武汉市部分重点中学2020学年度新高三数学起点考试试卷(理科)

武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知为等差数列中的第8项，则二项式展开式中常数项是（）A．第7项B．第8项C．第9项 D．第10项

2．设，，，则与的值为（）

A．B．C．D．

3．下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件的是（）

4．下列函数在x＝0处连续的是（）

A．f（x）＝B．f（x）＝lnx

C．f（x）＝D．f（x）＝

5．已知函数的最小值为

（）

A．1 B．C．D．

6．的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量

，若，则角的大小为（）

A．B．C．D．

7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于（）

A．B．C．D．

8．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（）

A．36条B．30条C．21条D．18条

9．记满足下列条件的函数f（x）的集合为M:当|x1|≤1,|x2|≤1时, |f（x1）－f（x2）|≤4|x1－x2|．若有函数g（x）＝x2＋2x－1, 则g（x）与M的关系是（）

A．g（x）M B．g（x）M C．g（x）M D．不能确定10．已知函数的定义域是值域是[0，1]，则满足条件的整数数对共有（）A．2个B．5个C．6个D．无数个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上）11．已知某人投篮的命中率为，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是。12．已知随机变量，若ξ=2η+3，则Dη=____________.

13．已知且满足不等式组，则的最大值是.

14．设= .

15．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：(m,n是常数)，如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速

x(千米/时)的关系图.

（I）y关于x的函数表达式为：___________

（II）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行驶的最大速度为：__________

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）

已知函数

（I）若函数的图象关于直线对称，求a的最小值；

（II）若存在成立，求实数m的取值范围.

17．（本小题满分12分）

如图在直三棱柱ABC - A1B1C1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a，AA1 = 2a，D 为BC的中点，E为CC1上的点，且CE = CC1

（I）求三棱锥B - AB1D的体积；

（II）求证：BE⊥平面ADB1；

（Ⅲ）求二面角B-AB1-D的大小.

18．（本小题满分12分）

口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望；

19．（本小题满分12分）

已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线. ，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

（I）若△POM的面积为，求向量与的夹角。

（II）试证明直线PQ恒过一个定点。

20．（本小题满分13分）

设函数

（I）k为何值时，f(x)在R上是减函数；

（II）试确定实数k的值，使的极小值为0.

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）求的值；

（2）数列{an}满足数列{an}

是等差数列吗？请给予证明；

（3），试比较Tn与Sn的大小.

武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试

数学答案（理科）

一、选择题：

CABAC BDCBB

二、填空题：

11．12．1 13.74 14．5120

15．（I）（II）70千米/时

三、解答题

16．解：（I）…………………………（4分）

由题设，

………………………………………………（6分）

（II）当

…………………………………………………………………（9分）由

故m的取值范围是…………………………………………（12分）17.解：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D为BC中点

B1B=C1C=A1A=2a，

∴………………2分

∵…………4分

解法一：

（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC

从而AD⊥平面B1BCC1

又BE 平面B1BCC1，所在AD⊥BE …………6分

由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得

在Rt△BB1D中，

在Rt△CBE中，

于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G

∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，则DB1⊥BE，又AD∩DB1=D

故BE⊥平面ADB1 ……………………8分

（Ⅲ）过点G作GF⊥AB1于F，连接BF

由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG是二面角B-AB1-D的平面角…………10分在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，得

在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，得BG=

所以在Rt△BFG中，

故二面角B-AB-D的大小为arcsin ………………12分

解法二：

解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A－xyz …………2分

可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（），

B1（a，0，2a），E（0，a，）…………4分

可得

………………6分

于是得，可知BE⊥AD，BE⊥DB1

又AD∩DB1=D，故BE⊥平面ADB1 …………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB1的法向量，平面ABB1的法向量

于是…………10分

故二面角B-AB1-D的大小为arccos ………………12分

18．解：记"甲摸球一次摸出红球"为事件A，"乙摸球一次摸出红球"为事件B，则，且A、B相互独立.………………（2分）

据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中

………………（8分）

ξ0 1 2 3

p 14/27 10/27 2/27 1/27

………………（10分）

19．解：（I）设点、M、A三点共线，

……（2分）

……………………………………………（4分）

设∠POM=α，则

由此可得tanα=1.…………………（6分）

又……………………（7分）

（II）设点、B、Q三点共线，

即……………………………………（9分）

即……………………（10分）

由（*）式，代入上式，得