北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第三章 章末综合检测三 含解析

章末综合检测(三)[学生用书P123(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数f (x )＝1
3
，则f ′(x )等于( ) A ．－33
B ．0
C ．
3
3
D ．3
解析：选B ．因为f (x )＝
13，所以f ′(x )＝(1
3
)′＝0． 2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )
A ．(6＋Δt )m/s
B ．⎝⎛⎭
⎫6＋Δt ＋9
Δt m/s
C ．(3＋Δt )m/s
D ．⎝⎛⎭
⎫9
Δt ＋Δt m/s
解析：选A ．平均速度为
Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt ＝(6＋Δt )m/s ． 3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0
f （1）－f （1－x ）
2x
＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，
f (1))处的切线斜率为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
解析：选D ．k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）
－x
＝2lim x →0
f （1）－f （1－x ）
2x ＝－2．
4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2 D ．f (x )＝x －1
解析：选A ．利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)． 5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－1
2，则切点的横坐标为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．12
解析：选B ．设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， 因为y ′＝12x －3
x
，
所以k ＝12x 0－3x 0＝－1
2，所以x 0＝2．
6．已知y ＝2x 3＋3
x ＋cos x ，则y ′等于( )
A ．6x 2＋x －
2
3－sin x
B ．6x 2＋x －
2
3＋sin x
C ．6x 2＋
13
x －2
3＋sin x D ．6x 2＋
13
x －2
3－sin x 解析：选D ．y ′＝(2x 3)′＋(x 13
)′＋(cos x )′
＝6x 2＋13
x －
23－sin x ．
7．已知函数y ＝f (x )满足f (1)＝2，f ′(1)＝－1，则曲线g (x )＝e x f (x )在x ＝1处的切线斜率是( )
A ．－e
B ．e
C ．2e
D ．3e
解析：选B ．g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )， g ′(1)＝e f (1)＋e f ′(1)＝e.故选B ．
8．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭
⎫0，π
2上不是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝－x 3＋2x －1
D ．f (x )＝x e x 解析：选D ．对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数；
对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1
x 2＜0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上是凸函数； 对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x (2＋x )＞0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上不是凸函数，选D ．
9．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 ( )
A ．(4，＋∞)
B ．(－∞，4)
C ．(10，＋∞)
D ．(－∞，10)
解析：选D ．在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2
，所以y ′＝4x ，
所以y ＝2x 2在
D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2
x 0
＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以
k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a
＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．
10．设a ＞0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦
⎤0，π
4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦
⎤0，1
a B ．⎣⎡⎦⎤0，1
2a C ．⎣⎡⎦
⎤0，⎪⎪⎪⎪b 2a D ．⎣
⎡⎦⎤0，⎪⎪
⎪⎪b －12a
解析：选B ．因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π
4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝x 0－⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝x 0＋b
2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，所以x 0∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－b 2a ，1－b 2a .所以d ＝x 0
＋b 2a ∈⎣⎡⎦⎤0，12a ． 11．已知f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1＝f ′n (x )，则f 2 016⎝⎛⎭⎫
π3＝( ) A ．－
3
2
B ．
32
C ．－12
D ．12
解析：选B ．由已知可得f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′
＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，可得f i (x )＝f i ＋4(x )，i ＝0，1，2，3，….所以f 2 016⎝⎛⎭⎫π3＝f 0
⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32
．
12．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞a ＞c
解析：选B ．g ′(x )＝2，h ′(x )＝1
x ，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x
＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x ，在同一坐标系中画出函数y ＝ln x ，y ＝1
x 的图
像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x 3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．
解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝1
2．
答案：12
14．设f (x )＝e x ＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．
解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0．
答案：2x －y ＋1＝0
15．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．
解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1．
答案：(－∞，1)
16．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．
解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 20
)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－1
2
，解得x 0＝－
14，y 0＝1
16
，故所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，116． 答案：⎝⎛⎭
⎫－14，1
16 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．
解：设被扰动水面面积为S ，时间为t (t ≥0)， 所以S ＝πR 2＝π(4t )2＝16πt 2， 所以S ′＝(16πt 2)′＝32πt ，
所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π． 18．(本小题满分12分)求下列函数的导数． (1)f (x )＝ln(8x )； (2)y ＝x 3sin x 2cos x
2；
(3)y ＝x 5＋x ＋sin x
x 2．
解：(1)f (x )＝3ln 2＋ln x ， f ′(x )＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1
x ．
(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝1
2x 3sin x ，
y ′＝12(x 3sin x )′＝1
2(3x 2sin x ＋x 3cos x )
＝32x 2sin x ＋1
2x 3cos x ． (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2
＝x 3＋x －
3
2＋x －2sin x ，
所以
y ′＝(x 3)′＋(x －
3
2)′＋(x －2sin x )′
＝3x 2－
32
x －5
2－2x －3sin x ＋x －2cos x ． 19．(本小题满分12分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4．
(1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；
(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．
解：(1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，
y ＝－12x ＋8，
得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，
即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝2
3，x 3＝1．
所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝⎛⎭⎫
23，0． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1
x ，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2．
所以切线方程是y ＝－2．
(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1
x ，
即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）
x
，
当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2(x －a )．
(1)当x ∈(0，1)时，函数f (x )的图像上任意一点处的切线斜率为k ，若k ≥－1，求实数a 的取值范围；
(2)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )过点Q (－1，f (－1))的切线方程． 解：(1)f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ，
由题意，可知3x 2－2ax ≥－1在x ∈(0，1)时恒成立， 即a ≤3x 2＋12x ＝3x 2＋1
2x 在x ∈(0，1)时恒成立，
由于3x 2＋1
2x ≥2
3x 2·12x ＝3，当且仅当3x 2＝12x
， 即x ＝
3
3
时取等号，故a ≤ 3，
即实数a 的取值范围为(－∞，3]．
(2)易知f (x )＝x 3＋2x 2，f (－1)＝1，f ′(x )＝3x 2＋4x ，Q (－1，1)在曲线y ＝f (x )上． 若Q (－1，1)为切点，设切线的斜率为k 1，则k 1＝f ′(－1)＝－1，此时切线方程为x ＋y ＝0．
若Q (－1，1)不是切点，则设切点为P (x 0，y 0)，切线的斜率为k 2，则x 0≠－1， k 2＝f ′(x 0)＝3x 20＋4x 0＝
y 0－1
x 0－（－1）＝x 30＋2x 2
0－1x 0＋1
，
变形得(3x 20＋4x 0)(x 0＋1)＝x 30＋2x 2
0－1，
即(x 0＋1)2(2x 0＋1)＝0， 又x 0≠－1，解得x 0＝－12，
故P ⎝⎛⎭⎫－12，38， k 2＝f ′⎝⎛⎭⎫－12＝－54
， 故切线方程为5x ＋4y ＋1＝0．
综上，所求切线方程为x ＋y ＝0或5x ＋4y ＋1＝0．
22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝13x 3－a
2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，
f (0))处的切线方程为y ＝1．
(1)确定b ，c 的值；
(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．
解：(1)由f (x )＝13x 3－a
2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b ．
又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0． 故b ＝0，c ＝1．
(2)证明：f (x )＝13x 3－a
2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x
－t )，而点(0，2)在切线上，
所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a
2
t 2＋1＝0，
即t 满足的方程为23t 3－a
2t 2＋1＝0．
下面用反证法证明：
假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：
⎩⎨⎧23x 31－a 2x 2
1
＋1＝0，①23x 32
－a 2x 22
＋1＝0，②x 21
－ax 1
＝x 22
－ax 2
.③
由③，得x 1＋x 2＝a ．
由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 2
2＝34a 2.④ 又
x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2
＝
⎝⎛⎭⎫x 1－a 22
＋34a 2≥34
a 2，
故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a
2与x 1≠x 2矛盾，
所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。