2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第三章 函数及其图象 第12讲 二次函数

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B.小球与O点的水平距离超过4米后呈下降趋势 C.小球落地与O点的水平距离为7米
D.斜坡的坡度为12
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解析 当y=7.5时,7.5=4x- 1x2,
2
整理得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5, ∴当小球抛出高度达到7.5 m时,小球与O点的水平距离为3 m或5
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知识点三 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 特征与系数a、b、c的关系
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符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
ab>0(a、b同号)
对称轴在y轴左侧
b=0
对称轴为y轴
ab<0(a、b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c>0
与y轴正半轴相交
c=0
经过原点
c<0
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例1 (2017泰安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分
对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-3
1
3
1
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有下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1; ③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有
一个根大于4,其中正确的结论有( B )
>0,故④正确.故选B.
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考向2 比较函数值的大小 例2
二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此
函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是 ( B )
A.y1≤y2
B.y1<y2
C.y1≥y2
D.y1>y2
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y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.
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变式4-1 抛物线y=x2+4x+1可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平
与y轴负半轴相交
Δ =b2-4ac
b2-4ac>0
与x轴有两个交点
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac<0
与x轴没有交点
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知识点四 二次函数图象的平移
1.平移步骤
(1)将二次函数的一般式变形为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0); (2)保持抛物线的形状不变,依据平移规律,平移顶点坐标(h,k)即
另一个根大于2×3 =3,小于3+1=4,故④错误,故选B.
2
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变式1-1 (2018威海)如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小
球抛出的路线可以用二次函数y=4x1- x2刻画,斜坡可以用一次函数y
2
= 1x刻画,下列结论错误的是 ( A )
2
A.当小球抛出高度达到7.5 m时,小球与O点的水平距离为3 m
向下
(h,k)
直线x=⑦ h
在对称轴的左侧,即当x<h时 在对称轴的左侧,即当x<h时
,y随x的增大而⑧
,y随x的增大而⑩
减小 ;在对称轴的
增大 ;在对称轴的
右侧,即当x>h时,y随x的 右侧,即当x>h时,y随x的
增大而⑨ 增大
增大而 减小
当x=h时,y有最小值,y最小=k 当x=h时,y有最大值,y最大=k
(3)涉及图形面积问题,以三角形为例,可设三角形的底边长为自
变量x,面积为函数S,根据三角形面积公式列函数关系式进而求解
实际问题.
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2.解答的一般步骤 (1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系; (2)列出函数关系式,并确定自变量的取值范围; (3)应用二次函数的图象及性质解决实际问题; (4)检验结果的合理性,看其是否符合实际意义.
C.y1>y2>0
D.y2>y1>0
解析 抛物线y=ax2(a>0)的对称轴为x=0,且开口向上,-2<-1,∴y1 >y2>0.
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考向3 二次函数的图象与系数的关系
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例3 (2018滨州)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称
轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则
可.
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2.平移规律
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知识点五 二次函数解析式的求法(必考考点) 1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 若已知条件是图象上的三个点的坐标,则设为一般式y=ax2+bx+c (a≠0),将已知条件代入,求出a、b、c的值,进而得到解析式. 2.顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
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知识点六 二次函数的实际应用(高频考点,复习重点,难点)
1.实际应用的类型 (1)涉及拱桥、隧道、投篮等问题,一般情况下用待定系数法设二 次函数的顶点式解答.
(2)涉及利润增长(或下降)等问题,一般情况下设总利润为y,根据 总利润y=单位利润×销售数量列函数关系式,求得函数最值.
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值或最小值,则
设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数的值,进而得到解析式.源自K12教育课件13
3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设为交点式y=a (x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待 定系数a的值,进而得到解析式.
解析 ∵二次函数y=-x2+bx+c图象的对称轴为x=1,且开口向下,x1 <x2<1,∴y2>y1.
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变式2-1 (2017连云港)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(-1
,y2)两点,则下列关系式一定正确的是 ( C )
A.y1>0>y2
B.y2>0>y1
时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故①正确; ②∵二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,且对称轴为x= 0 3 =1.
2
5,∴当x≥1.5时,y随x的增大而减小,故②错误;
③∵当x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0, ∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,故③正确; ④∵当x=-1时,ax2+bx+c=-1,∴当x=-1时,ax2+(b-1)x+c=0,∵当x=3 时,ax2+(b-1)x+c=0,且函数有最大值,∴当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c
抛物线有最低点,当x=- 2ba 时,y有
最小值,y最小= 4ac4a
b2
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抛物线有最高点,当x=- 2ba 时,y有
最大值,y最大= 4ac4a b2
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2.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
a>0
a<0
图象
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
最大值或 最小值
向上
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3.二次函数与几何知识的综合应用 二次函数与几何知识的综合应用题型非常广泛,常见的类型有存 在性问题,动点问题,动手操作问题,关联知识点有方程,函数,三角 形,相似,四边形等,解决这类综合题,关键是分析题目中隐含的数 形结合思想,转化与化归思想,方程思想等建立数学模型,具体策 略如下: (1)存在性问题注意灵活运用数形结合思想,可以先假设存在,借 助条件求解.(2)动点问题通常利用数形结合,分类和化归思想,借 助于图形,把握图形运动的全过程,选取特殊点作为研究的突破口, 建立函数或者方程模型求解.
m,A错误,符合题意;
y=4x- 1x2=- 1(x-4)2+8,
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则抛物线的对称轴为x=4, ∴当x>4时,y随x的增大而减小,即小球与O点的水平距离超过4米
后呈下降趋势,B正确,不符合题意;
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y y


1 2
1 x2 4x,
2
x,
解xy得11 00,,
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
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有下列结论:
①ac<0;
②当x>1时,y随x的增大而减小, ③3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根; ④当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0.
其中正确的个数为 ( B )
A.4
B.3
C.2
D.1
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解析 ①易知二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,∴a<0;又x=0
二、三象限,故选C.
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考点二 二次函数图象的平移 例4 将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单 位,那么得到的抛物线的解析式为 y=2(x+2)2-2 .