必修二球的内切和外接例题讲解共46页

合集下载

立体几何中球的内切和外接问题完美版

S
A.
B.
C.1
D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，
且
，，
解：
且
，
，
因为所以
所以知所以可得图形为：
，
，
,
,求球的体积。
P
在
中斜边为
在
中斜边为
B
取斜边的中点，在
中
在
中
所以在几何体中
则这个球的表面积是（）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为（）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD 2, BD CD ，
将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD，使平面 A' BD 平面 BCD，
∴S 表=S 侧+S 底=9

立体几何中球的内切和外接问题完美版

性质
内切球的球心位于旋转体的轴线上，且球的半径等于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内切球常用于研究旋转体的体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体外侧，且球的半径等于旋转体轴线到旋转体外侧的垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外接球常用于研究旋转体的空间位置和关系。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
目录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与多面体的每个顶点都相切，且外接球的直径等于多面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、物理和工程领域中，外接球的概念被广泛应用于研究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题

第八章微专题1 与球有关的内切、外接问题课件高中数学新人教A版必修第二册

球面上，则此球的体积为___3__.
解析设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示. ∴由球的截面的性质，可得OO1⊥平面ABCD. 又SO1⊥平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上. ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
四、确定球心位置法
例4 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝ 51， 500π
AC＝10，则球O的体积为____3___.
解析 AB⊥BC 且 PA＝7，PB＝5，PC＝ 51，AC＝10，因为 72＋( 51)2＝102，所以知AC2＝PA2＋PC2，所以PA⊥PC，如图所示，在Rt△ABC中斜边为AC，在Rt△PAC中斜边为AC，取斜边的中点O，
(2)已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝ 2 ， BC＝ 3，则球O的体积等于__7_6_7_π__.
解析因为DA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以DA，AB，BC两两垂直，构造如图所示的长方体，又因为 DA＝AB＝ 2，BC＝ 3，所以 CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出 CD＝ 7. 故球 O 的体积等于767π.
二、构造法(补形法)
1.构造正方体
例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
√A.3π
B.4π
C. 3 3π
D.6π
解析联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为 1，体对角线为 3，从而外接球的直径也为 3，所以此球的表面积为3π.

立体几何中球内切和外接问题(完美版)

则这个球的表面积是（）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（）
S
A.
B.
C.1
D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，
4
内切球半径：r 6 a
12
结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 r 1(为h 正四面体的高)，且外接球的半径．R 3r
4
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
C 求正多面体外接球的半径
A B
O D
C
求正方体外接球的半径
4
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
例 4、（2014）已知三棱柱若该棱柱的体积为
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

必修二球的内切和外接例题讲解

例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O
C1 设为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E
3 a
6
S表
3 2
a2
例、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
1
O •θ
3
3
tan 1 cos 2 sin
3
3 2
B
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
A
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为。求棱锥
的全面积和它的内切球的表面积。
A 解法1 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) ：在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高

球的内切与外接问题讲课

综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等，且每条边与内切圆相切。由此可推导出内切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造一个包含该正四面体的正方体来求解。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的正方体，则该正方体的体对角线长等于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。

球的外接内切问题课件-高三数学二轮专题复习

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，
外接球的半径为Ra，2＋则b2＋2Rc2＝
.
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
球与棱柱的组合体问题例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
1.正方体的内切球、棱切球、外接球
设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
径分别为:
1 2
a、 3 2
a、 2 2
a.
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为: 6 a、 2 a、 6 a. 12 4 4
圆锥的内切球圆锥的外接球
课时小结:
解决与球有关的内切与外接问题的
关键是：
通过寻找恰当的过球心的截面, 把立体问题转化为平面问题, 通过解三角形求出球的半径R.
30
探究二：若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球

微专题-与球有关的内切、外接问题--高一数学-(-必修第二册)

(2)三棱锥 A－BCD，侧棱长为 2 5，底面是边长为 2 3的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为____6__π__.
解析如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2，AD＝2 5， ∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52， ∴V 球＝43πR3＝1265π.
解析如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的
中点，
∵底面边长为2，
∴DE＝ 3，OD＝233，OE＝ 33，
∴AE＝ AO2＋OE2＝
1＋
332＝23 3，
S△ABC＝12×2×233＝233，S△BCD＝ 3，
S 表＝3S△ABC＋S△BCD＝2 3＋ 3＝3 3，
a 切球半径为__2__.
解析设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，即 2R＝ 3a,2r＝a，
∴R＝ 23a，r＝a2.
(2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为3，则这个
反思感悟
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R，则有 2R＝ a2＋b2＋c2.
三、寻求轴截面圆半径法
例 3 (1)正四棱锥 S－ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S，A，B， 4π

必修二：球的内切和外接例题讲解共46页

谢谢！
必修二：球的内切和外接例题讲解
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。

•
8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚的工人总是说工具不好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿

立体几何中球内切和外接问题(完美版)

例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
解法2：设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
1 3
2
V A BCD

3
2 4
6
1
O
D
1
3 r S全 3 2 2 3 r
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为。求棱锥的全面
积和它的内切球的表面积。
A
解法1：过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O
FD
B
O1
E
C 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
A. 6 B. 2
C. 3
D．2
一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内．接．于．
半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（）
A． 2 3 3
B． 3 3
C． 3 3 2
D． 6 3
正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）， P 为正方体表面上
27
B． 6
2
C． 6
8
D． 6
24
4
举一反三-突破提升
已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．36

球的内切与外接问题讲课

2
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是求长方体的外接球的体积。 2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
正方体的内切球
中截面

正方体的内切球的半径是棱长的一半
正方体的外接球
D
A D1 A1 B1 O B
C
对角面

A
C
C1
A1
O
C1
正方体的外接球半径是体对角线的一半
正方体的棱切球
D A B
C
正方体的棱切球
中截面
O D1 C1

.
A1
正方体的棱切球半径是面对角线长的一半
B1
球与正方体的“接切”问题
、 5、1 ， 3
A O C P B
【典例】(2012·新课标全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边
长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，
则此棱锥的体积为( A ) (A)
2 6
(B)3 6(C)2 3(D)2 2
2.(2013·昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为 1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于( B ) (A) 2 2 (C)π (B) 3 (D)2π
二、球与多面体的接、切
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

必修二球的内切和外接例题讲解共46页

立体几何中球的内切和外接问题完美版

立体几何中球的内切和外接问题完美版

第八章 微专题1 与球有关的内切、外接问题 课件 高中数学新人教A版必修第二册

立体几何中球内切和外接问题(完美版)

必修二球的内切和外接例题讲解

球的内切与外接问题讲课

球的外接内切问题课件-高三数学二轮专题复习

微专题-与球有关的内切、外接问题--高一数学-(-必修第二册)

必修二：球的内切和外接 例题讲解共46页

立体几何中球内切和外接问题(完美版)

球的内切与外接问题讲课

第八章微专题1 与球有关的内切、外接问题课件高中数学新人教A版必修第二册

必修二：球的内切和外接例题讲解共46页