高考数学艺术生专用 第十四节、导数的概念
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
导数概念及意义范文
导数概念及意义范文导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数的变化率。
导数的意义在于解决了很多实际问题中的极限、斜率、速度和变化率等关键问题。
导数的定义可以通过极限来给出。
对于一个定义在区间上的函数，如果函数在其中一点上的导数存在，那么它就代表了在该点上函数的瞬时变化率。
导数被定义为该点上函数的斜率，表示了函数在该点附近的局部变化情况。
在直观上，导数可以理解为函数图像上其中一点处的切线的斜率。
切线的斜率可以用来描述函数在该点的变化速度，例如，对于一条直线函数来说，其导数在每一个点上都是相同的，即变化速度保持不变。
而对于曲线函数，导数在不同点上的值往往是不同的，因此可以用导数来描述曲线函数在不同点上的变化速度和方向。
导数的意义主要体现在以下几个方面：1.斜率的意义：在几何学中，斜率用来描述线段或曲线的倾斜程度。
导数可以精确计算出曲线在其中一点上的斜率，从而更好地描述曲线的性质。
2.速度的意义：对于物理学中的运动问题来说，导数可以表示物体的速度。
通过对位移函数关于时间的导数，可以得到速度函数，从而精确地描述物体在不同时间点上的瞬时速度。
3.变化率的意义：导数可以用来描述函数在给定点处的变化率，即函数值随自变量的变化而变化的快慢。
这对于许多实际问题中的分析和解决非常有用，比如经济学中的边际效应分析、生物学中的生长速率分析等。
4.最值和凹凸性的意义：导数的符号和变化规律可以用来判断函数的极值点和凹凸性。
根据导数的正负性可以判断函数的增减性，从而得到函数的最值点；而根据导数的单调性和凹凸性可以推断函数的趋势和拐点位置。
总之，导数是微积分中的一个基本概念，对于函数的性质研究和实际问题的分析具有重要意义。
它在物理、经济、生物等不同领域都起到了关键的作用，在解决实际问题和推导数学定理中都发挥了重要的作用。
数学高考导数知识点
数学高考导数知识点导数是高中数学中一个非常重要的概念，也是高考中常考的知识点。
掌握导数的基本概念和计算方法对于解题至关重要。
本文将详细介绍导数的相关知识点。
一、导数的定义在微积分中，若函数f(x)在点x处的导数存在，则称函数f(x)在点x处可导。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(△x→0)(f(x+△x)-f(x))/△x其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，f(x+△x)表示点x处的函数值加上一个非常小的增量△x，f(x)表示点x处的函数值。
导数的计算方法有多种，如使用导数的四则运算法则、链式法则、反函数求导法则等。
二、导数的几何意义导数在几何上表示函数曲线在某一点处的切线的斜率。
当函数的导数为正时，表示函数在该点处递增；当函数的导数为负时，表示函数在该点处递减；当函数的导数为零时，表示函数在该点处取得极值。
三、常见函数的导数1. 常数函数：常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为常数，x为自变量。
3. 指数函数：指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^xlna，其中a为常数，x为自变量。
4. 对数函数：对数函数f(x) = logₐ(x)的导数为f'(x) = 1/(xlna)，其中a为常数，x为自变量。
5. 三角函数：三角函数的导数可以通过公式直接计算，例如sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)等。
6. 反三角函数：反三角函数的导数可以通过公式直接计算，例如arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)，arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)，arctan(x)的导数为1/(1+x^2)等。
四、导数的应用导数在实际问题中有广泛的应用。
常见的应用包括求函数的极值、判断函数的单调性、求曲线的凹凸区间、求函数的零点、求函数的最大最小值等。
导数高考常考知识点
导数高考常考知识点导数是高考数学中常考的知识点，它是微积分的基础。
对于很多学生来说，导数可能是一个令人望而生畏的概念。
然而，只要我们理解了导数的概念和性质，掌握了一些基本的计算方法，导数其实是一个非常有用的工具，可以帮助我们解决很多数学和实际问题。
首先，我们来看一下导数的定义。
在微积分中，导数的定义是函数在某一点上的变化率。
具体地说，对于函数y=f(x)，在点x上的导数表示函数在该点上的变化趋势。
如果导数大于零，表示函数在该点上递增；如果导数小于零，表示函数在该点上递减；如果导数等于零，表示函数在该点上取得极值。
这些概念在解析几何和最优化等领域中非常重要。
导数的计算方法有很多种，其中最基本的是基于导数的定义进行计算。
例如，对于常数函数f(x)=c，其中c是一个常数，它的导数为零，因为常数函数的变化率为零。
对于幂函数f(x)=x^n，其中n是一个正整数，它的导数为f'(x)=n*x^(n-1)，这个公式可以通过不断应用导数的定义进行推导。
此外，还有一些特殊函数的导数公式，如指数函数、对数函数和三角函数等。
导数在数学中有很多应用。
其中一种重要的应用是求解函数的最值。
根据导数的性质，我们可以通过计算函数的导数来确定函数的极值点。
具体地说，如果函数在某一点处的导数等于零，那么该点是函数的一个可能的极值点。
通过进一步的分析，我们可以确定该点是一个极大值点还是一个极小值点，或者不是极值点。
这种方法在高考中经常被用来求解诸如求函数图像的最高点和最低点之类的问题。
另一个应用是求解函数的曲线方程。
通过计算一个函数的导数，我们可以得到该函数在每个点处的切线斜率。
根据切线的性质，切线斜率等于函数导数在对应点的值。
因此，通过计算一个函数的导数，我们可以确定函数在每个点处的切线斜率。
结合给定的切点，我们可以得到函数的切线，进而得到函数的曲线方程。
导数还有其他一些重要的性质和应用。
例如，导数可以用来求函数的微分，微分是函数在某一点附近的线性逼近。
艺术生高考数学专题讲义：考点14 导数与函数的极值、最值
考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.①在(－∞，0)上为减函数② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， ∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. 13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
高考数学导数知识点大全
高考数学导数知识点大全导数作为高中数学的重要内容，在高考中占据着重要的地位。
掌握好导数的相关知识点，不仅可以帮助同学们在高考中取得好成绩，更能为日后的学习和科研打下坚实的基础。
本文将为大家详细介绍高考数学导数的知识点，帮助各位同学夯实导数的基本概念和应用技巧。
一、导数的定义在高中数学中，我们通常使用极限的概念来定义导数。
设函数y=f(x)，若当自变量x在某一点a的邻近时，函数值f(x)的增量f(x+△x)-f(x)与自变量增量△x之比的极限存在，记为f'(a)，则称f'(a)为函数f(x)在点a处的导数。
在导数的定义中，需要注意的是导数是描述函数在特定点处的变化率的概念，表示为斜率，具有方向性。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减；当导数为零时，函数可能是极值点。
二、导数的基本性质导数作为函数的一种重要性质，具有一些基本的性质，这些性质在解题中经常被使用到。
1. 和的导数等于导数的和若函数f(x)和g(x)在点a处都有导数，则有(f+g)'(a) = f'(a) +g'(a)。
2. 常数倍的导数等于导数的常数倍若函数f(x)在点a处有导数，则对于任意常数k，有(kf)'(a) =kf'(a)。
3. 乘积的导数公式若函数f(x)和g(x)在点a处都有导数，则有(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)。
4. 商的导数公式若函数f(x)和g(x)在点a处都有导数，且g(a)≠0，则有(f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)]/[g(a)]^2。
三、常见函数的导数掌握常见的函数对应的导数形式，能够帮助我们更好地理解导数的应用。
1. 幂函数的导数设f(x) = x^n，则有f'(x) = nx^(n-1)。
2. 指数函数的导数设f(x) = a^x，则有f'(x) = a^xlna。
高三导数的概念知识点
高三导数的概念知识点导数作为微积分的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。
它不仅是理解微分学的基础，还在实际问题的求解中起到了关键的作用。
本文将重点阐述高三导数的概念和相关的知识点，帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义及求导法则导数是函数变化率的极限，给出了函数在某一点的瞬时变化速率。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，Δx表示自变量的增量，Δx→0表示自变量的变化趋于无穷小。
根据导数的定义，可以得到一些常用的求导法则，如导数的和、差、常数倍、乘积和商的求导法则，这些法则是求导过程中的基础操作。
二、导数的几何意义导数与函数的图像有着密切的关系，它可以帮助我们判断函数图像的变化趋势和特征。
具体来说，导数的几何意义包括以下几个方面：1. 函数图像的切线斜率：函数图像在某一点的切线斜率等于该点处的导数值。
导数的绝对值越大，表示函数图像在该点附近变化越剧烈。
2. 函数图像的增减性：函数在某一区间内增减的情况可以通过导数的正负来判断。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
3. 函数极值点的判断：函数的极大值和极小值点，对应着导数为0的点。
通过求解导数为0的方程可以得到函数的极值点。
三、高阶导数与导数的应用对于函数的导数，我们还可以进一步求导，得到高阶导数。
高阶导数描述了函数变化率变化的规律，它在物理学、经济学等领域的应用非常广泛。
1. 二阶导数和凹凸性：函数的二阶导数可以帮助我们判断函数图像的凹凸性。
当二阶导数大于零时，函数图像在该点附近凹向上方；当二阶导数小于零时，函数图像在该点附近凸向上方。
2. 导数在最优化问题中的应用：导数在最优化问题中起到了重要的作用，如求解极大值、极小值等问题。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的关键点，从而解决实际问题。
导数知识点概念归纳总结
导数知识点概念归纳总结1. 导数的定义导数的定义是建立在函数的极限概念上的。
设函数y = f(x)，在点x处的导数定义为：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]其中，Δx表示x的增量，当Δx趋于0时，上式的极限存在则称函数在点x处可导，这个极限的值就是函数在点x处的导数。
导数表示了函数在某一点处的变化率，可以理解为函数在这一点处的斜率。
2. 导数的性质导数具有一些基本性质，例如：（1）可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。
（2）导数存在的充要条件是函数在该点处有切线。
（3）可导函数在一点的导数等于该点的切线的斜率。
（4）导数具有线性运算性质，即\[ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \]，\[ (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) \]，其中f(x)和g(x)都是可导函数，k是常数。
（5）复合函数的导数公式，如果y = f(u)，u = g(x)，则\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]。
3. 导数的计算方法对于简单的函数，可以通过导数的定义进行计算。
但是对于一些复杂的函数，使用导数的定义进行计算过于繁琐，因此需要借助一些常用的导数公式和方法来进行计算。
（1）常用函数的导数公式常用函数的导数公式包括：- 幂函数的导数：\[ (x^n)' = nx^{n-1} \]，其中n是常数。
- 指数函数的导数：\[ (a^x)' = a^x \ln a \]，其中a是常数。
- 对数函数的导数：\[ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \]，其中a是常数。
- 三角函数的导数：\[ (\sin x)' = \cos x \]，\[ (\cos x)' = -\sin x \]，\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数高等数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数的变化速率。
导数的定义及其性质是高等数学学习的重点内容之一。
本文将对导数的概念和定义进行详细论述。
1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，也可以记作dy/dx|{x=a}或df(x)/dx|{x=a}。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义导数的定义基于极限的概念。
一个函数在某一点上的导数等于函数曲线在该点处的切线斜率，也就是曲线与x轴之间的夹角的正切值。
具体来说，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以用以下公式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a对于函数f(x)=kx^n，其中k和n都是常数，可通过求导的方式计算导数。
根据定义和导数的特性，我们可以得到：- 常数的导数为0：如果f(x)=k，其中k是一个常数，那么f'(x)=0。
- 幂函数的导数：对于f(x)=x^n，其中n是正整数，f'(x)=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：对于f(x)=a^x，其中a为正实数且a≠1，f'(x)=a^x * ln(a)。
3. 导数的几何意义导数具有重要的几何意义。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数f'(a)表示函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数曲线在该点处向上增长；当导数为负时，函数曲线在该点处向下减小；当导数为零时，函数曲线在该点处具有极值（最大值或最小值）。
通过导数可以描绘出函数的整体特征，包括函数的增减性、极值点、拐点等。
通过对导数图像的分析，可以得到函数图像的大致形态。
4. 导数的计算规则导数的计算有一些特定的规则。
导数的意义知识点总结
导数的意义知识点总结一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，它表示了函数在这一点上的瞬时变化速率。
具体来说，对于函数y=f(x)，其在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim(Δx->0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx其中，lim表示极限运算，Δx表示自变量x的增量。
这个定义可以直观地理解为，当Δx 趋向于0时，函数在点x处的变化率，即斜率，就是函数在这一点的导数。
二、导数的意义1. 几何意义导数在几何学中有重要的意义，它可以表示函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，函数y=f(x)在点(x, f(x))处的切线斜率就是函数在这一点的导数f'(x)。
这个切线斜率可以告诉我们函数在这一点上的变化趋势，以及函数在这一点的局部性质。
2. 物理意义在物理学中，导数表示了物理量随时间的变化率。
例如，位移随时间的导数就是速度，速度随时间的导数就是加速度。
这些物理量的导数可以告诉我们物体在某一时刻的变化速度和变化趋势，对于研究物体的运动和变化有着重要的意义。
3. 经济意义在经济学中，导数表示了经济变量随时间的变化率。
例如，收入随时间的导数就是收入增长率，成本随时间的导数就是成本增长率。
这些导数可以告诉我们经济变量的变化趋势，对于研究经济发展和经济政策有着重要的意义。
三、导数的应用1. 最优化导数在最优化问题中有着重要的应用，它可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
具体地说，函数在最大值和最小值点处的导数为0，因此我们可以通过求导数为0的点来解决最优化问题。
2. 运动学在运动学中，导数可以帮助我们研究物体的运动轨迹和速度变化。
通过求解物体位移随时间的导数，我们可以得到物体的速度；通过求解速度随时间的导数，我们可以得到物体的加速度。
这些导数可以帮助我们研究物体的运动规律和行为。
3. 曲线拟合导数可以帮助我们进行曲线拟合和数据分析。
通过求解数据点的导数，我们可以得到数据的变化率和趋势，从而对数据进行分析和预测。
数学高考知识点导数
数学高考知识点导数导数，作为高考中的一项重要数学知识点，是理解和掌握微积分的基础。
在应用数学题中，导数有着广泛的应用，通过求导可以找到函数的最值、研究函数的变化趋势等。
本文将详细介绍导数的概念、性质以及求导的方法，以帮助广大学生更好地掌握这一知识点。
一、导数的概念在微积分中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，如果函数在某一点上的导数存在，那么这个导数就表示了函数在该点上的切线斜率。
一般地，我们用f'(x)或dy/dx来表示函数f(x)的导数。
导数的定义如下：\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\]二、导数的性质导数具有以下几个重要的性质：1. 若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点连续。
2. 若函数在某一点上可导，则该点一定是函数的点。
3. 函数的导数表示了函数的变化趋势，当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减；当导数等于0时，函数取极值。
4. 导数可以进行四则运算，即导数的和、差、积、商仍然是函数的导数。
三、求导的方法求导是数学高考中非常重要的一部分，因此我们需要掌握一些常见的求导方法。
下面列举了一些常见函数的导数求解方式：1. 常数函数的导数为0。
即对于常数a，有导数\[f'(x) = 0\]。
2. 幂函数的导数可以通过幂函数求导法则求解。
如果函数为f(x) =x^n (n为常数)，则导数为\[f'(x) = nx^{n-1}\]。
3. 指数函数的导数为该函数的自变量的指数与以自然对数为底的指数函数之积。
即对于函数f(x) = e^x，其导数为\[f'(x) = e^x\]。
4. 对数函数的导数为该函数的自变量的倒数。
即对于函数f(x) =ln(x)，其导数为\[f'(x) = \frac{1}{x}\]。
5. 三角函数的导数可以通过三角函数求导法则求解。
导数高考知识点讲解
导数高考知识点讲解导数是高中数学中重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。
它是微积分的基础，对于理解和应用数学具有重要的作用。
本文将对导数的定义、性质以及常见的求导方法进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握导数的知识。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用符号f'(x)表示，也可以用dy/dx来表示。
导数的定义可以表示为：若函数f(x)在点x0处的导数存在，则导数f'(x0)是函数在该点的切线的斜率。
导数的定义可以通过极限的概念来进行表示，即f'(x0) = lim(x→x0) [(f(x) - f(x0))/(x - x0)]。
二、导数的性质1. 可导性：函数在某一点处可导，意味着该点处的导数存在。
函数的可导性与其连续性有关，如果函数在某一点处可导，则必定在该点连续。
2. 和差法则：(u ± v)' = u' ± v'，即两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数分别的导数之和（或差）。
3. 常数倍法则：(cu)' = cu'，即对于一个函数乘以一个常数，其导数等于函数的导数乘以该常数。
4. 乘积法则：(uv)' = u'v + uv'，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
5. 商法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v²，即两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，再减去分母函数的导数乘以分子函数，最后再除以分母函数的平方。
6. 复合函数求导法则：若y = f(u)和u = g(x)都可导，则复合函数y = f(g(x))可导，且有(dy/dx) = (dy/du)(du/dx)。
三、常见的求导方法1. 常数函数的导数为0：例如f(x) = 5，导数f'(x) = 0。
高三导数的概念知识点总结
高三导数的概念知识点总结导数是高中数学中一个重要的概念，它在微积分中占据着重要的地位。
它不仅在高中阶段的数学学习中起着重要的作用，而且在后续的高等数学中也扮演着关键角色。
本文将对高三导数的概念、性质和计算方法进行总结。
一、导数的概念导数，亦称微商或斜率，是函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以解释函数的局部性质，即函数在某一点的斜率。
二、导数的几何意义导数的几何意义主要体现在切线与曲线的关系上。
对于函数y=f(x)，如果在点(x，y)处存在导数f'(x)，则此时曲线y=f(x)在该点与切线的斜率相等。
换句话说，导数是切线的斜率。
三、导数的性质1. 对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。
2. 若函数y=f(x)可导，那么在其导函数f'(x)存在的区间内，函数连续。
3. 若函数y=f(x)可导，则在其定义域内，函数一定是单调的。
4. 若函数y=f(x)在某一点x处可导，那么在该点左右两侧的导数相等。
四、导数的计算法则1. 常数法则：若f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
2. 基本初等函数法则：a) 若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
b) 若f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
c) 若f(x) = ln(x)，其中x>0，则f'(x) = 1/x。
d) 若f'(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
3. 和差法则：若f(x) = u(x) ± v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
导数知识点总结高中数学
导数知识点总结高中数学一、导数的基本概念1. 函数的导数在高中数学中，我们通常将导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的斜率。
设函数y=f(x)，若极限f'(x) = lim (f(x+Δx) - f(x)) / ΔxΔx→0存在，则称其为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
导数也可以解释为函数在该点处的瞬时速度。
2. 导数的几何意义导数的几何意义即为函数图像在某一点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，其导数f'(x)就代表了函数图像在点(x, f(x))处的切线斜率。
因此，导数可以帮助我们研究函数在不同点处的变化情况，进而揭示函数的一些规律和特性。
3. 导数的符号表示通常情况下，我们使用f'(x)来表示函数f(x)在点x处的导数。
如果导数存在，那么函数在该点处是可导的；如果导数不存在，那么函数在该点处是不可导的。
导数的存在与否将决定函数在该点的一些性质和特性。
二、求导法则1. 导数的基本概念在求导法则中，有一些基本的导数公式需要掌握。
这些基本公式包括：（1）常数函数的导数：若y=c，则y'=0；（2）幂函数的导数：若y=x^n，则y'=nx^(n-1)；（3）指数函数的导数：若y=a^x，则y'=a^x * ln(a)；（4）三角函数的导数：sin'x=cosx，cos'x=-sinx，tan'x=sec^2x；（5）对数函数的导数：(lnx)'=1/x。
2. 导数的四则运算法则对于任意可导函数u(x)和v(x)，其和、差、积、商的导数分别为：（1）(u(x)±v(x))'=u'(x)±v'(x)（2）(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)（3）(u(x)/v(x))'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2以上是常用的导数的基本概念和求导法则，掌握这些知识对于解题和理解导数的应用是非常重要的。
高三数学知识点总结导数
高三数学知识点总结导数高三数学知识点总结—导数导数是高等数学中的重要概念，是微积分的基础之一。
它的相关知识点在高三数学学习中占据重要地位，对学生的数学能力有着深远的影响。
本文将对高三数学中的导数知识进行总结与介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、导数的概念与定义导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。
若函数y=f(x) 在点 x0 处可导，则其导数记为 f'(x0)，也可表示为dy/dx|x=x0。
导数的定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx 〗二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数计算法则：(1) y=c (常数) 的导数为 0；(2) y=x^n (n为实数) 的导数为 nx^(n-1)；(3) y=e^x 的导数为 e^x；(4) y=lnx 的导数为 1/x；(5) y=sin(x) 的导数为 cos(x)，y=cos(x) 的导数为 -sin(x)；(6) y=tan(x) 的导数为 sec^2(x)，y=cot(x) 的导数为 -csc^2(x)；(7) y=arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)，y=arccos(x) 的导数为 -1/√(1-x^2)；(8) y=arctan(x) 的导数为 1/(1+x^2)，y=arccot(x) 的导数为 -1/(1+x^2)。
2. 导数的四则运算法则：(1) 设函数 f(x) 和 g(x) 都在 x 点可导，则有以下导数运算法则：(a) (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)；(b) (f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)；(c) (cf)'(x) = cf'(x) (c为常数)；(d) (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；(e) (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x) ≠ 0。
数学导数知识点总结高三网
数学导数知识点总结高三网数学导数知识点总结导数是高中数学中非常重要的一个概念，它是微积分的基础，也是其他数学分支如物理、经济学等领域的重要工具。
在高三阶段，学生需要全面掌握导数的基本概念、性质以及应用等方面的知识。
本文将对高三数学导数知识点进行总结和归纳。
一、导数的定义和性质1. 导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点处的切线斜率。
具体而言，在一个点 x0 处，函数 f(x) 的导数 f'(x0) 即为函数图像在该点处切线的斜率。
2. 导数的定义设函数 f(x) 在点 x0 处可导，则函数 f(x) 在 x0 处的导数 f'(x0) 定义为极限：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/(h)〗3. 导数的性质（1）常数导数：常数函数的导数恒为零，即对于任意常数 c，有 (c)' = 0。
（2）幂函数导数：幂函数 f(x) = x^n (其中 n 为常数) 的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（3）和差导数：函数 f(x) = u(x) ± v(x) 的导数为 f'(x) = u'(x) ±v'(x)。
（4）乘积导数：函数 f(x) = u(x) × v(x) 的导数为 f'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)。
（5）商导数：函数 f(x) = u(x) / v(x) 的导数为 f'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / (v(x))^2。
（6）复合函数导数：若函数 y = u(v(x))，则有 y' = u'(v(x)) ×v'(x)。
二、导数的计算方法1. 基本函数的导数（1）常数函数：导数为零。
（2）幂函数：导数为 nx^(n-1)。
（3）指数函数：导数为 a^xlna，其中 a 为底数。
云南高中数学导数的基本概念
云南高中数学导数的基本概念一、导数的定义导数，是函数在某一点或某一割线上的切线的斜率，是描述函数在某一点附近变化的“瞬时速度”。
函数在某一点可导是指该点的左右极限存在且相等。
在一点可导的函数在该点是连续的。
二、导数的几何意义函数在某点的导数的几何意义是：函数曲线在这一点上切线的斜率。
这个切线的斜率描述了函数在该点附近的增减性。
如果导数大于0，则函数在该点附近单调递增；如果导数小于0，则函数在该点附近单调递减。
三、导数的物理意义在物理中，导数常常被用来描述速度、加速度、流量等物理量的变化率。
例如，物体的运动速度可以表示为位置函数的导数，而加速度则可以表示为速度函数的导数。
四、导数的运算规则导数有一些基本的运算规则，如链式法则、乘积法则、商的导数法则、幂的导数法则等。
这些规则可以用来计算复合函数、多项式函数、三角函数等函数的导数。
五、导数的应用导数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来描述物体的运动状态；在经济学中，它可以用来分析成本、收益等经济变量的变化规律；在工程学中，它可以用来优化设计、提高效率等。
六、导数的计算方法常用的求导方法包括定义法、基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则、乘积法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则和参数方程的求导法则等。
七、导数的计算步骤求函数导数的步骤大致可以分为以下几步：首先确定函数的定义域；然后根据函数表达式选择适当的方法和公式来计算导数；最后得到函数的导数表达式。
八、导数的符号表示在数学中，常用小写的英文字母来表示函数的导数，如f'(x)表示函数f(x)的导数。
同时，根据不同的需求和情况，也可能会用到其他符号来表示导数。
九、导数的性质导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、线性性质和不等式性质等。
这些性质为导数的计算和应用提供了重要的理论依据。
同时，也需要学生了解和掌握这些性质，以便更好地理解和应用导数。
导数高端知识点总结高中
导数高端知识点总结高中一、导数的概念1. 导数的定义在数学中，导数是函数变化率的量度，它表示函数在某一点的变化速率。
设函数y=f(x)，若极限f'(x)=lim[(f(x+Δx)-f(x))/Δx](Δx→0)存在，则称f(x)在点x处可导，并称这个极限为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数的几何意义可以从图像的角度来理解。
在函数图像的某一点A处，函数的导数f'(x)表示了曲线在A点的切线斜率，也就是函数在这一点处的变化速率。
如果导数为正，表示函数在该点处是递增的；如果导数为负，表示函数在该点处是递减的；如果导数为零，表示函数在该点处的变化率为零，即函数在该点处有极值。
3. 导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，物体的位移与时间的关系可以用函数来描述，而物体的速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
因此，导数可以用来描述物体在某一时刻的速度和加速度，这对于研究物体的运动特性具有重要的意义。
二、导数的性质1. 导数存在的条件函数f(x)在点x处可导的条件是函数在该点处的左导数和右导数存在且相等。
这个条件可以用极限的形式来描述，即lim[Δx→0-(f(x+Δx)-f(x))/Δx]=lim[Δx→0+(f(x+Δx)-f(x))/Δx]。
2. 导数的四则运算性质导数具有四则运算的性质，即对于两个可导函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数可以通过原函数的导数来求得。
具体的性质如下：（1）和函数的导数：(f+g)'=f'+g'（2）差函数的导数：(f-g)'=f'-g'（3）积函数的导数：(fg)'=f'g+fg'（4）商函数的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^23. 复合函数的导数如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也是可导的，它的导数可以通过链式法则来求得。
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第十四节、导数的概念
【基础知识】
1、 函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为 ；（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）
2、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值 x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。
导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(y x f =在点）
（)(,00x f x 处的切线的斜率。
3、 若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '。
①)()(t s t v '=表示瞬时速度；)()(t v t a '=表示瞬时加速度；② )(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值
4、 基本初等函数求导公式
幂函数：
='）（αx （α为常数） 指数函数：=')(x a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x e
对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：
='）（x ln 正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x
【基础训练】
1、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
2、函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A. 18 B. 41 C. 2
1 D. 1 3、()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）
A ．()f x =()g x
B ．()f x -()g x 为常数函数
C ．()f x =()0g x =
D ．()f x +()g x 为常数函数
4、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=
5、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3
t =时的瞬时速度为_____
6、曲线y ＝x 3－2
3 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为 7、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数f ′（3）＝ .
8、已知曲线x x y ln 32
12-=
的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ． 9、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 10、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a
11、曲线x x y +=331在点)3
4,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 12、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，则)1(2)1(f f '+的值是
13、在曲线10632
3-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为
【高考真题】
1、曲线在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）
A ．-9
B ．-3
C ．10
D ．15 2、设函数x e
x x g x a x x f 2
)(,ln )()(=+=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行，求a 的值；
2
11y x =+。