九年级(上)培优讲义：第3讲解直角三角形--应用

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沪教版九年级上册-解直角三角形的应用讲义

．
3、如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝
高6米，坝长50米．
(1)求加宽部分横断面AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少方土？
巩固练习：
1．有一个坡角，坡度3:1=i ，则坡角=α
2．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，若AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________. 3．如图，若人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒，则塔高BC =___ ___（米精确到1.0,732.13≈）
C
A
B
D
A
B
C
D
E
F
G H
2米
6米
1:21
:2.5_
2题图
_ C
_ A
3题图
B
4题图
((图
九)
自我测试
1、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的
P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图九）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结
果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，
2、2010年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理
念，市政府对许多基础设施进行修缮。

如图，某地下车库的入口处有斜坡BC 长为55米，其坡度为1:2i =，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为15．
CD；
地面
C。

初中九年级数学解直角三角形及其应用

0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3）上升米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是（3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习：如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看低平面控制点B的俯角α=16031／，
练习某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D

解直角三角形ppt课件

经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系，但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用勾股定理解决距离、高度等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用勾股定理解决角度、长度等计算问题。

解直角三角形的应用(19张ppt)课件

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间的关系，以及边长与角度之间的勾股定理。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它所对的边，可以通过三角函数求出其他两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形，可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形，可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰角，利用解直角三角形的知识，可以计算出山的高度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识，通过测量楼底和楼顶的仰角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部的仰角，利用解直角三角形的知识，可以计算出树的高度。

初中数学解直角三角形综合讲义

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于（（））（（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度：三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度：直角三角形直角三角形分析：设P 到边的距离为PE PE。

初三解直角三角形.docx

辅导讲义(1) 三边关系：a 2+b 2=c 2,(2) 角关系：ZA+ZB=—,sin B = — ,cos A =—,cos B = —, tan A c c c c 二、同步题型分析直角三角形的性质已知：如图，ADDBC,F 是AB 中点，DF 交CB 延长线于点E, CE = CD ，则图中与ZADE 相等的有 ,与ZADE 互余的角有 ___ •解题分析：(1)注意题中直线的平行关系，利用平行线的性质找出相等角(2)利用等腰三角形的性质，判定哪些三角形是直角三角形，再利用Rt △的两个锐角互余进行处理1. 几何题注意先标清题屮给出的条件，寻找突破门;sin A (3)边角关系:AB（亍2.灵活运用平行线性质；3.注意等腰三角形三线合一.瑪例题3如图，A、C是ZMON的0M边上两点,A3丄0W于B,CD丄ON于D, 若OA=-,OB=CD,OD+AB=1 求ZMON的度数.2解题分析：(1)注意分析OD+AB二1二20A,可联想到三角形中的性质，延长0D至II,使得DII二AB,连CII；(2)利用三角形全等,可确定OA=CH=| OH,可得ZA=30°；(3)本题主要注意截长补短方法的运用.1.先标出己知条件，通过己知条件推导岀其中隐含的条件，再灵活运用这些条件解题;2.注意截长补短方法的运用；3.在Rt△屮，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

.如图，已知在AABC中，ZACB = 90°, AC = BC, AE 丄BE于E, AE = -BD . 2求证：BZ)平分ZABC.4解题分析：（1）延长AE、BC,相交点F,连接CE；（2）灵活利用：在Rt△中，斜边上的小线等于斜边的一半；（3）同时注意垂直平分线定理的运用. 詈衣采弑一弑./1.己知：如图所示，AE、BD相交于点C, M、F、G分别是AD、BC、中点，AB = AC, DC = DE .求证：MF = MG .解题分析：连接AF、DG.灵活运用刚学的相关知识（在Rt△屮，斜边上的中线等于斜边的一半）进行处理.2.如图，在AA3C^,Z3 = 40o,ZC = 20°,AD 丄C4于人交BC于D .求证：CD = 2AB.解题分析：取CD 中点连接AM.灵活运用刚学的相关知识(在Rt △中，斜边上的中线等于斜边的一半)进行处理.3. 如图，正\ABC 的边长为1, P 是AB±不与A,3重合的任意一点，PQ 丄BC , QR 丄AC, RS 1 AB t Q,R,S为垂足，设BP = x, AS = y.求(1) y 与x 之间的函数关系式；(2) 当SP =丄时，求AP 的长； 4(3) 当点P 与S 重合时，与4R 的长各为多少?解题分析：在Rt △中，如果一个锐角等于30。

4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册

感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.

湘教版九年级(初三)数学上册解直角三角形的应用_课件1

PB
∴PB ≈ 289（m）答：小亮与妈妈相距约289米.
谢
谢
分析：在直角三角形 ABC中，已知了坡度即角α 的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长.
●
CALeabharlann ●B解：用α 表示坡角的大小，由题意可得
tana = 1 = 0.5 ， 2
因此α ≈26.57°.
在Rt△ABC中，
∠B =90°，∠A = 26.57°，AC =240 ，
因此 sina =
3 1.732.
解：大树AB的高约为8.4米．
A
D
30
F
60
G B
C
E
中考试题
3.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速
公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59， tan54°≈1.38， 3 ≈1.73，精确到个位）
∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD，∠BAC = 40°，
在Rt△ABC中，
BC BD - AE 0 tanBAC = = = tan 40 AC AC 3500 - 1600 0.8391,即AC 2264 （m ) AC
因此，Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
解：过点C作CD⊥AB于D， ∵BC=200m，∠CBA=30°， 1 ∴在Rt△BCD中，CD= 2BC=100m， BD=BC•cos30°≈173（m），
在Rt△ACD中，AD≈74（m），
∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．答：隧道AB的长为247m．

湘教版-数学-九年级上册 4.4解直角三角形的应用精品课件

解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
B 12 D F
在Rt△ABF中，
30°
tan ABF AF tan 30 3x
解：如图，在Rt△APC中，
cosAPC cos(900 650 ) PC AP
∴ PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.51
AB // ED
B 340
∴ 在Rt△BPC中，∠B＝34°，PC=72.51
sin B PC PB
PB
PC sin B
72.51 sin 340
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
3、仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）？
BF
12 x
解得x=6
AF 6x 6 3 10.4 ∵10.4 > 8,∴没有触礁危险。
拓展提高
• （2013•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东 37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？

九年级数学上解直角三角形及其应用(第3课时)

第3课时解直角三角形及其应用〔3〕【学习目标】使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．【学习重点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】方位角的区分和使用．旧知回忆：方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方位角．如图中的目标方向线OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别表示北偏东60°，南偏东45°(或东南方向)，南偏西80°及北偏西30°.根底知识梳理知识模块一根本的方位角问题例：(1)如图，小红从A 地向北偏东30°方向走100m 到B 地，再从B 地向西走200m 到C 地，这时小红距A 地( B )A ．150mB ．1003mC ．100mD ．503m〔第(1)题图)〔第(2)题图)〔第(3)题图)(2)如图，C 、D 是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A 和B 的正东方向上，且D 位于C 的北偏东30°方向上，CD ＝6km ，那么AB .(3)如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 处，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S 的最近距离是知识模块二复杂的方位角问题例：如下图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，在岛C 周围9海里的区域内有暗礁，假设继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．解：过C 作CD ⊥AB 于点 D.由题意可知：AB ＝24×3060＝12，∠CAB ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°＝60°.在Rt △BDC 中，tan 60°＝CD BD ，∴BD ＝33CD.在Rt △ADC 中，tan 30°＝CD AD，∴AD ＝3CD.又AD ＝AB ＋BD ，∴3CD ＝12＋33CD ，∴CD ＝63＞9.∴假设继续向正东方向航行，该货船没有触礁危险．知识模块三较为复杂的方位角问题例：B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km ，一艘货轮从B 港口以40km /h 的速度沿如下图的BC 方向航行，15min 后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长(精确到0.1km )．(参考数据：sin 53.2°≈0.80，cos 53.2°≈0.60，sin 79.8°≈0.98，cos 79.8°≈0.18，tan 26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)解：过B 作BH ⊥AC 交AC 延长线于H.在Rt △ABD 中，sin ∠DAB ＝DB AB ，AB ＝16sin 53.2°≈20.在Rt △ABH 中，∠BAH ＝79.8°－53.2°＝26.6°，tan ∠BAH ＝BH AH ，tan 26.6°＝BH AH ≈12，∴AH ＝2BH.由BH 2＋AH 2＝AB 2＝202得BH ＝45(取正值)、AH ＝8 5.在Rt △BCH 中，BC ＝40×1560＝10，CH ＝102－〔45〕2＝2 5.故AC ＝AH －CH ＝85－25＝65≈13.4(km )变式：如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远(精确到0.01海里)?解：如图，在Rt △APC 中，PC ＝PA ·cos (90°－65°)＝80×cos 25°≈72.505.在Rt △BPC 中，∠B＝34°，∵sin B ＝PC PB ，∴PB ＝PC sin B ＝72.505sin 34°≈129.66.因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约129.66海里．根底知识训练1．上午8时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，8时30分到达B 处(如下图)，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为( B )A ．20海里B ．202海里C ．153海里D ．203海里2．一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( D )A ．103海里/小时B ．30海里/小时C ．203海里/小时D ．303海里/小时本课内容反思1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。

九上数学解直角三角形知识点

九上数学解直角三角形知识点
九年级数学解直角三角形知识点主要包括：
1. 锐角三角函数：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切值可以通过三角函数的定义直接计算。

例如，在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，那么sinA=BC/AB，cosA=AC/AB，tanA=BC/AC。

2. 余角三角函数关系：当两个角互为余角时，它们的三角函数值之间存在一定的关系。

例如，如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB。

3. 同角三角函数关系：三角函数之间还存在着一些恒等式，例如
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1。

4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦和正切函数随着角度的增大而增大，而余弦和余切函数随着角度的增大而减小。

5. 特殊角的三角函数值：对于一些特殊角度（如0°、30°、45°、60°和90°），其三角函数值是已知的。

这些值需要熟练记忆。

6. 解直角三角形：在直角三角形中，已知一些边的长度或者角度，可以通过三角函数来求解其他未知的边或角度。

以上是九年级数学解直角三角形的主要知识点。

在学习时，除了理解每个知识点的含义和计算方法外，还需要通过大量的练习来加深理解和提高解题能力。

湘教版九年级上册4.3《解直角三角形及其应用》课件

2019年11月30日10时40
分
1.两锐角之间的关系: B
∠A+ ∠ B=90°
解
直角三角
2.三边之间的关系:
a2+b2=2
C
A
正弦函数：sin
A

A的对边斜边
形
3.边角之间的关系
余弦函数：cos
A

A的邻边斜边
正切函数：tan
A

A的对边 A的邻边
布置作业：
P120 A 组 T1、T2、
直角三角形中的边角关系
1、三边之间的关系：
B
a2 b2 c2 (勾股定理） a
c
2、两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°
C
b
A
3、边角之间的关系：
sin A cos B a , c
tan A a 1 , b tan B
sin B cos A b , c
2019年11月30日10时40
解 c a2 b2 15.602 8.502 17.77cm.
a 15.60
B
由于 tan A
1.835,
c
b 8.50
a
A 6125.
C
A
b
从而 B 90 6125 2835.
互教互学
2019年11月30日10时40 分
思考：1、在例1中，求b还有其它方法吗？
2、已知“①已知一边一角，② 已知两边”怎样解直解三角形？
巩固练习
2019年11月30日10时40 分
1、在Rt ABC中，C＝90, B＝45 , b＝3cm,求A, a,c的值。

沪教版初中数学九年级第一学期解直角三角形的应用课件优秀课件资料

26.以真诚为准则是自我修养的关键，弄清楚哪些是好的言行举动，又是坚持真诚的根本。二、我们每个人都不能抱怨自己的出身，没有好的家世，那就去创造好的家世。要知道，那些在雨里奔跑的，从来都是没有伞的孩子。
5. 假如你从来未曾害怕、受窘、受伤害，好就是你从来没有冒过险。 14、在政治中我们需要能有所奉献的人，而不是想有所收获的人。
米.
x 1 ，可以解得x的值. 5 0.8
5） 30 5
6）
50Biblioteka 三、应用---举例1：例1 如图：大楼前一处人行通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高1.5米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？
三、应用---举例1：
例1:如图：大楼前一处人行通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高1.5米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？
根据题意，可知BE=1.2 (米)， ∴ AD = AE+EF+DF = 2AE+EF
AE=DF，EF=BC=2.8(米).
=2×1.92+2.8=6.64≈6.6(米)
在∴RAEt△=A1B.6EB中E=,∵1.6×i1.2BA=EE1.9121.6（，米）. 答：路基下底宽约为6.6米。
三、应用---练习3：
B
那么tanα=
5 4
.
tan i,即tan 1
0.8
i=1:0.8
5米
3）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，斜坡高
为5米，那么斜坡的水平宽度为 4 米，那
么斜坡的长为 41 米.
A
根据勾股定理
5米 C
4）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，斜坡
设斜坡的高度为x米，则

2019-2020学年度九年级数学讲义：解直角三角形及其应用

2019-2020学年度九年级数学讲义：解直角三角形及其应用【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =．【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 6043b a B ==⨯=°．由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)．(1)首先用两锐角互余求锐角∠A，再利用∠B的正切、余弦求b、c的值；(2)首先用正切求出∠B的值，再求∠A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值．举一反三：【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A、∠B和c；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a和b；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5．在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。