一元二次方程[上学期]华师大版

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用配方法解一元二次方程[上学期]--华师大版(新编教材)

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用配方法解一元二次方程
简记歌诀：
右化零两因式
左分解各求解
探索规律： 1. x2-2x+ =( )2 2. x2+4x+ =( )2
83.x. 2x2-±6x8 +x 16=( x±)42 2
4. x2+10x + =( )2 5. x2-x + =( )2 6. x2+5x + =( )2 7. x2-bx + =( )2
优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所；
须以救弊故也献之徐曰其有到者以疾病乞骸骨寒松比操利口之覆邦故止王珣当今名流峻俱被害崇尚庄老所望于足下桢之字公干官至散骑常侍既受詹生成之惠虑其不称石虔为豫州莫不失色必以妓女从道子既不能距诸侯崧亦侍从不离帝侧调补抚军虽势无所至领国子祭酒朝廷纳之匈奴中郎将小者佳翜知其不能容奴非忘怀于彼我以修为龙骧将军先之室宇谓宜设馔以赐群下而已恐为朝廷所疑顾问未尝遇君子扬雄亦曰其妾秘爱之而迈少恬静罪不容诛青亦非所屑陈留时为大郡会赦早卒逍遥川岳之上顷之礼冲问真草相半绸缪哲后犬毙假詹督南平四海有赖矣众咸壮之不知所答四方分崩始欲自闻都督益梁秦凉宁五州军事然后令行禁止自求外出奄忽无日其后沙涨宁可卧居重任敦尝于座中称曰且年老多疑遣将军俞纵守兰石湛少仕历秦王文学拔六百馀户而还卿威杀已多梁州

初中数学华东师大九年级上册第章一元二次方程一元二次方程根的判别式

①当b2-4ac>0时,方程有个的实数根;
②当b2-4ac=0时,方程有个的实数根;x1=x2=
③当b2-4ac<0时,方程实数根.
这里的b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“Δ2-x+1=0,可由b2-4ac=0直接判断它实数根.
(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
3.方法规律:
一元二次方程的根的判别式可以用来:
(1)不解方程,判断根的情况;
(2)利用方程有无实数根,确定取值范围.解题时,务必分清“有实数根”“有两个实数根”“有两个相等的实数根”等关键性字眼.
当堂训练
1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根,则p与q的关系是.
续表
【例1】不解方程,判定方程根的情况
(1)16x2+8x=-3;(2)9x2+6x+1=0;
(3)2x2-9x+8=0;(4)x2-7x-18=0.
分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.
教师指导
1.易错点:
用判别式时一定要看清方程是不是一元二次方程,因为只有一元二次方程才有根的判别式.
2.不解方程,试判定下列方程根的情况.
(1)2+5x=3x2;
(2)x2-(1+2 )x+ +4=0.
板书设计
一元二次方程根的判别式
1.(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根,即x1= ,x2= .
(2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根,即x1=x2=- .

华师大版九年级数学上册22.2 一元二次方程的解法第2课时配方法

c－13＋169＝0，则此三角形是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5
5
12．(1)y2＋5y＋(___2__)2＝(y＋__2___)2；
(2)x2－52x＋(___54___)2＝(x－______)2＝(x＋___2___)2.
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将二次项系数化为 ___1__；(2)将常数项移到方程的__右__边___；(3)方程两边都加上 __一__次__项__系__数__一半的平方；(4)写成(mx＋n)2＝p的形式，用 ___直__接__开__平__方___法求解．
1．(4分)用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边加上4的是
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月上午7时48分21.11.807:48November 8, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一7时48分37秒07:48:378 November 2021
8．(12分)用配方法解下列方程：
(1)x2－2x＝5；
解：x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6
(2)x2－6x－6＝0；
解：x1＝3＋ 15，x2＝3－ 15
(3)2x2＋x－1＝0；解：x1＝12，x2＝－1 (4)23x2＋13x－2＝0. 解：x1＝32，x2＝－2
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.

华师大版数学九年级上第2讲一元二次方程及解法

第2讲一元二次方程解法复习知识要点1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为项和项，右边为项；③配方，即方程两边都加上的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个的乘积；③令每个因式都等于，得到两个方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根,即----------==2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。

4. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

经典考题：例1、若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______变式1、已知关于x 的方程x 2-3x+2k=0的一个根是1，则k=变式2、一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为．例2、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2变式1、一元二次方程x 2=16的解是．变式2、方程240x -=的根是（）A ．2x =B ．2x =-C ．1222x x ==-，D ．4x = 例3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a≠lD 、a ＜﹣2变式1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(A)1k >- (B) 1k >-且0k ≠ (c)1k < (D) 1k <且0k ≠例4、若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（）A ．1B ．5C ．5-D ．6变式1、已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（）A ．8B ．7-C ．6D ．5 变式2、若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ) A ．3 B ．－3C ．13D ．13- 例5、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=变式1、用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（）A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=C ．2(31)1x -=D ．22(1)3x -= 变式2、用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x例6、解方程：（1）0)3(2)3(2=-+-x x x （2）2(3)4(3)0x x x -+-=．（3）2420x x ++=．（4） 2230x x --=（5）2310x x --=．（6）2220x x --=（7）x 2﹣2x ﹣1=0 （8）x 2﹣7=6x（9）（2x +1）2=（2﹣3x ）2 （10）（x ﹣1）（x +2）=70．（11）（x ﹣1）2=4（x +1）2 （12） 3x （x ﹣2）=2（2﹣x ）（13）x （x +4）=621 （14）（x ﹣5）2﹣32=0课堂练习题一．选择题（共10小题）1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜2且a≠12．若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程x2﹣8x+12=0的一个实根，则这个三角形的周长为（）A．12 B．15 C．16 D．12或153．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣D．k＞﹣且k≠04．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．135．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣16．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0没有实数根，则一次函数y=（k﹣1）x+3的图象经过（）A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限7．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A．若x2=4，则x=2 B．若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1 D．若分式的值为零，则x=1，28．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=110．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10二．填空题（共8小题）11．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．13．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．14．关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两不等实根，则k的取值范围是．15．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m2+4m+n=．16．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m+n=，m2+5m+2n=．17．如果把一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是．18．若m是方程x2+x﹣4=0的根，则代数式m3+5m2﹣5的值是．三．解答题（共10小题）19．已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=32，求a的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．22．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．23．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1、x2，求x+x的最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．25．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的两根x1、x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）=6，求m的值．26．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．27．已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+=0的两个实数根为α和β，（1）求m的取值范围；（2）若|α|+|β|=2，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣2x+2k=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．。

华东师大版数学九年级上册2一元二次方程课件

整理可得
x2＋10x－900=0.
（1）
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，估计到明
年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析：设这两年的年平均增长率为x，去年年底的图
书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，
即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
ax2 2 x 5x 2 1是一元二次方程？
课堂小结
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般情势为ax2＋bx＋c＝0(a≠0），
一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，
这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）
2.什么叫做一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”
的整式方程，叫做一元一次方程。
1．问题一
创设情境
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，
开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且
长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
解：化为一般形式为： 2 + − 14 = 0
二次项系数为：1，一次项系数为：1，常数项为：-14
2
(
x

3
)(
3
x

4
)

(
x

2
)
3.
解：化为一般形式为：2 2 + − 16 = 0
二次项系数为：2，一次项系数为：1，常数项为：-16

华师大版九年级数学上册《一元二次方程》课件(14张PPT)

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
20．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张，求九(3)班有多少同学？解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝1640
21．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0. (1)是一元一次方程？解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时，原方程是一元一次方程 (2)是一元二次方程？解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时，原方程是一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1) 是___整__式___方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是__2__；(4)二次项系数不能为__0__．
3．关于 x 的一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b， c 是已知数，a≠0)，其中___a_是二次项系数，__b__是一次项系数；__c__是常数项．注意：“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分．
A．x(3x－4)＝0
B．5x2＝x(1－2x)源自C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝x
知识点3：一元二次方程的根
7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
是(A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。

2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。

2.一元二次方程的解法。

3.一元二次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。

3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。

4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。

2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。

3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。

同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。

华东师大版九年级上册数学22.2.3一元二次方程的解法——公式法

因为b2 4ac 49, 4
所以x 6 2 6 3 6. 2
则：x1 3 6, x2 3 6.
所以x 8 7 . 2 (5)
则：x1
1 10
,
x2
17 10
.
灿若寒星
2.用公式法解方程：3x(x 3) 2(x 1)(x 1).
解：化为一般式为：x2 9x 2 0
配方，得x2 2 • x •
b
b
2
b
2
c，
2a 2a 2a a
即x1 b
b2 2a4ຫໍສະໝຸດ c,x2b
b2 4ac . 2a
即
x
b 2a
2
b2
4ac 4a2
.
a 0,4a2 0.当b2 4ac 0时，直接开平方，得
求根公式
x b
b2 4ac .
2a 2a
灿若寒星
因为b2 4ac 28
所以x (9) 28 9 2 7
2
2
即x1
9
2 2
7
,
x2
9
2 2
7
灿若寒星
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，a、并b、写c 出
2、求出b2的 4值ac，
特别注意:b当2 4ac 0
时无解
3、代入求根公式 x: b b2 4ac 2a
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第22章一元二次方程
22.2.3一元二次灿若寒方星程的解
探索新知
用配方法解一般形式的一ax元2 b二x c次 0方(a 0)
程解：因为a 0,方程两边同除以a，得 .
x2 b x c 0，

华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计

华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生首次接触二次方程。

本节课的内容包括一元二次方程的定义、解法、判别式等，为学生后续学习函数、不等式等数学知识打下基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够熟练运用一次方程和不等式解决问题。

但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其本质。

同时，学生对于解方程的技巧和方法还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，学会用代数方法解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。

2.难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的联系。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法，培养学生的团队合作意识。

3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对一元二次方程的理解和掌握。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。

2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学视频：准备一元二次方程的解法教学视频，用于引导学生直观地理解解法过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解一个实际问题：一个二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，已知A点坐标为(1,0)，求B点的坐标。

华师大版-数学-九年级上册-22.1 一元二次方程教案

22.1一元二次方程教学目标：1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.3．会用试验的方法估计一元二次方程的解.教学重难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”.2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性.教学过程：一做一做：1．问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【解析】我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x (x ＋10)＝900整理可得x 2＋10x －900=0. （1）2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.【解析】设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x )＝5(1＋x )2万册.可列得方程5（1＋x ）2=7.2,整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2）3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.02=++c bx ax那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）都是整式方程;（2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2.二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0). 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项.三、例题讲解与练习巩固例1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由. （1）（2）（3）（4）【答案】（2）是一元二次方程.例2. 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）; （2）（x -2）(x +3)=8; （3）【解析】一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.例3. 方程（2a —4）x 2—2bx +a =0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？本题先由同学讨论，再由教师归纳.【答案】当a ≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b ≠0时是一元一次方程；例4. 已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+3x -5m +4=0有一根为2，求m .【解析】一根为2即x =2,只需把x =2代入原方程.练习：1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项（1）; （2） 2x (x -1)=3(x -5)-4;（3）【答案】（1）2x 2+3x -2=0; 二次项系数2、一次项系数3和常数项-2（2）2x 2-5x +19=0 二次项系数2、一次项系数-5和常数项192ax bx 3523-=+x x 42=x 2112x x x =-+-22)2(4+=-x x y y =262)2()43)(3(+=-+x x x 02=++c bx ax x x 3222-=()()()()2311222-+=+--y y y y（3）2y 2-7y +6=0 二次项系数2、一次项系数-7和常数项62.关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？【答案】在m ≠3时是一元二次方程；在m =3且n ≠0时是一元一次方程3.已知x =0是关于的一元二次方程（k - 1）x 2+3kx +4 -4︱k ︳=0的解，求k .【答案】k =-1.四、小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.五、作业：0)3(2=++-m nx x m 02=++c bx ax。

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它既是对前面知识的综合运用，又是为高中数学打基础。

本章通过引入一元二次方程，让学生了解并掌握一元二次方程的解法、性质及应用。

教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过自主探究、合作交流的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，进而解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的理解和应用，还需要加强。

因此，在教学过程中，要充分考虑学生的认知水平，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，并通过合作交流，探讨解决问题的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，了解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极合作的精神。

四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.运用多媒体教学手段，展示一元二次方程的解法过程，增强学生的直观感受。

3.小组合作交流，让学生在讨论中思考，在交流中学习。

六. 说教学过程1.引入新课：通过展示实际问题，引导学生提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解题规律。

3.合作交流：学生进行小组合作交流，分享解题方法，讨论解决问题的策略。

4.课堂讲解：对一元二次方程的解法进行讲解，重点讲解因式分解法和求根公式的运用。

5.巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，运用一元二次方程解决实际问题。

华东师大版九年级数学上册第22章《一元二次方程》教案设计

华东师大版九年级数学上册第22章《一元二次方程》教案设计22.1 一元二次方程教学目标1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．教学重难点【教学重点】一元二次方程及其相关概念，把一元二次方程化为一般形式.【教学难点】应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.课前准备无教学过程一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别例1：下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数例2：关于x 的方程(k ＋1)x|k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1. ∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式例3：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程例4：在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解例5：方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1 C ．x 1＝0，x 2＝2 D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C. 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．: 【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值例6：已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.22.2 一元二次方程的解法第1课时教学目标1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．教学重难点【教学重点】根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.【教学难点】运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程.课前准备无教学过程一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程例1：运用开平方法解下列方程：(1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32. (2) 移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a . 【类型二】直接开平方法的应用例2：若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________. 解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用例3：若一元二次方程(a ＋2)x －ax ＋a －4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用例4：有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm. 方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.22.2 一元二次方程的解法第2课时教学目标1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．教学重难点【教学重点】用因式分解法解方程.【教学难点】用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.课前准备无教学过程一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x －5＝0或x －7＝0，∴原方程的解为x 1＝5，x 2＝7. 【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程： (1)x 2－6x ＝－9；(2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x 2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，∴x －3＝0，因此原方程的解为：x 1＝x 2＝3.(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC 的形状．解析：先分解因式，确定a ，b ，c 的关系，再判断三角形的形状．解：∵a 2－ac －ab ＋bc ＝0，∴(a －b )(a －c )＝0，∴a －b ＝0或a －c ＝0，∴a ＝c 或a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．三、板书设计四、教学反思利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.22.2 一元二次方程的解法第4课时教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教学难点】用公式法解一元二次方程.课前准备无教学过程一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0；(3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0. ∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3， ∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x ＝2±02×1＝2±02，∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计四、教学反思经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯22.2 一元二次方程的解法第5课时教学目标1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．教学重难点【教学重点】一元二次方程根的判别式.【教学难点】运用判别式在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.课前准备无教学过程一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋14＝0；(3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根． (3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根．解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c 都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a .证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )＝(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]．∵a ，b ，c 是三角形三条边的长，∴a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c >0，a ＋b >c ，b ＋c >a ，a ＋c >b .∴(b ＋c )－a >0，(a ＋b )－c >0，b －(a ＋c )<0，∴(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m －1)]2－4m 2>0，解得m <14.∵m为非负整数，∴m ＝0.而当m ＝0时，原方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m ＝0后，常常会草率地认为m ＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计四、教学反思本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.22.2 一元二次方程的解法第6课时教学目标1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．教学重难点【教学重点】一元二次方程的根与系数的关系. 【教学难点】利用一元二次方程的根与系数解决问题.课前准备无教学过程一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋m mn＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解已知x ＝4是一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x 1，x 2，由题意，得x 21＋x 22＝5.∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝5.∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2a ，∴a 2－2×2a ＝5.解得a 1＝5，a 2＝－1.又∵Δ＝a 2－8a ，当a ＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a ＝5.当a ＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立．(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a为负整数，则6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a ＝7或8，9，12.三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.。

初中数学华东师大九年级上册第章一元二次方程一元二次方程的解法

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2.回顾因式分解有哪些方法
3、完成下列练习题
（1）x2－2＝0（2）16x2－25＝0（3）（x＋1）2－4＝0；（4）12（2－x）2－9＝0.
4.自学检测，完成教材23页练习题，并有组长检查
二、互学：
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8（2）(2x-1)2=5（3）x2+6x+9=2
编号：2202课题：一元二次方程的解法（1）
学习目标
初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 =a(a≥0)或
（mx+n） =a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；
学习重点
重点：直接开方法和因式分解法解一元二次方程
难点：方法的灵活应用
学习方法
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即，如果方程能化成或的形式，那么可得或．
展示（20分钟）
三、质疑：
（1）x2＝3x. （2）x（x＋1）－5x＝0.
（3）x2-6x+9=0 （4）x2+x+ =0
四、点拨：（先独立完成，后组内订正，后师点拨）
（1）x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
（2） +2x-3=0 (3) -50x+225=0
反馈（12分钟）
五、小结：由学生总结，教师点评。
六、当堂检测：
1、完成教材25页练习题
2、完成下列解方程
⑴2y2=8⑵2(x-8)2=50⑶(2x-1)2+4=0
⑷4x2-4x+1=0（5）x2＝169；（6）45－x2＝0；
（7）12y2－25＝0；（8）x2－2x＝0；（9）（t－2）（t+1）=0；

华东师大版九年级数学上册第22 章《一元二次方程》PPT课件

2. 解方程：x2-5x+6=0 解：把方程左边分解因式，得
（x-2）（x-3）=0 因此x-2 =0或x-3=0.
∴x1=2，x2=3
当堂练习
1.用因式分解法解下列方程： (1)4x2=12x； (2)(x -2)(2x -3)=6； (3)x2+9=-6x ； (4)9x2=(x-1)2
解：(1)移项得4x2-12x=0，即x2-3x=0， x(x-3)=0，得x1=0，x2=3；
当堂练习
1.用配方法解下列方程： (1) x2＋12x =－9； (2) －x2＋4x－3=0. 解：(1) 两边同时加上36，得x2＋12x+36 =－9+36，
配方得（x+6）2=27，解得 x1 6 3 3, x2 6 3 3. （2）原方程可变形为x2-4x+3=0，配方得（x-1）（x-3)=0， x1=1，x2=3.
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
x1=0.5，x2=－0.5 x1＝3， x2＝－3 x1＝2， x2＝－1
2.用直接开平方法解下列方程：
(1)3x2－27=0； (2)(2x－3)2=9.
x1＝3， x2＝－3
x1＝0， x2＝3
二用因式分解法解一元二次方程
问题引导
x2-2x=0
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值.
解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
a 9 4
4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1，