初中数学几何画图题目

初中几何热点问题探究
几何作图及操作探究问题
这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题
型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、 几何设计问题•这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知 识，以达到动手动脑的目的•解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交 流、反思等实践活动过程， 利用已有的感知与发现结论从而解决问题 •关键是要学生学会自觉地运用
数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数 学问题，
适合现有的知识水平和实践能力.
（一）几何作图题
1、尺规作图题
例 （2007南京）已知直线I 及直线I 外一点A ,分别按下列要求写出画法，并保留作图痕
迹•
⑴在图1-1中，只用尺规在直线 I 上画出两点 B C,使得点A B 、C 是一个等腰三角形的三 个顶点； ⑵在图1-2中，只用圆规在在线I 外画出一点P,使得点A 、P 所在直线与直线I 平行• 解析 ⑴画法一：
以A 点为圆心，大于 A 点到直线I 的距离为半径画弧，与直线 I 交于B C 两点，则点B C 即为所求•（如图1-3 ）
画法二：在直线I 上取一点B ,以B 为圆心，AB 的长为半径画弧，与直线I 交于点C,则点B 、 C 即为
所求•（如图1-4 ）
图1-4
评‘点 :本题利用尺规作图，作等腰三角形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能 力，更
考查了学生对原理的分析理解能力
•第⑴问作等腰三角形要注意有两种情况，而第⑵问过直
线外一点作已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法•熟悉 一种基本作图，并能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能
练习：（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板
上画一个
1
直角三角形，方法是：画线段
AB 分别以点A 、B 为圆心，以大于 一AB 长为半径画弧，两弧相交于
2
点C,连接AC;再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AC 和延长线于点 D,连接BD,则厶ABD 就
是直角三角形•
⑴请你说明其中的道理；
⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为
⑵画法: 长为半径画弧, 在直线I 上任取B 、C 两点，以A 为圆心，BC 的长为半径画弧，以 C 为圆心，AB 的 两弧交于点
P ,则点P 即为所求•（如图
1-5 )
图1-1 图1-2
图1-3
图1-5
30° （不写作法，保留作图痕迹）
解析
在正方形网格中找到适当的格点，禾U 用网格中有些线段的端点在格点上，可以计
算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等 •如图3-2在正方形网格中
找到P , P 2, P 3这三个点，作射线 OP,射线OP 即为所求•
评‘点 :本题利用格点作图，作一个角的角平分线，方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线 原理的
分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力
•正确利用格点作图要充分运用好网格中隐
含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网格中计算
例2如图，在一个“ 10X 10”的正方形 DEFG 网格中有一个△ ABC
⑴在网格中画出厶 ABC 向下平移三个单位得到的△ A i BiC i ;
⑵在网格中画出厶ABC 绕C 点逆时针方向旋转 900得到的△ A 2B 2C ;
⑶若以EF 所在的直线为x 轴,ED 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，写出A i ,A 2两点的坐标•
解析 ⑴图形平移时，图形上的每个点都平移相同的距离 ，如图4-2中所示△ A i BC;⑵图形
旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△ AB 2C ；⑶平面直角坐标系如图 4-2 所示,易
知:A i (8,2),A 2(4,9).
评点：
平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变
2、格点作图
例1如图2-1，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,
出/ AOB 勺平分线.
/ AOB 1在方格纸上，请作
D
化•因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平 移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方 法是平移和旋转作图是最常用的方法.
练习 1. （ 2007宁波）面积为1个平方单位的正三角形
，称为单位正三角形.下面图中的每
一个小三角形都是单位正三角形•三角形的顶点称为格点•在图 5-1，图5-2，图5-3中分别画出
一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为1 2个平方单
位.
2.在如图6所示的平面直角坐标系中，已知△ ABC . （1）将厶ABC 向x 轴负半轴方向平移 4个 单位得到厶A I B I C I ，画出图形并写出点 A i 的坐标；
⑵以原点O 为旋转中心，将△ ABC 顺时针旋转90°得到△ A 2B 2C 2,画出图形并写出点 A 2的坐标； ⑶ △ A 2B 2C 2可以看作是由△
先向右平移4个单位，然后以原点O 为旋转中心，顺时针旋转
90°得到的.除此之外，△ A 2B 2C 2还可以由厶A i B i C i 怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形 变换的步骤.
（二）操作探究题
例i （2006连云港）（i ）图7-i 是一块直角三角
形纸片.将该纸片按如方法折叠，使点
A
与点C 重合，DE 为折痕.试证明厶CBE 是等腰三角形；
（2） 再将图7-1中的△ CBE 沿对称轴EF 折叠（如7-2图）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重
合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个 矩形为“组合矩形”。

你能将图7-3中的△ ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成， 请在图7-3中
画出折痕；
（3）
请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形 ，
同时满足下列条件：①折成的组合矩形为 正方形；②顶点都在格点上；
（4）有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形
别在原四边形的四条边上 ）.请你进一步探究：一个非特殊的四边形 边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形?
（其中的内接矩形的四个顶点分
（指除平行四边形、梯形外的
图7-1
C F B 图7-2
A
f 、
7
、
r
X
C
图7-3
图7-4
A
■
解析 ⑴ 由对称性可知/ A=Z ACE,所以/ ECB H B,所以△ CEB 为等腰三角形；（2）任意三 角形都能折成“组合矩形”，其具体做法可以参照图 7-3的折法，将其分成两个直角三角形，有三 种不同的折法；（3）首先要体现出一条边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者 要满足正
方形的顶点都在格点上； （4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组
合矩形”.
评‘点：此题阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题学生 在可能
的情况下可以动手操作，但更多的是要对操作认真的观察和分析，找出问题的实质所在，同 时要借助给出的操作示例运用类比的思想，启示 （2）问的解题思路，而第（3）、⑷问学生可以先画
图分析再得出结论.
练习 1.图8-1是一个等腰三角形，把它分成两个全等的三角形，图8-2是个任意三角形，把 它分割成四个全等的三角形 ，图8-3是个直角三角形，/ C=9C°, AC=1,BC=2,把这个三角形分成五个全 等的三角形.
例2 （2007福建宁德）已知：矩形纸片 ABCD 中，AB=26cm ，BC=18.5cm ，点E 在AD 上，且AE=6cm ， 点P 是AB 边上一动点.
按如下操作： 步骤一：折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕 MN 如图）; 步骤二：边P 作PT 丄AB,交MN 所在的直线于点 Q,连接QE 如图）.
（1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有
PQ QE （填号 ）；
（2） 如图所示，将纸片ABCD 放在平面直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作 ： ① 当点P 在A 点时,PT 与MN 交于点QQ 点的坐标是（一_） ________ ； ② 当PA=6cm 时,PT 与MN 交于点 Q,Q 2点的坐标是（,） _______ ；
③ 当PA=12cm 时,在图中画出MN,PT 不要求写画法）,并求出MN 与PT 的交点Q 点的坐标； （3） 点P 在运动过程中,PT 与MN 形成一系列的交点 Q,Q 2,Q 3,…….观察、猜想：众多的交点形 成的
图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.
=6^5 ••• PF=- PE=3 J5 . v/Q 3PE+Z EPA=90, / AEP+/ ， 2
EPA=90,「./Q 3PE=/ AEP. •△Q S PF S ^ PEA,
•Q 3(12,15).方法二 过点 E 作 EGL Q 3P 于 G,则四边
形 APGE 是矩形.• GP=6,EG=12 设Q 3G= x ,
图9-2
18 J h
y
D
C
12
---------------- 1
6
Q 1 ^]°
2
O ( A )6 12
18 24
B
图 9-3
18 12
Q 3
图9-4
①（0,3）:②（6,6）;③画图，如图所示.方法
设MN 与EP 交于点
F,在 Rt △ APE 中，•/ PE= AE 2 AP 2
Q 3 P PF PE EA
C'
则Q 3E =Q
3P=X +6.在 Rt 3EG 中,•/ EQ 2=E G+Q&
二（X +6） 2=122+X ： /• x=9, /.Q 3
（12,15） .（3）
1
这些点形成的图象是一段抛物线.
函数关系式是： y — X 2+3 （0
< X < 26）.
12
评点：此题作为一道动手题目要能看懂题意并能按要求规范操作，只有明确了 所得Q 点 的真正特点，才能正确求出点Q 的坐标，另外第 （3）问判断Q,Q 2,Q 3,……形成的图象则考察了学生
的发散思维以及观察推断能力.
练习 （2007桂林）已知：如图，△ ABC 关于y 轴对称，点B P 关于y 轴的对称点分别是点 C 、 Q. BP=AP=2,P 点的坐标为（-1,0）.
⑴分别写出Q 点和C 点的坐标，并指出与厶ABP 关于y 轴对称的三角形；
（2）M 为线段CQ 上的点，若以X 轴为旋转轴，旋转△ PAM —周形成的旋转体的全面积为 5._3二, 求线段AM 的长；
⑶N 为线段AM 上一动点（与点A M 不重合）,过点N 分别作NHL X 轴于H,NG 丄y 轴于G.求当 矩形
OHNG 勺面积最大时 N 点的坐标.
几何应用问题
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，
几何应用问题的命题内容和形式趋向多样化，但其主要内容仍以全等的应用、相似的应用、解 直角三角考查有关几 何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力•解决这类问题时，应形 的应用为主•题目材料新颖，有很强的实用价值•此类问题的表现形式是：由几何图形的性质通过 计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地结合实际 问题的背景，抽象出几何模型，禾U 用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、 反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想.
一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）几何综合 应用问题.
（一）三角形在实际问题中的应用
例一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成 一个面积最大
的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图
11-1，图11-2所示，请你用学过
的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。

（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。

解析 由AB=1.5米，S MBC =1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为x 米，T DE//AB ,
Rt △ CD 0Rt △ CBA ，•/ CD 二匹，即 口 X
，解得 X =~。

如图 11-3，过点 B 作 Rt △ ABC 斜边
CB AB 2 1.5 7
AC 的高 BH 交 DE 于 P,并 AC 于 Ho
由 AB= 1.5 米，BC = 2 米，S A ABC =1.5 平方米，C = 2.5
米，
BH
图 11-2 图 11-3
图 11-1
=1.2米。

设乙加工的桌面边长为 y 米，•••DE//AC,Rt △ BDE^ Rt △ BAG ： 竺
即
1.2
一『-y
,
BH AC 1.2
2.5
解得y^30。

因为
6
30
，即x y , x 2 .y 2，所以甲同学的加工方法符合要求。

37
7 37
点评：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。

解决这类问题主要是灵活运
用好相似找出线段间的相等关系，正确列方程求解，在计算过程中要注意计算的准确性各技巧性. 此
题可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大.
练习 如图；某人在公路上由 A 到B 向东行走，在 A 处测得公路旁的建筑物 C 在北偏东60° 方向。

到达B 处后，又测得建筑物 C 在北偏东45°方向。

继续前进，若此人在行走过程中离建筑物 C 的最近距离是（25 .. 3 +25）米，求AB 之间的距离。

（二）有关方案设计问题应用
例1 （2007福建龙岩）拼图与设计：
（1）
如图13-1,四边形ABCD 是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形为了节省材料
，
他准备在剩余的六块砖中（如图13-2所示）挑选若干块进行铺设，请你在图13-3所示的网格纸上帮 他设计3种不同的示意图.
（2）
师傅想用（1）中的④号砖四块铺设一个
中心对称图形
，请你把设计的图形画在图 13-4所示
的10X 10的方格中.（要求以O 点为对称中心）
解析 （1）首先要确定六块砖的图形特点 ，然后根据地板的图形特点进行铺设.
也可以逆向操
D
/ \
A
\
B
图 13-1
7
D
D
\
D
/
/ \
/
13-3
O
1 劄-
3-4
A
A
作，将地板图形进行适当的分割，正确作图如图所示.
（2）根据中心对称的特征,绕中心0作适当的旋转.此题答案不唯一.
点评：图形的拼剪问题，目的是通过对图形剪拼的操作 ，考察学生的动手
实践能力、 画能力以 及计算能力，培养学生思维的慎密性•解这类问题的要领是：针对给出的实际问题，结合数学中的 分类讨论思想，画出符合要求的图形.
例2在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为 AB,顶点C 在半圆上,
其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于△ ABC 的矩形水池 DEFN ，其中，DE 在AB 上，如图 的设计方
案是使 AC = 8, BC = 6 •
（ 1）求厶 ABC 中AB 边上的高 h
（2）设DN= x ，当x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？
（3）实际施工时，发现在 AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大 矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建 的最大矩形水池能避开大树.（1999，云南）
值最大. （3）当SDEFN 最大时x=2.4，此时F 为BC 中点. 在Rt △ FEB 中，EF = 2.4 , BF = 3,
BE=' BF 2 - EF 2 = :.3? ~2.4 =1.8，又BM-1.85 > BE ,故大树必位于欲修建的水池边上，应重新
设计方案，又•••当 x = 2.4时，DE = 5,••• AD= 3.2，由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案 是如图（2）,此时，AC= 6, AD= 1.8 , BD= 8.2，此方案满足条件且能避开大树.
点评： 解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其是否最优，因此有关
面（体）积公式要非常熟练，同时要熟悉解直角三角形的有关知识和技巧，并会将有关图形转化为 直角三角形再计算有关线段或面积；有时还要利用轴对称及其性质解题.
练习 1.如图（1）所示是某立式家俱（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高 2米，房间高
2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计） ，按此方案，可使该家俱通过图（ 2）
中的长廊搬入房间，在图（2）中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家俱搬入房间的 理由.（注：
搬运过程中不准拆卸家俱，不准损坏墙壁）
.（2002，济南市）
1
长廊皆
房间
; 3 ・
X D
?) G E ' B 解析 1 (1)由 S=—AB 1 h=—AB ・BC 得 h=
2 2
CAB •- h-DN NF ... NF =10(4.8—x)
h AB
4.8
—C —— == 4.8 ; (2) •/ NF// CNF AB 10 25 2 S DEF 萨 X 10X ••当 x = 2.4 时，SDEFN 的
12
2.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。

（三）综合类几何应用
例如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=3（o，点A处有一所中学，AP=160米。

假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时, 学校
是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校
受影响的时间为多少秒？
解析：过点A作AB丄MN垂足为B,在Rt△ ABP中：/ APB=Z QPN=30 , AP=160米
1
则AB=—AP=80米，所以学校会受到噪声影响。

2
以A为圆心，100米为半径作。

A,交MN于C D两点，在Rt△ ABC中：AC=100米，AB=80米，贝U：BC=.、AC2- AB2h；；1002- 802=60 （米），CD=2BC=12（0 米）；•/ 18 千米/ 小时=5 米/ 秒.
受影响时间为：120米十5米/秒=24 （秒）
点评：解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握•本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题，要判断是否受到噪声的影响，只需求出A 点到直线MN的距离AB,当此AB< 100米时就要受到噪声影响；第二个问题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间.
练习如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以
40里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 - 10里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮
船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB = 100里
（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到
来之前到达D港，问船速至少要提高多少（提高的船速取整数，13 - 3.6 ）?
三动态几何探究问题
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的
“变”与
"不变”性；就其运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚 动等•动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变， 动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，全面考查学生的综合分析和解决 问题的能力，是近几年中考命题的热点，常常在中考中起到甄选的作用.
解决动态几何问题需要树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握 图形运动与变化的全过程. 一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，
由“动”变“静”;
另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量 和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件•在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型 或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解.
(一)单动点问题
例(2007连云港)如图19-1,在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶 点A,C 在
坐标轴上，OA=60cm,OC=80cm 动点P 从点O 出发,以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点 C 运动, 到达C 点即停
止.设点 P 运动的时间为ts.
(1) 过P 作对角线OB 的垂线,垂足为点T .求PT 的长y 与时间t 之间的函数关系式，并写出自 变量t 的
取值范围；
(2) 在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O 恰好落在对角线 OB 上时，求此时直线 AP 的
函数解析式；
三点为顶点的△ APT 的面积能否达到矩形 OABC 勺面积的丄？请说明理由. 为 0W t < 16.
⑵ 当点O 关于直线AP 的对称点O 恰好在对角线 OB 上时,A,T,P 三点应在一条直线上(如图
OP AO
19-2). • AP I OB,Z 仁/2二 Rt △ AO 陽 Rt △ OCB /.
, • OP=45,「.点 P 的坐标为(45,0).设
CB CO
直线AP 的函数关系式为 y=kx+b .将A(0,60) , P(45,0)两点代入解析式要求直线
AP 的解析式为
4 y= x 60.
3
45
(3) 由⑵ 知，当t= =9时,A,T,P 三点在一条直线上，此时，点A,T,P 构不成三角形.故分两
5
种情况：图19-3,当0 v t V 9时，T 点位于△ AOP 的内部，此时△ APT 和面积达不到矩形 OABC 面积的
1
图19-4,当9 V t < 16时，点T 位于△ AOP 的外部，此时△ APT 和面积也达不到矩形 OABC 面积的
(3)探索：以A,P,T
PT BC
解析 OP
,即 (1)在矩形 OABC 中，T OA=60,OC=80, ••• OB=AC=100 又
Rt △ OPT ^ Rt △ OBC,「.
5t 一一 80 …
,.
,y=PT=3t .当P 运动到C 点时,t 达到最大值为 一=16,故t 的取值范围
OB 60
100
5
PT
x
4
1
4
点评：第⑴问的关键是能利用相似知识得到对应线段成比例；第⑵ 问需要明白点O关于直线AP的对称点O恰好落在对角线OB上的实质是告诉AP与OB垂直的关系；第(3)问探索以A,P,T
三点为顶点的△ APT 的面积是否能到矩形 OABC 面积的1,则要分两种情况进行讨论分析.
4
练习 (湖北天门)如图所示，在平面直角坐标系内，点
A 和点C 的坐标分别为(4, 8)、(0,
5),过点A 作AB 丄x 轴于点B ,过OB 上的动点 D 作直线y = kx + b 平行于AC ,与AB 相交于点E , 连结CD ，过
点E 作EF // CD 交AC 于点F 。

(1) 求经过A 、C 两点的直线的解析式；
(2) 当点D 在OB 上移动时，能否使四边形 CDEF 成为矩形？若能，求出此时 k 、b 的值；若不
能，请说明理由；
(3) 如果将直线 AC 作上下平移，交 y 轴于C '交AB 于A '连结DC '过点E 作EF '/ DC ' 交A'C'于F '那么能否使四边形 C'DEF '为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明 理由。

图20
(二)双点运动问题
例 (2007 温州)如图 21-1,在厶 ABC 中，/ C=9C °,AC=4cm,BC=5cm 点 D 在 BC 上,且 CD=3cm 现
有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以
1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 运动.过P 作PE// BC 交AD 于E,连接EQ 设动点运动的时间为 xs . (1)用含x 的代数式表示 AE DE 的长度.
(2) 当点Q 在BD(不包括点B 、D)上移动时，设△ EDQ 的面积为 系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(3) 当x 为何值时，△ EDQ 为直角三角形？
2
y(cm )，求y 与时间x 的函数关
解析
AE=
5
x ,DE=5-
4 CP=5x 2
_7X
8 2 (1)在 Rt △ ADC
5
x .(2) •/ BC=5,CD=3, • BD=2.当点 4 DC, • △ AEP s △ ADC, •
5 1
Q 在BD 上运动x 秒后，DQ=2- x ,则y= DQ< 4 ••• AD=5.又 E P //
5 2 7 4.即y 与x 之间的函数关系式是：y= x x 4(0 v x v 1.6).(3)
8 2
分两种情况 • 2 二 _____ • 4 3 ，
②如图 21-3,当 / QED=90 •/ / CDA=Z EDQ, / EDQ=Z C=90： △ EDQ^ △ CDA,即 5X -2
二 ----- ,• x=3.1 .综上所述，当x 为2.5s 或3.1s 时，△ EDQ 为直角三角形. 5
本题第(2)问求面积时注意以 DQ 为底，高则可以用CP 来代表，这样处理比较简单，而 讨论：①如图 21-2,当/EQD=90 时,EQ=PC=4-x,又 EQ// AC,「.A EDQ^ ADC,,即红仝
x=2.5 . 5 -5x 4 3
点评:
图 21-1
C
中，
AC=4,CD=3, P
C
第⑶问的解答关键在于要分两种情况来分析 •
练习
如图，在直角坐标系中， 0是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为 A （ 18, 0）, B
（18，6），C （ 8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中 点P 沿
0A 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一 点到达自己的终点
时，另一点也停止运动。

⑴ 求出直线0C 的解析式及经过 0、A 、C 三点的抛物线的解析式。

⑵ 试在⑴中的抛物线上找一点 D ，使得以0、A 、D 为顶点的三角形与△ A0C 全等，请直接
写出点D 的坐标。

设从出发起，运动了 t 秒。

如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点 Q 的坐标，并写出 此时t 的取
值范围。

⑷ 设从出发起，运动了 t 秒。

当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形 这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出 说明理由。

8>
0ABC 的周长的一半, t 的值；如不可能，请
A (IS. 0) x
图22
（三）图形运动问题
例（2007怀化）两个直角边为6的全等的等腰直角形（Rt△ A0B和Rt△ CED按如图23-1的位置放置,A与C重合,0与E重合.（1）求图中的A,B,D的坐标；
（2）Rt △ A0B固定不动，Rt △ CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B 点重合时停止•设运动x秒后Rt △ CED和Rt △ AOB重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式；
（3）当Rt△ CDE以⑵中的速度和方向运动，运动时间为4秒时，Rt △ CDE运动到如图23-2 的位置，求经过A,G,C三点的抛物线的解析式；
（4）现有一半径为2,圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆,试问O P在运动过程中是否存在O x轴或y ？
所示
解析(1)A(0,6) , B(6,0) , D(-6,0) . (2)当0< x< 3 时,位置如图23-3 所示,作GH丄DB 于H,可
知:0E=2x,EH=x,0D=6-2x,DH=6-x, /• y=2S 梯形I0HG=2(S△ GH^S Q0D)=-3X +12X.当3< x < 6 时,位置如图23-2 所示，可知:DB=12-2x. /• y=S △ DG=X-12x+36.(3) 在图中作GH丄0E 于H,当x=4
时,0E=2x=8,DB=12-2x=4,可知:A(0,6) , G(4,2) , C(8,6) ,•••过A,G,C 三点的抛物线的解析式
1 2
为：y= — x -2x 6.(4)若O P在运动过程中存在与坐标轴相切的情况，设P点的坐标为(x o,y。

)，当4
O P 与y 轴相切时，有I X。

I =2,x o=± 2, • P(-2,11),P 2(2,3).当O P 与x 轴相切时有I y。

I =2. • P3(4,2).综上所述,符合条件的圆心P有三个，其坐标分别是：P 1(-2,11),P 2(2,3) ,P 3(4,2).
P点的坐标；若不存在请说明理由.
点评：本例在解题时，应搞清楚图形的变化过程，探索动点运动的特点和规律
，作出几个符合条
件的草图，并抓住图形在变化过程中不变的量是关键 ，然后根据重叠部分的面积的不同的形状来确
定它的面积的求法•
练习 1.如图2-5-40，在Rt △ PMN 中，/ P=900, PM=PN MN=8c m ，矩形 ABCD 的长和宽分别为
8 c 血和2叫 C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上.令 Rt △ PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线 向右以每秒1 cm 的速度移动（图 2-4-41 ），直到C 点与N 点重合为止.设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与厶PMN 重叠部分的面积为 y cm 2 .求y 与x 之间的函数关系式.
强化练习题
1、如图，一根绳子OP 的O 端拴在柱子上，P 端拴着一头小牛， 草地的边缘是墙 AO 、OB 、BC , 已知
OP = 9m , OB = 3m , AO // BC ,Z OBC = 120°,小牛只能在草地上活动，其活动区域的最大 面积为（ ）
2 2 2 2
A 、 27 n m
B 、 30 n m
C 、 33 n m
D 、 66 n m
2、如图，把长为10 cm ，宽为4 cm 的矩形纸片对折，按图中虚线所示剪出一个梯形，则打开后 的梯形的中位线长 _______ c m ，它的腰长 ______ cm ，面积是 _______ cm .
形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （
）
（A ）①②⑤
（B ）②③⑤ （C ）①④⑤
（D ）①②③
ABCD ，其中AD = 4cm ，上面有一个以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相
DE 折叠，使A 点落在BC
上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影3、（郑州）用两个全等的直角三角形拼下列图形: 1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方
4、且张矩形纸片 切，如图甲，将它沿 部分）的面积是（
图 2-4-40
图 2-4-41
P
A f G/D \H
B M 2F x
C T N
图 2-4-43
P
B M 2F x T
C N
图 2-4-44
E。