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奔驰定理与四心

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平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。

平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。

它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

1. 奔驰定理如图，已知P 为ABC V 内一点，则有0PBC PAC PAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2. 奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOCAOBS S S S S BD DC S S S S S -====-V V V V V V V V V DC BD OD OB OCBC BC=+ AOCAOB AOC AOBAOC AOB S S OB OCS S S S =+++V V V V V V BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOBCOA S S S S S OD OA S S S S S S +====++V V VBOCAOC AOBS OD OAS S ∴=-+V V V BOCAOC AOB AOC AOBAOC AOB AOC AOB S S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++V V V V V V V V V 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=V V V3. 奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC V 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOC COA AOB S S S x y z=V V V 有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.3．设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅且222AB AC BC AP =-⋅.则点P 是ΔABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知点P 是ABC D 所在平面内一点，且满足()()cos cos AB ACAP R AB B AC C l l =+Î v vv v v ，则直线AP 必经过ABC D 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．设是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足，，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心1．若O 是ABC V 内一点，且OA OB OA OC OC OB ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC V 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．已知点O 是ABC V 所在平面上的一点，ABC V 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB cOC ®®®®++=，则点O 是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知点O 为ABC V 所在平面内一点，在ABC V 中，满足22AB AO AB ⋅= ，22AC AO AC ⋅= ，则点O 为该三角形的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4．已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若12OP OA AB BC l æö-=+ç÷èø，[)0,l Î+¥，则点P 的轨迹一定过ABC V 的（ ）A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心5．在平面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．已知G ，O ，H 在ABC V 所在平面内，满足0GA GB GC ++=，||||||OA OB OC == ，AH BH BH CH CH AH ⋅=⋅=⋅，则点G ，O ，H 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，内心B ．重心、内心，外心C ．重心，外心，垂心D ．外心，重心，垂心1．奔驰定理：已知O 是ABC D 内的一点，BOC D ，AOC D ，AOB D 的面积分别为A S ，B S ，C S，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=v v v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC D 内的一点，A ，B ，C 是ABCD 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ v v v v v v，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v B ．cos cos cos 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= v v v vC ．tan tan tan 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v D ．sin 2sin 2sin 20A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=v v v 2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC AMC AMB △，△，△的面积分别为A B C S S S ，，，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若M 为ABC V 的外心，则()()()MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=D ．若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB Ð=1．奔驰定理：已知点O 是ABC V 内的一点，若,,BOC AOC AOB V V V 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC V 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（ ）A B C D 2．（多选）如图.P 为ABC V 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=V V V成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）A ．若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC V 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n é+Îë6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C Ð=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos AOB Ð=一、单选题1．在ABC V 中，动点P 满足222CA CB AB CP =-⋅，则P 点轨迹一定通过ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2．若O ，M ，N 在ABC V 所在平面内，满足||||||,OA OB OC MA MB MB MC MC MA ==⋅=⋅=⋅，且0NA NB NC ++=，则点O ，M ，N 依次为ABC V 的（ ）A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心3．已知O 为ABC V 内一点，若分别满足①OA OB OC == ；②OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；③0OA OB OC ++= ；④0aOA bOB cOC ++=(其中,,a b c 为ABC V 中，角,,A B C 所对的边).则O 依次是ABC V 的A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心4．给定△ABC ，则平面内使得到A ，B ，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．若H 为ABC V 所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．已知O ，A ，B ，C 是平面上的4个定点，A ，B ，C 不共线，若点P 满足()OP =OA+AB+AC l，其中R l Î，则点P 的轨迹一定经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．平面上有ABC V 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB V ，OBC △， O C A V 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a bc S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知点O 在平面ABC 中，且2220||||OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB æöæöæö⋅⋅⋅⋅⋅⋅ç÷ç÷-+-+-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则点O 是ABC V 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，若BOC V 、AOC V 、AOB V 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC V 的垂心，且240OA OB OC ++=，则cos B =( )AB ．13C ．23D10．已知O 是ABC V 所在平面上的一点,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b ,c ，若aPA bPB cPCPO a b c ++=++ v v vv （其中P 是ABC V 所在平面内任意一点），则O 点是ABC V 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OCÐ⋅+Ð⋅+Ð⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V 二、多选题12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC V 内的一点，A ，B ，C 是ABCV 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（ ）A ．O 为ABC V 的外心B ．BOC A pÐ+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C=13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC V 内的一点，BAC Ð，ABC Ð，ACB Ð分别是ABC V 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC V 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．若||||2OA OB == ，5π6AOB Ð=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =V D ．若O 为ABC V 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC Ð⋅+Ð⋅+Ð⋅=14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的是（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC Ð=°，60ABC Ð=°，M 为ABC V 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC V 的垂心，230MA MB MC ++= ，则cos BAC Ð=15．奔驰定理：已知O 是ABC V 内的一点，BOC V ，AOC V ，AOB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC V 内的点，A 、B 、C 是ABC V 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ，则（ ）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△B ．πA BOC Ð+Ð=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 三、填空题16．在面上有ABC V 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC V 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ，则O 为ABC V 的 心.17．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OA OB CA CB OP CA A CB B l æö+ç÷=++ç÷èø，R l Î，则P 的轨迹一定经过ABC V 的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P 是ABC V 的重心，则有0PA PB PC ++= ；②若0aPA bPB cPC ++= 成立，则P 是ABC V 的内心；③若2155AP AB AC =+ ，则:2:5ABP ABC S S =△△；④若P 是ABC V 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n é+Îë；⑤若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为45.则正确的命题有 .（填序号）19．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O 为ABC V 内一点，OBC △，OAC V ，OAB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++= ，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =，O 为ABC V 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为.20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若P 是ABC V 内一点，,,BPC APC APB V V V 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= .已知O 为ABC V 的内心，且1cos 3BAC Ð=，若AO mAB nAC =+ ，则m n +的最大值为 .。

向量与三角形的四心、奔驰定理latex版

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觅宁参考出品【知识清单】1向量与重心(1)重心定义:三角形三条中线的交点叫做三角形的,一般记为G.(2)G是△ABC的重心⇐⇒G的坐标为;(3)G是△ABC的重心⇐⇒# »GA+# »GB+# »GC=;(4)若# »AP=λ(# »AB+# »AC),λ∈R,则P在BC边的上;(5)若G是△ABC的重心,P是△ABC所在平面内一点则# »P G=(# »P A+# »P B+# »P C);(6)若G是△ABC的重心,则当P在G处时,|P A|2+|P B|2+|P C|2取得最值;(7)若G是△ABC的重心,则S△GAB:S△GBC:S△GAC:S△ABC=. 2向量与垂心(1)垂心定义:三角形三条高线的交点叫做三角形的;(2)若# »AP=λ(# »ABc cos B+# »ACb cos C),λ∈R,则P在BC边的上;(3)在△ABC中,# »HA·# »BC=# »HB·# »AC=# »HC·# »AB⇐⇒H是三角形ABC的;(4)在△ABC中,# »HA·# »HB=# »HB·# »HC=# »HC·# »HA⇐⇒H是三角形ABC的;(5)在△ABC中,|# »HA|2+|# »BC|2=|# »HB|2+|# »CA|2=|# »HC|2+|# »AB|2⇐⇒H是三角形ABC的.3向量与外心(1)三角形三条边的中垂线（垂直平分线）的交点叫做三角形的,即三角形的圆心.(2)外心到三角形的三个的距离相等;第1页共2页(3)锐角三角形的外心在三角形；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心三角形;(4)在△ABC中,|# »OA|=|# »OB|=|# »OC|⇐⇒O是三角形ABC的;(5)在△ABC中,(# »OA+# »OB)·# »AB=(# »OB+# »OC)·# »BC=(# »OA+# »OC)·# »AC=0⇐⇒O是三角形ABC的;(6)在圆O中，AB为弦，则# »AO·# »AB=.4向量与内心(1)三角形三条角平分线的交点叫做,内心即三角形的圆心，内心到三角形距离相等.(2)若# »AP=λ(# »AB|# »AB|+# »AC|# »AC|),λ∈R,则P在.(3)在△ABC中,a # »OA+b# »OB+c# »OC=#»0⇐⇒O是△ABC的.5奔驰定理(1)奔驰定理:若O为△ABC内一点,满足m # »OA+n# »OB+k# »OC=#»0,则S△AOB:S△BOC:S△AOC:S△ABC=.(2)已知P为△ABC内一点,则有S△P BC·# »P A+S△P AC·# »P B+S△P AB·# »P C=(3)在△ABC中,若sin2A·# »OA+sin2B·# »OB+sin2C·# »OC=#»0,则O为△ABC的;(4)在△ABC中,sin A·# »OA+sin B·# »OB+sin C·# »OC=#»0,则O为△ABC的;(5)在△ABC中,tan A·# »OA+tan B·# »OB+tan C·# »OC=#»0,则O为△ABC的.第2页共2页觅宁参考出品一、向量与三角形的重心1.在△ABC 中,已知O 为△ABC 所在平面内一点,若# »OA +# »OB +# »OC =0,则点O 是△ABC 的()A.内心B.垂心C.外心D.重心【答案】D2.已知O 是△ABC 所在平面上一定点,动点P 满足# »OP =# »OA +λ(# »AB |# »AB |sin B+# »AC |# »AC |sin C ),λ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】C3.已知A,B,C 是坐标平面内的不共线的三点,O 是坐标原点，动点P 满足# »OP =13[(1−λ)# »OA +(1−λ)# »OB +(1+2λ)# »OC ],λ∈R ,则点P 的轨迹一定经过△ABC 的()A.内心B.垂心C.外心D.重心第1页共5页【答案】D二、向量与三角形的垂心4.已知O 是△ABC 所在平面上一定点,动点P 满足,# »OP =# »OA +λ(# »AB |# »AB |cos B +# »AC |# »AC |cos C ),λ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】D5.在△ABC 中,若# »OA ·# »OB =# »OB ·# »OC =# »OC ·# »OA ,则点O 是△ABC 的()A.内心B.垂心C.外心D.重心【答案】B6.已知O 是△ABC 所在平面上一点,且|# »OA |2+|# »BC |2=|# »OB |2+|# »CA |2,则点O()A.在过点C 且与AB 垂直的直线上B.在∠A 的平分线所在直线上C.在边AB 的中线所在直线上D.以上都不对【答案】A第2页共5页三、向量与三角形的外心7.已知O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足# »OP=# »OB+# »OC2+λ(# »AB|# »AB|cos B+# »AC|# »AC|cos C),λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】A8.在△ABC中,已知O为△ABC所在平面内一点,若(# »OA+# »OB)·# »AB=(# »OB+# »OC)·# »BC=(# »OC+# »OA)·# »CA=0,则点O是△ABC的()A.内心B.垂心C.外心D.重心【答案】C四、向量与三角形的内心9.已知O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足# »OP=# »OA+λ(# »AB|# »AB|+# »AC|# »AC|),λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】B10.在△ABC中,已知O为△ABC所在平面内一点，若a # »OA+b # »OB+c# »OC=0,其中a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边长,则点O是△ABC的() A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心第3页共5页【答案】A11.在△ABC中,已知O为△ABC所在平面内一点，若# »P O=a# »P A+b# »P B+c# »P Ca+b+c,其中a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边长,P为△ABC所在平面内的任意一点,则点O是△ABC的()A.内心B.垂心C.外心D.重心【答案】A五、奔驰定理与向量的四心12.已知O是△ABC内部一点,满足# »OA+2# »OB+m# »OC=0,且S△AOBS△ABC=47,则实数m等于() A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C13.若△ABC内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且3# »OA+4# »OB+5# »OC=0.则△ABC的面积为()A.712B.65C.85D.125【答案】B 第4页共5页14.在△ABC 中,AB =2,AC =3,BC =4,O 为△ABC 的内心,若# »AO =λ# »AB +µ# »BC ,则3λ+6µ的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】C15.已知H 是△ABC 的垂心,若# »HA +2# »HB +3# »HC =0,则A =()A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B16.设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心,∠BAC =30◦,如图.若△P BC ,△P CA ,△P AB 的面积分别为12,x ,y ,则x +y 的最大值是()BCAPA.√22 B.√32C.√23D.√33【答案】D第5页共5页。

新高考数学二轮复习奔驰定理与三角形四心

新高考数学二轮复习奔驰定理与三角形四心

＋μB→C，则 3λ＋6μ 的值为
A.1
B.2
√C.3
D.4
A→O＝λA→B＋μB→C可化为O→A＋λO→B－λO→A＋μO→C－μO→B＝0， 整理得(1－λ)O→A＋(λ－μ)O→B＋μO→C＝0，所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
解得 λ＝59，μ＝29，所以 3λ＋6μ＝3×95＋6×29＝3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.若 M 是△ABC 内一点，且满足B→A＋B→C＝4B→M，则△ABM 与△ACM 的
知识拓展
(3)点 O 是△P1P2P3 的内心⇔aO→P1＋bO→P2＋cO→P3＝0⇔S△P2OP3∶ S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中 a，b，c 是△P1P2P3 的三边，分别对应角 P1，P2，P3)； (4)点 O 是△P1P2P3 的外心⇔|O→P1|＝|O→P2|＝|O→P3|⇔O→P1sin 2P1＋O→P2sin 2P2 ＋O→P3sin 2P3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.
cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝362＋×664×－852＝12， 又 A∈(0，π)，∴A＝π3，∴S△ABC＝12×6×8×sin π3＝12 3， 又 G 为△ABC 的重心，∴G→C＋G→B＋G→A＝0，
即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1， ∴S△BGC＝1＋11＋1S△ABC＝13S△ABC＝4 3.
板块一 三角函数与平面向量
知识拓展
1.奔驰定理 如图，已知 P 为△ABC 内一点，则有 S1·P→A＋S2·P→B＋S3·P→C＝0(其中 S1， S2，S3 分别为△PBC，△PAC，△PAB 的面积).

平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理

平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理

秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。

【高中数学】奔驰定理和感触形的四心课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

【高中数学】奔驰定理和感触形的四心课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

2C，
∴x＋y＝ 33(sin 2B＋sin 2C)
＝ 33sin 2B＋sin53π－2B
＝ 33sin2B－π3. 又∵B∈0，56π，∴2B－π3∈－π3，43π，
∴sin2B－3π∈－ 23，1，
∴x＋y∈0，
33，∴(x＋y)max＝
3 3.
∴x＋y＝ 33(sin 2B＋sin 2C)
λA→B＋μB→C，则 3λ＋6μ 的值为
A.1
B.2
√C.3
D.4
A→O＝λA→B＋μB→C可化为O→A＋λO→B－λO→A＋μO→C－μO→B＝0，)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2， 解得 λ＝59，μ＝29， 所以 3λ＋6μ＝3×59＋6×29＝3.
平面向量与奔驰定理（下） ————奔驰定理和三角形的四心
奔驰定理和三角形的四心（四心在三角形内 部）：
(1)O 是△ABC 的重心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1 ⇔O→A＋O→B＋O→C＝0. (2)O 是△ABC 的内心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c ⇔aO→A＋bO→B＋cO→C＝0. ⇔sinAO→A＋sinBO→B＋sinCO→C＝0.
又G为△ABC的重心， ∴G→A＋G→B＋G→C＝0，即 S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，
∴S△BGC＝13S△ABC＝4 3.
典型例题讲解：二、外心与奔驰定理 例2. 已知点 P 是△ABC 的外心，且P→A＋P→B＋λP→C＝0，C＝23π，则 λ＝
__－__1_.
依题意得，
典型例题讲解：一、重心与奔驰定理
例1.已知在△ABC 中，G 是重心，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，且

【高考数学】奔驰定理与向量四心

【高考数学】奔驰定理与向量四心

，则△ABC 的重心坐标为(G 为重心，则0OA OB OC ++=．1，且分的三个三角形面积相等定理：重心的向量表示：1133AG AB AC =+． 0B C OA S OB S OC ⋅⋅⋅++=（奔驰定理）AOB 、AOC ∆、△BOC 123::λλλ垂心定理：三角形三边上的高相交于一点ABC ∆的垂心，则OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅． 角平分线定理：若OA a =，OB b =，则∠平分线上的向量OM 为 ()||||a b a b λ+，λ由OM 决定 外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=；212BO BC BC ⋅=； ）221144AO AF AB AC ⋅=+，221144BO BE AB BC ⋅=+，221144CO CD BC AC ⋅=+； ）221122AO BC AC AB ⋅=-，221122BO AC BC BA ⋅=-，2211.22CO AB BC AC ⋅=-重心定理证明：()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⋅+=+ 12131,,OA OA OB OB OC OC λλ===，即满足1110OA OB OC ++=131λλ=，11231BOC B OC S S λλ=，故321:::AOB AOC BOC S S l l l =. 垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=，即OB CA ^，以此类推角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b +是以||a a 和||b b 为一组邻边的点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||a b a b +在AOB ∠平分线上，但∠分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定.OAMB 构成以∠如图，ABC △、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为△AC ，OF ⊥，AO AD DO AE EO =+=+，()221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ⋅=+⋅=+⋅=， 同理可证：212AO AC AC ?，212BO BC BC ⋅=； 22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC 骣琪??=??+琪桫； 同理221144BO BE AB BC ?+；同理221144CO CD AC BC ?+. 中，AB DC ==(1,0)，BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是（B ．3 C ．34 且230OA OB OC ++=，则A ∆．1∶4∶9 C的重心，令AB a =，AC b =，过点G 的直线分别交AP ma =，AQ nb =，则11m n+OAB 中，OA a =，OB b =，若2a ba b ?-=． ）求22a b +的值；()0a b a b a b ⎛⎫ ⎪+⋅-= ⎪⎝⎭，3AB AM =，2BA BN =，求OM ON ×的值．4=AB ，2=AC ，BAC ∠为钝角，的中点，则AM AO ×的值D ．5，()AP k AB AC =+（k ∈2）C ．5 B ．⊥b a |b D ．满足0MA MA MC ++=．若存在实数使得AB AC mAM +=成立，则B ．3 ．4 所在平面内一点，D 为20OA OB OC ++=，那么（OD AO 3=)0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC +=，则．等腰非等边三角形 B ．等边三角形．三边均不相等的三角形 D ．直角三角形所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA ⋅=⋅=⋅，则点 B ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条高的交点所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P ．内心 C ．重心 D ．垂心是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC l =++，）B ．内心D ．垂心 的内部，且有230OA OB OC ++=，则B ．32 （不包括边界），且满足(PB ．等腰直角三角形 ，则AB AC ⋅=（ ．4第10题 第15题内一点，满足0GA GB GC ++=，若π=∠BAC ，1AB AC ⋅=，则是（ ）．2 3，满足230OA OB OC --=，若 ）D ．6 ，使得AH sAB t AC =+，3 上的点，M 、N 是直径，则PM PN ⋅=（ C ．5 ABC 的内心，若BI mBA nBC =+(n m ，、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（ ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =-- ．1233OA AB BC =-- ．2133OA AB BC =+ 为ABC △的重心，过G 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ =，则）．41，若54OC OB OC =-，则||||AB BC 等于（B ．2 C ．3 满足PA PB PC AB ++=，则PAB △的面积与ABC △的面积比为（．6:1 两点，且AP hAB =，3 B ．4 C ．5 D ．6已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ⋅=．若则y x +的最大值是（ ）B ．33C ．23满足0GA GB GC ++=．若存在点使得16OG BC =，且O A m O B n O C =+，则m B ．2- C ．1 D ．1-内一点，且有230OA OB OC ++=，记ACO △的面积分别为S 3S ，则321S S S ：：B ．2:1:3 D ．:2:6，且AM xAB =，AN 2D ．4233+所在平面内一点，0AB PB PC ++=，|．23 C ．3 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ???-.满足PM MC =，|PA|1=，则||MB 的最大值是（B ．4 C ．9 8-D ．12-，1AC AB ⋅=-，则BO AC ⋅的值为52 D ．5的坐标为0,2(-为原点，则AO AP ×的最大值为 ，则PB PA ⋅上的三点，若1()2AO AB AC =+，则ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×= 中，AB DC ==（1，3||||||B A B C BD BA BC BD+=，则四边形ABCD BC 的中点，120∠︒，12AB AC ⋅=-，则线段。

高考数学培优---奔驰定理与三角形的四心

高考数学培优---奔驰定理与三角形的四心

高考数学培优---奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，,,BOC AOC AOB ∆∆∆的面积分别记作,,,A B C S S S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式： （1）O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1B A C S S S =⇔0OA OB OC ++=.（2）O 是ABC ∆的内心⇔::::B A C S S S a b c =⇔0OA OB OC a b c •••++=. （3）O 是ABC ∆的外心⇔::sin2:sin2:sin2B A C S S S A B C =⇔sin2sin2sin20A OA B OB C OC •••++=（4）O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan B A C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．O AB CAS C S BS【典型例题】例1 O 为三角形内部一点，a ､b ､c 均为大于1的正实数，且满足aOA bOB cOC CB ++=，若OABS ∆､OAC S ∆､OBC S ∆分别表示OAB ∆､OAC ∆､OBC ∆的面积，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆为（ ） A ．(1):(1):c b a +- B ．::c b aC ．111::11a b c -+ D ．222::c b a【答案】A【解析一】由aOA bOB cOC CB ++=，aOA bOB cOC OB OC ∴++=-，()()11aOA b OB c OC ∴=--+，()()110aOA b OB c OC ∴+-++=，如图设()()111,1,1OA aOA OB b OB OC c OC ==-=+1110OA OB OC ∴++=，即O 是111A B C ∆的重心，111111OB C OA B OAC S S S ∆∆∆∴== ()111111111sin 1211sin 2OABOA B OA OB AOBS OA OB S OA OB a b OA OB AOB ∆∆⋅∠⋅∴===⋅-⋅∠ ()1111OAB OA B S S a b ∆∆∴=-同理可得()1111OAC OA C S S a c ∆∆=+，()()11111OBC OB C S S b c ∆∆=-+，()()()()111::1111::OAB OAC OBC a b a c b c S S S ∆∆∆∴=-+-+所以::(1):(1):OAB OAC OBC S S S c b a ∆∆∆=+-．故选：A ．【解析二】由aOA bOB cOC CB ++=，aOA bOB cOC OB OC ∴++=-，()()11aOA b OB c OC ∴=--+，()()110aOA b OB c OC ∴+-++=，由奔驰定理得：::(1):(1):OAB OAC OBC S S S c b a ∆∆∆=+-．故选：A ．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，a =b =4，c =6，I 是△ABC 中内切圆的圆心，若AI xAB yAC =+，则_____,_____x y ==．【答案】23,77x y == 【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得7r =，而()AB AC AI t AB AC=+，所以,64t t x y ==另一方面，对上式两边同时作数量积得：()AB AC AI AI t AIABAC⋅=+⋅，易知2227237AI =+=，3AB AI AB ⋅=，3AC AI AC⋅= 所以127t =，所以23,77x y ==.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为()()IA x IB IA y IC IA -=-+- 整理为：()10x y IA xIB yIC --++= 由奔驰定理得()1::4:4:6x y x y --=解之得23,77x y ==. 点评： 解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3 已知G 是ABC ∆的重心，且满足••56sin 40sin A B GA GB +•35sin 0C GC +=，则B= . 【答案】3π 【分析】要牢记,,OAOB OC 前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵G 是ABC ∆的重心，∴0GAGB GC ++=∴56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =AI xAB yAC =+∴sin :sin :sin 5:7:8A B C =由正弦定理，::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⋅⋅ ∵(0,)B π∈，∴ 3B π=.例4 设H 是△ABC 的垂心，若3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（ ）A ．B ．C ．-D ．【答案】D【解析】因为3450HA HB HC ++=，由三角形垂心的向量定理得tan :tan :tan 3:4:5A B C = 设tan 3A x =，tan 4B x =，tan 5C x =由tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++代入得36012x x =，解之得x =所以tanA =又因为BHC A π∠=-，所以cos cos BHC A ∠=-=.例5 已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，则下列选项正确的是（ ） A. 1324AO AB AC =+ B. 直线AO 必过BC 边中点 C. :3:2AOB AOC S S =△△ D. 若1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA =【答案】ACD【解析】对于A ，插入点A ，()()230AO OA AB OA AC ++++=，所以1324AO AB AC =+；对于B ，若直线AO 过BC 边的中点，则1122AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由上知1324AO AB AC =+，不成立； 对于C ，由奔驰定理知:3:2AOB AOC S S =△△；对于D ，由230AO OB OC ++=得23OB OC AO +=-，两边平方得23AO OB OC =+)22223491213OB OCOB OC OB OC =+=++⋅=例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 22cos b a c B =-，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，且满足cos cos 2sin sin B ACB CA mCO A B+=，则m 的值为 .【解析】∵22cos b a c B =-∴2(cos cos )2cos b c B b C c B =+-，即2cos b b C =∵0b ≠，∴1cos 2C =，∵0C π<<，∴3C π=， 对cos cos 2sin sin B ACB CA mCO A B+=两边同时点乘CO 得： 2cos cos 2sin sin B ACB CO CA CO mCO A B⋅+⋅= ∵()2112=22CB CO CB CO a ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦，()211222CA CO CA CO b ⎡⎤⋅=⋅=⎣⎦∴2221cos 1cos 22sin 2sin B A a b mCO A B+=， 即2222211sin cos cos sin 22sin 2sin a b A B A B mCO A B += 由正弦定理知222224sin sin a b CO A B==∴()sin cos cos sin sin m A B A B A B =+=+=.【巩固练习】1.已知P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心2.已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OB →＋OC →2＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心3．点P 在△ABC 内部，满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．3∶1D ．5∶34．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( )A.29，49B.49，29C.19，29D.29，195.设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，若22AO AB AC λλ=+则（ ）A ．12b c λλ= B ．2122b c λλ= C ．2122c b λλ= D ．2122c bλλ= 6.已知O 为正ABC 内的一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（ ） A ．12B ．52C ．2D ．37.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，a =5，b =12，c =13，I 是△ABC 内切圆的圆心，若()AB AC AI t ABAC=+，则t =________．8.在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5， I 是△ABC 内切圆的圆心，若12AI AB BC λλ=+，则12λλ+=________． 9.已知是锐角的外接圆圆心，，则实数的值为__________．10.已知D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足1132AD AB AC =+，则BCD ACDS S ∆∆= . O ΔABC cos cos 60,2,sin sin B CA AB AC mAO C B︒∠=+=m。

奔驰定理与四心问题

奔驰定理与四心问题

奔驰定理与四心问题【考点预测】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33.注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1.三、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔OA +OB +OC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．l【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.l【题型归纳目录】题型一：奔驰定理题型二：重心定理题型三：内心定理题型四：外心定理题型五：垂心定理【典例例题】题型一:奔驰定理例1.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB+S C ⋅OC =0.若O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则( )A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-∠ACBC.OA :OB :OC=sin ∠BAC :sin ∠ABC :sin ∠ACBD.tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0例2.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有( )A.若动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心；B.若OA ⋅AC AC -AB AB=OB ⋅BCBC -BA BA =0，则点O 为△ABC 的内心；C.若(OA +OB )⋅AB =(OB +OC )⋅BC=0，则点O 为△ABC 的外心；D.若动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.例3.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角△ABC 内的点，A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足PA +PB +PC=13CA ，OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则( )A.S △PAB :S △PBC :S △PCA =4:2:3B.∠A +∠BOC =πC.OA :OB :OC=cos A :cos B :cos CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0例4.(多选题)(2022·浙江·高三专题练习)如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，AD =mAB ，AE =nAC，m >0，n >0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC的面积分别为S 1，S 2，S 3，则()A.1m +1n =3 B.S 1S 2=mn C.S 1S 3≥45 D.S 1S 3≤45例5.(河南省安阳市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试(五)数学试卷)已知O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0 ，则tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB =( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例6.(2021·四川德阳·高一期末)已知P 是△ABC 内部一点，且PA +3 PB +5PC =0 ，则△PAB 、△PCA 、△PBC 面积之比为( )A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1例7.(2022·安徽·芜湖一中三模(理))平面上有△ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将△OAB ，△OBC ，△OCA 的面积分别记作S c ，S a ，S b ，则有关系式S a ⋅OA +S b ⋅OB +S c ⋅OC =0．因图形和奔驰车的log o 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0，则O 为△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心例8.(2022·云南·一模(理))在△ABC 中，D 是直线AB 上的点.若2BD =CB +λCA ，记△ACB 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2，则S 1S 2=( )A.λ6B.λ2C.13D.23例9.(2022·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD 中，已知△ABC 的面积是△ACD 的面积的2倍.若存在正实数x ,y 使得AC =1x -4 AB +1-1yAD成立，则2x +y 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4例10.(2022·上海·高三专题练习)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC PA +S △PAC PB+S △PAB PC =0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0 ；②若aPA +bPB+cPC =0 成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，PA=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有___________.例11.(2022·江西宜春·高三期末(理))已知S △ABC =3，点M 是△ABC 内一点且MA +2MB=CM ，则△MB C 的面积为( )A.14B.13C.34D.12例12.(2022·全国·高三专题练习)已知点M 是△ABC 所在平面内一点，若AM =12AB +13AC，则△ABM与△BCM 的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43例13.(2022·全国·高三专题练习)已知点O 为正△ABC 所在平面上一点，且满足OA +λOB +(1+λ)OC=0 ，若△OAC 的面积与△OAB 的面积比值为1:4，则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3【方法技巧与总结】奔驰定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB+S △PAB ⋅PC =0 .由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.题型二:重心定理例14.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知△-ABC 是圆心为O ，半径为R 的圆的内接三角形，M 是圆O 上一点，G 是△ABC 的重心．若OM ⊥OG ，则AM 2+BM 2+CM2=___________．例15.(2022·江苏南京·模拟预测)在△ABC 中，AB ⋅AC =0，AB =3，AC =4，O 为△ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD ⊥BC ，则AD ⋅AO______．例16.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，CB =a ，CA =b ，且OP =OC +m a a sin B +b b sin A ，m ∈R ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例17.(2022·全国·高三专题练习)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP=13[(1-λ)OA +(1-λ)OB +(1+2λ)·OC ]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点例18.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)在△ABC 中，G 为重心，AC =23，BG =2，则AB ⋅BC=_____.例19.(2022·四川达州·二模(文))在△ABC 中，G 为重心，AC =23，BG =2，则BA ⋅BC =___________.例20.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别交线段AB ，AB 于点N ，M (M ，N 不与△ABC 的顶点重合)，则S △ANGS △CMG的最小值为___________.例21.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =1，∠ABC =60°，AC ·AB=-1，若O 是△ABC 的重心，则BO ·AC=________.例22.(2022·全国·高三专题练习)如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，OD =λa +μb ，则λ+μ=________．例23.(2022·重庆·三模)已知O 为△ABC 的重心，记OA =a ，OB =b ，则AC =( )A.-2a -bB.-a+2bC.a-2bD.2a +b例24.(2022·安徽蚌埠·模拟预测(理))已知点P 是△ABC 的重心，则下列结论正确的是( )A.sin2A PA +sin2B PB+sin2C PC =0B.sin A PA +sin B PB+sin C PC =0C.tan A PA +tan B PB+tan C PC =0D.PA +PB +PC =0例25.(2022·辽宁·二模)已知点P 为△ABC 的重心，AB =3，AC =6，A =2π3，点Q 是线段BP 的中点，则|AQ|为( )A.2B.52C.3D.32例26.(2022·全国·高三专题练习)设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λ(AB +AC )，λ∈[0,+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心例27.(2022·宁夏石嘴山·一模(理))已知G 是△ABC 重心，若AB =2，AC =10，则AG ⋅BC 的值为( )A.4B.1C.-2D.2例28.(2022·黑龙江·哈九中高三开学考试(理))数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC 的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB =4，AC =2，则下列各式不正确的是( )A.AG ⋅BC -4=0.B.2GO =-GHC.AO ⋅BC +6=0D.OH =OA +OB +OC例29.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)在△ABC 中，A =π3，G 为△ABC 的重心，若AG ⋅AB =AG ⋅AC =6，则△ABC 外接圆的半径为( )A.3B.433C.2D.23例30.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC 中，A =π3，O 为△ABC 的重心，若AO ⋅AB =AO ⋅AC =2，则△ABC 外接圆的半径为( )A.33B.233C.3D.433例31.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,O 为平面内任意一点，动点Р满足OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C,λ∈0,+∞ 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心【方法技巧与总结】三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．题型三：内心定理例32.(2022·全国·高三专题练习)若O 在△ABC 所在的平面内，且满足以下条件OA ⋅AC |AC |-AB|AB |=OB ⋅BC |BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=0，则O 是△ABC 的( )A.垂心B.重心C.内心D.外心例33.(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心例34.(2022·全国·高三专题练习)已知Rt △ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点.若AP =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是______.例35.(2022·广西柳州·高一期中)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =m AB +nBCm ,n ∈R ，则m +n =_______________例36.(2022·全国·高三专题练习)△ABC 中，a ､b ､c 分别是BC ､AC ､AB 的长度，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =O ，则O 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心例37.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =2AC ，动点M 满足AM ⋅(BC +AC )=0，则直线AM 一定经过△ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例38.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .△ABC 内一点M 满足：a ⋅MA +b ⋅MB+c ⋅MC =0，则M 一定为△ABC 的( )A.外心B.重心C.垂心D.内心例39.(2022·全国·高三专题练习)已知O 是△ABC 所在平面上的一点,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，若PO =aPA +bPB+cPC a +b +c(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【方法技巧与总结】角平分线定理：若OA =a ，OB =b ，则∠AOB 平分线上的向量OM 为λa |a |+b|b |，λ由OM 决定．角平分线定理证明：令a|a |和b |b |分别为OA 和OB 方向上的单位向量，a |a |+b |b |是以a |a |和b|b |为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故a |a |+b|b |在∠AOB 平分线上，但∠AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定．当λ=1时，四边形OA MB 构成以∠AOB =120°的菱形．题型四：外心定理例40.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =4，AC =3，A =π3，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC ，λ、μ∈R ，则λ=____________.例41.(2022·全国·高三专题练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC2+λAB AB cos B +AC AC cos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例42.(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，AB =2，AC =23，BC =4，点O 为△ABC 的外心，则AO ⋅BC=______，P 是三角形ABC 外接圆圆心O 上一动点，则PA ⋅PB +PC的最小值为______.例43.(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例44.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点O 为△ABC 的外心，|AB |=6，则AB ⋅AO=______.例45.(2022·宁夏六盘山高级中学二模(理))已知△ABC 中，AB =AC =1，BC =2，点O 是△ABC 的外心，则CO ⋅AB =________.例46.(2022·全国·高三专题练习)已知在△ABC 中，AB =1，BC =6，AC =2，点O 为△ABC 的外心，若AO =sAB +tAC ，则有序实数对s ,t 为________．例47.(2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测)在△ABC 中，点O 、点H 分别为△ABC 的外心和垂心，|AB |=5,|AC |=3，则OH ⋅BC=________.例48.(2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模(文))已知△ABC 的外心为O ，若AB +AC =2AO ，且OA =AB ，则B =___________.例49.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xoy 中，OA =(1,3)，OB =(3,1)，OC =xOA +yOB(其中x ∈R ,y ∈R ).(1)若点C 在直线AB 上，且OC ⊥AB ，求x ,y 的值.(2)若点C 为ΔOAB 的外心，求点C 的坐标.例50.(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，若b =3， c =5，则OA ⋅BC =( )A.8B.-8C. 6D.-6例51.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的外心为O ，2AC =5BC =10，则2OC ⋅AB=( )A.11B.10C.20D.21例52.(2022·全国·模拟预测(理))在△ABC 中，∠ABC =π3，O 为△ABC 的外心，BA ⋅BO =2，BC ⋅BO =4，则BA ⋅BC =( )A.2B.22C.4D.42例53.(2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习)在△ABC 中，CA =2CB =4，F 为△ABC 的外心，则CF ⋅AB=( )A.-4B.4C.-6D.6例54.(2022·江西上饶·二模(理))已知△ABC 的外心为点O ，M 为边BC 上的一点，且BM=2MC ,∠BAC=π3,AO⋅AM =1，则△ABC 的面积的最大值等于( )A.32B.3C.368D.364例55.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是( )A.-14,0B.0,2C.-14,+∞D.-14,2例56.(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量OA ，OB 满足OA ⋅OB =0，OB=2，D 为线段OA 上一点，E 为△AOB 的外心，则OB ⋅DE的值为( )A.-2B.-43C.43D.2例57.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，设AC 2-AB 2=2AM ⋅BC，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心.【方法技巧与总结】外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．(1)AO ∙AB =12|AB |2，AO ∙AC =12|AC |2；BO ∙BC =12|BC |2；(2)AO ∙AF =14|AB |2+14|AC|2，BO ∙BE =14|AB |2+14|BC |2，CO ∙CD =14|BC |2+14|AC|2；(3)AO ∙BC =12|AC |2-12|AB |2，BO ∙AC =12|BC |2-12|BA |2，CO ∙AB =12|BC |2-12|AC|2．题型五：垂心定理例58.(2022·全国·高三专题练习)已知O 为△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0 ，则角A 的值为( )A.3π4B.π4C.2π3D.π3例59.(2022·全国·高三专题练习)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP=OA +λAB AB cos B +ACAC cos C，λ∈0,+∞ ，则点P 的轨迹经过△ABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心例60.(2022·全国·高三专题练习)若O 是△ABC 的垂心，∠A =π3,sin B cos C AB +sin C cos B AC =m sin B sin CAO ，则m =( )A.1B.33C.3D.32例61.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则下列说法正确的是( )A.O 是△ABC 的外心B.O 是△ABC 的内心C.O 是△ABC 的重心.D.O 是△ABC 的垂心例62.(2022·全国·高三专题练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2，则O 一定为△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例63.(2022·上海·高三专题练习)三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，那么点P 是三角形ABC 的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心例64.(2022·全国·高三专题练习)点P 为△ABC 所在平面内的动点，满足AP =t AB AB cos B +AC AC cos C，t ∈0,+∞ ，则点P 的轨迹通过△ABC 的( )A.外心B.重心C.垂心D.内心例65.(2022·全国·高三专题练习)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例66.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC ，tan C =43，H 为△ABC 的垂心，且满足AH =mAB +nBC ，则m +n =___________.【方法技巧与总结】OA ⋅OB =OC ⋅OB ⇒OB ⋅(OA -OC )=0⇒OB ⋅CA =0，即OB ⊥CA。

奔驰定理与三角形四心的关系

奔驰定理与三角形四心的关系

奔驰定理与三角形四心的关系1 埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理又称为贝兹莱定理，是著名的德国数学家埃伦•贝兹莱于1860年提出的一种定理。

由此定理可得，在任何有六个顶点的二维三角形中，这六个顶点（也称作六边形）之间连接的线段，如果任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和，则这个三角形内必然存在一个点，并且可以把这个三角形分成四个等腰三角形。

因此，这一定理也称作贝兹莱定理关于三角形四心。

2 三角形四心之含义三角形四心，属于多边形几何之中的一种概念，是这样定义的，对于一个三角形而言，三角形四心就是在这个三角形内部，两条斜边的中点，连接到在中点，以及它们三个平分点构成的四点。

而据贝兹莱定理，在一个六边形形的三角形内部，当任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和，则这个三角形内必然存在一个点，也就是三角形四心。

3 埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理与三角形四心的联系有六个顶点的二维三角形上连接的线段，由埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理可知，其中的三角形四心满足：两条斜边的中点，连接到在中点，以及它们三个平分点构成的四点。

其实埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理的本质就是让三角形四心满足一定的条件，即任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和。

正式让三角形四心形成自身独有的性质，从而可以将一个六边形形三角形分割成四个角度相同的三角形。

4 总结埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理是贝兹莱于1860年提出的一种定理，其中包含三角形四心的概念，即在有六个顶点的二维三角形中，三角形四心就是两条斜边的中点，连接到在中点，以及它们三个平分点构成的四点。

根据埃伦贝兹·贝兹莱奔驰定理，当任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和，则这个三角形内必然存在一个点，也就是三角形四心。

它们形成的四个等腰三角形，是贝兹莱定理的重要结论之一。

“四大妙法”,剖析向量的秒杀体系 (解析版)

“四大妙法”,剖析向量的秒杀体系 (解析版)

“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系目录一、重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理题型二：重心问题题型三：内心问题题型四：外心问题题型五：垂心问题妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用妙法三：隐圆题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值题型八：阿波罗尼斯圆妙法四：等和线题型九：等和线的应用二针对性巩固练习重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ,∠ABC ,∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题不正确的有( )A.若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C.若OA =OB =2,∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92D.若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0【答案】C【分析】对于A ，假设D 为AB 的中点，连接OD ，由已知得O 在中线CD 上，同理可得O 在其它中线上，即可判断；对于选项B ，利用奔驰定理可直接得出B 正确；对于C ，根据奔驰定理可得S A :S B :S C =2:3:4，再利用三角形面积公式可求得S C =1，即可计算出S △ABC =94，可得C 错误；选项D ，由垂心的性质、向量数量积的运算律OB ∙AC =OB ∙OC -OB ∙OA =0，得到OA :OB :OC =cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则OA +OB =2OD =CO ，故C ,O ,D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边BC ,AC 的中线上，故O 为△ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 可知，若OA +2OB +3OC =0 ，可得SA :SB :SC =1:2:3，即B 正确；对于C ：由|OA |=|OB |=2,∠AOB =5π6可知，S C =12×2×2×sin 5π6=1，又2OA +3OB +4OC =0 ，所以S A :S B :S C =2:3:4由S C =1可得，S A =12,S B =34；所以S △ABC =S A +S B +S C =12+34+1=94，即C 错误；对于D ：由四边形内角和可知，∠BOC +∠BAC =π，则OB ∙OC =OB OC cos ∠BOC =-OB OC cos ∠BAC ，同理，OB ∙OA =OB OA cos ∠BOA =-OB OA cos ∠BCA ，因为O 为△ABC 的垂心，则OB ∙AC =OB ∙(OC -OA )=OB ∙OC -OB ∙OA =0，所以OC cos ∠BAC =OA cos ∠BCA ，同理得OC cos ∠ABC =OB cos ∠BCA ，OA cos ∠ABC =OB cos ∠BAC ，则OA :OB :OC =cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，令OA =m cos ∠BAC ,OB =m cos ∠ABC ,OC =m cos ∠BCA ，由S A =12OB OC sin ∠BOC ，则S A =12OB OC sin ∠BAC =m 22cos ∠ABC cos ∠BCA sin ∠BAC ，同理：S B =12OA OC sin ∠ABC =m 22cos ∠BAC cos ∠BCA sin ∠ABC ，S C =12OA OB sin ∠BCA =m 22cos ∠BAC cos ∠ABC sin ∠BCA ，综上，S A :S B :S C =sin ∠BAC cos ∠BAC :sin ∠ABC cos ∠ABC :sin ∠BCA cos ∠BCA =tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠BCA ，根据奔驰定理得tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0 ，即D 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.例2.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，则S △AOB S △ABC=( )A.25B.12C.16D.13【答案】D 【分析】直接根据向量的基本运算得到3OA +OB +2OC =0 ，再结合“奔驰定理”即可求解结论．【详解】解：∵O 为三角形ABC 内一点，且满足OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，∴OA +2OB +3OC =3(OB -OA )+2(OC -OB )+(OA -OC )⇒3OA +OB +2OC =0 ，∵S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．∴S △AOB S △ABC =S △AOB S △AOB +S △BOC +S △AOC =S C S A +S B +S C=13，故选：D ．【方法技巧总结】1. 奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1【变式训练】1.(2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习)如图.P 为△ABC 内任意一点，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，总有优美等式S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0B.若aPA +bPB +cPC =0 成立，则P 是△ABC 的内心C.若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5D.若P 是△ABC 的外心，A =π4，PA =mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 【答案】AB 【分析】对于A ：利用重心的性质S △PBC =S △PAC =S △PAB ，代入S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 即可；对于B ：利用三角形的面积公式结合S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 与aPA +bPB +cPC =0 可知点P 到AB 、BC 、CA 的距离相等.对于C ：利用AB 、AC 将PA 、PB 、PC 表示出来，代入S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 ，化简即可表示出S △PBC 、S △PAC 、S △PAB 的关系式，用S △PAB 将S △ABP 、S △ABC 表示出来即可得处其比值.对于D ：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA =mPB +nPC 两边平方，化简可得m 2+n 2=1，结合m 、n 的取值范围可得出答案.【详解】对于A ：如图所示：因为D 、E 、F 分别为CA 、AB 、BC 的中点，所以CP =2PE ，S △AEC =12S △ABC ,S △APC =23S △AEC =13S △ABC ，同理可得S △APB =13S △ABC 、S △BPC =13S △ABC ，所以S △PBC =S △PAC =S △PAB ，又因为S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 ，所以PA +PB +PC =0 .正确；对于B ：记点P 到AB 、BC 、CA 的距离分别为h 1、h 2、h 3，S △PBC =12a ⋅h 2,S △PAC =12b ⋅h 3,S △PAB =12c ⋅h 1，因为S △PBC PA +S △PAC PB +S △PAB PC =0 ，则12a ⋅h 2⋅PA +12b ⋅h 3⋅PB +12c ⋅h 1⋅PC =0 ，即a ⋅h 2PA +b ⋅h 3PB +c ⋅h 1PC =0 ，又因为aPA +bPB +cPC =0 ，所以h 1=h 2=h 3，所以点P 是△ABC 的内心，正确；对于C ：因为AP =25AB +15AC ，所以PA =-25AB -15AC ，所以PB =PA +AB =35AB -15AC ，所以PC =PA +AC =-25AB +45AC ，所以S △PBC -25AB -15AC +S △PAC 35AB -15AC +S △PAB -25AB +45AC =0 ，化简得：-25S △PBC +35S △PAC -25S △PAB AB +-15S △PBC -15S △PAC +45S △PAB AC =0 ，又因为AB 、AC 不共线，所以-25S △PBC +35S △PAC -25S △PAB=0-15S △PBC -15S △PAC +45S △PAB =0 ，所以S △PBC =2S △PAB S △PAC =2S △PAB ，所以S △ABP S △ABC =S △PAB S △PBC +S △PAC +S △PAB =15，错误；对于D ：因为P 是△ABC 的外心，A =π4，所以∠BPC =π2,PA =PB =PC ，所以PB ⋅PC =PB ×PC ×cos ∠BPC =0，因为PA =mPB +nPC ，则PA 2=m 2PB 2+2mnPB ⋅PC +n 2PC 2，化简得：m 2+n 2=1，由题意知m 、n 同时为负，记m =cos αn =sin α，π<α<3π2，则m +n =cos α+sin α=2sin α+π4，因为5π4<α+π4<7π4，所以-1≤sin α+π4 <-22，所以-2≤2sin α+π4<-1，所以m +n ∈-2,-1 ，错误.故答案为：AB .2.(2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 .若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC =OA ⋅OC .则()A.O 为△ABC 的外心B.∠BOC +A =πC.OA :OB :OC =cos A :cos B :cos CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0 【答案】BCD 【分析】由根据数量积的运算律可得OB ⋅CA =0⇔OB ⊥CA ,可得O 为△ABC 的垂心；结合∠OBC +C +∠OCB +B =π与三角形内角和等于π可证明B 选项；结合B 选项结论证明cos A :cos B =OA :OB 即可证明C 选项，利用奔驰定理证明S A :S B =tan A :tan B 可证明D 选项．【详解】解：因为OA ⋅OB =OB ⋅OC ⇔OB ⋅(OA -OC )=0⇔OB ⋅CA =0⇔OB ⊥CA ，同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心，故A 错误；∠OBC +C =π2,∠OCB +B =π2，所以∠OBC +C +∠OCB +B =π，又∠OBC +∠OCB +∠BOC =π，所以∠BOC =C +B ，又A +B +C =π，所以∠BOC +A =π，故B 正确；故A =π-∠BOC ，同理B =π-∠AOC ，延长CO 交AB 与点P ，则cos A :cos B =cos (π-∠BOC ):cos (π-∠AOC )=cos ∠BOP :cos ∠AOP =OP OB :OP OA=OA :OB ，同理可得cos A :cos C =OA :OC ，所以cos A :cos B :cos C =OA :OB :OC ，故C 正确；S A :S B =12⋅OC ⋅BP :12⋅OC ⋅AP =BP :AP =OP tan ∠POB :OP tan ∠AOP =tan ∠BOC :tan ∠AOC =tan (π-A ):tan (π-B )=tan A :tan B ，同理可得S A :S C =tan A :tan C ，所以S A :S B :S C =tan A :tan B :tan C ，又S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ，所以tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0 ，故D 正确．故选：BCD ．题型二：重心问题【典例分析】例1.(四川省达州市2023届高三二模数学(理科))如图，在△ABC 中，AB =3，∠ABC =π4，BA ⋅BC =18，平面ABC 内的点D 、E 在直线AB 两侧，△ABD 与△BCE 都是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，O 1、O 2分别是△ABD 、△BCE 的重心.则O 1O 2=( )A.26B.33C.5D.6【答案】A【分析】利用平面向量数量积的定义可求得AB ，求出BO 1、BO 2、∠O 1BO 2，利用余弦定理可求得O 1O 2的长.【详解】由平面向量数量积的定义可得BA ⋅BC =BA ⋅BC cos π4=322BC =18，解得BC =62，延长BO 1交AD 于点G ，延长BO 2交CE 于点H ，则G 、H 分别为AD 、CE 的中点，因为△ABD 、△BCE 均是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB =3，BC =62，所以，AD =2AB =32，CE =2BC =12，则BG =12AD =322，BH =12CE =6，因为O 1、O 2分别是△ABD 、△BCE 的重心，则BO 1=23BG =23×322=2，BO 2=23BH =4，又因为∠ABG =12∠ABD =π4，同理可得∠CBH =π4，所以，∠O 1BO 2=∠ABG +∠BAC +∠CBH =3π4，由余弦定理可得O 1O 22=BO 21+BO 22-2BO 1⋅BO 2cos 3π4=2+16-2×2×4×-22=26，因此，O 1O 2=26.故选：A .例2.(2023·全国·高三专题练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点，设xAB =AM ，yAC =AN ，则1x +1y的值为( )A.3B.4C.5D.6【答案】A 【分析】由向量共线的推论知AG =λAM +(1-λ)AN 且0≤λ≤1，结合已知有AG =xλAB +y (1-λ)AC ，再由重心的性质有AG =13(AB +AC )，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.【详解】由题意AG =λAM +(1-λ)AN 且0≤λ≤1，而xAB =AM ，yAC =AN ，所以AG =xλAB +y (1-λ)AC ，又G 是△ABC 的重心，故AG =23×12(AB +AC )=13(AB +AC )，所以xλ=13y (1-λ)=13，可得13x +13y =1，即1x +1y =3.故选：A【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．【变式训练】1.(2022春·浙江·高二统考学业考试)在△ABC 中，设AD =2DB ，BE =2EC ，CF =λFA ，其中λ∈R .若△DEF 和△ABC 的重心重合，则λ=()A.12 B.1 C.32 D.2【答案】D【分析】设O 为△DEF 和△ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，分别在△ABC 、△DEF 中用向量AB 、AC 表示向量DO ，再根据向量相等可得答案.【详解】设O 为△DEF 和△ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以AO =23AM =23×12AB +AC =13AB +13AC ，DO =DA +AO =-23AB +13AB +13AC =-13AB +13AC ，DO =23DN =23×12DE +DF =13DB +BE +DA +AF =1313AB +23BC -23AB +11+λAC =13-13AB +23AC -AB +11+λAC =-13AB +1323+11+λAC ，可得1=23+11+λ，解得λ=2.故选：D .2.(2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习)已知△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,O 为平面内任意一点，动点Р满足OP =OA +λAB AB sin B +AC AC sin C,λ∈0,+∞ 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的()A.重心B.垂心C.内心D.外心【答案】A【分析】利用正弦定理及向量的线性运算可判断.【详解】在△ABC 中，令线段BC 的中点为M ，由正弦定理AB sin C =AC sin B ，得AB sin B =AC sin C ，由OP =OA +λAB AB sin B +AC AC sin C ，得OP -OA =λAB AB sin B +AC AB sin B 即AP =λAB sin B AB +AC =2λAB sin B AM ，而sin B >0，λ∈(0，+∞)则2λAB sin B∈(0，+∞)，于是得AP 与AM 同向共线，而它们有公共起点，即动点Р的轨迹是射线AM (除点A 外),又重心在线段AM 上，∴动点Р的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选：A .题型三：内心问题【典例分析】例1.(2003·江苏·高考真题)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC | ，λ∈[0,+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B 【分析】根据AB |AB |+AC |AC |是以A 为始点，向量AB |AB |与AC |AC |为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知P 点轨迹，据此可求解.【详解】∵OP -OA =AP ，∴AP =λAB |AB |+AC |AC |令AB |AB |+AC |AC |=AM ，则AM 是以A 为始点，向量AB |AB |与AC |AC |为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM 在∠BAC 的平分线上，∵AP =λAM ，∴AP ,AM 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B例2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为()A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D 【分析】设AD =λAO =λxAB +λyAC ，根据三点共线可得x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD，结合图像分析运算．【详解】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．2.内心在向量AB AB +AC AC所在的直线上；AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.【变式训练】1.(2022·全国·高三专题练习)平面上有△ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将△OAB ，△OBC ， △OCA 的面积分别记作S c ，S a ，S b ，则有关系式S a ⋅OA +S b ⋅OB +S c ⋅OC =0 ．因图形和奔驰车的log o 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ，则O 为△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理可得S b S a =b a ，S c S a =c a ，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 于F ，根据面积比推出|AE ||BE |=|AC ||BC |，结合角平分线定理推出CE 为∠ACB 的平分线，同理推出BF 是∠ABC 的平分线，根据内心的定义可得答案.【详解】由S a ⋅OA +S b ⋅OB +S c ⋅OC =0 得OA =-S b S a OB -S c S a OC ，由a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 得OA =-b a OB -c a OC ，根据平面向量基本定理可得-S bS a =-b a ，-S c S a =-c a ，所以S b S a=b a ，S c S a =c a ，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 于F ，则S b S a =|AE ||BE |，又S b S a =b a ，所以|AE ||BE |=b a =|AC ||BC |，所以CE 为∠ACB 的平分线，同理可得BF 是∠ABC 的平分线，所以O 为△ABC 的内心.故选：B2.(2023·全国·高一专题练习)已知在△ABC 中，AB =BC =3，AC =4，设O 是△ABC 的内心，若AO =mAB +nAC ，则m n=( )A.34 B.916 C.43 D.169【答案】C【分析】以AC 的中点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出r ，再由AO=mAB +nAC 得出m n.【详解】以AC 的中点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12×3+3+4 r =12×4×5，解得r =255故O 0,255 ,A (-2,0),C (2,0),B (0,5)，则AB =(2,5),AC =(4,0),AO =2,255 因为AO =mAB +nAC ，所以2,255=(2m +4n ,5m )，即2m +4n =25m =255，解得m =25,n =310，故m n =25×103=43.故选：C题型四：外心问题【典例分析】例1.(2023·全国·高一专题练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】B【分析】设BC 的中点为D ，DP =λAB AB cos B +ACACcos C 两端同时点乘BC ，由DP ⋅BC =0可得答案.【详解】设BC 的中点为D ，因为OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC AC cos C，所以OP =OD +λAB AB cos B +ACAC cos C ，即DP =λAB AB cos B +ACAC cos C，两端同时点乘BC ，所以DP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCACcos C=λAB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BCcos C AC cos C=λ-BC +BC =0，所以DP ⊥BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心.故选：B .例2.(2023·重庆·统考二模)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =()A.5B.6C.7D.8【答案】C【分析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，根据数量积的几何意义求出BO ⋅BA 、BO ⋅BC ，再根据数量积的定义求出BC ⋅BA，最后根据数量积的运算律得到x 、y 的方程组，解得再代入计算可得.【详解】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得BO ⋅BA =BA ⋅BD =12AB2=18，BC⋅BO =BC⋅BE =12BC 2=32．又B =2π3，所以BA ⋅BC =BA ⋅BC cos B =6×8×-12 =-24，又BO =xBA +yBC ，所以BO ⋅BA =xBA +yBC ⋅BA =x BA 2+yBC ⋅BA=36x -24y =18，即12x -8y =6．同理BO ⋅BC =xBA +yBC ⋅BC =y BC 2+xBC ⋅BA=-24x +64y =32，即-3x +8y =4，解得x =109y =1112．所以3x +4y =3×109+4×1112=7．故选：C .【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC=0 .2.PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.【变式训练】1.(2022·全国·高三专题练习)如图，△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，O 为△ABC 外心，且AO =mAB +nAC ，则m +n 的值为()A.23B.1118C.79D.1318【答案】B【分析】根据题意，结合数量积的定义和性质，建立关于m ，n 的方程组，解出即可求得m +n 的值.【详解】∵AB =2，AC =3，∠BAC =π3，∴AB ⋅AC =AB AC cos ∠BAC =2×3×12=3，因为O 为ΔABC 外心，所以AO ⋅AB =AO AB cos ∠OAB =12 AB2=2，同理AO ⋅AC =12|AC |2=92，又AO =mAB +nAC ，∴AO ⋅AB =mAB 2+nAB ⋅AC =4m +3n =2AO ⋅AC =mAB ⋅AC +nAC 2=3m +9n =92 ，∴m =16n =49，∴m +n =16+49=1118.故选：B2.(2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测)已知O 是△ABC 的外心，外接圆半径为2，且满足2AO=AB +AC ，若BA 在BC 上的投影向量为34BC ，则AO ⋅BC =( )A.-4B.-2C.0D.2【答案】A【分析】由已知可得∠BAC =90°且|BC |=4，根据已知投影向量可得BAcos B BC=34，进而有BA ⋅BC =12，再由AO ⋅BC =(BO -BA )⋅BC 即可得求结果.【详解】由2AO =AB +AC，故O 为BC 中点，又O 是△ABC 的外心，易知：∠BAC =90°，且|BC|=4，由BA 在BC 上的投影向量BA cos B ⋅BCBC =34BC ，即BA cos B BC=34，所以BA ⋅BC =BA BC cos B =34BC2=12，由图，AO ⋅BC =(BO -BA )⋅BC =BO ⋅BC -BA ⋅BC =8-12=-4.故选：A题型五：垂心问题【典例分析】例1.(2020春·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA 2+BC2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2，则O 一定为△ABC 的()A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】C【解析】利用向量的等式关系OA 2+BC 2=OB 2+CA 2，转化成OA 2-OB 2=CA 2-BC 2，利用向量加减法运算化简得到BA ⋅CO=0，即证CO ⊥AB ，再同理证得OB ⊥AC ,OA ⊥BC ，即得O 是△ABC 的垂心．【详解】由OA 2+BC 2=OB 2+CA 2得：OA |2- OB 2=CA |2- BC 2，即OA 2-OB 2=CA 2-BC 2，故(OA -OB )⋅(OA +OB )=(CA -BC )⋅(CA +BC )，故BA ⋅(OA +OB )=(CA +CB )⋅BA ，∴BA ⋅(OA +OB -CA -CB )=0，又CA =OA -OC ，CB =OB -OC ，∴BA ⋅(OA +OB +CO -OA +CO -OB )=0∴BA ⋅CO=0，即CO ⊥AB ，同理AC ⋅OB =0,BC ⋅OA=0，即OB ⊥AC ,OA ⊥BC ，所以O 是△ABC 的垂心．故选：C .【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直关系，突破难点.例2.(2023·全国·高三专题练习)设O 是△ABC 所在平面上一点，点H 是△ABC 的垂心，满足OA +OB+OC =OH ，且3⋅OA +OB +2⋅OC =0 ，则角A 的大小是()A.3π4B.π3C.π2D.π4【答案】D【分析】由向量的减法运算可得OA +OB =CH ，从而可得OA +OB ⋅AB =CH ⋅AB =0，设点D是边AB 的中点，即OD ⋅AB=0，进而点O 在边AB 的中垂线上，即点O 是△ABC 的外心，利用向量的数量积求出∠BOC 的值，从而可得角A 的大小.【详解】因为OA +OB +OC =OH ，所以OA +OB =OH -OC，即OA +OB =CH ，OA +OB ⋅AB =CH ⋅AB =0，即OD ⋅AB=0(点D 是边AB 的中点)，所以点O 在边AB 的中垂线上.同理点O 在边BC 的中垂线上.因此点O 是△ABC 的外心.设△ABC 外接圆的半径是R .3⋅OA +OB +2⋅OC =0⇒3⋅OA =-2OC -OB ⇒3R 2=2R 2+R 2+22OC ⋅OB ⇒OC ⋅OB =0⇒R 2cos ∠BOC =0⇒∠BOC =π2⇒A =π4.故选：D【点睛】本题考查了向量的减法、向量的加法以及向量数量积的定义，属于中档题.【方法技巧总结】1.O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．2.PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.【变式训练】1.(2023春·重庆南岸·高一重庆市辅仁中学校校考阶段练习)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【分析】计算AP ⋅BC的值，可得出结论.【详解】因为AP =λAB AB cos B +ACAC cos C，∴AP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =λ-AB ⋅BC cos B AB cos B +AC ⋅BC cos C AC cos C =0，∴AP ⊥BC ，因此，点P 的轨迹经过△ABC 的垂心，故选：D .2.(2023·全国·高三专题练习)已知H 为△ABC 的垂心，若AH =13AB +25AC ，则sin ∠BAC =( )A.155B.105C.63D.33【答案】C【分析】BH =-23AB+25AC ，CH =13AB -35AC ，利用BH ⋅AC =0、CH ⋅AB =0得cos ∠BAC=3AC 5AB，cos ∠BAC =5AB 9AC ，解得cos 2∠BAC =13，再利用平方共线可得答案.【详解】依题意，BH =BA +AH =-23AB+25AC ，同理CH =CA +AH =13AB -35AC ．由H 为△ABC 的垂心，得BH ⋅AC =0，即-23AB+ 25AC ⋅AC =0，可知25AC 2=23AC AB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =3AC5AB ．同理有CH ⋅AB =0，即13AB - 35AC ⋅AB =0，可知13AB 2=35AC AB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =5AB 9AC ，解得cos 2∠BAC =13，sin 2∠BAC =1-cos 2∠BAC =1-13=23，又∠BAC ∈0,π ，所以sin ∠BAC =63．故选：C ．妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.-1,0B.0,2C.1,2D.-1,1【答案】A【分析】作出图形，利用极化恒等式化简PM ⋅PN ，求PO 的范围可得PM ⋅PN 的取值范围.【详解】当弦MN 的长度最大时，弦MN 过正方形ABCD 的外接圆的圆心O ，因为正方形ABCD 的边长为2，所以圆O 的半径为2，如下图所示：则PM =PO +OM ，PN =PO +ON =PO -OM ，所以，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2.因为点P 为正方形四条边上的动点，所以1≤PO≤2，又OM =2，所以PM ⋅PN ∈-1,0 ，故选：A .例2.(2023春·江苏南京·高一校考期中)如图所示，矩形ABCD 的边AB =2，AD =1，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.0,2-1B.1-2,0C.0,2-22D.2-22,0【答案】D【分析】建立坐标系，表示出P 的坐标，利用数量积的运算结合三角函数的性质可得答案.【详解】法一：以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (-2,-1)，B (0,-1)，设P (cos θ,sin θ)，π≤θ≤3π2 ，∴PA =(-2-cos θ,-1-sin θ)，PB =(-cos θ,-1-sin θ)，∴PA ·PB =2cos θ+2sin θ+2=22sin θ+π4+2，∵π≤θ≤3π2 ，∴5π4≤θ+π4≤7π4，∴-1≤sin θ+π4 ≤-22，∴2-22≤PA ⋅PB≤0，∴PA ⋅PB的取值范围是[2-22,0].法二：极化恒等式。

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。

定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0.证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。

进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔ根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。

同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。

根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}= \tan A:\tan B$，$S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan B:\tan C$，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan C$，因此，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan B:\tan C$。

例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1}{5}$CA，求$\triangle ABP$的面积。

根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。

例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。

奔驰定理和四心问题知识点

奔驰定理和四心问题知识点

奔驰定理和四心问题知识点嘿，朋友！咱今天来聊聊奔驰定理和四心问题，这可是数学里挺有意思的一块儿呢！先来说说奔驰定理。

你就把它想象成一辆奔驰车在数学的道路上飞奔。

它是说，如果在三角形 ABC 中有一点 P ，那么三角形 PBC 、三角形 PAC 、三角形 PAB 的面积分别与向量 PA 、向量 PB 、向量 PC的模长成比例。

这是不是有点像不同重量的货物在奔驰车上的分布？再看四心问题，这四心就像三角形的四个小伙伴，各有各的特点。

重心，那可是三角形的“重量中心”，就好比挑担子的时候，平衡点就在重心那儿。

内心呢，是三角形的“内心世界”，它到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。

外心呢，就像是三角形的“外交大使”，它到三角形三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心。

还有垂心，它是三角形三条高的交点，就像一个高高的瞭望塔，观察着三角形的每一个角落。

咱们来具体讲讲。

比如说重心，它把每条中线都分成了2:1 的两段，这是不是很神奇？你想想看，这就好像是在分糖果，按照这个比例来分，多公平呀！内心呢，通过角平分线来确定，角平分线可重要啦，它能把角分成相等的两部分，就像把一块蛋糕平均切开一样。

外心，要找它也不难。

可以通过作三角形两条边的垂直平分线来找到，这两条垂直平分线的交点就是外心啦。

垂心呢，就得靠高来确定，三条高相交的那个点就是垂心。

你说这四心是不是各有各的妙处？就像咱们生活中的不同角色，都有着自己独特的价值。

学习奔驰定理和四心问题，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一个知识点都是一颗璀璨的宝石。

只有我们用心去挖掘，才能发现其中的美妙和神奇。

朋友，加油吧！只要我们认真去琢磨，这些知识就会像我们熟悉的朋友一样，陪伴着我们在数学的世界里畅游。

总之，奔驰定理和四心问题是数学中的精彩内容，掌握了它们，就如同拥有了打开数学奇妙之门的钥匙，能让我们看到更多更美的数学风景！。

奔驰定理课件高三数学一轮复习

奔驰定理课件高三数学一轮复习

01 直接使用奔驰定理
01 直接使用奔驰定理
A
01 直接使用奔驰定理
ABD
02 利用奔驰定理解决四心问题
02 利用奔驰定理解决四心问题
内
02 利用奔驰定理解决四心问题
C
03 利用奔驰定理解决三角形 面积比问题（1个奔驰中心点）
03 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点）
D
奔驰定理
奔驰定理
A
SC O SB
SA
B
C
证明：
证明：
证明：
证明：
证明：
证明：
证明：
证明：
奔驰定理在四心中的表现形式
A
SC O SB
SA
B
C
目录
01 直接使用奔驰定理
02 利 用 奔 驰定 理解 决 四 心问 题
03
利用奔驰定理解决三角用奔驰定理解决三角形面积比问 题（多个奔驰中心点）
03 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点）
A
04 利用奔驰定理解决三角形 面积比问题（多个奔驰中心点）
04 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点）
B
04 利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点）
B

高中数学平面向量奔驰定理与三角形四心(共9页)

高中数学平面向量奔驰定理与三角形四心(共9页)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =−−===∆∆∆∆∆∆∆图1 =ODBCDCOB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABODS S S S S S S S S S SOAOD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +−=OA∴CB A S S S +−OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC C OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

三角形的心与奔驰定理

三角形的心与奔驰定理

B CDB CD 三角形内心、外心、重心、垂心与奔驰定理一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心.证法2：如图Θ++2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b c 、Θ分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b c +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bc++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴=++c b a（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。

BCDC典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.2=+Θ ∴λ2+=+=Θ AD AP λ2=∴∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2： O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：Θ分别为ACAB 、方向上的单位向量，∴+BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ，D 、E 是垂足.+⋅++-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .DOABC三、奔驰定理奔驰定理以奔驰标志而有名：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BC BDOC=CB BS SS +OB +C B C S S S +OCΘ CB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===（合比） ∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆四、奔驰定理与三角形的心1．O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA2．O 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a 3．O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA A4．O 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m 的值为（ ）A ．21 B ．-1 C ．1 D ．21- 7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形9.(19清华标准能力测试)已知O 是ABC ∆内一点，220OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则OBC ABCSS ∆∆=___10.(18清华领军计划)已知O 是ABC ∆内一点，::4:3:2,AOB BOC COAS S S ∆∆∆=设,AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r则__.__λμ==11.(19山东联赛)已知O 是ABC ∆内一点，11,34AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r 则OAB OBC SS ∆∆=___12.已知ABC ∆满足3,4c b ==,O 是外心，且1,2AO AB AC λλ-=+u u u r u u u r u u u r则ABC ∆的面积____参考答案：C 、D 、C 、D 、D 、、D 、C12439.,10.,11.,59952。

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奔驰定理与四心
→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∆0
OC S OB S OA S ABC O AOB AOC BOC 中的任意一点，则是已知点（一）奔驰定理
→→→→∆∆∆→→→→∆∆∆→→→→∆∆∆→→→→∆∆∆=⋅+⋅+⋅⇔=⇔=⋅+⋅+⋅⇔=⇔=⋅+⋅+⋅⇔=⇔=⇔=⇔0
2s 2s 2s 2s 2s 2s )4(0
)3(0
tan tan tan tan tan tan )2(0
::1:1:1)1(-OC C in OB B in OA A in C in B in A in S S S OC c OB b OA a c b a S S S OC C OB B OA A C B A S S S OC OB OA S S S AOB AOC BOC AOB AOC BOC AOB AOC BOC AOB AOC BOC ：：：：点
外心：垂直平分线的交：：：：内心：角平分线的交点
：：：：垂心：高线的交点
：：重心：中线的交点
四心（二）奔驰定理的应用⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇔==⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅=⋅=++→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
→→→→→→→→→C AC AC B AB AB OC OB OP AC AC AB AB C AC AC B AB AB C AC AC B AB AB AC AB OC
OB OA OC OB OA CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA OA
OC OC OB OB OA OC OB OA cos cos 243cos cos 2sin sin 1)4()3()2(0
)1(222λλλλλ：）垂直平分线上的动点（）角平分上的动点：（）高线上的动点：（或）中线上的动点：（示
（四）四线上的动点表外心：内心：垂心：重心：：
（三）四心的向量表示
与三角形“四心”相关的向量问题
与三角形“四心”相关的向量问题
与三角形形状相关的向量问题
与三角形面积相关的向量问题。

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