18-19 数学新同步课堂必修1课时分层作业20

课时分层作业(二十)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞)
D ．[4，＋∞)
D [由题意得：⎩⎨
⎧
log 2x －2≥0，
x >0.解得x ≥4.]
2．设集合
M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪⎪
y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ，x ∈[0，＋∞)
，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( )
【导学号：60462233】
A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．(－∞，0)∪(0,1)
C [M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]，因此M ∪N ＝(－∞，1]．] 3．函数y ＝|log 2x |的图象是图中的( )
A [有关函数图象的变换是高考的一个考点，本题目的图象变换是翻折变换，可知这个函数是由y ＝log 2x 经上折而得到的．]
4．函数y ＝1＋log 1
2(x －1)的图象一定经过点( ) A ．(1,1) B ．(1,0) C ．(2,1)
D ．(2,0)
C [∵函数y ＝log x 恒过定点(1,0)，而y ＝1＋log (x －1)的图象是由y ＝
log x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1,0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1)，故函数
y ＝1＋log (x －1)恒过的定点为(2,1)．故选C.]
5．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 72
7，则( ) 【导学号：60462234】 A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b
D ．a >b >c
D [因为log 323＝log 32－1，log 52
5＝log 52－1， log 72
7＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .] 二、填空题
6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝________. 5 [由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，
＋1＝2＋1＝3，
所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫log 312＝5.]
7．若log a 2
3<1，则a 的取值范围是________． ⎝
⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [由log a 23<1得：log a 23<log a a . 当a >1时，有a >2
3，即a >1； 当0<a <1时，则有a <2
3， 即0<a <2
3.
综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]
8．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围是________.
【导学号：60462235】
(1,2) [令u ＝2－ax ，∵a >0且a ≠1， ∴u 在[0,1]上为减函数， 即：y ＝log a u 为增函数，∴a >1. 又∵2－ax >0，∴a <2， ∴1<a <2.] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)．
(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．
[解] (1)要使函数有意义，则有x ＋1
x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1<0，
x －1<0，
解得x >1或x <－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a
－x ＋1－x －1
＝log a
x －1x ＋1
＝－log a x ＋1
x －1＝－f (x )．
∴f (x )为奇函数．
10．设函数f (x )＝(log 2x ＋log 24)(log 2x ＋log 22)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14，4.
(1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；
(2)求y ＝f (x )的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x 的值． [解] (1)∵t ＝log 2x 为单调递增函数，而x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
14，4，
∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
log 214，log 24，即t ∈[－2,2]．
(2)记t ＝log 2x ，则
y ＝f (x )＝(log 2x ＋2)(log 2x ＋1)＝(t ＋2)(t ＋1)(－2≤t ≤2)．
∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－32上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，2上是增函数，
∴当t ＝log 2x ＝－3
2，即x ＝2＝2
4时，
y ＝f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
24＝－14；
当t ＝log 2x ＝2，即x ＝22＝4时， y ＝f (x )有最大值f (4)＝12.
[冲A 挑战练]
一、选择题
1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f (log 2x )>f (1)，则x 的取值范围是( )
【导学号：60462236】
A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．(0,1)∪(2，＋∞)
C [∵f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (log 2x )>f (1)⇔|log 2x |>1， 即log 2x >1或log 2x <－1， 解得x >2或0<x <12.]
2.已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图3-2-4所示，则a ，b 满足的关系是( )
图3-2-4
A ．0<a －1<b <1
B ．0<b <a －1<1
C ．0<b －1<a <1
D ．0<a －1<b －1<1
A [令g (x )＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数y ＝log a g (x )是单调递增的，
所以必有a >1.
又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间， 即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0， 故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.] 二、填空题
3．若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，则a ＝__________. 22 [由f (0)＝0，解得a ＝22.]
4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2
＋4x ，x ≤4，
log 2
x ，x >4，若函数f (x )在(a ，a ＋1)上递增，则a 的
取值范围是__________．
(－∞，1]∪[4，＋∞) [当x ≤4时，f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则f (x )在(－∞，2]上单调递增，在(2,4]上单调递减，
当x >4时，f (x )＝log 2x 在(4，＋∞)上单调递增，
由于f (x )在(a ，a ＋1)上递增，所以a ＋1≤2或a ≥4，即a ≤1或a ≥4.] 三、解答题
5．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1).
【导学号：60462237】
(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．
[解] (1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1>0的解集为R . 当a ＝0时，x >－1
2，这与x ∈R 矛盾，∴a ≠0， 因此，不等式需满足⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝4－4a <0，解得a >1.
∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)若f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)值域为R ， 则t ＝ax 2＋2x ＋1的值域A ⊆(0，＋∞)． ①当a ＝0时，t ＝2x ＋1，与题意相符；
②当a ≠0时，结合二次函数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝4－4a ≥0，
解得0<a ≤1.
综上所述，实数a 的取值范围是[0,1].。