线性代数教案-第六章

第六章 线性空间与线性变换

§1 线性空间的定义与性质

一. 线性空间.

在第四章中, 我们介绍过向量空间的概念, 第四章中介绍的向量空间中的向量是n 维有序数组

. 在这一节中, 我们要引入抽象的向量空间的概念, 抽象的向量空间里的向量就有可能不再是n 维有序数组. 我们先来看抽象的向量空间的定义.

定义. 设V 是一个非空集合, 为实数域, 对V 中任意两个元素α, β, 在V 中总有唯一确定的一个元素γ与它们对应, 称为α与β的和, 记为γ=α+β. 对于任意实数k 与V 中任意一个元素α, 在V 中都有唯一确定的一个元素δ与它们对应, 称为k 与α的数量乘积, 记为k δα=. 而且这两种运算满足下面规律: 对任意的,,V αβγ∈, ,k l ∈. (1) α+β=β+α;

(2) (α+β)+γ=α+(β+γ);

(3) 存在0V ∈, 使对任何的V α∈, 都有α+0=α; (具有这个性质的元素0称为V 的零元素.) (4) 对任何α∈V , 都有V 中的元素β, 使得α+β=0; (β称为α的负元素.) (5) 1α=α; (6) k (l α)=(kl )α;

(7) (k +l )α=k α+l α; (8) k (α+β)=k α+k β.

则称V 是实数域上的线性空间(或向量空间), V 中的元素称为向量. 加法和数乘这两种运算统称为线性运算.

很容易验证第四章定义的向量空间满足上面八条性质, 所以以前的向量空间的定义只是现在定义的特殊情况.

例1. []P x ={所有的实数域上的一元多项式}关于多项式的加法和数乘是线性空间. 1110[]{ +|, 0}n n n n n i P x a x a x a x a a i n --=+

++∈≤≤, 对于通常的多项式加法、数乘多项式

的乘法构成向量空间. ([]n P x 就是次数不超过n 的一元多项式的全体,)

例2. (){|m n M A ?=A m n 是行列的矩阵}关于通常的矩阵的加法和数乘构成一个线性空间. 例3. n 次多项式的全体Q [x ]n =1110{ +|, 0,0}n n n n i n a x a x a x a a i n a --+

++∈≤≤≠对于通常

的多项式加法、数乘运算不构成线性空间. 这是因为0[]n Q x ?

例4.记{|}n V αα=∈.对1n a a α?? ?= ? ???, 1n b b β?? ?= ? ???, k ∈, 定义11n

n a b a b αβ+?? ?+= ? ?

+??, 00k α?? ?

= ? ???.

则V 不是向量空间. 这是因为10α?=对任何V α∈. 不满足运算规律(5).

比较V 和n , 作为集合, 它们是一样的, 但是因为定义的运算不一样, 使得n 构成线性空间, 而V 不是线性空间. 所以, 线性空间的概念是集合与运算二者的结合. 例5. 在正实数的全体+中定义加法及数乘运算为

a b ab ⊕=, *a a λλ=, (,a b +∈, λ∈).

验证+对上述加法与乘数运算构成线性空间. 证: (i) a b ab ba b a ⊕===⊕;

(ii) ()()()()()a b c ab c ab c a bc a b c ⊕⊕=⊕===⊕⊕; (iii)+中存在零元素1, 对任何a +

∈, 有11a a a ⊕=?=; (iv) 对任何a +∈, 有负元素1a -+

∈ , 使111a a a a --⊕=?=;

(v) 11*a a a ==;

(vi) ()

*(*)*()*a a a a a μμ

λμλ

λμλλμ====;

(vii) (λ+μ)*a =a λ+μ=a λa μ=a λ⊕a μ=λ*a ⊕μ*a ;

(viii) λ*(a ⊕b )=λ*(ab )=(ab )λ=a λb λ=a λ⊕b λ=λ*a ⊕λ*b .

因此, +对于所定义的运算构成线性空间. □性质: 1. 零元素是唯一的.

证: 设01, 02是线性空间V 中的两个零元素,

则01=01+02=02+01=02 . □2. 任一元素的负元素是唯一的. α的负元素记作-α.

利用负元素, 我们可以定义减法: 设,V αβ∈, 则定义αβ-=()αβ+-. 证: 设β、γ都是α的负元素, 则α+β=0, α+γ=0. 于是

所以β=0+β =(α+γ)+β =(α+β)+γ =0+γ =γ. □

3. 0α=0; (-1)α-=α; k 0=0.

证: α+0α =1α+0α =(1+0)α =1α=α; 所以0α=0.

α+(-1)α =1α+(-1)α =[1+(-1)]α =0α=0, 所以(-1)α = -α.

k 0 =k (0α) =(k ?0)α =0α=0. □

4. 如果k α=0, 则k =0或α=0.

证 若0k ≠, 则α=1α= (1k k )α=1k (k α)=1

k

0=0. □

2节课完

二. 子空间.

我们以前学过一个集合的子集的概念, 类似的我们可以定义一个线性空间的子空间的概念. 定义. 设V 是一个线性空间, W 是V 的一个非空子集, 若W 关于V 的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称W 为V 的子空间.

关于线性空间的子空间, 我们有下面的一个简单性质.

定理. 设V 是线性空间, W V ?≠?, 则W 是V 的子空间?W 对于V 的加法和数乘封闭. 证: 只要证明W 满足规律(3), (4). 设W α∈, 则00W α?=∈, (1)W αα-=-?∈. □ 回忆一下我们在第四章中定义的向量空间, 当时我们定义向量空间为n 的非空子集, 而且这个子集对加法和数乘两种运算封闭. 根据我们这里的这个定理, 我们知道在第四章中定义的向量空间实际上就是

n

的子空间.

§2 维数 基与坐标

一. 维数, 基与坐标.

在第四章中, 我们介绍了很多重要的概念, 比如线性相关, 线性无关, 最大无关组, 向量组的秩. 这些概念也适用于一般的线性空间中, 而且关于这些概念的定理对于一般的抽象空间也成立.

特别的在第四章中介绍的向量空间的基与维数的概念对于一般的抽象的线性空间也适用. 我们有下面的定义.

定义. 设V 是线性空间, 若1,,n V αα∈满足: 1.1,

,n αα线性无关;

2. V α?∈, α可由1,,n αα线性表示,

则1,,n αα称为V 的一个基, n 称为线性空间V 的维数. 记为dim()V n =. V 称为n 维线性空间. 若{0}V =, (这个时候V 没有基), 则规定dim 0V =. 根据最大无关组的等价定义, 我们知道线性空间的基就是V 的一个最大无关组, V 的维数就是V 的秩.

例: {}

31212(1,1,0)(0,1,0),.T T V k k k k =+∈?R R 则dim() 2.V = 关于线性空间的基, 我们有一个简单的性质.

性质1. 若α1, α2, ,??? αn 为V 的一个基, 则112212{|,,,}n n n V x x x x x x ααα=++

+∈. 根据

这个性质, 我们如果知道了一个线性空间的一组基, 那么这个线性空间的结构就清楚了. 线

性空间就是由它的这组基生成的线性空间.

性质2. 11 ,,. dim ,

,, 设是由向量组生成的向量空间则=向量组的秩m m L L ββββ

1,,.向量组的任意一个最大无关组都是的基m L ββ

在第四章中我们介绍过坐标的概念, 坐标这个概念对于一般的抽象的线性空间也适用. 我们有下面的定义.

定义. 设1,

,n αα是V 的一个基. 则V

α?∈, 存在唯一的1n

n x x ?? ?

∈

? ???

, 使

11n n x x ααα=++, 1n x x ??

? ? ???

称为α在1,,n αα这个基下的坐标.

为了写起来方便, 我们引入一种形式的写法. 形式记法: 1111(,,)n n n n x x x x ααααα?? ?

=+

+= ? ???

. 我们把α这个向量组对应的矩阵看成是一行n

列的矩阵, 把等式的右边看成是一个一行n 列的矩阵和一个n 行一列的矩阵的乘积.

我们以前说过线性空间的基的作用相当于平面解系几何里坐标系的作用, 向量在取定基下对应一个坐标相当于是平面解系几何里的平面上的一个点在取定坐标系下的坐标. 例1. 22(){|M A A ?=是2行2列的矩阵}. 1112212210010000,,,00001001E E E E ????????

====

? ? ? ?????????

是22()M ?的一组基. 所以22dim(())=4.M ? dim(())=.m n M mn ?

22()A M ??∈, 1111121221212222A a E a E a E a E =+++, 所以A 在11122122,,,E E E E 下的坐标是1112

2122a a a a ??

? ? ?

? ???. 按照我们的形式的写法, 我们有11121111121221212222111221222122(,,,)a a

A a E a E a E a E E E E E a a ?? ? ?=+++= ? ? ???

. 注意等式

右边看成是一个1行4列的矩阵和一个4行1列的矩阵的乘积, 而不是2行8列的矩阵和4行1列的矩阵的乘积, 如果把它看成是一个2行8列的矩阵和4行1列的矩阵的乘积, 那就没法乘了.

例2. 在线性空间4[]P x 中, 234123451,,,,p p x p x p x p x =====是它的一组基,

设23401234()f x a a x a x a x a x =++++, 则0112233445()f x a p a p a p a p a p =++++.

所以()f x 在这个基下的坐标为01234a a a a a ?? ? ?

? ? ? ???

.

11q =, 2q x a =-, 23()q x a =-, 34()q x a =-, 45()q x a =-也是它的一组基.

(因为4dim([])5F x =, 所以只要证明这组向量线性无关. 只要证12345(,,,,)0q q q q q X =只有零解.

设11223344550k q k q k q k q k q ++++=.

则4112233445550k q k q k q k q k q k x ++++=+=.

所以50k =. 所以34112233440k x k q k q k q k q +=+++=. 所以40k =.

所以231122330k x k q k q k q +

=++=. 所以30k =.

所以211122()0k x a k k q k q -+=+=. 所以210k k ==.

所以12345,,,,q q q q q 线性无关.) 设1122334455()f x b q b q b q b q b q =++++.

232345'()2()3()4()f x b b x a b x a b x a =+-+-+-. 2345''()232()43()f x b b x a b x a =+?-+?-, 45'''()32432()f x b b x a =?+??-, (4)5()432f x b =??

所以1234(4)5()'()''()2!'''()3!()4!b f a b f a f a b f a b f a b =?? ?= ? ?= ?

? ?= ?

? ?= ?

?

?. 所以()f x 在这个基下的坐标是(4)()'()''()2!'''()3!()4!f a f a f a f a f a ?

?

? ? ?

?

? ?

? ? ?

??

?

. □ 二. 线性空间在同构意义下的分类.

取定线性空间的一组基后, 线性空间中每一个向量在这组基下都对应一个坐标, 这个对应是 一一对应的, 下面我们想说明这个对应保持向量的线性运算. 从而我们可以证明n 维线性空 间和n 维有序数组所构成的向量空间n 有相同的线性结构, 用严格的数学语言来说的话, 就是说这两个线性空间是同构的.

在引进线性空间的同构的定义之前, 我们需要介绍关于映射的几个基本概念. 我们现在研究线性空间在同构意义下的分类问题

设:f A B →是映射, 则(){()|}f A f a a A =∈称为f 的像集.

设:f A B →是映射, 若对任意的'a a A ≠∈, 有()(')f a f a ≠. 则称f 是单射. 设:f A B →是映射, 若()f A B =, 则称f 是满射.

若映射:f A B →即是单射又是满射, 则称f 是双射(或一一对应).

介绍了关于映射的这几个概念以后, 我们就可以引进线性空间同构的定义. 定义. 设1V , 2V 是实数域上的两个线性空间, 若存在映射12:f V V →满足 (1) f 是双射.

(2) f 保持加法. 即,V αβ?∈, ()()()f f f αβαβ+=+. (3) f 保持数乘. 即,F V λα?∈∈, ()()f f λαλα=. 则称f 是1V 到2V 的一个同构映射, 并称1V 和2V 同构.

下面我们来证明任何一个n 维线性空间和n 是同构的. 我们有下面的定理. 定理. 任意一个n 维线性空间V 和n 同构. 所以维数相等的线性空间是同构的. 证: 设1,,n αα是V 的一个基, 我们有一个从V 到n 的一一对应. 定义映射 :n

f V →

111n n

n x x x x ααα?? ?=+

+ ? ???

. 就是把每个向量对应它在取定基下的坐标.

则f 是双射. 设11n n x x ααα=++,11n n y y βαα=+

+, 则

1111111()(()())()()n n n n n n n x y x y f f x y x y f f x y x y αβαααβ+?????? ? ? ?

+=++++==+=+ ? ? ? ? ? ?

+??????

,

1111()()()n n n n kx x f k f kx kx k kf kx x αααα???? ? ?

=++=== ? ? ? ?????

.

所以f 是同构映射. □

两个线性空间如果同构, 我们可以把它们等同. 根据这个定理我们可以把n 维线性空间和n

等同, 也就是把向量和它在取定基下的坐标等同. 正因为n 维线性空间都和n 是同构的, 所以我们前面讨论的在n 里成立的只涉及到加法和数乘两种运算的定理对于抽象的线性空间都成立.

在同构这个定义里, 如果我们把第一个条件去掉, 也就是说如果我们只要求映射f 保持加法和保持数乘, 则称f 是线性变换. 在第4节中我们会专门的讨论线性变换的一些性质.

§ 3 基变换与坐标变换

一个线性空间有很多组基, 下面我们来研究线性空间的两个不同基之间的关系. 我们有下面的基变换公式.

基变换公式: 设1,,n αα和1,,n ββ是线性空间V 的两组基. 则向量组1,,n ββ可由向量组1,

,n αα线性表示, 所以存在ij p 使得

11112121212122221122 n n n n

n n n nn n

p p p p p p p p p βαααβαααβααα=+++??=+++??

?

?=+++?, (1) 记1112

12122212

n n n n nn p p p p p p P p p p ?? ? ?= ? ?

??. 注意: 矩阵P 的第一列是1β在1,,n αα这组基下的坐标, 矩阵P 的第二列是2β在1,,n αα这组基下的坐标, 矩阵P 的第n 列是n β在1,,n αα这组基下的坐标. 为了写起来方便, 我们引入下面的形式的写法.

我们把(1)式形式的记为11(,,)(,,)n n P ββαα=. 我们把等式右边看是一个一行n 列的矩阵和一个n 行n 列的矩阵的乘积. 所以1β等于α这个向量组对应的矩阵和矩阵P 的第一列的乘积, 2β等于α这个向量组对应的矩阵和矩阵P 的第二列的乘积, n β等于α这个向量组对应的矩阵和矩阵P 的第n 列的乘积.

式子(1)称为基变换公式. 矩阵P 称为从基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵. 注意: 矩阵P 一定是可逆矩阵.

(只要证0PX =只有零解, 设00PX =, 则1010(,,)(,,)0n n X PX ββαα==, 因为1,,n ββ线性无关, 所以00X =. 所以0PX =只有零解, 所以P 可逆.)

(我们还有一个更快的方法来说明矩阵P 是可逆矩阵. 我们前面说过取定线性空间的一组基以后, 我们可以把线性空间的任何一个向量和它在这组基下的坐标等同. 矩阵P 的第一列是1β在α这组基下的坐标, 矩阵P 的第二列是2β在α这组基下的坐标, 矩阵P 的第n 列是

n β在α这组基下的坐标. 所以我们可以把1β和矩阵P 的第一列等同, 把2β和矩阵P 的第二列等同, 把n β和矩阵P 的第n 列等同. 所以我们可以把β这个向量组和矩阵P 的列向量

组等同, 所以β这个向量组的秩和矩阵P 的列向量组的秩是相等的, 但是12,,,n βββ这个向量组线性无关, 所以矩阵P 的秩等于n , 所以P 是可逆矩阵.)

同一个向量在不同基下的坐标是不一样的, 下面我们来研究同一个向量在不同基下的坐标之间的关系, 我们以前说过线性空间的基的作用相当于平面解系几何里坐标系的作用, 所以研究同一个向量在不同基下的坐标相当于我们在平面解系几何里面要研究平面上的同一个点在不同坐标系下的坐标之间的关系. 我们有下面的坐标变换公式. 定理. 设向量组1,,n αα和向量组1,,n ββ是线性空间V 的两组基,

11,,n n x x ααα?? ??????→ ? ???, 11,,n n y y ββα??

??????→ ? ???

, 11(,,)(,,)n n P ββαα=.

则有坐标变换公式 11n n x y P x y ???? ? ?= ? ? ? ?????, 或111n n y x P y x -???? ? ?= ? ? ? ?????. 证: 1111(,,)(,,)n n n n x y x y αααββ???? ? ?== ? ? ? ?????

. 11(,,)(,,)n n P ββαα= 所以111111(,,)((,,))(,,)n n n n n n x y y P P x y y ααααααα??????

?? ? ? ?

?=== ? ? ? ? ? ? ? ?????????.

所以111(,,)0n n n x y P x y αα?????? ?

? ?-= ? ? ? ?

? ???

????.

因为1,

,n αα线性无关, 所以110n n x y P x y ???? ? ?-= ? ? ? ?????, 所以11n n x y P x y ????

? ?

= ? ? ? ?????

. □

例. 在3[]P x 中取两个基32132232332421211 x x x x x x x x x x x αααα?=+-?=-++??=-+++??=--+?和3212

232

3

324

21222232

x x x x x x x x x x ββββ?=++?=++??=-+++??=+++?. 求3[]P x 中任一多项式在这两个基下的坐标变换公式.

解: 只要求出这两组基的过渡矩阵就可以了. 直接求这两组基的过渡矩阵不好求, 我们需要找第三组基过渡一下. 32,,,1x x x 也是3[]P x 的一个基. 这组自然基和已知的α基和β基间的过渡矩阵都很容易可以求出来, 从而我们可以求出α基和β基间的过渡矩阵.

则321234(,,,)(,,,1)x x x A αααα=, 321234(,,,)(,,,1)x x x B ββββ=.

其中1111212111100111A --?? ?-- ?= ?- ???, 2021111312110222B -?? ? ?= ? ???

. 所以3211234(,,,1)(,,,)x x x A αααα-=, 所以112341234(,,,)(,,,)A B ββββαααα-=. 设3[]f P x ∈, 12123434,,,x x f x x αααα?? ? ???????→ ? ???, 12123434,,,y y f y y ββββ?? ?

?

??????→ ? ???

.

则112

213344y x y x B A y x y x -???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????

. BX A =, (,)B A ???

→行变换

1(,)E B A -.

2

021111111132121121111100

22

20111---??

?

-- ? ?

- ?

?????→行变换

1000011101001100001000010

00

11111-??

?

- ? ?

?

--??

.

所以10111110000011111B A --??

?-

?= ?

?--??. 所以112233440111110000011111y x y x y x y x -?????? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?

--??????

. □ 2节课完

§4 线性变换

为了研究两个集合之间的关系.我们可以定义集合之间的映射. 所以为了研究两个线性空间之间的关系, 我们需要在这两个线性空间之间建立映射, 但是因为线性空间不但是一个集合, 而且线性空间里有加法和数乘两种运算, 所以在两个线性空间之间光是建立映射还不够, 我们需要建立的映射保持加法和数乘两种运算, 这样我们就能够研究两个线性空间的线性结构之间的关系. 两个线性空间之间的保持加法和数乘两种运算的映射就称为线性变换. 下面我们来看一下线性变换的严格的数学定义.

定义. 设,V U 是两个线性空间, :T V U →是映射, 满足 (1)T 保持加法, 即()()()T T T αβαβ+=+, ,V αβ?∈. (2)T 保持数乘, 即()()T k kT αα=, V α?∈.

则称T 是从V 到U 的线性映射, 或称为线性变换. 若V U =, 则称T 是线性空间V 上的线性变换.

我们如果要求线性变换T 是双射,那么T 就是我们前面介绍的同构映射.

定义: 11,,, . 设为阶矩阵 则关系式称为线性变换n n x y P n X Y X PY x y ???? ? ?=== ? ? ? ?????

例1. 给定一个矩阵m n A ?, 我们定义映射

:n m T → 11m n n n x x A x x ????? ? ?

?

? ? ?????

, 则T 是一个线性映射.

这是因为对任何,n X Y ∈, k ∈, ()()()()T X Y A X Y AX AY T X T Y +=+=+=+. ()()()()T kX A kX k AX kT X ===.

下面我们只讨论线性空间V 上的线性变换. 例2. 设V 是线性空间,

(1) 恒等变换: :V V →E ,

αα.

(2) 零变换: :V V →0, 0α.

(3) 数乘变换: 取定实数k , k :V V → k αα. 显然上面的这三个映射都是线性变换. 例3. 微分运算:[][]n n D P x P x →

10112()'()2n

n n n f x a a x a x f x a a x na x -=++

+=++

+.

则D 是线性变换.

证: 根据导数的性质我们知道对,[]n f g P x ∈, k ∈

,

()()'''()()D f g f g f g D f D g +=+=+=+,

()()''()D kf kf kf kD f ===. □

例 4.平面上的旋转变换T .取定θ.设OP 的坐标是x y ?? ???

,OP 逆时针旋转θ角得到

''x OQ y ??

= ???

,

定义2

2:

T →. ''x x y y ???? ? ?????

记OP OQ r ==, 则cos()x r α=, sin()y r α=.

'cos()cos cos sin sin cos sin 'sin()sin cos cos sin sin cos x r r r x y y r r r x y θαθαθαθθ

θαθαθαθθ=+=-=-??

=+=+=+?. 'cos sin 'sin cos x x y y θθθθ-??????= ? ?????????

. 所以T 是一个线性变换. □

下面我们讨论一下线性变换的几个简单性质. 性质. (1)(0)0T =, ()()T T αα-=-. (2)11221122()()()()m m m m T k k k k T k T k T αααααα++

+=+++.

(3)若1,,m αα线性相关, 则1(),,()m T T αα线性相关. 也就是说线性变换保持向量组的线性相关性, 注意它的逆命题不成立, 例如零变换:V V →0.

(4)设T 是V 上的线性变换, 则像集(){()|}T V T V αα=∈和ker(){|()0}T V T αα=∈=都是V 的子空间, ()T V 称为T 的像空间. ker()T 称为T 的核. (ker 是Kernel 的缩写.) 证: 只要证这两个集合对加法和数乘两种运算封闭.

设11()T βα=, 22()()T T V βα=∈, k ∈, 则121212()()()()T T T T V ββαααα+=+=+∈ 111()()()k kT T k T V βαα==∈. 所以()T V 是V 的子空间. 设,ker()T αβ∈, 则()0T α=, ()0T β=.

所以()()()0T T T αβαβ+=+=, ()()00T k kT k αα===.所以ker()T 是V 的子空间. □ (5)设1,,n αα是线性空间V 的一组基, T 是V 上的线性变换, 则11(){()T V k T α=+ 22()()|,1}n n i k T k T k i n αα++∈≤≤, 所以dim(())T V =向量组12(),(),,()n T T T ααα的秩.

证: 因为112212{|,,,}n n n V x x x x x x ααα=+++∈,

利用性质2, 知()T V 是由12(),(),,()n T T T ααα生成. □ 例. 设A 是n 阶方阵, 对A 列分块()1,,n A αα=.

定义:n n T →.

X 11n n AX x x αα=++

则T 是

n

上的线性变换, 11(){|,1}n n i T V x x x i n αα=+

+∈≤≤. (所以线性变换T 的像空

间就是由矩阵A 的列向量组生成的向量空间.) 11ker()0n

n n x x T A x x ????

??

?? ?

?

=∈

=?? ? ??? ? ?

?????

?, 所以线性变

O

P

Q

换T 的核是齐次线性方程组0AX =的解空间.

§5 线性变换的矩阵表示式

在这一节当中我们讨论n 维线性空间上的线性变换和n 阶方阵之间的关系. 我们先讨论n 上的线性变换. 设A 是一个n 阶矩阵, 则 :n n T → αA α

是n 上的线性变换.

反之设T 是n

上的线性变换.

令0()10e i i ?? ? ? ?= ? ? ???

,

(1)i n ≤≤. 则

对任意111n n n a a e a e a α?? ?==++ ? ???

. 有1111()()()()n n n n T T a e a e a T e a T e α=++=++.

令1((),,())n A T e T e =. 则()T A αα=.

所以n 上的线性变换和n 阶矩阵是一一对应的.

因为n 维线性空间和n 是同构的, 同构的线性空间可以把它们等同. 所以粗略的说任意n 维线性空间上的线性变换也是和n 阶矩阵是一一对应的. 下面让我们来看一看任意n 维线性空间上的线性变换和n 阶矩阵是怎么一一对应的. 首先任意给定一个线性变换, 它对应一个矩阵.

定义. 设T 是线性空间V 中的线性变换, 在V 中取定一个基1,,n αα. 设 11112121212122221122()()()n n n n

n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=+++??=+++????=+++?, 令1112

1212221

2,n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ?

?? 记11(,,)((),

,())n n T T T αααα=. 则111(,,)((),,())(,

,)n n n T T T A αααααα==.

称矩阵A 为线性变换T 在基1,

,n αα下的矩阵.

注意: 矩阵A 的第一列是1()T α在1,

,n αα这组基下的坐标, 矩阵A 的第二列是2()T α在

1,,n αα这组基下的坐标, 矩阵A 的第n 列是()n T α在1,,n αα这组基下的坐标. 所以在取定线性空间的一组基后n 维线性空间上的线性变换对应一个n 阶矩阵.

反过来, 任意给定一个n 阶矩阵, 都有一个线性变换和它对应. 设A 是一个n 阶矩阵, 1,,n αα是V 的一组基.

令11(,,)i i n ni a a βαα?? ?= ? ???

, (1)i n ≤≤. 定义:T V V →

1111()n n

n n x x T x x ααααββ=++=++. 则易证T 是V 上的线性变换. 而且111((),,())(,,)(,,)n n n T T A ααββαα==. 所以我们定义的线性变换T 在α这组基下的矩阵就是矩阵A .

根据我们上面的讨论, 我们知道一般的n 维线性空间上的线性变换也是和n 阶矩阵是一一对应的.

如果一个线性变换的矩阵知道了, 我们就可以利用这个矩阵来直接计算向量在线性变换下的像的坐标. 我们有下面的计算公式.

定理. 设1,,n αα是V 的基, 1,,n T A αα?????→, 11,,n n x x ααα??

?

?????→ ? ???

,

则11,,()n n x T A x ααα??

??????→ ? ???

.

根据这个定理, 如果我们把向量和它的坐标等同, 也就是把线性空间V 和n 等同, 那么这个线性变换T 把列向量X 对应到矩阵A 乘以X : :n n T →, X AX . 这就是我们前面讨论过的用矩阵A 来定义的n 上的线性变换.

证: ()()111111()()()(),,()n n n n n n x T T x x x T x T T T x ααααααα?? ?=+=++= ? ???

()1111(,,)(,,)n n n n x x A A x x αααα????

?? ? ?

?== ? ? ? ? ? ???????

. □

例1. 在3[]P x 中, 取基321234,,,1p x p x p x p ====.

求微分变换(运算)D 的矩阵.

解: 21123421234

3

12344123430300200201000100000Dp x p p p p Dp x p p p p Dp p p p p Dp p p p p ?==+++?==+++??==+++??==+++?

. 所以, D 在这组基下的矩阵为00003000.02000010A ?? ?

?= ? ??? 同一个线性变换在不同的基下的矩阵一般来说是不一样的. 下面我们来研究同一个线性变换在不同的基下的矩阵之间的关系. 我们有下面的定理.

定理. 设1,,n αα和1,,n ββ是V 的两个基. 11(,,)(,,)n n P ββαα=.

T 是V 上的线性变换, 1,,n T A αα?????

→, 1,,n

T B ββ?????→. 则1B P AP -=. 根据这个定理, 我们知道同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.

证: 11(,,)(,,)n n T A αααα=, 11(,,)(,,)n n T B ββββ=, 11(,,)(,

,)n n P ββαα=.

所以()()11111(,

,)(,,)((,

,))(,,)(,,)n n n n n B T T P T P A P ββββαααααα====

111(,

,)()(,,)n n AP P AP ααββ-==.

因为1,

,n ββ线性无关, 所以1B P AP -=. □

例. 设V 的线性变换T 在基12,αα下的矩阵为11122122,a

a A a a ??= ???

求T 在基21,αα下的矩阵.

解: 211201(,)(,)10αααα??= ???, 记0110P ??= ???, 则 1

0110P -??= ???

. 所以T 在基21,αα下的矩阵

为1112222112122121101011010a a a a B P AP a a a a -????

????=== ?

? ? ?????????

. □ 2节课完

最后我们来研究线性变换的像空间的维数和线性变换核的维数. 我们有下面的定理.

定理. 设1,,n ββ是V 的基, T 是V 上的线性变换, 1,,n

T A ββ

?????→. 则dim(())()T V R A =(称dim(())T V 为T 的秩), dim(ker )()T n R A =-.

我们前面说过了在取定n 维线性空间的一组基以后, 线性空间上的线性变换和n 阶矩阵是一一对应的, 根据这个定理. 我们知道研究n 维线性空间上的线性变换可以归结为研究n 阶矩

阵.

证: 我们前面已经证过dim(())T V =向量组1(),,()n T T ββ的秩.

我们有同构映射:n

f V →.

111n n

n x x x x αββ?? ?=+

+ ? ???

通过这个同构映射, 我们可以把向量和它的坐标等同. 令1(,,)n A αα=. 则()i T β的坐标是i α, (1)i n ≤≤. 所以dim(())T V =向量组1(),

,()n T T ββ的秩=向量组1,,n αα的秩()R A =.

而11(ker())0n n x x f T A x x ????????

? ?==?? ? ??? ? ???????

.

所以dim(ker )dim (ker())()T f T n R A ==-. □ 例1.(2005.1)(10分)(3学分)在次数不超过n 的实系数多项式所形成的线性空间[]n V P x =中定义线性变换T 为(())(1)()T f x f x f x =+-. 求线性变换T 在V 的一个基11α=, 2x α=,

31(1)2x x α=-, , 11

(1)(1)!

n x x x n n α+=--+下的矩阵B .

解: 1()110T α=-=. 21()(1)1T x x αα=+-==,

3211

()(1)(1)22T x x x x x αα=+--==.

111

()(1)(2)(1)(1)!!

n T x x x n x x x n n n α+=+-+---+

11(1)(2)(1(1))(1)(2)!(1)!

n x x x n x x n x x x n n n α=--++--+=--+=-. 所以123112310

10000100000(,,,,)(,,,

,)0001000

0n n T αααααααα++?? ? ? ?

=

? ? ? ? ??

?

. □

例2. (2007.9)(15分)(3学分)设V 为全部二阶实方阵所构成的线性空间. 对任意A V ∈, 定义:

1

()()2

T P A A A =-. 其中T A 表示转置矩阵.

(1) 证明: P 为线性变换.

(2) 求P 在基11122110010000,,,00001011E E E B ????????

==== ? ? ? ?????????

下的矩阵.

(3) 求P 的核及像空间.

证: (1) 对任意的1,A 2A V ∈和任意的k ∈,

121212112212111()(())()()()()222T T T

P A A A A A A A A A A P A P A +=+-+=-+-=+.

11111111

()(())()()22

T T P kA kA kA k A A kP A =-=-=.

所以P 是线性变换

(2)11()0P E =, 1212

2101001111

()00102222

P E E E ????=

-=- ? ?????. 2112

2100011111

()10002222P E E E ????=-=-+ ? ?????. 12

2100010111111

()11011022222

P B E E -??????=-==-+ ? ? ???????. 所以11122111122111122100

001110222(,,,)((),(),(),())(,,,)11102220000P E E E B P E P E P E P B E E E B ?? ?

?-- ?==

? ?

- ? ???

.

注意: 上面的等式的右边的矩阵乘积我们把111221(,,,)E E E B 看成是1行4列的矩阵, 这个1行4列的矩阵中的元素是看成向量空间中的向量. 它和后面的4行4列的矩阵的乘积是按照一个1行4列的矩阵和一个4行4列的矩阵的乘法运算规则来运算的. 你不能把111221(,,,)E E E B 看成2行8列的矩阵, 如果你把它看成是2行8列的矩阵的话, 它就没法和后面的4行4列的矩阵相乘了.

(3)12Ker(){|()()0}{|}T T P A V P A A A A V A A =∈=-==∈=. 111212321422(){()|}{()()()()|,1}i P V P A A V k P E k P E k P E k P E k i n =∈=+++∈≤≤.

111111

212213122141221

234222222{()()()|,,}k E E k E E k E E k k k =-----∈. 1234122123412212

{()()|,,}{()|}k k k E E k k k k E E k =---∈=-∈. □ 例3. (2007.12)(20分) 设101120143A -??

?= ? ?-??

, 定义映射3

3

:T →

如下: 对任意3

α∈

,

()T A αα=.

(1) 证明T 为3上的线性变换; (2) 求线性变换T 的核1(0)T -. (3) 求线性变换T 的像空间3

(

)T 的维数及一组基;

(4) 求线性变换T 在基1111ξ?? ?= ? ???, 2011ξ?? ?= ? ???, 3001ξ?? ?= ? ???

下的矩阵. 解: (1) 对任意的3,αβ∈, k ∈.

()()()()T A A A T T αβαβαβαβ+=+=+=+, ()()()()T k A k k A kT αααα===.

所以T 为3上的线性变换.

(2) 133

(0){|()0}{|0}T T A αααα-=∈==∈=.

下面求解方程组0AX =.

1210101000A ??- ?????→ ? ???行初等变换. 求得基础解系为 1121ξ-?? ? ?=- ? ???

. 所以13(0){|}T k k ξ-=∈∈.

(3) 对矩阵A 列分块, 123(,,)A ααα=.

则3

3

3

112233123(

){()|}{|}{|,,}T T X X AX X x x x x x x ααα=∈

=∈

=++∈.

1210101000A ??- ?????→ ?

???

行初等变换

, 所以12,αα是123,,ααα的最大无关组. 所以12,αα是3

()T 的基,

3()T 的维数是2.

(4) 11230()3336T A ξξξξ?? ?===+ ? ???, 221231()257T A ξξξξξ?? ?===++ ? ???, 331231()033T A ξξξξξ?? ?===-+ ? ???. 所以T 在基123,,ξξξ下的矩阵是011311353?? ?

- ? ???

. □