(人教版)数学九年级下册课件：27-2相似三角形的性质(共39张PPT)

知识归纳
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比.
角平分线
三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形
三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
练 一 练
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， 面积之比为 4：9 。
A
D
E
B
C F
相似三角形对应线段的比等于相似比

2．(4 分)若△ABC∽△A′B′C′，AB＝16 cm，A′B′＝4 cm，AD 平分∠BAC， A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm，则 AD＝_ _ cm. 3．(4 分)如图，光源 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB ∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点 P 到 CD 的距离是 2.7 m，则 AB 与 CD 间的距离 是_ m.
A E G F
B
I
D H
C
变式训练
1、如图，FG∥BC，AE⊥FG，AD⊥BC，E、D是垂足， FG=6，BC=15，求：（1）AE：ED。 （2）若AD=10，求ED的长。 （3）若FGHI是正方形，它 的边长是多少？你会把这个 正方形剪出来吗？
B F A E G
I
D H
C
2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
A′ K
A
B
D
C
B′
D′
C′
相似三角形的对应中线之比等于相似比。
自主思考--类似结论
问题3：ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD AD 分别为A、 A'的平分线, 则 K A' D'
A′
A
B
D
C
B′
D′
C′
相似三角形的对应角平线之比等于相似比。
相似三角形的性质
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 A 高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边 长为x毫米。 E N P ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC AE PN ∴ = C B AD Q D M BC 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。 80 120
练一练
1.如图，点E是平行四边形ABCD的边 AB的延长线上一点，且AB = 4 BE ， 连接DE交BC于点F. BF （1）求 AD 的值 （2）若S△BEF =2，求SABCD
对应高的比
AD AD
1 2
B/
D/
C/
观察
A
ΔABC∽ΔA/B/C/，
B D C A/
1 相似比为 2
对应中线的比
AD AD
1 2
B/
D/
C/
观察
A
B
D
C
ΔABC∽ΔA/B/C/，
A/
1 相似比为 2
对应角平分线的比
AD AD
1 2
B/
D/
C/
小结
1 / / / 当ΔABC∽ΔA B C ，且相似比为 时 2
∵AB=2DE，AC=2DF， DE DF 1 ∴ AB AC 2 又∠D=∠A， ∴△DEF∽△ABC，相似比为
A
D B E C
F
1 ∴△DEF的周长为 ×24=12 2 2 1 面积为 ( ) 12 5 3 2
1 2
5
例2、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC则:
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
相 似 三 角 形
对应高的比
对应中线的比 对应角平分线的比
= 相似比
相似三角形对应线段的比等于相似比 在相似三角形中还有哪些线段的比等 于相似比？
1、相似三角形对应边的比为2:3，那么相似比 为 ，对应角的角平分线的比为 。 2、两个相似三角形相似比为1:4则对应高的比 为 ，对应角的角平分线的比为 。 3、两个相似三角形对应中线的比为1:4，则相似 比为 ，对应高的比为 。
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，
则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的 高线之比 3：2 。
例题讲解 例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是 12 5 ，求ΔDEF的周长和面积。
解：在△ABC和△DEF中，
相似三角形周长的比等于相似比
4．(4 分)若△ABC 的周长为 20 cm，点 D，E，F 分别是△ABC 三边的中点， 则△DEF 的周长为( ) 20 A．5 cm B．10 cm C．15 cm D. cm 3 5．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB 于点 D，则△BCD 与△ABC 的周长之比为_ _．
8．(4 分)(2014· 雅安)在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 AE∶ED＝3∶1，CE 的延长线与 BA 的延长线交 于点 F，则 S△AFE∶S 四边形 ABCE 为( ) A．3∶4 B．4∶3 C．7∶9 D．9∶7 9．(8 分)如图所示，在▱ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 交 BD 于 F.已知 BE∶EC＝3∶1，S△FBE＝18 cm2，求▱ABCD 的面积．
1:4
1:3 A
D
E
B
C
议一议：本节课你学到了什么？ 中线 高线 比等于相似比.
（1）相似三角形对应的
角平分线
三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形
三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
提高拓展
1、如图，FG∥BC，AE⊥FG，AD⊥BC，E、D是垂足， FG=6，BC=15，求：（1）AE：ED。
一、选择题(每小题 8 分，共 16 分) 10．(2014· 宁波)如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝ 3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D. 2∶ 3
11．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等份，则 图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的( 1 A. 9 2 B. 9 1 C. 3 4 D. 9 )
相似三角形的性质 问题：两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
如图，分别为边长为1、2、3的等边三角形， 它们相似吗？
1 2
3
(1)
(2)
(3)
（1）与（2）的相似比为 （1）与（2）的周长比为 （2）与（3）的相似比为
； ； ；
（2）与（3）的周长比为
。
结论：相似三角形的周长比等于
。
相似三角形的性质
B B' 又 ADB A DB 90. B ABD ∽ AB D AD AB k AD AB
A/
D
C
B/
D/ C/
①相似三角形的对应高 线之比等于相似比。
自主思考--类似结论
问题2：如图ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中 AD、 AD分别为BC、 BC 边上的中线 , AD 则 AD
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 角 对应角平分线的比 形 周长的比
=
相似比.
相似三角形的性质 问题：两个相似三角形的面积之 间有什么关系？
用心观察
1 2
3
(1)
(2)
(3)
（1）与（2）的相似比为
（1）与（2）的面积比为 （2）与（3）的相似比为 （2）与（3）的面积比为
；
； ； 。
结论：相似三角形的面积比等于
温故知新
（1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质？ 相似三角形对应角 ，
相似三角形对应边
；
想一想：它们还有哪些性质？
情景引入
一个三角形有三条重要线段： 高、中线、角平分线 如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系？
观察
A
ΔABC∽ΔA/B/C/，
C A/
B
D
1 相似比为 2
C
B/
D/ C/
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 角 对应角平分线的比 形 周长的比
=
相似比.
相似三角形面积的= 相似比的平方
如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似 比为k，它们的面积比是多少？
A D
A/
B
D/ B/ C/
C
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
。
如图所示， ABC ∽ ABC, 相似比为k , 其中 AD、 AD分别为BC、 BC边上的高线 ,则
S ABC S ABC
1 BC AD BC AD 2 k k k2 1 B' C ' A' D' B' C ' A' D' 2
A
A/
B
D
【综合运用】
15．(15 分)(2014· 绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分 别在 AB，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少 mm?
小颖解得此题的答案为 48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成， 如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算． (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就 不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．