初二数学期末专题复习之代数部分——分式方程与不等式(学生版)
初二数学分式方程的解与不等式组(含答案)
初二数学分式方程的解与不等式组一选择题1．若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．3 B．4 C．8 D．92．关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于x的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．8 B．9 C．11 D．7 3．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．10 B．12 C．18 D．20 4．若实数a使得关于x的分式方程的解为负数，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．6 B．5 C．4 D．1 5．若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有1个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．5 B．6 C．9 D．106．关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（）A．4 B．8 C．11 D．157．若关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．3 B．2 C．1 D．08．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣5，且关于x的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．-6 B．-4 C．-2 D．0二填空题9．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为．10．若数m使关于x的不等式组至少有3个整数解且所有解都是2x﹣5≤1的解，且使关于x的分式方程有整数解．则满足条件的所有整数m的和是．11．若实数a使关于x的分式方程+＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＞a，求符合条件的所有整数a的和为．12．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的和为．13．若数a关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是．14．若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为．15．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥m；且关于y的分式方程有负整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是．16．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是．17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程﹣1＝有整数解，则满足条件整数a的和为．18．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是．19．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为．20．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，且关于y的方程+1＝的解为正数，则m的取值范围是．初二数学分式方程的解与不等式组参考答案与解析1.分析:解不等式组可得a≤5，解分式方程可得y＝，由题意可求符合条件的a的值有1，3，0，4，5，﹣4．解：，由①得，x≤7，由②得，x≥2+a，∵方程有解，∴7≥2+a，∴a≤5；，ay﹣2y+4＝﹣2，（a﹣2）y＝﹣6，y＝，∵方程有整数解，∴2﹣a＝±1或2﹣a＝±2或2﹣a＝±3或2﹣a＝±6，解得a＝1，3，0，4，﹣1，5，﹣4，8，∵y≠2，∴2﹣a≠3，∴a≠﹣1，∴a＝1，3，0，4，5，﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为9，故选：D．2.分析:解不等式组和分式方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有且仅有三个整数解和分式方程的解为非负整数得出m的值，即可求解．解：解不等式m﹣4x＞4，得：x＜，解不等式x﹣＜3（x+），得：x＞，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴0＜≤1，解得：4＜m≤8，解关于x的分式方程﹣＝1，得：x＝，∵分式方程有非负整数解，且≠2，m﹣1≠0，解得：m＝7，所以所有满足条件的整数m值的和为7．故选：D．3.分析:首先根据不等式组的已知解集求出a的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出a的取值范围，最后结合两个条件即可求出a的所有正整数解决问题．解：，解①得：x≥3，解②得：x＞，∵x的一元一次不等式组的解集为x≥3，∴＜3，∴a＜8，∵，∴y＝，此方程有正整数解，∴a﹣2＞0，∴a＞2，∴2＜a＜8，∴a的整数解且使y有正整数解有a＝4或6，∴所有满足条件的整数a的值之和是10．故选A．4.分析:首先分别根据分式方程的解为负数和不等式组至少有三个整数解求出a的取值范围，然后取整即可解决问题．解：，去分母得2+2（x+1）＝a﹣x，∴x＝，而此方程的解为负数，∴x＝＜0，且x＝≠﹣1，∴a＜4且a≠1，，解①得y≥﹣，解②得y＜a+1，又不等式至少有三个整数解，∴0＜a+1，∴﹣1＜a，∴﹣1＜a＜4且a≠1，∴整数a的值有0，2，3，∴符合条件a的值的和为5．故选B．5.分析:首先根据不等式组的解集的条件求出a的取值范围，然后根据分式方程的解为非负数求出a的取值范围，最后求出满足所有条件的a的取值范围即可解决问题．解：，解①得x≥，解②得x＜﹣1，而不等式组的解集恰好有1个负整数解，∴﹣3＜≤﹣2，∴1＜a≤4，＝1，解之得y＝，又分式方程有非负数解，∴x＝≥0，且x＝≠1，∴a≥﹣1且a≠3，∴1＜a≤4，且a≠3，∴a的整数值有2，4，∴符合条件的所有整数a的和为6．故选B．6.分析：求出不等式组的解集，根据解集的限制条件确定a的取值范围，再解关于y的分式方程，是分式方程的解为整数，进而确定a的取值，再进行计算即可．解：解关于x的不等式组得，，所以﹣2≤x≤，由于这个关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，∴﹣2≤＜2，∴﹣3≤a＜5，解关于y的分式方程的解为y＝，由于这个分式方程的解是整数，且y≠3，∴2a﹣5＝±1或2a﹣5＝﹣3或2a﹣5＝±9，当2a﹣5＝±1时，a＝3或a＝2，当2a﹣5＝﹣3时，a ＝1，当2a﹣5＝±9时，a＝7或a＝﹣2，又∵a为整数，且﹣3≤a＜5，∴a＝3或a＝2或a ＝1或a＝﹣2，∴所有满足条件的整数a的和为3+2+1﹣2＝4，故选：A．7.分析：分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．解：将分式方程去分母得：a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1），解得：x＝﹣2a﹣1，∵解为负数，∴﹣2a﹣1＜0，∴a＞﹣，∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0，∴a＞﹣，且a≠0；将不等式组整理得：，∵不等式组无解，∴a≤2，∴a的取值范围为：﹣＜a≤2，且a≠0，∴满足条件的整数a的值为：1，2，∴所有满足条件的整数a的值之积是2．故选：B．8.分析：先求出每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣5，列3+2a＞﹣5，求出解集；解分式方程得x＝﹣，再根据关于x的分式方程有正整数解，x≠3，求出a＜2，a≠﹣2，综合两个解集得4＜a＜2且a≠﹣2，再根据分式方程有正整数解，求出a．解：，解不等式①，得x≤﹣5，解不等式②，得x＜3+2a，∵关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣5，∴3+2a＞﹣5，∴a＞﹣4，原分式方程化为：+2＝，2+ax+2（3﹣x）＝﹣4，解得：x＝﹣，∵关于x的分式方程有正整数解，x≠3，∴﹣＞0，﹣≠3，解得a＜2，a≠﹣2，综上所述：﹣4＜a＜2且a≠﹣2，∵关于x的分式方程有正整数解，∴a﹣2＝﹣12，a﹣2＝﹣6，a﹣2＝﹣3，a﹣2＝﹣4，a﹣2＝﹣2，a﹣2＝﹣1，∴a＝﹣10，a＝﹣4，a＝﹣1，a＝﹣2，a＝0，a＝1，∵﹣4＜a＜2且a≠﹣2，∴a＝﹣1或a ＝0或a＝1，﹣1+0+1＝0，故选：D．9.分析：由一元一次不等式组有解，可求出a的范围，根据分式方程＝1有非负整数解，可得a的值，即可得答案．解：由一元一次不等式组得x＜5且x≥2a+1，∵一元一次不等式组有解，∴2a+1＜5，∴a＜2，解分式方程＝1得y＝，∵y﹣1≠0，即y≠1，∴≠1，∴a≠﹣6，∵分式方程＝1有非负整数解，∴是非负整数，∴a的值为0或﹣2或﹣4或﹣8，∴符合条件的所有整数a的和为0+（﹣2）+（﹣4）+（﹣8）＝﹣14．故答案为：﹣14．10.分析：先解不等式组得﹣5≤x＜m，再由题意可知﹣2≤m≤3；再解分式方程得x＝，由方程有整数解，则3m﹣1是2的倍数，因为x≠1，所以m≠1，则可求满足条件的整数为2．解：，由①得，x≥﹣5，∵不等式组至少有3个整数解，∴﹣2≤m，∵2x﹣5≤1的解集是x≤3，∴m≤3，∴﹣2≤m≤3，，方程两边同时乘x﹣1，得4x﹣2﹣3m+1＝2x﹣2，移项、合并同类项得，2x＝3m﹣1，解得x＝，∵分式方程有整数解，∴3m﹣1是2的倍数，∵x≠1，∴m≠1，∵m是整数，∴m＝﹣1，3，∴满足条件的所有整数m的和是2，故答案为：2．11.分析：先解分式方程得x＝，再由题意可得＞0，且≠1，可求得a＜6且a≠2；再解不等式组，结合题意可得a＞1，则可得所有满足条件的整数为1，3，4，5，求和即可．解：+＝4，2﹣a＝4（x﹣1），2﹣a＝4x﹣4，4x＝6﹣a，x＝，∵方程的解为正数，∴6﹣a＞0，∴a＜6，∵x≠1，∴≠1，∴a≠2，∴a＜6且a≠2，，由①得y≥1，由②得y＞a，∵不等式组的解集为y＞a，∴a≥1，∴符合条件a的整数有1，3，4，5，∴符合条件的所有整数a的和为13，故答案为：13．12.分析：解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整数解为3，4，6，和为13．解：，解不等式①得：x＜5，解不等式②得：x≥，∴不等式组的解集为≤x＜5，∵不等式组有且仅有3个整数解，∴1＜≤2，∴2＜a≤6；分式方程两边都乘以（x−1）得：ax−2−3＝x−1，解得：x＝，∵x−1≠0，∴x≠1，∵方程有正数解，∴＞0，≠1，∴a＞1，a≠5，∴2＜a≤6，且a≠5，∴a的整数解为3，4，6，∴3+4+6＝13，故答案为：13．13.分析：解不等式组得≤a≤2，根据其有两个整数解得出0＜≤1，解之求得a的范围；解分式方程求出y＝2a﹣1，由解为正数且分式方程有解得出，解之求得a的范围；综合以上a的范围得出a的整数值，从而得出答案．解：解不等式﹣1≤（x﹣2），得：x≤2，解不等式3x﹣a≥2（1﹣x），得：x≥，∵不等式组恰有两个整数解，∴0＜≤1，解得﹣2＜a≤3，解分式方程，得y ＝2a﹣1，由题意知，解得a＞且a≠1，则满足﹣2＜a≤3，且a＞且a≠1的所有整数有2、3，所以所有满足条件的整数a的值之和是2+3＝5，故答案为：5．14.分析：解分式方程得出x＝，由关于x的分式方程的解为正数，得出＞0且≠1，解得：a＜6且a≠2，解不等式组及关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，得出a≥﹣2，进而得出﹣2≤a＜6且a≠2，再由a为整数，得出a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，进一步求出它们的和，即可得出答案．解：去分母得：2﹣a＝4（x﹣1），∴x＝，∵关于x的分式方程的解为正数，∴＞0且≠1，解得：a＜6且a≠2，，解不等式①得：y＜﹣2，解不等式②得：y≤a，∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2，∴﹣2≤a＜6且a≠2，∵a为整数，∴a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，﹣2﹣1+0+1+3+4+5＝10，故答案为：10．15.分析：化简一元一次不等式组，根据解集为x≥m得到m的取值范围；解分式方程，根据解是负整数，且不是增根，确定整数m的取值，从而求解．解：，解不等式①，得：x≥﹣7，解不等式②，得：x≥m，又∵不等式组的解集为x≥m，∴m≥﹣7，分式方程去分母，得：3y+4﹣（y+2）＝m﹣y，解得：y＝，又∵分式方程有负整数解，且y≠﹣2，∴符合条件的整数m可以取﹣7，﹣1，其和为﹣7+（﹣1）＝﹣8，故答案为：﹣8．16.分析：先根据不等式组的解求m的范围，再根据分式方程的整数解求m．解：，由①得：x＜m，由②得：x﹣4＞3x﹣6．∴x＜1．∵原不等式组的解集为：x＜1．∴m≥1．∵﹣＝3．∴x+2﹣m＝3x﹣3．∴x＝，∵方程的解是非负整数，∴符合条件的整数m为：1，3，5．当m＝3是，x＝1，x﹣1＝0不合题意，∴m＝1，5．1+5＝6．故答案为：6．17.分析：解关于x的不等式组，然后根据“该不等式组有且仅有4个整数解”，确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞﹣，∵该不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，解得：﹣4＜a≤1，分式方程去分母，得：y﹣（1﹣y）＝﹣a，解得：y＝，∵分式方程有整数解，且y≠1，∴满足条件的整数a可以取﹣3，1，其和为﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．18.分析：解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出＜6，求出a 的范围a＜7；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出＞0，求得a的范围a ＞﹣5；检验分式方程，列出≠1，即a≠﹣3，求得a的范围﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．解：，解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞，∵不等式组的解集为x≥6，∴＜6，∴a＜7，分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），解得：y＝，∵方程的解是正整数，∴＞0，∴a＞﹣5；∵y﹣1≠0，∴≠1，∴a≠﹣3，∴﹣5＜a＜7且a≠﹣3，∴能是正整数的a是：﹣1，1，3，5，∴所有满足条件的整数a 的值和为8，故答案为：8．19.分析：解不等式组，利用已知条件得到a的不等式，利用分式方程的解为非负整数点的关于a的不等式，将两个不等式组成新的不等式组，解不等式组取整数解即可．解：解x的不等式组得：＜x≤6．∵若关于x的不等式组有且只有五个整数解，∴1≤＜2．关于y的分式方程＝1的解为：y＝．∵关于y的分式方程＝1可得产生增根2，∴≠2．∵关于y的分式方程＝1的解为非负整数，∴≥0且≠2．∴．解得：4＜a≤8．∵a为整数，且为整数，∴a＝6，8．∴符合条件的所有整数a的和为：6+8＝14．故答案为：14．20.分析：先解不等式，求出解集，进行比对，列出关于a，b的方程，求出a、b的值．然后解分式方程，根据解为正数和方程最简公分母不等于零，可以确定m的取值范围．解：不等式组，解得，即2b+3＜x＜，∵﹣1＜x＜1，∴2b+3＝﹣1，＝1，解得：a＝1，b＝﹣2．∴分式方程为：，去分母得：2﹣y+1﹣2y＝m，解得：y＝，∵解为正数，∴＞0，且1﹣≠0．∴m＜3，．故答案为m ＜3，且．。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
八年级分式和不等式复习课件
用数轴表示不等式的解集
类型 数轴表示 说明 空心圆圈说明a
x ＞a x ＜a
不是不等式的
解 实心圆圈说明a 是不等式的解
x ≠a
x ≥a x ≤a
不等式组的解集
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集，可 以归纳如下表四种情况： 不等式组(a＞b) 口诀叙述 同大取大 同小取小 大小小大中 间找 数轴表示 解集
分式的化简求值
分式方程的解法
2 3 解分式方程： 1+x 1-x 9 = 1-x2
Байду номын сангаас
解：方程两边同乘(1-x)(1+x)得 ①去分母 2-2x-3-3x=9 解的x=-2 ②解一元一次方程 经检验x=-2是分式方程的解 ③检验
分式方程的应用
步骤：①设未知数 ②根据题意列分式方程 ③解分式方程 ④检验分式方程的根 ⑤作答 路程 速度= 时间 行程问题：速度×时间=路程 路程 时间= 速度 工程问题：工作效率×工作时间=工作总量
x＞a x＞b x＜a x＜b x＜a x＞b x＞a x＜b
x＞a x＜b b＜x＜a
无解
大大小小无 解了
八年级数学上册
授课教师 彭鑫
分式有无意义及分式值为零的条件
分式有意义的条件： 分母不等于零 分式值为零的条件： 分子等于零，分母不等于零
分式方程有增根的条件： 使最简公分母为0时的解
|x|-2 例：若分式 的值为零，则x的值是（ C ） x-2 A.±2 B.2 C.-2 D.0
分式的基本性质
分式的分子和分母都乘同一个非零整式，所 得的分式与原分式相等 约分：分子、分母同时除以公因式 公因式 ①取分子、分母系数的最大公因数 ②取分子、分母的相同字母(因式)及相 同字母(因式)指数的最低次幂 通分：各分式化成分母相同的分式。 （确定各分式的公分母） 公分母 ①取各分式分母系数的最小公倍数 ②取各分式分母相同字母(因式)及 相同字母(因式)指数的最高次幂
数学复习分式方程与分式不等式的求解
数学复习分式方程与分式不等式的求解在数学中，分式方程和分式不等式是常见的问题类型。
掌握了这些问题的求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用分式运算。
本文将介绍分式方程和分式不等式的求解方法，帮助读者复习和巩固相关知识。
一、分式方程的求解1. 清除分母法对于包含分式的方程，我们常常需要使用清除分母法进行求解。
清除分母法的基本思想是将分式方程两边的分母消去，从而得到一个关于分子的代数方程。
举个例子，考虑以下分式方程：$\frac{2}{x+1} - \frac{3}{2x-3} = \frac{4}{3}$首先，我们可以将该方程两边的分母相乘，得到：$3(2x-3) \cdot \frac{2}{x+1} - (x+1) \cdot \frac{3}{2x-3} = 4$然后，我们将上式中的分母全部消去，得到一个关于分子的方程：$6 - 9(x+1) = 8(2x-3)$通过解这个方程，我们可以求得分式方程的解。
2. 分离变量法对于某些特殊的分式方程，我们可以使用分离变量法进行求解。
分离变量法的基本思想是将分母和分子中的变量分离，并将方程转化为一个关于两个变量的代数方程。
考虑以下分式方程：$\frac{x+2}{x-3} + \frac{2x-1}{x+2} = \frac{x}{x+1}$我们可以将该方程通过通分化简，得到：$(x+2)(x+1) + (2x-1)(x-3) = x(x-3)$然后，我们可以将该方程中的分式拆分为两个方程，分别关于$x$和$y$进行求解，最后得到分式方程的解。
二、分式不等式的求解1. 全部同号法对于形如$\frac{p(x)}{q(x)}>0$或$\frac{p(x)}{q(x)}<0$的分式不等式，我们可以使用全部同号法进行求解。
该方法的基本思想是找出分式的零点和定义域，并根据其在定义域上的正负性来确定不等式的解集。
举个例子，考虑以下分式不等式：$\frac{2x-1}{x^2-4}<0$首先，我们需要找出分式的零点和定义域。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式分式方程与分式不等式是高中数学中的重要内容，它们在代数方程与不等式的研究中起着重要的作用。
本文将介绍分式方程与分式不等式的基本概念、解法以及应用。
一、分式方程分式方程是一个含有分式的方程，它的解是使得方程两边的分式取相同值的数。
分式方程的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}=c$其中，P(x)和Q(x)为多项式，c为常数。
解分式方程的关键是求出使得方程成立的x值。
解分式方程的步骤如下：1. 将分式方程中的所有分式转化为通分形式，即找到它们的最小公倍数，并将各个分式乘以使分母相同的因子。
2. 化简方程，合并同类项。
3. 将方程转化为多项式方程，通过去分母的操作，可以用等式的形式表示。
4. 求解多项式方程，得到方程的解。
需要注意的是，解分式方程时，要注意验证所得的解是否满足原始方程。
二、分式不等式分式不等式是一个含有分式的不等式，它的解是使得不等式成立的x值。
分式不等式的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}>a$或$\frac{P(x)}{Q(x)}<a$其中，P(x)和Q(x)为多项式，a为常数。
解分式不等式的关键是求出使得不等式成立的x值所在的区间。
解分式不等式的步骤如下：1. 将分式不等式中的所有分式转化为通分形式，方法与解分式方程类似。
2. 化简不等式，合并同类项。
3. 将不等式转化为多项式不等式。
4. 求解多项式不等式，得到x所在的区间。
需要注意的是，解分式不等式时，要注意分母的正负情况，以及不等式中的临界点。
三、应用举例分式方程与分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面分别举例说明。
例1：企业利润分配某企业盈利纳入员工利益分享计划，根据企业盈利比例，公司将利润的30%分配给员工。
其中，员工A分得的利润为整个利润的1/4，员工B分得的利润是员工A分得利润的2/3。
求员工A和员工B分得的利润。
解：设整个利润为x，员工A分得的利润为$\frac{1}{4}$ *$\frac{3}{10}$ * x = $\frac{3}{40}$ * x员工B分得的利润为$\frac{2}{3}$ * $\frac{3}{40}$ * x =$\frac{1}{20}$ * x所以，员工A和员工B分得的利润分别为$\frac{3}{40}$x和$\frac{1}{20}$x。
冀教版八上分式方程与不等式
冀教版八年级上册分式方程与不等式知识点总结一、分式方程1. 分式方程的概念分式方程是含有未知数的分式所满足的相等关系式，它的一般形式是F(x) / G(x) = H(x) / I(x)，其中F(x)、G(x)、H(x)、I(x) 是关于x 的多项式，并且G(x) 和I(x) 不全为零。
2. 分式方程的解法分式方程的解法主要包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
其中最关键的是去分母，通常通过找所有分母的最简公分母，然后两边同时乘以这个最简公分母来实现。
【示例】解方程：(2x + 1) / (x - 1) = 3解：首先找最简公分母，这里是x - 1。
接着两边同时乘以x - 1，得到：(2x + 1) = 3(x - 1)展开并移项得：2x + 1 = 3x - 3进一步合并同类项：-x = -4从而x = 4检验：当x = 4 时，x - 1 ≠ 0，所以x = 4 是原方程的解。
3. 分式方程的增根与无解情况分式方程在求解过程中，如果得到的解使得最简公分母为零，那么这个解是原方程的增根，应舍去。
如果通过求解得到的解使得原方程变为不确定式（如0/0），则原方程无解。
【示例】解方程：(x - 1) / (x^2 - 1) = 1 / (x + 1)解：首先找最简公分母，这里是x^2 - 1。
接着两边同时乘以x^2 - 1，得到：(x - 1) = (x - 1)由于方程左右两边相等，我们可以得到增根x = 1。
然而，当x = 1 时，最简公分母x^2 - 1 = 0，所以x = 1 是增根，原方程无解。
二、分式不等式1. 分式不等式的概念分式不等式是含有未知数的分式所满足的不等关系式，它的一般形式是F(x) / G(x) > H(x) / I(x) 或F(x) / G(x) < H(x) / I(x)，其中F(x)、G(x)、H(x)、I(x) 是关于x 的多项式，并且G(x) 和I(x) 不全为零。
初中数学教案分式方程与分式不等式
初中数学教案分式方程与分式不等式初中数学教案分式方程与分式不等式第一部分：分式方程1. 概念简介分式方程是指含有分式的方程。
其中，分式是由分子和分母组成的形式为a/b的数学表达式。
2. 分式方程的解法a. 化简分式方程：将分式方程中的分式化简为整式，使得方程中只剩下整式等式。
b. 求解整式方程：将化简后的分式方程转化为整式方程，使用解整式方程的方法求解。
3. 实例演练例1：解方程：(3x+2)/(2x-1)=5解法：a. 化简分式，得到(3x+2)/(2x-1)=5b. 通过乘法消去分母，得到3x+2=5(2x-1)c. 求解整式方程，得到3x+2=10x-5d. 解得x=7/44. 习题训练习题1：解方程：(2x+1)/(x-3)=(5x-1)/(2x+5)第二部分：分式不等式1. 概念简介分式不等式是指含有分式的不等式。
其中，不等式是由<、>、≤、≥等符号组成的数学表达式。
2. 分式不等式的解法a. 化简分式不等式：将分式不等式中的分式化简为整式，使得不等式中只剩下整式不等式。
b. 确定分段区间：根据不等式的符号，将整个数轴分成若干个区间，确定每个区间上的符号情况。
c. 解不等式：根据每个区间上的符号情况，得到不等式的解集。
3. 实例演练例2：解不等式：(3x+2)/(2x-1)<5解法：a. 化简分式，得到(3x+2)/(2x-1)<5b. 通过乘法消去分母，并移项，得到3x+2<5(2x-1)c. 求解整式不等式，得到3x+2<10x-5d. 移项，得到7x>7e. 解得x>14. 习题训练习题2：解不等式：(2x+1)/(x-3)≥0结语：在本节课中，我们学习了初中数学中的分式方程与分式不等式。
分式方程和分式不等式是数学中常见的问题类型，对于我们解决实际问题非常有用。
通过本节课的学习，我们掌握了化简分式方程和不等式的方法，并通过实例演练和习题训练加深了理解。
中考数学重点知识点梳理分式方程与分式不等式的解法
中考数学重点知识点梳理分式方程与分式不等式的解法中考数学重点知识点梳理——分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是中学数学中的重要内容，其解法涉及到分式的运算和方程的求解方法。
本文将对分式方程与分式不等式的解法进行梳理，以帮助中考学生有效掌握相关知识点。
一、分式方程的解法分式方程即含有分式的方程，解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式约分或通分，使方程中的分式简化为最简形式。
2. 求方程的通解：根据方程的性质和已知条件，将分式方程转化为整式方程或代数方程，求解得到方程的通解。
3. 检验解的可行性：将通解代入分式方程中，验证是否满足方程的等式关系，确定解的可行性。
二、分式不等式的解法分式不等式是含有分式的不等式，解分式不等式的一般方法如下：1. 寻找主要分母：将分式不等式中的分式进行分解，找出具有最大影响的主要分母。
2. 确定不等式的取值范围：根据主要分母的正负性质，确定不等式的取值范围，即将不等式划分成若干个区间。
3. 判定不等式的符号：在每个区间内，确定主要分母的正负取值情况，根据不等式的性质，判断不等式对应的符号是“<”还是“>”。
4. 解不等式：根据符号判定结果，将区间内符合不等式的解集合并，得到最终的解集。
三、分式方程与分式不等式解法的注意事项在解分式方程和分式不等式时，需要注意以下问题：1. 约束条件：对于给定的问题，要考虑约束条件是否存在，以及对解的影响。
2. 排除分母为零时的情况：在解分式方程或分式不等式时，要注意排除使分母为零的根。
3. 检验解的可行性：对于解得的方程或不等式，应该将解代入原方程或不等式进行验证，确保解的可行性。
4. 注意追求简洁化简：在解分式方程或不等式时，要尽量追求简洁化简，使得解的结果更加清晰明了。
综上所述，分式方程与分式不等式是中考数学中的重点知识点，解题时需要掌握相应的解法和注意事项。
通过多做练习，加深对分式方程和不等式的理解和运用，中考学生可以更好地应对相关题型，提升数学成绩。
初二数学期末专题复习之代数部分——分式方程与不等式(教师版)
初二数学期末专题复习之代数部分——分式方程与不等式一、基础知识梳理 （一）分式方程 1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则：加、减、乘、除、乘方等运算；分式的通分、约分、最简分式；;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯);()(为整数n ba b a n nn =;c b a c b c a ±=±bd bc ad d c b a ±=± 3、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
4、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
5、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
（二）一元一次不等式（组） （1）不等式的概念 1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法（2）不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
八年级数学下册综合算式专项练习题分式方程与分式不等式的解法
八年级数学下册综合算式专项练习题分式方程与分式不等式的解法在八年级数学下册中，分式方程和分式不等式是一个重要的内容。
学生们需要掌握如何解决这些问题，从而提高自己的数学水平。
为了帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点，本文将通过综合算式专项练习题的方式来介绍分式方程与分式不等式的解法。
1. 分式方程的解法首先，我们来解决一些简单的分式方程。
【题目1】解方程：$\frac{2}{x} = \frac{1}{4}$解答过程：两边取倒数，得到$\frac{x}{2} = 4$；两边同乘2，得到$x = 8$。
所以，方程的解是$x = 8$。
【题目2】解方程：$\frac{x + 7}{5} = \frac{x - 2}{3}$解答过程：将方程中的分式化简，得到$3(x+7) = 5(x-2)$；展开并整理，得到$3x + 21 = 5x - 10$；移项并化简，得到$2x = 31$；最后，解得$x = 15.5$。
所以，方程的解是$x = 15.5$。
通过以上两个例题，我们可以看出解分式方程的关键是将分式化简，然后适当移项化简求解得出方程的解。
接下来，我们来解决一些较为复杂的例题。
【题目3】解方程：$\frac{x}{7} + \frac{2}{3} = \frac{2x - 3}{5}$解答过程：将分式化简后，得到$3(x) + 2(7) = 7(2x - 3)$；展开并整理，得到$3x + 14 = 14x - 21$；移项并化简，得到$11x = 35$；解得$x = 3.18$。
所以，方程的解是$x = 3.18$。
通过以上的练习题，我们可以看到解分式方程的过程是相似的，需要将分式化简，并通过移项、整理等步骤来求解方程。
掌握这些基本的求解方式，就能够解决各种类型的分式方程。
2. 分式不等式的解法接下来，我们来探讨一下分式不等式的解法。
【题目4】解不等式：$\frac{2}{x} < \frac{1}{3}$解答过程：将分式不等式化简，得到$3(2) < x$；计算结果，得到$x > 6$。
初二数学分式方程与分式不等式
初二数学分式方程与分式不等式在初二数学学习中，分式方程与分式不等式是一个重要的知识点。
分式方程是指含有分式的方程，而分式不等式是指含有分式的不等式。
本文将详细介绍分式方程与分式不等式的概念、解法以及相关例题。
一、分式方程分式方程是涉及到分式的方程，分式方程通常可以表示为分子与分母含有未知数的比例关系。
我们通过解分式方程可以求得未知数的值。
下面我们通过一个例子来说明分式方程的解法。
例1：求解方程7/(x+1)+3/(x-2)=5解：首先，我们将方程的分母进行通分，得到7(x-2)+3(x+1)=5(x-2)(x+1)。
接着，我们将方程化简，即7x-14+3x+3=5(x^2-x-2)。
进一步整理，得到10x-11=5x^2-5x-10。
将方程转化为一元二次方程，即5x^2-15x+1=0。
使用求根公式得到x的值，x=(-(-15)±√((-15)^2-4*5*1))/(2*5)。
经过计算得到x=3或x=1/5。
所以，该分式方程的解为x=3或x=1/5。
二、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式，和解普通的不等式一样，我们需要找到使得不等式成立的解集，称为不等式的解。
下面我们通过一个例子来说明分式不等式的解法。
例2：求解不等式2/(x+1)-1/(x-2)>0解：首先，我们需要找到不等式的定义域，即满足分母不等于零的条件。
根据题目中的不等式，我们得到x+1≠0，即x≠-1；x-2≠0，即x≠2。
所以，不等式的定义域为x∈R且x≠-1,2。
接下来，我们需要找到不等式的极值点。
即使得不等式左右两侧取等号的点。
通过求解方程2/(x+1)-1/(x-2)=0，得到x=5/3。
将定义域、极值点和不等式的正负性综合起来，我们可以得到不等式的解集。
当x<-1时，不等式的左侧小于右侧，不等式不成立。
当-1<x<2时，不等式的左侧大于右侧，不等式成立。
当x>2时，不等式的左侧小于右侧，不等式不成立。
初中数学知识归纳解分式方程不等式的问题
初中数学知识归纳解分式方程不等式的问题分式方程和不等式是初中数学中重要的内容之一，掌握解题方法可以帮助我们解决很多实际问题。
在本文中，我们将对初中数学中解分式方程和不等式的方法进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、解分式方程的方法1. 清除分母当方程中存在分数时，我们可以采用清除分母的方法来求解。
具体步骤如下：（1）找到方程中所有的分母，记为分母集合D。
（2）将方程两边同时乘以D的最小公倍数LCM，得到一个无分母的方程。
（3）对无分母的方程进行求解，得到结果。
2. 去分母对于一些特殊的分式方程，我们可以采用去分母的方法来求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式两边同时乘以所有分母的最小公倍数LCM，得到一个无分母的方程。
（2）对无分母的方程进行求解，得到结果。
3. 换元法有时候，我们可以通过引入一个新的未知数来将分式方程转化为一元方程，再进行求解。
具体步骤如下：（1）设未知数为t，将原方程中的分式表示为t的函数形式。
（2）对新引入的未知数t进行求解，得到结果。
（3）将t的解代入原方程，求得原方程的解。
二、解不等式的方法1. 定义法当不等式中存在绝对值或者平方根等特殊函数时，我们可以通过定义法来求解。
具体步骤如下：（1）根据定义列出所有可能的情况，解得若干个不等式。
（2）对每个不等式进行求解，得到若干个解集。
（3）将所有解集合并，得到原不等式的解。
2. 移项法对于一般的一元一次不等式，我们可以通过移项法来求解。
具体步骤如下：（1）将不等式中的项集中到一边，将常数项集中到另一边，得到一个简化的不等式。
（2）根据不等式的符号进行分类讨论，求解出满足条件的值域。
（3）将求得的值域与问题的条件进行比较，得到最终的解集。
3. 化简法对于一些复杂的不等式，我们可以通过化简法来求解。
具体步骤如下：（1）将不等式化简为形如f(x)>0或f(x)<0的形式。
（2）对于f(x)>0，找出函数f(x)的零点和导数的变化，进行符号表法。
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
分式方程与分式不等式的综合题解析
分式方程与分式不等式的综合题解析在代数学中，分式方程和分式不等式是常见的数学问题，需要通过一系列步骤和方法来解决。
本文将通过解析综合题的方式，探讨分式方程和分式不等式的解法。
一、分式方程的解法解决分式方程的第一步是将方程中的分式化简为简单的形式。
我们可以通过求最小公倍数和通分的方式将分式方程转化为整数方程。
接下来，我们将讨论一些常见的分式方程例子。
例子一：求解分式方程$\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1}$步骤一：首先，我们可以通过交叉相乘的方法将分式方程化简为整数方程。
$(x)(x+1)+(2)(x)= (3)(x-1)$步骤二：将方程中的分式展开并整理，得到一个一次方程。
$x^2 + x + 2x = 3x - 3$步骤三：将方程化简为一次方程的标准形式，并进行合并和整理。
$x^2 - 3x + 3 = 0$步骤四：通过因式分解或者配方法求解方程。
$(x - 1)(x - 3) = 0$步骤五：找到方程的根，并检查解是否满足原方程。
$x = 1$ 或 $x = 3$因此，原方程的解为 $x = 1$ 或 $x = 3$。
二、分式不等式的解法解决分式不等式的关键是确定不等式的符号以及确定分式的定义域。
我们需要注意分母不能为零，并将分式进行化简，进而解决不等式。
下面我们将通过一个例子来讨论分式不等式的解法。
例子二：求解分式不等式$\frac{x-2}{x+3} \geq 1$步骤一：首先，我们将分式化简，并确定分数的定义域。
$x-2 \geq x + 3$步骤二：整理分数并求解不等式。
$-2 - 3 \geq x - x$$x \leq -5$因此，原不等式的解为 $x \leq -5$。
三、综合题解析现在，让我们来解析一个结合了分式方程和分式不等式的综合题。
例子三：求解综合题(1) 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1}$(2) 解不等式：$\frac{x-3}{x} \leq 1$步骤一：解方程我们可以使用之前解析分式方程的方法来求解。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式分式方程和分式不等式是高中数学中的重要概念，它们在解决实际问题以及推理证明中有着广泛的应用。
本文将以简洁明了的方式，对分式方程与分式不等式进行全面的介绍和论述。
1. 分式方程在数学中，分式方程是指含有分式的方程，其形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为实数或未知数。
解决分式方程的关键是消除分母，使得方程变为整式方程。
举个例子，考虑分式方程2/x + 1/(x - 1) = 1/x，我们可以通过以下步骤解决这个方程：首先，我们找到方程中的最小公倍数，即x(x-1)。
然后，将方程中每一项的分母都乘以最小公倍数，得到2(x-1) + x = (x-1)(x)。
接下来，我们将方程转化为整式方程，进行多项式的运算。
最后，我们求解得到x = 3，即为原方程的解。
分式方程在代数中有着广泛的应用，特别是在解决比例问题以及抽象问题时起到了重要的作用。
2. 分式不等式分式不等式指的是含有分式的不等式，其形式为a/b > c/d 或 a/b <c/d，其中a、b、c、d是实数或未知数。
解决分式不等式的方法与解决分式方程有些许不同，但思路大致相似。
举个例子，考虑不等式1/x < 2/(x-1)，我们可以通过以下步骤解决这个不等式：首先，我们需要确定不等式的定义域。
对于本例而言，由于分母不能为0，所以x ≠ 0, x ≠ 1。
接下来，我们将不等式转化为整式不等式，通过交叉相乘的方式来消除分母。
然后，我们对整式不等式进行求解，得到x > 2，即为原不等式的解。
解决分式不等式时，我们需要特别注意定义域以及分母不为0的限制条件，以保证求解的正确性。
分式不等式在实际问题中有着广泛的应用，比如利润与成本的关系、时间与距离的关系等等，掌握解决分式不等式的方法对于解决这类问题具有重要意义。
总结：本文从分式方程和分式不等式的基本概念出发，对解决这两类问题的方法进行了详细的阐述。
分式方程的关键在于消除分母，转化为整式方程进行求解；而分式不等式的解决则需要注意定义域以及分母不为0的限制条件。
数学期末分式不等式
数学期末分式不等式在数学中，分式和不等式是两个重要的概念。
在期末考试中，经常会涉及到分式和不等式的运算和解题。
本文将介绍数学期末考试中常见的分式和不等式问题，并提供解题策略和技巧。
一、分式分式是指一个整体被分为若干部分，其中包括分子和分母。
在数学中，分式通常用字母表示，如a/b。
下面将介绍分式的四则运算以及常见的分式问题。
1. 分式的加法和减法运算分式的加法和减法运算遵循相同的规则。
要求两个分式的分母相同，可以通过通分的方法使分母相同，然后将分子相加或相减。
例如，计算1/2 + 1/3：由于分母不同，需要找到它们的最小公倍数，即6。
通分后得到3/6 + 2/6 = 5/6。
同样地，对于分式的减法运算，也需要先通分，然后进行相减。
2. 分式的乘法和除法运算分式的乘法和除法运算也遵循相同的规则。
分式的乘法就是分子相乘，分母相乘；分式的除法就是分子相除，分母相除。
例如，计算2/3 × 3/4：直接相乘得到6/12，然后化简为1/2。
对于分式的除法运算，将除法转化为乘法的倒数运算，即乘以倒数的分式。
3. 分式的化简化简分式是将分子和分母的公因数约去，使得分式的值最简洁。
例如，化简4/8：4和8的最大公因数是4，将4约去得到1/2。
二、不等式不等式是指两个数之间的关系。
在数学中，常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
下面将介绍不等式的运算和解题方法。
1. 不等式的加减运算对于不等式的加减运算，可以将两边同时加上或减去相同的数，不等式的关系保持不变。
例如，对于不等式3x - 2 < 5，可以将两边同时加上2，得到3x < 7。
2. 不等式的乘除运算对于不等式的乘除运算，需要注意乘除的数是正数还是负数。
当乘除的数是正数时，不等式的关系保持不变；当乘除的数是负数时，不等式的关系需要改变。
例如，对于不等式2x > -6，可以将两边同时除以2，得到x > -3。
数学初二数学知识点总结
数学初二数学知识点总结数学是一门具有逻辑性和实践性的学科，对于初中学生来说，掌握数学的基础知识点非常重要。
本文将围绕初二数学的主要知识点展开讨论，帮助学生加深对数学的理解和掌握。
一、代数部分1. 整式与分式在初二代数中，学生将进一步学习整式的加减乘除运算，并掌握分式的基本运算规则与简化方法。
在解决实际问题中，学生要学会将复杂的分式转化为整式，以便进行相关计算。
2. 一元一次方程一元一次方程是代数中最基本的方程形式，初二学生需要学会如何通过正常规则解方程，掌握解方程的步骤与方法。
3. 一元一次不等式一元一次不等式也是初二代数部分的重要内容，学生需要理解不等式的解集表示法，并掌握求解不等式的基本方法。
4. 平方差公式与完全平方公式学生需要了解平方差公式与完全平方公式的基本形式和应用，以便在因式分解、解二次方程等问题中灵活运用。
二、几何部分1. 直线与角初二学生需要了解直线的性质和角的概念与分类，包括对应角、内角和外角等基本定义。
2. 三角形学生需要掌握三角形的性质，如三角形内角和为180度、等腰三角形的性质、直角三角形的勾股定理等。
3. 四边形四边形是初二几何学中的重点内容，学生需要熟悉各类四边形的定义、性质和面积计算方法，如矩形、正方形、平行四边形等。
4. 圆初二学生将学习圆的基本概念、性质和相关定理，如弧长公式、扇形面积计算等。
三、统计与概率部分1. 数据的收集与整理学生需要学会对一组数据进行收集、整理和分类，掌握构建频数分布表和绘制频数分布直方图的方法。
2. 统计量的计算初二学生还需要了解统计量的定义，如算术平均数、中位数、众数和四分位数等，并能够通过计算得到这些统计量的值。
3. 概率的基本概念初二学生将初步接触概率的基本概念，如样本空间、事件、概率的计算方法等。
4. 相关性与线性回归学生需要学会通过散点图和相关系数判断变量之间的相关性，并初步了解线性回归的概念和计算方法。
总结：初二数学知识点的掌握对于学生进一步学习高中数学以及数理化等学科具有重要意义。
最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习有解析
最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习有解析一、选择题1．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解【答案】D 【解析】 【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键2．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克， 由题意得： ，故选B.【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程是关键．3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x=+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】 【分析】原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.4．若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是A ．5B ．-5C ．3D ．-3【答案】A 【解析】把x=3代入原分式方程得，210332a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.5．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ） A ．400400(130%)x x-+＝4 B ．400400(130%)x x -+＝4C ．400400(130%)x x--＝4 D ．4004004(130%)x x-=-【答案】A 【解析】 【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】设每月原计划生产的医疗器械有x 件， 根据题意，得：()4004004130%x x-=+ 故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．7．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x=- D ．120100x 10x=+ 【答案】A 【解析】【分析】【详解】甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100 x x10=-.故选A.8．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-【答案】D【解析】【分析】先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可.【详解】解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：18018032x x-= -.故选：D.【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.9．方程10020x+＝6020x-的解为（）A．x＝10 B．x＝﹣10 C．x＝5 D．x＝﹣5【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5； 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．10．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240120420x x-=- B ．240120420x x -=+ C ．120240420x x -=- D ．120240420x x -=+ 【答案】D 【解析】 【分析】设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了4列出方程即可解答． 【详解】解：设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料， 根据题意可得：120240420x x -=+ 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．11．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．16501610840x x-=+B ．16501610840x x -=+ C ．16101650840x x -=+ D ．16101650840x x-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多8个”即可得到方程． 【详解】解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，16101650840x x -=+． 故选：C 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．12．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =C ．3x =-D ．1x =【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.13．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（ ） A ．111103020+=--+x x x B ．111103020+=++-x x x C ．111103020-=++-x x x D ．111102030+=-+-x x x 【答案】B 【解析】 【分析】设规定的时间为x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x . 【详解】设规定时间为x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的110+x ， 乙队单独一天完成这项工程的130x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的120x -. 则111103020+=++-x x x . 故选B. 【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.14．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）A ．()006060-30x 125x =+B ．()6060-30125%x x=+ C ．()60125%60-30x x⨯+=D ．()60125%60-30x x⨯+= 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+，故答案为：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．15．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．1010253x x -= B ．1010253x x-= C ．10105312x x -= D ．10105312x x -= 【答案】D 【解析】 【分析】设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程． 【详解】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x由题意得：10105312x x -= 故答案为D ． 【点睛】本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．16．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2， 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．17．若关于x的分式方程3222x m mx x++=--有增根，则m的值为（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】解：方程两边都乘x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2+m﹣3m＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．18．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-【答案】A【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806 x+=1206x-．故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．19．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值． 【详解】解：0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥ ∵不等式组无解 ∴2a ≤ ∵2233y ay y-+=-- ∴83ay -=∵关于y 的分式方程2233y ay y-+=--有非负数解 ∴803ay -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个． 故选：C 【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．20．把分式方程11122x x x --=--，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1B ．1+(1-x)=1C ．1-(1-x)=x-2D ．1+(1-x)=x-2 【答案】D【解析】【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x ，首先要化成x －2；②、等式右边的常数项不要漏乘．【详解】解： 11122x x x--=-- 11+122x x x -=-- 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2故选：D【点睛】本题考查解分式方程．。
中考专题分式方程与不等式
分式方程和不等式知识点一：分式方程及其运用1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤：（1)去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
3．分式方程的增根问题：（1) 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根；（2）验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性．5．易错知识辨析:(1) 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2) 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根。
典例1、解方程：224111x x x x -=-+-2、甲、乙二人同时从A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快2千米，结果比乙先到半小时,若设乙的速度为x 千米/小时,则可列出的方程为变式练习1、解方程 1233x x x=+-- 1211422+=+--x x x x x2224412-++=--x x x x x01221=---x x2、轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.(提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度—水流速度）3、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时,结果两辆车同时到达C城。
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初二数学期末专题复习之代数部分——分式方程与不等式一、基础知识梳理 （一）分式方程 1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则：加、减、乘、除、乘方等运算；分式的通分、约分、最简分式；;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯);()(为整数n ba b a n nn =;c b a c b c a ±=±bd bc ad d c b a ±=± 3、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
4、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
5、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
（二）一元一次不等式（组） （1）不等式的概念 1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法（2）不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考试题型：（3）一元一次不等式1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1（4）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
（5）一元一次不等式的实际应用问题应用题中的等量关系：1) 行程问题：路程= 速度×时间①相遇问题：两个物体同时从不同地点出发相向而行最后相遇的行程问题等量关系：甲路程+乙路程=相遇路程甲速度×相遇时间+乙速度×相遇时间=原两地的路程②追及问题：全程= 速度快者的路程–速度慢者的路程a、两个物体在同一地点不同时间同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程=乙路程甲速度×甲时间=乙速度×（甲时间+乙先走的时间）b、两个物体从不同地点同时同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程－乙路程=原相距路程③航行问题：顺流速度 = 轮船在静水中的速度 + 水流速度 逆流速度 = 轮船在静水中的速度 – 水流速度 2) 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间①当工作总量没有明确表示时，常把工作总量看作1； ②几个人合作一件工程的工作量 = 各人工作量的和（a ）甲、乙一起合做：1+=合做天数合做天数甲独做天数乙独做天数（b ）甲先做a 天，后甲乙合做：1++=a 合做天数合做天数甲独做天数甲独做天数乙独做天数①增长后的量 = 原来的量 + 增长的量 = 原来的量（增长前的量）×（1 + 增长率）②平均增长率问题：增长（下降）后的量 = 基础数量×[1+平均增长（降低）率]n(n 是增长（降低）的次数)4) 数字问题：a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，这个三位数是100a + 10b + c5) 商品利润问题：总价 = 单价 × 数量；销售额 = 售价×销售量；实际售价 = 折扣数×标价； 一件的利润=售价－进价总利润 = 一件的利润 × 数量 = （销售价 – 进货价）× 销售数量利润率 = 进价进价售价-=进货价利润×100%二、考点、题型及方法考点1 分式方程——有无意义、增根、无解问题 1、当x = 时，分式2||123x x x -+-的值为零。
2、若关于x 的方程2x m2x 22x++=--有增根，则m 的值是3、如果关于x 的方程211224m m mx x x --+=+--无解，求m 的值是考点2 分式方程化简与求值1、已知a 1 －b 1 ＝5，则bab a bab a ---2232＋ 的值是 ．2、已知14x x +=,求2421x x x ++的值.3、已知111015a b b c c a +++==,求b c aa b c+-++的值. 4、拆开以下分式的分母（1）1111[](1)(1)2(1)(1)n a n n n n ==--+-+ （2）1111()n a n n k k n n k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭（3）1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ （4）nn n n a n -+=++=111考点3 分式方程的解——参数范围问题1、已知关于x 的分式方程＋＝1的解为负数，则k 的取值范围是_________训练1 若关于x 的方程＋＝3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m ≠﹣ 训练2 若关于x 的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，3考点4 一元一次方程的解——含参问题1、解以x 为元的一元一次方程2ax －(3a －4)＝4x ＋3a ＋6；2．解以x 为元的一元一次方程m 2 (x －n )＝n 2 (x －m ) (m 2≠n 2)；3、若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．考点5 一元一次不等式——有解、整数解的问题1、若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ）A 、1a >-B 、1a -≥C 、1a ≤D 、1a <2、如果关于x 的不等式组：3x-a 02x-b 0≥⎧⎨≤⎩，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共有 个。
训练 （黑龙江）不等式组有3个整数解，则m 的取值范围是 ．3、已知不等式组35a x b x ⎧>⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩的整数解为1,0,1,2-，求,a b 的取值范围4、方程组⎩⎨⎧=-=-+25341y x my x m ）（有满足2<-y x 的解，求m 的取值范围。
5、已知（1）化简A ； （2）若x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．训练 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x 的值从不等式组的整数解中选取．考点6 一元一次不等式组1、如果不等式组的解集是，那么的值为 ．训练 若关于x 的不等式组22x b ax a b+>⎧⎨+<⎩的解集是33x -<<，求a b ，的值。
2、解不等式42112x x x -≤+<-考点7 一元一次不等式与分式方程综合1、（重庆市B 卷）如果关于x 的分式方程﹣3＝有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（ ） A ．﹣3B ．0C ．3D ．92223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥01x <≤a b +训练 从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组无解，且使关于x 的分式方程﹣＝﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣D ．考点8 一元一次不等式——参数范围的问题1、不等式组⎩⎨⎧+>+<+1m x ,1x 59x 的解集是2>x ，则m 的取值范围是（ ）(A) m ≤2 (B) m ≥2 (C) m ≤1 (D) m>12、若关于x 、y 的二元一次方程组2x y 3k 1x 2y 2+=-⎧⎨+=-⎩的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是 .训练1 若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x －y ＝2m ＋1，x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m的取值范围是__ _．训练2 已知⎩⎨⎧+=+=+122,42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围．训练3 当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集．3、已知关于x 的不等式2m －mx 2＞12x －1.（1）当m ＝1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．考点9 一元一次不等式与一次函数综合1、一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <训练1、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ） A 、1->x B 、1-<x C 、2-<x D 、无法确定训练 2 如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为训练3 如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P (3，5)，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋6的解集是_____________．训练4 如图，直线y kx b =+经过A (2,1)，B (1,2)--两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为2、已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式k （x ﹣4）﹣2b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞2D ．x ＜33、一次函数3231+-=x y ，如果函数值的范围是5≤y ，则自变量x 的取值范围是（ ）A 、410≤≤-xB 、1710≤≤-xC 、104≤≤-xD 、1713≤≤-x4、将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为_________．考点10 一元一次不等式（组）的应用题方法总结：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：1、审题，找出不等关系；2、设未知数；3、列出不等式；4、求出不等式的解集；5、找出符合题意的值；6、作答；（1）利润问题1、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，需要用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来．(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？训练某商店准备购进甲、乙两种商品。