2021-2022年高中数学 1.1.1变化率问题教案新人教A版选修2-2

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高中数学选修2-2人教A教案导学案1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3．则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

新课标人教A版高中数学选修2-2课程纲要

高中数学选修2-2课程纲要课程名称：高中数学选修2-2 课程类型：理科选修教学材料：人民教育出版社高中数学选修2-2授课时间：30—40课时授课教师：高二理科数学组授课对象：郑州市第二中学高二（1）~（10）班课程目标：1．导数及其应用（1）主要内容：导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数；两个函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数及基本导数公式。

利用导数研究函数的单调性和极值。

函数的最大值和最小值。

微积分建立的时代背景和历史意义。

（2）教学目标○1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

○2熟记基本导数公式（c，x a（a为有理数），sinx, cosx……lnx,的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

○3会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

○4通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想。

2．推理和证明⑴合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

⑵直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点。

数学文化①通过介绍“四色问题”和吴文俊在计算机自动推理领域作出的贡献，体会计算机在数学证明中的作用。

人教版高中数学选修2-2：1.1.1变化率问题讲案(教师用)

课题： 1.1.1 变化率问题【学习目标】(1)了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(2)知道函数的瞬时变化率的概念．(3)掌握与理解导数的定义和物理意义第一环节：导入学习1 函数的平均变化率 Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1注意：①平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx ，式子中Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，而Δy 的值可以为零，若函数f (x )为常数函数，此时Δy ＝0.②平均变化率的几何意义是函数曲线上两点割线的斜率，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝k AB ，其中点A (x 1，f (x 1))，点B (x 2，f (x 2))，如图.2 求函数f (x )的平均变化率的步骤(1)求函数增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1) (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 13 平均速度重点1 理解函数的平均变化率的概念和几何意义．重点2 会求函数的平均变化率．重点3 求物体运动的平均速度的步骤：(1)求位移增量Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )；(2)求平均速度v ＝Δs Δt ；(3)求错误!未指定书签。

ΔsΔt＝错误!未指定书签。

s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt；错误!未指定书签。

.第二环节：自主学习1(1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2②1③0.1④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝（Δx ）2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，Δy Δx＝Δx ＋2＝4；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝3；③当Δx ＝0.1时，Δy Δx ＝Δx ＋2＝2.1；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10 请计算：解二深入学习3两工厂经过治理，污水的排放量(W )与时间(t )的关系如图2所示，试指出哪一个厂治污效果较好？图2【分析】比较相同时间Δt 内，两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果．【解】在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但W 1（t 0－Δt ）－W 1（t 0）Δt ≥W 2（t 0－Δt ）－W 2（t 0）Δt，所以说，在单位时间里，工厂甲比工厂乙的平均治污率大，因此工厂甲比工厂乙略好一筹．第三环节：互助学习第四环节：展示学习第五环节：精讲学习求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.( 3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 100.52:t t v ≤≤≤≤和1时的平均速度00.5(0.5)(0)4.05(/)0.502(2)(1)8.2(/)21t h h v m s t h h v m s ≤≤-==-≤≤-==--在这段时间里，在1这段时间里，1.△x 是一个整体符号，而不是△与x 相乘；式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但△x 值不能为0，△y 的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式x x f x x f ∆-∆+=)()(111212)()(x x x f x f x y --=∆∆。

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A版2-2第一章-

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A 版2-2(配套备课资源)第一章11．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t2，则在一小段时刻[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f(x)可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx 等于 ( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3)4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．485．函数y ＝3x2在x ＝1处的导数为 ( )A ．12B ．6C ．3D ．26．甲、乙两厂污水的排放量W 与时刻t 的关系如图所示，治污成效较好的是( ) A ．甲 B ．乙C ．相同D ．不确定 7．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．二、能力提升 8．过曲线y ＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9．函数f(x)＝1x2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝__________. 10．求函数y ＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．11．求函数y ＝f(x)＝2x2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f(x)＝ax2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时刻单位：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t2＋2 t ≥3 ①29＋3t －32 0≤t<3 ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B7．－98．2.19．－210．解因为Δy ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx)2，因此函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2Δx 2Δx ＝－8－2Δx.11．解 Δy ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx 2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16.12．解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c －a －c＝a(Δx)2＋2a Δx.∴f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a)＝2，即2a ＝2，∴a ＝1.13．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时刻变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt ＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数

f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率气球半径的平均变化率可以刻画气球半径变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22

度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章

2021-2022年高中数学 1.1.1变化率问题教案新人教A版选修2-2(1)

2021年高中数学 1.1.1变化率问题教案新人教A 版选修2-2(1)教学目标1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么分析: ，⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设, (这里看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+代替x 2,同样)3．则平均变化率为xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率表示什么?直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=的图象上的一点及临近一点,则．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求在附近的平均变化率。

高中数学人教A版选修-学案第一章

Δs
Δt
∴在 t＝2 时，瞬时速度为 △li mx－0 Δt ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数 f(x)＝Error!求 f′(4)·f′(－1)的值．
1
1
解：当 x＝4 时，Δy＝－
＋ 4＋Δx
4
1 ＝2－
1
4＋Δx－2 ＝
4＋Δx 2 4＋Δx
＝ 2
4＋Δx
Δx 4＋Δx＋2
.
7
Δy
②lim ΔΔyt＝lim[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t12＝48，
故函数 y＝t3＋3 在 t1＝4 处的导数是 48，
即 y′|t1＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量ΔΔyy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率Δx＝f
x0＋Δx －f Δx
x0
；
(3)求极限 lim ΔΔxy.
2．瞬时变化率的变形形式
f x0＋Δx －f x0
lim
Δx
f x0－Δx －f x0
＝lim
－Δx
f x0＋nΔx －f x0
＝lim
nΔx
f x0＋Δx －f x0－Δx
＝lim
2Δx
＝f′(x0)．
[活学活用]
求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解
：因为
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
Δs 3Δt－ Δt
＝ Δt
Δt
2
＝3－Δt，lim
Δs＝lim Δt
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为 3.

人教A版高中数学选修2-2课件变化率问题.pptx

观察：某城市3月18日——4月20日的温度T（ ℃）相对于
时间t（天）的变化情况，用曲线图表示为：
T (℃)
C (34, 33.4)
30
思考
2（0 注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
02
10
B (32, 18.6)
20
30 34t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？温度快慢的变化情况怎么刻画？
h
65 计算运动员在0 t 这段时间
49
里的平均速度, 并思考下面的问题o :
t
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗?
四．课堂小结
三个实际变化率问题
函数的平均变化率
代数表示
意义（实际、
几何）
思想方法
从特殊到一般
平均速度
瞬时速度
如何求瞬时速度，课下你怎么去做？
空白演示
在此输入您的封面副标题
引言
我们这一章研究的内容是导数及其应用，导数研究的问题就是变化率问题，即研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢情况．
在我们的日常生活中丰富多彩的变化率问题是随处可见的，我们就从现实中的三个问题出发, 开始变化率与导数学习!
1.1.1 变化率问题
问题一温度变化率问题
相对于水面的高度h与起跳后的时间t
存在的函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
实践操作
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算
在0 t 0.5这段时间里, v h 0.5 h 0 4.05m / s
0.5 0
在1 t 2这段时间里,

2018-2019学年人教A版选修2-2 1.1.1变化率问题教案

教学设计1．1变化率与导数1．1.1变化率问题整体设计教材分析本节的主要知识内容是平均变化率，在众多变化率问题中，教材选择了气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题，把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率，并在此基础上推广到更大范围的函数变化率．这两个实例的共同特点是背景简单，对学生来说，一个是生活经验，一个是非常熟悉的物理知识．这样设计既可以引起学生的学习兴趣，又可以减少因背景内容的复杂而形成对数学知识的干扰．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念．2．过程与方法目标通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：函数的变化率、平均变化率．难点：通过大量的实例，使学生学会用数学的度量来描述平均变化率．教具准备10只气球多媒体视频文件教学过程引入新课引例1.姚明身高变化曲线图(横轴为年龄，纵轴为身高)．从图中，你能看出姚明在哪个年龄段身高变化最快吗？引例2.将班内学生平均分成10组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：(1)气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？(2)你认为膨胀速度与哪些量有关系？(3)球的体积公式是什么？有哪些基本量？(4)结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：对第一个问题学生会很感兴趣，部分姚明的球迷更是热情高涨，很快就说出在13岁至16岁期间身高增长最快；对第二个问题学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：哪一组同学能按顺序回答引例2的四个问题？学情预测：学生能够感知气球膨胀速度的问题，但未必能从体积和半径两个量的关系上说清楚．教师提示：由球的体积公式V(r)＝43πr 3可得，r(V)＝33V 4π.随着球内气体体积的增加，球半径也在增加．学情预测：经过提示和讨论后，学生能比较准确地叙述气球膨胀率了．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和用数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师．提出问题：问题1：当气球内空气的体积从0增加到1 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题2：当气球内空气的体积从1 L 增加到2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题3：当气球内空气的体积从V 1 L 增加到V 2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.活动设计：学生先独立思考，独立运算，再小组讨论决定答案(对于膨胀率的理解可以从单位上看出)．活动成果：问题1：r(1)－r(0)≈0.62(dm)；r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．问题2：r(2)－r(1)≈0.16(dm)；r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．问题3：r(V 2)－r(V 1)；r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1. 提出问题：(观看多媒体视频：高台跳水)人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态，那么，问题1：运动员在0≤t ≤0.5这段时间里的平均速度是多少？问题2：运动员在0≤t ≤1这段时间里的平均速度是多少？在1≤t ≤2这段时间里的平均速度是多少？在2≤t ≤3这段时间里的平均速度是多少？问题3：运动员在0≤t ≤6549这段时间里的平均速度是多少？运动员在这段时间里是静止的吗？问题4：你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确合理吗？活动设计：观看视频，展示问题，对比前面的问题，先独立思考，再交流探索．活动成果：问题1：v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)．问题2：v ＝h (1)－h (0)1－0＝1.6(m/s)；v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)；v ＝h (3)－h (2)3－2＝－18(m/s)．问题3：∵h(6549)＝10＝h(0)，∴v ＝0.但是，这段时间运动员不是静止的．问题4：通过以上计算可以发现，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，不能更精确地刻画运动员在某一时刻的运动状态．说明：像平均膨胀率、平均速度一样，平均变化率是一个比值，是一个平均值．理解新知提出问题：根据你对前面两个问题的理解，试回答以下问题：问题1：已知函数f(x)＝x ＋1，求x 取从1到2时的平均变化率．问题2：已知函数f(x)＝1x，求x 取从1到2时的平均变化率．问题3：已知函数f(x)＝lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率．问题4：已知函数f(x)＝sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率．通过这四个问题，分析它们的平均变化率不同的原因．活动设计：找四名同学在黑板上解答，其他同学独立解答，教师巡视，了解学情，待黑板上学生做完后，再由学生点评、更正，最后教师总结．活动成果：问题1：f (2)－f (1)2－1＝1；问题2：f (2)－f (1)2－1＝－12；问题3：f (2)－f (1)2－1＝ln2；问题4：f (2)－f (1)2－1＝sin2－sin1. 不同的函数反映曲线的变化规律不同，它们的平均变化率也不同．对于任意函数f(x)，从x 1到x 2的平均变化率可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1；用Δy 表示y 2－y 1，即Δy ＝y 2－y 1.于是，平均变化率可以表示为Δy Δx. 如下图所示：思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？结论：结合图象，联系到解析几何中斜率的概念，可以看出，平均变化率实际上就是一个斜率表达式．设计意图通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，为进一步加深理解变化率与导数做好铺垫．运用新知例1已知某质点运动规律满足s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中相应的平均速度为…( )A ．6＋ΔtB ．3＋ΔtC ．9＋ΔtD ．6＋Δt ＋1Δt思路分析：平均速度是指Δs Δt ，即(3＋Δt )2＋3－32－3Δt. 解：因为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝32＋6Δt ＋Δt 2＋3－32－3Δt＝6＋Δt ，所以答案选A.点评：平均速度是变化率的一种情况，要恰当地进行解析式的恒等变形．例2过曲线f(x)＝x 3上两点P(1,1)、Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求当Δx ＝0.1时割线的斜率．思路分析：两点连线的斜率公式为y 2－y 1x 2－x 1，即(1＋Δy )－1(1＋Δx )－1＝Δy Δx. 解：因为Δy ＝(1＋Δx)3－1＝1＋3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3－1＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3，所以Δy Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2.当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝3＋3×0.1＋0.12＝3.31. 巩固练习1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于…( )A ．8πRΔRB ．8πRΔR ＋4π(ΔR)2C ．4πRΔR ＋4π(ΔR)2D ．4π(ΔR)23．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f(x)在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．答案：1.C 2.B 3.17.5变练演编变式1：求函数f(x)＝x 2在x ＝x 0附近的平均变化率．变式2：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，求物体在t ＝4附近的平均速度．变式3：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，在时间段(t ，t ＋3)内的平均速度为20，试确定t 的值．变式4：已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图象上的一点A(－1，－2)，以及临近一点B(－1＋Δx ，－2＋Δy)，则AB 两点连线的斜率是多少？当Δx ＝0.1时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.01时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.001时，求AB 的斜率；试结合图形，分析这些结论．答案：变式1.2x 0＋Δx ；变式2.25＋3Δt ；变式3.53；变式4.3－Δx ；2.9；2.99；2.999；随着Δx 取值的变小，直线AB 的斜率逐渐稳定在3.0附近．达标检测1．在平均变化率的定义中，自变量的增量是( )A ．Δx>0B ．Δx<0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx等于 ( ) A ．4 B ．4＋2ΔxC ．4＋ΔxD ．4Δx ＋(Δx)23．某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，求当日12时30分时两车之间的距离对时间的变化率．答案：1.D 2.B 3.100 km/h. 课堂小结阅读教材，通过对所讲内容的梳理，总结知识和方法如下：1．平均变化率的概念．2．函数在某点附近的平均变化率．3．通过对现实生活中的实例分析，了解变化率的实质．布置作业课本习题1.1A1；补充练习1～3.补充练习1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0)2．一质点运动的方程为s ＝1－2t 2，则在一段时间[1,2]内的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－63．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？答案：1.D 2.D3．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大．设计说明本节课是导数概念的起始课，主要介绍变化率、平均变化率的概念，内容比较简单．但是要想从源头上说明导数的意义，必须重视本节课的教学．高中阶段的导数知识来源于生活，所以我们从生活中比较常见的变化率实例入手，采取观察、演示、相互交流等手段，培养学生接受新知识、认识新事物的能力．所选择的实例经过分析、变式以后，逐步推广到一般情况，于是，问题进入到研究函数平均变化率问题上来．随后我们从数、式、图三个方面分别做了练习，这时对变化率的理解基本达到了教材引出导数概念的要求．对于知识的形成过程，我们希望不急于引出概念，而是用形象直观的“逼近”方法定义变化率、平均变化率以及导数的概念．同时，对于学生的自主学习培养，也要提供丰富的素材和广阔的空间．备课资料微积分成为一门学科是在17世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也很典型的极限概念．到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求和问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献，他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的．微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．。

最新人教版高中数学选修2-2第一章《变化率问题》示范教案

模块纵览课标要求1．知识与技能通过大量生活实例和数学实例，了解导数、定积分的概念，了解合情推理的含义、直接证明和间接证明的基本方法，以及数系的扩充过程和复数的概念．能利用有关公式和法则解决函数单调性、函数极值和最值问题，能解决简单的数学推理和证明问题，能进行简单的复数运算．2．过程与方法通过大量的实例，让学生去体会导数、定积分等概念的形成过程，体会类比推理和归纳推理的思维方法．经历、体验和实践探索过程，让学生明白过程的重要性，培养学生在过程中学习知识、领会知识的习惯．3．情感、态度与价值观兴趣是最好的老师，带着发现问题、解决问题的积极性去学习本模块知识，在大量的实际问题和数学实例中去研究探索、归纳总结，可以培养学生锲而不舍、勇于挑战自我的学习习惯和敢于质疑、敢于批判的学习精神．内容概述在本模块中，我们将学习导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入三章内容．微积分的创立、发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为今后学习微积分打下基础．通过对本模块知识的学习，学生将体会导数的思想及其丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理包括合情推理和演绎推理，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养；演绎推理则是根据已有的事实和结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成．证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，本模块将学习直接证明和间接证明的几种常用方法．复数的引入是数系扩充和数学发展的必然需要．在本模块的学习中，学生将通过问题背景了解数系的扩充过程，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用．教学建议本模块的教学是在学生已有学习知识和基础上对数学知识和方法的扩充和完善，所以教学中一定要注意以下几个问题：首先，无论是导数、定积分、复数的概念，还是推理与证明的几种思想方法，都是通过对大量生产生活实际和数学问题的分析探索、研究、归纳得出的．因此，不能通过简单的记忆和大量的训练来要求学生掌握，要防止仅仅作为一些规则和步骤来学习，防止片面追求对概念的抽象表述．应当引导学生去直观理解，去探索、猜测一些数学结论，应当重视过程教学，培养学生带着兴趣学习、带着问题探究的学习态度．其次，鉴于本模块知识是对必修内容的发展和完善，综合性强，应用性强，教学中要帮助学生建立科学合理的知识体系，让学生在感受知识的发展过程中体会它们的作用．对于导数知识和推理与证明方法，要体现它们的工具作用，要实事求是、循序渐进，切不可盲目追求技巧，盲目拔高要求．第一章导数及其应用本章概览教材分析微积分的创立是数学史上的里程碑，它的发展及应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段．导数和定积分是微积分的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛应用．为了描述现实世界中运动、变化的现象，在数学中引入了函数，刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念，随着对函数研究的不断深入，产生了微积分，它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创举．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度．反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等．几百年来，科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰．终于，在17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索和研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具．定积分也是微积分的核心概念之一，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所作的功等都可以归结为定积分问题．本章在教材处理时，将利用丰富的背景与大量实例来学习导数和定积分的基本概念与思想方法；通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，通过应用定积分解决一些简单的几何问题和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题和实际问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会导数与定积分之间的联系．本章内容是研究函数的有力工具，是对学生进行思维训练的良好素材．导数在处理单调性、最值等问题时，能降低思维难度、简化思维过程，其地位由解决问题的辅助工具上升为解决问题的有力工具，是中学数学中联系多个章节内容的重要知识交汇点．课标要求(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景．②理解导数的几何意义．(2)导数的运算①能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(3)导数在研究函数中的应用①了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(4)生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．(5)定积分与微积分基本定理①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．②了解微积分基本定理的含义．教学建议导数有着丰富的实际背景和广泛应用，教学时可以从生活现象的数学解释作为切入点，注重思想方法的渗透，同时还要注重从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解导数的思想与内涵．对于公式和法则的记忆和应用，要准确规范，适量的练习对于熟悉公式和法则是必要的．导数在研究函数问题中的应用，可以采用数形结合的教学思想，结合必修课程中的有关内容，采取循序渐进的方式完成．导数与定积分来源于生活，最终还要服务于生活，它的优越性、简洁性要有所体现．教学中要充分调动学生的学习自主性和积极性，使学生在学习知识的过程中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦感．课时分配本章教学时间大约需要23课时，具体分配如下(仅供参考)：1．1变化率与导数1．1.1变化率问题整体设计教材分析本节的主要知识内容是平均变化率，在众多变化率问题中，教材选择了气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题，把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率，并在此基础上推广到更大范围的函数变化率．这两个实例的共同特点是背景简单，对学生来说，一个是生活经验，一个是非常熟悉的物理知识．这样设计既可以引起学生的学习兴趣，又可以减少因背景内容的复杂而形成对数学知识的干扰．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念．2．过程与方法目标通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：函数的变化率、平均变化率．难点：通过大量的实例，使学生学会用数学的度量来描述平均变化率．教具准备10只气球多媒体视频文件教学过程引入新课引例1.姚明身高变化曲线图(横轴为年龄，纵轴为身高)．从图中，你能看出姚明在哪个年龄段身高变化最快吗？引例2.将班内学生平均分成10组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：(1)气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？(2)你认为膨胀速度与哪些量有关系？(3)球的体积公式是什么？有哪些基本量？(4)结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：对第一个问题学生会很感兴趣，部分姚明的球迷更是热情高涨，很快就说出在13岁至16岁期间身高增长最快；对第二个问题学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：哪一组同学能按顺序回答引例2的四个问题？学情预测：学生能够感知气球膨胀速度的问题，但未必能从体积和半径两个量的关系上说清楚．教师提示：由球的体积公式V(r)＝43πr 3可得，r(V)＝33V 4π.随着球内气体体积的增加，球半径也在增加．学情预测：经过提示和讨论后，学生能比较准确地叙述气球膨胀率了．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和用数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师．提出问题：问题1：当气球内空气的体积从0增加到1 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题2：当气球内空气的体积从1 L 增加到2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题3：当气球内空气的体积从V 1 L 增加到V 2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.活动设计：学生先独立思考，独立运算，再小组讨论决定答案(对于膨胀率的理解可以从单位上看出)．活动成果：问题1：r(1)－r(0)≈0.62(dm)；r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．问题2：r(2)－r(1)≈0.16(dm)；r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．问题3：r(V 2)－r(V 1)；r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1. 提出问题：(观看多媒体视频：高台跳水)人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态，那么，问题1：运动员在0≤t ≤0.5这段时间里的平均速度是多少？问题2：运动员在0≤t ≤1这段时间里的平均速度是多少？在1≤t ≤2这段时间里的平均速度是多少？在2≤t ≤3这段时间里的平均速度是多少？问题3：运动员在0≤t ≤6549这段时间里的平均速度是多少？运动员在这段时间里是静止的吗？问题4：你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确合理吗？活动设计：观看视频，展示问题，对比前面的问题，先独立思考，再交流探索．活动成果：问题1：v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)．问题2：v ＝h (1)－h (0)1－0＝1.6(m/s)；v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)；v ＝h (3)－h (2)3－2＝－18(m/s)．问题3：∵h(6549)＝10＝h(0)，∴v ＝0.但是，这段时间运动员不是静止的．问题4：通过以上计算可以发现，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，不能更精确地刻画运动员在某一时刻的运动状态．说明：像平均膨胀率、平均速度一样，平均变化率是一个比值，是一个平均值．理解新知提出问题：根据你对前面两个问题的理解，试回答以下问题：问题1：已知函数f(x)＝x ＋1，求x 取从1到2时的平均变化率．问题2：已知函数f(x)＝1x，求x 取从1到2时的平均变化率．问题3：已知函数f(x)＝lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率．问题4：已知函数f(x)＝sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率．通过这四个问题，分析它们的平均变化率不同的原因．活动设计：找四名同学在黑板上解答，其他同学独立解答，教师巡视，了解学情，待黑板上学生做完后，再由学生点评、更正，最后教师总结．活动成果：问题1：f (2)－f (1)2－1＝1；问题2：f (2)－f (1)2－1＝－12；问题3：f (2)－f (1)2－1＝ln2；问题4：f (2)－f (1)2－1＝sin2－sin1. 不同的函数反映曲线的变化规律不同，它们的平均变化率也不同．对于任意函数f(x)，从x 1到x 2的平均变化率可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1；用Δy 表示y 2－y 1，即Δy ＝y 2－y 1.于是，平均变化率可以表示为Δy Δx. 如下图所示：思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？结论：结合图象，联系到解析几何中斜率的概念，可以看出，平均变化率实际上就是一个斜率表达式．设计意图通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，为进一步加深理解变化率与导数做好铺垫．运用新知例1已知某质点运动规律满足s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中相应的平均速度为…( )A ．6＋ΔtB ．3＋ΔtC ．9＋ΔtD ．6＋Δt ＋1Δt思路分析：平均速度是指Δs Δt ，即(3＋Δt )2＋3－32－3Δt.解：因为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝32＋6Δt ＋Δt 2＋3－32－3Δt＝6＋Δt ，所以答案选A.点评：平均速度是变化率的一种情况，要恰当地进行解析式的恒等变形．例2过曲线f(x)＝x 3上两点P(1,1)、Q(1＋Δx ,1＋Δy )作曲线的割线，求当Δx ＝0.1时割线的斜率．思路分析：两点连线的斜率公式为y 2－y 1x 2－x 1，即(1＋Δy )－1(1＋Δx )－1＝Δy Δx. 解：因为Δy ＝(1＋Δx )3－1＝1＋3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3－1＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3，所以Δy Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2.当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝3＋3×0.1＋0.12＝3.31. 巩固练习1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于…( )A ．8πRΔRB ．8πRΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πRΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )23．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f(x)在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．答案：1.C 2.B 3.17.5变练演编变式1：求函数f(x)＝x 2在x ＝x 0附近的平均变化率．变式2：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，求物体在t ＝4附近的平均速度．变式3：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，在时间段(t ，t ＋3)内的平均速度为20，试确定t 的值．变式4：已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图象上的一点A(－1，－2)，以及临近一点B(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则AB 两点连线的斜率是多少？当Δx ＝0.1时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.01时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.001时，求AB 的斜率；试结合图形，分析这些结论．答案：变式1.2x 0＋Δx ；变式2.25＋3Δt ；变式3.53；变式4.3－Δx ；2.9；2.99；2.999；随着Δx 取值的变小，直线AB 的斜率逐渐稳定在3.0附近．达标检测1．在平均变化率的定义中，自变量的增量是( )A ．Δx>0B ．Δx<0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ,1＋Δy )，则Δy Δx 等于 ( ) A ．4 B ．4＋2ΔxC ．4＋ΔxD ．4Δx ＋(Δx )23．某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，求当日12时30分时两车之间的距离对时间的变化率．答案：1.D 2.B 3.100 km/h.课堂小结阅读教材，通过对所讲内容的梳理，总结知识和方法如下：1．平均变化率的概念．2．函数在某点附近的平均变化率．3．通过对现实生活中的实例分析，了解变化率的实质．布置作业课本习题1.1A1；补充练习1～3.补充练习1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx )B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx )－f(x 0)2．一质点运动的方程为s ＝1－2t 2，则在一段时间[1,2]内的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－63．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？答案：1.D 2.D3．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大．设计说明本节课是导数概念的起始课，主要介绍变化率、平均变化率的概念，内容比较简单．但是要想从源头上说明导数的意义，必须重视本节课的教学．高中阶段的导数知识来源于生活，所以我们从生活中比较常见的变化率实例入手，采取观察、演示、相互交流等手段，培养学生接受新知识、认识新事物的能力．所选择的实例经过分析、变式以后，逐步推广到一般情况，于是，问题进入到研究函数平均变化率问题上来．随后我们从数、式、图三个方面分别做了练习，这时对变化率的理解基本达到了教材引出导数概念的要求．对于知识的形成过程，我们希望不急于引出概念，而是用形象直观的“逼近”方法定义变化率、平均变化率以及导数的概念．同时，对于学生的自主学习培养，也要提供丰富的素材和广阔的空间．备课资料微积分成为一门学科是在17世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也很典型的极限概念．到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求和问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献，他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的．微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．(设计者：张春生)。

高中数学 1.1.1-1.1.2变化率问题导数的概念教案新人教A版选修2-2

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念教学建议1.教材分析第一小节主要内容是平均变化率,是在气球膨胀率问题和高台跳水问题的基础上,归纳它们的共同特征,定义了一般的平均变化率,第二小节主要是利用极限的思想给出了导数的定义.重点是使学生知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.难点是体会由平均变化率研究瞬时变化率的过程中采用的逼近方法,从而理解导数的概念.2.主要问题及教学建议(1)气球膨胀率问题和高台跳水问题.建议教师借助这两个生活中的例子引导学生体会平均膨胀率和平均速度,为学习平均变化率做好铺垫.(2)平均速度与瞬时速度的关系.建议教师通过物体的运动说明平均速度是物体在一段时间内的速度,刻画了物体在该段时间运动的快慢,而瞬时速度是物体在某一瞬间的速度,刻画了物体在该时刻运动的快慢.(3)瞬时变化率与导数.建议教师多选配一些变化率问题,利用丰富的实例让学生辨别它们的共同特征,认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率,逐步建立起导数的概念.备选习题1.若函数f(x) =-x2+x在[2,2+Δx]上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围.解:因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为:===-3-Δx,所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).2.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人距路灯射影点C的距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯射影点C后,在0 s到10 s内身影的平均变化率.解:(1)如图所示,人从点C运动到B处的距离为x m,AB为身影的长度,AB的长度为y m,由于CD∥BE,则,即,所以y=x.(2)84 m/min=1.4 m/s,当从0 s到10 s时,身影长度增加了×1.4×10-×1.4×0=(m),身影的平均变化率为(m/s),即人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率为 m/s.3.求函数y=-在点x=4处的导数.解:∵Δy=-==.∴.∴=.∴y'|x=4=.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)

必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。

人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 1-1 变化率问题

【问题展示合作探究】
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思是：随着气球体积的增大，当气球体积_____________时，相应半径的_______越来越小.
________________________________________________________
探究任务二：
例1已知f(x)=2x2+1
(1)求:其从x1到x2的平均变化率；
(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1,Δx= 时的平均变化率。
探究任务三：函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么？
结论：连接函数图象上对应两点的割线的_________
【达标训练巩固提升】
1. 在内的平均变化率为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
A． B．
C． D．
3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）
A． B．
C． D．
4.已知，从到的1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
学习过程：
【学情调查情境导入】
球的体积公式：V球=____________
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
5、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。