初中数学几何画图题目

初中几何热点问题探究

几何作图及操作探究问题

这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题

型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、 几何设计问题•这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知 识，以达到动手动脑的目的•解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交 流、反思等实践活动过程， 利用已有的感知与发现结论从而解决问题 •关键是要学生学会自觉地运用

数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数 学问题，

适合现有的知识水平和实践能力.

（一）几何作图题

1、尺规作图题

例 （2007南京）已知直线I 及直线I 外一点A ,分别按下列要求写出画法，并保留作图痕

迹•

⑴在图1-1中，只用尺规在直线 I 上画出两点 B C,使得点A B 、C 是一个等腰三角形的三 个顶点； ⑵在图1-2中，只用圆规在在线I 外画出一点P,使得点A 、P 所在直线与直线I 平行• 解析 ⑴画法一：

以A 点为圆心，大于 A 点到直线I 的距离为半径画弧，与直线 I 交于B C 两点，则点B C 即为所求•（如图1-3 ）

画法二：在直线I 上取一点B ,以B 为圆心，AB 的长为半径画弧，与直线I 交于点C,则点B 、 C 即为

所求•（如图1-4 ）

图1-4

评‘点 :本题利用尺规作图，作等腰三角形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能 力，更

考查了学生对原理的分析理解能力

•第⑴问作等腰三角形要注意有两种情况，而第⑵问过直

线外一点作已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法•熟悉 一种基本作图，并能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能

练习：（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板

上画一个

1

直角三角形，方法是：画线段

AB 分别以点A 、B 为圆心，以大于 一AB 长为半径画弧，两弧相交于

2

点C,连接AC;再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AC 和延长线于点 D,连接BD,则厶ABD 就

是直角三角形•

⑴请你说明其中的道理；

⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为

⑵画法: 长为半径画弧, 在直线I 上任取B 、C 两点，以A 为圆心，BC 的长为半径画弧，以 C 为圆心，AB 的 两弧交于点

P ,则点P 即为所求•（如图

1-5 )

图1-1 图1-2

图1-3

图1-5

30° （不写作法，保留作图痕迹）

解析

在正方形网格中找到适当的格点，禾U 用网格中有些线段的端点在格点上，可以计

算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等 •如图3-2在正方形网格中

找到P , P 2, P 3这三个点，作射线 OP,射线OP 即为所求•

评‘点 :本题利用格点作图，作一个角的角平分线，方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线 原理的

分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力

•正确利用格点作图要充分运用好网格中隐

含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网格中计算

例2如图，在一个“ 10X 10”的正方形 DEFG 网格中有一个△ ABC

⑴在网格中画出厶 ABC 向下平移三个单位得到的△ A i BiC i ;

⑵在网格中画出厶ABC 绕C 点逆时针方向旋转 900得到的△ A 2B 2C ;

⑶若以EF 所在的直线为x 轴,ED 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，写出A i ,A 2两点的坐标•

解析 ⑴图形平移时，图形上的每个点都平移相同的距离 ，如图4-2中所示△ A i BC;⑵图形

旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△ AB 2C ；⑶平面直角坐标系如图 4-2 所示,易

知:A i (8,2),A 2(4,9).

评点：

平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变

2、格点作图

例1如图2-1，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,

出/ AOB 勺平分线.

/ AOB 1在方格纸上，请作

D

化•因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平 移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方 法是平移和旋转作图是最常用的方法.

练习 1. （ 2007宁波）面积为1个平方单位的正三角形

，称为单位正三角形.下面图中的每

一个小三角形都是单位正三角形•三角形的顶点称为格点•在图 5-1，图5-2，图5-3中分别画出

一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为1 2个平方单

位.

2.在如图6所示的平面直角坐标系中，已知△ ABC . （1）将厶ABC 向x 轴负半轴方向平移 4个 单位得到厶A I B I C I ，画出图形并写出点 A i 的坐标；

⑵以原点O 为旋转中心，将△ ABC 顺时针旋转90°得到△ A 2B 2C 2,画出图形并写出点 A 2的坐标； ⑶ △ A 2B 2C 2可以看作是由△

先向右平移4个单位，然后以原点O 为旋转中心，顺时针旋转

90°得到的.除此之外，△ A 2B 2C 2还可以由厶A i B i C i 怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形 变换的步骤.

（二）操作探究题

例i （2006连云港）（i ）图7-i 是一块直角三角

形纸片.将该纸片按如方法折叠，使点

A

与点C 重合，DE 为折痕.试证明厶CBE 是等腰三角形；

（2） 再将图7-1中的△ CBE 沿对称轴EF 折叠（如7-2图）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重

合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个 矩形为“组合矩形”。你能将图7-3中的△ ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成， 请在图7-3中

画出折痕；

（3）

请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形 ，

同时满足下列条件：①折成的组合矩形为 正方形；②顶点都在格点上；

（4）有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形

别在原四边形的四条边上 ）.请你进一步探究：一个非特殊的四边形 边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形?

（其中的内接矩形的四个顶点分

（指除平行四边形、梯形外的

图7-1

C F B 图7-2

A

f 、

7

、

r

X

C

图7-3

图7-4

A

■