山东省桓台第二中学届高三数学12月摸底考试试题理【含答案】

山东省桓台第二中学2017届高三数学12月摸底考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．已知R
是实数集，2
{|
1},{|M x N y y x
===＜，则R N C M ⋂=( ) A.（1，2） B. [0，2] C.∅ D. [1，2]
2．设i 为虚数单位，复数3i
z i
-=，则z 的共轭复数z =( ) A.13i --
B. 13i -
C. 13i -+
D. 13i +
3．已知平面向量,a b
，1,2a b a b ==-=,a b 的夹角为( )
A.
6
π B.
3π C. 4π D.
2
π
4．下列命题中，真命题是( )
A. 2,2x x R x ∀∈>
B. ,0x x R e ∃∈<
C. 若,a b c d >>，则 a c b d ->-
D. 22
ac bc <是a b <的充分不必要条件
5．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
，则22(1)z x y =-+的最大值是( )
A ．1
B ．9
C ．2
D ．11 6．将函数sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
图象向左平移
4
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. 12
x π
=- B. 12
x π
=
C. 6
x π
=
D. 3
x π
=
7
．函数)01y a a =
>≠且的定义域和值域都是[]0,1，则548
log log 65
a
a += ( ) A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8．已知函数()()2,14x
f x ax e f '=--=-，则函数()y f x =的零点所在的区间是( )
A. ()3,2--
B. ()1,0-
C. ()0,1
D. ()4,5
9．若n x
x x )1(6
+
的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 10．已知函数2
()2cos x f x x x π
=-+，设12,(0,)x x π∈，12x x ≠且12()()f x f x =，若1x 、0x 、2
x 成等差数列，则( )
A ．0()0f x '>
B ．0()0f x '=
C ．0()0f x '<
D ．0()f x '的符号不确定
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分.
11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2x f x =,则4(log 9)f 的值为______ 12. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得图象关于点)0,4
3(
π
对称，则ω的最小值是______
13．已知等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、3
2
a 2、a 2成等差数列， 则a n =______
14．已知球的直径4PC =，,A B 在球面上，2AB =，45CPA CPB ∠=∠=︒ ，则棱锥P ABC - 的体积为______
15．若定义在R 上的偶函数()(1)(1).f x f x f x -=+满足且当[]1,0x ∈-时，2
()1,f x x =+如果函
数()()g x f x a x =-恰有8个零点，则实数a 的值为______ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（本小题满分12分）
已知向量(1,cos2),(sin 2,a x b x ==，函数()f x a b =⋅． （1）若26
235
f θπ
⎛⎫+=
⎪⎝⎭，求cos 2θ的值； （2）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域． 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-（*n ∈N ）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）
已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+- （1） 当x ＞0时，求()f x 的解析式；
（2）若[02]x ∈，
时，方程()f x m =有实数根，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直， AB BC ⊥，
//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.
（1）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （2）求二面角E BF A --的正弦值；
（3）是否存在点G 满足⊥BF 平面AEG ？并说明理由
20．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a -=- (,2)n N n +∈≥． （1）求证：数列{1}n a -为等比数列；并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列}{n na n -的前n 项和n S ． 21．（本小题满分14分）
设f （x ）＝（xlnx ＋ax ＋2
a －a －1）x
e ，a ≥－2． （1）若a ＝0，求
f （x ）的单调区间；
（2）讨论f （x ）在区间（1e
，＋∞）上的极值点个数；
（3）是否存在a ，使得f （x ）在区间（1
e
，＋∞）上与x 轴相切?
不存在，说明理由．
高三摸底考试理科数学试题
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分
11. 1
3- 12. 2 13. 321-n 14. 3
34
15. 528- 三.解答题 16．解：
（1
）∵向量(1,cos2),(sin 2,a x b x ==，
∴()sin 222sin(2)3
f x a b x x x π
=⋅==-，
∴246
(
)2sin()2sin 2
3335
f ππθθ
πθ+
=+-=-=， 则3sin 5θ=-，2
cos 212sin θθ=-97122525=-⨯=；
（2）由[0,
]2
x π∈，则22[,]3
33
x π
ππ
-
∈-
，
∴sin(2)[3
2
x π
-
∈-
，
则()[f x ∈．则()f x
的值域为[． 17．解：
(1)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，
则1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当n=1时，12a =满足上式，所以2n n a =． (2) 由(Ⅰ)，2n n n b na n ==⨯． 则1212222n n T n =⨯+⨯+
+⨯，
所以231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，
则2
1
2222
n
n n T n +-=++
+-⨯12(12)212
n n n +-=-⨯-1(1)22n n +=--．
所以1(1)22n n T n +=-+． 18．解：
(1) 当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-，
当x ＞0时，则－x ＜0时，()(2)e 2x f x x -=-+-， 由于()f x 奇函数，则()()[(2)e 2]x f x f x x =--=--+-， 故当x ＞0时，()(2)e 2x f x x =-+． (2) 当0x =时， (0)0f =．
当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e x f x x '=-，由()0f x '=，得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，则()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2) 上单调递增．则()f x 在1x =处取得极小值(1)2e f =-， 又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时，()[2e 2]f x ∈-，． 综上，当[02]x ∈，
时，()[2e 2]f x ∈-，， 所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，． 19．解：
（1）取AB 中点D ，连接,GD CD ，又GB GF =，所以//2AF GD .
因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形， 所以//CD EG 因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC 所以//EG 平面ABC .
（2）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC
平面ACEF =AC ，
且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ，所以AF AB ⊥，AF BC ⊥
因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，
(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量.
设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则
0,
0.
BE BF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ，即20,220.y z x z +=⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1
cos ,3
||||BC BC BC ⋅<>=
=n n n ，
故二面角E BF A --的正弦值为
3
2
2。

（3）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ⋅=-=-≠，所以BF 与AE 不垂直,
所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG . 20．解：
（1）由121n n a a -=-，得112(1)n n a a --=-，故{1}n a -构成首项为111a -=，
公比2q =的等比数列． 所以112n n a --=，即121n n a -=+． （2）1122n n n na n n n n n ---=⋅+-=⋅．
所以，01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①， 12312122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅ ②，
②-①，得：0
1
2
1
2222
2n n
n S n -=----
-+⋅12212
n
n n -=-
+⋅-212n n n =⋅+- (1)21n n =-+．
21．解：
（1）当0=a 时：x
e x x x
f )1ln ()(-=，（0>x ）
故x
e x x x x
f )1ln 1(ln )('
-++=x
e x x )1(ln +=
当1=x 时：0)('=x f ，当1>x 时：0)('>x f ，当1<x 时：0)('
<x f ．
故)(x f 的减区间为：)1,0(，增区间为),1(+∞ （2）x
e a ax x x x x
f )ln (ln )(2'+++=
令=)(x g 2
ln ln a ax x x x +++，故a x x x g +++=
1ln 1)(',x x
x g 11)(2''+-=,
显然0)1(''=g ，又当1<x 时：0)(''<x g ．当1>x 时：0)(''>x g ． 故=min ')(x g a g +=2)1('， 2-≥a ，02)()(min ''≥+=≥∴a x g x g ． 故)(x g 在区间),1(+∞e
上单调递增，
注意到：当+∞→x 时，)(x g +∞→，故)(x g 在),1(+∞e
上的零点个数由
)1
1)(1()1(e
a a e g ++-=的符号决定． ①当0)1(≥e g ，即：e a 112--≤≤-或1≥a 时：)(x g 在区间),1
(+∞e
上无零点，即)(x f 无
极值点．
②当0)1
(<e g ，即：111<<--a e 时：)(x g 在区间),1
(+∞e
上有唯一零点，即)(x f 有唯一极值点．
综上：当e a 112-
-≤≤-或1≥a 时：)(x f 在),1
(+∞e
上无极值点． 当111<<--a e 时：)(x f 在),1
(+∞e
上有唯一极值点．
（3）假设存在a ，使)(x f 在区间),1
(+∞e
上与x 轴相切，则)(x f 必与x 轴相切于极值点处
由（2）可知：11
1<<--a e
．不妨设极值点为0x ，则有：
⎩⎨⎧=--++==+++=0
)1ln ()(0
)ln (ln )(002
0000200000'x x e a a ax x x x f e a ax x x x x f …（*）同时成立． 联立得：01ln 0=++a x ，即)1(0+-=a e x 代入（*）可得0)1(2)
1(=-+++-a a e
a ．
令)1,2(),1(e
t a t -∈+-=，2
)1()(+--=t t e t h t ．……9分
则32)('
--=t e t h t
，2)('
'-=t
e t h ，当 )1,2(e t -∈时0
2)1
()(1
''''<-=<e e e h t h
（ <e e 1
<2
1e 2）．
故)('
t h 在)1,2(e t -∈上单调递减．又01)2(2
'>+=--e h ，
032)1(1
'<--=e e e h e ．
故)('
t h 在)1,2(e
t -∈上存在唯一零点0t ．
即当),2(0t t -∈时0)('>t h ，)(t h 单调递增．当)1,(0e
t t ∈时0)('
<t h ，)(t h 单调递减．
因为01)2(2>+=--e h ，013
1)1(21
'<---=e e
e e h e ．
故)(t h 在),2(0t t -∈上无零点，在)1
,(0e
t t ∈上有唯一零点． 由观察易得0)0(=h ，故01=+a ，即：1-=a ．
综上可得：存在唯一的1-=a 使得)(x f 在区间),1(+∞e
上与x 轴相切．。