武汉市部分重点中学2020学年度新高三数学起点考试试卷(理科)
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武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知为等差数列中的第8项,则二项式展开式中常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项 D.第10项
2.设,,,则与的值为()
A.B.C.D.
3.下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件的是()
4.下列函数在x=0处连续的是()
A.f(x)=B.f(x)=lnx
C.f(x)=D.f(x)=
5.已知函数的最小值为
()
A.1 B.C.D.
6.的三内角A,B,C所对边长分别是,设向量
,若,则角的大小为()
A.B.C.D.
7.如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点,而被该双曲线的右准线分成弧长为2:1的两段圆弧,则该双曲线的离心率等于()
A.B.C.D.
8.有两个同心圆,在外圆周上有相异6个点,内圆周上有相异3个点,由这9个点决定的直线至少有()
A.36条B.30条C.21条D.18条
9.记满足下列条件的函数f(x)的集合为M:当|x1|≤1,|x2|≤1时, |f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.若有函数g(x)=x2+2x-1, 则g(x)与M的关系是()
A.g(x)M B.g(x)M C.g(x)M D.不能确定10.已知函数的定义域是值域是[0,1],则满足条件的整数数对共有()A.2个B.5个C.6个D.无数个
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡相应的位置上)11.已知某人投篮的命中率为,则此人投篮4次,至少命中3次的概率是。12.已知随机变量,若ξ=2η+3,则Dη=____________.
13.已知且满足不等式组,则的最大值是.
14.设= .
15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离。在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系:(m,n是常数),如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速
x(千米/时)的关系图.
(I)y关于x的函数表达式为:___________
(II)如果要求刹车距离不超过25.2米,则行驶的最大速度为:__________
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)
已知函数
(I)若函数的图象关于直线对称,求a的最小值;
(II)若存在成立,求实数m的取值范围.
17.(本小题满分12分)
如图在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠BAC = 90°,AB = AC = a,AA1 = 2a,D 为BC的中点,E为CC1上的点,且CE = CC1
(I)求三棱锥B - AB1D的体积;
(II)求证:BE⊥平面ADB1;
(Ⅲ)求二面角B-AB1-D的大小.
18.(本小题满分12分)
口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球,甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球,每次摸出一个球,规则如下:若一方摸出一个红球,则此人继续下一次摸球;若一方摸出一个白球,则由对方接替下一次摸球,且每次摸球彼此相互独立,并由甲进行第一次摸球。求在前三次摸球中,甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望;
19.(本小题满分12分)
已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线. ,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.
(I)若△POM的面积为,求向量与的夹角。
(II)试证明直线PQ恒过一个定点。
20.(本小题满分13分)
设函数
(I)k为何值时,f(x)在R上是减函数;
(II)试确定实数k的值,使的极小值为0.
21.(本小题满分14分)
已知函数
(1)求的值;
(2)数列{an}满足数列{an}
是等差数列吗?请给予证明;
(3),试比较Tn与Sn的大小.
武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试
数学答案(理科)
一、选择题:
CABAC BDCBB
二、填空题:
11.12.1 13.74 14.5120
15.(I)(II)70千米/时
三、解答题
16.解:(I)…………………………(4分)
由题设,
………………………………………………(6分)
(II)当
…………………………………………………………………(9分)由
故m的取值范围是…………………………………………(12分)17.解:(Ⅰ)∵AB=AC=a,∠BAC=90°,D为BC中点
B1B=C1C=A1A=2a,
∴………………2分
∵…………4分
解法一:
(Ⅱ)由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC
从而AD⊥平面B1BCC1
又BE 平面B1BCC1,所在AD⊥BE …………6分
由已知∠BAC=90°,AB=AC=a,得
在Rt△BB1D中,
在Rt△CBE中,
于是∠BB1D=∠CBE,设EB∩DB1=G
∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°,则DB1⊥BE,又AD∩DB1=D
故BE⊥平面ADB1 ……………………8分
(Ⅲ)过点G作GF⊥AB1于F,连接BF
由(Ⅰ)及三垂线定理可知∠BFG是二面角B-AB1-D的平面角…………10分在Rt△ABB1中,由BF·AB1=BB1·AB,得
在Rt△BDB1中,由BB1·BD=BG·DB1,得BG=
所以在Rt△BFG中,
故二面角B-AB-D的大小为arcsin ………………12分
解法二:
解法:(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系A-xyz …………2分
可知A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(),
B1(a,0,2a),E(0,a,)…………4分
可得
………………6分
于是得,可知BE⊥AD,BE⊥DB1
又AD∩DB1=D,故BE⊥平面ADB1 …………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面ADB1的法向量,平面ABB1的法向量
于是…………10分
故二面角B-AB1-D的大小为arccos ………………12分
18.解:记"甲摸球一次摸出红球"为事件A,"乙摸球一次摸出红球"为事件B,则,且A、B相互独立.………………(2分)
据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,其中
………………(8分)
ξ0 1 2 3
p 14/27 10/27 2/27 1/27
………………(10分)
19.解:(I)设点、M、A三点共线,
……(2分)
……………………………………………(4分)
设∠POM=α,则
由此可得tanα=1.…………………(6分)
又……………………(7分)
(II)设点、B、Q三点共线,
即……………………………………(9分)
即……………………(10分)
由(*)式,代入上式,得