2019-2020学年四川省成都市新高考高二数学下学期期末监测试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点分别是12
F F
、，以
2
F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1
PF恰好与圆
2
F相切于点P，则椭圆的离心率为( )
A．31
-B．
31
+
C．
2
2
D．
51
-
2．安排5位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（）种
A．20B．24C．36D．48
3．自2020年起,高考成绩由“33
+”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（）
A．6B．7C．8D．9
4．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是
A5B．3
C
35
D．35
5．若变量x，y满足约束条件
2
1
1
y x
x y
x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
，则
1
x y
x
+
+
的取值范围是（）
A．
11
[,]
22
-B．
13
[,]
22
C．
11
(,][,)
22
-∞-⋃+∞D．
13
(,][,)
22
-∞+∞
6．已知函数()3,0
{1,02x
kx x f x x +≥=⎛⎫< ⎪⎝⎭
，若方程()()20f
f x -=恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是
（ ） A ．[
)0,+∞
B ．[]
1,3
C ．11,3
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D ．11,3
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
7．已知函数f(x)＝12
log ,1,
24,1,
x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )
A ．4
B ．－2
C ．2
D ．1
8．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·
PF PF = A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9． “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
10．设0.2
1
312
1log 3,,53a b c
⎛⎫
⎪
⎝⎭===,则（ ）
A ．a b c <<
B ． a c b <<
C ． c a b <<
D ． b a c <<
11．下列函数为奇函数的是（ ） A ．122
x
x - B ．3sin x x
C ．2cos 1x +
D ．22x x +
12．在
中，
，且
，则
的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．
二、填空题：本题共4小题 13．设i 为虚数单位，复数2i
z i
+=，则z 的模||z =______. 14．不等式
4
x x
>的解集为__________． 15．已知函数1
y x =
的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，函数11112
y x x x =
++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12
2020
12019
x x x y x x x +++=+++
++的图
象的对称中心为________.
16．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1
tan 5
CAD ∠=，则tan B 为______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，90BAC ∠=︒. （1）求直线1A B 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点1B 到平面1A BC 的距离.
18．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立
(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，
的概率； (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，
时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
19．（6分）已知函数32
()([1,2])f x x ax bx c x =+++∈-，且函数()f x 在1x =和2
3
x =-
处都取得极值． （1）求a ，b 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间．
20．（6分）已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F 与圆22
20x y x +-=的圆心重合.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设定点（3,2）A ，当P 点在C 上何处时，PA PF +的值最小，并求最小值及点P 的坐标；
（3）若弦MN 过焦点F ，求证：11
FM FN
+为定值. 21．（6分）已知函数()ln f x x mx m =-+，R m ∈ (1) 求函数()f x 的单调区间.
(2)若函数()0f x 在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数m 的值．
22．（8分）设F 是抛物线2
4y x =的焦点，,,M P Q 是抛物线上三个不同的动点，直线PM 过点F ，
MQ OP ∥，直线QP 与MO 交于点N .记点,,M P Q 的纵坐标分别为012,,y y y ．
（Ⅰ）证明：012y y y =-；
（Ⅱ）证明：点N 的横坐标为定值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
由题得12PF PF ⊥，再利用椭圆定义得12,PF PF 的长度，利用勾股定理求解即可 【详解】
由题得12PF PF ⊥，且2,PF c = 又12122PF PF a PF a c -=∴=- 由勾股定理得()2
22224220a c c c e e -+=⇒+-= ，解得31e = 故选：A 【点睛】
本题考查椭圆的定义及几何意义，准确求得12,PF PF 是关键，是基础题 2．C 【解析】 【分析】
利用间接法，在甲同学与乙同学相邻的所有排法种减去甲同学既与乙同学相邻，又与乙同学相邻的排法种
数，于此可得出答案． 【详解】
先考虑甲同学与乙同学相邻，将这两位同学捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法总数为42
4248
A A =种，
再考虑甲同学既与乙同学相邻又与丙同学相邻的相邻的情况，即将这三位同学捆绑，且将甲同学置于正中
间，与其余两位同学形成三个元素，此时，排法数为23
2312A A =.
因此，所求排法数为481236-=，故选C. 【点睛】
本题考查排列组合问题，问题中出现了相邻，考虑用捆绑法来处理，需要注意处理内部元素与外部元素的排法顺序，结合分步计数原理可得出答案． 3．D 【解析】
分析：直接利用组合数进行计算即可.
详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科
目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为21
339C C =种.
故选D.
点睛：本题考查组合的应用，属基础题.. 4．C 【解析】
作出三棱锥P−ABC 的直观图如图所示，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，连结PD. 由三视图可知PA ⊥平面ABC ， BD=AD=1,CD=PA=2,∴22223, 5.5, 2.BC PD PA AD AC AD CD AB PD ==+==+==⊥.
∴131
,222
2ABC ABP
S BC AD S AB PA =
⨯⨯==⨯⨯= 1
135
5,2
22
ACP
BCP
S
AC PA S BC PD =
⨯⨯==
⨯⨯=
.
∴三棱锥P−ABC 的四个面中，侧面PBC 的面积最大35
2
. 故选C.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 5．B 【解析】
分析：根据题意，将1x y x ++化简成斜率的表达形式1
11
y x -++；所以就是求可行域内与()1,1-连线斜率的取值范围加1,。

详解：
111
1111
x y x y y x x x +++--==++++ ，原式表示可行域内的点(),x y 与()1,1- 连线的斜率加1。

由不等式组成的可行域可表示为：
由图可知，斜率最小值为101
112
AQ k -==--- 斜率最大值为121112AP k -=
=-- 所以斜率的取值范围为11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 所以
13,122x y x +⎡⎤
∈⎢⎥+⎣⎦
所以选B
点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。

关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。

6．C 【解析】
当0k ≥时，画出函数图像如下图所示，由图可知，()()()2,1f
f x f x ==-无解，不符合题意，故排除
A,B 两个选项.
当1k =-时，画图函数图像如下图所示，由图可知()()2f
f x =，()1f x =-或1f
x ，解得
4,2x x =
=不符合题意，故排除D 选项，选C .
点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当0x <时，图像是确定的，当0x ≥时，图像是含有参数k 的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕()()2f f x =的解的个数来进行.
7．B 【解析】
1
21242242f ⎛⎫
=+=+= ⎪⎝⎭
，则()12
14log 422f f f ⎛⎫
⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 8．B 【解析】
本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得122PF PF -=①,又
01212260F F c F PF ==∠=,由余弦定理222
1212128PF PF PF PF F F +-==②，由①2-②得
124PF PF =，故选B ．
9．B 【解析】 【分析】 【详解】
0a =时，直线210x ay +-=与直线220bx y +-=不平行，
所以直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是2221
b a -=≠-， 即4ab =且1(4)a b ≠≠，
所以“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的必要不充分条件． 故选B ． 10．A 【解析】 【分析】
利用中间值0、1比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系． 【详解】
由于函数12log y x =在定义域上是减函数，则1122
log 3log 10a =<=，且
0.2
103b ⎛⎫=> ⎪
⎝⎭
，
1
3
50
c =>，由于函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在定义域上是减函数，则0.2
11133b ⎛⎫⎛⎫
=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 函数5x
y =在定义域上是增函数，则1
03551c =>=，因此，a b c <<，故选A. 【点睛】
本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查分析问题的能力，属于中等题． 11．A 【解析】
试题分析：由题意得，令()122x
x f x =-
，则()()11122(2)222x x x
x x x
f x f x --=-=-=--=-，所以函数()1
22x
x
f x =-
为奇函数，故选A ． 考点：函数奇偶性的判定． 12．B
【解析】 【分析】 通过
，可求出A,B 角度，从而利用面积公式即得结果.
【详解】 由于
，
，可知
，而
，
或
（舍），故
，又
，
所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大. 二、填空题：本题共4小题 135【解析】
分析：利用复数的除法法则运算得到复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可．
详解：()()()
2212, 5.i i i z i z i i i +⋅-+=
==-∴=⋅- 5点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题． 14．()0,2 【解析】 【分析】 由题意可化为4
,0x x x
>>，根据不等式性质化简即可求解. 【详解】
由题意可知40
x
x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，
即2
40
x x ⎧>⎨>⎩，解得02x <<， 所以不等式的解集()0,2， 故答案为：()0,2. 【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于中档题. 15．2019,20202⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由已知可归纳推测出1111y x x x n =
+++++的对称中心为(,0)2n
-，再由函数平移可得12202011120201
201912019
x x x y x x x x x x +++=
+++=++++++++的对称中心. 【详解】
由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为1
0,,1,2
--，即120,,,22
-
-
由此推测1111y x x x n =
+++++的对称中心为(,0)2n -.
又122020111
20201201912019x x x y x x x x x x +++=+++=++++++++ 所以其对称中心为2019,20202⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 故答案为：2019,20202⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题. 16．
5
3
【解析】 【分析】
延长AD,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E,由1
tan 5CAD ∠=
,则
15
CE AE =,设CE x =,则5AE x =,可证明~CDE BDA ,则
1
2
DE CD AD BD ==,从而求得tan DCE ∠,即tanB 的值. 【详解】
解:如图,延长AD,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E,
1tan 5CAD ∠=,1
5
CE AE ∴=,
设CE x =,则5AE x =,
CDE BDA ∠=∠, CED BAD ∠=∠, ~CDE BDA ∴,则
DE CD
AD BD =, 2BD CD =,1
2
DE CD AD BD ∴
==, 53DE x ∴=,5
3DE x ∴=,
5
tan 3B ∴=.
故答案为:5
3
.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,基础知识要熟练掌握. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）45︒；（2）3
3
. 【解析】 【分析】
（1）根据直三棱柱的性质,可知直线1A B 与平面ABC 所成角即为1A BA ∠,根据1AB AA =即可得解. （2）根据1111A BC A B B C B V V --=结合三棱锥体积求法即可得点1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】
（1）画出空间几何体如下图所示:
因为三棱柱为直三棱柱,所以1A BA ∠即为直线1A B 与平面ABC 所成角 因为1AB AA =,190A AB ∠=
所以145A BA ∠=
即直线1A B 与平面ABC 所成角为45
（2）因为直三棱柱111ABC A B C -中,11AB AC AA ===,90BAC ∠=︒. 所以1
12A B BC AC ===
则()
2
1
33
24
2
A BC S =
⨯=,11111122A B C S =⨯⨯= 设点1B 到平面1A BC 的距离为d 则1111A BC A B B C B V V --=
所以11111
33A BC A B B S d S AC ∆∆⨯⨯=⨯⨯
即1
3111332d ⨯
⨯=⨯⨯,解得3
d =
所以点1B 到平面1A BC 的距离为3
3
【点睛】
本题考查了直线与平面的夹角,点到平面距离的求法及等体积法的应用,属于基础题. 18． (1)
2732
. (2) 采取方案二最好，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）设在未来3年里，河流的污水排放量[)270,310x ∈的年数为Y ，由题意可知1~3,4Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭，据此计
算可得满足题意的概率值为2732
p =
. （2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好. 【详解】 （1）由题得
，
设在未来3年里，河流的污水排放量
的年数为，则
.
设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量
”为事件，则
.∴在未来3年里，至多1年污水排放量
的概率为.
（2） 方案二好，理由如下：由题得，
.
用
分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则
万元.
的分布列为：
.
的分布列为：
.
∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．(1)
1
2
a=-,2
b=-；(2)[]
2
1,,1,2
3
⎡⎤
--
⎢⎥
⎣⎦
.
【解析】
【分析】
(1)易得1
x=和
2
3
x=-为导函数的两个零点,代入计算即可求得,a b.
(2)求导分析'()0
f x≥的解集即可.
【详解】
(1)∵32
()([1,2])
f x x ax bx c x
=+++∈-.
∴2
'()32,[1,2]
f x x ax b x
=++∈-,
∵函数()
f x在1
x=和
2
3
x=-处都取得极值,
故1
x=和
2
3
x=-为2
320
x ax b
++=的两根.
故
22
11
33
2
2
12
33
a
a
b
b
⎧
-=-⎧
⎪=-
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⎛⎫
⎪⎪
=⋅-=-
⎩
⎪
⎪⎝⎭
⎩
.
即
1
2
a=-,2
b=-
(2)由(1)得32
1
()2([1,2])
2
f x x x x c x
=--+∈-
故2
'()32,([1,2])
f x x x x
=--∈-
当'()0f x >,即2
320,([1,2])x x x -->∈-时,
即()()3210,([1,2])x x x +->∈-,解得2
13
x -≤≤-或12x ≤≤. ∴函数()f x 的单调递增区间为[]21,,1,23
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题主要考查了根据极值点求解参数的问题以及求导分析函数单调增区间的问题.需要根据题意求导,根据极值点为导函数的零点以及导函数大于等于0则原函数单调递增求解集即可.属于中档题.
20．（1）2
4y x =（2）4（3）1，()1,2P
【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线方程；（2）设点P 在抛物线C 的准线上的射影为点B ，根据抛物线定义知PF PB =,要使PA PF +的值最小，必P A B 、、三点共线，从而可得结果；（3）()1,0F ，设 :1MN l x my =+ ，
22
44401y x y my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ，根据焦半径公式可得12111111FM FN x x +=+++ 1111
22
my my =
+++，利用韦达定理化简可得结果.
详解：（1）由已知易得()1,0F ， 则求抛物线的标准方程C 为2
4y x =.
（2）设点P 在抛物线C 的准线上的摄影为点B ， 根据抛物线定义知PF PB =
要使PA PF +的值最小，必P A B 、、三点共线.
可得()1,2P x ，2
11241x x =⇒=.即()1,2P
此时PA PF 224+=+=.
（3）()1,0F ，设 :1MN l x my =+ ()()1122,,,M x y N x y
2244401
y x
y my x my ⎧=∴⇒--=⎨
=+⎩
所以
12111111
FM FN x x +=+++
()()11122121211
224
24
my my m y y m y y m y y =
+
++++=
+++
22
44144
m m +==+. 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：
(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将p 到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的. 21．（1）在10,m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减（2）1m = 【解析】 【分析】
（1）对函数()f x 求导，讨论参数的取值范围，由导函数求单调区间
（2）由题函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立等价于在()0,x ∈+∞上()max 0f x ≤， 构造函数()ln 1g x x x =--，讨论()g x 的单调性进而求得答案。

【详解】 （1）()()110mx f x m x x x
-=
-=>' 当0m ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，由()0f x '>得10mx ->，解得10x m <<
，由()0f x '<得10mx -<，解得1
x m
>，所以()f x 在10,
m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减。

（2）由题函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立等价于在()0,x ∈+∞上()max 0f x ≤ 由（1）知当0m ≤时显然不成立， 当0m >时， ()max 11ln 1ln 1f x f m m m m m ⎛⎫
==-+=--
⎪⎝⎭
，
只需ln 10m m --≤即可。

令()ln 1g x x x =--，则()()1
10g x x x
=-
>' 由()0g x '>解得1x >，由()0g x '<解得01x << 所以()g x 在()1,+∞上单调递增；在()0,1上单调递减， 所以()()min 10g x g ==
所以若函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则1m = 【点睛】
本题考查含参函数的单调性以及恒成立问题，比较综合，解题的关键是注意讨论参数的取值范围，构造新函数，属于一般题。

22． (1) 证明见解析. (2) 证明见解析. 【解析】
分析：(Ⅰ) 因为//MQ OP ，所以MQ
OP k k =，所以201222102444
y y y y y y -=
-
，所以012y y y =-
(Ⅱ) 因为直线PM 过点F ，所以104y y =-， 由(Ⅰ)得012y y y =-，所以12000
44
,y y y y y =-
=--, 因为0
4
:,OM l y x y =
211124:,4PQ y l y y x y y ⎛
⎫-=- ⎪+⎝⎭
即()121240,x y y y y y -++=
设点N 坐标为(),m n ，又因为直线,QP MO 交于点N ，
所以()01212440,
n m y m y y n y y ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩
消去0y 得22322840mn n m m +++=， 整理，即可证明点N 的横坐标为定值． 详解：
(Ⅰ) 因为//MQ OP ，所以MQ
OP k k =，所以201
222102444
y y y y y y -=
-
，所以012y y y =-
(Ⅱ) 因为直线PM 过点F ，所以104y y =-，
由(Ⅰ)得012y y y =-，所以12000
44
,y y y y y =-
=--, 因为0
4
:,OM l y x y =
211124:,4PQ y l y y x y y ⎛
⎫-=- ⎪+⎝⎭
即()121240,x y y y y y -++=
设点N 坐标为(),m n ，又因为直线,QP MO 交于点N ，
所以()01212440,
n m y m y y n y y ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩
所以0
0000004444440,m y n m y n y y y y y ⎧=⎪⎪
⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪----+---= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
消去0y 得22322840mn n m m +++=， 所以()()2
2
214210m n m
m +++=，
所以()()2
2
2140m n m
++=，
因为2240n m +≠，
所以210m +=，即1
2m =-
， 所以点N 的横坐标为定值1
2
-
点睛：本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系，属中档题.
提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数(
)()()
1
cos23sin cos41
2
f x x a x x a x
=+-+-在,0
2
π
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上单调递增，则实数a的取值范围为（）
A．
1
,1
7
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B．
1
1,
7
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
C．][
1
,1,
7
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
D．[)
1,+∞
2．执行下面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是（）
A．4?
i<B．5?
i<C．6?
i<D．7?
i<
3．已知a＝log34，b＝
2
1
2
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，c＝1
3
1
log
6，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
4．设()
f x是定义在R上的偶函数，且当0
x≥时，()
21,01
22,1
x
x x
f x
x
⎧-+≤<
=⎨
-≥
⎩
，若对任意的[]
,1
x m m
∈+，不等式()()
1
f x f x m
-≤+恒成立，则实数m的最大值是（）
A．1-B．
1
3
-C．
1
2
-D．
1
3
5．如图，P是正四面体V ABC
-的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．离心率为
3
的椭圆 D ．离心率为3的双曲线
6．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，1a ，
2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A ．14个
B ．13个
C ．15个
D ．12个
7．若f(x)=ax 2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax 3+bx 2+cx() A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数 8． “0a >，0b <”是“0ab <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．下面是利用数学归纳法证明不等式22
(1)n n +-<（2n ≥，且*)n ∈N 的部分
过程：“……，假设当(2)n k k =≥时，2k <，故当1n k =+时，
有 ，因为=< ，故
<2(1)k +，……”，则横线处应该填（ ）
A ．＜22k +21k +
B ．＋<22
k +21k +
C ．2<22k +22k +
D ．2＋<22
k +22k +
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n n a S a -=，则下列结论中（ ）
①数列{}
2
n S 是等差数列；②n a <；③11n n a a +<
A ．仅有①②正确
B ．仅有①③正确
C ．仅有②③正确
D ．①②③均正确
11．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有2
()6()f x x f x =--，当(,0)
x ∈-∞时，2()112f x x '
+<，若2
(2)(2)12129f m f m m m +≤-++-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
C ．[1,)-+∞
D ．[2,)-+∞
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a a a ++=+，若37513a a a +-=，770S =，则1a =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题：本题共4小题
13．已知定义在R 上的函数()f x 在导函数为
'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当1x >时，'()0f x <，则
满足不等式(1)(2)f m f m +≤的实数m 的取值范围是__________． 14．()5
3x x +的展开式中含3x 项的系数为_________．
15．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率 为 .
16．设1,,,,a b S a b c d b c c d ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ，2,,,,0a b S a b c d a d b c c d ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
R .已知矩阵2468⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
A B ，其中1∈A S ，2∈B S ，那么B=________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作12263,,,x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，平均值记作x ，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01） 18．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π （1）证明：()cos 2sin cos sin n
n i n θθθθ+=+；
（2）z i =，利用（1）的结论计算10z ． 19．（6分）已知函数()()217g x x m x m =--+-.
（1）若函数()g x 在[]
2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；
（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围. 20．（6分）设a 为实数，函数()()2x
f x e x a =--，x ∈R
（Ⅰ）若1a =-求()f x 的极小值.
（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+. 21．（6分） [选修4-5：不等式选讲]
设函数()2f x x a a =++.
（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式2
()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围.
22．（8分）已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意实数x 恒有()()20x
f x f x a +-+=（0a >且
1a ≠）成立.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）讨论()f x 在R 上的单调性，并用定义加以证明.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
因为/
()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在
[,0]2
π
-
上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-
，又cos sin )4t x x x π
=+=+，且
4
4
4
x π
π
π
-
≤+
≤
，故sin()[1,1]242
x t π-
≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2
()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，
则1
(1)0{
{17(1)0
1
h a a h a -≤≥
⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力． 2．C 【解析】 【分析】
根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
即可得出答案. 【详解】
解：当0S =时，不满足输出结果为15，进行循环后，1S =，2i =； 当1S =时，不满足输出结果为15，进行循环后，3S =，3i =； 当3S =时，不满足输出结果为15，进行循环后，6S =，4i =； 当6S =时，不满足输出结果为15，进行循环后，10S =，5i =； 当10S =时，不满足输出结果为15，进行循环后，15S =，6i =； 当15S =时，满足输出结果为15， 故进行循环的条件，应为：6?i <. 故选：C. 【点睛】
本题考查程序框图的应用，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】
得出12
6
133331log log 6log 4,log 62,()
42
-=><=，从而得到,,a b c 的大小关系，得到答案．
【详解】
由题意，根据对数的运算可得12
6
1333331log log 6log 4,log 6log 92,()
42
-=><==，
所以b c a >>，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】
由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】
易知函数()f x 在[
)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，
得1x x m -≥+，即()()2
2
1x x m -≥+，
即()()2
2210g x m x m =++-≤在[]
,1x m m ∈+上恒成立，
则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩
，
解得1
13
m -≤≤-， 即m 的最大值为13
-. 【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 5．C 【解析】
分析：由题设条件将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等转化成在面VBC 中点P 到V 的距离与到定直线BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．
详解：∵正四面体V ﹣ABC ∴面VBC 不垂直面ABC ，过P 作PD ⊥面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，
可得BC ⊥面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V ﹣BC ﹣A 的平面角令其为θ 则Rt △PGH 中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小）． 又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC 中，点P 到定点V 的距离与定直线BC 的距离之比是一个常数sinθ，
又在正四面体V ﹣ABC ，V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小θ有：1， 由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在面SBC 内的一部分． 故答案为：C ．
点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义. 6．A 【解析】
分析：由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
详解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故答案为：A.
点睛：本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏. 7．A 【解析】
若f(x)=ax 2
+bx+c(c ≠0)是偶函数,则0b =,则3
()g x ax cx =+是奇函数，选A.
8．A 【解析】 【分析】
利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】
若0,0a b ><，则必有0ab <.
若 0ab <，则0,0a b ><或0,0a b <>. 所以"0,0"a b ><是"0"ab < 的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的定义和判断. 9．A 【解析】 【分析】
由归纳假设，推得1n k =+的结论，结合放缩法，便可以得出结论． 【详解】
假设当(2)n k k =≥时，2k <，故当1n k =+时，
＜22
k +
21k ==<=+，
<2(1)k +，故选A ．
【点睛】
本题主要考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，意在考查学生的逻辑推理能力． 10．D 【解析】 【分析】
由条件求得22
11n n S S --=，可判断①，由①得n a ，可判断②；由n a 判断③
，可知①②③均正确，可选出结果． 【详解】
①由条件知，对任意正整数n ，有
1＝a n （2S n ﹣a n ）＝（S n ﹣S n ﹣1）（S n +S n ﹣1）22
1n n S S -=-，
又()2
111111,211,1n a S a a S =±==∴=-
所以{2
n S }是等差数列．
②由①知n S =或
显然，当1n n n n S a S S -==-≤
n S =，n a <
③仅需考虑a n ，a n+1同号的情况，不失一般性，可设a n ，a n+1均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），
由②故有n S ，1n S +=
此时n a =1n a +，
从而1n n a a +＜=＜
1．
故选：D ． 【点睛】
本题考查数列递推式，不等式的证明，属于一般综合题． 11．A 【解析】 【分析】
记()()2
1
32
g x f x x x =-+
，由()()26f x x f x =--可得()()g x g x =--，所以()g x 为奇函数，又当
(),0x ∈-∞时，()2112f x x +'<，结合奇函数性质，可得()g x 在R 上单调递减，处理
()()22212129f m f m m m +≤-++-，得()()22g m g m +≤-，所以22m m +≥-，可得出m 的范围.
【详解】
解：因为()()2
6f x x f x =--，所以()()()()2
211
332
2f x x x f x x x ⎡⎤-+=----+
-⎢⎥⎣
⎦
记()()2
1
32
g x f x x x =-+
，则()()g x g x =-- 所以()g x 为奇函数，且()()1
''62
g x f x x =-+
又因为当(),0x ∈-∞时，()2112f x x +'<，即()1
602
f x x +'-< 所以当(),0x ∈-∞时，()'0
g x <，()g x 单调递减 又因为()g x 为奇函数，所以()g x 在R 上单调递减 若()()2
2212129f m f m m m +≤-++-
则()()()()()()2
2
112322232222
f m m m f m m m +-+++≤---+- 即()()22
g m g m +≤- 所以22m m +≥- 所以2
3
m ≥- 故选：A. 【点睛】
本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，利用导数研究函数的单调性，构造函数法解决抽象函数问题，观察结构特点巧妙构造函数是关键. 12．C 【解析】 【分析】
首先根据122n n n a a a ++=+得到数列{}n a 为等差数列，再根据770S =，37513a a a +-=即可算出1a 的值. 【详解】
因为122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. 因为17747()
7702
a a S a +=
==，所以410a =. 375555213a a a a a a +-=-==. 543d a a =-=.
因为41310a a d =+=，所以11a =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题 13．1[,1]3
【解析】
分析：根据条件得到函数的对称性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用特殊值法进行求解即可.
详解：由()()2f x f x =-，得函数关于1x =对称， 当1x >时，()'0f x <，即()f x 在()1,+∞上单调递减， 不妨设()()2
1f x x =--，
则不等式()()12f m f m +≤等价为()()2
2
1121m m -+-≤--，
即22441m m m -≤+-， 即23410m m -+≤， 得
1
13
m ≤≤， 故实数m 的取值范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
点睛：本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的对称性和单调性，利用特殊值法是解决本题的关键. 14．270. 【解析】 【分析】
计算出二项展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，再将参数的值代入二项展开式通项可得出3x 项的系数. 【详解】
()5
3x x +的展开式通项为565533k k k k k k
xC x C x --⋅⋅=⋅⋅，令63k -=，得3k =，
因此，()5
3x x +的展开式中含3x 项的系数为33
53270C ⋅=，故答案为：270.
【点睛】
本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是利用二项展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 15．
1
2
【解析】
试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142
P A ==． 考点：古典概率的计算 16．0110-⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据条件列方程组，解得结果. 【详解】
由定义得0,0a b c B A b d c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2468a b c A B b c d -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
22
45
01611088
a a
b
c b B b c c
d d ==⎧⎧⎪⎪-==-⎛⎫⎪⎪
∴∴∴=⎨⎨ ⎪+==⎝⎭⎪⎪⎪⎪==⎩⎩
故答案为：0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查矩阵运算，考查基本分析求解能力，属基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）222122631
[()()()]263
x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-；（2）4；（3）平均数4.30人，方差1.97 【解析】 【分析】
（1）根据方差的计算公式可得结果； （2）根据中位数的概念可得结果； （3）根据平均数与标准差的公式计算即可. 【详解】。