高三数学摸底考试试题
广西七市联考2025届高三上学期10月摸底测试 数学含答案
2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
小本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2}A x x =>∣，{23)B y y =<<∣，则A.=∅ A B B.= A B AC.= A B BD.= A B A2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为A.9B.5C.-8D.103.若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =A.23-B.23 C.32-D.324.在四棱锥P ABCD -中，“∥BC AD ”是“∥BC 平面PAD ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.433cos sin cos sin 551010i i ππππ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎝⎭⎝⎭A.1B.iC.-1D.-i6.已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =A.3C.4D.57.定义在R 上的坷函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x - 的解集为A.)13⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞B.(11,,0,33⎡⎫⎡--⎪⎢⎢⎣⎭⎣ ∞C.{})103⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞D.(11,,0,33⎡⎤⎡--⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ∞S.若数列{}n a 、{}n b 满足121a a ==，11+=-+n n b a n ，13+=-+n n b a n ，则数列{+n n a b 的前50项和为A.2500B.2525C.2550D.3000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。
2025届新高三年级开学摸底考数学试卷(附答案)
2025届新高三年级开学摸底考试卷数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{23}A xx =-<<∣，{}250,B x x x x =-<∈N ∣，则A B = （ ） A ．{03}xx <<∣ B ．{25}x x -<<∣ C ．{0,1,2} D ．{1,2}2．已知复数z 满足4i2i z z -=-，则z 的虚部为（ ） A ．1i 5B ．1i 10 C ．15D ．1103．已知π(0,),3sin 2cos 212ααα∈=+，则tan 2α=（ ）AB C ．34D ．434．若命题：“a ∃，R b ∈，使得cos cos a b b a -≤-”为假命题，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b ≥5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2311.31cmB ．2300.88cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm6．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高PQ 为（ ）米A ．B ．C ．1)-D ．1)7．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与E 的右支交于A ，B两点，且222BF AF =，若10AF AB ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C D 8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+-+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)12f = B ．方程()f x x =有解 C ．12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++.A ．0.004a =B ．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个实数根，则12a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．已知1x 是函数 ()()30f x x mx n m =++<的极值点，若()()()2112f x f x x x =≠，则下列结论 正确的是（ ）A ．()f x 的对称中心为()0,nB ．()()11f x f x ->C ．1220x x +=D ．120x x +>第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新九省地区专用)(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷数学·答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678C B BD A A B D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BC BDAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1051314．4四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）由sin2A A+=可得1sin122A A+=，即sin(1π3A+=，...............3分由于ππ4π(0,π)(,)333A A∈⇒+，故ππ32A+=，解得π6A=....................................................6分（2）由题设条件和正弦定理sin sin2sin2sin sin cosC c BB C C B B=⇔=，又,(0,π)B C∈，则sin sin0B C≠，进而cosB=π4B=，..........................................8分于是7ππ12C A B=--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos4C A B A B A B B A=--=+=+=，.....................................10分由正弦定理可得，sin sin sina b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c==...............................................................................................................12分故ABC的周长为2+分16．（15分）【详解】（1）依题意可得上顶点()0,A b，左，右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，所以()1,AF c b=--，()2,AF c b=-，又120AF AF ⋅=，所以()22120AF AF c b ⋅=-+-= ，即22b c =，即222a c c -=，所以222a c =，所以离心率2c e a ==；..........................................................................5分（2）由（1）可得b c =，a =，则椭圆方程为222212x y c c+=，射线1AF 的方程为b y x b x c c=+=+，联立222212y x cx y c c =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得2340x cx +=，..................................................................8分解得0x =或43B x c =-，则13B y c =-，即41,33B c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.................................................12分所以83AB ===，解得c =2a =，所以2ABF △的周长222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== ． (15)分17．（15分）【详解】（1）设,AC BD 相交于点O ，因为2AB BC CD DA ====，所以四边形ABCD 是菱形，所以DB AC ⊥，且O 为BD 的中点，连接PO ，因为PD PB =，所以DB PO ⊥，................................................................................3分因为,AC PO ⊂平面,PAC AC PO O ⋂=，所以DB ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以DB PC ⊥...........................................................................................6分（2）过点O 作平面ABCD 的垂线Oz ，以,,OB OC Oz 所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)()(),0,1,0,BC D .因为,DB PO DB AC ⊥⊥，所以POC ∠是二面角P BD C --的平面角，所以2π3POC ∠=，且结合已知有3PO =，..............................................................................................9分因为PO 在平面yOz 内，所以由已知及平面几何的性质，得3330,,22P ⎛- ⎝⎭，所以5333333330,,,3,,,3,,222PC PD PB ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以533022333302y z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，.........................................................................................12分令33y =5,3z x ==-，所以()3,33,5n =-是平面PCD 的一个法向量，设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，所以||3361sin 61||||2361PB n PB n θ⋅===⨯ ，即直线PB 与平面PCD 36161分18．（17分）【详解】（1）函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，..................................................................................................1分当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；......................................................3分当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得111x a =+，211x a =+，因为10a -<<，所以011a <+<，则2111a -<+<-，所以当()2,11x a ∈-+-时()0f x '<，当()111x a a ∈++-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减；.................................................................................................................4分当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1-上单调递增，在)1,+∞上单调递减．........................................6分综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1-上单调递增，在)1,+∞上单调递减．...............................8分（2）（ⅰ）由（1）可知10a -<<．............................................................................................................10分（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x 处取得极大值，在1x =处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa ==-<极大值，..........................................................12分又())110f f-<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，.......................................................................................................................................15分所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1-上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．....................................................................................................17分19．（17分）【详解】（1）因为(1)(23)(15)n n a n n =--≤≤所以123451,1,3,5,7a a a a a ===-==-，所以数列{}n a 的“min 点”为3，5，.............................................................................................3分（2）依题意，()()11122112nnn a S a-==--，因为数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，所以存在()2n n ≥，使得1111n n S a S a +<+，所以()()1111112121n n a a a a -+<+-，即()111222221n nna a --<⋅-.因为2n ≥，所以220n->，所以21121n a <-，................................................................6分又21n-随n 的增大而增大，所以当2n =时，121n-取最大值13，所以2113a <，又10a >，所以10a <<当10a <<时，有212111S S S S +<+，所以数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，所以1a的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，................................................................................................9分（3）①若()12n a a n ≥≥，则数列{}n a 不存在“min 点”，即0p =.由10m a a -≥得，10m a a -≤，所以1m a a p -≤，②若存在n a，使得1n a a <.下证数列{}n a 有“min 点”.证明:若21a a <，则2是数列{}n a 的“min 点”;若21a a ≥，因为存在n a ，使得1n a a <，所以设数列{}n a 中第1个小于1a 的项为1n a ，则()11121n i a a a i n <≤≤≤-，所以1n 是数列{}n a 的第1个“min 点”.综上，数列{}n a 存在“min 点”...........................................................................11分不妨设数列{}n a 的“min 点”由小到大依次为123,,,,p n n n n ，则1i n a +是11121,,,,,i i i i i n n n n n a a a a a ++++- 中第1个小于i n a 的项，故1111i i i i n n n n a a a a +++--≤-，因为()112n n a a n m -≥-≤≤，所以11n na a --≤，所以1111i i n n a a ++--≤，所以11i i n n a a +-≤所以()()()()112231111p p pm n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --≤-=-+-+-++- ()()()()1122331111p p n n n n n n n n a a a a a a a a ----≤-+-+-++- ()11111.p ≤++++ 个所以1m a a p -≤.综上，1ma a p -≤，得证.........................................................................................................17分。
陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题
陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,3,2,1,M a N a =+=，若{}1,4M N =I ，则a =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2±2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知平面向量()()3,4,,3a b m ==r r ．若向量2a b -r r 与a b +r r 共线，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．94C ．32D ．344．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（ ） A ．ππ0x y +-= B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=5πsin()4αα=-，则22sin 2cos αα-=（ ）A ．34B ．12C ．14-D ．12-6．已知直线l 经过点()2,0-且斜率大于0，若圆22:20C x y x +-=的圆心与直线l 上一动点l 的斜率为（ ）A B C D 7．风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形ABCD 中，对角线BD 所在直线为对称轴，ABC V 是边长为2的等边三角形，ACD V 是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线AC 折叠，使得2BD =，形成四面体ABCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．17π3C ．16π3D ．4π8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左顶点，M 为双曲线C 上位于第一象限内的一点，点M 关于y 轴对称的点为N ，记,MAN MOx αβ∠=∠=，若tan tan 3αβ=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC D 1二、多选题9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件 B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A I 与事件13A A ⋂是互斥事件10．在平面直角坐标系xOy 中，一动点从点0M 开始，以πrad/s 2的角速度逆时针绕坐标原点O 做匀速圆周运动，s x 后到达点M 的位置．设1(2A ，记2()||x A M ϕ=，则（ ） A ．ππ()43cos()23x x ϕ=--B ．当203x =时，()ϕx 取得最小值 C ．点5(,4)3是曲线()y x ϕ=的一个对称中心 D ．当[0,4)x ∈时，()ϕx 的单调递增区间为410[,]3311．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且22()()()f x y f x f y xy x y +=+++，当0x >时，33()f x x >，且(3)12,(3)10f f =='，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．4(1)3f -=-C ．()f x 在R 上单调递增D ．20241π(sin )30362i f i ='=∑三、填空题12．2824(3)x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中9x 的系数为．（用数字作答）13．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,1,a b A B C ==△，则c =．14．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆2221:C x y b +=，圆2222:C x y a +=，点()1,1P ，射线OP 交圆1C ，椭圆C ，圆2C 分别于点,,R S T ，若圆1C 与圆2C 围成的图形的面积大于圆1C 的面积，则2||OR OTOS ⋅的取值范围是．四、解答题15．某农场收获的苹果按,,A B C 三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且,,A B C 三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A 级苹果的概率；(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A ，B ，C 三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A 级苹果有X 箱，求X 的分布列与数学期望．16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且31211,42a a a ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)令22log n n b a =-，记112211n n n n n S a b a b a b a b --=++++L ，求n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，M 在棱CD 上且2,3CM MD AB ==，2,BC PM PD ==⊥平面ABCD ，在棱PB 上存在一点Q 满足//CQ 平面PAM ．(1)证明：平面PCD ⊥平面PBC ； (2)求平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值．18．已知动圆的圆心在x 轴上，且该动圆经过点()()()4,0,,0,0,x y -． (1)求点(),x y 的轨迹C 的方程；(2)设过点()1,0E -的直线l 交轨迹C 于,A B 两点，若()0,4,A x G 为轨迹C 上位于点,A B 之间的一点，点G 关于x 轴的对称点为点Q ，过点B 作BM AQ ⊥，交AQ 于点M ，求A M A Q ⋅的最大值．19．定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，在开区间(,)a b 内每一点存在导数，且()()f a f b =，那么在区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()0f c '=这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．(1)设()(1)(2)(4)f x x x x x =---，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理，说明方程()0f x '=根的个数，并指出它们所在的区间；(2)如果()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间(,)a b 内每一点存在导数，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理证明：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-；(3)利用（2）中的结论，证明：当0a b <<时，2()e e e a ba b a b a b ++<+．（e 为自然对数的底数）。
(新九省地区专用)2025届新高三数学开学摸底考试卷(含答案与解析+答题卡)
2025届新高三开学摸底考试卷（新九省地区专用）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}N 5A x x =∈≤，集合{}2430B x x x =-+>，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}0,1,3,4,5C ．{}0,4,5D ．{}4,52．已知复数z =，则z =（ ）A ．2516B ．54C ．254D ．5163．已知向量(),1a m = ，(),1b m =- ，若3a b - 与b垂直，则a r 等于（ ）AB C ．3D ．64．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B C D 5．若函数()21ln 22h x x ax x =--在[]1,4上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．7,16⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．7,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．函数()221sin 2e e x xx x f x --+=-的部分图象大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．7．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78SAB △的面积为，则该圆锥的表面积为（ ）A ．B ．(40π+C ．D ．(40π+8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若183AB AF =，且121cos 4F BF ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．53C ．43D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（ ）A ．数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32B ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=；则()240.34P ξ<<=C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ˆˆˆya bx =+；若ˆ2b =，1x =，3y =，则ˆ1a = D ．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为410．将函数()2πsin (0,0)3f x x x ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{}n a ，且123a =，则（ ）A ．2ω=B ．()f x 在()1,2上先增后减C ．10313a =D ．{}n a 的前n 项和为236n n + 11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，首项 112a = ，4a 是2a 与8a 的等比中项，记 n S 为数列{}n a 的前n 项和，则20S =13．直线l 与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，若1OA OB ⋅=- ，则AB = .14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 16．（15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ．(1)求C 的离心率；(2)射线1AF 与C 交于点B ，且83AB =，求2ABF △的周长． 17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2,AB BC CD DA AC PD PB =======(1)求证：DB PC ⊥；(2)若二面角P BD C --的大小为2π3，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 18．（17分）已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若函数()f x 有两个极值点， （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点． 19．（17分）设有穷数列{}n a 的项数为(2)m m ≥，若正整数(2)k k m ≤≤满足：,n k ∀<n k a a >，则称k 为数列{}n a 的“min 点”．(1)若(1)(23)(15)nn a n n =--≤≤，求数列{}n a 的“min 点”；(2)已知有穷等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ．若数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，求正数1a 的取值范围；(3)若11(2)n n a a n m -≥-≤≤，数列{}n a 的“min 点”的个数为p ，证明：1m a a p -≤．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}N 5A x x =∈≤，集合{}2430B x x x =-+>，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}0,1,3,4,5C ．{}0,4,5D ．{}4,52．已知复数z =，则z =（ ）A ．2516B ．54C ．254D ．516【答案】B【分析】先由复数除法求出复数z ，再求模.A B C．3 D．64．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π1tan43α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sinα=（）A B C D5．若函数()21ln22h x x ax x=--在[]1,4上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．(],1-∞-B．(),1-∞-C．7,16⎛⎤-∞-⎥⎝⎦D．7,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．函数()221sin 2e e x xx x f x --+=-的部分图象大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．7．已知圆锥的顶点为S，母线,SA SB所成角的余弦值为78SAB△的面积为，则该圆锥的表面积为（）A．B．(40π+C．D．(40π+设圆锥底面为r，母线长为因为SAB△的面积为515又2l r=⇒210r=.8．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，过1F作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若183AB AF=，且121cos4F BF∠=，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．53C．43D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（ ）A ．数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32B ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=；则()240.34P ξ<<=C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ˆˆˆya bx =+；若ˆ2b =，1x =，3y =，则ˆ1a = D ．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为410．将函数()2πsin (0,0)3f x x x ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{}n a ，且123a =，则（ ）A ．2ω=B ．()f x 在()1,2上先增后减C ．10313a =D ．{}n a 的前n 项和为236n n+11．设函数()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心 【答案】AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，四、12．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，首项 112a = ，4a 是2a 与8a 的等比中项，记 n S 为数列{}n a 的前n 项和，则20S =14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1和2，母线长分别为212r r -和213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．（15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ．(1)求C 的离心率；(2)射线1AF 与C 交于点B ，且83AB =，求2ABF △的周长．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2,AB BC CD DA AC PD PB =======(1)求证：DB PC ⊥；(2)若二面角P BD C --的大小为2π3，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.因为,DB PO DB AC ⊥⊥，所以∠所以2π3POC ∠=，且结合已知有因为PO 在平面yOz 内，所以由已知及平面几何的性质，得所以5330,,,PC PD ⎛⎫⎛=-=- ⎪ 18．（17分）已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若函数()f x 有两个极值点， （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点． 【答案】(1)答案见解析；(2)（ⅰ）10a -<<；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，再分1a ≤-、10a -<<、0a ≥三种情况，分别求出函数的单调区间；19．（17分）设有穷数列{}n a 的项数为(2)m m ≥，若正整数(2)k k m ≤≤满足：,n k ∀<n k a a >，则称k 为数列{}n a 的“min 点”．(1)若(1)(23)(15)nn a n n =--≤≤，求数列{}n a 的“min 点”；(2)已知有穷等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ．若数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，求正数1a 的取值范围；(3)若11(2)n n a a n m -≥-≤≤，数列{}n a 的“min 点”的个数为p ，证明：1m a a p -≤．所以11n n a a --≤，所以1111i i n n a a ++--≤，所以11i i n n a a +-≤所以()()()()112231111p p p m n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --≤-=-+-+-++-()()()()1122331111p p n n n n n n n n a a a a a a a a ----≤-+-+-++-()11111.p ≤++++ 个所以1m a a p -≤.综上，1m a a p -≤，得证.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.数学第2页（共6页）数学第3页（共6页）学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025届高三开学摸底考试卷数学·答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16．（15分）数学第4页（共6页）数学第5页（共6页）数学第6页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新高考通用)01(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学·答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 DCCBAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BCDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． π313．13 14．6四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）由题意2222AB CD AD BC ====，则60ABC ∠= ， 因为1,2BC AB ==，所以90,ACB AC BC ∠=⊥ ，（1分） 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD AB =， 且,PA AB PA ⊥⊂平面PAB ， 所以PA ⊥平面ABCD ，（2分） 因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，（3分） 且,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，（4分）又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ；（5分） （2）如图，以A 为原点，,AP AB分别为x 轴，y 轴正方向，在平面ABCD 内过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(0,2,0),0,,0,22P B D C ，（7分，建系、设点各一分）所以1(1,0,0),0,2AP AD == ，1(1,2,0),0,2PB BC =−=− ， 设平面PAD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11002n AP x y n AD ⋅==⋅=+=，令1z =−，得11)n =− ，（9分） 设平面PBC 的法向量()2,,n m n p = ，则222002n PB m n n n BC ⋅=−+=⋅=−=，令1p =，得2n = ，（11分） 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ，则121221cos 244n n n n θ⋅===×⋅ ，（12分）所以平面PAD 与平面PBC．（13分）16．（15分）【详解】（1）易知9.398.570.82=+，所以根据正态分布区间公式有()()()19.390.162P x P X P x µσµσµσ−−≤≤+>=>+==，（3分） 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16， 则()2,0.16Y B ∼，（4分，不写不扣分） 所以：()()()121C 0.1610.160.2688P Y ==××−=；（6分） （2）因为0.2 2.2t x =+，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： 12314.6417.4220.726.1, 6.7,7.40.21 2.20.22 2.20.23 2.2u u u ======×+×+×+， 4525.230.088.4,9.40.24 2.20.25 2.2u u ====×+×+，（8分） 所以()()11123453, 6.1 6.77.48.49.47.655x u =×++++==×++++=，（10分） 则()()518.3i i i x x u u =−−=∑，()52110i i x x =−=∑（12分） 由公式可知()()()515218.30.83,7.60.833 5.1110ˆˆˆiii ii x x u u ba u bx x x ==−−====−=−×=−∑∑，（14分）即0.83 5.11u x +.（15分）17．（15分）【详解】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心， 故有：00233x x y y= =，（2分）解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，（4分） 又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104xy xy +=≠.（5分）（2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =（7分）故设直线l的方程为()1y m m +≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++−=x m ，（8分） 由2Δ208160m =−>得213m <，（9分） 设()()1122,,,A x y B x y，则212124413m x x x x −+=，（10分） 由AH BQ ⊥2211y x −=−，所以()211210x x mm +++−=，（12分）所以)()21212410x x m x x m m −++−=， 所以()()()22444241130m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，（13分） 解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），（14分） 故直线l的方程为165y =−.（15分）18．（17分）【详解】（1）由题意得()()ln e 1ln x xf x ax ax+==，()0,x ∈+∞，则()2ln x f x ax =−′，（1分） 由()0f x ′=，解得1x =．（2分） 显然0a ≠，若0a >，则当01x <<时，()()0,f x f x ′>单调递增，当1x >时，()()0,f x f x ′<单调递减；（3分）若0a <，则当01x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，当1x >时，()()0,f x f x ′>单调递增．（4分） 综上，当0a >时，()f x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减； 当a<0时，()f x 在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（5分） （2）（i ）由()ln e 1x ax=，得1ln xa x+=， 设()1ln xg x x+=，由(1)得()g x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减，（6分） 又()10,11e g g ==，当1x >时，()0g x >，且当x →+∞时，()0g x →，（8分） 所以当01a <<时，方程1ln xa x +=有两个不同的根，即方程()ln e 1x ax=有两个不同的根，故a 的取值范围是()0,1．（9分）（ii ）不妨设12x x <，则1201x x <<<，且1212ln 1ln 1x x x x ++=．（10分） 设()()()11ln 1ln xh x g x g x x x x + =−=−−，()0,x ∈+∞， 则()222ln 1ln ln 0x x h x x x x x ′−−=+=⋅≥，（11分） 所以()h x 在区间()0,∞+内单调递增， 又()10h =，所以()()11110h x g x g x =−< ，即()111g x g x<．（13分） 又()()21g x g x =，所以()211g x g x< ，（14分）又()2111,1,x g x x >>在区间()1,+∞内单调递减． 所以211x x >，即121x x >，（16分） 又12x x ≠，所以22121222x x x x +>>，得证．（17分）19．（17分）【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得11a =，21a =，3122a a a =+=，（1分） 123,,2,c m c m c m ∴===（2分） 312+,c c c ∴=即1+212+,c c c = （3分）∴对m ∀∈R ，当正整数=1k 时，存在=2n ，使得k nk n c c c +=+成立，即数列{}n c 为“1阶可分拆数列”；（4分）（2）3n nS a =− ， ∴当1n =时，13d a =−，（5分） 当2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n d S S a a −−−=−=−−−=⋅，（6分）（i ）若数列{}n d 为“1阶可分拆数列”，则存在正整数n 使得11nn d d d +=+成立， 当1n =时，211d d d =+，即()623a =−，解得0a =，（7分） 当2n ≥时，()1233+23n n a −⋅=−⋅，即1433n a −⋅=−，（8分） 因0a ≥，所以33a −≤，又14312n −⋅≥，（9分） 故方程1433n a −⋅=−无解.综上所述，符合条件的实数a 的值为0. （10分） （ii ）证明：*21,()n n n a a a n ++=+∈N ， ∴当2n ≥时，()21111nn n n n n n n a a a a a a a a +−+−=−=−， ∴2222123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()21232134324543+++a a a a a a a a a a a a a =+−−+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11n n n n a a a a +−−2121=a a a −1+n n a a +1=n n a a +，（11分）222212311=1n n n a a a a a a +∴+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+，（12分） 由（i ）知3nn S =，所以3nn na f =， 31121231=++++33333n n n n na a a a a T −−∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①，3112234+11=++++333333n n n n n a a a a a T −⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②，（13分）由①-②可得324311211234+12=++++3333333n n n n n n a a a a a a a a a a T −−−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅+− 21234+11=+++33333n n n n a a a a −⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+ 1222122+111=+++333333n n n n a a a a −−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+（）（14分） -22+111=+333n n n a T −，（15分） +12<03n n n n a T T −> ， ，-22+1221111=++333333n n n n n a T T T −∴<，（16分）315n T ∴<<，当*n ∈N 且3n ≥时， 222212311n n n n T a a a a a a +<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+成立.（17分）。
河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(含答案)
2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}03,2,1,0,1,2A x x B =<<=--，则A B =∩（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}2,1,1,2--2．若复数z 满足3i1iz +=+,则z =（ ）A B C D 3．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,04．双曲线()22103x y t t t-=>的离心率为（ ）A B C D ．5．将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第n 组含12n -个数，分组如下：()()()1,2,3,(4,5,6,7),8,9,10,11,12,13,14,15, ,则2025在第（）组．A ．9B ．10C ．11D ．126．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，4c =，且ABC △的面积)222S a c b =+-，若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，则BD =（ ）A B C ．D ．7．已知面积为的正三角形ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若三棱锥O ABC -的体积为，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．64πC ．8πD ．16π8．已知函数()()ππsin sin 0562f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到()g x 的图象，若()g x 在π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-,则函数()12y g x =+在[]2π,2π-上的零点个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题(含答案)
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为16，甲队获胜的概率为12，则乙队获胜的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 162.已知复数z =−1−2i ，则z 2+2z =( )A. 3−8iB. 3C. −5−8iD. −53.已知实数x ，y 满足x 2+y 2=6x ，则y 的最小值为( )A. −3B. −2C. 0D. 34.在(2−1x )5的展开式中，1x 的系数为( )A. 160B. 80C. −80D. −1605.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +b cos C =a ，则B =( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π46.在数列{a n }中，a 1=1，a n +1a n =n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 6−2S 5+S 4=( )A. 80B. 96C. 112D. 1287.设a =81，b =4π，c =π4，已知log 23>1.58，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于E 点，A ，B 分别为C 与l 上的点，且|AF|=|BF|，|BE|=4 3，则△AEF 与△BEF 的面积的比值为( )A. 1B.32 C.2 33D. 32二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，AB 是圆的一条动直径，P 为正六边形边上的动点，则PA ⋅PB 的可能取值为( )A. 9B. 11C. 13D. 1510.已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=x−ln x ，则( )A. f(x)在(0,+∞)上单调递增B. g(x)在(0,+∞)上单调递增C. ∀x∈(1,+∞)，f(x)−g(x)>0D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)>211.已知椭圆C:x28+y24=1的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，直线l:x=t(|t|<22)与C交于P，Q两点，与x轴交于点D，则( )A. 满足∠A1PA2=2π3的点P有4个B. DA1⋅DA2=2DP⋅DQC. 当FP⋅FQ取最小值时，|DF|=13D. 当△PFQ的周长最大时，|PQ|=22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
安徽省重点高中联盟校(A10联盟)2025届高三第一次摸底考试数学试题含答案
高三数学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i 2z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1i z =-，即可判断.【详解】由()1i 2z +=可得，22(1i)1i 1i 2z -===-+，即复数z 在复平面内对应的点为(1,1)Z -在第四象限.故选：D.2.在ABC V 中，2,CD DB AE ED == ，则CE =（）A.1163AB AC -B.1263AB AC -C.1536AB AC -D.1133AB AC -【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB 和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+⨯1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-.故选：C.3.已知直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，则a b +的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b =，得到()()ln 1f x x =+，结合导数的几何意义，得到1a =，进而得到答案.【详解】由题意，直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，即切点为()0,0，所以ln 0b =，解得1b =，所以()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，可得()01f '=，即切线的斜率为1k =，所以1a =，所以2a b +=.故选：B.4.已知椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），则“C 的离心率22e =，是8λ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数λ的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），当C 的离心率2e =，若04λ<<，有2e ==，解得2λ=，即充分性不成立；当8λ=时，得椭圆22:184x y C +=，此时离心率为2e ===，即必要性成立.所以“C 的离心率2e =，是8λ=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(),1-∞ C.()1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得()()()1321f x x x a '=---，结合1x =是函数()f x 的一个极大值点，得出不等式2113a +>，即可求解.【详解】由函数()()()21f x x x a =--，可得()()()1321f x x x a '=---，令()0f x '=，可得1x =或213a x +=，因为1x =是函数()f x 的一个极大值点，则满足2113a +>，解得1a >，所以实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.6.若sin140tan 40λ︒-︒=，则实数λ的值为（）A.2- B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得λ的值.【详解】由sin140tan 40λ︒-︒=sin 40sin 40cos40λ︒︒-=︒即sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，即1sin802sin(4060)2sin802λ=+= ，因sin800> ，解得4λ=.故选：D.7.设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f =（）A.0B.1- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-⇒()10f =；因为()23f x +为偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，令1x =得：()()15f f =，所以()50f =.故选：A8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，2OM ON OF =-=-，过点M 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且()01MA MB λλ=<<，直线BN 与C 的另一个交点为P ，若直线AN 与PM 的斜率满足3AN PM k k =，则AB =（）A.2B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)M N -，则可设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由韦达定理可得31y y =-，31x x =，结合3AN PM k k =，可解得11,x y 的值，从而可得m 的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)2F ，2OM ON OF =-=- ，(1,0),(1,0)M N ∴-，设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则12122,2y y m y y +==，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，则23232,2y y n y y +==-，则31y y =-，则31x x =，故311131,111AN PM y y yk k x x x ===--++，由3AN PM k k =，得1111311y y x x -=⋅-+，解得21111,212x y x ===，则11132x m y +==±，故2AB ==.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A =“第一次抛出的点数是1”，事件B =“两次抛出的点数不同”，事件C =“两次抛出的点数之和是8”，事件D =“两次抛出的点数之和7”，则（）A.A 与D 相互独立B.B 与D 相互独立C.()2|15P C B =D.()13P C D =【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB 的正误，根据条件概率的计算公式可求()|P C B ，从而可判断C 的正误，根据互斥事件的概率公式可求()P C D ，故可判断D 的正误.【详解】对于A ，由题设有()161666P A ⨯==⨯，()61666P D ==⨯，()166P AD =⨯，故()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，故A 正确.对于A ，由题设有()655666P B ⨯==⨯，()61666P BD ==⨯，故()()()P BD P B P D ≠，故,B D 不相互独立，故B 错误.对于C ，()()()4236|5156P P BC P B C B ===，故C 正确.对于D ，由题设,C D 互斥，故()()()511166636P C D P C P D =+=+=⨯ ，故D 错误，故选：AC.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =--- ，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.11.已知点(),A m n 在圆22:4O x y +=外，过点A 作直线AM ，AN 与圆O 相切，切点分别为M ，N ，若60MAN ∠=︒，则（）A.8mn ≤ B.221498m n +≥C.[]91,17m +-∈D.当,0m n >742≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据相切关系可得2216m n +=，根据不等式即可判断AD ，利用不等式的乘“1”法即可判断B ，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM ，AN 与圆O 相切，且60MAN ∠=︒，故120MON ∠=︒,60MOA ∠=︒，由2MO =,得4AO =，故22164m n +=>，符合题意，故22162mn m n +=≥，即8mn ≤，当且仅当228m n ==等号成立，故A 正确，()22222222221411414195516161616n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当223223n m ==时等号成立，B 错误，令4sin ,4cos m n θθ==，则[]π94sin 98sin 91,173m θθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，C 正确，当,0m n >时,()2222162m n m n mn mn m n +=++=+⇒+=，由于8mn ≤，故522m n +=≤==，由于2+≤≤742+≤，当且仅当m n ==等号成立，故D 正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为__________．【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos 6x x f ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ,6662x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，只需πππ62ω+≤，解得503ω<≤故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦14.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称无序子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．已知集合106x I x x -⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭N ，则集合I 的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，{}{}N 161,2,3,4,5|I x x =∈≤<=，共有5个元素，则2划分有1255C C 15+=个，3划分有15512432C C C 2C 25+=个，4划分有25C 10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案为；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC V 中，内角,,A B C 满足()sin sin sin B A B C +-=．（1）求A ；（2）若ABC V 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得1cos 2A =，故可求A ；（2）根据三角变换可得1sin sin 3B C =，故可求面积.【小问1详解】在ABC V 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin B A B C +-=，∴()()sin sin sin B A B A B +-=+，则sin sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A B A B A B +-=+化简得sin 2cos sin B A B =．又sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．【小问2详解】∵π3A =，∴2π3B C +=，∴()1cos 2B C +=-．即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，∴111sin sin 263B C =-=记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵ABC V 的外接圆半径2R =，∴由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，∴163bc =，∴1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯= .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，CAB CBA ∠=∠，()1,01BC AC BM BA λλ⊥=<<．（1）求AB 的长；（2）若二面角1B B C M --λ的值．【答案】（1）AB =（2）12λ=【解析】【分析】（1）证明⊥BC 平面11ACC A ，则有BC AC ⊥，由2CA CB ==，求得AB =（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1B B C M --的余弦值，可求出λ的值．【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CB ⊥．又1BC AC ⊥，111CC AC C ⋂=，11,CC AC ⊂平面11ACC A ，所以⊥BC 平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，而CAB CBA ∠=∠，故2CA CB ==，故AB =．【小问2详解】由1CC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以C 为原点，1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy z ，因为12CA CB CC ===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，故()2,2,0BA =- ，因为1)0(BM BA λλ=<<，故()2,22,0M λλ-．易知()1,0,0m =是平面1BCB 的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CM CB λλ=-=．设 =s s 是平面1CMB 的法向量、所以100n CM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()2220220x y y z λλ⎧+-=⎨+=⎩，取1x λ=-，得,y z λλ=-=，所以()1,,n λλλ=--，因为二面角1B B C M --2，故余弦值为33，则23cos ,31321m n m n m n λλ⋅===⨯-+，解得12λ=.17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，直线4:3l y x=与E 交于A ，B 两点，220F A F B =⋅﹒（1）求E 的离心率；（2）M 为E 上一点（不在x 轴上），过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，若1ON =，求12AF F 的面积．【答案】（15（2）4【解析】【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43y x =与双曲线两交点A ，B 关于原点对称，不妨设点A 在第一象限，由220F A F B =⋅，得22F A F B ⊥，设()2,0F c ，则24,tan 3OA c AOF =∠=，所以2243sin ,cos 55AOF AOF ∠=∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，得222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，即42950250e e -+=，因为1e >，所以25e =，则e =，即双曲线E ．【小问2详解】因为点2F 关于12F MF ∠的平分线MN 的对称点G 在1MF 或1MF 的延长线上，所以1122F G MF MF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，所以ON a =，因为1ON =，所以1a =，因为e =，所以双曲线E 的方程为2214y x -=，所以c =，则3545,55A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．又12||2F F c ==，所以121425AF F S =⨯=△．18.已知函数()2sin f x x x =-．（1）若函数()F x 与()f x 的图象关于点π,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，求()F x 的解析式；（2）当[]0,πx ∈时，()f x m ≤，求实数m 的取值范围；（3）判断函数()()()11g x x f x =++在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sin F x x x =+--（2）π,3⎫-+∞⎪⎭（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sin πππ22sin F x f x x x x x =--=--+-=+--．【小问2详解】由题意得，()[]2co ,πs 1,0f x x x '=-∈，令()'0f x =，解得π3x =，所以当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x <′，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x的最大值为π3π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于[]0,πx ∈时，()f x m ≤，所以实数m的取值范围为π,3⎫+∞⎪⎭【小问3详解】令()0g x =，则()()12sin 10x x x +-+=，整理得12sin 01x x x -+=+，令()12sin 1h x x x x =-++，则()()212cos 11h x x x '=--+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<．所以()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()πππ1π1112sin 20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122h h ⎛⎫=-+=-+>=-+=-+< ⎪++⎝⎭++，所以由零点存在性定理得，()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点．当[)π,x ∈+∞时，()12sin 2π101h x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点．综上所述，()h x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()g x 在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为1．19.定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；（1）已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔（2）已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105ii a==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．【答案】（1）{}n b 为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列.（2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列的各项，再根据“m 项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且1345<<<，则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等比数列的公比为q ．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，则存在1231k k k m ≤<<≤，使1231,16,81k k k a a a ===，所以31212131,k k k k k k k k a a qa a q --==，则312116,81k k k k q q --==，所以()3116221log 81log 81log 3*log 16q q k k k k -===-．因为*2131,k k k k --∈N ，所以3121k k k k --为有理数，但2log 3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列的公差为d ．由14111491105ii aa d ==+=∑，又11a =，所以1d =，故数列为1，2，3，4，5，L ，14﹒令i i k b a =，因为数列中各项均为正整数，故313k k a a -≥﹔（若312k k a a -=，则123,,k k k a a a ，成等差数列）同理533k k a a -≥，且5331k k k k a a a a -≠-，所以513k k a a -≥，同理957k k a a -≥，且9551k k k k a a a a -≠-，所以9115k k a a -≥，这与已知条件矛盾，所以8i k ≤，此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m 的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m 项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.。
高三入学摸底考试卷数学
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则函数的对称轴为：A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 02. 在△ABC中，a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为：A. 14B. 15C. 16D. 173. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = x^2D. y = |x|4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，a1 = 3，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列命题中，正确的是：A. 如果a > b，则a^2 > b^2B. 如果a > b，则a + c > b + cC. 如果a > b，则ac > bcD. 如果a > b，则a/c > b/c6. 下列函数中，单调递增的是：A. y = -x^2B. y = x^3C. y = 2^xD. y = log2x7. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. √38. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点为：A. (-2, 3)B. (2, -3)C. (-2, -3)D. (2, 3)9. 下列方程中，无实数解的是：A. x^2 + 4 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 1 = 0D. x^2 - 1 = 010. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 3，则S5为：A. 243B. 81C. 48D. 18二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数y = -3x + 6的图像是一条斜率为______的直线，截距为______。
12. 在△ABC中，a=6，b=8，c=10，则△ABC的周长为______。
2025届云南昆明高三上学期摸底测试数学试题+答案
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有2025届云南昆明高三上学期摸底测试数学试题+答案一项符合题目要求）1．已知集合{}|13Ax x =≤≤，()(){}|240B x x x =−−<，则A B = （ ） A ．(]2,3B ．[)1,2C ．(),4−∞D ．[)1,42．已知命题:p z ∃∈C ，210z +<，则p 的否定是（ ） A ．z ∀∈C ，210z +< B ．z ∀∈C ，210z +≥ C ．z ∃∈C ，210z +<D ．z ∃∈C ，210z +≥3．正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且1a ，32a −，5a 三项成等比数列，则d =（ ） A ．7B ．5C ．3D ．14．若sin160m °=，则sin 40°=（ ） A ．2m −B．2−C ．()221m m −+D．25．已知向量()1,2a = ，a b += ，若()2b b a ⊥−，则cos ,a b = （ ）A．B．CD6．函数())ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（ ）A ．{}1−B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1−7．函数()3sin 6f x x πω=+，0ω>，若()()2f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在13,66ππ上有3条对称轴，则ω=（ ） A ．16B ．76C ．136D ．16或768．设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直径与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC =，若0AB OC ⋅=，0AC BF ⋅= ，则E 的离心率为（ ）A B C D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()22n S kn n k =−∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 不可能为常数列 C ．若{}n a 为递增数列，则0k > D ．若{}n S 为递增数列，则1k >10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、20.7525y x =+的方式赋分，其中1x ，2x 分别表示甲、乙两班原始考分，1y ，2y 分别表示甲、乙两班考后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ） A ．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B ．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 C ．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D ．则王同学的原始分数比李同学的原始分数高 11．已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域为R ，若()1f x +与()f x ′均为偶函数，且()()112f f −+=，则下列结论正确的是（ ）A ．()10f ′=B ．4是()f x ′的一个周期C ．()20240f =D ．()f x 的图象关于点()2,1对称三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．函数()xf x e x =−在0x =处的切线方程为____________.13．若复数()cos 21sin sin 02z i θλθθθπ=+−+<<在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为____________.14．过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N两点，若12AB =，则MN =____________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A −+=. （1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC △，求ABC △的周长. 16．（本小题满分15分）如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC △是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4AB =，AC =（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值.17．（本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =+. （1）若()0f x ≤在()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （2）若1a =，()()()x g x f e f x =−，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x∈，且()02g x >.18．（本小题满分17分）动点(),M x y 到直线1:l y =与直线2:l y =的距离之积等于34，且y <M 的轨迹方程为Γ.（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆()22:41Q x y +−=的切线PT ，T 为切点，求PT 的最小值； （3）已知点40,3G，直线():20l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分17分）设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()()00,0,0a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+.抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P .（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求1P ，2P ； （2）证明：13n P−是等比数列，并求n P ； （3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E .数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABCDCCBD【解析】1．{}|24B x x =<<，故(]2,3A B = ，故选A.2．p 的否定是“z ∀∈C ，210z +≥”，故选B. 3．由题得，()23152a a a −=，即()()2422444d d +−=+，解得3d =或1−（舍去），故选C.4．因为sin160m °=，所以sin 20m °=，故sin 402sin 20cos 202°=°°=，故选D. 5．由题得2227a b a b ++⋅= ，即2527b a b ++⋅= ，且()2220b b a b a b ⋅−=−⋅= ，解得21b = ，12a b ⋅= ，故cos ,a b = ，故选C.6．由()f x 为奇函数得()()()0f x f x x +−=∈R ，即))lnln 0kx kx +=，亦即()2210k x −=恒成立，故1k =±.当1k =时，())ln f x x =在R 上为增函数，符合题意：当1k =−时，()))ln ln f x x x ==−+在R 上为减函数，不符合题意，故选C.7．由()()2f x f π≤对x ∈R 恒成立，可得122626k k ππωππω+=+⇒=+，又因为()f x 在13,66ππ上有3条对称轴，所以2212T T πω≤<⇒≤<，故76ω=，故选B. 8．设E 的左焦点为F ′，由23AF FC =，可设3FC t =，则2AF t =，由0AB OC ⋅= ，结合椭圆的性质知5BC AC AF FC t ==+=，由0AC BF ⋅=，可得4BF t =，又2BF t ′=，所以62BF BF t a ′+==，解得13t a =，在Rt BFF ′△中，由勾股定理得()()()222242t t c +=，即222204209c t a ==，所以c e a ==，故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案ACACDABD【解析】9．由22n S kn n =−（k 为常数）可得，当1n =时，12a k =−，2n ≥时，22n a kn k =−−，该式对于12a k =−也成立，所以()*22n a kn k n =−−∈N ，12n n a a k +−=，选项A 正确；当0k =时，2n a =−，所以选项B 错误；若{}n a 为递增数列，则20k >，即0k >，选项C 正确；若{}n S 为递增数列，则()02n a n >≥，可得2023k k a > ⇒>> ，选项D 错误，故选AC. 10．对于选项A ，甲、乙两班原始分数的平均数分别为()160200.850x =−÷=，()2260250.75463x =−÷=，故A 对；对于选项B ，甲、乙两班原始分数的标准差分别为1160.820s =÷=，2150.7520s =÷=，故B 错；对于选项C ，由1100x ≤得111200.20y x x −=−≥，故C 对；对于选项D ，由12y y >得()()1212120.8200.75250.80.7550y y x x x x −=+−+=−−>，此时必有12x x >，否则122220.80.7550.80.7550.0550x x x x x −−≤−−=−≤，矛盾，故D 对，故选ACD.11．由()1f x +为偶函数得，()()11f x f x +=−+，两边求导得：()()()()11110f x f x f x f x ′′′′+=−−+⇒++−+=，所以()f x ′的图象关于()1,0对称，可得()10f ′=，又因为()f x ′为偶函数，所以4是()f x ′的一个周期，故选项A ，B 正确；由()f x ′是偶函数可知()()f x f x ′′=−，所以()()f x f x c =−−+（c 为常数），又因为()()112f f +−=，所以2c =，可得()()2f x f x +−=，故()f x 的图象关于()0,1对称，()01f =，又因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于1x =对称，所以4是()f x 的一个周期，()()202401f f ==，同时可知()f x 的图象关于()2,1也对称，选项C 错，D 对，故选ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．由题，()1xf x e ′=−，()001f e ==，()0010f e ′−，所以切线方程为1y =.13．由题可得，cos 21sin sin 2θλθθ+−=，所以2sin sin cos 212sin 1sin 1sin 22θθλθθθθ=−+−+−2sin 111sin sin sin 122sin θθθθθ=++++，又0θπ<<，故0sin 1θ<≤，由基本不等式知，当且仅当sin θ=λ1−. 14．设()11,A x y ，()22,B x y ，3:4l y k x =−，联立l 与C 得22223930216k x k x k −++=，所以2122332k x x k ++=，故2122333321222k AB x x k +=++=+=，解得k =，不妨取k =，则直线l 的倾斜角30θ=°.过N 作AM 的垂线，垂足为H ，则12NH AB ==，又NH AB ，所以30MNH ∠=°，于是cos30NHMN==°四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）由正弦定理得，sin 2sin 2sin cos 0A B C A −+=， （2分） 又A B C π++=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 0A A C A C C A −−+=， 因为sin 0A ≠，所以1cos 2C =. 又()0,C π∈，故3C π=（6分）（2）由题111sin 6022ABC S c ab =××=°=△，即c =，43ab =， （9分）由余弦定理得2222cos 3a b ab π+−，即2283a b +=， 所以()22288162333a b a b ab +=++=+=，即a b +.故ABC△的周长为. （13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：连接1PO ，12O O ，2O C ，则12O O ⊥平面ABC ，故12O O AB ⊥.因为AB 是圆2O 的直径，所以90ACB ∠=°，由勾股定理得BC ，所以AC BC =.又2O 是AB 的中点，故2AB CO ⊥. （3分） 又1222O O O C O = ，所以AB ⊥平面12PO O C .因为PC ⊂平面12PO O C ，所以AB PC ⊥. （6分）（2）解：圆台12OO 的体积(22112373V r πππ=⋅+⋅×=，其中11r PO =，解得11r =或13r =−（舍去）. （9分）由（1）知12O O ，AB ，2O C 两两垂直，分别以2O B ，2O C ，21O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A −，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,3P ，所以()4,0,0AB = ，(2,1,3BP =− ，()2,2,0BC =−. （11分）设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⋅=−++= ⋅=−+= 解得,3,x y x z == 于是可取()3,3,1n =. （13分）设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,AB n θ==，. （15分） 17．（本小题满分15分）（1）解：由题可得，()()10f x a x x′=+>，①当0a ≥时，则()0f x ′>，此时()f x在()0,+∞上为增函数，则1x >时，()()10f x f a >=≥，与题意不符，故0a ≥不成立； ②当0a <时，令()0f x ′=，则1x a=−， 此时()0f x ′>在10,a −上成立，()0f x ′<在1,a −+∞上成立； 所以()f x 在10,a−上为增函数，在1,a −+∞上为减函数； （5分） 所以()max 10f x f a =−≤ ，即11ln 10a a e−−≤⇒≤−， 综上，1a e≤−. （7分） （2）证明：理由()ln xg x e x =−，0x >，()1x g x e x ′=−，()210x g x e x′′=+>， 所以()g x ′在()0,+∞上单调递增， （10分）又因为1202g′=−<，()110g e ′=−>，所以存在唯一01,12x∈，使得()00g x ′=，即001x e x =，当()00,x x ∈时，()0g x ′<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x ′>， 因此()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()012g x g >，即012012x e x e +>+，又1232e >，故()02g x >. 18．（本小题满分17分） 答案略19．（本小题满分17分） 答案略。
四川省2025届高三上学期入学摸底考试数学试题
四川省2025届高三上学期入学摸底考试数学试题一、单选题1．96i 2i i-+的虚部为（ ） A ．7-B ．6-C ．7i -D ．6i - 2．已知等差数列{}n a 满足399,3a a ==，则12a =（ ）A ．2-B ．1C ．0D ．1-3()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A B C ．D ．4．函数()240e 10x x x x f x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，，，的极值点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（ ） A ．532 B ．516 C ．1132 D ．3166．定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*12N k A A A k ∈L ，，，，且12k A A A U =U UL U ，那么称子集族{}12k A A A L ，，，构成集合U 的 一个k 划分.已知集合2{N |650}I x x x =∈-+<，则集合I 的所有划分的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．14 D ．167．已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（ ）A ．278B ．274C ．378D ．3748．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．12B ．12-C ．14 D ．14-二、多选题9．已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 与()g x 有相同的最小值C ．直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D ．将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像 10．已知函数()()313f x x x f x =-'，为()f x 的导函数，则（ ） A ．()00f '=B ．()f x 在()1,∞+上单调递增C ．()f x 的极小值为23D ．方程()12f x =有3个不等的实根 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（ ）A ．三棱锥H DEF -的体积为定值B ．动点GC ．不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD ．四面体DEFG三、填空题12．已知向量(7,12),(6,)a b x =-=r r ，若a b ⊥r r ，则x =.13．已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =u u u u r u u u u r ，则C 的离心率为.四、解答题15．已知ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，2sin cos sin B A b A =.(1)求A 的值；(2)若ABC V 的面积为 3，周长为6，求a 的值.16．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形、SA ⊥平面ABCD M N ，，分别为棱SB SC ，的中点(1)证明：//MN 平面SAD ;(2)若SA AD =，求直线SD 与平面ADNM 所成角的正弦值17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点(在C 上. (1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18．已知函数()ln f x x x a =-+.(1)若0a =，求曲线y =f x 在x =1处的切线方程；(2)若x >0时()0f x <，求a 的取值范围；(3)若01a <≤，证明：当1x ≥时，()()1e 1x a f x x x -+≤-+.19．已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.(1)若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；(2)若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥L 且)*m ∈N ，使得4k m a a -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ； （ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.。
广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷
广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}23A x x =-<<，{}13B x x =∈-<≤N ，则A B =I （ ）． A ．{}0,1 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,2,3 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12i z =-，则12z z =（ ）． A ．5- B ．5 C ．8- D ．83．在等差数列{}n a 中，若25172048a a a a +++=，则11a =（ ）．A ．7B ．12C ．16D ．244．双曲线221416x y -=的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．A B ．4 C D ．5．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，且(a =r ，1=r b ，则2a b -=r r （ ）．A B C ．4 D ．26．81x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数为（ ） A ．70 B ．56 C ．28 D ．87．有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ．A ．40种B ．60种C ．80种D ．120种8．已知三棱锥O ABC -A ，B ，C 是球O 的球面上的三个点，且60ACB ∠=︒，AB =2AC BC +=，则球O 的表面积为（ ）． A ．36π B ．24π C ．12π D ．8π二、多选题9．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.2P A =，()0.6P B =，下列说法正确的是（ ）．A ．若()0.12P AB =，则A ，B 相互独立 B ．若A ，B 互斥，则A ，B 不相互独立C ．若()0.5P B A =，则()0.1P AB =D ．若A B ⊆，则()0.2P A B =10．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，令()()cos 2g x f x x =-，则下列说法正确的有（ ）．A ．()g x 的一个对称中心π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()g x 的对称轴方程为()ππ23k x k =+∈Z C ．()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．()g x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 11．已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，若()()()22f x y f x f y xy ++=，则（ ）． A ．112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B ．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数D ．12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数三、填空题12．已知()ln f x x x =，则()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率是．13．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A c C +=-，()9cos 11A B -=，则πsin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14．记实数12,,,n x x x L 的最小数为{}12min ,,,n x x x L ，若(){}2m i n 1,21,8f x x x x x =+-+-+，则函数()f x 的最大值为．四、解答题15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：//CF 平面1AC E ；(2)求平面1AC E 与平面11B C E 夹角的余弦值．16．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，…．(1)写出一个递推公式，表示1n c +与n c 之间的关系；(2)求1012310S c c c c =++++L 的值．（其中91.08 2.00≈，101.08 2.16≈，111.08 2.33≈） 17．如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n 次后质点位于位置n X ．(1)求()60P X =；(2)求()n E X ；(3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．18．一动圆与圆2220x y x ++=外切，同时与圆222240x y x +--=内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程，并说明E 是什么曲线；(2)若点P 是曲线E 上异于左右顶点的一个动点，点O 为曲线E 的中心，过E 的左焦点F 且平行于OP 的直线与曲线E 交于点M ，N ，求证：2FM FN OP⋅u u u u r u u u r u u u r 为一个定值． 19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()00f R =，()()00f R ''=，()()00f R ''''=，…，()()()()00m n m n f R ++=．注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()()f x f x ''''''=⎡⎤⎣⎦，()()()4f x f x '=⎡''⎤⎣⎦'，()()()()54f x f x '⎡⎤=⎣⎦，…；()()n f x 为()()1n f x -的导数）．已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1ax R x bx=+． (1)求实数a ，b 的值；(2)比较()f x 与()R x 的大小；(3)若()()()()11102h x mf x R x m =---≠有3个不同的零点，求实数m 的取值范围．。
广西桂平市2025届高三开学摸底考试数学试卷
广西桂平市2025届高三开学摸底考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知点()1,2到抛物线2:C x my =准线的距离为4，则m 的值可能为（ ）A ．8B ．8-C ．24D ．24-(1)若2FH HG =uuur uuur ，证明：EF (2)求平面1D EF 与平面ABCD 16．为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的理得到如下列联表：男学生女学生喜欢跳绳3535不喜欢跳绳1020综上所述，()f x 不可能只1个极值点，故A 错误；B 项，当()f x 有极值点时,()0f x ¢=有解，则224124(3)0a b a b D =-=-³，即230a b -£.由A 项知，当230a b -=时，()f x 在R 上单调递增，不存在极值点；故23a b >，故B 正确；C 项，当0a b ==时，3()f x x c =+，3()f x x c -=-+，所以()()2f x f x c +-=，则曲线()f x 关于(0,)c 对称，即存在a ，使得点()()0,0f 为曲线y =f (x )的对称中心，故C 正确；D 项，不等式()0f x <的解集为()(),11,2¥-È，由A 项可知仅当230a b ->时，满足题意.则(1)0f =且(2)0f =，且()f x 在1x =处取极大值.即108420a b c a b c +++=ìí+++=î，则有3726b ac a =--ìí=+î，故32()(37)26f x x ax a x a =+-+++，2()32(37)f x x ax a ¢=+-+，设正方体棱长为3，则()10,0,3D 可得()(13,1,1,0,3,2EF D F =-=-uuu r uuuu r 设平面1D EF的法向量为m =(令2y =得3z =，53x =，故m =r 且平面ABCD 的法向量为(0,0,1n =r如图设点00(,)M x y ，因点M 既故得：000033y x x my n ì=ïíï=-î，解得，ìïïíïïîx my n =-ìx (m当n 为奇数时，4232303033n n n c c n T T c n T T n c <++£-Þ<--£-Þ-£-+L ，又因为121,1n n c c ++³£，所以231,1c c ³£，所以233312n T T n c n n -£-+£-+=-，所以得22n T T n +£+.【点睛】关键点点睛：该题为数列新概念题，第一问和第二问,按照其概念计算即可；第三问,需要建立新的递推公式，得到一个找到数列不同项之间的关系，然后建立不等式求解即可.。
陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案
陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}42<=xx A ，{}31<<-∈=x N x B ，则=B A （）A.{}21<<-x x B.{}1,0 C.{}1 D.{}31<<-x x 2.下列说法正确的是（）A.若0>>b a ，则22bcac > B.若b a >，则22ba >C.若0<<b a ，则22b ab a >> D.若b a <，则ba 11>3.已知R b a ∈,，则“b a >”是“20242024b a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量ξ的分布列如下表：若()0=ξE ,则()=ξD （）A.21 B.31 C.41 D.615.若命题“[]3,1-∈∃x ，022≤--a x x ”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1- B.0C.1D.36.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而已疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：3010.02lg ,9956.199lg ,0086.2102lg ≈≈≈）.A.85B.100C.150D.2257.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一名老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）A.124B.246C.114D.1088.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+-+-≥+=1,321,2x a ax ax x a a x f x（0>a 且1≠a ），若函数()x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B.⎦⎤ ⎝⎛231， C.[)∞+，2 D.[)∞+，3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列运算结果为1的有（）A.814121-e e e B.5lg 2lg +C.213298- D.2log 4log 3log 432⨯⨯10.设0,0>>b a ，12=+b a ，则（）A.ab 的最大值为81B.224b a +的最小值为21C.ba 21+的最小值为8 D.ba42+的最小值为2211.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列说法中正确的有（）A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为32B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为356C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4D.从甲袋中任取2个球并放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为145三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 二项式展开式中，常数项为.13.已知样本321,,x x x 的平均数为2，方差为1，则232221,,x x x 的平均数为.14.定义：()(){}x g x f N ⊗表示不等式()()x g x f <的解集中整数解之和.若()x x f 2log =，()()212+-=x a x g ，()(){}6=⊗x g x f N ，则实数a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数()x f y =的图象过点()3,1-，且不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，.（1）求()x f 的解析式；（2）设()()mx x f x g -=，若()x g 在()4,2上是单调函数，求实数m 的取值范围.16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p ，乙答对每题的概率均为q （10<<<q p ），且某道题两人都答对的概率为103，都答错的概率为51.（1）求q p ,的值；（2）乙回答3题，记乙的积分为X ，求X 的分布列和期望()X E .17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：（1）根据表中数据，依据01.0=α的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式及数据：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ，其中d c b a n +++=.18.已知函数()()2212m mx f x-++=.（1）当2=m 时，求()x f 的值域；（2）若()x f 的最小值为3-，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若不等式()82-≤ax f x有实数解，求实数a 的取值范围.19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入x （亿元）与研发创新的直接收益y（亿元）的数据统计如下：当170≤<x 时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：8.111.4ˆ+=x y；模型②：4.143.21ˆ-=x y ；当17>x 时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：a x y+-=7.0ˆ.（1）根据下列表格中的数据，比较当170≤<x 时模型①、②的决定系数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为1亿元时的直接收益.（附：刻画回归效果的决定系数()()∑∑==---=n i ini i iy y yyR 12122ˆ1，1.417≈，决定系数数值越大，说明拟合效果越好）.（2）为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，你叫研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.（附：()()()∑∑∑∑====---=-⋅-=n i ini i ini i ni i i x n x y y x xx n x yx n yx b1211221ˆ，x by a ˆ-=）（3）研发改造后，该公司F 产品的效率X 大幅提高，X 服从正态分布()201.052.0，N ，公司对研发团队的奖励方案如下：若F 产品的效率不超过50%，不与奖励；若F 产品的效率超过50%但不超过53%，每件F 产品奖励2万元；若F 产品的效率超过53%，每件F 产品奖励5万元.求每件F 产品获得奖励的数学期望.（附：随机变量ξ服从正态分布()2,σμN ，则()6826.0=+≤<-σμσμx P ，()9544.022=+≤<-σμσμx P ）参考答案一、选择题二、选择题三、填空题12.6013.514.⎥⎦⎤⎝⎛-0,423log 2四、解答题15.解：（1）∵不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，，∴41和1为关于x 的方程()07=-x x f 的两根，且二次函数()x f y =的开口向上，则可设()()1417-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x a x x f ，()0>a ，即()()x x x a x f 7141+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，由()x f 的图象过点()31，-，可得()()31711411=-⨯+--⎪⎭⎫⎝⎛--a ，解得4=a ，∴()()x x x x f 71414+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1242++=x x x f .（2）∵()()()12412422+-+=-++=-=x m x mx x x mx x f x g 对称轴82mx --=，∵()x g 在()4,2上是单调函数，∴282≤--m 或482≥--m，解得18≤m 或34≥m ，即实数m 的取值范围为(][)∞+∞-，，3418 .题号12345678答案BCDAABCB16.解：（1）由题意得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<=-=10511103q p q p pq ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5321q p .（2）由题意知，X 的所有取值为0,40,80,120，则()12585310303=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==C X P ；()125365315340213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ；()125545315380223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P ；()1252753120333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，故X 的分布列为：17.解：（1）零假设0H ：周平均锻炼时长与年龄无关联，由22⨯列联表中的数据，可得()01.022635.6256.101302702002005012080150400χχ=>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=，根据小概率值01.0=α的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联.（2）抽取的8人中，轴平均锻炼时长少于5小时的有2200508=⨯人，不少于5小时的有62001508=⨯人，则X 所有可能的取值为1,2,3，∴()2831381622===C C C X P ；()28152382612===C C C X P ；()14533836===C C X P ，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望()491453281522831=⨯+⨯+⨯=X E .18.解：（1）设t x=2，∵2=m ，∴()0,322>-+=t t y ，其对称轴方程为：2-=t ，故函数在()∞+，0上单调递增，当0=t 时，1=y ，故所求值域为()∞+，1.（2）∵函数()()2212m mx f x-++=的最小值为3-，02>x ，当0≥m 时，()x f 在R 上单调递增，没有最小值；当0<m 时，可知m x-=2时，y 取得最小值21m -；即213m -=-，解得2-=m 或2=m （舍去），综上，2-=m .（3）由题意，不等式()82-≤a x f x 有实数解，即()823222-≤--ax x，可得42921-+≥x x a ，要使不等式有解，只需min42921⎪⎭⎫⎝⎛-+≥x x a 即可，∵692292=≥+x x，当且仅当3log 2=x 时等号成立，∴2464292min=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+xx，∴21≥a ，解得210≤<a ，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛210，.19.解：（1）由表格中的数据，有2.794.182>，即()()∑∑==->-7127122.794.182i i i i y y y y ，∴模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，∴当17=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为：93.724.141.43.214.14173.21=-⨯≈-⨯=y （亿元），（2）由已知可得：355432120=++++=-x ，∴23=x ，2.75665.785.860=++++=-y ，∴2.67=y ，∴3.83237.02.677.0=⨯+=+=x y a ，∴当17>x 亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为3.837.0ˆ+-=x y，当20=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为3.693.83207.0ˆ=+⨯-=y，当20=x 亿元时，实际收益的预测值为3.79103.69=+亿元＞72.93亿元，∴研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大.（3）∵()9544.002.052.002.052.0=+<<-X P ，∴()9772.029544.0150.0=+=>X P ，()0228.029544.0150.0=-=≤X P ，∵()6826.001.052.001.052.0=+<<-X P ，∴()1587.026826.0153.0=-=>X P ，∴()8185.01587.09772.053.050.0=-=<<X P ，设每件F 产品获得奖励为Y （万元），则Y 的分布列为：∴每件F 产品获得奖励的期望值为：()4305.21587.058185.020228.00=⨯+⨯+⨯=Y E （万元）.。
2025届高三秋季开学摸底考试(三)数学试题与答案
2025届高三秋季开学摸底考试（三）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,,60A yy x x B x x x ==∈=-≤Z ∣∣，则A B = （）A.{}0,1,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4,5 D.{}0,3,62.已知向量()()2,1,,1a b t ==，若a b b ⋅= ，则t =（）A.12-B.0C.12D.13.已知π,(0,)2αβ∈，且cossin22tan cos sin 22ββαββ+=-，则2αβ-=（）A.π8 B.π4 C.π2D.π4.图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm 和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm 和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm 5.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知过点()2,0C 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，且2,AC CB O = 为坐标原点，则AOB V 的面积为（）A.2B.4C.6D.87.已知等差数列{}n a 中，1343,5a a a =+=.记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，则数列{}n b 的前2024项和为（）A.4965B.4964C.1893D.18928.已知三棱锥A BCD -中，AC =其余各棱长均为2,P 是三棱锥A BCD -外接球的球面上的动点，则点P 到平面BCD 的距离的最大值为（）A.6B.3 C.16+ D.13二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2023年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是（）A.极差为2.6B.平均数约为0.24C.中位数为0D.众数只有0.3-和010.已知函数()()()*sin ,0πf x x ωϕωϕ=+∈<<N 的图象关于直线5π12x =对称，最小正周期2π,2π3T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则（）A.()2πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()2πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.()g x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增11.已知函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，若()()()()()f x f y f x f y f xy +-=，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()11f -<，则（）A.()10f = B.()10f -= C.()f x 是奇函数D.()0,1x f x ∀≠<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2(2)4z +=-，则z =__________.13.设991002m =⨯，则m 被7除的余数为__________.14.已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点，(0,)A ，若3PA b ≥恒成立，则C 的离心率的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，且12,3CD AD AC ADC ∠===.（1）求CD ；（2）若sin 3B =，求BD .16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，过点F 且不与x 轴重合的动直线与C 交于,P Q 两点，且当PQ x ⊥轴时，3PQ =.（1）求C 的方程；（2）若()()2,0,3,0D R --，直线,DP DQ 分别与直线3x =-交于点,M N ，证明：MR NR ⋅为定值.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，平面11A ACC ⊥平面ABC ，四边形11A ACC 为菱形，160,2,A AC AB F ∠==为1BB的中点.（1）证明：1AC ⊥平面1A CF ；（2）求直线FC 与平面11A FC 所成角的正弦值.18.已知函数()e x f x ax b =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2e e y x =-.（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若关于x 的方程()(ln )f x x x m -+=有两个正根1212,()x x x x <，证明：12)()(23f x f x +>.19.在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出1个球，再往口袋中放入1个白球，取出的球不放回，像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小､材质均相同，记事件“n 次操作后结束”为n A ，事件n A 发生的概率为n p .（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率；（2）求数列{}n p 的通项公式；（3）设1nn kk E kp==∑，证明：6n E <.2025届高三秋季开学摸底考试（三）数学试题答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,,60A yy x x B x x x ==∈=-≤Z ∣∣，则A B = （）A.{}0,1,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4,5 D.{}0,3,6【答案】A【分析】根据一元二次不等式解法求得集合B ，再根据集合的描述法表示即可求得A B ⋂.【详解】解不等式260x x -≤可得{}|06B x x =≤≤；又{}2,A yy x x ==∈Z ∣可知集合A 是所有整数的平方构成的集合，在区间[]0,6范围内只有0,1,4是整数的平方，因此可得{}0,1,4A B = .2.已知向量()()2,1,,1a b t ==，若a b b ⋅= ，则t =（）A.12-B.0C.12D.1【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标表示以及模长公式解方程即可求得结果.【详解】由()()2,1,,1a b t == 可得21a b t ⋅=+，且b = ，所以210t +=>，解得0t =.3.已知π,(0,)2αβ∈，且cossin22tan cos sin 22ββαββ+=-，则2αβ-=（）A.π8 B.π4 C.π2D.π【答案】C【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式，结合正切函数的单调性求解即得.【详解】由π(0,2β∈，得cos 02β>，由cossin 22tan cos sin22ββαββ+=-，得1tanπ2tan tan()421tan 2ββαβ+==+-，而ππ(0,(0,)224βα∈∈，则πππ(,4242β+∈，因此π42βα=+，所以π22αβ-=.4.图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm 和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm 和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm【答案】C【分析】利用组合体的轴截面以及三角形相似即可得出该花盆的总高度.【详解】截取组合体的轴截面，作,AB BC ED EF ⊥⊥，如下图所示：易知302622BC -==，AB 即为上半部分的圆台的高，所以8AB =，又因为两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，所以ABC DEF :△△；可得BC EFAB DE=，易知241832EF -==，所以83122AB EF DE BC ⋅⨯===.因此该花盆的总高度为()128cm 20cm +=.5.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.6.已知过点()2,0C 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，且2,AC CB O = 为坐标原点，则AOB V 的面积为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【分析】根据给定条件，设出直线AB 方程，与抛物线方程联立求出点,A B 的纵坐标差即可得解.【详解】显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程为2x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则12124,8y y t y y +==-，由2AC CB =，得122y y =-，解得1224y y =-=或1224y y =-=-，则12||6y y -=，所以AOB V 的面积为121||||62S OC y y =⋅-=.7.已知等差数列{}n a 中，1343,5a a a =+=.记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，则数列{}n b 的前2024项和为（）A.4965 B.4964C.1893D.1892【答案】A【分析】求出等差数列{}n a 的通项公式，再分析数列{}n b 的各项取值，求其前2024项和.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则123a d +=，1235a d +=，解得11a d ==，则n a n =，于是[][]lg lg n n b a n ==，当19n ≤≤时，0n b =；当1099n ≤≤时，1n b =；当100999n ≤≤时，2n b =；当10002024n ≤≤时，3n b =，所以数列{}n b 的前2024项和为09190290031025=4965⨯+⨯+⨯+⨯.8.已知三棱锥A BCD -中，AC =其余各棱长均为2,P 是三棱锥A BCD -外接球的球面上的动点，则点P 到平面BCD 的距离的最大值为（）A.6B.3 C.16+ D.13【答案】D【分析】先给出鳄鱼模型公式的证明，然后利用其求出外接球半径，再结合球的截面性质求解即可.【详解】首先，我们来证明求解外接球半径的鳄鱼模型，我们给定三棱锥P ABC -，设12,O O 分别是,ABP ABC 的外心，设外接球球心为O ，M 是AB 的中点，作1O M AB ⊥，2O M AB ⊥，所以12O MO ∠是二面角P AB C --的平面角，设12O MO α∠=，设12,O M m O M n ==，AB l =，作1OO ⊥面PAB ，2OO ⊥面ABC ，在四边形12OO MO 中，可得12π2OO M OO M ∠=∠=，所以12,,,O O M O 四点共圆，且设四边形12OO MO 的半径为r ，所以2OM r =，连接12,O O OM ，由正弦定理得122sin O O r α=，设12O O c =，故sin cOM α=，而在12MO O △中，由余弦定理得2222cos c m n mn α=+-，连接OA ，所以OA OB =，由三线合一性质得OM AB ⊥，因为M 是AB 的中点，所以2l BM =，设OA OB R ==，由勾股定理得2222sin 4c l R α=+，所以222222cos sin 4m n mn l R αα+-=+，即鳄鱼模型得证，而在本题中，对于三棱锥A BCD -，AB l =，找ABD △中心为1O ，BCD △中心为2O ，找BD 中点为M ，作AM BD ⊥，CM BD ⊥，所以12O MO ∠是二面角A BD C --的平面角，设12O MO α∠=，因为AC =，三棱锥其余各棱长均为2，所以2AB =，由勾股定理得AM CM AC ===ACM △是等边三角形，所以12π3O MO ∠=，设133O M m ==，233O M n ==，代入公式中得21111241333323494R +-⨯⨯=+=，所以133R =，设外接球的球心为O ，而三棱锥其余各棱长均为2，故BCD △是等边三角形，由正弦定理得BCD △12332=，设球心到面BCD 的距离为d ，所以2222313()33d +=)，解得13d =，所以点P 到平面BCD 的距离的最大值为1133+，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是证明鳄鱼模型的正确性，然后利用其求解外接球半径，再利用球的截面性质得到所要求的最值即可．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2023年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是（）A.极差为2.6B.平均数约为0.24C.中位数为0D.众数只有0.3-和0【答案】AB【分析】利用平均数，中位数，众数，极差的定义逐个选项分析即可.【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到0.5,0.3,0.3,0.2,0.0,0.0,0.1,0.1,0.2,0.7,1.0,2.1----，所以极差为2.10.5 2.6-(-)=，故A 正确，平均数为0.00.00.10.10.20.7 1.0 2.10.20.30.30.50.2412+++++++----≈，故B 正确，中位数为0.00.10.052+=，故C 错误，众数有0.3-，0.0，0.1，故D 错误.10.已知函数()()()*sin ,0πf x x ωϕωϕ=+∈<<N 的图象关于直线5π12x =对称，最小正周期2π,2π3T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则（）A.()2πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()2πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.()g x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD【分析】根据正弦函数图象的对称轴和周期的取值范围可求得函数()f x 的解析式，利用平移规则以及诱导公式可得出()g x 表达式，再根据余弦函数单调性可求得其值域，利用整体代换可求得()g x 的单调递增区间.【详解】依题意由2π,2π3T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得2π2π2π3ω<<，解得13ω<<，又*ω∈N 可知2ω=；将5π12x =代入可得5ππ2π,Z 122k k ϕ++⨯∈=，又因为0πϕ<<可得2π3ϕ=;因此可得()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即A 正确；对于B,将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()π2π5ππππsin 2sin 2sin 2cos 21236323g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此B 错误；对于C，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时可得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数性质可得π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，可得C 正确；对于D，令Z ππ2π22π,3k x k k -+≤+≤∈，解得2ππππ,Z 36k x k k ≤--+≤+∈；易知当0k =时，可得()g x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，即D 正确.11.已知函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，若()()()()()f x f y f x f y f xy +-=，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()11f -<，则（）A.()10f =B.()10f -=C.()f x 是奇函数D.()0,1x f x ∀≠<【答案】ABD【分析】根据给定条件，结合赋值法计算判断ABC；结合选项C 的结论，分段探讨()f x 的取值情况判断D.【详解】对于A，令0,1x y >=，得()(1)()(1)()f x f f x f f x +-=，则(1)[1()]0f f x -=，由()f x 在(0,)+∞上单调递增，得()f x 不恒为1，因此(1)0f =，A 正确；对于B，令1x y ==-，得(1)(1)(1)(1)(1)f f f f f -+----=，则(1)[2(1)]0f f ---=，而)(11f -<，因此(1)0f -=，B 正确；对于C，(,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ ，取1y =-，则()(1)()(1)()f x f f x f f x +---=-，即有()()f x f x =-，因此函数()f x 是偶函数，又1x >时，()(1)0f x f >=，则函数()f x 不是奇函数，C 错误；对于D，(,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ ，令1y x =，则11()()()()(1)0f x f f x f f x x+-==，当01x <<时，()(1)0f x f <=；当1x >时，101x <<，1()0f x <，1()1()1111()1()1f x f x f f x x==+<--，因此(0,),()1x f x ∀∈+∞<，当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，()()1f x f x =-<，所以0,()1x f x ∀≠<，D 正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2(2)4z +=-，则z =__________.【答案】【分析】求出方程的复数根，再利用复数模的意义计算即得.【详解】由2(2)4z +=-，得22i z =-±，所以||z ==.13.设991002m =⨯，则m 被7除的余数为__________.【答案】2【分析】依题意可将m 改写成()3310071⨯+的形式，再由二项展开式可得m 被7除的余数为2.【详解】易知()()99333333310021002100810071m ===⨯⨯⨯⨯+=，根据二项式定理展开可得()33033013213213233033333333337C 71C 71C 71C 711=++⋅⋅⋅+++；所以()03301321321323303333333933931100C 71C 71C 71C 02107=⨯++⨯+⋅⋅⋅+()0330132132132333333100C 71C 71C 71100=⨯++⋅⋅⋅++，即可得m 被7除的余数与100被7除的余数相同，所以1007142÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以m 被7除的余数为2.14.已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点，(0,)A ，若3PA b ≥恒成立，则C 的离心率的最大值为__________.【答案】3【分析】根据给定条件，求出2||PA 的最小值并建立不等式，求解不等式即可得解.【详解】设00(,)P x y ，双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则2222002a x y a b=+，于是2222222200002||()8a PA x y y a y b b=+-=++-+223422222200022222287()7c c b y c b y c b b b c c =-++=--+422287b c b c ≥-++，当且仅当30222b y c=时取等号，依题意，42222879b c b b c-++≥，整理得2222(2)(4)0c b c b +-≥，解得224c b ≥，即2224()c c a ≥-，解得3c a ≤，因此13c a <≤，即13e <≤所以C 的离心率的最大值为233.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在ABC V 中，D 为边BC上一点，且12,3CD AD AC ADC ∠===.（1）求CD ；（2）若sin 3B =，求BD .【答案】（1）6；（2）3.【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式解方程即得.（2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得.【小问1详解】设AD x =，则2CD x =，由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，即222133443x x x =+-⨯，得3x =，所以26CD x ==.【小问2详解】由1cos 3ADC ∠=，得1cos 3ADB ∠=-，则22sin 3ADB ∠=.由正弦定可得sin sin AB ADADB B=∠，解得223sin 3sin AD ADB AB B ∠⨯===.由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB ∠=+-⨯，即22150BD BD +-=，而0BD >，所以3BD =.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，过点F 且不与x 轴重合的动直线与C 交于,P Q 两点，且当PQ x ⊥轴时，3PQ =.（1）求C 的方程；（2）若()()2,0,3,0D R --，直线,DP DQ 分别与直线3x =-交于点,M N ，证明：MR NR ⋅为定值.【分析】（1）根据给定条件，列出关于,a b 的方程组求解即得.（2）设出直线PQ 的方程，与C 的方程联立，结合韦达定理求出MR NR ⋅的值即可.【小问1详解】由焦点()1,0F -，得221a b -=，由222211x x yab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得||y a =，则23a=，联立解得224,3a b ==，所以C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】依题意，直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =-，由2213412x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690t y ty +--=，则21212269,4433t y y t y t y -+==++，直线DP 的方程为11(2)2y y x x =++，令3x =-，得点M 的纵坐标111121M y y y x ty --==++，同理得点N 的纵坐标221N y y ty -=+，所以12122121212||||||||||(1)(1)()1M N y y y y MR NR y y ty ty t y y t y y ⋅===+++++2222222299934||96|9634413434t t t t t t t t -+===-+++-++++∣，为定值.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，平面11A ACC ⊥平面ABC ，四边形11A ACC 为菱形，160,2,A AC AB F ∠==为1BB 的中点.（1）证明：1AC ⊥平面1A CF ；（2）求直线FC 与平面11A FC 所成角的正弦值.【分析】（1）取AC 的中点E ，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得.（2）以点E 为原点建立空间直角坐标系，求出平面11A FC 的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】设11AC AC O ⋂=，取AC 的中点E ，连接,,OE OF BE ，则//OE 111,2A A OE A A =，又//BF 111,2A A BF A A =，则//BF ,OE BF OE =，四边形EOFB 为平行四边形，于是//EB OF ，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面,ABC AC BE AC =⊥，则BE ⊥平面11A ACC ，所以FO ⊥平面11A ACC ，而1A C ⊂平面11A ACC ，因此1FO AC ⊥，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，又11,,FO A C O FO A C =⊂ 平面1A CF ，所以1AC ⊥平面1A CF .【小问2详解】依题意，1A AC △为等边三角形，连接1A E ，1A E AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，则1A E ⊥平面ABC ，以点E 为原点，1,,EB EC EA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则1113(0,1,0),3),(0,2,3),3,)22C A C F ，1111313(0,2,0),3,,),(3,,)2222A C A F FC ==-=- ，设平面11A FC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11113302220A F n x y z AC ny ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取1x =，得(1,0,2)n =，设直线FC 与平面11A FC 所成的角为θ，则|2315sin |cos ,|5||||2|5FC n FC n FC n θ⋅=〈〉==⨯，所以直线FC 与平面11A FC 所成角的正弦值为155.18.已知函数()e x f x ax b =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2e e y x =-.（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若关于x 的方程()(ln )f x x x m -+=有两个正根1212,()x x x x <，证明：12)()(23f x f x +>.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义及给定切线求出,a b .（2）由（1），利用导数求出函数()f x 的单调区间即可.（3）方程()(ln )f x x x m -+=变形为()ln ()f x f x m -=，利用方程根的意义换元构造函数，利用导数推理证明不等式.【小问1详解】函数()e x f x ax b =+，求导得()(1)e x f x a x '=+，由()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2e e y x =-，得(1)2e 2e(1)e e f a f a b ==⎧⎨=+='⎩，所以1,0a b ==.【小问2详解】由（1）知()e ,()(1)e x x f x x f x x '==+，由()0f x '>，得1x >-，由()0f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)∞--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.【小问3详解】由e (ln )x x x x m -+=，得()ln ()f x f x m -=，令1122(),()t f x t f x ==，依题意，1122ln ln t t mt t m-=⎧⎨-=⎩，则2211ln t t t t =-，设21t u t =，由（2）知()f x 在(0,)+∞上单调递增，则210t t >>，1u >，由212211ln t u t t t t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12ln 1ln 1u t u u u t u ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，于是1212(21)ln (221)()u u f x f x t t u ++=+=-，要证当1u >时，(21)ln 31u uu +>-，即证(21)ln 3(1)0u u u +-->，令()(21)ln 3(1),1h u u u u u =+-->，求导得1()2ln 1h u u u=+-'，令1()2ln 1,1p u u u u =+->，求导得221()0u p u u -=>'，函数()p u ，即()h u '在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h u h ''>=，函数()h u 在(1,)+∞上单调递增，则当1u >时，()(1)0h u h >=，即(21)ln 31u uu +>-成立，所以12)()(23f x f x +>.19.在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出1个球，再往口袋中放入1个白球，取出的球不放回，像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小､材质均相同，记事件“n 次操作后结束”为n A ，事件n A 发生的概率为n p .（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率；（2）求数列{}n p 的通项公式；（3）设1nn kk E kp==∑，证明：6n E <.【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算即得.（2）利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率公式列式，再利用等比数列前n 项和公式求解即得.（3）由给定条件，利用错位相减法求和，再结合数列单调性及不等式性质推理即得.【小问1详解】用i B 表示第i 次操作取出黑球，i W 表示第i 次操作取出白球，131231313()()24432P B A P BW B ==⨯⨯=.【小问2详解】依题意，121110,248p p ==⨯=，当3n ≥时，若n 次操作后结束，则前()1n -次操作中，有一次取出黑球，其余()2n -次均取出白球，则1231123112311231()()()()n n n n n n n n n p P BW W W B P W B W W B P WW B W B P WW W B B ----=++++ 223342113113113113111()()()()()()()24424424424424n n n n n -----=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯ 12311131()1331132[()()1][()1]322222212n n n n n n n ----++-=⨯+++=⨯=⨯-- ，经检验，12,p p 均满足该式，所以113[()1]22n n n p -=⨯-.【小问3详解】由（2）知111]13131[()1][()()22242n n n n n p ---=⨯-=⨯-，则1111131[(()]242nn k k n k k E k k --===⨯-∑∑.设101211()123,01nk n k S q kqq q q n q q --===⨯+⨯+⨯++⨯<<∑ ，则()123123nqS q q q q n q =⨯+⨯+⨯++⨯ ，从而()01211111()(111n n nn n q q S q q q q qn q n q n q q q q---=++++-⨯=-⨯=-+⨯--- ，因此211()()(1)11nq S q n q q q=-+⨯---，则11113311()16(416)(),()4(24)()4422nn k n k nk k k n k n --===-+⨯=-+⨯∑∑，于是()()31628()2()42nnn E n n =-+⨯++⨯，而312820,()()042nnn n +>+>>>，所以6n E <.。
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第13题图 江苏省梁丰高级中学2009届高三数学摸底考试试题（苏教版）考试时间150分钟一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上） 1、已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R .2、若复数iiz -=1，则=|z | . 3、已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则,m n 与1三者的大小关系是 .4、如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 .5、设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 .6、已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60º，那么| a +3b |等于 .7、如图（下面）已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 是 .8、已知函数|lg |||,(0)()0,(0)x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则方程0)()(2=-x f x f 的实根共有 .9、如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2 ，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的方差为 ．10、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 . 11、设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-．若函数，2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是 .12、考察下列一组不等式：,525252,525252,52525232235533442233⋅+⋅>+⋅+⋅>+⋅+⋅>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.13、若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 .14、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0<d . 若存在正整数(3)m m ≥，使得m m a S =，则当n m >（+∈N n ）时，有_____n n S a （填“>”、“<”、“=”）..俯视图答题试卷 班级 姓名 学号一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10. 11.12.13． 14. 二、解答题（本题6大题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知：(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）. (1) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(2) 若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）证明CD AE ⊥；（2）证明PD ⊥平面ABE ；18、（本小题满分14分） 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a . (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求证：72n T <.A BC D P E某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？已知函数22()ln (0),f x x a x x x=++> (1) 若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2) 若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式12121[()()]()22x x f x f x f ++≥成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的“凹函数”. 试证当0a ≤时，()f x 为“凹函数”.高三数学模拟试题 班级 姓名 学号附加题（理科考生做，本大题共4题，满分40分.考试时间30分钟）21．（本题10分）1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （1）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22.（本题10分）已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=.试求实数a 的取值范围. 23．（本小题满分10分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 24．（本小题满分10分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积．11数学试题参考答案和评分标准一、填空题（每题5分，共70分）1.{|01}x x <<2. 22 3. 1＜n ＜m 4. 334 5. 垂直 6. 13 7. 338. 7个 9. 9S 2 10. 4 11. 2t ≤-或0t =或2t ≥12. ()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m （或n m b a b a ,,,0,≠>为正整数）.注：填m n n m n m nm 525252+>+++以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分； 若填m m m m 52525211⋅+⋅>+++或m m m m b a b a b a ⋅+⋅>+++11可给3分. 13．10k ≤. 14．<二、解答题（共90分）15. 解：(1)2()cos 2cos 21f x x x x m =++-……………………………………………………2分2cos22x x m =++ ………………………………………………………………………………………………4分2sin(2)26x m π=++. …………………………………………………………………………………………………………6分()f x ∴的最小正周期是π. …………………………………………………………………………………………………7分(2) ∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x …………………………………………………………………8分 ∴当6762ππ=+x 即2π=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m . ………………………10分∵512=-m ，∴3=m . …………………………………………………………………………………………………12分16.解析：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；………………………………………………………………6分（2）由条件可知a=5，椭圆221259x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为y-1=1(1)3x --,即340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在，Q 的坐标为412(,)55.…………………………………………14分17. （1）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A C D ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ． 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =．E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（1）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ． ACDP EM而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ． （3）（课后加）：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得PA a AD PD AE ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AMPD PA AD =∴··，则3a PA AD AM PD ===·．在AEM Rt △中，sin AE AME AM == 所以二面角A PD C --的大小是arcsin ．18. 解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =.21222()b b b =-+，则229b =. ……………………………………………………………………………………2分当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.即113n n b b －＝. …………………………………………………………………………………………………………………………4分 所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=. …………5分（2）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,可得13-=n a n . ………………7分从而n n n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=. ……………………………………………………………………………………8分∴].31)13(31)43(315312[231],31)13(318315312[213232+⋅-+⋅-++⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n T n T ……………10分 ∴]31)13(31313313313313[232132+⋅---⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T . …………………11分 从而2733127271<-⋅-=-n n n n T . …………………………………………………………………………14分19．解：（1）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，又由已知条件，2242k=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．（2）根据（1），我们有2'．故12x =时，()f x 301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大． 20.（1）由()22ln f x x a x x=++，得()'222a f x x x x =-+ ……………………………………2分若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()'0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立. 也即222a x x≥-在[1,)+∞上恒成立.……………………………………………………………………………………………………………………………4分令22()2x x x ϕ=-，上述问题等价于max ()a x ϕ≥，而22()2x x xϕ=-为在[1,)+∞上的减函数，则max ()(1)0x ϕϕ==，于是0a ≥为所求. …………………………………………………………6分（2）证明：由()22ln f x x a x x=++ 得()()()()1222121212111ln ln 222f x f x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()2212121212x x x x a x x +=+++ ……………………………………………………………………………7分 2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ………………………………………………………………8分而()()2222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+≥++= ⎪⎣⎦⎝⎭① ………………………………………10分又()()2221212121224x x x x x xx x +=++≥， ∴1212124x x x x x x +≥+ ② …………11分 122x x +≤∴12ln ln 2x x +≤， ∵0a ≤ ∴12ln2x x a a +≤ ③ ……………………………………………………………………13分 由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分21．解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程．同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（2）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．22.解：由柯西不等式得，有()()2222111236236bc d b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭即()2222236b c d b c d ++≥++，由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤==时等号成立， 代入111,,36b c d ===时，max 2a =，211,,33b c d ===时，min 1a =. 故所求实数a 的取值范围是[]1,2.（学生只求范围，不写出等号成立不扣分）23．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则 ()()()0.3P A P B P C ===， 所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．24．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥． 1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ．11A 2作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以222211121(12)233222B AAC C AA C C V S BH -==+=．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0AB m =，0BC m =得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AACC 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===⨯，所以二面角1B AC A --的大小是30．1x。