行星分度凸轮机构凸轮-针轮副的输出转角误差计算

3 凸轮—针轮副输出转角误差的计算
x, y, Rz , e, rz 的各项随机误差均为尺寸加工误差，可按服从正态分布考虑，若它们的标准
偏差分别为 σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 ，则合成后的凸轮—针轮副输出转角误差 ∆θ g 的标准偏差 σ g 为：
σ g = ( K xσ 1 ) 2 + ( K yσ 2 ) 2 + ( K R σ 3 ) 2 + ( K eσ 4 ) 2 + ( K r σ 5 ) 2
Hale Waihona Puke 以设计参数如表 1 所示的机构为例， 可得各齿分度期各几何尺寸参数误差影响系数如图 2 所示。
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3
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摘要： 本文用微分法推导了行星分度凸轮机构凸轮—针轮副的各几何参数对输出转角误差的影响系数， 并分析了各几何参数对输出误差的影响，提出了对凸轮廓线从提高精度角度考虑进行修形。 关键词：间歇机构；分度凸轮机构；误差；微分法 中图分类号：TH112.2 文献标识码：A
1 引言
行星分度凸轮机构是一种创新机构，该机构具有分度数大、结构紧凑（输入输出同轴） 、 体积小、重量轻、同时啮合滚子数多、承载能力大等特点，在要求大分度、大承载、小体积 的轻工自动机械中有广阔的应用前景。 行星分度凸轮机构各构件间的几何和运动参数关系复杂， 很难直接导出输出角位移与运 动参数及结构尺寸参数间的关系表达式。 本文结合凸轮廓线的方程表达式， 采用微分法计算 该机构凸轮—针轮副的输出转角误差与构件几何尺寸误差之间的关系。
2
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其中： ∆x ——凸轮廓线上点 x 坐标的加工误差； ∆y ——凸轮廓线上点 y 坐标的加工误差； ∆Rz ——针齿分布圆半径误差；
T ——以无因次时间表示的机构间歇运动周期，可根据动静比 d 确定，即 T =
t ——无因次时间，当 t ∈ [0,1] 为分度期， t ∈ (1, T ] 为停歇期。
， ， ，
2π (i − 1) ； z
d +1 ； d
根据对摆线针轮减速机传动误差的分析 [4 6 7 8 ] ，在行星分度凸轮机构中 , 几何参数 x, y, Rz , e, rz 是影响其传动误差的主要因素，在此只考虑此五个几何参数对其分度精度的影 响。 对式（1）进行全微分得：
参
考
文
献
[1] 王皓，张策，杨玉虎．行星分度凸轮机构凸轮理论廓线的几何性质[J]．机械设计，2002，1 [2] 张策，杨玉虎等．平面行星分度凸轮机构[J]．机械科学与技术，1996，15（6） ：871-873 [3] 叶琪根等．机构精确度[M]．西北电讯工程学院出版社，1986 [4] 饶振刚．行星传动机构设计[M]．国防工业出版社，1994 [5] 杨玉虎，陆锡年等．弧面凸轮分度机构的精度分析与设计[J]．天津大学学报，1996，29（2） [6] 姚文席．摆线针轮行星传动机构的传动误差分析[J]．北京机械工业学院学报，1998，13（1） [7] 李宝田，李印玺．摆线针轮减速机传动误差的初步探讨[J]．齿轮，1991，15（4） [8] 吴永宽，郑剑云等．摆线针轮行星传动的几何回差分析计算[J]．大连铁道学院学报，1999，20（2） [9] 葛正浩，贺炜等．平面凸轮机构精度分析的统一随机模型[J]．机械传动，2000，24（3） [10] 杨芙莲，葛正浩，彭国勋．分度凸轮机构的精度分析与综合[J] ．机械科学与技术，2000，19（1）
CALCULATION OF OUTPUT ERROR OF PLANETARY INDEXING CAM MECHANISMS
Liu Mingtao Zhang Ce Yang Yuhu (School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin, 300072)
z
（7）
仍采用上一算例，取各几何参数极限偏差均为 ±0.001 mm，并对误差影响系数较大处的 凸轮廓线进行了修形，可得一个分度期凸轮—针轮副修形前后输出转角误差曲线如图 3 所 示。
a 修形前 图 3 凸轮—针轮副输出转角误差图
b 修形后
从图中可以看出，由于该算例分度数为 12，而且凸轮廓线关于 y 轴对称，所以在分度 期间凸轮—针轮副输出转角误差曲线也是对称分布的。 对于分度凸轮机构， 最关心的应是分度精度， 即机构完成一个分度后从动件在停留位置
∆e ——偏心距误差； ∆rz ——针齿半径误差。
在机构完成一个分度周期中， 对各个轮齿分别进行分析， 此处所讨论的轮齿是广义上的 齿，即各个针齿完成一次分度停歇所接触的凸轮廓线段，如图 1 所示，轮齿 1 即为 1 号针齿 完成一次分度停歇所接触的凸轮廓线段。
表 1 机构设计参数表 参数名称 分度数 n 针齿分布圆半径 Rz（mm） 变位系数 K1 针齿系数 Kz 动静比 d 从动件运动规律 分度角（°） 参数值 12 100 1.2 0.6 1/1.2 修正正弦（MS） 30
a 修形前 图 4 同时啮合针齿数图
b 修形后
图 4 所示为凸轮分度期各时刻修形前与修形后同时参与啮合的针齿数，由图中可以看 出，凸轮修形前和修形后的最小同时啮合针齿数仅从 8 减少到 6，因此，对凸轮做适当修形 并不会对啮合过程产生很大影响。
4 结论
（1）行星分度凸轮机构各几何参数对凸轮—针轮副输出转角误差都有一定的影响，在 设计时应加以考虑； （2）各参数的最大误差影响系数发生在分度期间，可对凸轮廓线采用局部修形法消除 该段廓线的影响； （3）分度期结束时的误差影响系数决定机构的分度精度，应根据该位置的误差影响系 数确定机构各参数的极限偏差。
K e = −(
∂f1 ) ∂θ g ∂f 2 ) ∂θ g
∂f1 ∂f1 ∂f 2 ∂f 2 / / )/2 + ∂Rz ∂θ g ∂Rz ∂θ g
∂f1 ∂f1 ∂f 2 ∂f 2 / + / )/2 ∂e ∂θ g ∂e ∂θ g
K rz = −(
∂f1 ∂f1 ∂f 2 ∂f 2 / / )/2 + ∂rz ∂θ g ∂rz ∂θ g
2 凸轮—针轮副误差影响系数的计算
行星分度凸轮机构的传动原理及廓线方程的推导可参见文献[1，2 ]，图 1 所示为 12 分 度机构凸轮—针轮副的啮合关系。
y 5 6 7 4 3 2 针齿 凸轮
1
x
8 9 10
图1
12
11
凸轮—针轮副的啮合关系图
凸轮廓线方程可用下式表示：
x(t ) = f1 ( Rz ,α i ,θ g ,θ H , e, rz ) y (t ) = f 2 ( Rz , α i ,θ g ,θ H , e, rz )
δ4
K4
) 2 + ( K rz
δ5
K5
)2
（6）
式中 K 为凸轮—针轮副输出转角误差 ∆θ g 的置信系数。 取约定置信概率为 P = 0.9973 ，置信系数为 K = K i = 3 ,可得：
δ g = ± ( K xδ1 ) 2 + ( K yδ 2 ) 2 + ( K Rz δ 3 ) 2 + ( K eδ 4 ) 2 + ( K r δ 5 ) 2
R z ——针齿分布圆半径； n ——针轮上针齿的个数即机构的分度数； e ——偏心距；
rz——针齿半径；
α i ——各针齿的位置角， 各针齿的序号 i 以逆时针方向为正向， 第 1 号针齿位于坐标轴
x 右半轴上， α i =
θ H (t ) ——转臂 H 的转角，表征机构的输入，按匀速运动规律变化； θ g (t ) ——凸轮的转角，表征机构的输出，按间歇运动规律变化；
（2）
以各几何尺寸参数误差的有限增量代替无穷小量，并整理得：
∂f1 ∂f1 ∆θ g = (1/ ∂θ )∆x + (− ∂R g z ∂ ∂ f f ∆θ = (1/ 2 )∆y + (− 2 g ∂θ g ∂Rz / / ∂f1 ∂f ∂f ∂f ∂f )∆Rz + (− 1 / 1 )∆e + (− 1 / 1 )∆rz ∂θ g ∂e ∂θ g ∂rz ∂θ g ∂f 2 ∂f ∂f ∂f ∂f )∆Rz + (− 2 / 2 )∆e + (− 2 / 2 )∆rz ∂θ g ∂e ∂θ g ∂rz ∂θ g
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行星分度凸轮机构凸轮—针轮副的输出转角误差计算
刘明涛 张策 （天津大学机械工程学院 杨玉虎 天津 300072）
t ∈ [0, T ] , i = 1,2,..., n
（1）
式中：
1
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x——凸轮廓线上点的 x 坐标； y——凸轮廓线上点的 y 坐标；
z z
（5）
各参数误差的极限偏差可以表示为：
δ i = ± K iσ i
式中 K i 为各误差分量对应的置信系数。 则合成后的凸轮—针轮副输出转角误差 ∆θ g 的极限偏差为：
δ g = ± Kσ g
= ± K (K x
δ1
K1
)2 + ( K y
δ2
K2
) 2 + ( K Rz
δ3
K3
)2 + ( K e
5
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的定位精度， 那么就应考虑机构完成一个分度时的输出误差， 则上算例凸轮—针轮副输出转 角误差的极限偏差修形前为 ±36.5′′ ，修形后为 ±4′′ 。
4
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齿脱离接触，但在分度期结束时又参与接触，而第 10、11 齿仅在分度期间参与啮合。 （3）第 1 齿凸轮转角 5º和第 6 齿 25º附近, 各误差影响系数值较大，此处廓线位于该两 齿与 x 轴交点附近。 对于分度期中存在较大误差影响系数的轮齿， 可以考虑对该处附近凸轮廓线进行局部修 形，使其不参与啮合，从而可以避免因该区间过大的误差影响系数而产生高制造精度要求。 而此机构为多齿啮合，适当修形不会对啮合过程产生影响。 （4）由于此机构是多齿啮合，所以在分度期的不同时刻输出转角误差应是该时刻各齿 输出转角误差的最大值。
dx = dy = ∂f1 ∂f ∂f ∂f ⋅ dRz + 1 ⋅ dθ g + 1 ⋅ de + 1 ⋅ drz ∂Rz ∂θ g ∂e ∂rz ∂f 2 ∂f ∂f ∂f ⋅ dRz + 2 ⋅ dθ g + 2 ⋅ de + 2 ⋅ drz ∂Rz ∂θ g ∂e ∂rz
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tooth11 图2 各齿分度期的误差影响系数图
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从图中可以看出： （1）此五个几何参数对机构输出精度的影响均较大，均不能忽略。 （2）第 1~7 齿在分度期开始和结束时均参与啮合，第 8、9、12 齿在分度期开始时与针
z z
（3）
两式相加后整理，并定义 x, y, Rz , e, rz 的各误差影响系数为 K x , K y , K R , K e , K r ， （3）式可表示 为：
∆θ g = K x ∆x + K y ∆y + K Rz ∆Rz + K e ∆e + K rz ∆rz
（4）
式中：
K x = 1/(2 K y = 1/(2 K Rz = − (