正比例函数2 (www

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课件4：19.2.1正比例函数（2）

则m的取值范围是（Ｂ）
A. m 1 B. m 1
2. 函数 y 5x , y 2 x ,
C.
y
m
x,
1
y
D.1
m 1
x 中，
7
y随x的增大而增大的是 y 5x , y x
，
y随x的增大而减小的是 y 2x ,
y 1 x 7
.
3.已知正比例函数 y kx (k 2 2) 的图像，
例1：用“两点法”画出函数y 3x 和 y 3x
的图像，并回答下列问题。
图像
（1）函数 y 3x的图像过点（0, 0 ）和
（ 2 ，6），且 y 随x 的增大而增大；
（2）函数 y 3x 的图像过第__二__、__四____象限，
且 y随 x的增大而减小。
练习：
1.正比例函数 y (m 1)x 的图象经过一、三象限，
第十九章
一

次函
数
y 随 x 的增大而减小，求 k 的值。解：由正比例函数的定义可知：k 2 2 0, k 2
又y 随 x 的增大而减小，故 k<0 所以 k 2 4. 已知正比例函数 y (m 1) x|m|的图象过第
二、四象限，求m的值。解：由正比例函数的定义可知： | m | 1, m 1
又图像过第二、四象限，故 m 1 0, m 1 所以 m 1
画出正比例函数 y 2x和 y 2x 的图像
画图
解析式
y kx(k 0)
k 0
k 0
图像
图像恒过原点
(0, 0)
性质
⑴图像过一、三象限
⑵ y随 x的增大而
增大（上升趋势）
⑴图像过二、四象限

正比例函数2(应用)

正比例函数2（应用）一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，是自变量，是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？40．已知y与x﹣3成正比例，当x=4时，y=3．①求这个函数解析式．②求当x=3时y的值．正比例函数2（应用）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用三角形面积公式求出AH得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）设P（t，0），利用三角形面积公式得到•|t|•3=9，然后解关于t的绝对值方程即可．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6，∴•4•AH=6，解得AH=3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y=kx得4k=﹣3，解得k=﹣，∴正比例函数解析式为y=﹣x；（2）存在．设P（t，0），∵△AOP的面积为9，∴•|t|•3=9，∴t=6或t=﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=﹣2解得，∴正比例函数的解析式是；（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），∴OP=5，∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．【分析】依据正比例函数的定义得到|m+2|=1且m+3≠0，求得m的值即可．【解答】解：依题意有|m+2|=1且m+3≠0，解得m=﹣1．故m的值是﹣1．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．【分析】设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A （1，3）代入求得k即可．【解答】解：设正比例函数的函数解析式是y=kx，∵A（1，3）在y=kx上，则k=3，∴这个函数解析式是y=3x．【点评】此题主要考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．【分析】（1）根据新运算法则得出3※4的值；（2）分类讨论：当x≥0时和x＜0时，分别写出y与x的关系式，再画出图象．【解答】解：（1）∵4≥0，∴3※4=3×4=12；（2）当x≥0时，y与x的关系式为y=2x；当x＜0时，y与x的关系式为y=﹣2x；列表如下：x…﹣2﹣1012…y…42024…描点、连线，如图所示．【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是：（1）读清题意，掌握新运算法则；（2）分x≥0和x＜0找出y与x的关系式．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y=y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．【解答】解：根据题意设y1=k1x，y2=k2（x﹣2），即y=y1+y2=k1x+k2（x﹣2），将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得：，解得：k1=﹣，k2=﹣，则y=﹣x﹣（x﹣2）=﹣x+1．即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；画出该函数的图象为【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【分析】由点A所在的位置即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式，此题得解．【解答】解：∵点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，∴点A的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx中，﹣4=2k，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数的表达式是解题的关键．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【分析】（1）根据题意可设y=kx，再把当x=﹣2时，y=4代入可得k的值，进而得到函数解析式；（2）将点的坐标代入正比例函数的解析式求得a的值即可．【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y=kx，∵当x=﹣2时，y=4，∴4=﹣2k，k=﹣2，∴y与x的函数关系式为y=﹣2x，（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y=﹣2x的图象上，∴﹣2a=﹣2，∴a=1．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数的定义：y=kx（k≠0）．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围．【解答】解：根据y随x的增大而增大，知：3k﹣1＞0，解得k＞．故k的取值范围为k＞．【点评】考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx，把A坐标代入求出k的值，确定出解析式，再将B坐标代入求出a的值即可．【解答】解：设y=kx，把A（﹣2，3）代入﹣2k=3，解得：k=﹣1.5，∴y=﹣1.5x，把B（a，﹣3）代入y=﹣1.5x，解得：a=2．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．【分析】设y=k（x+1），将x=2，y=1代入可求得k的值，继而可得出函数解析式，再将x=﹣3代入可求出y的值．【解答】解：y=k（x+1），将x=2，y=1代入得：1=3k，解得：k=，∴函数解析式为：y=x+，当x=﹣3时，y=﹣3×+=﹣．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．【分析】（1）利用题意列方程组，然后解方程组求出k1与k2的值，从而得到两个正比例函数的解析式；（2）先计算出自变量为4时所对应的两个函数值，然后计算的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以两正比例函数的解析式分别为y1=x，y2=﹣x；（2）当x=4时，y1=x=7，y2=﹣x=﹣9，所以=﹣=．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．【分析】①利用待定系数法把x=﹣2时y=12代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式；②根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可得出k的值．【解答】解：①∵正比例函数y=kx中x=﹣2时y=12，∴12=﹣2•k，解得：k=﹣6，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣6x；②解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义及待定系数法确定正比例函数的解析式，难度不大，注意基础概念的掌握．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．【分析】直接设正比例函数的解析式为：y=kx，将点，代入求出即可．【解答】解：设正比例函数的解析式为：y=kx，（k＞0），∵正比例函数过点，∴，解得：，∴正比例函数的解析式为：y=6x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用图象上点的性质得出是解题关键．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．【分析】（1）设y=k（x+2），将x=5，y=﹣21，代入可得出y与x之间的函数关系式．（2）令x=0可得出截距．【解答】解：（1）设y=k（x+2），x=5，y=﹣21代入得：﹣21=7k，解得：k=﹣3，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣3x﹣6；（2）令x=0，解得：y=﹣6，∴截距为﹣6．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，难度不大，注意掌握截距的概念．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【分析】（1）根据图象上点的坐标性质，将点（，1）代入正比例函数y=（3m ﹣1）x，求得m值即可；（2）根据m的值，即可得出这个函数的解析式；【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y=（3m﹣1）x，即：1=（3m﹣1）×，整理得：3m=3，解得：m=1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y=（3m﹣1）x，即可求出，y=（3×1﹣1）x=2x，∴这个函数的解析式为：y=2x．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式，此题比较简单作题时一定要认真仔细不要犯错．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．【分析】先根据题意设出关系式，将x=3时y=1代入，求得k的值，然后把x=﹣5代入，求出y的值．【解答】解：∵y+4和x成正比例，∴y+4=kx（k≠0），∵x=3时，y=1，∴1+4=3k，k=，∴y=x﹣4．当x=﹣5时，∴y=×（﹣5）﹣4=﹣．【点评】本题考查了正比例函数的定义，已知自变量的值求得函数的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．【分析】首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q 的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．∵它图象经过点P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2．∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m．∴m=3．【点评】此类题目考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．【分析】根据正比例函数的系数≠0，且自变量的次数为1解答．【解答】解：根据题意得：k2﹣3=1①，k2+2k≠0②．由①得：k=±2．当k=﹣2时，k2+2k=0，y不是正比例函数；当k=2时，k2+2k=8，即y=8x是正比例函数，∴当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数．【点评】解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．【分析】设y1=kx2，y2=a（x﹣2），得出y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x=2代入函数解析式，即可得出答案．【解答】解：设y1=kx2，y2=a（x﹣2），则y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得：，k=2，a=﹣3，∴y与x之间的函数表达式是y=2x2﹣3（x﹣2），把x=2代入得：y=2×22﹣3×（2﹣2）=8．【点评】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得k=±2，∵此正比例函数y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，∴k＜1，∴k=﹣2．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式y=﹣x．【分析】因为y与x成正比例，y随x的增大而减小，所以可设y=kx（k＜0），又因其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），所以有﹣m=k，﹣1=mk，进而可利用方程求出m、k，最终解决问题．【解答】解：∵y与x成正比例，y随x的增大而减小，∴设y=kx（k＜0），∵其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），∴﹣m=k且﹣1=mk，∴﹣1=﹣m2，m=1，k=﹣1或m=﹣1，k=1，∵k＜0，∴m=1，k=﹣1，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题，但要注意运用y随x的变化规律确定值的取舍．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3）∴3=2k，解得k=，∴正比例函数的解析式为：y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．【分析】（1）设解析式为y=kx，再把（﹣3，6）…代入函数解析式即可算出k的值，进而得到解析式；（2）把（a，8）代入（1）计算出的解析式，即可算出a的值，进而得到点A 的坐标．【解答】解：（1）设解析式为y=kx，∵正比例函数的图象经过点（﹣3，6），∴6=﹣3k，解得k=﹣2，∴y=﹣2x；（2）把（a，8）代入y=﹣2x，得8=﹣2a，解得a=﹣4，故点A的坐标是（﹣4，8）．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是图象经过的点，必能满足解析式．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．【分析】设函数解析式为y=kx，将x=6时，y=﹣3代入解析式即可求出k的值，从而得到y与x的关系式．【解答】解：设函数解析式为y=kx，将x=6，y=﹣3代入解析式得，﹣3=6k，k=﹣，则函数解析式为y=﹣x．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，设出正比例函数y=kx是解题的关键．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．【分析】利用待定系数法把（﹣1，2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），∴2=﹣1•k，解得：k=﹣2，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣2x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，题目比较简单，关键是能正确代入即可．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．【分析】设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，求出k的值，得到y与x的函数关系式，再把x=﹣1代入，即可求出对应的y值．【解答】解：设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，得：7﹣1=k（1+2），解得：k=2．∴y﹣1=2（x+2），即y=2x+5．当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+5=3．【点评】先设出满足题目条件的解析式，再运用图象上的点与解析式的关系来确定系数是解决本题的关键．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．【分析】根据题意可得y+3=k（x+2），再由y=kx可得3=2k，解方程可得k的值，然后可得正比例函数解析式．【解答】解：∵当x增加2时，y增加3，∴y+3=k（x+2），y+3=kx+2k，∵y=kx，∴3=2k，解得：k=，∴正比例函数解析式为y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式．关键是根据等量关系得到3=2k．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．【分析】首先利用正比例函数的定义求得a的值，从而确定解析式，然后将点的坐标代入求得b值即可．【解答】解：∵y=（a﹣1）是正比例函数，∴a2﹣3=1且a﹣1≠0，解得：a=2或﹣2∵b2+5＞0∴点（﹣2，b2+5）在第二象限∴a=﹣2∴解析式y=﹣3x，过点（﹣2，b2+5），∴b2+5=6∴b=±1【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．【分析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可；（2）将z=1，x=4代入z=knx，求出kn即可．【解答】解：（1）设y=kx（k≠0），z=ny（n≠0），则有z=knx，故z是x的正比例函数；（2）将z=1，x=4代入z=knx得，1=4kn，解得：kn=，则z=x．【点评】本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．【分析】（1）由题意可设y=kx（k≠0）．把x、y的值代入该函数解析式，通过方程来求k的值；（2）把x的值代入（1）中的函数式即可求得相应的y值．【解答】解：（1）由题意可设y=kx（k≠0）．则12=﹣3k，解得，k=﹣4，所以y关于x的函数解析式是y=﹣4x；（2）由（1）知，y=﹣4x，当x=﹣时，y=﹣4×（﹣）=2．即当时的函数值是2．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题实际上是利用代入法求得的系数k的值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？【分析】根据正比例函数的定义可得k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，解得：k=1．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）∴﹣4=2×k，即k=﹣2∴正比例函数解析式为y=﹣2x∵正比例函数的图象经过点（a，4）∴4=﹣2×a，即a=﹣2．【点评】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解．【解答】解：如图所示①在直线y=x上作OP=OA，可得符合条件的P1、P2点，P1坐标为（﹣，﹣），P2（，），②以A为圆心，1为半径作弧交直线y=x于点P3，点P3符合条件，P3坐标为（，），③线段OA的垂直平分线交直线y=x于点P4，点P4符合条件，P4点坐标为（，）．故答案为：P1（﹣，﹣），P2（，），P3（，），P4（，）．【点评】本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A的纵坐标、点A所在的象限结合△AOH的面积为3，可求出点A的坐标，再根据点A的坐标利用待定系数法，可求出正比例函数的表达式；（2）设点P的坐标为（a，0），根据△AOP的面积为5，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A在第四象限，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．∴点A的纵坐标为﹣2，∴点A的坐标为（3，﹣2）．将点A（3，﹣2）代入y=kx，﹣2=3k，解得：k=﹣，∴正比例函数的表达式为y=﹣x．（2）设点P的坐标为（a，0），则S=|a|×|﹣2|=5，△AOP解得：a=±5，∴在x轴上能找到一点P，使△AOP的面积为5，此时点P的坐标为（﹣5，0）或（5，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据三角形的面积找出点A的坐标；（2）利用三角形的面积找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：根据题意，得：，由①，得：m=2或m=﹣2，由②，得：m≠﹣2，∴m=2，即当m=2时函数y=（m+2）是正比例函数．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x=﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=代入解析式解答即可．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k=6，解得k=﹣2，所以，此函数的关系式是y=﹣2x；（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．【分析】根据正比例函数的性质得k＞0，再把（k，k+2）代入y=kx得到关于k 的一元二次方程，解此方程确定满足条件的k的值，则可得到正比例函数解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限∴k＞0，把（k，k+2）代入y=kx得k2=k+2，整理得k2﹣k﹣2=0，解得k1=2，k2=﹣1，∴k=2，∴这个正比例函数的解析式为y=2x．【点评】考查了待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是10kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？【分析】（1）根据函数关系式中自变量与因变量的关系就可以得出G是m的函数进而得出m是自变量，G是因变量；（2）将G=100代入关系式G=10m，求出m的值即可；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，建立方程求出甲的质量，在代入解析式G=10m就可以求出结论．【解答】解：由题意，得（1）重力的表达关系式是G=mg，在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G 是因变量．故答案为：m，G；（2）∵G=10m．∴G=100时，100=10m，∴m=10kg．故答案为：10；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，由题意，得。

正比例函数(2)

∴2k=-6，
k =-3。
∴函数解析式为y=-3x.
总结
一般地，正比例函数 y=kx (k是常数， k0 ) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随着x的增大而减小．
14.2 正比例函数(2)
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
比例系数 X的正比例函数
y = k x
自变量
(k≠0的常数)
记住：自变量的指数为1，比例系数 k≠0
画出正比例函数
y 2 x 与y=-2x的图象：
列表：
x
3 2
1
2
2 0
0 0
1
2
-2
2
3
y=2x 6 4
Y=-2x
4
-4
6
-6
6
4
描Байду номын сангаас：连线：
y 2 x
的图象．
得出结论：正比例函数 y=kx (k是常数， k≠0 ) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx。
怎样画正比例函数的图像最简单？如何描点最方便？
经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数,k ≠0)的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k )，过这两点做直线即可.
练一练画出下列函数的图像
y=1/2x y=-1/2x
观察
比较两个函数的相同点与不同点.
归纳

正比例函数2PPT优选课件

(1) 求正比例函数的解析式; (2) 求当x=26(度)时函数y的值.
解: (1)设所求的正比例函数解析式是y=kx,
把x=65,y=32.5代入,得32.5=65k, 解得 k=0.5
x的取值范围?
所以,所求的正比例函数解析式是y=0.5x.
已知正比例函数的两个变量的任何一对对应值
x=x1(x1≠0),y=y1,那么代入y＝kx中求得常数k的值，叫做
取值范围; (2)求得的函数的比例系数的多少?
圆锥的母线长是多少?
2020/10/18
14
函数y与自变量x成正比例, ……
我是x,我和y的关系可密切了,我越
大,他就越大.
哼,那可不一定……
x
y
2020/10/18 当k为负数时，x越大y反而越小。
15
3.已知三个变量x,y,z;其中y是x的正比例函数,z是y的正比例函数.
2.在y=(n+2)x+(n2-4)中,常数n为何值时, y是x的正比例函数? n =-2
2020/10/18
6
例1.铜的质量M与体积V成正比例.已知当 V=5(cm3 )时,M=44.5(g).
(1)求铜的质量M与体积V的函数关系式,并求出铜
的密度 ; (2)求体积为0.3dm3的铜棒的质量.
解:(1)因为Ｍ与Ｖ成正比例，所以
Ｍ＝Ｖ
把Ｖ＝5,Ｍ＝44.5代入,得
44.5 =5 ,
=8.9
∴M=8.9V,铜的密度是8.9g/ cm3
(2)因为铜棒的体积为0.3dm3,即V=300(cm3),
M=8.9V= 8.9×300=2670(g)
2020/10/答18 :铜棒的质量为2670g.

学案5：19.2.1正比例函数（2）

19.2.1正比例函数（2）学习目标1、理解正比例函数的概念及其图象的特征2、能够画出正比例函数的图象3、能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系4、能够利用正比例函数解决简单的数学问题重点：正比例函数的概念难点：正比例函数性质课前准备1、还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？①______________,②___________________③____________________2、细读课本110—111页，完成课本111页的“思考”，试着写出函数解析式：⑴；⑵；⑶；⑷。

学习流程一、正比例函数的概念观察“思考”中所得的四个函数；（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量的形式，（2）一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中k叫做。

思考：为什么强调k是常数，k≠0 ？(3)列举日常生活中正比例函数的模型，你知道多少？练一练（1）、下列函数哪些是正比例函数？①y=x3②y=3x③y=-12x+1 ④y=2x⑤y=x2+1 ⑥y=(a2+1)x+2(2)、若y =5x 3m-2是正比例函数，则m =___________.(3)、若y =(m -2)x m-3是正比例函数，则m =____________.二、正比例函数图像的画法与性质（一）、用描点法画出下列函数的图像（1）、 y =2x （2）、 y =-2x解：（1）列表得：解：（1）列表得：（2）描点、连线：（2）描点、连线：（3）、 y =0.5x （4）、 y =-0.5x解：（1）列表得：解：（1）列表得：（2）描点、连线：（2）描点、连线：（二）、活动二：观察上题画函数，完成下列问题（1）正比例函数是一条，它一定经过。

（2）因为过点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（，）和（，）（3）当k > 0时，直线经过象限，y随x的增大而当k〈0时，直线经过象限，y随x的减小而板块三、知识升华既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像（1）、y=-3x（2）y=3 2 x解：（1）当x=_____时，y=_____, 解：当x=_____时，y=_____,取点_______和_________,（2）描点、连线得：收获乐园本节课你有哪些收获？请在小组内交流。

正比例函数(2)课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册

-2
-1
0
-1
2
3
1
3
0
1
1
3
2
2
3
3
…
1
…
新知探究
如图，在直角坐标系中描出表中
y
1
y= x
3
2
1
-2 -1
O
1 2
x
x 和 y 的值对应坐标的点，将这
些点连接起来，得到一条经过原
点和第三、第一象限的直线.它
就是函数
1
y= x
3
的函数图象.
新知探究
例1
画出下列正比例函数的图象.
（3）y=-1.5x
（4）y=-4x
（3）y=-1.5x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选
取 y 与 x 的几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
3
1.5
0
-1.5
-3
-4.5
…
新知探究
y
如图，在直角坐标系中描出表中
y=-1.5x 9
x 和 y 的值对应坐标的点，将这
4
些点连接起来，得到一条经过原
1
点和第二、第四象限的直线，它
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，(3)∵点(1，3)在该函数图象
上，
∴2m＋4＞0，解得m＞－2；
∴2m＋4＝3，
(2)∵y随x的增大而减小，

正比例函数(2)

选两点坐标就可以，一般选（0,0）和（1，k)
原点
2.在画函数图象时，使函数图象位置发生变化的量是x、y、k中的哪个量？ k 3.这个量是如何影响正比例函数函数值的变化？又是如何影响正比例函数图象的呢？请你分情况具体说一说.

（1）当k>0时，y随x的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到右是上升的；（2）当k<0时，y随x的增大而减小，直线经过二、四象限，从左到右是下降的.
D.k4<k2<k3<k1
经过本节课的学习，你有哪些收获？请和我们一起分享。
总结性质

4.为什么k>0时，图象会经过一、三象限？而k<0 时，图象却经过二、四象限？
（1）当k>0时，x为正数，y也是正数，故在第一象限；x=0, y=0,故经过原点；x为负数，y也是负数，故在第三象限；所以，k>0时，图象经过一、三象限．（2）反之，k<0时，图象经过二、四象限．

5.当正比例函数图象经过一、三象限时，你能获得哪些信息？经过二、四象限呢？
3.已知 y关于x的正比例函数 y=(k+3)x|k|-4，且 y随x的增大而减小，那么 k=________. 4.若 y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ A.k1<k2<k3<k4 ）

O
x
B.k2<k1<k4<k3
C.k4<k2<k1<k3
出k的范围. （1）y 随x的增大而增大；
k>3
y
（2）图象经过一、三象限；
k>3 O x
（3）图象如图所示.

人教版八年级数学下册优质课课件《正比例函数2》

作业:
5、商店进了一批货，每件 2元，出售时，每件加利润 0.5元。如果售出件数为x 件，应收款为 y元，求y与x 的函数关系式。
巩固
4、已知正比例函数 y = kx，若x = 5，
y = -1，求函数解析式。要求正比例函数的解析式，
关键是什么？
方法：确定 y = kx (k是常数，k≠0) 的形式中的比例系数 k的值。
怎样求比例系数 k的值？
方法：把x、 y的值代入y = kx 中，求比例系数 k的值。
巩固 5、已知正比例函数 y = kx的图象经过点 P(5，-1) ，求函数解析式。
(1)设出正比例函数函数解析式的一般式y = kx ；
(2)把自变量和与函数的对对应值代入所设解析式即得方程；
(3)解方程，求出待定系数 k 的值；
(4)将求得的待定系数 k 的值代入所设解析式中，得解析式。
巩固
7、已知y是x的正比例函数，且当 x = -5时， y = 10，求这个正比例函数的解析式。
Hale Waihona Puke (1)比例系数 k ≠0; (2)自变量 x的指数为 1.
巩固
2、若函数 y ? (m ? 1)x ? m ? 1，是正
比例函数，则 m的值是( )
A ?1
B1
C ?1
D 不存在
要求符合正比例函数 y = kx (k是常数，k≠0)的形式。
巩固
3、已知正比例函数 y ? (k ? 2)x ? k ? 2，
则k的值是( )
A k? 2
B k ? ?2
C k? 2
D k ? ?2
要求符合正比例函数 y = kx (k是常数，k≠0)的形式。
范例

正比例函数知识点整理

正比例函数知识点整理一、正比例函数的定义。

1. 定义形式。

- 一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

例如y = 2x，y=(1)/(3)x都是正比例函数，这里k = 2和k=(1)/(3)分别是它们的比例系数。

2. 对定义的理解。

- 函数表达式必须是y = kx这种形式，x的次数为1，且不能有其他项。

比如y = 2x+1就不是正比例函数，因为它多了常数项1；y=x^2也不是，因为x的次数是2。

- k不能为0，如果k = 0，那么函数y = 0× x=0，它是一个常数函数，而不是正比例函数。

二、正比例函数的图象与性质。

1. 图象。

- 正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条经过原点(0,0)的直线。

- 当k>0时，例如y = 2x，图象经过一、三象限，从左向右上升；当k < 0时，比如y=-2x，图象经过二、四象限，从左向右下降。

2. 性质。

- 增减性。

- 当k>0时，y随x的增大而增大。

例如在y = 3x中，如果x_1 = 1，y_1 = 3×1 = 3；当x_2=2时，y_2 = 3×2 = 6，因为2>1且6 > 3，所以y随x增大而增大。

- 当k < 0时，y随x的增大而减小。

例如在y=-2x中，若x_1 = 1，y_1=-2×1=-2；当x_2 = 2时，y_2=-2×2=-4，因为2 > 1且-4<-2，所以y随x增大而减小。

- 倾斜程度。

- | k|越大，直线越靠近y轴，即直线越陡。

例如y = 5x比y = 2x的图象更陡，因为|5|>|2|；y=-5x比y=-2x的图象更陡，同样是因为| - 5|>|-2|。

三、正比例函数解析式的确定。

1. 方法。

- 因为正比例函数y = kx（k≠0），只需要知道一个点的坐标（除原点外）就可以确定k的值，从而确定函数解析式。

正比例函数

正比例函数正比例函数实质上是一次函数。

定义一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函数。

正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数，它是一次函数的一种特殊形式。

即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，即所谓“y轴上的截距”为零，则叫做正比例函数。

关系式一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。

正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）。

当k>0时（一、三象限），k的绝对值越大，图像与y轴的距离越近；函数值y随着自变量x的增大而增大；当k<0时（二四象限），k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。

自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

性质1.单调性当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。

2.对称性对称点：关于原点成中心对称。

对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线。

例题下面观察这5个函数的共同点，以便归纳出正比例函数概念。

①h=2t ；② m=7.8n；③s=0.5t；④T=t/3 ；⑤y=200x。

这5个函数有什么共同的特点？1：都有自变量。

2：都是函数。

3：都有常量。

这5个函数的右边都是常量和自变量的什么形式？这5个函数都是常量与自变量的乘积形式，都可表达为y=kx(k不等于0)的形式。

下面是4个函数，请判断哪些是正比例函数？①y=3；②y=2x；③y=1/x；④y=x^2。

解答：②是正比例函数。

因为它符合正比例函数的的定义。

①，③，④则不是正比例函数。

①：它为常数函数，无自变量。

③：它为反比例函数。

④：它为二次函数。

八年级数学正比例函数2(20201109203732)

专题3:反比例函数
专题4:函数的表示法
专题5:生活中的函数
活动专题1
函数的概念
所需课时2课时
活动专题1概述（对专题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图）
在现实生活中，有各种各样的数量问题，一个问题中常有处于变化状态的多个数量，而且这些数量之间相互联系、相互影响。如空中一定范围内的气温随着距地面高度的增加而逐渐降低，而且也有一定的规律世界上的事物是处在运动变化之中的，对数量问题的研究，也要用运动、变化的观点，从把握相关数量之间的关系及其变化发展过程着眼进行探索，基于这样的认识，形成了最初的函数概念及其思想方法。
主题或
单元标题
正比例函数和反比例函数
学科领域（（在内打2表示主属学科，打+表示相关学科）
思想品德
音乐
+化学
信息技术
语文2数学体育
美术外语+物理
生物历史地理
劳动与技术科学社会实践
社区服务
其他（请列岀）：
适用年级
初二
所需时间
10课时
主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图）
函数是数学中重要的基本概念之一，它是从显示世界中抽象岀来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具；函数知识渗透在中学教学的许多内容之中，它又与物理、化学等学科的知识密切相关。
所需教学材料和资源（在此列岀学习过程中所需的各种支持资源）
信息化资源
多媒体演示设备
常规资源
直尺、三角尺、方格纸
教学支撑环境
多媒体教室
其他
学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过
程）
步骤1:观察图片1和数据1，提岀有关长度的问题进行讨论，引入变量与常量的概念步骤2:学生讨论，教师明确变量和常量的概念，区分变量与常量时要具体分析，辨证的认识

初中数学正比例函数公式及定理

初中数学正比例函数公式及定理
初中数学正比例函数公式及定理
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数
一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b=0，即所谓“y轴上的`截距”为零，则为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：y=kx(k为比例系数) 当K>0时(一三象限)，K越大，图像与y轴的距离越近。

函数值y随着自变量x的增大而增大. 当K<0时(二四象限)，k越小，图像与y轴的距离越近。

自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小.
正比例函数的性质定义域
R(实数集)
值域
R(实数集)
奇偶性
奇函数
单调性
当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数; 当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。

周期性
不是周期函数。

对称性
无轴对称性，但关于原点中心对称。

正比例函数和反比例函数构成了全部的一次函数。

正比例函数是什么

正比例函数是什么最近发现很多中学生在正比例函数上，有很多误解，所以整理一下正比例函数的概念进行一个说明。

首先说正比例函数的概念：在中学课本上，标准的定义为：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函数。

这个正比例函数其实是Jack louny于1911年提出的一种数学术语，主要适用用于函数。

正比例函数实质上是一次函数。

把y = kx 中的 x 转换到左边，那式子就变成 y / x = k,也就是说，之所以叫正比例函数就是因为，两个变量X和Y的比例是一个常量。

我们从标准定义上，得到以下几个需要注意的点：1）两个变量，X,Y，当然了，如果换成A,B也是可以的，但条件是2个变量。

不能多，也不能少。

2）k为常数，且k≠0。

也就是说，k=0了不行，k=0的话，y就也等于0了，y也就成了常量。

还有就是X的系数k是常数，也就是说如果k 也是变量的话，那整个式子就成了三个变量，不行。

3)x,y的次数必须是1，如果这两个未知数的次数有一个不为1，也不行。

从这个上说，正比例函数其实就是一次函数（y=kx+b）的一种特殊形式。

4）形式必须是y=kx，不能是其他的，比如y=kx+b这样的，式子中有另外的常数也是不行的。

5）正比例≠比例是正值，这个一定要搞清楚，很多同学理解成了X增大Y增大才是正比例函数。

不是的。

X增大Y就增大，X增大Y就减小，只是满足比值是正值或负值，但这两种都是正比例函数。

根据以上的定义，我们来看以下的式子，哪些是正比例函数呢？1)y=3；2)y=2x；3)y=1/x；4)y=x^2;5)y=20x+6;6）y=2x+4x7)y=-2x；很显然2)是正比例函数，符合正比例函数的的定义。

6)是正比例函数，因为它的2x和4x可以合并为6x,符合正比例函数的的定义。

7)是正比例函数，也符合符合正比例函数的的定义。

1)是只有一个变量，成了一个常量函数。

《正比例函数(2)》教学设计课件

问题3 在k>0的 4 y
情况下，图象
是左低右高还
3
是左高右低？
2
1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
x 1 23 4
问题4 对应地，当自变量的值增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？
画正比例函数图象
合作探究
问题5 当k<0 时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？请各小组画出函数y=－3x和y=－1.5x的图象，进行小组合作研究．
象的大体位置只可能是（ B ）
y
y
y
y
x O
x O
x O
x O
A
B
C
D
巩固练习
3．对于正比例函数y=kx，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ A ）．
A.k＜0
B.k≤0
C.k＞0
D.k≥0
巩固练习
4. 比较大小（1）k1 ＜ k2
4y 3
（2）k3 ＜ k4
2
（3）比较k1, k2, k3, k4大小，
1
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
并用不等号连接. –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4
–1
答：k1 < k2 < k3 < k4
–2
–3
–4
课堂小结
1.本节课，我们研究了什么，得到了哪些成果？ 2.正比例函数的图象及性质怎样？ 3.我们是怎样进行研究的？ 4.正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？
布置作业
1.教科书习题19.2，2；
2.用简便方法在同一坐标系中分别画出y=4x和y=－2x
的图象，并分别指出，当自变量x增大时，对应的函数值是增大还是减小； 3. 函数y=4x中，当自变量扩大为原来的10倍时，对应的函数值怎样变化？