2 |CO|2－d2＝2 5－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0.设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 202＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO|2＝334，|CO|＝332，即圆C 的半径为332.20．H7，H8，H10 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 22，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 20．解：21．B12 设函数f(x)＝x 3－kx 2＋x(k∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在上的最小值m 和最大值M. 21．解：9．H7 已知点A(2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶39．C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y ＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知|FM||MN|＝x M 4－x M ＝15，故选C.10．H7 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)10．C 抛物线的焦点为F(1，0)，若A 在第一象限，如图1－5，设AF ＝3m ，BF ＝m.过B 作AD 的垂线交AD 于G ，则AG ＝2m ，由于AB ＝4m ，故BG ＝23m ，tan ∠GAB ＝ 3.∴直线AB 的斜率为 3.同理，若A 在第四象限，直线AB 的斜率为－3，故答案为C.图1－511．H6，H7 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.2 33D.4 3311．D 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12p x2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′⎪⎪⎪⎪ )x ＝a ＝a p .又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝3，即a ＝3p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)． 11．H6，H7 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y23＝1 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y23＝1.5．H7，H8 抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．23 B ．2 C. 3 D ．15．D 抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2，0)，该点到直线x －3y ＝0的距离为d ＝|2|12＋（－3）2＝1.8．H7 O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22 C ．23 D ．48．C 设P(x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF|＝x 0＋2，所以x 0＝3 2，代入抛物线方程得y 2＝24，解得|y|＝2 6，所以△POF 的面积等于12·|OF|·|y|＝12×2×2 6＝2 3.H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业)22．H6、H8、D3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2 a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝22.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．12．F3、H8 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA→·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.2C. 2 D ．212．D 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t＝2.20．H7，H8 如图1－5，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．图1－520．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝5，所以|MN|＝2|CO|2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 22＝0.设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 202＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO|2＝334，|CO|＝332，即圆C 的半径为332.15．H5，H8 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．15.3－1 如图，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，所以∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.根据椭圆定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1.20．H7，H8，H10 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 22，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 20．解：21．B12 设函数f(x)＝x 3－kx 2＋x(k∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在上的最小值m 和最大值M. 21．解：22．H8，H10 如图1－5所示，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn ，△BDM和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－522．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0.则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n. S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1. 故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|， |AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1，①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得。

2018年高考数学(人教A版文科)3 含解析

课时跟踪检测(三)［高考基础题型得分练］1．[2017·福建福州3月质检］已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0"，则綈p为( )A．∃x0∈R,e x0－x0－1≥0B．∃x0∈R,e x0－x0－1＞0C．∀x∈R，e x－x－1＞0D．∀x∈R，e x－x－1≥0答案：C解析:由题意得，根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R,e x－x－1＞0"，故选C。

2．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为（）A．∃x0≤0，使得(x0＋1）e x0≤1B．∃x0＞0，使得（x0＋1) e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1）e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1）e x≤1答案：B解析：命题p为全称命题，所以綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1) e x0≤1。

3．命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy。

下列命题为假命题的是( )A．p∨q B．p∧qC．q D．綈p答案：B解析：取x＝错误!，y＝错误!，可知命题p不正确；由（x－y) 2≥0恒成立可知，命题q正确,故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q 是假命题．4．［2017·河北唐山一模］命题p：∃x0∈N，x错误!＜x错误!；命题q:∀a∈（0，1)∪(1,＋∞)，函数f(x）＝log a（x－1）的图象过点（2,0),则( )A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真答案:A解析：∵x3＜x2，∴x2(x－1)＜0，∴x＜0或0＜x＜1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵f（x)的图象过点（2，0），∴log a1＝0，对∀a∈（0，1)∪(1，＋∞）的值均成立,命题q为真命题．5．如果命题“p∧q”是假命题，“綈p”也是假命题，则( ) A．命题“(綈p)∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“（綈p）∧q”是真命题D．命题“p∧（綈q)”是假命题答案:A解析：由“綈p”是假命题可得p为真命题．因为“p∧q”是假命题，所以q为假命题，所以命题“(綈p)∨q”是假命题,即A正确；“p∨q"是真命题，即B错误；“(綈p）∧q”是假命题，故C 错误；“p∧(綈q）”是真命题，即D错误．6．［2017·河南商丘模拟］已知命题p：函数y＝a x＋1＋1(a＞0且a≠1）的图象恒过点(－1，2）；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是( ）A．p∧q B．（綈p）∧(綈q)C．（綈p）∧q D．p∧（綈q)答案:D解析:由指数函数恒过点（0,1）知，函数y＝a x＋1＋1是由y＝a x 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y＝a x＋1＋1恒过点（－1，2），故命题p为真命题；命题q：m与β的位置关系也可能是m⊂β，故q是假命题．所以p∧(綈q)为真命题．。

安徽省示范高中(皖江八校)2018届高三第八次(5月)联考数学文试题(精编含解析)

数学(文科)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 (为虚数单位),则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将复数化简成，利用公式计算复数的模.详解：，，故选A.点睛：复数题在高考中属于简单题，多以选择、填空形式出现. 解题时注意，切勿忽略符号导致出错.2. 已知集合,若,则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据已知得，代入求解的值，验证互异性可得.详解：或，解得或，由集合中元素的互异性知，故选B.点睛：本题主要考察集合的交集运算，解题时注意验证集合中元素的互异性.3. 已知函数的图象如图所示,则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据图像分析得，可得结论.详解：由图像可知，，得，故选A.4. 已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由对称性分析可得点在双曲线上，代入求得，计算离心率.详解：由双曲线对称性可知，点在双曲线上，且点一定不再双曲线上，则点在双曲线上，代入可得，则，所以，故选C.点睛：本题解题的关键是能够根据对称性判断出哪三个点在双曲线上，进而求解的值，利用公式求出离心率.5. 已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得.详解：初始化数值执行第一次循环：成立，；执行第二次循环：成立，；执行第三次循环：成立，；判断不成立，输出.故选C.点睛：程序框图问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，解题时只要按照循环结构，注意判断条件的成立与否完成解答即可.6. 已知为圆上的三点，若，圆的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：画出图形，根据向量关系得四边形为菱形，可将问题转化为求的值.详解：如下图所示，由，知四边形是边长为的菱形，且，.点睛：本题主要是根据题设中给出的向量关系，利用将问题转化为求解的值，再根据向量的数量积公式得出结论.7. 2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出他等待“红月亮”不超过30分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，即可得答案.详解：如下图，时间轴点所示，概率为故选A.点睛：本题主要考察“长度型”几何概型问题的概率计算，分别求出构成事件的区域长度及试验的全部构成的区域长度，再利用几何概型的计算公式即可求解.8. 已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据函数为偶函数可得函数关于对称，再结合函数的单调性可得，解得.详解：是偶函数，所以则函数的图像关于对称，由得所以，解得.故选D.点睛：本题解题的关键在于能够根据题意，分析出函数的单调性，画出函数的草图，利用数形结合找到不等关系，解不等式即可.9. 某几何体的三视图如图所示，其中每个单位正方体的边长为，则该几何体的体积A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三视图分析该几何体的结构为一个半圆柱挖去一个三棱锥，计算半圆柱的体积和三棱锥的体积，相减可得该几何体的体积.详解：由三视图可知，该几何体是半圆柱挖去一个三棱锥，其体积为.点睛：本题的核心关键在于弄清楚该几何体的构成，再利用体积公式求解，解题时注意公式要记忆准确，避免“丢三落四”而出错.10. 已知是函数·的一个极小值点，则的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将已知函数化简为，可得函数的周期为，结合极小值点，可得函数的单调递减区间.详解：，由已知是函数过最小值点的对称轴结合图像可知是函数的一个单调增区间，因为，所以是函数的一个单调递增区间，故选A.点睛：设为三角函数的极小值点，为三角函数的最小正周期，则从三角函数的图像可知是函数的一个单调递减区间，是函数的一个单调递增区间.11. 已知圈经过原点且圆心在轴正半轴上，经过点且倾斜角为的直线与圆相切于点，点在轴上的射影为点，设点为圆上的任意一点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题干写出直线方程，再利用直线与圆相切求出圆心坐标为，写出圆的方程，得出点坐标，设，并将圆的方程代入可求得值为.详解：由题可知直线，即，设圆心，则，解得.所以圆的方程为：，将代入圆的方程，可解得，故，设，则，将圆的方程代入得，所以，故选C.点睛：已知直线方程，和圆的方程，且设圆心到直线的距离为，则直线与圆相交；直线与圆相交.12. 设函数 (为自然对数的底数），当时恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：令，则可转化为的恒成立问题，画出函数的草图，利用数形结合可得参数的取值范围.详解：由，得，令，则，令，得或，分别作出的图像，要使的图象在的图象下方，设切点，切线为，即，由切线过得，，解得或或，由图像可知.故选D.点睛：利用导数研究含参变量函数的恒成立问题：（1）其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式，转化成最值问题；（2）恒成立问题的标志关键词：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等；（3）对于“曲线在曲线上方（下方）”类型的恒成立问题,可以转化为（）恒成立.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13. 已知满足条件则点到点的距离的最小值是__________．【答案】【解析】分析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数取得最小值为.详解：作出不等式组所表示的阴影部分，易知点到点的距离的最小值为，又.所以点到点的距离的最小值为.点睛：在解决线性规划问题时，要注意分析目标函数是属于“截距型”、“斜率型”、“距离型”中的哪一种，利用数形结合分析目标函数取得最值时对应的取值14. 已知是长轴长为的椭圆的左右焦点,是椭圆上一点,则面的最大值为__________．【答案】2【解析】分析：根据椭圆的定义可计算出，再根据三角形面积公式，利用均值定理可得的最大值为.详解：，又根据题意，则，所以面积的最大值为,点睛：本题主要考察椭圆的定义及焦点三角形问题，在使用均值定理求最值问题时注意“=”成立的条件.【答案】1【解析】分析：根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.详解：如图，已知（尺），（尺），，∴，解得，因此，解得，故折断后的竹干高为尺.点睛：本题属于解三角形中的简单题型，主要考察解三角形的实际应用问题，关键在于读懂题意，根据题设做出图形.16. 在中,是角所对的边长,若,则__________．【答案】1【解析】分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出的值.详解：由正弦定理得，又由余弦定理知，∴.点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.17. 设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,.(I)求数列和的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则，解得，又，所以…5分（Ⅱ），所以两式作差，整理得：. …10分考点：本小题主要考查等差数列和等比数列中基本量的计算，和错位相减法求数列的前项和，考查学生的运算求解能力.点评：错位相减法是求数列的前项和的重要方法，难在相减后的整理过程容易出错，要仔细整理.18. 某市为制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:百度),将数据按照,,分成组,制成了如图所示的频率分布直方图：(I)求直方图中的值;56789月均用电量百厦（Ⅱ)设该市有100万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于6百度的人数,估计每户居民月均用电量的中位数，说明理由;(Ⅲ)政府计划对月均用电量在4(百度)以下的用户进行奖励,月均用电量在内的用户奖励20元/月,月均用电量在内的用户奖励10元/月,月均用电量在内的用户奖励2元/月.若该市共有400万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）亿元【解析】分析：(1)利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，可求出参数的值；（2）根据频率分布直方图计算出200户居民月均用电量不低于6百度的频率为，则可估计100万户居民中月均用电量不低于6百度的户数为120000，设中位数为，由前4组频率之和为，前5组频率之和为，可知，可继续计算出的值；（3）分别计算出月均用电量在内的用户数，可得出一年的预算.详解：(Ⅰ)（Ⅱ）200户居民月均用电量不低于6百度的频率为，100万户居民中月均用水量不低于6百度的户数有；设中位数是百度，前组的频率之和而前组的频率之和所以，，故.（Ⅲ）该市月均用电量在，，内的用户数分别为，，，所以每月预算为元，故一年预算为万元亿元.点睛：本题主要结合频率直方图考察样本估计总体，以及样本数字特征的计算等知识。

2018届高三二轮复习数学(文)(人教版)高考小题标准练：(一) Word版含解析

高考小题标准练(一)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则ð(MU∪N)=( ) A.{5,7} B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}【解析】选C.因为M={1,3,5,7},N={5,6,7},所以M∪N={1,3,5,6,7},又U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以ð(M∪N)={2,4,8}.U2.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·=2,则z= ( )A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i【解析】选C.设z=a+bi,由z·=2(+i)有= 2,解得a=b=1,所以z=1+i.3.设a=log3,b=,c=log2(log2),则( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b【解析】选D.因为c=log2=-1=log3>log3=a,b>0,所以b>c>a.故选D.4.设数列{a n}的前n项和为S n,若S n+1,S n,S n+2成等差数列,且a2=-2,则a7= ( )A.16B.32C.64D.128【解析】选C.因为若S n+1,S n,S n+2成等差数列,所以由题意得S n+2+S n+1=2S n,得a n+2+a n+1+a n+1=0,即a n+2=-2a n+1,所以{a n}从第二项起是公比为-2的等比数列,所以a7=a2q5=64.5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B,交其准线于点C,若=-2,|AF|=3,则抛物线的方程为( )A.y2=12xB.y2=9xC.y2=6xD.y2=3x【解析】选D.分别过A,B点作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过A作AD⊥x轴.所以|BF|=|BB1|,|AA1|=|AF|.又因为|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BB1|,所以∠CBB1=60°,所以∠AFD=∠CFO=60°,又|AF|=3,所以|FD|=,所以|AA1|=p+=3,所以p=,所以抛物线方程为y2=3x.6.程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的值是( )A.2B.-C.-3D.【解析】选A.由程序框图知:S=2,i=1;S==-3,i=2;S==-,i=3;S==,i=4;S==2,i=5,…,可知S出现的周期为4,当i=2017=4×504+1时,结束循环,输出S,即输出的S=2.7.若函数f(x)=sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈,则x0=( )A. B. C. D.【解析】选A.由题意得=,T=π,ω=2,又2x0+=kπ(k∈Z),x0=-(k∈Z),而x0∈,所以x0=.8.多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形,其正视图和侧视图如图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该多面体的体积是( )世纪金榜导学号46854295A. B. C. D.【解析】选D.将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥,如图所示,因为正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,所以四棱锥底面BCFE 为正方形,S四边形BCFE=2×2=4,四棱锥的高为2,所以V N-BCFE=×4×2=.可将三棱柱补成直三棱柱,则V ADM-EFN=×2×2×2=4,所以多面体的体积为.9.已知函数f(x)=则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( ) A.(2,6) B.(-1,4) C.(1,4) D.(-3,5)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,如图所示,则函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a-4<0,即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4).10.点A,B,C,D均在同一球面上,且AB,AC,AD两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( )世纪金榜导学号46854296A.7πB.14πC.πD.【解析】选B.三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体,它也内接于球,长方体的对角线长为其外接球的直径,所以长方体的对角线长是=,它的外接球半径是,外接球的表面积是4π×=14π.11.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,F1,F2为C的焦点,A为双曲线上一点,若有|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )世纪金榜导学号46854297A. B. C. D.【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,所以b=2a,又|F1A|=2|F2A|,且|F1A|-|F2A|=2a,所以|F2A|=2a,|F1A|=4a,而c2=5a2⇒2c=2a,所以cos∠AF2F1===.12.若曲线y=ln的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+的取值范围是( )世纪金榜导学号46854298 A. B.C. D.【解析】选C.设切点为(x0,y0),则有⇒b=ae-2,因为b>0,所以a>,a+=a+≥2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________. 【解析】因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以λ=.答案:14.已知不等式组所表示的平面区域为D,直线l:y=3x+m 不经过区域D,则实数m的取值范围是________.【解析】由题意作平面区域如图,当直线l过点A(1,0)时,m=-3;当直线l过点B(-1,0)时,m=3;结合图象可知,实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).答案:(-∞,-3)∪(3,+∞)15.为了解某班学生喜爱打乒乓球是否与性别有关,对该班40名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表: 世纪金榜导学号46854299则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打乒乓球与性别有关(请用百分数表示).【解析】K2===10>7.879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打乒乓球与性别有关.答案:0.5%16.设函数f(x)的定义域为D,若∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数:①y=x2;②y=;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x-2-x;⑤y=2sinx-1.其中是“美丽函数”的序号有________.世纪金榜导学号46854300 【解析】由“美丽函数”的定义知,若f(x)为“美丽函数”,则f(x)的值域与-f(x)的值域相同.给出的5个函数中,只有②③④符合.答案:②③④关闭Word文档返回原板块。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)

x
则曲线 y 2ln x 在点 1,0 处的切线的斜率为 k f 1 2 ，则所求切线方程为 y 0 2 x 1 ，即 y 2x 2 ．
4．（2018 全国新课标Ⅱ理）曲线 y 2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
4．【答案】 y 2x
x
,1
1
1,1a
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． ③当 x1 x2 ，即 a 1时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
f x
0
1 a 0 极小值
1 0
1 a
,
Z
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值，即 a 1满足题意．
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ，得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ，
∴
1 x1
1 4
，∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增， (x1, x2 ) 递减， (x2 , ) 递增，
∴ h(x1) kx1
x1
ln x1
a
( 2
1 x1
1) x1
（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；
（2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x)

2018届高三复习数学(文)(人教版)高考大题专攻练：(十)含解析

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高考大题专攻练10.解析几何(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的方程.(2)若P,Q,M,N四点都在椭圆E上,已知与共线,与共线,且·=0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知:e==,由c=1,则a=,b2=a2-c2=1,故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(1,0),且PQ⊥MN,设直线PQ的斜率为k(k≠0),P(x1,y1),Q(x1,y1),则PQ的方程为y=k(x-1),联立整理得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=,x1x2=,则|PQ|=·,于是|PQ|=,同理:|MN|==.则S=|PQ||MN|=,令t=k2+,t≥2,S=|PQ||MN|==2,当k=〒1时,t=2,S=,且S是以t为自变量的增函数,当k=〒1时,四边形PMQN的面积取最小值.当直线PQ的斜率为0或不存在时,四边形PMQN的面积为2.综上:四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆Ω:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为 1. 世纪金榜导学号46854424(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的上顶点为A,点B,C是Ω上的不同于A的两点,且点B,C关于原点对称,直线AB,AC分别交直线l于点E,F.记直线AC与AB的斜率分别为k1,k2.①求证:k1·k2为定值;②求△CEF的面积的最小值.[来源:学§科§网Z§X§X§K]【解题导引】(1)由题知b=1,由=,b=1联立求解即可得出.(2)①方法一:直线AC的方程为y=k1x+1,与椭圆方程联立可得坐标,即可得出.方法二:设B(x0,y0)(y0>0),则+=1,因为点B,C关于原点对称,则C(-x0,-y0),利用斜率计算公式即可得出.②直线AC的方程为y=k1x+1,直线AB的方程为y=k2x+1,不妨设k1>0,则k2<0,令y=2,得E,F,可得△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c).【解析】(1)由题意知b=1,由=,所以a2=2,b2=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2)①方法一:直线AC的方程为y=k1x+1,。

集合的概念课件-2025届高三数学一轮复习

6−x
然数，∴ B =
6
{1，2，3，6}.（集合B的代表元素是 ,注意与A区分）
6−x
例2-5 用描述法表示下列集合：
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
（1）{ ，，，， }；
【解析】可表示为{x|x =
n
，n
n+2
∈ + 且n ≤ 5}．
（2）偶数集；
【解析】可表示为{x|x = 2n，n ∈ }．（奇数集可表示为{x|x = 2n + 1,n ∈ }）
列集合和运算：
①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
②G = {x|x是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③G = {x|x是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中G关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意a,b ∈ G,都有
是( AD
)
A.0 ∈
2
B.
7
∈
C.−3 ∉ Z
D.π ∉ Q
【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有0 ∈ ，故A正确；
2
2
不是整数，即有
7
7
∉ Z，故B错误；
−3是负整数，即有−3 ∈ ，故C错误；
π 是无理数，即有π ∉ Q，故D正确.
例2-4 用列举法表示下列集合：
（1）A = {x ∈
且k + 1 ∉ A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S = {1，2，3，4，5，6，7，8}，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为( D

河北省学2018届高三下学期数学(文)试题)+含答案

2
n(ad bc ) 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
P( K 2 k0 ) k0
19. 如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 平面 AA1C1C ， AA1 AC .过 AA1 的平面交 B1C1 于点 E ，交 BC 于点 F . (I)求证： A1C 平面 ABC1 ； (Ⅱ)求证： AA1 //EF ； (Ⅲ)记四棱锥 B1 AA1 EF 的体积为 V1 ，三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为 V .若
13. 已知向量 a ， | b | 3 ，向量 a 与向量 b 的夹角为 120 ，则 a ( a b) = （1, 3） 14.在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 4 : 6 ，则 cos B ．

.
x y 1 0 15. 已知实数 x ， y 满足 x 2 y 2 0 ，则 z x 2 y 的最小值是 x y 2 0
x y
i 1 i i
m
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在等差数列 an 中，公差 d 4, a2 a5 22 ，记数列 an 的前 n 项和为 S n .
-2-
(Ⅰ)求 S n ； (Ⅱ)设数列
0
S 0, i 1 1 2 S S (1)i 1 i 2 i i 1
是
3 2
C.-1
8. 执行右面的程序框图，则输出的 S 的值是 A. 55 B. 55 C. 110 D. 110

2018届高三二轮复习数学(文)(人教版)高考大题专攻练：(三)Word版含解析

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高考大题专攻练3.数列(A组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.设数列的前n项和为S n,对任意的正整数n,都有a n=5S n+1成立,b n=-1-log2,数列的前n项和为T n,c n=. 世纪金榜导学号46854417[来源:](1)求数列的通项公式与数列前n项和A n.(2)对任意正整数m,k,是否存在数列中的项a n,使得≤32a n成立?若存在,请求出正整数n的取值集合,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为a n=5S n+1,令n=1?a1=-,由得,a n+1=-a n,所以等比数列{a n}的通项公式a n=,b n=-1-log2|a n|=2n-1,==-,所以A n=1-=.(2)存在.因为a n=?S n==-.所以S1=-,S2=-,当n为奇数,S n=-单增,n为偶数,S n=-单减,所以(S n)min=-,(S n)max=-,[来源:学科网ZXXK][来源:学_科_网]设对任意正整数m,k,存在数列{a n}中的项,使得|S m-S k|≤32a n成立, 即(S n)max-(S n)min==≤32a n=32·,解得:n∈{2,4}. 2.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-,其中n∈N*.(1)设b n=,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式a n.(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为b n+1-b n=-=-=-=2,所以数列{b n}是公差为2的等差数列,又b1==2,所以b n=2+(n-1)×2=2n.所以2n=,解得a n=.(2)存在.由(1)可得c n==,所以c n c n+2=×=2,[来源:学科网]所以数列{c n c n+2}的前n项和为T n=2[+++…+(-)+(-)][来源:学§科§网Z§X§X§K]=2<3.要使得T n<对于n∈N*恒成立,只要3≤,即≥3,解得m≥3或m≤-4,而m>0,故m的最小值为 3.关闭Word文档返回原板块。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 D单元数列(文科2012)和答案

D 数列D1 数列的概念与简单表示法14．D1 已知f (x )＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是________．14.135＋326 考查数列的递推关系和函数的综合问题，考查考生的推理能力和转化与方程思想．当n 为奇数时，由递推关系可得，a 3＝1＝1，a 5＝1a 3＝2，依次可推得a 7＝35，a 9＝58，a 11＝813，又a 2010＝a 2012＝11＋a 2010，由此可得出当n 为偶数的时候，所有的偶数项是相等的，即a 2＝…＝a 2010＝a 2012，其值为方程x ＝11＋x ，即x 2＋x －1＝0的根，解得x ＝－1±5，又数列为正数数列，所以a 20＝－1＋5，所以a 20＋a 11＝135＋326.D2 等差数列及等差数列前n 项和19．D2、D4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 19．解：(1)由S n ＝2n 2＋n 得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，当n ＝1时，也符合所以a n＝4n－1，n∈N*，由4n－1＝a n＝4log2b n＋3得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知a n bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2T n－T n＝(4n－1)2n－＝(4n－5)2n＋5，故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.12．B2、D2设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{a n}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝( )A．0 B．7 C．14 D．2112．D 记公差为d，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1＋a2＋…＋a7)－7＝(a4－3d－3)3＋(a4－2d－3)3＋…＋(a4＋2d－3)3＋(a4＋3d－3)3＋7a4－7＝7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7a4－7.由已知，7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7a4－7＝14，即7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7(a4－3)＝0，∴(a4－3)3＋4(a4－3)＝0.因为f(x)＝x3＋4x在R上为增函数，且f(0)＝0，故a4－3＝0，即a4＝3，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×3＝21.21．B12、D2设函数f(x)＝x2＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n}．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .21．解：(1)因为f ′(x )＝12＋cos x ＝0，cos x ＝－12.解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知， x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3.所以sin S n ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数．所以sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－43π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－23π＝3；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝3m －m ∈N *，32，n ＝3m －m ∈N *，0，n ＝3m ()m ∈N *.10．D2 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.10．1 14n ()n ＋1 本题考查等差数列的基础量运算．设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得d ＝a 1＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋n n －2d ＝14n (n ＋1)． 17．D2、D3、K2 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得 S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.20．D2、D3、D5 已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋da 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1.4．D2 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．244．B 本小题主要考查等差数列性质的应用．解题的突破口为正确识记性质，应用性质．由等差数列的性质m ＋n ＝i ＋j ，m ，n ，i ，j ∈N *，则a m ＋a n ＝a i ＋a j ，故而a 4＋a 8＝a 2＋a 10＝16，答案应该选B.20．D2 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .20．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得到⎩⎨⎧5a 1＋－2d ＝105，a 1＋9d ＝a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *.若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1－q m 1－q＝－49m 1－49＝72m －48＝72m ＋1－748.16．D2、D5 已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 16．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．16．D2、D3 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．16．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12.解得a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6.D3 等比数列及等比数列前n项和11．D3首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4＝________.11．15 由等比数列的前n项和公式得S 4＝－241－2＝15.14．D3已知等比数列{a n}为递增数列．若a1>0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的公比q＝________.14．2 本小题主要考查等比数列的概念与性质．解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式，是解决问题的关键．由已知条件{a n}为等比数列，则2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1⇒2(a n＋a n·q2)＝5a n q⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝12或2，又因为{a n}是递增数列，所以q＝2.14．D3等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.14．－2设数列{a n}的公比为q.由S3＋3S2＝0，得4a1＋4a2＋a3＝0，则4a1＋4a1q＋a1q2＝0.显然a1≠0，所以4＋4q＋q2＝0，解得q＝－2.7．D3定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )A．①②B．③④C．①③D．②④7．C不妨设x n ＝a n ，且{a n }是公比为q 的等比数列．对于①，由f (x )＝x 2，得f x n f x n －1 ＝ x 2n x 2n －1 ＝ a 2n a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n －12＝ q 2，所以①符合条件；对于②，由f (x )＝2x ，得f x n f x n －1＝2x n 2x n －1＝2a n 2a n －1＝2a n －a n －1，显然不符合条件；对于③，由f (x )＝|x |，得f x n f x n －1＝|x n ||x n －1|＝|a n ||a n －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n a n －1＝|q |，符合条件；对于④，由f (x )＝ln|x |，得f x n f x n －1＝ln|x n |ln|x n －1|＝ln|a n |ln|a n －1|，显然也不符合条件．故选C.12．D3 若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.12.14 根据等比数列的性质得：a 2a 4＝a 1a 5＝a 23，所以a 1a 23a 5＝12×12＝14. 16．D2、D3 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．16．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12.解得a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．因此k ＝6.7．D3、B11 有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.7.87考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞ (V 1＋V 2＋…＋V n )＝V 11－q ＝11－18＝87.17．C8、D3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .17．解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.20．D2、D3、D5 已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1.5．D3 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．A 设等比数列的公比为q ，则由等比中项的性质，得a 3 · a 11 ＝ a 27 ＝ 16，又因为数列{}a n 各项为正数，所以a 7＝4.所以a 5q 2＝4，即4a 5＝4，解得a 5＝1.13．D3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1，若a 1＝1，且对任意的n ∈N ，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.13．11 设等比数列的公比为q ，则a 1q n ＋1＋a 1q n －2a 1q n －1＝0，∵a 1＝1，q ≠0，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，因此S 5＝1－－51－－＝11.6．D3、E1 已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 26．B 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．对于A 选项，当数列{a n }首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如a n＝(－1)n ，a 1＋a 3＝－2<2a 2＝2，故A 错误；对于B 选项，a 21 ＋ a 23 ≥2|a 1 a 3 | ＝ 2a 22 ，明显成立，故B 正确；对于C 选项，由a 1＝a 3＝a 1q 2只能得出等比数列公比q 2＝1，q ＝±1，当q ＝－1时，a 1≠a 2，故C 错误；对于选项D ，由a 3>a 1可得a 1(q 2－1)>0，而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响，不一定为正，也就得不出a 4>a 2，故D 错误．17．D2、D3、K2 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.20．D3、D5 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．20．解：(1)由题意得a 1＝2000(1＋50%)－d ＝3000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3000－3d )＋2d ＝4000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m－1＝m－2m ＋13m －2m.故该企业每年上缴资金d 的值为m－2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4000万元．D4 数列求和18．D4 若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．10018．C 考查三角函数的周期和数列求和，以及转化和整体思想，此题的关键是把一个周期看成一个整体来求和．函数f (n )＝sin n π7的周期为14，所以S 14＝S 28＝…＝S 98＝0，又S 14＝S 13，…，S 98＝S 97，所以前100项求和中，为正数的有100－14＝86个．11．D4 数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( )A ．1 006B ．2 012C ．503D ．011．A 本题考查数列求和以及三角函数求值、数列的周期性等，突破点是找到该数列的周期性的规律，再求和．a 1＝1cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2， a 3＝3cos 3π2＝0，a 4＝4cos2π＝4； a 5＝5cos 5π2＝0，a 6＝6cos3π＝－6， a 7＝7cos 7π2＝0，a 8＝8cos 8π2＝8.该数列每四项的和为2,2 012 ÷4＝503，所以S 2 012＝2×503＝1 006.6．D4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －16．B 本小题主要考查数列前n 项和S n 与通项a n 的关系，解题的突破口是用a n 表示S n .由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.12．D4、D5 数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 83012．D 令b n ＝a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ，则b n ＋1＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4. 因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，所以a n ＋1＝－(－1)n a n ＋2n －1. 所以a 4n －3＝－a 4n －4＋2(4n －4)－1，a 4n －2＝a 4n －3＋2(4n －3)－1， a 4n －1＝－a 4n －2＋2(4n －2)－1， a 4n ＝a 4n －1＋2(4n －1)－1， a 4n ＋1＝－a 4n ＋2×4n －1， a 4n ＋2＝a 4n ＋1＋2(4n ＋1)－1， a 4n ＋3＝－a 4n ＋2＋2(4n ＋2)－1，a 4n ＋4＝a 4n ＋3＋2(4n ＋3)－1，所以a 4n ＋4＝a 4n ＋3＋2(4n ＋3)－1＝－a 4n ＋2＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝－a 4n ＋1－2(4n ＋1)＋1＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝a 4n －2×4n ＋1－2(4n ＋1)＋1＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝a 4n ＋8，即a 4n ＋4＝a 4n ＋8.同理，a 4n ＋3＝a 4n －1，a 4n ＋2＝a 4n －2＋8，a 4n ＋1＝a 4n －3.所以a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4＝a 4n ＋a 4n －1＋a 4n －2＋a 4n －3＋16. 即b n ＋1＝b n ＋16.故数列{b n }是等差数列．又a 2－a 1＝2×1－1，①a 3＋a 2＝2×2－1，② a 4－a 3＝2×3－1，③②－①得a 3＋a 1＝2；②＋③得a 2＋a 4＝8，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10，即b 1＝10.所以数列{a n }的前60项和即为数列{b n }的前15项和，即S 15＝10×15＋15×142×16＝1830.故选D.20．B3、D4、M4 设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A形如其中－1≤d≤0，求k(A)(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d，c(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d.1因为－1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)．任意改变A数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)．1从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f)＝a＋b－f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.19．D2、D4已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n＋3，n∈N*.(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.19．解：(1)由S n＝2n2＋n得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝4n－1，当n＝1时，也符合所以a n＝4n－1，n∈N*，由4n－1＝a n＝4log2b n＋3得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知a n bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2T n－T n＝(4n－1)2n－＝(4n－5)2n＋5，故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.D5 单元综合20．D5 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？20．解：(1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0，所以a n ＝0(n ≥1)．若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ.综上，当a 1＝0时，a n ＝0；当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n ，由(1)有，b n ＝lg 1002n ＝2－n lg2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg2)． b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg1＝0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项的和最大．20．D5 已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b na n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．20．解：(1)由题设知a n ＋1＝a n ＋b n a 2n ＋b 2n＝1＋b n a n 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1a n ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2. (*)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1.若q >1，则a 1＝a 2q <a 2≤2，故当n >log q 2a 1时，a n ＋1＝a 1q n >2，与(*)矛盾；若0<q <1，则a 1＝a 2q >a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n <1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2.又b n ＋1＝2·b n a n ＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列．若a 1≠2，则2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b na 21＋b 2n 得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2. 17．D5 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .17．解：(1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)，由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n .(2)T n ＝∑ni ＝1ia i ＝∑ni ＝1i ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2nT n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1 ＝(n －1)2n ＋1＋2.19．D5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．19．解：(1)由题意有S 1＝T 1＝2S 1－1. 故a 1＝2a 1－1. 于是a 1＝1. (2)由T n ＝2S n －n 2得T n －1＝2S n －1－(n －1)2，n ≥2.从而S n ＝T n －T n －1＝2a n －(2n －1)，n ≥2. 由于a 1＝S 1＝1，故对一切正整数n 都有S n ＝2a n －(2n －1)，①因此S n －1＝2a n －1－(2n －3)，n ≥2.② ①－②得a n ＝2(a n －a n －1)－2，n ≥2. 于是a n ＝2a n －1＋2，故a n ＋2＝2(a n －1＋2)，n ≥2. ∵a 1＋2＝3，∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝3·2n －1－2.18．D5 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．18．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1， a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.22．B14、E9、J3、D5 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋a n2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(1)用a 和n 表示f (n )；(2)求对所有n 都有f n －1f n ＋1≥nn ＋1成立的a 的最小值；(3)当0<a <1时，比较1f－f＋1f－f＋…＋1f n －f n与6·f －f n ＋f－f的大小，并说明理由．22．解：(1)由已知得，交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a n2，0，对y ＝－x 2＋12a n求导得y ′＝－2x ，则拋物线在点A 处的切线方程为y ＝－2a n⎝⎛⎭⎪⎫x －a n 2，即y ＝－2a n x ＋a n .则f (n )＝a n .(2)由(1)知f (n )＝a n，则f n －1f n ＋1≥nn ＋1成立的充要条件是a n ≥2n ＋1.即知，a n ≥2n ＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝1得到a ≥3.当a ＝3，n ≥1时，a n ＝3n ＝(1＋2)n ＝1＋C 1n ·2＋…≥2n ＋1. 当n ＝0时，a n ＝2n ＋1.故a ＝3时，f n －1f n ＋1≥nn ＋1对所有自然数n 均成立．所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )＝a k . 下面证明：1f－f＋1f－f＋…＋1f n－fn>6·f －f n ＋f－f.首先证明：当0<x <1时，1x －x 2>6x .设函数g (x )＝6x (x 2－x )＋1,0<x <1. 则g ′(x )＝18x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.当0<x <23时，g ′(x )<0；当23<x <1时，g ′(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝19>0.所以，当0<x <1时，g (x )>0，即得1x －x 2>6x .由0<a <1知0<a k<1(k ∈N *)，因此1a k －a2k >6a k ，从而1f －f＋1f－f＋…＋1f n－fn＝1a －a 2＋1a 2－a 4＋…＋1a n －a2n >6(a ＋a 2＋…＋a n) ＝6·a －a n ＋11－a＝6·f －f n ＋f －f.23．D5、M2 对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }； (2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1,2，…，m )，求证：b k ＝a k (k ＝1,2，…，m )；(3)设m ＝100，常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.若a n ＝an 2－(－1)n n ＋2n ，{b n }是{a n }的控制数列，求(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100)．23．解：(1)数列{a n }为：2,3,4,5,1或2,3,4,5,2或2,3,4,5,3或2,3,4,5,4或2,3,4,5,5. (2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}，所以b k ＋1≥b k .因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .(3)对k ＝1,2， (25)a 4k －3＝a (4k －3)2＋(4k －3)； a 4k －2＝a (4k －2)2＋(4k －2)； a 4k －1＝a (4k －1)2－(4k －1)； a 4k ＝a (4k )2－(4k )．比较大小，可得a 4k －2＞a 4k －3.因为12＜a ＜1，所以a 4k －1－a 4k －2＝(a －1)(8k －3)＜0，即a 4k －2＞a 4k －1.a 4k －a 4k －2＝2(2a －1)(4k －1)＞0，即a 4k ＞a 4k －2. 又a 4k ＞a 4k －1.从而b 4k －3＝a 4k －3，b 4k －2＝a 4k －2，b 4k －1＝a 4k －2，b 4k ＝a 4k . 因此(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100)＝(a 2－a 3)＋(a 6－a 7)＋…＋(a 98－a 99)＝∑k ＝125(a 4k －2－a 4k －1)＝(1－a )∑k ＝125(8k －3)＝2525(1－a )．18．D5 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ，由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，① 2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1 ＝－2n1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1，所以，T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ＞2. 16．D2、D5 已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 16．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．12．D4、D5 数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 83012．D 令b n ＝a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ，则b n ＋1＝a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4. 因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，所以a n ＋1＝－(－1)n a n ＋2n －1. 所以a 4n －3＝－a 4n －4＋2(4n －4)－1，a 4n －2＝a 4n －3＋2(4n －3)－1， a 4n －1＝－a 4n －2＋2(4n －2)－1， a 4n ＝a 4n －1＋2(4n －1)－1， a 4n ＋1＝－a 4n ＋2×4n －1，a 4n ＋2＝a 4n ＋1＋2(4n ＋1)－1， a 4n ＋3＝－a 4n ＋2＋2(4n ＋2)－1， a 4n ＋4＝a 4n ＋3＋2(4n ＋3)－1，所以a 4n ＋4＝a 4n ＋3＋2(4n ＋3)－1＝－a 4n ＋2＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝－a 4n ＋1－2(4n ＋1)＋1＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝a 4n －2×4n ＋1－2(4n ＋1)＋1＋2(4n ＋2)－1＋2(4n ＋3)－1 ＝a 4n ＋8，即a 4n ＋4＝a 4n ＋8.同理，a 4n ＋3＝a 4n －1，a 4n ＋2＝a 4n －2＋8，a 4n ＋1＝a 4n －3.所以a 4n ＋1＋a 4n ＋2＋a 4n ＋3＋a 4n ＋4＝a 4n ＋a 4n －1＋a 4n －2＋a 4n －3＋16. 即b n ＋1＝b n ＋16.故数列{b n }是等差数列．又a 2－a 1＝2×1－1，①a 3＋a 2＝2×2－1，② a 4－a 3＝2×3－1，③②－①得a 3＋a 1＝2；②＋③得a 2＋a 4＝8，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10，即b 1＝10.所以数列{a n }的前60项和即为数列{b n }的前15项和，即S 15＝10×15＋15×142×16＝1830.故选D.20．D2、D3、D5 已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1.20．D3、D5 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．20．解：(1)由题意得a 1＝2000(1＋50%)－d ＝3000－d ， a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d .a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d . (2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3000－3d )＋2d ＝4000. 解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝m －2m ＋13m －2m . 故该企业每年上缴资金d 的值为m －2m ＋13m －2m 时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4000万元．。

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