2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9.3

【点拨】(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心 坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程．因此，待定系数 法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆 的任一条弦的垂直平分线上”等．(3)常见圆的方程的设法： 标准方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 与 x 轴相切 x2＋y2＝r2 (x-a)2＋(y-b)2＝a2＋b2 (x-a)2＋y2＝r2 x2＋(y-b)2＝r2 一般方程的设法 x2＋y2-r2＝0 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 x2＋y2＋Dx＋F＝0 x2＋y2＋Ey＋F＝0 1 x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 4 D2＝0 1 x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 4 E2＝0
解：圆心(-1，-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1，-1) 到直线 3x＋4y-2＝0 的距离，根据点到直线的距离公式得 d |-3-4-2| 9 4 ＝ ＝ ，故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1＝ .故 5 5 5 选 C.
(2014·陕西)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1， 0) 关 于 直 线 y ＝ x 对 称 ， 则 圆 C 的 标 准 方 程 为 ____________．
方程 x2＋y2＋4mx-2y＋5m＝0 表示圆的充要条件的是( 1 1 A. <m<1 B．m< 或 m>1 4 4 1 C．m< D．m>1 4
)
1 解：由(4m) ＋4-4×5m>0，得 m< 或 m>1.故选 B. 4
2
(2015·浙江嘉兴测试)若 P(2，-1)为圆 M：(x-1)2＋y2 ＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( A．2x＋y-3＝0 C．x＋y-1＝0 B．x-y-3＝0 D．2x-y-5＝0 )
自查E 1 2 2 ， (2)D ＋E -4F>0 2 2 2 D ＋E -4F
2 2
3．(1)(x0-a)2＋(y0-b)2＝r2 (2)(x0-a)2＋(y0-b)2>r2 (3)(x0-a)2＋(y0-b)2<r2
-1 解：依题意知圆心 M(1，0)，MP⊥AB，而 kMP＝ ＝-1， 1 所以 kAB＝1，因为直线 AB 过点 P(2，-1)，所以直线 AB 的方 程为 y-(-1)＝x-2，即 x-y-3＝0.故选 B.
(2015·浙江湖州德清高级中学月考)已知点 M 是直线 3x ＋4y-2＝0 上的动点，点 N 为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 上的动点， 则|MN|的最小值是( ) 9 A. B．1 5 4 C. 5 13 D. 5
解法二(轨迹法)：因为 P1P2 为直径，所以圆上任意一点与 P1，P2 的连 线互相垂直． 设 P(x，y)为所求圆上任意一点，因为 PP1⊥PP2， y-9 y-3 所以 kPP1·kPP2＝-1，即 · ＝-1， x-4 x-6 得 x2＋y2-10x-12y＋51＝0， 其标准形式(x-5)2＋(y-6)2＝10 即为所求方程． 分别计算点 M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆心 C(5，6)的距离，得|CM| ＝ 10，|CN|＝ 13＞ 10，|CQ|＝3＜ 10. 因此，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内．
类型一
求圆的方程
已知两点 P1(4，9)和 P2(6，3)，求以 P1P2 为直径的圆的方程，并 且判断点 M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心 C(a，b)是 P1P2 的中点，那么 4＋6 9＋3 它的坐标为 a＝ ＝5，b＝ ＝6. 2 2 再根据两点的距离公式，得圆的半径长是 r＝|CP1|＝ （4-5）2＋（9-6）2＝ 10. 因此所求圆的方程是(x-5)2＋(y-6)2＝10.
2 2 2 2 D E D ＋ E -4F x ＋ y ＋ 注：将上述一般方程配方得 ，此为该一般方程对应 4 2 ＋ 2 ＝
的距离等于
的点的
叫圆．确定一个圆最
的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．
3．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种： 圆的标准方程(x-a)2＋(y-b)2＝r2(r>0)，点 M(x0，y0)， (1)点 M 在圆上：______________________； (2)点 M 在圆外：______________________； (3)点 M 在圆内：______________________. 4．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
解：因为点(1，0)关于直线 y＝x 的对称点为(0，1)， 所以圆心为(0，1)．所以圆 C 的标准方程为 x2＋(y-1)2＝1. 故填 x2＋(y-1)2＝1.
(2015·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心且与 直线 mx-y-2m-1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程 为____________．
解法一：圆心到直线的距离 d＝
|-m-1| m ＋1
2
＝
（m＋1）2 ≤ m2＋1
2（m2＋1） ＝ 2，当且仅当 m＝1 时取等号．故 m＝1 时，圆的半径 m 2＋ 1 最大为 2，因此所求圆的标准方程为(x-1)2＋y2＝2. 解法二：因为直线 mx-y-2m-1＝0 恒过定点(2，-1)，所以当点(2，-1) 为切点时，半径最大，此时半径为 2.故所求圆的标准方程为(x-1)2＋y2＝ 2.故填(x-1)2＋y2＝2.
第一章 第九章
集合与常用逻辑用语 平面解析几何
9． 3
圆的方程
1．圆的定义 在平面内，到 基本的要素是 和 ． 2．圆的标准方程与一般方程 (1) 圆的标准方程： 方程 (x-a)2 ＋ (y-b)2 ＝ r2(r>0) 叫做以点 ____________ 为圆心， ____________为半径长的圆的标准方程． (2)圆的一般方程：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(____________)叫做圆的一般方 程．