2018年高中数学人教A版选修2-2第1章导数及其应用 1.5.1-1.5.2习题含解析
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念
第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
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第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
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第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-5-1~1-5-2 精品
1.5.2 汽车行驶的路程
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.，
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
曲边梯形的面积
思考1
如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
2 2 2
3 3 3 3
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
解答
类型二 求变速运动的路程
例2
当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.
如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为 v(t) ＝t2＋2( 单位：km/h) ，
答案
思考2
如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形
的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案
已知图形是由直线 x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可
称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”
的所有边都是直线段.
答案
思考3
能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “直边图形”的面积 问题？(归纳主要步骤)
那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解答
引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，
比较两次求出的结果是否一样？
解答
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
(2)曲线 y＝2－x2 与直线 y＝－2 围成的图形的面积为
2 ∫1 (4 － x )dx.( 0
)
(3)曲线 y＝x3 与直线 y＝2－x，y＝0 围成的图形的面
3 2 ∫ 积为∫1 x d x ＋ 0 1(2－x)dx.(
)
解析：(1)错，作出曲线 y＝ x与直线 y＝x，可知，
2 所求面积为∫1 ( x － x )d x .(2) 对，作出曲线 y ＝ 2 － x 与直 0 2 线 y＝－2，可知，所求面积为∫1 (4 － x )dx.(3)对，作出曲 0 3 线 y＝x3 与直线 y＝2－x， y＝0， 可知， 所求面积为∫1 x 0 dx
类型 1 不分割型平面图形面积的求解(自主研析) [典例 1] 曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的 图形的面积是________．
x y ＝ e ， 解析：如图所示，由 －x y ＝ e
解得交点为(0，1)，
－x －x 1 x x 所以所求面积为 S＝∫1 (e － e )d x ＝ (e ＋ e )|0＝e＋ 0
图①
图②
图③
图①中，f(x)＞0，∫b af(x)dx＞0，因此面积 S＝
b ∫ af(x)dx _____________ ；
b | ∫ 图②中， f(x)＜0，∫b f ( x )d x ＜ 0 ，因此面积 S ＝ a a
b ∫ － af(x)dx ； f(x)dx|＝____________
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的 应用
[学习目标 ] 1.了解定积分的几何意义 (重点)． 2. 会用求定积分的方法求曲边梯形的面积(重点、难点)．
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1-1-2导数的概念 精品
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中，Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
解析：
2k
＝
－12 f[x0＋（－－k）k]－f（x0）＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1. 答案：A
1．注意区分平均速度与瞬时速度的概念，瞬时速度 是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这一段时间内的平均速度当Δt →0 时的极限，即运动方程 s＝f(t)在 t＝t0 时对时间 t 的导 数．
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念(难点)． 3.会利用导数的 定义求函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动 的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函 数 f(t) 在 t0 到 t0 ＋ Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f（t0＋ΔΔt）t－f（t0）趋近于常数，
Δx
2x0Δx＋aΔx＋（Δx）2 ＝
Δx
(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
归纳升华
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用
2x3－3x＋ x＋1 (1)y＝ ； x x
解 ∵y＝2 x －3 x ＋x ＋ x ，
－1
1 2 3 2 1 2
3 2
3 5 3 2 3 ∴y′＝3 x ＋ x －x－2－ x 2 . 2 2
解答
x2＋1 (2)y＝ 2 ； x ＋3
解 方法一
x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′ y′ ＝ x2＋32
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导
数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
和、差的导数
1 已知f(x)＝x，g(x)＝ . x
解答
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
1 sin 2 x ＋ x sin 2x＋2x 2 ＝ cos2x ＝ 2cos2x .
解答
类型二 导数运算法则的综合应用
命题角度1 利用导数求函数解析式 ln x 例 2 (1)已知函数 f(x)＝ x ＋2xf′(1)， 试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； 1－ln x 解 由题意得 f′(x)＝ x2 ＋2f′(1)， 1－ln 1 令 x＝1，得 f′(1)＝ 1 ＋2f′(1)，即 f′(1)＝－1. ln x ∴f(x)＝ x －2x. ln e 1 ∴f(e)＝ e －2e＝ e－2e，f(1)＝－2， 1 由 f(e)－f(1)＝e －2e＋2<0，得 f(e)<f(1).
2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用
1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答案 (1)曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积．解 (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，n n ]，简写作[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间[i －1n ，in ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－(i －1n )·(i －1n －1)为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积．(3)求和ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－(i －1n )(i －1n －1)·1n (i ＝1,2，…，n )．即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf (ξi )Δx＝∑i ＝1n[－(i －1n )(i －1n －1)]·1n＝－1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n 3·16n (n －1)(2n －1)＋1n 2·n (n －1)2＝－－n 2＋16n 2＝－16(1n 2－1)． (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞，此时－16(1n 2－1)趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞[－16(1n 2－1)]＝16. 所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2(x ≥0)，y ＝4， 得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝2(i －1)n .(2)近似代替求和 S n ＝∑i ＝1n[2(i －1)n ]2·2n ＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83(1－1n )(1－12n )． (3)取极限S ＝lim n →∞S n＝lim n →∞83(1－1n )(1－12n )＝83. ∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为[1＋i －1n ，1＋in ]．所以Δs i ＝v (1＋i －1n )·1n .s n ＝∑ni ＝1v (1＋i －1n )1n＝1n ∑ni ＝1[(1＋i －1n)2＋2] ＝1n ∑n i ＝1[(i －1)2n 2＋2(i －1)n＋3] ＝1n {3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]} ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n .s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞[3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ]＝133.所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为[1＋i －1n ，1＋in]． 所以Δs i ＝v (1＋i n )·1n .s n ＝∑ni ＝1v (1＋i n )1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n 2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n .s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞[3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ]＝133.所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)． 解 ①分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n －1)个分点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n ，把汽车在时间段[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2]上行驶的路程分别记为Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，则有s n ＝∑i ＝1nΔs i .②近似代替取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v (2i n )·Δt ＝[－(2i n )2＋5]·2n＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．③求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ≈∑i ＝1n[－4i 2n 2·2n ＋10n ]＝－4×12n 2·2n －4×22n 2·2n －…－4×n 2n 2·2n ＋10＝－8n 3[12＋22＋…＋n 2]＋10＝－8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋10＝－8·13(1＋1n )(1＋12n )＋10.④取极限 s ＝lim n →∞s n＝223. 因此，行驶的路程为223km.1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32答案 B4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.5．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围成的图形的面积．解 (1)分割将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，1]，每个小区间的长度为Δx ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替在区间[i －1n ，i n ]上，用i －1n 处的函数值12(i －1n )2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n 作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n .(3)求和曲边梯形的面积为 S n ＝∑ni ＝1ΔS i ≈12∑n i ＝1 (i －1n )2·1n＝0·1n ＋12·(1n )2·1n ＋12·(2n )2·1n ＋…＋12·(n －1n )2·1n ＝12n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝16(1－1n )(1－12n )． (4)取极限 曲边梯形的面积为 S ＝lim n →∞16(1－1n )(1－12n )＝16.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an ；(4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi)·b －an . “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．课时作业一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in ]上的值，可以近似代替为( )A ．f (1n )B ．f (2n )C ．f (in ) D ．f (0)答案 C2．在求由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2 C.2n (n ＋2i ) D.1n ＋2i答案 A解析 每个区间的长度为2n ，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n，∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i.3．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130答案 A4．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( ) A.lim n →∞∑ni ＝1[11＋(i n )2·2n ]B.lim n →∞∑n i ＝1[11＋(2i n )2·2n ]C.lim n →∞∑n i ＝1 (11＋i 2·1n ) D.lim n →∞∑n i ＝1[11＋(i n )2·n ]答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n ，∴和式为∑n i ＝1[11＋(2i n)2·2n ]． 故选B.5．把区间[a ，b ](a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( ) A ．[i －1n ，i n]B ．[i －1n (b －a )，i n (b －a )]C ．[a ＋i －1n ，a ＋i n]D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in (b －a )]答案 D解析 区间[a ，b ](a <b )长度为(b －a )，n 等分之后， 每个小区间长度均为b －an，所以第i 个小区间是[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )](i ＝1,2，…，n )．6．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 只有④正确．7．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为[a (i －1)n ，ai n ](i ＝1,2，…，n )，此区间长为an，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni ＝1 (ai n)2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33(1＋1n )(1＋12n )近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞[a 33(1＋1n )(1＋12n )]＝9，∴a 33＝9，解得a ＝3. 二、填空题8.∑n i ＝1i n＝________. 答案 n ＋12解析 ∑n i ＝1i n ＝1n(1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 9．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10．当n 很大时，可以代替函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n]上的值有________个． ①f (1n )；②f (i n )；③f (i －1n )；④f (i n －12n)． 答案 3解析 因为当n 很大时，区间[i －1n ，i n ]上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉[i －1n ，i n ]，i －1n∈[i －1n ，i n ]，i n ∈[i －1n ，i n ]，i n －12n ∈[i －1n ，i n]，故能代替的有②③④. 11．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成曲边梯形，将区间[0,2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________.答案 3.92 5.52解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.三、解答题12．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v (2i n )·Δt ＝[3(2i n )2＋2]·2n＝24i 2n 3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝i ＝1n (24i 2n 3＋4n )＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4 ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8(1＋1n )(1＋12n)＋4. (4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞[8(1＋1n )(1＋12n )＋4]＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12km.13.如图所示，求直线x ＝0，x ＝3，y ＝0与二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3所围成的曲边梯形的面积．解 (1)分割如图，将区间[0,3]n 等分，则每个小区间[3(i －1)n ，3i n](i ＝1,2，…，n )的长度为Δx ＝3n.分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．则当n 很大时，用n 个小矩形面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S .(3)求和S n ＝∑ni ＝1f (3(i －1)n )Δx ＝∑n i ＝1[－9(i －1)2n 2＋2×3(i －1)n ＋3]×3n ＝－27n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋18n 2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9 ＝－27n 3×16(n －1)n (2n －1)＋18n 2×n (n －1)2＋9 ＝－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1n)＋9. (4)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n →∞[－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1n )＋9] ＝9.即所求曲边梯形面积为9.。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
A．[0，e2] B．[0，2] C．[1，2] D．[0，1]
x y ＝ e ， x＝0， 解析：解方程组 可得 y＝1， y＝1，
所以积分区间为[0，2]． 答案：B
3．下列值等于 1 的是( A.∫1 0xdx C.∫1 01dx
11 B.∫0 dx
)
2
11 2 D.∫0 x dx
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
2 ∫ (1)∫2 f ( x )d x ＝ 1 1f(t)dt.(
) ) )
(2)∫b af(x)dx 的值一定是一个正数．(
3 b b 3 ∫ ∫ (3)∫b (ln x － x )d x ＝ ln x d x － a a ax dx.(
ξi＝xi＝
[变式训练]
利用定积分定义计算∫2 1(1＋x)dx.
解：(1)分割：因为 f(x)＝1＋x 在区间[1，2]上连续， 1 将区间[1，2]分成 n 等份，则每个区间长度为Δxi＝ . n
i － 1 i (2)近似替代：在[xi－1，xi]＝1＋ ，1＋ 上取 n n
b 之间的各部分面的性质
b b ∫ k af(x)dx (1)∫akf(x)dx＝__________
(k 为常数)；
b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a 1 af2(x)dx ； (2)∫a[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________ c b b ∫ ∫ f ( x )d x ＋ ∫ (3) af(x)dx＝_________________ a c f(x)dx ，其中 a＜c＜b.
n ＝ ＝
2 1 ＝n·n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n－1 1 n（n－1） ＝2＋ 2· ＝2＋ ， n 2 2n
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.5 第1课时 含答案
选修2-2 第一章 1.5 第1课时一、选择题1．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为导学号 10510301( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)[答案] C[解析] ∑i ＝15(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5，故选C.2．在求由x ＝a 、x ＝b (a <b )、y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是导学号 10510302( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] A[解析] n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于导学号 10510303( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C[解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C.4．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为导学号 10510304( )A ．[i －1n ，i n ]B ．[n ＋i －1n ，n ＋i n ]C ．[i －1，i ]D ．[i n ，i ＋1n][答案] B[解析] 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n ，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B.5．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是导学号 10510305( )A.lim n →∞∑i ＝1n [11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2n ] B.lim n →∞∑i ＝1n [11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n ] C.lim n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫11＋i 2·1n D.lim n →∞∑i ＝1n[11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·n ] [答案] B[解析] 将区间[0,2]n 等分后每个区间长度为2n ，第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2,3，…，n )，故应选B.6．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是导学号 10510306( ) A ．4π B ．5π2C ．3πD ．2π[答案] D[解析] 如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积可转化为求由直线y ＝0、y ＝1、x ＝0、x ＝2π围成的矩形面积．二、填空题7．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.导学号 10510307[答案] 3.92 5.528．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________.导学号 10510308[答案] 559．在求由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx ＝1n ，ξi＝i －1n，则曲边梯形的面积表达式为________.导学号 10510309 [答案] ∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤1n·(i －1n )3三、解答题10．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积.导学号 10510310 [解析] 将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n .第i 个小区间的面积ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫2(i －1)n ·2n ， ∴S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫2(i －1)n ·2n ＝2n ∑i ＝1n 4(i －1)2n 2＝8n 3∑i ＝1n(i －1)2 ＝8n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝8n 3·(n －1)n (2n －1)6＝4(n －1)(2n －1)3n 2. S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞4(n －1)(2n －1)3n 2＝43lim n →∞[(1－1n )(2－1n )]＝83， ∴所求曲边梯形面积为83.一、选择题1.lim n →∞∑i ＝1n[(15i n)·(5n )]的含义可以是导学号 10510311( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积[答案] C[解析] 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in，因此∑i ＝1n [(15i n )·(5n )]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．2．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝导学号 10510312( )A.∑i ＝1nf (ξ1)·1nB ．lim n →∞∑i ＝1nf (ξ1)·1n C.∑i ＝1nf (ξ1)·b －anD ．lim n→∞∑i ＝1nb －an·f (ξi ) [答案] D[解析] ∵△S i ＝f (ξi )·b －anS ＝lim n→∞∑i ＝1n△S i ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi)·b －a n . 故选D. 二、填空题3．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________.导学号 10510313[答案] 43[解析] 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝(i n )2＋2·i n ＝i 2n 2＋2in.作和∑i ＝1n[(i 2n2＋2i n )1n ]＝∑i ＝1n (i 2n 3＋2in 2)＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1ni＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2×n (n ＋1)2 ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ (43＋32n ＋16n 2)＝43. 4．由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝1x 所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是________.导学号 10510314[答案]319420[解析] 将区间[1,2]4等分，则Δx ＝14，每个区间左端点值为1＋i －14＝3＋i 4(i ＝1,2,3,4)，所以小矩形的高为f (3＋i 4)＝43＋i，∴S n ＝∑i ＝14f (3＋i 4)×14＝∑i ＝14 13＋i ＝14＋15＋16＋17＝319420.三、解答题5．汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？导学号 10510315[解析] 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in .∴Δs i ＝f ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1n .s n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1n ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n {3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]} ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞s n＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. ∴这段时间行驶的路程为133km.6．求由直线x ＝1、x ＝2、y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S .导学号 10510316[解析] (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤1，n ＋1n ，⎣⎡⎦⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎡⎦⎤n ＋n －1n ，2，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS 1、ΔS 2、…、ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替记f (x )＝1x 2.当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，可以认为f (x )＝1x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f (n ＋i －1n ·n ＋in)．从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，用小矩形面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·n ＋i n Δx ＝n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝n (n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2，…，n )． (3)求和小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1nn (n ＋i －1)(n ＋i )＝n n (n ＋1)＋n (n ＋1)(n ＋2)＋…＋n(n ＋n －1)(n ＋n )＝n1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n,＝n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝12. (4)取极限 S ＝lim n →∞S n＝12.∴由直线x ＝1、x ＝2、y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S 为12.。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.6微积分基本定理 精品
(2)∫31(1＋x＋x2)dx＝∫31dx＋∫31xdx＋∫31x2dx ＝x＋12x2＋13x3|31 ＝3＋12×32＋13×33－1＋12×12＋13×13＝434. (3)∫31 x＋ 1x26xdx＝∫31x＋1x＋26xdx ＝∫31(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|31 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
[ 学 习 目 标 ] 1. 了 解 微 积 分 基 本 定 理 的 含 义 ( 难 点)． 2.会求简单函数的定积分(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做 微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便， 我们常把 F(b)－F(a)记为 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b) －F(a)．
(3)
(cos x－ex)dx＝
sin x0－π－ex0－π＝e1π－1.
cos xdx－
exdx＝
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
图①
图②
图③
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时，要 特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分值的 符号．
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-5-3
ʃb a
ʃb a
知识点三 定积分的性质
思考
c b 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ b f ( x )d x ＝ ʃ f ( x )d x ＋ ʃ a a c f(x)dx(其
中 a<c<b)吗？
答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲
边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的 面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
1 2
解答
反思与感 悟
b 利用定积分所表示的几何意义求 ʃa
f(x)dx的值的关键是确定由曲
线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状. 常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图 形.
跟踪训练2 利用定积分的几何意义，求：
2 (1)ʃ 3 9 － x dx； －3
答案 相等.
答案
梳理
f ( x) ≥0 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 那么定积分 f(x)d x表示由 b 直线 x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) ，
ʃa
所围成的曲边梯形的面积 .这就是定积分 b
何意义.
曲边梯形的面积.
ʃa
f(x)dx的几
注意：f(x)<0(图象在x轴的下方时， f(x)dx<0，－ f(x)dx等于
题型探究
类型一 利用定积分的定义求定积分
例1 利用定积分的定义，计算 ʃ2 1
(3x＋2)dx的值.
解答
反思与感 悟
利用定义求定积分的步骤
跟踪训练 1 利用定积分的定义计算 ʃ 3 2(x＋2)dx.
解答
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用
解
由定积分的性质得，
2 ʃ1 ( x ＋ 1 － x )dx －1 1 2 ＝ʃ 1 x d x ＋ ʃ 1 － x dx. －1 －1
∵y＝x 是奇函数，∴ʃ 1 －1xdx＝0. π 由例 2(3)知 ʃ －1 1－x dx＝2. π 1 2 ∴ʃ －1(x＋ 1－x )dx＝2.
1 2
解答
反思与感悟
第一章 §1.5
定积分的概念
1.5.3 定积分的概念
学习目标
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.
2.理解定积分的几何意义.
3.掌握定积分的基本性质.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
定积分的概念
思考
分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们
的共同点. 答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”
的面积.
知识点三
定积分的性质
思考
c b 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ b f ( x )d x ＝ ʃ f ( x )d x ＋ ʃ a a c f(x)dx(其
中 a<c<b)吗？
答案
直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，
因此大曲边梯形的面积 S 是两个小曲边梯形的面积 S1 ， S2 之和， 即S＝S1＋S2.
答案
梳理
(1)ʃ b akf(x)dx＝
kʃb af(x)dx (k 为常数).
b ʃb f ( x )d x ± ʃ a 1 af2(x)dx .
(2)ʃ b f2(x)]dx＝ a[f1(x)±
c b b ʃ f ( x )d x ＋ ʃ a c f(x)dx (3)ʃ af(x)dx__________________( 其中
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.5.1曲边梯形的面积 精品
(误区警示)[典例 3] 求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 与 曲线 y＝x2＋2x＋1 围成的曲边梯形的面积．
易错提示：对求曲边梯形的面积的四个步骤掌握得不
熟练，导致结果错误． 防范措施：求曲边梯形的面积分为四步：(1)分割；(2)
近似代替；(3)求和；(4)取极限．第(1)(2)步是规范的过程， 第(3)步求和，要用到前 n 个自然数的平方和以及前 n 个 自然数的立方和公式，第(4)步求极限要用到 n1＝0.
答案：S2＜S1
类型 2 求曲边梯形的面积
[典例 2] 如图所示，求直线 x＝0，x＝3，y＝0 与二 次函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 的图象所围成的曲边梯形的面 积．
解： (1)分割：如图所示，分割将区间[0，3]n 等分， 则每个小区间3（i—n 1），3ni(i＝1，2， 3.…，n)的长度为Δx＝n3.分别过各分点 作 x 轴的垂线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形．
i＝1
4
解析： (yi－2)＝(y1－2)＋(y2－2)＋(y3－2)＋(y4
i＝1
－2)＝y1＋y2＋y3＋y4－8＝10－8＝2.
答案：2
5．求由抛物线 f(x)＝x2，直线 x＝0，x＝1 以及 x 轴 所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]五等分，以 小区间中点的纵坐标第一章 导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积
[学习目标] 1.通过具体例子，了解用“以直代曲” 和“逼近”的思想(重点)． 2.从问题情境中了解定积分 的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想(难 点)． 3.初步了解定积分的概念(重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续 不断的曲线，那么就把它称为区间 I 上的连续函数． 温馨提示 连续函数是指在某区间上，而不是指在定 义域上．如 y＝1x在定义域上不是连续函数，但在区间[1，
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2：第一章导数及其应用 本章整合1
应用 2 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其 导函数 f'(x)>0 的 x 的取值范围为(1,3).
(1)求 f(x)的解析式及 f(x)的极大值; (2)当 x∈[2,3]时,求 g(x)=f'(x)+6(m-2)x 的最大值. 提示:第(1)小题,可利用条件建立 a,b,c 的方程组,利用待定系数 法求解;第(2)小题利用导数与最值的知识求解,注意对 m 分类讨论. 解:(1)由题意,知 f'(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)·(x-3)(a<0),所以在 (-∞,1)内 f'(x)<0,f(x)是减函数, 在(1,3)内 f'(x)>0,f(x)是增函数, 在(3,+∞)内 f'(x)<0,f(x)是减函数. 因此 f(x)在 x0=1 处取得极小值-4,在 x=3 处取得极大值.
a + ������ + c = -4, 所以 ������'(1) = 3a + 2������ + c = 0,
������'(3) = 27a + 6������ + c = 0.
知识建构
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5 专题6
解得 a=-1,b=6,c=-9, 所以 f(x)=-x3+6x2-9x. 则 f(x)在 x=3 处取得极大值 f(3)=0. (2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x =-3(x2-2mx+3). 由 g'(x)=-6x+6m=0,得 x=m.
0,
1+ 2
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.5 第2课时 含答案
选修2-2 第一章 1.5 第2课时一、选择题1．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于导学号 10510335( )A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定[答案] C[解析] ⎠⎛ab 6f (x )d x ＝6⎠⎛ab f (x )d x ＝36.故应选C.2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是导学号 10510336( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x[答案] D[解析] 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.3．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g (x )d x ＝－3，则⎠⎛ab [2f (x )＋g (x )]d x ＝导学号 10510337( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4[答案] C[解析] ⎠⎛ab [2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛ab g (x )d x ＝2×1－3＝－1.4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1、x ＝0、y ＝0所围成的图形的面积可表示为导学号 10510338( )A.⎠⎛01(－x )d xB ．⎠⎛01|－x |d xC.⎠⎛－10x d xD ．－⎠⎛01x d x[答案] B[解析] 围成图形如图，由定积分的几何意义可知，所求图形面积S ＝－⎠⎛01(－x )d x ＝⎠⎛01|－x |d x ，故选B.5．⎠⎛02πcos x d x ＝导学号 10510339( )A ．0B ．πC ．－πD ．2π[答案] A[解析] 作出[0,2π]上y ＝cos x 的图象如图，由y ＝cos x 图象的对称性和定积分的几何意义知，阴影部分在x 轴上方和下方部分的面积相等，积分值符号相反，故⎠⎛02πcos x d x ＝0.6．下列命题不正确的是导学号 10510340( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b )上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b )上恒正[答案] D[解析] 本题考查定积分的几何意义，对A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确．对B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方(或上方)且面积相等，故B 正确．C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．二、填空题7．由y ＝sin x 、x ＝0、x ＝π2、y ＝0所围成的图形的面积可以写成________. 导学号 10510341[答案] ⎠⎜⎛π2 sin x d x[解析] 由定积分的几何意义可得． 8.⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.导学号 10510342[答案] 12[解析] 如图A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12.9．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )d x .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )d x 的近似值为________.导学号 10510343[答案]N 1N[解析] 因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )d x 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )d x ＝N 1N .三、解答题10．利用定积分的几何意义，解释下列等式.导学号 10510344 (1)⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.[解析] (1)⎠⎛012x d x 表示由直线y ＝2x ，直线x ＝0、x ＝1、y ＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S △＝12×1×2＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)⎠⎛－111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2，直线x ＝－1、x ＝1、y ＝0所围成的图形面积(而y ＝1－x 2表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S 半圆＝π2，故⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.一、选择题1．(2016·威海高二检测)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝导学号 10510345( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.2．下列等式不成立的是导学号 10510346( ) A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛ab f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛abg (x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x[答案] C[解析] 利用定积分的性质进行判断，选项C 不成立． 例如⎠⎛01x d x ＝12，⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛01x 3d x ＝14.但⎠⎛01x 3d x ≠⎠⎛01x d x ·⎠⎛01x 2d x .故选C.二、填空题3．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为_________.导学号 10510347[答案] f (x )＝65x ＋25[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.4．比较大小：⎠⎛－20e x d x ________⎠⎛－20x d x .导学号 10510348[答案] >[解析] ⎠⎛－20e x d x －⎠⎛－20x d x ＝⎠⎛－20(e x －x )d x ，令f (x )＝e x －x (－2≤x ≤0)，则f ′(x )＝e x －1≤0，∴f (x )在[－2,0]上为减函数， 又f (0)＝1>0，∴f (x )>0，由定积分的几何意义又知⎠⎛－20f (x )d x >0，则由定积分的性质知，⎠⎛－20e x d x >⎠⎛－20x d x .三、解答题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3x ∈[－2，2)，2x x ∈[2，π)，cos x x ∈[π，2π].求f (x )在区间[－2,2π]上的积分.导学号 10510349[解析] 由定积分的几何意义知 ⎠⎛－22x 3d x ＝0， ⎠⎛2π2x d x ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4， ⎠⎛π2πcos x d x ＝0，由定积分的性质得 ⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4. 6．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，导学号 10510350求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .[解析] (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3(⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x )＝3×(14＋154)＝12.(2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x＝6(⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6×(73＋563)＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x＝⎠⎛123x 2d x －⎠⎛122x 3d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.。
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.6 精品
a
微积分基本定理 ②利用定积分的几何意义 ________；③利用___________________ ．
[知识点拨]1.微积分基本定理应用的关注点
(1)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f ′(x)＝ f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函 数，再求定积分．
a
1 (5) x dx＝lnx|b a(b>a>0)．
b a
xb b x (6) e dx＝e |a.
a
x a b b x (7) | a dx＝ a(a>0且a≠1)． ln a a b (8)
a
2 3 xdx＝3x2|b a(b>a>0)．
1 2 2 1．如果 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝______.
π
0 － π
cosxdx＝sinx|0 －π＝0.
π
2 2 (5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π -π 2 2
π π π π ＝－cos2＋sin2＋cos－2－sin－2＝0＋1＋0＋1＝2.
1 3 1 2 1 1 (6) (x －x)dx＝(3x －2x )|0＝－6.
2．常见的原函数与被积函数的关系
b b (1) Cdx＝Cx|a(C为常数)．
a b
1 n＋1 b (2) x dx＝ x |a(n≠－1)． n＋1
n a b b (3) sinxdx＝－cosx|a.
a
b b (4) cosxdx＝sinx|a.
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.5.1-1.5.2
1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程课时过关·能力提升基础巩固1把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间的长度均为( )A. B.1n 2nC. D.3n 12n解析区间[1,3]的长度为2,故n 等分后,每个小区间的长度均为.2n 答案B2在“近似代替”中,函数f (x )在区间[x i ,x i+1]上的近似值( )A.只能是左端点的函数值f (x i )B.只能是右端点的函数值f (x i+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ,x i+1])D.只能是区间中点处的函数值答案C3和式(y i +1)可表示为( )5∑i =1A.(y 1+1)+(y 5+1)B.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+1C.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5D.(y 1+1)(y 2+1)·…·(y 5+1)解析由求和符号“∑”的意义,知(y i +1)=(y 1+1)+(y 2+1)+(y 3+1)+(y 4+1)+(y 5+1)=y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5.故选C.5∑i =1答案C4把区间[a ,b ](a<b )n 等分之后,第i (i=1,2,3,…,n )个小区间是( )A.[i -1n ,i n ]B.[i -1n (b -a ),i n (b -a )]C.[a +i -1n ,a +i n ]D.[a +i -1n (b -a ),a +i n (b -a )]解析区间[a ,b ](a<b )的长度为(b-a ),n 等分之后,每个小区间长度均为,第i 个小区间是b -a n (i=1,2,…,n ).[a +i -1n (b -a ),a +i n (b -a )]答案D5已知某物体运动的速度v=2t-1,t ∈[0,10],若把区间[0,10]10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为 .解析若把区间[0,10]进行10等分,则第i 个小区间为[i-1,i ](i=1,2,…,10),其右端点为i ,那么物体运动的路程的近似值为(2i-1)=2i-10=2×-10=100.10∑i =110∑i =1(1+10)×102答案1006在区间[0,8]上插入9个等分点之后,所分的小区间长度为 ,第5个小区间是 .答案45 [165,4]7若汽车以v=(2t+1)m/s 的速度做变速直线运动,则在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程s 是 . 答案4 m8汽车行驶的速度为v=t 2,求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s.分析按分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求解.解(1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间,…,,…,,[0,1n ],[1n ,2n ][i -1n ,i n ][n -1n ,n n ]每个小区间的长度为Δt=.i n‒i -1n =1n (2)近似代替在区间上,汽车近似地看作以时刻处的速度v 做匀速行驶,则在此区间上汽车行驶的路[i -1n ,i n ]i -1n (i -1n )=(i -1n )2程为.(i -1n )2·1n(3)求和在所有小区间上,汽车行驶的路程和为s n =02.+ (1)+(1n )2·1n +(2n )2·1n (n -1n )2·1n =[12+22+…+(n-1)2]1n 3=.1n 3·(n -1)n (2n -1)6=13(1-1n )(1-12n )(4)取极限汽车行驶的路程s=s n =.lim n →∞lim n →∞13(1-1n )(1-12n )=13所以汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程为.13能力提升1在求由x=a ,x=b (a<b ),y=f (x )(f (x )>0)及y=0围成的曲边梯形的面积S 时,在区间[a ,b ]上等间隔地插入(n-1)个点,分别过这些点作x 轴的垂线,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形的过程中,下列说法正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ;②n 个小曲边梯形的面积和小于S ;③n 个小曲边梯形的面积和大于S ;④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定.A.1B.2C.3D.4解析①正确,其余都不正确.答案A2当n 的值很大时,函数f (x )=x 2在区间上的值,可以用下列函数值近似代替的是( )[i -1n ,i n ]A.f B.f (1n)(2n )C.f D.f (0)(i n )解析根据求曲边梯形面积的步骤知,f (x )=x 2在区间上的值,可以用此区间上任意一点的函数值代替,故应选C.[i -1n ,i n ]答案C ★3在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n 等分,并用每个区间的右端点的函数1x 值近似代替,则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )A. B.2n +2i 2n +2i -2C. D.2n (n +2i )1n +2i解析每个小区间长度为,第i 个小区间为,因此第i 个小曲边梯形的面积ΔS i ≈.2n [n +2(i -1)n ,n +2i n ]1n +2i n ·2n =2n +2i 答案A4已知物体自由下落时的运动速度v=gt ,求在时间段[0,t ]内物体下落的距离.分析可转化为求曲边梯形的面积,用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.解(1)分割把时间区间[0,t ]等分成n 个小区间,其中第i 个小区间为(i=1,2,…,n ),每个小区间所表示的时间段的长度[i -1n t ,i n t ]为Δt=t-t=.在各个小区间内物体下落的距离,记作Δs i .i n i -1n t n (2)近似代替在(i=1,2,…,n )上取左端点的函数值近似代替第i 个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离[i -1n t ,i n t ]可近似地表示为Δs i ≈g ·t ·(i=1,2,…,n ).i -1n t n (3)求和s n =Δs i =g ·t ·[0+1+2+…+(n-1)]=gt 2.n ∑i =1n ∑i =1i -1n t n =gt 2n 212(1-1n )(4)取极限s=gt 2gt 2.lim n →∞12(1-1n )=12所以在时间段[0,t ]内物体下落的距离为gt 2.12★5已知火箭发射后t (单位:s)的速度为v (t )(单位:m/s),假定0≤t ≤10,对函数v (t ),将区间[0,10]等分成n 个小区间,每个小区间长度为Δt ,在每个小区间上任取一点,依次为t 1,t 2,t 3,…,t i ,…,t n ,按v (t 1)Δt+v (t 2)Δt+…+v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义?分析可根据求曲边梯形的面积以及汽车行驶的路程的思想方法进行思考回答.解虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度,这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时段内运动的路程.从而s n =v (t 1)·Δt+…+v (t i )·Δt+…+v (t n )·Δt ≈s (火箭在10 s 内运行的路程).这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)·Δt+v (t 2)·Δt+…+v (t n )·Δt 式所作的和的实际意义.当分割无限变细(Δt 无限趋近于0)时,s n 就无限趋近于火箭在10 s 内运行的总路程.。
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1.5定积分的概念
1.5.1曲边梯形的面积
1.5.2汽车行驶的路程
课时过关·能力提升
基础巩固
1把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为()
A. B.
C. D.
解析区间[1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为.
答案B
2在“近似代替”中,函数f(x)在区间[x i,x i+1]上的近似值()
A.只能是左端点的函数值f(x i)
B.只能是右端点的函数值f(x i+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i,x i+1])
D.只能是区间中点处的函数值
答案C
3和式(y i+1)可表示为()
A.(y1+1)+(y5+1)
B.y1+y2+y3+y4+y5+1
C.y1+y2+y3+y4+y5+5
D.(y1+1)(y2+1)·…·(y5+1)
解析由求和符号“”的意义,知(y i+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.故选C.
答案C
4把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i(i=1,2,3,…,n)个小区间是()
A.
-
B.-
--
C.
-
D.-
--
解析区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为-
,第i个小区间是
-
--(i=1,2,…,n).
答案D
5已知某物体运动的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把区间[0,10]10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为.
解析若把区间[0,10]进行10等分,则第i个小区间为[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为(2i-1)=2i-10=2×-10=100.
答案100
6在区间[0,8]上插入9个等分点之后,所分的小区间长度为,第5个小区间是.
答案
7若汽车以v=(2t+1)m/s的速度做变速直线运动,则在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.
答案4 m
8汽车行驶的速度为v=t2,求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
分析按分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求解.
解(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间,…,
-,…,-,
每个小区间的长度为Δt=-
.
(2)近似代替
在区间-上,汽车近似地看作以时刻-
处的速度v
--
做匀速行驶,则在此区间上汽车行驶的路程
为-
.
(3)求和
在所有小区间上,汽车行驶的路程和为s n=02·+…+
-
=[12+22+…+(n-1)2]
=
----.
(4)取极限
汽车行驶的路程
s=s n=--.
所以汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程为.
能力提升
1在求由x=a,x=b(a<b),y=f(x)(f(x)>0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入(n-1)个点,分别过这些点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中,下列说法正确的个数是() ①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和小于S;③n个小曲边梯形的面积和大于S;④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①正确,其余都不正确.
答案A
2当n的值很大时,函数f(x)=x2在区间
-上的值,可以用下列函数值近似代替的是()
A.f
B.f
C.f
D.f(0)
解析根据求曲边梯形面积的步骤知,f(x)=x2在区间
-上的值,可以用此区间上任意一点的函数值代替,故应选C.
答案C
★3在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()
A. B.
-
C. D.
解析每个小区间长度为,第i个小区间为-,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS
i
≈.
答案A
4已知物体自由下落时的运动速度v=gt,求在时间段[0,t]内物体下落的距离.分析可转化为求曲边梯形的面积,用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.
解(1)分割
把时间区间[0,t ]等分成n 个小区间,其中第i 个小区间为
- (i=1,2,…,n ),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt= t-
- t= .在各个小区间内物体下落的距离,记作Δs i . (2)近似代替
在 -
(i=1,2,…,n )上取左端点的函数值近似代替第i 个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i ≈g · - t · (i=1,2,…,n ).
(3)求和
s n = Δs i = g · - t · [0+1+2+…+(n-1)]= gt 2 - . (4)取极限
s= gt 2 - gt 2.
所以在时间段[0,t ]内物体下落的距离为 gt 2.
★5已知火箭发射后t (单位:s)的速度为v (t )(单位:m/s),假定0≤t ≤10,对函数v (t ),将区间[0,10]等分成n 个小区间,每个小区间长度为Δt ,在每个小区间上任取一点,依次为t 1,t 2,t 3,…,t i ,…,t n ,按v (t 1)Δt+v (t 2)Δt+…+v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义?
分析可根据求曲边梯形的面积以及汽车行驶的路程的思想方法进行思考回答.
解虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度,这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时段内运动的路程.
从而s n =v (t 1)·Δt+…+v (t i )·Δt+…+v (t n )·Δt ≈s (火箭在10 s 内运行的路程).这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)·Δt+v (t 2)·Δt+…+v (t n )·Δt 式所作的和的实际意义.
当分割无限变细(Δt 无限趋近于0)时,s n 就无限趋近于火箭在10 s 内运行的总路程.。