高考数学艺术生专用 第十四节、导数的概念

第十四节、导数的概念

【基础知识】

1、 函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为 ；（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）

2、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值 x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。

导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(y x f =在点）

（)(,00x f x 处的切线的斜率。 3、 若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '。

①)()(t s t v '=表示瞬时速度；)()(t v t a '=表示瞬时加速度；② )(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值

4、 基本初等函数求导公式

幂函数：

='）（αx （α为常数） 指数函数：=')(x a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x e

对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：

='）（x ln 正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x

【基础训练】

1、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)和(1,4)--

D ．(2,8)和(1,4)--

2、函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A. 18 B. 41 C. 2

1 D. 1 3、()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）

A ．()f x =()g x

B ．()f x -()g x 为常数函数

C ．()f x =()0g x =

D ．()f x +()g x 为常数函数

4、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=

5、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3

t =时的瞬时速度为_____

6、曲线y ＝x 3－2

3 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为 7、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数f ′（3）＝ .

8、已知曲线x x y ln 32

12-=

的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ． 9、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 10、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a

11、曲线x x y +=331在点)3

4,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 12、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，则)1(2)1(f f '+的值是

13、在曲线10632

3-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为

【高考真题】

1、曲线在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）

A ．-9

B ．-3

C ．10

D ．15 2、设函数x e

x x g x a x x f 2

)(,ln )()(=+=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行，求a 的值；

2

11y x =+