11.2全等三角形的判定(共103张PPT)

BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知 角的方法。
例3：已知∠AOB 求作：∠A′O′B′=∠AOB
D O B A O′ D′ B′ A′
C C′ 作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB于点C、D； 2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； 4、过点D′画射线O′B′，则 ∠A′O′B′=∠AOB
∴△ADE≌△CBF ∴∠A=∠C
DE=BF
小结归纳
2
1. 三边对应相等的两个三角形全等 （边边边或SSS）；
2.证明全等三角形书写格式：①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤。
3、证明是由题设（已知）出发，经过一步步 的推理，最后推出结论正确的过程。
11.2.2全等三角形的判定②
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写 为“边边边”或“SSS”）。
∴△AEC≌△ADB（ SAS ）
AE AD （已知） ____=____
3.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论 成立：如图 在△ABD和△DCB中，
∠CBD（已知) ∠ ADB = ___ ___ DB 公共边） BD=____(
∴△ABD≌△CDB（ SAS ）
AD=CB（已知）
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D
1.若AB=AC，则添加一个什么条件可得 A △ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
B
A
探究1
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm， ∠A=45° 。
画法： 1. 画∠MAN= 45° 2. 在射线AM上截取AB= 3cm 3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BC ∴△ABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角 形进行比较，它们能互相重合吗？
2.如果满足两个条件，你能说出 有哪几种可能的情况？
①两边； ②一边一角； ③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
30◦ 4cm
30◦ 4cm
结论:一条边一个角对应相等的两个
AC=DF
BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS）
叫判 做断 证两 明个 三三 角角 形形 全全 等等 。的 推 理 过 程 ，
?
理性提升
例11. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，
AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
方法构想
要证明△ ABD≌ △ ACD，首先看 这两个三角形的三条边是否对应相等。
C
问题探究
因铺设电线的需要，要测量A、B两点的距 离。（如图），因无法直接量出A、B两点的距 离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平 地，你能想办法测出A、B两点之间的距离吗？。
B
A
问题探究
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点 C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点， 使BC=EC，连结DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于 A，B两点的距离。请你说明理由。
探究2
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度 为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎 样？动手画一画，你发现了什么？
C F
A 40°
B
D
40°
E
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等
学以致用 1.已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD △ ABD 和△ CBD 全等吗？ ABD 和△ ≌△CBD CBD中 证明：在△ 分析: △ ABD (SAS) BA=BC （已知） 边: AB=CB(已知
综合提高
A
O
D
在ABO 和ADO中， AB = AD (已知），∠BAO = ∠DAO (已证）， AO= AO (公共边） ∴ ABO ≌ ADO（SAS）， ∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等） 又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义） ∴ ∠AOB = ∠AOD= 90°. ∴AC⊥BD(垂直定义）.
上述结论反映了什么规律？
边边边公理
三边对应相等的两个三角形全等。 简写为“边边边”或“SSS” 注： 这个定理说明，只要三角形的 三边的长度确定了，这个三角形的形 状和大小就完全确定了，这也是三角 形具有稳定性的原理。
A
D
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
B
C
E
F
在△ABC与△DEF中 AB=DE
三角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦
45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定， 所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等
一个条件 ①一角； ②一边；
两个条件 ①两角； ②两边； ③一边一角。
结论：只给出一个或两个条件时， 都不能保证所画的三角形一定全等。
理性提升
例11. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，
AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD 在△ABD与△ACD中 AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS）
例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， 求证：△AEB ≌ △ ADC。
11.2 全等三角形的判定
11.2.1全等三角形的判定①
创设情境
1、 什么叫全等三角形？ 能够重合的两个三角形叫 全等三角形。 2、 全等三角形有什么性质？ A
D
B
C
E
F
①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
A
D
B
①AB=DE
② BC=EF
B
A
D
∠ABD= ) ∠CBD（已知） 角: ∠ABD= ∠CBD(已知) BD=BD(公共边） 边: ？ BD=BD (公共边） ∴ △ ABD ≌△ CBD（SAS）
C
追问：例1的已知条件不改变, 问AD=CD吗?BD平分∠ADC吗？
例题 推广
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。
问AD=CD， DB平分∠ ADC 吗？
A
B C
D
变式： 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。 问∠A=∠ C 吗？
A B C
D
2.已知：如图， AO=BO ，DO=CO
求证：AD∥CB
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。
练习：
1.如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断 BC=AD吗？说明理由。 D C
当堂测试
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD 的中点，且DE=BF. 求证：①△ADE≌△CBF,②∠A=∠C D F C 证明:∵点E,F分别是AB,CD的中点 1 1 ∴AE= AB, CF = CD 2 2 ∵AB=CD ∴AE=CF A B E
在△ADE与△CBF中 AE=CF AD=CB
C
E
③ CA=FD
F
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
思考：
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?
1.只给一个条件
1.只给一条边时；
3㎝ 2.只给一个角时；
45◦
3㎝
45◦
结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
证明：在△ABC与△ADC中 A AB=AD
BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC C B D
在△ABC与△DCB中 AB=CD
BC=CB
AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB
A
D
B
C
中考链接
1
已知如图：AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F 在一条直线上，AD=FB 求证：△ABC ≌△ FDE，
用 数学语言表述： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
B
A
C
D
E
F
创设情景
因铺设电线的需要，要测量A、B两点的距 离。（如图），因无法直接量出A、B两点的距 离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平 地，你能想办法测出A、B两点之间的距离吗？。
A
E
C B D
知识回顾:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
知识回顾:
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有 哪几种可能的情况？
①三角； ②三边； ③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的来自百度文库个三角形 不一定全等
⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm 、 6cm 。它们一定全等吗？ 3cm
A
B
2.已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD
求证：AD=BC
A
D
B
C
如右图， 已知：AB=AD，CB=CD. 求证：AC⊥BD. B 分析：欲证 ⊥BD，只需证∠ 证明： 在AC ABC 和ADCAOB= 中， ∠AOD，
这就要证明 ABO ≌= ADO ，它已经具备了 AB = AD (已知）， CB CD （已知）， 两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证 AC = AC (公共边） ∠ BAO= ∠DAO ，为了证明这一点，还需证明 ∴ ABC ≌ ADC（SSS）， ABC ≌ ∴ ∠BAO =ADC. ∠DAO (全等三角形的对应角相等）
A
B 方法构想
E
D
C
两个三角形中已经的两组边对应 相等,只需要再证第三条边对应相 等就行了.
例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， 求证：△AEB ≌ △ ADC。 证明：∵BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED，
B E
A
D
C
即BE=CD。 在△AEB和△ADC中， AB=AC
AE=AD
小结归纳
1
全等三角形证明的基本步骤：
①分析已有条件,准备所缺条件：
证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： • 写出在哪两个三角形中 • 摆出三个条件用大括号括起来
• 写出全等结论
2、如图，AB=CD，AC=BD， 随堂练习 △ABC和△DCB是否全等？试 说明理由。 1、已知：如图，AB=AD，BC=CD， 解：△ABC与△DCB全等， 求证：△ABC≌ △ADC 理由如下：
D C
B S S A S AD=AD ∠BAD= BD=CD ∠CAD AB=AC
2.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件?
△ACB≌ △ADB
∠ AOB = ∠ DOC 对顶角相等 ___ ___ （ ) BO=CO(已知）
∴△ABC≌△DEF（ SAS ）
AO=DO（已知）
2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论 成立：如图，在△AEC和△ADB中，
∠A = ∠A （公共角) AC AB 已知） ____=____(
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE
A
∠B=∠E BC=EF
B
C
D
∴△ABC≌△DEF（SAS）
E
F
概念运用： 1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论 成立：如图，在△AOB和△DOC中，
6cm 4cm 6cm 3cm 4cm 6cm 3cm 4cm
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使
A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪 下，放到△ABC上，他们全等吗？ 画法:
1.画线段 B’C’ =BC; 2.分别以 B’ ， C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两 弧交于点A’; 3. 连接线段 A’B’ ， A’C’ .