梅州市2008年高三第一次质检(文数)

2008年梅州市第一次质检数学试题（2008.3）
数学（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分50分。

考试时间120分钟。

参考公式：柱体体积：V Sh =,其中S 为柱体底面面积，h 为柱体的高。

注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填在答题卡上，用2B 铅笔将答题卡试卷类型填涂在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把题卡上对应题目的答案标号图黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选图其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题制定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（共50分）
一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）
1.设集合{1,2,3,4,5},{1,2},{2,3,4}U A B ===，则=⋃)(B A C U
A }2{
B {5}
C {1,2,3,4}
D {1,3,4}
2.已知复数
1
12z i =
+，则z 等于
A 12
33i -+
B 1233i --
C 1255i -
D
12
55i + 3.已知命题:1p x <；命题
2
:20q x x +-<不等式成立，则命题p 是命题q 成立的 A 充要条件 B 充分而不必要条件
C 必要而不充分条件
D 既不充分也不必要条件
4.已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 和b ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆一定是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形 5.已知直线a b 、和平面M N 、，则下列命题正确的是
A //,////a b a M b M 若则
B //,a b a M b M ⊥⊥若则
C ,,a b a M b N M N ⊥⊂⊂⊥若则
D //,//,////a b a M b N M N 若则
6.函数2x y =与2x
y -=-的图像
A 关于直线y x =轴对称
B 关于x 轴对称
C 关于
y
轴对称
D 关于原点对称
7. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是
A.
17
16
B.
15
16
C.
7
8
D.0
8. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按下列方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒但小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒但小于15秒；第三组，成绩大于等于15秒但小于16秒；第四组，成绩大于等于16秒但小于17秒；第五组，成绩大于等于17秒但小于18秒；第六组，成绩大于等于18秒但小于等于19秒。

右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩大于等于15秒且小于16秒的频率为x ，成绩大于等于14秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图可分析出x 和y 分别为 A 45,46.0 B 44,45.0
C 44,36.0
D 35,35.0
9. 2008年3月1日开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过2000元的免征个人工资、薪金所得税，超过2000元部分需征税．设全月总收入金额为x 元，前三级税率如下左表所示：当工资薪金所得不超过4000元，计算个人所得税的一个算法框图如右图. 则输出①、输出②分别为
A 0.05;0.1x x
B 0.05;0.15250x x -
C 0.05100;0.1200;x x --
D 0.05100;
0.1225x x --
10.设集合}{
(,),x y x y R Ω=∈，规定：(1)(0,0);0=当且仅当12,12x x y y ==时,11(,)x y 22(,)x y =.在Ω上定
义运算""
⊗:1122(,)(,)x y x y ⊗1212x x y y +.且R
λ∈时,(,)(,)x y x y λλλ=.设,,a b c ∈Ω,有下列四个命题:
级数 全月应纳税金额2000x - 税率 1 不超过500元的部分 5% 2 超过500至2000的元部分 10% 3 超过2000至5000的元部分
15% …… ……
……
开始
结束
输入x
输出0
输出①
输出②
0<x ≤2000
2000<x ≤2500
2500<x ≤4000
N
N
N
Y
Y
Y
频率组距
秒
130
1415
161718
19
0.02
0.040.060.18
0.34
①;a b b a ⊗=⊗②()();a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗③若0a b ⊗=则,a b 中至少有一个为0;④若
0,,a a b a c ≠⊗=⊗则.b c =其中真命题个数为
A.1个
B.2个 C3个 . D.4个 第II 卷（非选择题共100分）
二 填空题（本题有四小题，每小题5分，共20分；其中14~15题时选做题，考生只能选做一题，两题全做的，只记算第一题得分。

把答案填写在答题卷相应题号的位置上。

） 11.已知函数⎩⎨
⎧≤>=)
0(3
)
0(log )(2x x x x f x
，那么)]4
1([f f 的值为
12.设{}{}1,2,3,2,4,6,a b ∈∈则函数1
log b
a
y x
=是增函数的概率为_____________ 13.已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆
)(2
1
c b a r ++=
；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积 =-BCD A V
请从下面两题中选做一题，如果两题都做，以第一题的得分为最后得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线
的极坐标方程为c o s 2s i n 7ρθρθ-+=,则圆心到直线距离
为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，
则
=+AD
FG
BC EF ． 三 解答题（共80分）
16.（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，)2
1
,23(=b ， 函数1)(+⋅=b a x f 。

( I )求函数)(x f 的值域; ( II )求函数)(x f 的单调增区间.
(III)当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3
π
α+
的值.
17（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -
中，
_ B 1 _ C 1
_ A 1
_ A
8AB =，6AC =， 90=∠BAC ，D 是BC 边的中点，
直线1AC 与底面ABC 所成的角为
60. ( I )求直三棱柱111ABC A B C -的体积； ( II )求证：1AC ∥ 面1AB D .
18.（本题满分12分）某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。

先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料。

若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元。

那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？ 19.（本题满分14分）已知圆C 方程为：224x y +=.
( I )直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程; ( II )过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，动点M 满足：
OQ OM ON =+
.问是否存在两个定点,使得Q 到这两点的距离之和为定值?若存在,求出这
两点的坐标及此定值;若不存在,说明理由.
20.（本题满分14分）已知R a ∈，))(2()(2a x x x f --=.
( I )求()f x 的导函数)('
x f ;
( II )若0)1('
=f ，求)(x f 在]2,1[-上的最大值和最小值;
(III)若5
,2
a <求证:当 (,2)(2,)x ∈-∞-+∞和时，(f x ）都是单调增函数. 21.（本题满分14分）已知函数)(x f 满足：对任意的0,≠∈x R x ，恒有x x
f =)1
(成立，
数列
}{}{n n b a 、满足1,111==b a ，且对任意+∈N n ，均有
.1
,2)()(11n
n n n n n n a b b a f a f a a =-+=
++
( I )求函数)(x f 的解析式; ( II )求数列}{}{n n b a 、的通项公式;
(III)对于]1,0[∈λ，是否存在+∈N k ，使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由.
2008年梅州市第一次质检数学参考答案
一 选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
C
C
A
B
D
B
C
D
A
二 填空题（每小题5分，共20分） 11.
19 12.13 13.)1
(3
ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++ 14.
85
5
15. 1 三 解答题（共80分）
16.解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 3131(
,)1cos sin 12222
x x +=++------2分 2sin()13
x π
=++----------------------------------------------------4分
( I )函数)(x f 的值域是[]0,2；------------------------------------------6分 ( II )令ππ
π
ππ
k x k 22
3
22
+≤
+
≤+-
，解得52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+ 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66
k k k Z ππ
ππ-++∈.-----------------8分 (III).由9
()sin()1,35
f παα=++=得4sin()35πα+=,
因为2,63ππα<<
所以,23ππαπ<+<得3
cos()35
πα+=-,-----------------------10分
所以2sin(2+
)sin 2()33
ππ
αα=+ 43
2sin()cos()23355
π
παα=++=-⨯⨯ 24
25
=-
--------------------------12分 17.解：( I ) 三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱
ABC A A 底面⊥∴1,CA A 1∠就是直线1
AC 与底面ABC 所成的角为
60-------2分
6AC =，
3660tan 1=⋅=∴ AC A A ----------------------4分
2226,8,10,,90AC AB BC BC AC AB BAC ===∴=+∴∠= ,
E
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
∴三棱柱111ABC A B C -的体积314436862
1
=⨯⨯⨯=V ----------------7分
( II )连结DE ,因为E 是矩形对角线的交点
11ABB A ，所以 E 是的中点B A 1，---------------------------------------------------9分
又D 是BC 边的中点，故DE 是C BA 1∆的
中位线. C A DE 1//∴-------------------------------------------------------11分 ,又111,DE DAB AC DAB ⊂⊄面面,11//DAB C A 面∴.------------------------14分 18. 解：设y x 、分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z
y x y x y x y x ,00
661518104----4分 再设分别生产甲、乙两种肥料各y x 、车皮产生
的利润为)2(5000500010000
y x y x z +=+=--5分 由⎩⎨
⎧=+=+66
151810
4y x y x 得两直线的交点)2,2(M ---7分
令y x t +=2，当直线L ：t x y +-=2经过点)2,2(M 时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时
30000=z ---------------11分
故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大 为30000元.---------12分
19. ( I )当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()
3
,1和()
3,1-，其距离为32 ， 满足题意------------------------2分 当直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1
|2|12
++-=
k k -----------------------------------4分
（图2分）
x
y
M
3
4
k =
，故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x ---------------------6分 ( II )设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,
则N 点坐标是()0,0x
∵OQ OM ON =+ ，
∴),2(),(00y x y x = 即2
0x x =
，y y =0 ----------------------9分
又∵420
20
=+y x ，∴2
24(0)4x y y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是
22
1(0)164
x y y +=≠ 轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴端点的椭圆-------------------------11分 根据椭圆的定义知, Q 到两个定点12(23,0),(23,0)F F -的距离之和为定值8.--12分 20.解：( I )
2
23)(22)(2
'
23--=∴+--=ax x x f a x ax x x f --------------------------------------2分
( II )由0)1('
=f ，得21=
a ，则)2
1)(2()(2--=x x x f ，'2
()32f x x x =-- (1)(32)x x =-+.令0)('=x f ，解得1=x 或3
2
-=x .------------------------4分
当x 在区间]2,1[-上变化时，y y ,'
的变化情况如下表：
x 1-
)3
2,1(--
32-
)1,3
2(- 1 )2,1(
2 'y
＋
－
＋
y
23 极大值
极小值 3
又2749)32(=-f ，2
1)1(-=f ------------------------------------------------6分
所以
)(x f 在区间]2,1[-的最大值为3)2(=f ，最小值为
2
1
)1(-=f --------------------8分
(III)证明:2
2
216()3223(),33
a f x x ax x a +'=--=--
-------------10分
55<,1,11,2363
a a
a <<∴-<<
(,2)(2,),x ∴∈-∞-∞当和时min
min ()(2)()(2)f x f f x f ''==-或--------------12分 555
,(2)4()0,(2)4()0.222
a f a f a ''<∴=->-=+>
()(,2)(2,)f x x ∴∈-∞-∞在和 上都是增函数--------------------------14分
21. 解：( I )由x x f =)1
(易得)0(,1
)(≠=x x
x f ------------------------------2分 ( II )由2)()(1+=
+n n n n a f a f a a 得21)(2111+=+=+n
n n n n a a f a a a ，所以21
11=-+n n a a .
所以数列}1
{
n
a 是以1为首项，2为公差的等差数列 所以
12)1(211
-=-+=n n a n
，得+∈-=
N n n a n ,121.----------------------5分 因为.121
1-==-+n a b b n
n n 所以
113)52()32()()()(112211+++⋅⋅⋅+-+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n b b b b b b b b n n n n n
2212
)
22)(1(2+-=+--=
n n n n .------------------------------------8分
(III)对于]1,0[∈λ时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，等价于]1,0[∈λ时，
⋅-≥+-)1(222λn n
)12(-n 恒成立，等价于]1,0[∈λ时，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立，
设
34)12()(2≥+-+-=n n n g λλ，对于
]
1,0[∈λ，
034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立，-------------------------------------10分
则有⎩
⎨⎧≥≥,0)1(,0)0(g g 解得3≥n 或1≤n ---------------------------------------13分
由此可见存在+∈N k 使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，其最小值为3.
----------------------------------------------------------------------14分。