2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷(四)文科数学
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷(四)数学(理)试题
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（四）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则()R A B =（ ） A. {}01x x <≤ B. {}01x x <<C. {}12x x ≤<D. {}02x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的交集运算，补集运算求解即可. 【详解】{}02A x x =<<，{}1B x x =≥(){}{}{}02101R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.i是虚数单位，复数z=）A.122z-=B. z=C.32z=-D.34z=+【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，模长公式求解即可.【详解】33444z i+===+1122z-==，||2z==故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义，属于基础题.3.已知,,a b c满足312346,log4,,5a b c===则（）A. a b c<< B. b c a<< C. c a b<< D. c b a<<【答案】B【解析】【分析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.【详解】3123464,1,log42,1,015a abc c=>>==-=<<<，故a c b>>故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题.4.二项式261()2xx-的展开式中3x的系数为（）A.52- B.52C.1516D.316-【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.【详解】通项为()()6212316611122r rrr rr rr T C x C xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,1)-，则它的离心率为（ ）C.2【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，得出12b a =，再结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为b y x a=±点()2,1-在渐近线上，所以12b a =，由2e ==故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种【答案】A 【解析】 【分析】将任务分三步完成，在每步中利用组合的方法计算，最后利用分步乘法计数原理，将结果相乘，即可得出答案.【详解】第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法；第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法； 第三步，为乙地选1名老师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种 故选：A【点睛】本题主要考查简单组合问题的求解，属于中档题.7.函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.【详解】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D.又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.【点睛】本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可.8.若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（ ）A. 72-B. 52-C. 32-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）A. 1162DF AB AC =-- B. 1134DF AB AC =-- C. 3142DF AB AC =-+D. 1126DF AB AC =--【答案】A 【解析】 【分析】设AB AF λ=，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-，即可得出答案.【详解】设AB AF λ=，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+ 因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=-- 故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A. 47a = B. 16240S =C. 1019a =D. 20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+．所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.已知圆锥顶点为P ，底面的中心为O ，过直线OP 的平面截该圆锥所得的截面是面积为33则该圆锥的体积为（ ） A. 3πB. 3πC. 32πD. 9π【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的面积，得出圆锥的高为3，底面圆的直径为.【详解】因为过直线12O O 的平面截该圆锥所得的截面是面积为设正三角形边长为a 2=，解得a =所以圆锥的高为3，底面圆的直径为所以该圆锥的体积为21333V ππ=⨯⨯⨯=⎝⎭． 故选：B【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积，属于中档题.12.已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题：（ ） ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线π4x =对称 ③()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[2,2]-其中所有正确的编号是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos 0x ≥，cos 0x <时，对应的最值，即可得出()f x 的值域.【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin2f x x x x x x x =+⋅=+函数π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π4π33f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误．由于6πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3π26πf f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故排除②．在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin22sin2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确．当cos 0x ≥时，()2cos sin sin22sin cos sin22sin2f x x x x x x x x =+=+= 故它的最大值为2，最小值为2-当cos 0x <时，()2cos sin sin22sin cos sin20f x x x x x x x =+=-+=， 综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确． 故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在．．．．试题卷上无效．．．．．．. 13.曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =- 【解析】 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程． 【详解】∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1， 又∵切点坐标为（1，0）， ∴切线方程为y ＝x ﹣1． 故答案为y ＝x ﹣1．【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键． 14.设△ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos cos sin b C c B a A +=，则A =__________.【答案】2π【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】2cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin B C C B A +=()3sin +sin B C A =，3sin sin A A =,()0,,sin 0,sin 1A A A π∈∴≠=，则2A π=故答案为2π 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.15.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知32=2+2a S ，43=2+2a S 则公比为q 为________. 【答案】3 【解析】 【分析】32=22a S +，43=2+2a S ，两式相减，即可得出公比.【详解】32=22a S +，43=2+2a S 以上相减可得433a a =，所以数列的公比为3q =， 故答案为3【点睛】本题主要考查了求等比数列的公比，属于基础题.16.已知函数())f x x =，若实数,a b 满足(1)()0f a f a ++=，则a =_______. 【答案】12- 【解析】 【分析】判断该函数的奇偶性以及单调性，即可求解. 【详解】函数()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-则())lnf x x =为奇函数当0x ≥时，()0f x '=>，则函数()f x 在R 上单调递增 故()()()()()101f a f a f a f a f a ++=⇒+=-=-，1a a +=-，12a =- 故答案为12-【点睛】本题主要考查了函数单调性以及奇偶性的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试题卷上无效．．．．．．．．．．17.在△ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若22()3a c b ac +=+，点D 在边AB 上，且1BD =，DA DC =.（1）若BCD ∆的面积为2，求CD 的长； （2）若AC =A ∠的大小. 【答案】（1（2）18A π∠=或6A π∠=【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得出3B π=，再由三角形面积公式得出2BC =，最后利用余弦定理即可得出CD 的长；（2）利用正弦定理，化简得出cos sin 23πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用诱导公式得出sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用正弦函数的性质，即可得出A ∠的大小.【详解】（1）又由()223a c b ac +=+可得222a c b ac +-=由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，0B π<<所以3B π=因为BCD1sin 12BC BD B BD ⋅==，所以2BC =BCD 中,由余弦定理，得22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 所以CD =（2）由题意得设DCA A θ∠=∠= △ADC 中，由正弦定理，()sin 2sin AC CD A A π=-得CD =① 在△BCD 中，由正弦定理sin sin CD BD B DCB=∠ 即11sin sin 2sin 2333CDπππθπθ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ②由①②可得cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由223ππθθ-=+，解得18πθ=由2,23ππθθπ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.6πθ=故18A π∠=或6A π∠=.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.在几何体ABCDE 中，2CAB π∠=，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，2AB AC BE ===，1CD =.（1）设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ； （2）求二面角A DE B --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）22【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及线面平行的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC 所以//CD BE又因为CD ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ， 所以//CD 平面ABEl =平面ABE 平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，则//CD l又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE 所以//l 平面BCDE（2）建立如图所示的空间直角坐标系因为2CAB π∠=，2AB AC BE ===，1CD =.所以2222BC AC AB =+=则()0,0,0C ，)2,2,0A,()0,22,0B ,()0,0,1D ,()0,22,2E设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =()2,2,1AD =--,()0,22,1DE =则0n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,220x z z +=+= 令22z =，则3,1xy，所以(3,1,22n =-设平面BCDE 的法向量为()1,,n x y z =()0,0,1CD =,()0,22,0CB =则110n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20z ==取1x =，则0y z ==所以()11,0,0n =1112cos ,n n n n n n ⋅== 所以12,sin n n =，故二面角A DE B --2【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法求面面角，属于中档题.19.某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.（1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =【解析】 【分析】（1）根据事件的独立性以及互斥事件的性质，求解即可；（2）得出X 的可能取值，并得出相应的概率，得出分布列，即可得出数学期望()E X .【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D , “该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知()45P D =，()()34P E P F == 由于C DEF DEF DEF =++()()2434334331111154544544P C P DEF DEF DEF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18=；（2）X 可取0,1,2,3,4,5()211105480P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()241115420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121133254440P X C ==⨯⨯⨯= ()124133354410P X C ==⨯⨯⨯=，()213945480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()243955420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()113399190123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了事件独立性的应用以及求离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.20.如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、 ，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ； （2）求MNF ∆面积的最大值. 【答案】（1）2413；（2）33【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线l 的方程，直线HG 的方程，进而得出2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由距离公式得出GF ；（2）设直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，0MNF S ∆=，当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-，联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理以及弦长公式，得出2221434m m MN m +-=+三角形面积公式，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】（1）∵8AB =, ∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c-=-⇒-+=∴12e =∴2c =, 22212b a c =-= ∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0- 直线l的方程为()184y x =+ 即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设1122,,M x y N x y ，()00,H x y则124813y y +=，123613y y =所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=- 直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---=⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在 当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =- 联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设1122,,M x y N x y()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+MN==点F到直线l的距离d==1122MNFS MN d∆=⋅==7216=≤=当且仅当=，即m=时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114km==±时，直线l为()814y x=±+时，MNF∆面积取得最大值为【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及三角形面积问题，属于中档题.21.已知函数()()1ln1f x x x=++，()ln1xg x e x-=++（1）讨论()f x的单调性；（2）设()()()h x f x g x=-，若()h x的最小值为M，证明：2211Me e--<<-.【答案】（1）在0,上单调递增；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明()h x在()00,x上单调递减，在(),x+∞上单调递增，从而得出()0000001ln ln ln1xM h x x x x x xe==-=++，()21,x e e--∈，结合()f x的单调性，即可证明2211Me e--<<-.【详解】(1)()()1ln1ln ln1f x x x x x x=++=++()1ln1f x xx+'=+，设()()221111ln1,xm x x m xx x x x-=++=-='()01m x x>'⇒>；()001m x x<⇒<<'所以()m x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增()()min 120m x m ==>，即0fx所以()f x 在0,上单调递增(2) ()()()()1ln ln ln xx h x f x g x x x ex x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++' ，设()ln 1x F x e x -=++()11x x xe x F x e x xe='-=-+， 设()xG x e x =- ()10x G x e ='->，所以()G x 在0,上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在0,上单调递增()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在0,上恰有一个零点()210,x e e--∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ 由（1）知()0f x 在0,上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=- 所以2211M e e--<<-【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，以及利用导数证明不等式，属于较难题.22.在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点， （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（Ⅰ）280x y -+=，24y x =（Ⅰ）由直线l的参数方程为8(2x ttty=-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t，可得普通方程．由曲线C的参数方程为22(x ssy⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s，可得曲线C直角坐标方程．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x ssy⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．利用点到直线的距离公式可得：d==，利用二次函数的单调性即可得出最小值．【详解】（Ⅰ）由直线l的参数方程为8(2x ttty=-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t，可得：280x y-+=．所以直线l直角坐标方程为280x y-+=．由曲线C的参数方程为22(x ssy⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s，可得：24y x=．所以曲线C直角坐标方程为24y x=．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x ssy⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．则45d===当s=4x=，4y=，所以点P到直线l．【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.设a、b、c均为正数，（Ⅰ）证明：222a b cab bc ca++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca++=，证明a b c++≥【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明．【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++， 即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++， 故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=， 所以3a b c++得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．。
(新高考)2021届高三第三次模拟考试卷 数学(四)解析
（新高考）2021届高三第三次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22740A xx x =--≤∣，{}3B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,3-B ．(]2,3-C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭答案：D解：由22740x x --≤，即(21)(4)0x x +-≤，得142x -≤≤，集合1,42A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 由3x <，得29x <，即33x -<<，集合()3,3B =-， 由数轴表示可得1,32AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，故选D ．2．设复数z 满足()()23i 1i z-=+，则z =（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．1答案：D解：()()223i 1i 12i i 2i z-=+=++=，(()()()2i3ii3i 13i 223i3i3iz ++∴====-+--+， 因此，2213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 3．关于命题，下列判断正确的是（ ） A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 答案：C解：A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错， 故选C ．4．已知函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1a ∈ B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭答案：C解：由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩为R 上的减函数，可得0120123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩，解得304a <≤，故选C ．5．函数()2sin 1f x x =-的奇偶性为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数答案：D解：由2sin 10x -≥，即sin 12x ≥，得函数定义域为52π,2ππ66π()k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称． 所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D ．6．已知点P 是ABC △所在平面内一点，且PA PB PC ++=0，则（ ）A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-答案：D解：由题意，PA BA PB -=，PA AC PC +=，而PA PB PC ++=0， ∴3PA BA AC -+=0，又AC BC BA =-，即32PA BA BC -+=0，∴2133PA BA BC =-，故选D ． 7．已知实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，其中1m <-，若目标函数y y x m =-的最大值为2，则m =（ ） A ．2- B ．2-或32-C ．2-或12 D ．32-答案：A解：因为实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中1,11m A m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，11,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0P m ，因为目标函数yz x m=-的几何意义是可行域内的点(),x y 与(),0P m 所连直线的斜率， 所以目标函数yz x m=-的最大值为2，即1211PAmm k m m +==-+，整理得22320m m +-=，解得2m =-或12（舍去）， 故选A ．8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）A ．630种B ．600种C ．540种D ．480种答案：C解：把6名工作人员分成1，1，4三组，再安排到三个村有1143654322C C C 651A 32190A 21⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种； 把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有2223642333C C C A A 90=种； 把6名工作人员分成1，2，3三组， 再安排到三个村有12336533654C C C A 32136021⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种， 所以共有9090360540++=种，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ， 则下列说法中正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，则变量y 和x 之间具有线性相关关系答案：ABD解：A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x y ，故正确； B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故正确， 故选ABD ．10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）A ．该截角四面体的表面积为273aB ．该截角四面体的体积为323212a C ．该截角四面体的外接球表面积为211π2a D ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为13答案：ABC 解：如图所示：由正四面体S NPQ -中，题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成， 故2223344673S a =⨯+⨯⨯=，A 正确； ∵棱长为a 的正四面体的高63h =， ∴223136136232)(3)434334312V a a a a =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，B 正确； 设外接球的球心为O ，ABC △的中心为O '，NPQ △的中心为O ''，626633a -=， 222226R O C R O H '''--=2222263a R R a --=，22222633a R a R a -=--222222284633a R a R a R a -=+--⋅- ∴22118R a =，∴22114ππ2S R a ==，C 正确；易知二面角S BC A --为锐角，所以二面角A BC D --的余弦值为负值，D 错误， 故选ABC ．11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >， 则以下结论正确的有（ ） A ．9100a a ⋅< B ．910a a > C ．100b >D ．910b b >答案：AD解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列；{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴21791012()30a a a ⋅=<-，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由1010a b >，不能求得b 10的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d >-+，912()1293a d >-+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <，即有910b b >，故D 正确， 故选AD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则（ ）A ．1214y y =B ．以AB 为直径的圆与直线12y 相切 C ．OA OB +的最小值D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上 答案：ABD解：抛物线的焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2210x kx --=，所以122x x k +=，121x x =-，()21212121y y k x x k +=++=+，()2121212121111122244y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；以AB 为直径的圆的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即21,2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 半径为2121122AB y y k ++==+，所以圆心到直线12y的距离为2211122k k ++=+，等于半径，所以以AB 为直径的圆与直线12y相切，即B 正确； 当直线AB 与x轴平行时，OA OB ==OA OB =+ 所以OA OB +的最小值不是C 错误； 直线OA 的方程为1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为122,2x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y 上， 故D 正确， 故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_________．答案：60解：二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式通项为()633622166C 12C 2rrr r r r rr x T x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r ，则常数项为()222612C 60-⋅⋅=，故答案为60．14．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222b c a +=，则cos A 的最小值为________． 答案：12解：22222222221cos 222b c a a a a A bc b c a +--=≥==+，当且仅当b c a ==时等号成立，故答案为12． 15．过圆()222:0O x y rr +=>外一点()2,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB △的面积取最大值时，直线l的斜率等于3±r 的值为_________．解：211sin sin 22AOB S OA OB AOB r AOB =∠=∠△，当90AOB ∠=︒时，AOB △的面积最大，此时圆心O 到直线AB的距离d =， 设直线AB 方程为()2y k x =-，213k =，则2d r ==， 所以2224112k r k =+，再将213k =代入，求得r =．16．设函数21()x f x x +=，()x x g x e =，则函数()(0)x x g x x e =>的最大值为_______；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_________． 答案：1e ，121k e ≥- 解：()()0x x g x x e =>，()21()x x x x x e x e xg x e e '⋅-⋅-'∴==， 由()0g x '>，可得01x <<，此时函数()g x 为增函数； 由()0g x '<，可得1x >，此时函数()g x 为减函数，()g x ∴的最大值为1(1)g e=；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立， 则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立，211()2x f x x x x +==+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立， 即()f x 的最小值为2，且()g x 的最大值为1(1)g e=， 则12()()g x f x 的最大值为1122e e=， 则由112k k e ≥+，得()211k e -≥，即121k e ≥-， 故答案为1e ，121k e ≥-．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin A A b =+． （1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，求b 的取值范围． 答案：（1）π3B =；（2）[)1,2b ∈．解：（1()sin A Ab =sin sin cos C B A B A=+，()sin sin cos A B B A B A +=，cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+， cos sin sin A BA B =，∴tan B = ∵()0,πB ∈，∴π3B =． （2）∵2a c +=，π3B =， ∴222222cos a c b c c c a B a a =+=-+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅a c =时取等号）， 又2b a c <+=，∴[)1,2b ∈．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记b，求数列{}n b 的前n 项和S n ．答案：（1）21n a n =-；（2）211n n S +-=．解：（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=， ∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-． （2）由（1）知121212121n n n n n b a a n n ++--===+-++，∴()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦211n +-=． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组 [0.4,0.2)--[0.2,0)-[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）以表中y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y ∈--，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y ∈-，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y ∈，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望． 答案：（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，235． 解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为3024100%45%120+⨯=． （2）这120个企业产值增长率的平均数1(0.3300.1240.1400.3160.510)0.02120y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）依题意可得[0.4,0.2)y ∈-的概率为3011204=， [0.2,0)y ∈-的概率为2411205=， [0,0.6)y ∈的概率为4016101112020++=．X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，111(2)4416P X ==⨯=；111(3)24510P X ==⨯⨯=；1111163(4)242055200P X ==⨯⨯+⨯=；11111(5)252050P X ==⨯⨯=； 1111121(6)2020400P X ==⨯=， 则X 的分布列为X 234 5 6P11611063200 1150 121400故()11631112123234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为梯形，平面SCD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC SCD ∠=∠=∠=︒，112AB AD CD ===．（1）求证：平面SBD ⊥平面SBC ； （2）若二面角A SB C --的余弦值为320，求SC 的长度． 答案：（1）证明见解析；（2）3．解：（1）由题意，在底面梯形ABCD 中，因为90BAD ADC ∠=∠=︒且1AB AD ==，2CD =，可得2BD BC ==，又由2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥， 又因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD CD =， 且SC CD ⊥，SC ⊂平面SCD ，所以SC ⊥上平面ABCD ， 又由BD ⊂平面ABCD ，所以BD SC ⊥， 因为SCBC C =且,SC BC ∈平面SBC ，所以BD ⊥平面SBC ，又因为BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SBC ． （2）由（1）知SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)D ，设(0)SC h h =>，所以(0,0,)S h ，可得(1,0,0)BA =，(1,1,)BS h =--，(1,1,0)BD =-， 由（1）得BD ⊥平面SBC ，所以平面SBC 的一个法向量为(1,1,0)BD =-， 设平面ABS 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BA BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得00x x y hz =⎧⎨--+=⎩，令1z =，可得(0,,1)h =n ，则2320cos ,21BD h〈〉==-⋅+n ，解得3SC =，即3SC =．21．（12分）已知圆()2122:1F x y r ++=与圆()()()2222141:3F x y r r -+=-≤≤的公共点的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程；（2）设点A 为圆2212:7O x y +=上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP AQ ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）是，127-． 解：（1）设公共点为P ，则1PF r =，24PF r =-，12124PF PF F F +=>， 即公共点P 的轨迹为椭圆，且24a =，∴2a =，又1c =，∴23b =，故曲线22:143x y E +=．（2）方法一：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x = 代入E 得127y =127AP AQ ⋅-=，易知OP OQ ⊥；当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，PQ 与圆O ()22212171m r m k k =⇒=++， 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222222222141271218434343k m m k k m m k k k +--+=-+=+++， 将()221217m k =+代入，得0OP OQ ⋅=，即OP OQ ⊥， 综上，恒有OP OQ ⊥，2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 法二：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x =E 得127y =2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-； 当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，∵PQ 与圆Or =，即()221217m k =+． 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，AP ===1==+，同理可得2AQ =， 故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++∣， 将122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，及()221217m k =+代入，可得127AP AQ ⋅=． 综上2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 22．（12分）已知函数ln ()xf x x=．（1）若直线1y kx =-是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式ln ()1af x ax x≤--成立，求实数a 的取值集合．答案：（1）1k =；（2）{1}． 解：（1）因为ln ()(0)x f x x x =>，所以21ln ()xf x x-'=， 设切点为000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x --=-， 又直线1y kx =-过(0,1)-，所以()000200ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln 10x x +-=， 令()2ln 1h x x x =+-，则(1)0h =，且()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，所以1k =．（2）不等式ln ()1af x ax x≤--恒成立，即不等式2ln ln 0ax x x a ---≥恒成立． 方法1：令2()ln ln F x ax x x a =---，则221()ax x F x x--'=，令2()210G x ax x =--=，因为0a >，所以180Δa =+>， 所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<， 所以()F x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增， 所以()()2min 2222()ln F x F x ax x ax ==--．由()2222210G x ax x =--=，得22212x ax x +=，所以()222211ln 22x x F x x -+=-， 所以22211ln 022x x x -+-≥， 令111()ln ln 2ln(1)222x x x H x x x x -+-=-=+-+，则(1)(2)()2(1)x x H x x x -+'=-+，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0H x H ≤=，又()20F x ≥，所以()20F x =，所以21x =，所以1a =， 所以，实数a 的取值集合为{1}．方法2：令2()ln ln F x ax x x a =---，则10()F F x a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭， 所以1x a =是函数()F x 的极值点，所以10F a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即1a =，此时，2()ln F x x x x =--，221(1)(21)()x x x x F x x x---+'==， 所以()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增． 所以min ()(1)0F x F ==，符合题意， 所以，实数a 的取值集合为{1}．。
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷(四)文科数学
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=的实部和虚部分别为 A. 7，3i - B. 7-，3C. 7-，3iD. 7，3-【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数z,再确定复数z 的实部和虚部. 【详解】由题得2373737731i i i z i i i +--====--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为D【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i ”的系数b ，不包含“i ”,不能写成bi.2.设集合()2{|log 2}A x y x ==-， 2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞【答案】B 【解析】A={x |y=log 2（2﹣x ）}={x |x ＜2}， B={x |x 2﹣3x +2＜0}={x |1＜x ＜2}， 则∁A B={x |x ≤1}， 故选B ．3.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（ ） A.15B.25C.45D.35【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可．【详解】解：由题知，基本事件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，故所求事件的概率为5204125255-==. 故选：C【点睛】本题考查数学史及古典概型概率计算，属于基础题． 4. 下列有关命题的说法正确的是A. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠”B. “若，则，互为相反数”的逆命题为真命题C. 命题“，使得2210x -<”的否定是：“，均有2210x -<”D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题 【答案】B 【解析】【详解】A 错误．否命题为：“若0,xy ≠，则0.x ≠”B 正确．逆命题为：若，互为相反数，则0.x y +=是真命题；C 错误．命题“，使得2210x -<”的否定是：“，均有2210.x -≥”D 错误. cos cos x y =时x y ，不一定相等，为假命题，所以命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为假命题. 故选B5.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ）A.14B.12C. 12-D.12或12- 【答案】B 【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3a a ----==-因为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()222816b =--=，由21220b b =->得24b =-，2122142a ab --==-，故选B. 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.6.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为A x 和B x ，方差分别为2A s 和2B s ，则（ ）A. A B x x <，22A B s s > B. A B x x <，22A B s s <C.>A B x x ，22A B s s >D.>A B x x ，22A B s s <【答案】C 【解析】 【分析】根据图形分析数据的整体水平和分散程度.【详解】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即>AB x x ；显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即22A B s s >.故选：C.【点睛】此题考查根据数据特征辨析平均数和方差，关键在于准确分析图形反映的数据特征而并非计算.7.函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A .（2，+∞） B. （﹣∞，1）∪（2，+∞） C. （1，2） D. （﹣∞，1）【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围．【详解】根据题意，函数()y f x = 满足(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，若函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，则()f x 在[)1+∞，上递增， 所以要使(22)(2)f x f ->，则有2211x -->，变形可得231x ->， 解可得：2x >或1x <，即x 的取值范围为(,1)(2,)-∞⋃+∞； 故选B ．【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题． 8.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（ ）A.718B. 2518 C. 718-D. 2518-【答案】A 【解析】221cos()cos()sin )sin )(cos sin )442ππαααααααα+-=-+=- 21117(12sin )(12)22918α=-=-⨯=，选A. 9.已知117161717,loglog a b c ===,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】结合指数，对数函数的性质可作快速判断，111,,1,0,22a b c ⎛⎫⎛⎫>∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解 【详解】由题易知：117171a =>，161611log log 17,122b ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 171711log log 160,22c ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，∴a b c >>， 故选：A【点睛】本题考查由指数、对数函数的性质比较大小，属于基础题 10.已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）A. []1,2-B. []0,1C. []0,2D. []1,0-【答案】A 【解析】 【分析】由函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由x ∈50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得74336x πππ≤+≤，利用正弦函数的单调性可得结果.【详解】()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度， 得到2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象， ()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵ x ∈50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以74336x πππ≤+≤， ∴1sin 4123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴12sin 423x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换法则以及利用正弦函数的单调性求值域，属于中档题.形如sin()y A x ωϕ=+，[],x m n ∈的函数求值域，分两步：（1）[],x m n ∈求出t x ωϕ=+的范围；（2）由t x ωϕ=+的范围结合正弦函数的单调性求出sin t ，从而可求出函数的值域.11.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A. )144951π+B. ()180952π+ C. )9144522π+D. )9180512π+-【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以6为棱长的正方体，截去两个底面半径为3的高为6的四分之一的圆椎，画出其直观图，计算其表面积即可．【详解】解：几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是14个圆锥），故表面积为21199556633351802222ππππ⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+. 故选：D【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．然后计算出它的表面积，属于中档题．12.如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A.12B.23C.13D.14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知直线l 经过双曲线221124x y -=的右焦点F ，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直线l 的方程是__________.【答案】y =+. 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，右焦点的坐标，然后求解直线l 的方程．【详解】解：双曲线221124x y -=的右焦点(4,0)F ，双曲线过第一、三象限的渐近线：y x =，直线l 经过双曲线221124x y -=的右焦点F ，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，可得直线l 的斜率：所以直线l 的方程是：4)y x =-，即y =+．故答案为：y =+.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．14.已知平面向量a ，b ，1a =，2b =，且1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则()a b e -⋅的最小值为__________.【答案】【解析】 【分析】通过已知条件求出向量平面向量a ，b 的夹角，设出向量，化简斜率的数量积，然后利用两角和与差的三角函数转化求解即可．【详解】解：由1a =，2b =，且1a b ⋅=，得1cos ,2a b a b a b⋅==，,60a b ∴=︒，设()1,0a =，()1,3b =，()cos ,sin e θθ=，()3sin a b e θ∴-⋅=-，因为1sin 1θ-≤≤，所以θ≤≤()a b e∴-⋅的最小值为3-.故答案为：3-【点睛】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的性质的应用，属于中档题．15.已知实数x，y满足2202401x yx yy x+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x ymx++=+，则实数m的最大值为__________.【答案】7【解析】【分析】由约束条件作出可行域，把341x ymx++=+转化变形，再由11yx++的几何意义，即可行域上的动点(,)x y与定点(1,1)--P连线的斜率求解．【详解】解：如图，作出可行域：3411311x y ymx x+++==+⨯++，11yx++表示可行域上的动点与定点()1,1--连线的斜率，显然过点A时，取最大值为2Ak=.所以m的最大值为1327+⨯=.故答案为：7【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．16.观察下列各式：311=3235=+337911=++3413151719=+++……若3*N ()m m ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则m 的值为___________. 【答案】45 【解析】 【分析】根据观察归纳左式为3m ，右式有m 个连续奇数相加，设第m 个式子的右式的第一个数为m a ，用累加法可得m a ，计算可得45461981,2071a a ==，即可得出结论. 【详解】设第m 个式子的右式的第一个数为m a ， 则有213212,4,2(1)m m a a a a a a m --=-=-=-，以上(1)m -相加可得21(1)[22(1)]2m m m a a m m -+--==-，所以21m a m m =-+，可得45461981,2071a a ==，所以2021在第45行. 故答案为：45.【点睛】本题考查了新定义的应用、归纳推理、等差数列的前n 项和，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、推理能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC 中，3B π=，点D 在边AB 上，1BD =，且DA DC =.（1）若BCD CD ；（2）若AC =A .【答案】（1）CD =2）6A π=或18A π=【解析】 分析】（1）直接利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．（2）进一步利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【详解】解：（1）因为3BCD S =△，即1sin 32BC BD B ⋅⋅=，又因为3B π=，1BD =，所以4BC =. 在BDC ∆中，由余弦定理得21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得13CD =.（2）在ACD ∆中，DA DC =，可设A θ=，则2ADC πθ∠=-，又因为3AC =，由正弦定理，得sin 2sin AC CD θθ=，所以3CD =，在BDC 中，2BDC θ∠=，223BCD πθ∠=-，由正弦定理得sin sin CD BD B BCD =∠，即312cos 2sin sin 233θππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得2cos sin 23πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是2sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为02πθ<<，所以022ππθ<-<，222333πππθ-<-<， 所以2223θθππ-=-或2223ππθθπ-+-=， 解得6πθ=或18πθ=，故6A π=或18A π=. 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于中档题．18.某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T （单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）求图中m 的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率.【答案】(1) 0.0020m = (2)390分钟. (3) 715P = 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1，列出方程，即可求解；（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t ，根据频率分布直方图的中位数的计算方法，即可求解.（3）根据分层抽样，可得在[450,500)内抽取4人，分别记为a b c d ,,,，在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m ⨯+++++=，解得0.0020m =.（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t . 因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<， 前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>， 所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =. 所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟. （3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016640.00160.0008⨯=+人，分别记为a b c d ,,,，在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法.其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法， 所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715P =. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的相关性质，合理利用古典概型及其概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，90A ∠=︒，平面CBE ⊥平面ABCD ，2CE EB ==，F ，G 分别在线段AD 和AB 上，且12FD DA =，113DC AG AB ===，CBE △是等腰直角三角形.（1）求证：//FG 平面CBE . （2）求点A 到平面ECF 的距离h . 【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】 【分析】（1）连接CG ，可证//FG CB ，即可得到//FG 平面CBE .（2）取CB 的中点T ，连接ET ，再由A EFC E AFC V V --=，利用等体积法求出点到面的距离； 【详解】解：（1）连接CG ，1AG =，2GB ∴=.又CBE ∆是等腰三角形，22BC ∴=在Rt CGB ∆中，222CG BC BG -=.112FD DA ∴==，90A ∠=︒，∴在AFG 中，45AGF ∠=︒， 在Rt CGB ∆中，45CBG ∠=︒，故//FG CB ，FG ⊄平面CBE ，CB ⊂平面CBE ，//FG ∴平面CBE .（2）1FD CD ==，45DFC ∴∠=︒，45AGF AFG ∠=∠=︒，90GFC ∴∠=︒，FG CF ∴⊥，由（1）知//FG CB ，则CB CF ⊥.平面CBE ⊥平面ABCD ，且其交线为CB ，CF ∴⊥平面CBE ，CF CE ⊥. 取CB 的中点T ，连接ET .2CE EB ==，ET BC ∴=，ET ∴⊥平面ABCD .A EFC E AFC V V --=，1133AFC EFC S ET S h ∴⋅=⋅△△，由题知2EC =，22BC =2ET CF ==1111221123232h ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得12h =， 即点A 到平面ECF 的距离为12.【点睛】本题考查线面平行的证明，等体积法求点面距离，属于中档题. 20.设函数()22xf x e kx =--，k ∈R .（1）讨论()f x 在()0,∞+上的单调性；（2）当2k >时，若存在正实数m ，使得对()0,x m ∀∈，都有()2f x x >，求k 的取值范围.. 【答案】（1）见解析；（2）()4,+∞. 【解析】 【分析】（1）求得()2xf x e k '=-，然后分2k >和k 2≤两种情况讨论，分析导数在区间()0,∞+上的符号变化，即可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调区间； （2）由（1）可知，当2k >时，函数()y f x =在0,ln2k ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则00x ∃>，使得对任意()00,x x ∈，都有()0f x <，构造函数()()222xt x k x e =-+-，分24k <≤和4k >两种情况讨论，分析函数()y t x =的单调性，结合()0t x >在区间()0,m 上恒成立可求得实数k 的取值范围.【详解】（1）由()22xf x e kx =--，得()2xf x e k '=-，()0,x ∈+∞，22x e ∴>，当2k >时，由()2e 0xf x k '=->，得ln2k x >，即函数()y f x =在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 由()0f x '<，得0ln 2k x <<，即函数()y f x =在0,ln 2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当k 2≤时，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，即函数()y f x =在()0,∞+上单调递增. 综上所述，当k 2≤时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；当2k >时，函数()y f x =在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,ln 2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）()00f =，当2k >时，由（1）结合函数()y f x =的单调性知，00x ∃>，使得对任意()00,x x ∈，都有()0f x <，则由()2f x x >得()2220x k x e -+->.设()()222xt x k x e =-+-，则()22xt x k e '=--，由()0t x '>得2ln2k x -<，由()0t x '<得2ln2k x ->. （Ⅰ）若24k <≤，则2ln02k -≤，故()020,ln ,2k x -⎛⎫⊆+∞ ⎪⎝⎭，即函数()y t x =在()00,x 上单调递减， ()00t =，∴对任意()00,x x ∈，都有()0t x <，不合题意；（Ⅱ）若4k >，则2ln02k ->，故220,ln ,ln 22k k --⎛⎫⎛⎫⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()y t x ∴=在20,ln 2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()00t =，∴对任意20,ln 2k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题意，此时取020min ,ln2k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可使得对()0,x m ∀∈，都有()2f x x >. 综上可得k 的取值范围是()4,+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用与推理能力，属于难题.21.如图，设抛物线()2140C y mx m =->:的准线l 与x 轴交于椭圆()22222:10x yC a b a b+=>>的右焦点2F ，1F 为椭圆2C 的左焦点，椭圆的利息率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交抛物线1C 于点Q ，M 为抛物线1C 上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a +取最小值时，求m 的值； （2）若12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ 的面积取最大值时，求面积最大值及此时直线MP 的方程.【答案】（1）1m =（2）16；y =【解析】 【分析】（1）用m 表示出a ，b ，根据基本不等式得出m 的值，从而得出1C 和2C 的方程；（2）用m 表示出椭圆方程，联立方程组得出P 点坐标，计算出△12PF F 的三边关于m 的式子，从而确定m 的值，求出PQ 的距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数性质得出MPQ ∆面积的最大值，即可求得直线MP 的方程．【详解】解：（1）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b =，所以当12a m m=+取最小值时，1=m m ，又因为0m >，所以1m =. （2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b =，设椭圆的标准方程为2222143xym m +=.设()00,P x y ，()11,Q x y ，由222221434x y m m y mx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y m =，即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==，又因为12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =.此时抛物线方程为212y x =-，()13,0F -，(2,P -，则直线PQ 的方程为)3y x =+.联立)2312y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝，所以252PQ ==， 设2,12t M t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（(t ∈-）到直线PQ 的距离为d ，则2753022d t ⎛⎫=⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭，当2t =-时，max 753024d =⨯=，所以MPQ 的面积的最大值为12522416⨯⨯=.此时:MP y =. 【点睛】本题考查椭圆及抛物线的性质，直线与椭圆的位置关系，考查二次函数的性质的应用，考查转化思想，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，与曲线2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的最大值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =（2）18【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．【详解】解：（1）因为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=，因为2sin 4cos ρθθ=， 所以22sin 4cos ρθρθ=， 所以24y x =，即曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），又因为直线l 与曲线22:4C y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线221:12x C y +=，可得()221sin 2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+， 联立直线l 与曲线22:4C y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224sin FM FN t t α⋅==，即2222211sin 1111+sin =10,441sin 41sin 8sin FA FB FM FN ααααα⋅⎛⎫⎛⎤=⋅=⋅-∈ ⎪ ⎥⋅++⎝⎭⎝⎦， 所以FA FB FM FN的最大值为18. 【点睛】本题主要考查：极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容，属于中档题． 23.已知()()21f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x >.（2）若不等式()2112f x x x a +++>-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 2(,)(4,)3-∞-⋃+∞ (2) 1(,1)2-【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可； （2）不等式()2112f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，即求()1f x x x +++的最小值，结合函数的单调性即可. 试题解析：（1）当1a =时，等式()2f x >，即2112x x --+>，等价于11212x x x <-⎧⎨-++>⎩或1121212x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--->⎩或122112x x x ⎧>⎪⎨⎪--->⎩， 解得23x <-或4x >， 所以原不等式的解集为()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）设()()1g x f x x x =+-+ 2x a x =-+，则(),23,2a a x x f x a x a x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∴当2a x =时，()f x 取最小值且最小值为22a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2122a a >-，解得112a -<<，∴实数a 的取值范围为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点睛：|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c ＞0)，|x －a |－|x －b |≤c (或≤c )(c ＞0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(四)数学(理)试题
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,4A =，{}2log (1)1B x x =+>，则A B =（ ）A. {}1,4B. {}2,4C. {}1,2D. {}4【答案】B 【解析】 【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】{}2|log (1)1{|1}B x x x x =+>=>，所以{2,4}A B ⋂=. 故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了对数的单调性解不等式，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（ ）A. x x y e e -=-B. 21y x =-C. 2x y -=D. ln y x =【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断各个函数的奇偶性，最后判断函数()f x 在()0,∞+上是否单调递增.【详解】A ．定义域为R 关于原点对称，()()ee xx f x f x --=-=-，是奇函数，不符合；B ．定义域为R 关于原点对称，()()()21f x x f x -=--=，是偶函数，当()0,x ∈+∞时是减函数，不符合；C ．定义域为R 关于原点对称，()()2xf x f x ---==，是偶函数，当()0,x ∈+∞时2x y -=是减函数，不符合；D ．定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，()()ln f x x f x -=-=，当()0,x ∈+∞时ln y x =是增函数，符合. 故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，难度较易.判断一个函数是奇函数还是偶函数，首先应判断函数的定义域是否关于原点对称，其次才是判断()(),f x f x -的关系. 3.函数()12y lg x =+-( )A. （2，3）B. （3，4]C. （2，4]D. （2，3）∪（3，4]【答案】D 【解析】 【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意22021160x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩，解得()(]2,33,4x ∈.所以函数的定义域为()(]2,33,4.故选：D【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.4.已知命题p ：∀x >0，e x >x +1；命题q ：∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1；下列命题为真命题的是( ) A. p ∧q B. p q ∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，由此确定正确选项. 【详解】令()()'1,0,10xx f x e x x fx e =-->=->，所以()f x 在()0,∞+上递增，所以()()00f x f >=，所以命题p 为真命题.当01x =时，ln1110=-=，所以命题q 为真命题. 所以p q ∧为真命题，A 选项正确，其它选项不正确. 故选：A【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5.已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 0或2- C. 0或2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，只需2480a a =-=△即可求解.【详解】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤， 即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a =-=△，∴0a =或2. 故选：C【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题. 6.函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断出()f x 的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项. 【详解】由于()()'22231xfx x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题. 7.函数2()log (41)x f x x =+-的最小值为（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 【分析】首先将函数化为241()log 2x xf x +=，令412x x t +=，利用基本不等式求出2t ≥，然后再利用对数函数的单调性即可求解.【详解】()()222241()log 41log 41log 2log 2x xxxxf x x +=+-=+-=，令412x xt +=则1222xx t =+≥，当且仅当0x =时，取等号， 所以241log 2x x+≥2log 21=， 即函数()f x 的最小值为1. 故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数型函数单调性求函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8.三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A. b <c <a B. b <a <cC. c <a <bD. a <b <c【答案】D 【解析】 【分析】 通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系.【详解】132221ln 63a ee =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭6328==，所以13e <，所以131ln ln 3e =<即13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<. 故选：D【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题. 9.设命题p ：函数21()2ln 2f x x ax x =-+-存在极值，q ：函数()log (0,1)a g x x a a =>≠在(0,)+∞上是增函数，则p 是q 的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】对于p ，首先求出函数的导数，使221()0x ax f x x-+'=-=在(0,)+∞上有解，即2210x ax -+=在(0,)+∞上有解，求出a 的范围；对于q ，根据对数函数的单调性可得1a >，再根据充要条件的定义即可求解.【详解】p ：函数21()2ln 2f x x ax x =-+-存在极值， 对函数()f x 求导得221()x ax f x x-+'=-.因为()f x 存在极值，所以221()0x ax f x x-+'=-=在(0,)+∞上有解，即方程2210x ax -+=在(0,)+∞上有解，即2440a ∆=-≥， 显然当0∆=时，()f x 无极值，不合题意， 所以方程2210x ax -+=必有两个不等正根，所以20440a a >⎧⎨∆=->⎩，解得1a >. q ：函数()log a g x x =在(0,)+∞上是增函数，则1a >.故p 是q 的充要条件. 故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、根据函数的极值求参数、对数函数的单调性，综合性比较强，属于中档题.10.已知函数2()x f x ax x xe =+-，当0x ≥时，恒有()0f x ≤，则实数a 的取值范围为（ ） A. [1,)+∞ B. (,0]-∞C. (,1]-∞D. [0,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】将函数整理为()()1xf x x ax e=+-，令()1xg x ax e=-+，讨论1a ≤或1a >时()g x 的单调性，当1a ≤时，()0f x ≤恒成立，当1a >时，根据单调性可得当(0,ln )x a ∈时()0g x >即()0f x >，不满足题意，从而可得答案.【详解】()()1xf x x ax e=+-.令()1x g x ax e =-+，则()xg x a e '=-.若1a ≤，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，而(0)0g =， 从而当0x ≥时，()0g x ≤，即()0f x ≤， 若1a >，则当(0,ln )x a ∈时，()0g x '>.()g x 增函数，而(0)0g =，从而当(0,ln )x a ∈时，()0g x > 即()0f x >，不合题意.综上可得，a 的取值范围为(,1]-∞. 故选：C【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <-的解集是（ ） A. (2,3) B. (,1)-∞C. ()(1,2)2,3⋃D. ()(,1)3,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可.【详解】当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，(1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3).故选：C【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.12.已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e exx x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111ee 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e e x x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=， 即()0x ϕ'>在()0,∞+上恒成立，∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设集合{1,2,}A a a =-，若3A ∈，则实数a =_________． 【答案】5 【解析】 【分析】推导出a ﹣2＝3或a ＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果． 【详解】解：∵集合{1,2,}A a a =-，3A ∈， ∴23a -=或3a =，当23a -=时，5a =，成立；当3a =时，21a -=，不满足集合中元素的互异性，不成立． ∴实数5a = 故答案为：5．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.已知命题p ：0[1,1]x ∃∈-，220020a x ax +-=，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(,1][1,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】根据题意可转化为方程2220a x ax +-=在[1,1]-上有解，解方程可得2x a =-或1x a=，只需21a ≤或11a≤，解不等式即可. 【详解】当命题p 为真命题，即方程2220a x ax +-=在[1,1]-上有解， 由2220a x ax +-=，得(2)(1)0ax ax +-=，显然0a ≠∴2x a =-或1x a=，∵[1,1]x ∈-， 故21a ≤或11a≤，∴||1a ≥， 即实数a 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞. 故答案为：(,1][1,)-∞-+∞【点睛】本题考查了由命题的真假性求参数的取值范围，同时考查了一元二次方程根的分布，属于基础题.15.已知函数1102,()02,x x x e x f x x ex ---≥⎧--=⎨<-+⎩，则满足不等式()30f x +>的实数x 的取值范围为_________.【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断函数()f x 为偶函数，再判断出()f x 在(0,)+∞上为减函数，0(1)23f e =--=-，从而将不等式转化为()(1)f x f >，根据函数为偶函数可得||1x <，解不等式即可. 【详解】函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵0x >时，0x -<，1()2()x f x ex f x --=--=，0x < 同理：()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数.易知()f x 在(0,)+∞上为减函数，且0(1)23f e =--=-，()30f x +>即()3f x >-，即()(1)f x f >，根据偶函数的性质知当||1x <时，得11x -<<. 故答案为：(1,1)-【点睛】本题考查了利用分段函数的性质解不等式，需掌握奇偶性定义以及指数型函数的单调性，属于中档题.16.已知a 为任意的实数，则函数2222(3ln )2y x x a x ax a =--+-+的最小值为____. 【答案】2 【解析】 分析】将问题转化为点()2,3ln A x x x -与直线y x =上点(,)B a a 之间的距离||AB 的平方，对曲线23ln y x x =-求导，求出与直线y x =平行的切线斜率，进而求出切点，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】()2223ln ()x x ax a --+-就是曲线23ln (0)y x x x =->上 点()2,3ln A x x x -与直线y x =上点(,)B a a 之间的距离||AB 的平方，对曲线23ln y x x =-求导：32y x x'=-， 与直线y x =平行的切线斜率312k x x ==-， 解得1x =或32x =-（舍去）， 把1x =代入23ln y x x =-，解得1y =-，即切点(1,1)-，则切点(1,1)-到直线y x =的距离为d == 所以22d =，即||AB 的平方最小值为2.即()2223ln ()x x ax a --+-的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，两点间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了转化与化归的思想，属于中档题 三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （Ⅰ）当1m =时，求A B ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞【解析】【分析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩ 或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解.【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1||381{|24}9x B x y x x x ⎧⎪⎧⎫===≤≤=-≤≤⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎩， 所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤.（Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+, ∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥， 若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-， ∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.18.已知命题p ：函数12()log (1)a f x x =+在[2,1]--上单调递增；命题q ：函数321()3g x x x ax =-++在[3,)+∞上单调递减.（Ⅰ）若q 是真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(,3]-∞（Ⅱ）(,0][1,3]-∞⋃【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意转化为2()20g x x x a '=-++≤在[3,)+∞上恒成立，由二次函数图像与性质即可求解. （Ⅱ）根据复合命题的真假性可得p 与q 一真一假，当p 真且q 假时，则013a a <<⎧⎨>⎩，当p 假且q 真时，则013a a a ≤≥⎧⎨≤⎩或，解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当命题q 为真命题时， 函数321()3g x x x ax =-++在[3,)+∞上单调递减， 所以2()20g x x x a '=-++≤在[3,)+∞上恒成立.22()2(1)1g x x x a x a '=-++=--++所以()g x '在[3,)+∞上单调递减，故(3)0g '≤，解得3a ≤，所以q 是真命题，实数a 的取值范围为(,3]-∞.（Ⅱ）命题p 为真命题时，函数21log 1a y x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[2,1]--上单调递增，∴01a <<. 因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 与q 的真值相反.（ⅰ）当p 真且q 假时，有013a a <<⎧⎨>⎩，此不等式无解.（ⅱ）当p 假且q 真时，有013a a a ≤≥⎧⎨≤⎩或 解得0a ≤或13a ≤≤. 综上可得，实数a 的取值范围为(,0][1,3]-∞⋃.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、根据命题的真假求参数的取值范围、简单逻辑连接词连接命题的真假判断，以及对数型函数的单调性判断，属于基础题.19.已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】【分析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m mg >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+，此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减， 故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.20.已知函数32()()12(0)f x ax a b x bx a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.（Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）若过点(1,)M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a =，1b =-.（Ⅱ）(12,11)--【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得()()0f x f x +-=，代入表达式可得=-b a ，从而可得3()12f x ax ax =-，求导函数令()0f x '=，求出极值点，再利用导数判断函数的单调性，进而确定()f x 的极小值为(2)f ，由(2)16f =即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()12f x x x =-，设点()()00,P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点(1,)M m 代入切线方程得32002312m x x =-+-，设32()2312g x x x m =-++，只要使函数()g x 有3个零点即可，利用导数与函数单调性的关系可得(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，解不等式组即可.【详解】（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=恒成立，则22()0a b x +=.所以=-b a ，所以3()12f x ax ax =-，则2()3123(2)(2)f x ax a a x x '=-=+-令()0f x '=，解得2x =-或2x =.当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>.()f x 在(2,2)-单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()f x 的极小值为(2)f ， 由(2)8241616f a a a =-=-=-，解得1a =，所以1a =，1b =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()12f x x x =-，设点()()00,P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-即()2300342y x x x =--因为其过点(1,)M m ，所以，()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设32()2312g x x x m =-++，只要使曲线()g x 有3个零点即可. 设2()660g x x x '=-=，∴0x =或1x =分别为()g x 的极值点， 当(,0)x ∈-∞和(1,)+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递增，当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减，所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩， 解得1211m -<<-.即实数m 的取值范围为(12,11)--.【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用、研究函数单调性中的应用，属于难题.21.已知函数211()(1)22x f x ax ax x e =-+-. （Ⅰ）若直线()f x 在点(0,())f x 处切线方程为1y x =+，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2a =-（Ⅱ）(2,)e +∞【解析】【分析】 （Ⅰ）求出导函数1(0)2f a '=-，根据题意利用导数的几何意义可得1(0)12f a '=-=，求解即可. （Ⅱ）将函数转化为1()(1)2x f x x ax e ⎛⎫=--⎪⎝⎭，从而可得方程102x ax e -=有2个不为1的不等实数根，然后分离参数后则有函数y a =与2()(0)x e y h x x x==≠ 图象有两个交点，利用导数画出()h x 的简图，利用数形结合即可求解.【详解】（Ⅰ）因为211()(1)22x f x ax ax x e =-+-， 得211()(1)22x x f x ax a e x e ax a xe '=--+-=--， 所以1(0)2f a '=-. 因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+， 所以1(0)12f a '=-=，即2a =-.（Ⅱ）21111()(1)(1)(1)(1)2222x x x f x ax ax x e ax x x e x ax e ⎛⎫=-+-=-+-=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点1x =.要使得()f x 有3个零点，即方程102x ax e -=有2个不为1的不等实数根， 又方程120(0)2x x e ax e a x x -=⇔=≠，令2()(0)xe h x x x=≠， 即函数y a =与()y h x =图象有两个交点，令22222(1)()0x x x xe e e x h x x x--'===，得1x =． ()h x 的单调性如表：x (,0)-∞ (0,1) 1(1,)+∞ ()h x ' -- 0 + ()h x极小值当0x <时，()0h x <，又(1)2h e =，可作出()h x 的大致图象，由图象得2a e >所以，要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为(2,)e +∞.【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数零点中的应用，考查了数形结合的思想以及转化与化归的思想，属于难题.22.已知函数()ln ()k f x x x x k R x=--∈，若函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点12,x x . （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）证明：122x x +>. 【答案】（Ⅰ）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（Ⅰ）求出()f x '，分析()f x '的符号，()0f x '=的根的个数满足的条件.（Ⅱ）不妨设12x x <，令21x tx =，1t >，将目标不等式的参数减少，用分析的方法最后证明：2112ln k t k t t ⎛⎫⨯-> ⎪⎝⎭，构造函数证明即可. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln k f x x x x x=--， 22()ln 11ln k k f x x x x x '=++-=+ 令2()ln k g x x x=+ 所以233122(),0k x k g x x x x x -'=-=>. 当0k ≤时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增. 即2()ln k f x x x'=+在(0,)+∞上单调递增， ()f x '在(0,)+∞上至多一个零点，所以()f x 在(0,)+∞上至多一个极值点，不满足条件.当0k >时，由()0g x '=，得x =，当x ∈时，()0g x '<，当)x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x在）上单调递减；在)+∞上单调递增.所以min 1()2g x g ==+， 要使函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点则函数()f x '有两个零点，即()g x 有两个零点首先min 1()02g x =<，解得102k e <<.因为21k <<，且(1)0g k =>， 下面证明：1(2)ln(2)04g k k k=+>. 设1()ln(2)4h k k k=+， 则221141()44k h k k k k-'=-=. 因为12k e <，所以222141()044k e h k k k --'=<<. 所以()h k 在10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以11(2)()ln 022g k h e e k h e ⎛⎫=>=+> ⎪⎝⎭. 所以实数k 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）因为1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，所以1x ，2x 是函数()f x '的两个零点即1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设12x x <，令21x tx =，则1t >. 所以121222ln 0,ln 0,k x x k x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即212212ln ln k k x x x x -=-. 所以22211ln k k t x t x =-，即21211ln k x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，102k e <<，1t >.要证122x x +>>. 即证212tx k >，即证2112ln k t k t t ⎛⎫⨯-> ⎪⎝⎭. 因为102k e <<，所以即证12ln (1)t t t t->>． 设1()2ln H t t t t =-+， 则22221(1)()10,1t H t t t t t-'=--=-<>. 所以()H t 在(1,)+∞上单调递减， 所以1()2ln (1)0H t t t H t=-+<=.所以122x x +>. 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数极值中的应用、导数证明不等式，考查了分析法证明不等式，考查了分析求解能力，属于难题.。
2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)
2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（六）文科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|0}A x x =>，{}|||2x B y y ==，则AB =( )A. {|0}x x <B. {|01}x x <<C. {|12}x xD. {|01}x x【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：因为{}|||2{|1}x B y y y y===，{|0}A x x =>，所以{|01}A B x x =<<，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.某校为了了解500名住校学生对宿舍管理制度的看法，将这些学生编号为1，2，…，500，采用系统抽样的方法从这些学生中抽取50名进行问卷调查，若52号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A. 3号学生 B. 200号学生C. 422号学生D. 500号学生【答案】C 【解析】 【分析】首先求出分段间隔，再根据等差数列的通项公式计算可得；【详解】解：根据系统抽样的定义首先确定分段间隔为5005010÷=， 因为52号学生被抽到，即抽到的号码首项为2， 则抽到的号码数210(1)108n a n n =+-=-， 当43n =时，43422a =， 故选：C.【点睛】本题考查系统抽样的计算，属于基础题. 3.已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得； 【详解】解：当1a =-，2b =-时，a b >，但112a b =<；当2a =-，1b =-时，1a b >，但a b <；综上，“a b >”是“1ab>”的既不充分也不必要条件，故选：D. 【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.4.函数2()lg 2x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭的定义域为( )A. [1,2]B. [2,)+∞C. [1,2)D. (1,2]【答案】C 【解析】 【分析】根据使式子有意义，则对数函数的真数大于零，偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式组，解得即可；【详解】解：根据函数()f x 解析式，有(2)(2)00ln 0x x x x +->⎧⎪>⎨⎪⎩，解得[1,2)x ∈，所以函数()f x 的定义域为[1,2)x ∈，故选：C.【点睛】本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.5.已知双曲线22:12x C y -=的左右焦点为1F ，2F ，点M 为双曲线C 上任意一点，则12MF MF ⋅的最小值为( ) A. 1B.C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，设点M 在双曲线C 右支上，则12||2MF MF a -==设2||(32)MF x x =-，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由题意知，1(F ，2F ，不妨设点M 在双曲线C 右支上，则12||2MF MF a -==设2||(32)MF x x=-，所以(212(2MF MF x x x ⋅=+=+-，所以当x =12MF MF ⋅的值最小，最小为1，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题.6.如图的程序框图表示求式子22222237153163127⨯⨯⨯⨯⨯的值，则框图中①处可填入的条件为( )A. 350?kB. 300?kC. 100?kD. 150?k【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求． 【详解】解：根据题意可知该循环体运行情况如下： 第1次：213S =⨯，2317k =⨯+= 第2次：2237S =⨯，27115k =⨯+= 第3次：2223715S =⨯⨯，152131k =⨯+= 第4次：2222371531S =⨯⨯⨯，312163k =⨯+= 第5次：2222237153163S =⨯⨯⨯⨯，6321127k =⨯+= 第6次：22222237153163127S =⨯⨯⨯⨯⨯，12721255k =⨯+=因为输出结果是22222237153163127⨯⨯⨯⨯⨯的值，127150<，且下一个因数为12721255150⨯+=>，所以①处可填的条件为“150?k ”，故选：D.【点睛】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．7.已知函数()sin 2f x x =，()tan g x x =，集合{02|()0}M x f x π==，{02|()0}N x g x π==，现从集合M ，N 中分别任取一个元素a ，b ，则使得log 1a b =成立的概率为( ) A.115B.215C.15D.415【答案】B 【解析】【分析】依题意得到30,,,,222M ππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{0,,2}N ππ=，则,a b 的组合共有15种，再求出满足log 1a b =的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：由题意知，集合30,,,,222M ππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{0,,2}N ππ=，则,a b 的组合有5315⨯=种，而满足log 1a b =即0a >且1,a a b ≠=的组合有(,)ππ，(2,2)2ππ种，故所求概率215P =，故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于中档题.8.函数()sin()x f x A ωφ=+0,||2πωφ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 6x f x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭C. ()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 23x f x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由图象可得周期，求出2ω=可排除B 、C ，再利用过点(,1)12π-区分选项A 、D 即可.【详解】由图象知, 43124T πππ=-=, 所以2T ππω==，得2ω=，故排除选项B 、C ，又图象过点(,1)12π-，代入选项A 不成立，代入选项D 成立，故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，由图象求解析式，属于中档题.9.已知向量a 与向量b 满足||2a =，||22b =，||||45a b a b +⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.4π或34πB.6π或56πC.3π或23π D.2π【答案】A 【解析】 【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，则2||1282cos a b θ+=+，2||1282cos a b θ-=-，即可求出2cos θ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量a ，b 的夹角为θ，222||||||2||||cos 4882cos a b a b a b θθ+=++=++1282cos θ=+，222||||||2||||cos 4882cos 1282cos a b a b a b θθθ-=+-=+-=-，所以2222||||144128cos (45)80a b a b θ+⋅-=-==，21cos 2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.10.函数||1()2||cos 2x f x x x e =-在33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，当[0,1]x ∈时，1()2cos 2xf x x x e =-，求出函数的导函数，即可判断函数的单调性，再由特殊值即可得解；【详解】解：因为||1()2||cos 2x f x x x e =-，33,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()||1()2||cos ()2x f x x x e f x --=--=-，故函数()f x 为偶函数， 当[0,1]x ∈时，1()2cos 2xf x x x e =-， 所以1()2cos 2sin 2xf x x x x e '=--，3(0)02f '=>，1(1)2cos12sin102f e '=--<，即()f x 在[0,1]有极值点，()f x 在x =1处的切线斜率为负，且1(0)02f =-<，满足上述的选项为A ；故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，导数的应用，属于中档题.11.抛物线2:2C x y =的焦点为F ，点M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为( ) A.4π B.2π C.916π D.34π 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得MOF ∆的外接圆的圆心P 一定在抛物线上，且圆心P 在OF 的垂直平分线上，所以||2pOF =，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；【详解】解：因为MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以MOF △的外接圆的圆心P 到准线的距离等于圆的半径||PF ，则MOF ∆的外接圆的圆心P 一定在抛物线上.又因为圆心P 在OF 的垂直平分线上，||2p OF =，3||424p p p MF =+=，则此外接圆的半径3344p r ==，故此外接圆的面积2916S r ππ==，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档题.12.在ABC 中，,,a b c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B 的取值范围为( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即2()320f x x bx '=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以2()32f x x bx '=++，若()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a cb +->，结合余弦定理，222cos 2ac b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数201911i z i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =________.【答案】i - 【解析】 【分析】首先根据复数的除法将11ii+-化简，再根据复数的乘方计算可得； 【详解】解：因为()()()21121112i i i i i i i ++===--+，21i =-，3i i =-，41i =， 所以201920194504311i i i i i ⨯++⎛⎫===- ⎪-⎝⎭，所以z i =-.故答案为：i -.【点睛】本题考查复数的除法及乘方运算，属于基础题.14.已知,,2A B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25cos 5A =-，310cos 10B =-，则A B +=________. 【答案】74π 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin B ，再根据两角和的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为,,2A B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且25cos 5A =-，310cos 10B =-，所以25sin 1cos 5A A =-=，210sin 1cos B B =--=， 所以253105102cos()cos cos sin sin A B A B A B ⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①，又,,2A B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2A B ππ<+<②，由①②，知74A B π+=. 故答案为：74π. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式，属于中档题.15.如图，边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得平面1BC D 与平面ABCD 所成二面角大小为3π，则四面体1ABC D 的体积为_________.6【解析】 【分析】连接AC 与BD 交于点E ，连接1C E ，则1AEC ∠为平面1BC D 与平面ABCD 所成二面角，过点1C 作1C O ⊥平面ABD ，即可求出1C O ，再根据1113ABD ABC D V S C O =⨯△四面体计算可得； 【详解】解：如图，连接AC 与BD 交于点E ，连接1C E ，则1C E BD ⊥，AE BD ⊥，所以1AEC ∠为平面1BC D 与平面ABCD 所成二面角，大小为3π，且BD ⊥平面1AC E ，过点1C作1C O ⊥平面ABD ，则点O 在AE 上，所以111122ABD S =⨯⨯=△，12C E =，则116sin 3C O C E π=⋅=，所以1111166324432ABD ABC D V S C O =⨯=⨯⨯=△四面体. 故答案为：624.【点睛】本题考查二面角的应用，锥体的体积计算，属于中档题.16.已知函数ln ,0()0,08,0x x f x x x x x ⎧⎪>⎪==⎨⎪⎪--<⎩，关于x 的方程22()2()10()f x af x a a -+-+=∈R 恰有8个不同实数解，则a 的取值范围为_________. 【答案】(421,)++∞ 【解析】 【分析】令()f x t =，则方程转化为22210t at a -+-+=，要使关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-+=有8个不同实数解，则关于t 的方程22()210g t t at a =-+-+=的两根需满足12,(42,)t t ∈+∞，得到不等式解得即可；【详解】解：令()f x t =，则方程转化为22210t at a -+-+=，而()f x 的图象如图，由图象可知，要使关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-+=有8个不同实数解，则关于t 的方程22()210g t t at a =-+-+=的两根需满足12,(42,)t t ∈+∞，所以有(42)0042g a ⎧<⎪∆⎨⎪>⎩，解得(421,)a ∈+∞，故答案为：(421,)+∞.【点睛】本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()*(1)n n S na n n n =--∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()113n n n b a a =--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使不等式3n mT >对一切*n ∈N 都成立的整数m 的最大值.【答案】（1）22n a n =+；（2）0. 【解析】 【分析】 （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（2）利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和为n T ，判断n T 的单调性，即可得到参数的取值范围； 【详解】解：（1）当2n 时，(1)n n S na n n =--，11(1)(1)(2)n n S n a n n --=----，两式作差得，1(1)(1)2(1)n n n a n a n --=-+-，所以12n n a a --=，结合14a =得22n a n =+.（2）因为()()1111113(21)(21)22121n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()111211212321n n n n n nT T n n n n +++=-=-++-+++()()()()()()()121231023212321n n n n n n n n ++-+==>++++所以，数列21n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭单调递增，()1min 13n T T ==. 令133m>，解得1m <，所以0m =. 【点睛】本题考查定义法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1222AA AB BC ===，M ，N ，D 分别为AB ，1BB ，1CC 的中点，E 为线段MN 上的动点.（1）证明：//CE 平面1ADB ；（2）若将直三棱柱111ABC A B C -沿平面1ADB 截开，求四棱锥1A BCDB -的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2632+. 【解析】 【分析】（1）连接CM ，CN ，可证四边形1NCDB 为平行四边形，从而得到1//NC DB ，再可得1//MN AB ，即可得到平面//MCN 平面1ADB ，从而得证；（2）连接BD 即可证明AB ⊥平面11BCC B ，得到AB BD ⊥，再根据面积公式求出锥体的表面积即可； 【详解】解：（1）证明：连接CM ，CN ，因为N ，D 分别为1BB ，1CC 中点， 所以1112NB BB =，1112C D CC =，又因为11//BB CC ，11BB CC =， 所以1//NB CD ，1NB CD =， 所以四边形1NCDB 为平行四边形， 所以1//NC DB ， 又M 为AB 中点， 所以1//MN AB ，又CM CN C ⋂=，111AB DB B ⋂=， 所以平面//MCN 平面1ADB ， 又CE ⊂平面MCN ， 所以//CE 平面1ADB .（2）连接BD ，因为AB BC ⊥，1B B AB ⊥，1BC BB B =，BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ， 所以AB BD ⊥，11122ABC S ⨯==△，12112ABB S ⨯==△，12222ACD S ==△，1(12)1322BCDB S +⨯==梯形， 在1ADB ∆中，3AD =，15AB ，12DB =所以22211AD DB AB +=，所以1AD DB ⊥，1236ADB S ⨯==△ 所以四棱锥1A BCDB -的表面积1236261322222S +=++++=+.【点睛】本题考查面面平行，线面平行的证明，锥体的表面积的计算，属于中档题.19.2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量.某部门在某小区年龄处于区间[25,45)内的人中随机抽取x人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为.“环保族”，得到图各年龄段人数的频率分布直方图和表中统计数据x y z的值；（1）求,,（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；（3）从年龄段在[25,35)的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在区间[30,35)中的概率.组数分组“环保族”人数占本组频率第一组[20,25)45 0.75第二组[25,30)25 y第三组[30,35)z0.5 第四组[35,40) 3 0.2 第五组[40,45] 3 0.1【答案】（1）200x =，0.625y =，6z =；（2）31；（3）1318. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图和表中统计数据计算可得； （2）根据频率分布直方图计算出平均数即可； （3）根据古典概型的概率计算公式计算可得； 【详解】解：（1）对于第一组，人数为45600.75=，占总人数0.0650.3⨯=，故总人数602000.3x ==人，所以200x =，0.0352000.26z =⨯⨯⨯=，250.6250.045200y ==⨯⨯.（2）设这x 人年龄的平均值为m ，所以22.50.327.50.232.50.237.50.1542.50.1530.7531m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（3）易知采用分层抽样法抽取的9人中，在[25,30)内的有5人，在[30,35)内的有4人，选取2名记录员的可能情况共有123836+++⋅⋅⋅+=种，均在[30,35)内的有1236++=种，恰有一个在[30,35)内的有4520⨯=种，故所求概率620133618P +==. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率计算问题，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，其右顶点为(2,0)M .（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，点()00,P x y 是椭圆上异于A ，B 的一动点，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 为定值吗？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，34-. 【解析】 【分析】（1）由右顶点(2,0)M ，得到2a =，则由离心率及222b a c =-计算可得；（2）直线l 的方程为y kx =，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆C 及直线l 方程，消元列出韦达定理，则01101y y k x x -=-，02202y y k x x -=-，在整体代入计算可得；【详解】解：（1）因为椭圆C 右顶点为(2,0)M ，所以2a =，又12c a =，1c ∴=，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）12k k 为定值且1234k k =-. 理由：直线l 的方程为y kx =，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆C 及直线l 方程，22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2243120k x +-=，()23484k ∆+=>0，1221243x x k =-+，22121221243k y y k x x k ==-+，01101y y k x x -=-，02202y y k x x -=-，()()2220200121212220012120212431243k y y y y y y y k k k x x x x x x x k --+++==-++-+①，又点()00,P x y 在椭圆C 上，即2200143x y +=，2200334y x ∴=-+，代入①得， 2202122023123344312443k x k k k x k -+-+==--+. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()log a f x x kx =+，（0a >且1a ≠，k ∈R ） （1）当a e =时，讨论函数()f x 的极值；（2）当1k =-时，若函数()f x 在(0,)+∞上恒有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）当0k 时，()f x 无极值；当k 0<时，()f x 极大值为1ln 1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）首先求出函数导函数，再对k 分类讨论计算可得；（2）当1k =-时，()log a f x x x =-，若函数()f x 在(0,)+∞上恒有两个零点，即()0f x =有两个解，即log a x x =，利用换底公式得ln ln x a x =，令ln ()xg x x=利用导数求函数的单调性，即可得到函数的值域，从而得到参数的取值范围；【详解】解：（1）当a e =时，()ln f x x kx =+，11()(0)kx f x k x x x+'=+=>， ①当0k 时，在(0,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 无极值； ②当k 0<时，令()0f x '=，1x k ∴=-，10,x k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以此时()f x 取得极大值11ln 1f k k ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）当1k =-时，()log a f x x x =-，若函数()f x 在(0,)+∞上恒有两个零点，即()0f x =有两个解，令()0f x =，log a x x ∴=，利用换底公式可得ln ln xa x=， 令ln ()xg x x=，21ln ()x g x x -'=，令()0g x '= ,(0,)x e x e ∴=∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，x →+∞时，()0g x →，所以1()()g x g e e =，则有10ln a e <<，解得11,e a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的零点问题，属于中档题.（二）选考题：10分.请考生在第22，23题中任选一题．．．．作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l sin 44πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点M 是圆C 上任一点，求MAB △面积的最大值.【答案】（1）22(1)(3)4x y -+-=，40x y --=；（2）12+【解析】 【分析】（1）直接消元得到圆C 的普通方程，首先将直线的极坐标方程化简，再利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）首先求出直线l 与x 轴，y 轴的交点，设M 点的坐标为(12cos ,32sin )θθ++，表示出M 点到直线l 的距离，求出距离最值，再根据面积公式计算可得；【详解】解：（1）由12cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩消去参数θ，得22(1)(3)4x y -+-=，所以圆C 的普通方程为22(1)(3)4x y -+-=.sin 44πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得cos sin 4ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为40x y --=.（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为(4,0)A ，(0,4)B -，设M 点的坐标为(12cos ,32sin )θθ++，则M 点到直线l 的距离为d ==，所以max 2d ==，又||AB = 所以MAB △面积的最大值是12)122S '=⋅⋅=+【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设函数1()|22|(0)f x x x m m m=-++>. （1）解不等式(0)3f ；（2）已知n ∈R ，若x ∀∈R ，0m >，()f x n 恒成立，求n 的取值范围.【答案】（1）{1|02x m <或}1m ；（2）(,2]-∞. 【解析】 【分析】（1）依题意可得11(0)|2|23f m m m m=+-=+，再解分式不等式即可； （2）首先将函数化为分段函数的形式，即可判断函数()f x 的单调性，即可得到1()()f x f m m m-=+再根据基本不等式计算可得；【详解】解：（1）11(0)|2|23f m m m m =+-=+1m ∴或12m ，又0m >，所以不等式(0)3f 的解集为{1|02x m<或}1m . （2）132,,11()2,,1132,,x m x m m f x x m m x m m x m x m m ⎧--+-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪⎪+->⎪⎩则()f x 在(,)-∞-m 单调递减，在(,)m -+∞单调递增，所以11()()22f x f m m m mm-=+⋅=，当且仅当1m m =即1m =时取“=”，所以n 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式及分式不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题.。
2024高考数学预测卷(九省新高考新结构卷04)【解析版】
1,2，则z C ．A B =（ } 1或2}x >}0{|x x =><{|A B x x =πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由tan tan 5α+．已知在ABC 中，点上，且5BD DC =，则AD =（ 1566AB AC +1566AC AB +C ．1455AB AC +4155AB AC +【答案】A【解析】在ABC 中，BC AC AB =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =， 则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选：A.6．()()6211x ax x +--的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（ ）)()11n a q -的符号会正负交替，这与33,,2,28p p FA p FB ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎝⎭⎝32p FA FB ⋅=⋅3FA FB ⎛⋅= ⎝7cos 25FA FB AFB FA FB⋅∴∠==⋅故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题．写出一个同时具有下列性质31231又由APQ AMN得21717,33-=则得不妨设椭圆方程为22221x ya b+=，把3，故317cea==分）在ABC中，=，且AB SC S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系2⎝则()()131,0,2,1,1,2,,1,1,,1,22AP PN AM MC ⎛⎫⎛==-== ⎪ ⎝⎭⎝()111,,m x y z =是平面PAN 的法向量，则112m AP x m PN x ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩2x =，可得4,1y z =-=-，所以()2,4,1m =--，设(22,,n x y =的法向量，则223212n AM x n MC x ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩2x =，可得，所以()2,2,1n =-； 设平面PAN 的夹角为θ，则11cos 321m n m nθ⋅==的夹角的余弦值为2163．2929925（∴）由上表可知()()33C 1k k k p P Y k p p -==-．。
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷(二十四)文科数学
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（二十四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每小题5分）1.集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,再求集合A 的子集的个数. 【详解】因为{0,1}A =， 所以其子集个数是224=. 故选C.【点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.函数()13f x x =- ） A. [)2,+∞ B. ()3,+∞ C. [)()2,33,+∞ D. ()()2,33,+∞【答案】C 【解析】 【分析】求()13f x x =-0，偶次方根大于等于0，然后解不等式组即可.【详解】因为()13f x x =-30240x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得23x ≤<或3x >，答案选C. 【点睛】本题考查定义域问题，注意对不等式组进行求解即可，属于简单题.3.已知0.72()3a =，14log 9b =，125()2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】由题意比较所给的数与0,1的大小即可.【详解】由指数函数的性质可知0.723a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,1∈，1252c ⎛⎫= ⎪⎝⎭1>，由对数函数的性质可知149b log =0<，据此可得b a c <<. 本题选择C 选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．4.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA（sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a =2，，∴sinC=sin c A a=12=22，∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5.若函数()()f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【答案】A 【解析】 【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过αβ- 的最小值是2π推出函数的最小正周期，然后得出ω的值，最后得出函数的单调递增区间．【详解】()()f x x πω=- 5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭()x ω= ()cos x ω+2sin 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再由()2fα=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π可知，1ω=． () 2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈22,233x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈．【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S -=+（2n ≥，且*n ∈N ）且23S =，则55S a =（ ） A.6332B.3116C.12364D.127128【答案】B 【解析】 【分析】先求出11S =，由题得()1121n n S S -+=+，所以{}1n S +是以112S +=为首项，2为公比的等比数列，得21nn S =-，再求55S a 的值.【详解】由23S =及121n n S S -=+（2n ≥，且*n ∈N ），得2121S S =+， 所以1321S =+， 所以11S =. 因为121n n S S -=+， 所以()1121n n S S -+=+，则数列{}1n S +是以112S +=为首项，2为公比的等比数列.所以1122n n S -+=⨯. 则21n n S =-，即()55554554212131162121S a S S --===----. 故选B.【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和通项的求法，考查数列的前n 项和和n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,cos )a B =α，(cos ,)A b =-β，若αβ⊥，则ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由αβ⊥和正弦定理得到sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，化简即得解. 【详解】因αβ⊥，所以cos cos 0a A b B -=，所以cos cos b B a A =， 由正弦定理可知sin cos sin cos B B A A =，所以sin 2sin 2A B =. 又,(0,)A B π∈，且(0,)A B π+∈， 所以22A B =或22A B π+=， 所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选D.【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D.(1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-(()333-=--故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=）（ ） A. 704立方尺 B. 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积. 【详解】设圆柱体底面圆半径r ，高为h ，周长为C .因为2C r π=，所以2Cr π=， 所以2222248114412C C h V r h h ππππ⨯==⨯⨯== 2112=（立方尺）. 故选B 项. 【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.10.已知(cos 2,sin ),(1,2sin 1),,2a b πααααπ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，若25a b ⋅=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.13B. 27C.17D.23【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合25a b ⋅=，可以求出3sin 5α=，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据同角三角函数的关系式，可以求出3tan 4α=-，最后利用两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】222cos2sin (2sin 1)12sin 2sin sin 1sin 5a b ααααααα⋅=+-=-+-=-=，所以3sin 5α=. 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-，所以3tan 4α=-，所以tan 11tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.11.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A. [7,26]- B. [1,20]- C. [4,15] D. [1,15]【答案】B 【解析】 【分析】令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n 的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围.【详解】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.12.若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],2-∞- B. (],1-∞- C. [)2,+∞ D. [)1,+∞ 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.二、填空题（每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ． 【答案】－36 【解析】试题分析：由题意在△ABC 中，D 是BC 的中点，结合向量加减运算可得：,AB DB DA AC DC DA =-=-，则2()()()1006436AB AC DB DA DC DA DB DC DA DB DC DA ⋅=-⋅-=⋅-++=-+=-． 考点：向量的运算14.已知等差数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若24,a a 是方程2650x x -+=的两个根，则6S 的值为_________ 【答案】24 【解析】因为24,a a 是方程2650x x -+=的两个根且{}n a 是递增数列，所以解得241,5a a ==，所以51242d -==-，1121a =-=-，66526(1)242S ⨯⨯=⨯-+=，故填24. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 15.已知正数,x y 满足1,x y +=则4121x y +++的最小值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】 将1x y +=变形为214x y +++=后，可将4121x y +++变形为()()41121421x y x y ⎛⎫⎡⎤++++⨯ ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开并用基本不等式求解即可. 【详解】由题可知：214x y +++=，故4121x y +++=()()41121421x y x y ⎛⎫⎡⎤++++⨯ ⎪⎣⎦++⎝⎭=1211125459424214214y x y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+++++⨯+⨯≥+⨯⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭当且仅当x=y 时取得等号 【点睛】本题考查了 “乘1法”和基本不等式求最值，考查了变形的能力，计算能力，是中档题.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于36； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .【答案】①②④ 【解析】【分析】 逐项分析. 【详解】①如图当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：112633A M ⨯==，根据对称性可知：163A M DM ==，又2AD =，所以1A DM 是等腰三角形，则12216232232A DMS⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误； ④如图设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以111112222A D M a S S a ∆===，122121222222B CM a S S a ∆-===，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故填：①②④.【点睛】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为λ，然后统一未知数λ去分析问题. 三、解答题（共70分）17.已知集合{|2101}A x m x m =-<<-，{|26}B x x =<<. （1）若4m =，求AB ；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|23x x <<；（2）67m ≤≤或9m ≥. 【解析】 【分析】（1）由题意，代入4m =，得到集合,A B ，利用交集的运算，即可得到答案； （2）由题意，集合A B ⊆，分A φ=和A φ≠两种情况讨论，即可得到答案.【详解】（1）由题意，代入m 4=，求得结合{}{}A x 2x 3,B x 2x 6=-<<=<<， 所以{}A B x 2x 3⋂=<<. （2）因为A B ⊆①当A ,2m 10m 1∅=-≥-即，解得m 9≥，此时满足题意.②A ,2m 10m 1,m 9∅≠-<-<当即且，则210216m m -≥⎧⎨-≤⎩则有6m 7≤≤，综上：6m 7≤≤或m 9≥.【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合之间的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的交集的运算，以及合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象的一部分如图所示.（1）求()f x 的解析式； （2）当5(,)36x ππ∈时，求函数()f x 的值域.【答案】(1) ()sin()f x x π=-223(2) (3⎤⎦，2【解析】 【分析】（1）从图像可以看出，此函数的最大和最小值分别为2和-2，则2A =，算出周期可以解出ω的值，最后代入最高点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，依据ϕ的取值范围求出结果. （2）通过x 的取值范围，求出x ωϕ+的取值范围，从图像中解出值域. 【详解】（1）由图可知2A =，359()412312T T ππππ=--=⇒=， 又22T πω==可得()2sin(2)f x x ϕ=+，代入最高点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，可知 52()1223k k k Z πππϕπϕπ⨯+=+⇒=-+∈，又23ππϕϕ<⇒=-，故()sin()f x x π=-223.（2）由5(,)36x ππ∈可得42333x πππ<-<， 故正弦函数(3sin(2)2sin(2)3,233x x ππ⎛⎤⎤-∈⇒-∈- ⎥⎦ ⎝⎦. 【点睛】1、从图像求解三角函数解析式时首先可以由最大值剪最小值除以2求出A 的值； 2、求解ω时一般先由图像算出周期后得到；3、求解ϕ时要注意只能够代入最高或最低值所在的点，否则其它点代入得到的值并不唯一. 19.已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A 的大小； （2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）23A π=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积.【详解】(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－. 又∵0<A <π，∴A ＝.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A . 则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos.∴12＝16－2bc －2bc ·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·sin A ＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 20.已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得n mT 5<成立的m 的最小正整数．【答案】（1）21n a n =-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设出首项1a 和公差d ，依照题意列两个方程，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由()()1111n n n b a a +=++，容易想到裂项相消法求{}n b 的前n 项和为n T ，然后，恒成立问题最值法求出m 的最小正整数． 【详解】（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意，得，解得．∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）由（1）知，a n ＝2n ﹣1． 则＝，∴T n ＝＝．∵T n +1﹣T n ＝＝＞0，∴{T n }单调递增，而，∴要使成立，则，得m ，又m ∈Z ，则使得成立的m 的最小正整数为2．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力． 21.如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E，F ，已知1DE=，3AE=，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图2.（1）证明：BE平面ACD；（2）求三棱锥C AED-的体积.【答案】（1）见证明；（2）32C AEDV-=【解析】【分析】（1）设AF BE O=，取AC中点M，连接OM，证得//OM DE，且OM DE=，得到四边形DEOM为平行四边形，得出DM OE，利用线面平行的判定定理，即可证得BE 平面ADC.（2）证得CF ADE，得到点C到平面ADE 的距离等于点F到平面ADE的距离，再利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）设AF BE O=，取AC中点M，连接OM，∵四边形ABFE为正方形，∴O为AF中点，∵M为AC中点，∴12OM CF且12OM CF=，因为平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE平面ABFE AE=，DE AE⊥，DE⊂平面ADE，所以DE⊥平面ABFE，又∵平面ADE∥平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABFE，同理，CF ⊥平面ABFE，又∵1DE=，2FC=，∴11,22DE CF DE CF=，∴OM DE，且OM DE=，∴四边形DEOM为平行四边形，∴DM OE，∵DM⊂平面ADC，BE⊄平面ADC，∴BE平面ADC.（2）因为CF DE，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF ADE∴点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离.∴三棱锥的体积公式，可得113313322C AED F AEDV V--==⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用等体积法求解三棱锥的体积，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．22.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）[32，+∞）【解析】【分析】（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a ﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．【详解】（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）•e x的导数为f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）＞0＜x，由f′（x）＜0，解得x x即有函数f（x，，+∞），．（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•e x的导数为f′（x）=e x[a﹣x2+（a﹣2）x]，由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，解得a≥32．则有a的取值范围为[32，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题．。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(四)文科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知全集U R =，{|1}M x x =<-，(){|20}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是( )A. {|10}x x -≤<B. {|10}x x -<<C. {|21}x x -<<-D. {|1}x x <-【答案】A 【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为()U NC M ，求解出集合N ，利用集合运算知识求解即可．【详解】由()2020x x x +<⇒-<<，即{}20N x x =-<< 图中阴影部分表示的集合为：()U N C M又{}1U C M x x =≥-(){}10U N C M x x ∴⋂=-≤<本题正确选项：A【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题． 2.若复数z 满足()12z i i ⋅+=-，则z =（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据()12z i i ⋅+=-，求出z ，然后根据复数模的公式求出||z ． 【详解】解：因为复数z 满足()12z i i ⋅+=- 所以()()()()2i 2i 1i 2i 2z 1i 1i 1i 1i 2-----====--++-所以||z ==A ．【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为a bi +的标准形式，然后根据模的公式求解．3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．4.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与右顶点的直线方程为240x y +-=，则椭圆C 的标准方程为（ ）A. 221164x y +=B. 221204x y +=C. 221248x y +=D. 221328x y +=【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，得椭圆的,a b ，从而得椭圆方程． 【详解】在直线方程240x y +-=中，令x =0，得y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b =2， 令y =0，得x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a =4，从而得到椭圆方程为：221164x y +=.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的几何性质．属于基础题． 5.已知向量()3,1a =，(3,3b =-，则向量b 在向量a 方向上的投影为（）A.C. -1D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可． 【详解】解：∵()3,1a =，(3,3b =-，∴向量b 在向量a 方向上的投影cos ,a b b a b a ⋅=== 故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题． 6.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移m (0)m >个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则m 的最小值为（ ）A.2324πB.1112πC.12πD.24π【答案】D 【解析】 【分析】直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数()g x 的解析式，对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，说明函数()g x 在12x π=时，取得最大值，得出m 的表达式，结合已知选出正确答案.【详解】因为函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移m (0)m >个单位长度,所以得到函数sin 223y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,所以()sin 23g x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以()g x 在12x π=时，取得最大值，所以有22()()123224m k k Z m k k Z ππππππ++=+∈⇒=+∈而0m >，所以m 的最小值为24π.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.7.已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A.25B.35C. 115π-D.15π 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】解：在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，则△ABC 为直角三角形，且∠B 为直角．则△ABC 的面积S ＝1512302⨯⨯=， 若在三角形ABC 内任取一点，则该点到三个定点A ，B ，C 的距离不小于2， 则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S ＝2222ππ⨯=，则阴影部分的面积S ＝302π- ，则对应的概率P ＝ABC S S 阴影＝30-230π＝1-15π，故选C ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．8.设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A. x y z << B. y x z <<C. z x y <<D. z y x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 9.函数()sin cos x xf x x x=+在区间[],ππ-上的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先根据奇偶性排除A 和C,再利用特殊值的正负可排除D,即得结果. 【详解】因为()()sin cos x xf x f x x x==-+，所以函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A 和C,又当2x π=时，sin22102cos22f πππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭+，故排除选项D, 故选：B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.已知长方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是长方形1111D C B A 与长方形11BCC B 的中心，则下列说法正确的是（ ） A. 直线MN 与直线1A B 是异面直线 B. 直线MN 与直线1DD 相交 C. 直线MN 与直线1AC 是异面直线 D. 直线MN 与直线1A C 平行 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，利用三角形中位线定理和异面直线的判定定理逐个判断 详解】解：如图，因为,M N 分别是长方形1111D C B A 与长方形11BCC B 的中心， 所以,M N 分别是111,AC BC 的中点，所以直线MN 与直线1A B 平行，所以A 错误；因为直线MN 经过平面11BB D D 内一点M ，且点M 不在直线1DD 上， 所以直线MN 与直线1DD 是异面直线，所以B 错误；因为直线MN 经过平面1ABC 内一点N ，且点N 不在直线1AC 上， 所以直线MN 与直线1AC 是异面直线，所以C 正确；因为直线MN 经过平面11A CC 内一点M ，且点M 不在直线1A C 上， 所以直线MN 与直线1A C 是异面直线，所以D 错误 故选：C【点睛】此题考查空中两直线的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.11.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的焦距为2c ，它的两条渐近线与直线()2y x c =-的交点分别为A ，B ，若O 是坐标原点，0OB AB ⋅=，且OAB 的面积为83，则双曲线C 的实轴长为（ ）A. 4B. 2C. 2D.2【答案】A 【解析】 【分析】直线()2y x c =-过右焦点2F ，0OB AB ⋅=，得OB AB ⊥，求出渐近线的斜率，得到,a b 关系，利用二倍角正切公式，求出tan AOB ∠，进而将||AB 用||OB 表示，结合AOB 面积求出||OB ，在2Rt OF B △中，得出||OB 、c 关系，求出c ，再由,,a b c 关系，即可得出结论. 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则直线()2y x c =-过右焦点2F ， 由0OB AB ⋅=，得OB AB ⊥，直线OB 的斜率为12-， 所以211,2,tan 22b a b F OB a ==∠=， 在2Rt OF B △中，222cos 51tan F OB F OB∠==+∠, 22||||cos 5OB OF F OB =∠=, 22222tan 4tan tan 21tan 3F OB AOB F OB F OB ∠∠=∠==-∠，在Rt AOB 中，4||||tan ||3AB OB AOB OB =∠=， 所以2128||||||233AOB S OB AB OB ===△， ||25OB ==，所以222255,1c a b b b =+===， 所以2a =，实轴长为4. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质，利用双曲线的对称性以及直角三角形边角关系是解题的关键，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.12.在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为2的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，若P ，A ，B ，C 四点都在表面积为16π的球的球面上，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A. 22B. 23C. 42D. 43 【答案】C【解析】【分析】根据球的表面积得到24R =，再利用勾股定理求得三棱锥的高PA ，最后代入体积公式计算，即可得答案；【详解】如图所示：设1O 为正三角形的中心，M 为PA 的中点，1OO ⊥面ABC ，OM PA ⊥,连结1,OA AO ， 则O 为外接球的球心，224164S R R ππ==⇒=， ∴222112346222433PA OO R AO ⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴21134642232233V ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、三棱锥体积求解，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意寻找外接球的球心位置. 二、填空题13.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______. 【答案】310x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.【详解】解：由()()1x f x x e x =++，得()'(1)1x x f x e x e =+++，所以在点()0,1处的切线的斜率为()'000(01)13f e e =+++=，所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=，故答案为：310x y -+=，【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求曲线的切方程，属于基础题.14.若实数x ，y 满足：2236x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是______.【答案】5【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组解出最优解的坐标，代入目标函数可得答案.【详解】解：不等式组表示的可行域如图所示，由2z x y =-得2y x z =-，作直线2y x =，向下平移过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，而2z x y =-取最大值， 由236x y x y -=⎧⎨+=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，则点B 的坐标为(3,1)， 所以2z x y =-的最大值为2315z =⨯-=，故答案为：5【点睛】此题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题，其中解答时正确画出可行域，利用“一画，二移，三求”，确定目标函数的最优解是关键，考查了数形结合的思想，属于基础题.15.已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）.①若l m ，则αβ∥ ②若l m ⊥，则αβ⊥③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥【答案】③【解析】【分析】①②列举反例，③利用面面垂直的判定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．【详解】①如图所示，设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′⊂β，l′∥l ，l′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l ⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n ，由面面垂直的性质定理知，m ⊥n 时，m ⊥α，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为③．【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键．否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题． 16.已知抛物线()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，若点P 在抛物线上，且点P 到l 的距离为d ，Q 在圆()2231x y +-=上，则p =______，PQ d +的最小值为______.【答案】 (1). 2 (2).101- 【解析】【分析】由抛物线的定义直接可求出2p =，由于d PF =，所以PQ d PQ PF +=+，则PQ PF +的最小值就是圆心到抛物线的焦点的距离减去半径的长.【详解】解：因为抛物线()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为2， 所以2p =，(1,0)F ，准线 :1l x =-，由抛物线的定义可知点P 到l 的距离d PF =，所以PQ d PQ PF +=+，设圆()2231x y +-=的圆心为C ，则(0,3)C ，圆的半径为1 221131101PQ CF PF -≥+=+=--，当且仅当,,,C P Q F 共线时等号成立，所以PQ d +的最小值为101-，故答案为：2；101-【点睛】此题考查了抛物线的定义和性质，考查了转化思想，属于基础题.三、解答题17.某中学举行了一次“防控新型冠状病毒别感染肺炎知识竞赛”活动.为了了解本次竞争学生成绩情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分100分），这些成绩都在[]50,100内，分组[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100作出频率分布直方图如图.已知成绩在[)60,70内的人数为15人，成绩在[)70,80内有的20人.（1）求n 的值和图中x ，y 的值；（2）在抽取的样本中，成绩在[)80,90内的学生有3名男生，现从中随机选出2人参加防控知识宣传，求这2人中至少有1人是女生的概率.【答案】（1）50n =，0.030x =，0.004y =；（2）710. 【解析】【分析】（1）根据成绩在[)70,80内有的20人，其频率为0.4，从而可求出n 的值，再由[)60,70内的人数为15人，可求出其对应的频率/组距的值x ，再用0.1-0.016-0.030-0.040-0.010可得y 的值；（2）成绩在[)80,90内有5人，其中男生3人，则女生2人，记3名男生为A ，B ，C ，2名女生为a ，b ，然后利用列举法列出随机选出2人的所有情况，利用古典概型的概率公式即可求出结果.【详解】解：（1）由题意知20500.04010n ==⨯，150.0305010x ==⨯，0.10.0160.0300.0400.0100.004y =----=.（2）成绩在[)80,90内有5人，其中男生3人，则女生2人，记3名男生为A ，B ，C ，2名女生为a ，b ，从中随机选出2人，选法为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种.其中至少有1名女生的有7种，故所求概率710P =. 【点睛】此题考查频率分布直方图和古典概型的概率，考查分析问题的能力和计算能力，属于基础题.18.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC =，D ，E 分别是AC ，BC 的中点.（1）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（2）若12AA AC ==，5AB =1A 到平面1C DE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）263. 【解析】【分析】(1) 欲证明平面1BC D ⊥平面11ACC A ，只需证明BD ⊥平面11ACC A ，只需证明BD AC ⊥，1BD AA ⊥，易证.(2) 设点1A 到平面1C DE 的距离为d ，利用1111112323E A C D A C D V BD S -=⨯⨯⨯=△，11113E A C D C D V d S -=⨯⨯△E ，只需求出1C DE △的面积即可，1C DE △的面积易求. 【详解】（1）证明：∵AB BC =，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥.∵1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴1AA BD ⊥.∵1AA AC A =，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴BD ⊥平面11ACC A .∵BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）解：由AB BC ==2AC =，D 是AC 中点知2BD =，BD AC ⊥.由1AA ⊥平面ABC ，得1BD AA ⊥，∴1AA AC A =，∴BD ⊥平面11ACC A . ∵E 是BC 中点，1//,2DE BA DE BA =，∴2DE EB EC ===. ∵12AA =，∴1C D ==12C E ==， ∴在1C DE △中，由余弦定理得，22222211111cos 25ED DC C E C DE DE DC +-+-∠===⋅，∴1sin 5C DE ∠=， ∴1C DE △的面积为1111sin 22252C D DE C DE ⋅⋅∠=⨯=. ∵1111122222A C D S AC AA =⋅=⨯⨯=△， 点E 到平面11ACC A 的距离等于12BD =， ∴三棱锥11E A C D -的体积为122133⨯⨯=. 设点1A 到平面1C DE 的距离为d ，又三棱锥11A C DE -体积为1326d ⨯=，∴263d =， ∴1A 到平面1C DE的距离3d =. 【点睛】考查面面垂直的证明以及利用等体积法求点到直线的距离，中档题.19.已知等差数列{}n a 是单调递增数列，22a =，且31a -，45,5a a +成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求满足1112503233n S T +>的最小的n 的值. 【答案】（1）34n a n =-；（2）11.【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比中项性质可得3d =，11a =-，再代入通项公式，即可得答案；（2）先求2352n n n S -=，再利用裂项相消法求n T ，最后求关于n 的不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为()0d d >，则()()()121112,21453a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+-++=+⎪⎩ ∴2230d d --=，∵0d >，∴3d =，11a =-∴{}n a 的通项公式为()1134n a a n d n =+-=-.（2）由（1）知()21343522n n n n n S -+--==， ()()1331134313431n n n b a a n n n n +===-----， 1111111111133...112255829323232T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1112503233n S T +>化为23512506432n n -->，∴2352500n n -->， ∴()()103250n n -+>，∴正整数10n >，∴满足条件的n 的最小值为11.【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量运算、裂项相消法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20.在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线E ：24y x =的焦点F 是椭圆C 的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于点Q ，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）依题意得到12c a =，()1,0F ，求出,a b ，即可得出椭圆C 的方程； （2）先由（1）得到()2,0A -，()2,0B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，与椭圆联立，根据韦达定理，得到122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，再求出点Q 的坐标，根据向量共线的坐标表示，判断//AN AQ ，即可证明结论成立.【详解】（1）依题意，12c a =，()1,0F ，所以1c =，2a =，2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）证明：由（1）知，()2,0A -，()2,0B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+， 由方程组221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，并整理得()2234690m y my ++-=， 因为()()22636340m m ∆=++>，所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 因为直线BM 的方程可表示为()1122y y x x =--，将此方程与直线4x =联立，可求得点Q 的坐标为1124,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以()222,AN x y =+，1126,2y AQ x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 因为()()()()()()2112211212211161221162222622212y my y my y x y x y y x x x my +--++⎡⎤⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦-+⋅==--+- ()221212119646463434011m m my y y y m m my my ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭===--， 所以//AN AQ ，又向量AN 和AQ 有公共点A ，故A ，N ，Q 三点在同一条直线上.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及证明椭圆中三点共线的问题，涉及向量共线的坐标表示，属于常考题型，计算量较大.21.已知函数()()211x f x ae x x =--+，a R ∈，e 是自然对数的底数.（1）若函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若当11x -<<时，函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)1,+∞；（2）21,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）由()f x 在[)0,+∞上是增函数，得()0f x '≥对0x ≥恒成立，然后分离参数()121x a e x ≥+，构造函数()()21x g x e x =+，利用导数求出()g x 的最小值，就可得()121x e x +的最大值，即可得到a 的取值范围；（2）()f x 有两个零点，等价于()()211111x e x x x a-=-<<-，也就是函数()()211x e x h x x -=-的图像与直线1y a =有两个不同的交点，然后对函数()h x 求导，判断单调性，求最值，可求出3112e a<<，从而可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）()()()2121211x x f x ae x ae x '=-+-=+-，∵()f x 在[)0,+∞上是增函数，∴()0f x '≥对0x ≥成立，∴()121x a e x ≥+对0x ≥成立. 令()()21x g x e x =+，0x ≥，则()()230x g x e x '=+>对0x ≥成立，∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，∴0x ≥时，()()01g x g ≥=，∴()101g x <≤， ∴1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞. （2）由()()()211011xf x ae x x x =--+=-<<得()()211111x e x x x a -=-<<-， 令()()211x e x h x x -=-，11x -<<，则()()()()()()()222232112111x x x e x x e x x e x h x x x -+---'==--， 由()0h x '<得01x <<，∴()h x 的单调增区间为(],0-1，单调减区间为[)0,1.()01h =，102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()1213122e h e----==-，1x →时， ()h x →-∞， 由题意知3112e a<<， ∴a 的取值范围是21,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查的是由函数的单性求参数的取值范围，利用导数解决函数零点问题，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos ,42sin ,4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点(3,2)P 作直线l 的垂线，交曲线C 于,M N 两点，求||||PM PN ⋅.【答案】（1）10x y --=，24y x =；（2）16【解析】【分析】（1）消去参数可得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程； （2）可所作直线的参数方程为3,22,2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入抛物线方程24y x =，由t 的几何意义易求得PM PN .【详解】（1）直线l 的参数方程为3cos ,42sin ,4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，消去参数可得10x y --=，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，即2sin 4cos ρθθ=，化为24y x =. （2）过点(3,2)P 与直线l垂直的直线的参数方程为3,22,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入24y x =，可得2160t +-=，∴1216t t =-，故12||||16PM PN t t ⋅==.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用。
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(四)数学(文)试题
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（四）文科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是( )A. (,2]-∞-B. [2,)+∞C. (,2]-∞D. [2,)-+∞【答案】B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项. 2.已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A. -1 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 下列说法错误的是（ ）A. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B. 如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C. 若命题：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D. “1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； 【答案】D 【解析】试题分析：根据命题的否命题的形式为条件和结论同时否定，所以A 是正确的，根据复合命题的真值表，可以确定B 项是正确的，根据特称命题的否定形式，可知C 是正确的，因为“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的必要不充分条件，可知D 是错误的，故选D ． 考点：逻辑．4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（ ） A. -6 B. -4C. -2D. 2【答案】A 【解析】【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=-解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-．考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．5.已知ππ43πsin()cos(),0,322ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（ ）A.5B.35C.45D.35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin cos sin sin cos 22ααααα++=+=-433sin 6πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.6.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的全面积是(单位：2m ).( )A. 426+B. 46C. 422+D. 42+【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥，由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为12222⨯⨯=，由顶点在底面的投，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为，侧面的面积皆为12⨯=，故此三棱锥的全面积为224++=+故选A7.若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A. 0B. 3-C.32D. 3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.8.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 若m ，n 与α所成的角相等，则//m n B. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若//m α，//n β，则//m n 【答案】C 【解析】【详解】若m ，n 与α所成的角相等，则//m n 或m ，n 相交或m ，n 异面；A 错.若αβ⊥，//m α，则m β⊥或//m β，B 错. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥正确. D ．若//m α，βn//，则//m n ,m ，n 相交或m ，n 异面，D 错 考点：直线与平面，平面与平面的位置关系 9.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10.在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ）A.32B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】1sin 1sin 2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C 11.定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-->⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，任意的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】因为()5,02x f x '>>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于52x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()212212125555,555222f x x x x x x x x <>=-⇒⇒-<∴<-⇒+<反之也成立： 12x x <时， ()()()1212121225555,,55222x x x x x x f x f x f x +<⇒<⇒>-<-=<>，所以选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．12.已知函数212()321x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，，,若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,3)B. (0,3)C. (0,2)D. (0,1)【答案】D 【解析】【分析】转化条件得函数()f x 的图象与函数y a =的图象有三个不同交点，画出图象即可得解. 【详解】由题意作出函数()f x 的图象，如图：方程()f x a =有三个不同的实数根即为函数()f x 的图象与函数y a =的图象有三个不同交点，由图可知：01a <<.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13.已知sin α2cos α=，则cos2α的值是______． 【答案】35【解析】 【分析】由已知得到tan 2α=，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.【详解】由已知得tan 2α=，22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin sin cos tan 1415ααααααααα---=-====-+++． 故答案为35-【点睛】1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.14.若11234(1)n n S n -=-+-+⋅⋅⋅+-⋅，则173350S S S ++=__________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先分当21n k =-和2n k =时，求数列的前n 项和，再代入n 值计算结果.【详解】解析：依题意，当21n k =-时， ()11112n n S k k +=+-⋅==， 当2n k =时， 2n nS k =-=-，综上所述1,2,2n n n S n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，∴1733501S S S ++=. 故答案为：1【点睛】本题考查求数列的前n 项和，重点考查分组，并项求和，属于基础题型. 15.已知,(0,),1x y x y ∈+∞+=，则11x y+的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】由(),0,x y ∈+∞，且x +y ＝1，进行1的代换11x y +=（11x y+）（x +y ），展开利用基本不等式可求． 【详解】∵x ，y ＞0．且x +y ＝1，则11x y +=（11x y +）（x +y ）＝2y xx y++≥4， 当且仅当y x x y =且x +y ＝1即x ＝y 12=时取等号，此时所求最小值4． 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．16.给出下列命题： ①函数()4cos(2)3f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π-； ②若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>； ③若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ= ；④在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若040,20,25a b B ===，则ABC ∆必有两解； ⑤函数sin 2y x = 的图象向左平移4π个单位长度，得到sin(2)4y x π=+的图象.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】试题分析：因为52()1232πππ⨯-+=-，且cos()02π-=，所以5(,0)12π-是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，所以①是正确的，因为1363ππ>，但是13tan tan 63ππ<，所以②是错误的，当a b a b +=-，所以有两个向量是反向的，即是共线向量，所以一定存在实数λ，使得b a λ=，故③是正确的，因为40sin 252040<<，所以ABC ∆必有两解，所以④是正确的，函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以⑤是正确的，故答案为①③④．考点：三角函数的性质的综合应用，三角形解的个数，向量的关系．【易错点睛】该题属于选择题性质的填空题，考查的知识点比较多，属于较难题目，在解题的过程中，需要对每个命题所涉及的知识点掌握的比较熟练，容易出错的地方是需要把握三角形解的个数的判定方法，以及图像变换中涉及到左右平移时移动的量那是自变量本身的变化量，以及三角函数在各象限内是不具备单调性的．三、解答题17.△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，m ＝(2b －c ，a)，n ＝(cosA ，－cosC)，且m ⊥n ． (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6π)取最大值时，求角B 的大小. 【答案】(Ⅰ) A ＝3π.(Ⅱ) B ＝3π时，y 取最大值2. 【解析】【详解】m ⊥·0n mn ∴=．考查数量积的坐标表示， ，求y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6π)取最大值时，将函数解析式化为y=1＋sin(2B －6π). 然后作用的角用整体法－6π＜2B －6π＜76π，在范围内求最值． 解： (Ⅰ)由m ⊥n ，得m ·n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴s inB≠0，cosA ＝12，故A ＝3π(Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋6π)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos 6π＋cos2Bsin 6π＝1－12cos2B ＝1＋sin(2B －6π).由(Ⅰ)得，0＜B ＜23π，－6π＜2B －6π＜76π，∴当2B －6π＝2π，即B ＝3π时，y 取最大值218.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m . 【答案】(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因124,,S S S 成等比数列，所以()()2111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =．因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2，所以21n a n =-．（2）因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30． 考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，7AD CD ==，3PA =，120ABC ∠=，G 为线段PC 上的点．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值．【答案】（1）见解析；（243 【解析】试题分析：（1）推导出PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，由此能证明BD ⊥平面PAC ．（2）由PA ⊥平面ABCD ，得GO ⊥面ABCD ，∠DGO 为DG 与平面PAC 所成的角，由此能求出DG 与平面APC 所成的角的正切值．试题解析：（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥.∵2AB BC ==，7AD CD ==.设AC 与BD 的交点为O ，则BD 是AC 的中垂线，故O 为AC 的中点，且BD AC ⊥.而PA AC A ⋂=，∴BD ⊥面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，O 为AC 的中点，则GO 平行且等于12PA ， 故由PA ⊥面ABCD ，可得GO ⊥面ABCD ，∴GO OD ⊥，故OD ⊥平面PAC ，故DGO ∠为DG 与平面PAC 所成的角．由题意可得132GO PA ==，ABC ∆中，由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 44222cos12012=+-⨯⨯⨯︒=，∴AC =OC =∵直角三角形COD 中，2OD ==，∴直角三角形GOD 中，tan OD DGO OG ∠==. 点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知函数()cos f x x x =223sin cos 2x x --+.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足b a =，sin(2)sin A C A +22cos()A C =++，求()f B 的值.【答案】(1)[]1,2-；(2)1.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求值域，（2）先根据两角和正弦公式展开化简()sin 2sin A C A + ()22cos A C =++得sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，再根据余弦定理得3B π=，代人()()f x f B 得值.试题解析：（1）()cos f x x x = 223sin cos 2x x --+ 22sin 1x x =-+cos2x x =+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()[]1,2f x ∈-. （2）∵由题意可得()sin A A C ⎡⎤++⎣⎦ ()2sin 2sin cos A A A C =++有，()()sin cos cos sin A A C A A C +++ ()2sin 2sin cos A A A C =++，化简可得：sin 2sin C A =，∴由正弦定理可得：2c a =，∵b =，∴余弦定理可得：222cos 2a c b B ac+-=222431222a a a a a +-==⋅，∵0B π<<，∴3B π=，所以()1f B =. 21.已知函数()1ln (1)2f x x a x =--. （1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 22y x =- (2) [2,)+∞【解析】试题分析：(1）2a =-时()ln 1f x x x =+-求导，得到在切点(1,0)处切线斜率，代入点斜式即可；(2) 求导2()2ax f x x'-=对a 分情况讨论，讨论函数的单调性，结合题目要求()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立名即可得到实数a 的取值范围； 试题解析：(1）2a =-时，()ln 1f x x x =+-，1()1,f x x =+'∴切点为(1,0)，(1)2k f ='= 2a ∴=-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-（2）（i ）1()ln (1)2f x x a x =--，2()2ax f x x'-=， 当0a ≤时，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0f x f >=，∴0a ≤不合题意．②当2a ≥即201,a <≤时，2()2()022a x ax a f x x x--==-<'在(1,)+∞上恒成立， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递减，有()(1)0f x f <=，∴2a ≥满足题意．③若02a <<即21,a >时，由()0f x '>，可得21x a <<，由()0f x '<，可得2x a>， ∴()f x 在2(1,)a 上单调递增，在2(,)a +∞上单调递减，∴2()(1)0f f a>=， ∴02a <<不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是[2,).+∞考点：利用导数研究函数的性质22.在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x x y y''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【答案】（1）22194x y += 2100x y +-=； （2【解析】【分析】（1）由'3'2x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线C 2，可得：1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 1：x 2+y 2=1，化简可得曲线C 2的直角坐标方程，将直线l 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l 的直角坐标方程. （2）将直线x +2y ﹣10=0平移与C 2相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，联立方程求出M 点的坐标，进而可得答案.【详解】（1）因为32x x y y ''=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ， 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入圆1C ：221x y +=得：'2'2194x y +=， 故曲线2C 的直角坐标方程为22194x y +=； 直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=．即210cos sin ρθρθ+=，即2100x y +-=.()2将直线2100x y +-=平移与2C 相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，设过M 的直线为20x y C ++=，则由2220194x y C x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222599360424x Cx C ++-=， 由229259()4360244C C ⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭得：52C =±， 故95x =，或95x =-，(舍去)， 则85y =，即M 点的坐标为98,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则点M 到直线l 的距离d == 【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．。
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷(六)文科数学
2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题1.集合{}2|20A x x x =--<，集合B 是函数()2lg 1y x =-的定义域，则下列结论正确的是（ ） A. A B =B. A BC. B AD.A B =∅【答案】C 【解析】 【分析】可解出集合A ，B ，然后进行子集、相等的判断，交集的运算即可．【详解】{}22|20=(1,2),{|10}(1,1)A x x x B x x =--<-=->=-，A B ∴≠, B A ，A B B =,故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，子集的概念，属于容易题. 2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A.143π B. 143π-C.718π D. 718π-【答案】B 【解析】 【分析】先根据分针每分钟转6°，求出度数，再根据角度和弧度的关系即可求出．【详解】分针每分钟转6︒，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为6(26020)840-︒⨯⨯+=-︒，148401803ππ∴-︒⨯=-︒， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了任意角的概念和角度和弧度的转化，属于基础题．3.在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（ ） A. 11 B. 10C. 7D. 3【答案】B 【解析】试题分析：依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=. 考点：等差数列．4.下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）A. ()2log 5y x =+B. 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. y =D.1y x x=- 【答案】A 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性逐项判断即可．【详解】A 中，函数()2log 5y x =+可看作由2log y t =，5t x =+复合而成的函数， 而5t x =+递增，2log y t =递增，()2log 5y x =+在(0,)+∞上递增； B 中，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的底数为13，1013<<，∴函数在R 上递减，排除B ；C 中，y =在(0,)+∞上递增，y =在(0,)+∞上递减，排除C ；D 中，1y x x =-，1y x =在()0,∞+上递减，y x =-在()0,∞+上递减，故1y x x=-在(0,)+∞上递减，排除D ； 故选：A ．【点睛】本题考查函数单调性的判断，属基础题，熟练掌握基本函数的单调性是解决本题的基础．5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，30a =，则公差d =（ ） A. -3 B. 3C. -2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】39S =，30a =，∴132392a d ⨯+=，120a d +=， 则解得公差3d =-． 故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c .若2,30︒===a c B ，则ABC∆的面积为（ ）A.12B. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】解：2,30︒===a c B ，11sin 2sin3022ABC S ac B ∆∴==⨯︒=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 7.设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由|cos |cos 22αα=-，知cos 02α<，由此能判断出角2α所在象限． 【详解】α是第二象限角，90360180360k k α∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈45180901802k k α∴︒+︒<<︒+︒k Z ∈，当2,k n n =∈Z 时，2α在第一象限， 当21,k n n Z =+∈时，2α在第三象限，∴2α在第一象限或在第三象限， |cos|cos22αα=-，cos02α∴<∴2α角在第三象限． 故选：C ．【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，比较简单．解题时要认真审题，注意熟练掌握基础的知识点．8.对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[]22=；[]2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的值为（ ）A. 42B. 43C. 44D. 45【答案】D 【解析】 【分析】直接利用新定义，化简求解即可．【详解】由题意可知：3[log 1]0=，3[log 3]1=，3[log 27]3= []33333[log 1][log 2][log 3][log 26log 27]+++⋯++00111111222223=++++++++++++⋯+++，(6个1，18个2) 62183=+⨯+45=．故选：D ．【点睛】本题考查新定义的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于中档题． 9.若角θ的终边经过点34(,)55-，则sin()cos()tan(2)2πθπθπθ++-+-=（ ）A.43B. 43-C.34D. 34-【答案】A 【解析】 由题知4tan θ=-3．由诱导公式()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故本题答案选A ． 10.已知1sin cos ,4x x ⋅=-且34x ππ<<，则sin cos x x +的值是（ ） A. 34-B. 12-C. 2-D.22【答案】C 【解析】 试题分析：因34x ππ<<,故,而,故sin cos x x+.应选C.考点：同角的三角函数关系及运用.11.已知:tan α，tan β是方程2830x x --=的两根，则()tan αβ+的值为（ ） A. 8 B. -3C. -2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先由韦达定理求出tan tan αβ+，tan tan ββ⋅，再由两角和的正切公式即可计算出()tan αβ+.【详解】方程2830x x --=的判别式△0>，tan tan 8αβ∴+= tan tan 3αβ⋅=- tan tan 8tan()21tan tan 13αβαβαβ+∴+===-+故选：D ．【点睛】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式，解题时要牢记公式，认真计算，属于容易题.12.函数()2ln f x x x =-+图象在1x =处的切线方程为（ ）A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y -+=D.210x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程. 【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：10x y ++= 故选A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二､填空题 13.满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是____个.【答案】4 【解析】 【分析】 利用条件{1，2}{1A =，2，3}，则说明A 中必含所有元素3，然后进行讨论即可．【详解】因为{1，2}{1A =，2，3}，所以3一定属于A ，则满足条件的{3}=A 或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，共有4个． 故答案为：4【点睛】本题主要考查集合关系的应用，利用并集关系确定集合A 的元素．比较基础．14.若数列｛n a ｝的前n 项和22n S n n =-，则此数列的通项公式_______．【答案】23n a n =- 【解析】数列的前n 项和是不含常数项的关于实数n 的二次函数， 据此可得，该数列为等差数列，其通项公式为：123n n na S S n-=-=- .点睛：由S n求a n时，11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a1是否包含在后面a n的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n与S n的关系的数列题均可考虑上述公式．15.如图，在单位圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，AB AC⋅的取值范围为_____.【答案】[]0,2【解析】【分析】由向量数量积的定义、余弦函数的定义可求.【详解】由向量数量积的定义可知，21||||cos||2AB AC AB AC BAC AB=∠=,而0||2AB≤≤，所以21||2[0,2]AB AC AB=∈故答案为：[]0,2【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，余弦函数的定义，圆的性质，属于中档题. 16.已知数列{}n a为正项等差数列，其前2020项和20201010S=，则2201911a a+的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】数列{}n a为正项等差数列，其前2020项和20201010S=，利用求和公式及其性质可得：19281a a a a+==+，再利用乘1法与基本不等式的性质即可得出．【详解】数列{}n a 为正项等差数列，其前2020项和20201010S =，∴202102020()10102a a +=，可得20121920201a a a a +==+，∴201922222019201920192201922019201911()(121)224a a a a a a a a a a a a a =+=++++=+，当且仅当2019212a a ==时取等号． 故答案为：4【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘1法与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三､解答题17.设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 【答案】a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值 【解析】试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值．考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18.已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式()()2150f t f t ++-≤.【答案】（1）1，2（2）4|3t t ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性可得(0)0f =，且f （1）(1)f =--，由此求得a ，b 的值． （2）由题意根据()f x 在R 上为减函数，可得()()()2155f t f t f t +≤-=-+，由此求得它的解集．【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =， 从而有()1212x x f x a+-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.（2）由（1）知()1211122221x x xf x +-+=-+++=，易知()f x 在R 上为减函数， 又因为()f x 是奇函数 ∴()()2150f t f t ++-≤转化()()()2155f t f t f t +≤-=-+由函数为减函数得：215t t +≥-+， 解得43≥t 故所求不等式()()2150f t f t ++-≤的解集为:4|3t t ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，属于基础题． 19.已知函数2()2cos cos f x x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3， （1）求常数m 的值； （2）求()f x 的单调增区间；（3）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式.【答案】（1）3m =；（2）,,36ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦x k k k z ；（3）()2sin 446π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g x x 【解析】【分析】 （1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据函数在给定区间上的最小值求出参数的值；（2）结合正弦函数的性质计算可得；（3）根据三角函数的变换规则计算可得；【详解】解：（1）因为2()2cos cos f x x x x m =++()cos 212f x x x m ∴=+++()2sin 216f x x m π⎛⎫∴=+++ ⎪⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()min 12132f x m ⎛⎫∴=⨯-++= ⎪⎝⎭3m ∴= （2）由（1）知()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈即函数的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（3）将函数()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 446y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 再把2sin 446y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位， 得到2sin 442sin 441266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()2sin 446g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质及三角函数的变换规则，属于中档题.20.已知ABC ∆的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =（1）若2b =，角60A =︒，求角B 的值；（2）若3ABC S ∆=，cos 45B =，求b ，c 的值.【答案】（1）30（2 【解析】【分析】（1）直接利用已知条件和正弦定理求出结果；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果.【详解】（1）由正弦定理得1sin 2B =，在ABC ∆中a b >， ∴A B >，∴30B =︒；（2）在ABC ∆中， ∵cos 45B =，∴3sin 5B =， 13325ABC S ∆=⋅⋅=得c =由余弦定理得222132cos 3b ac ac B =+-=， ∴39b =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，属于中档题.21.已知函数()ln k f x e x x=+（其中e 是自然对数的底数，k 为正数） （1）若()f x 在0x 处取得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值；（2）若(1,)k e ∈，求()f x 在区间1[,1]e 上的最大值.【答案】（1）1k =；（2）k【解析】【详解】（1）由已知得0()0f x '=，即0,k x x ∴= 又0()0f x =即ln 0,1k e e k e+=∴= （2）22()()k e x e k e f x x x x '-=-=， 11,1k k e e e <≤∴≤≤，由此得1(,)k x e e ∈时，()f x 单调递减；(,1)k x e∈时()f x 单调递增，故max 1()(),(1)f x f f e ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭又1(),(1)f ek e f k e =-=，当,ek e k ->即1e k e e <<-时max 1()()f x f ek e e ==- 当ek e k -≤即11e k e <<-时，max ()(1)f x f k ==． [选修4-4:坐标系与参数方程]22.已知圆的极坐标方程为：22cos 604πρρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭. （1）将极坐标方程化普通方程；（2）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值.【答案】（1）224460x y x y +--+=（2）最大值为6，最小值为2【解析】【分析】（1）将2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程． （2）由题可知圆的参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数），因为点(,)P x y 在该圆上，所以()2,2P θθ+，所以可得42sin 4x y πθ⎛⎫++ ⎪⎝+⎭=，从而得出答案． 【详解】（1）由圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭可得2cos 6022ρθθ⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭，即24cos 4sin 60ρρθρθ--+= 所以直角坐标方程为224460x y x y +--+=（2）由（1）可知圆的方程为()()22222x y -+-=所以圆的参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ ，（θ为参数）因为点(,)P x y在该圆上，所以()2,2P θθ所以2242sin 4x y πθθθ+=⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭ 因为sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，最小值为1- 所以x y +的最大值为6，最小值为2【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．[选修4-5:不等式选讲]23.已知0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立， （1）求m 的最小值；（2）若21x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）3；（2）13x ≤-或53x ≥． 【解析】试题分析：第一问结合柯西不等式，凑成相应的形式，从而求得结果，第二问注意向最值转换． 试题解析：（1）因为22222()(11)()a b a b ++≥+，所以3a b +≤，（当且仅当11a b =，即32{32a b ==时取等号）又因为a b m +≤恒成立，所以3m ≥．故m 的最小值为3．（2）使21x x a b -+≥+恒成立，须且只须213x x -+≥．∴0{223x x x ≤-+-≥或01{223x x x <≤-++≥或1{223x x x >-+≥∴13x ≤-或53x ≥． 考点：柯西不等式，恒成立问题的转换．。
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷(九)数学(文)试题
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（九）数学试卷（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设全集为R ，集合{}220|A x x x =-<，集合{}|1B x x =<，则A B =（ ）A. ()1,1-B. ()1,2-C. ()0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集定义，即可求解. 【详解】()0,2A =，()1,1B =-，所以()0,1AB =，故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.已知复数()20201z i i =⋅+，则z 的模z =（ ）A. 1B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 由20201,1iz i ==+，根据模长公式，即可求解.【详解】已知()111z i i =⋅+=+，所以z =故选：B【点睛】本题考查虚数的定义，以及复数的模长，属于基础题.3.在2019年的国庆假期中，重庆再次展现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万人次的客流.北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”.如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“朝天门”的概率为（ ）A. 16B.56 C. 13D. 23【答案】C 【解析】 【分析】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为,,A B C ，列出游览三个景点的所有安排顺序，确定最后游览“朝天门”安排个数，根据古典概型的概率即可求解.【详解】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为,,A B C ， 随机安排三个景点的游览顺序，有以下安排方法：{,,},{,,},{,,},{,,}A B C A C B B A C B C A ， {,,},{,,}C B A C A B 共有6种安排方法，其中最后游览“朝天门”由2种安排方法其概率为2163P ==. 故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.4.已知非零向量a ，b 满足：()1,1a =，1b =，()a b b -⊥，则向量a ，b 的夹角大小为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】由()a b b -⊥，()1,1a =，1b =，求出a b ⋅，再由向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由()a b b -⊥，有20a b b ⋅-=，则2cos a b b θ=，有2cos ,242ba bπθθπθ===≤≤=. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.5.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为1S ，2S ，则12S S =（ ） A. 1 B.12 C.13D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方体的对角线，求出半径，由球的表面积公式，即可求解. 【详解】内切球的半径112r =，外接球的半径22r =，所以表面积之比为2112213 S rS r⎛⎫==⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查正方体的内切球和外接球的表面积，属于基础题.6.已知tan2θ=-，则sin sin2πθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A.25 B. 25- C. 35 D. 45【答案】B 【解析】【分析】首先利用诱导公式化简函数解析式，之后利用正余弦平方和等于1，得到关于弦的分式型二次齐次式，之后化成切的式子，代入求解得结果.【详解】222cos sin tan22sin sin cos sin2cos sin1tan145πθθθθθθθθθθ-⎛⎫+=⋅====-⎪+++⎝⎭，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.7.如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为（）A. 2B. 2C. 12D. 122+【答案】C【解析】【详解】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是 求半圆y ＝上的点到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离的最大值，如图：可得：d 的最大值为OP +r ＝+1．故选：C ．8.已知()f x 是定义在[)0,+∞的函数，满足()()3f x f x +=-，当[)0,3x ∈时，()2xf x =，则()2log 192f =（ ）A.12B.13C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定函数的周期为6，利用函数周期性进行转化即可. 【详解】()()()()36f x f x f x f x +=-⇒+=，6T =，()()22log 192log 643f f =⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===，故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有函数的周期性，对数式的运算法则，属于简单题目.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.11223πB.44113πC. 4411πD. 1122π【答案】B 【解析】 【分析】借助长方体作出棱锥，利用球心到顶点的距离相等确定O 的位置，利用球的性质求出半径，即可计算. 【详解】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点，外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上， 又点O 到,,A B D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点,M N 所在直线上， 在OEN ∆中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =， 所以三棱锥A BCD -外接球的球半径22223(2)11R OE BE =+=+=44113V π=. 【点睛】本题主要考查了三视图，棱锥的外接球，球的体积，属于中档题.10.已知函数(2),1()1,11f x x f x x x ->⎧=⎨--≤≤⎩，关于x 的方程()log (1)a f x x =+恰有5个解，则a 的取值范围为（ ） A.1175a ≤< B.1175a << C.1164a << D.1164a ≤< 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 求出()f x 有表达式，可用图象来分析，再由()f x 的图象与()log (1)a g x x =+有5个交点可得a 的范围．【详解】由题意函数()y f x =的图象与log (1)a y x =+的图象有5个交点．作出()f x 的图象，根据函数解析式，其图象在区间[21,21]n n -+（*n N ∈）上的图象与[1,1]-上相同，如图，若1a >，则log (1)a y x =+是增函数，它与()f x 的图象只有一个交点，不合题意， 当01a <<时log (1)a y x =+是减函数，要有5个交点，，因此有log (41)1log (61)1a a +>-⎧⎨+<-⎩，解得1175a <<．故选：B.【点睛】本题考查方程解的个数与函数零点问题．解题时转化为函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．11.已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A. 无最小值B. 无最大值C. 有最小值,最小值为1D. 有最大值,【答案】D 【解析】 【分析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112xy x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222xy x y =- ——②设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-,又002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12.已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20xxa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221e x x a +-=,构造函数()2exx g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1e xx g x -+'=, 当()0g x '>时,1x <- 当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠,【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.设x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2x y -的最小值是______.【答案】-3 【解析】 【分析】设2z x y =-，根据约束条件画出可行域，可知z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大；由图象可知当2y x z =-过A 时截距最大，求出A 点坐标，代入可得结果.【详解】设2z x y =-，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大 由图象可知，当2y x z =-过A 时，截距最大由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：()1,1A -min 213z ∴=--=-，即()min 23x y -=-本题正确结果：3-【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在y 轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.14.对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，定义：设()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()f x 的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______；()20201112021i i i g -=⎛⎫'= ⎝-⎪⎭∑______. 【答案】 (1). 2020 (2). 0 【解析】 【分析】利用二阶导数求出三次函数()y g x =的拐点，进而可得出三次函数()y g x =图象的对称中心坐标，由此可计算出122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以及()20201120211i i i g -=⎛⎫' ⎪⎝-⎭∑的值.【详解】()3211533212g x x x x =-+-，()23g x x x '∴=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，又112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，三次函数()y g x =图象的对称中心坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即()()12g x g x +-=，所以，122020101022020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2221212212112021202120212021n n n n n n g g g g ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212122202243320212021202120212021n n n n n ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，()()()202010102211121212111202120220211n n i i n g n n g i g =--=--⎛⎫⎛⎫''-⎡-+-⎢ ⎤⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎛⎫'= ⎪⎥⎝⎣⎦∑∑()1010221101011010202210104202242020212021n n=⨯+⨯-⨯-===∑. 故答案为：2020；0.【点睛】本题考查新定义“拐点”的应用，涉及三次函数的对称中心以及等差数列求和问题，考查计算能力，属于难题.15.已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1 【解析】 【分析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入22221x y a b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b ,又()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-,又1e >,∴1e =.故答案为1.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题. 16.已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N ,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______. 【答案】()5,6 【解析】 【分析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ 可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围.【详解】由()112n n na n a +--=,∴ 当1n =,得12a =.()112n n na n a +--=——① 可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <,即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-, 又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6.【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题（共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;（2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）{}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩ ∴()11n a a n d n =+-=.{}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >,∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18.如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，E 点为AD 的中点，PE CD ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若正方形的边长为4，求D 点到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）455DH = 【解析】 【分析】（1）PD PA =，E 点为AD 的中点，可知PE AD ⊥，再由已知条件PE CD ⊥，可证PE ⊥平面ABCD ，即可证明结论；（2）连CE ，由（1）可得平面PEC ⊥平面ABCD ，过D 作DH CE ⊥与H ，根据面面垂直的性质定理，可得DH ⊥平面PCE ，即DH 为所求，且DH 为Rt CDE ∆斜边上的高，可得出结论 【详解】（1）证明：由PD PA =，E 点为AD 的中点， 可知PE AD ⊥，再已知PE CD ⊥，且AD ，CD 相交于D ，则PE ⊥平面ABCD . 又PE ⊂平面ADP ，所以平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）知PE ⊥平面ABCD ， 则平面PEC ⊥平面ABCD ，相交于EC .作DH EC ⊥，可知DH 为D 点到平面PEC 的距离， 且2245524DH ==+ 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及面面垂直性质的应用，考查空间垂直的转化，属于基础题. 19.2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元），这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y （单位：十亿元），绘制如下表1： 表1 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x12 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额y 0.9 8.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图，如图所示．（1）把销售额超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率；（2）根据散点图判断，y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（3）根据（2）的判断结果及下表中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2020年天猫双十一的销售额．（注：数据保留小数点后一位）参考数据：2i i t x =，1011020ii y==∑1018088i ii x y==∑101385ii t==∑102125380ii t=≈∑10167770i ii t y=≈∑ 2()1483t ≈参考公式：对于一组数据(),i i u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，v u αβ=-．【答案】（1）56（2）2y cx d =+更适宜．（3）22.7 2.0y x =-，324.7十亿元． 【解析】 【分析】（1）由表中数据可记畅销年中不是狂欢年为,a b ，狂欢年为,A B ，列举出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由散点图可得出回归方程类型.（3）根据公式代入数据，求出b 、a ，得出回归方程，从而可求解.【详解】解：（1）畅销年个数：4，其中的狂欢年个数：2，记畅销年中不是狂欢年为,a b ； 狂欢年为,A B ，则总共有(,)a b ，(,)a A ，(,)b A ，(,)a B ，(,)b B ，(,)A B 则5()6P A =（2）由题意2y cx d =+更适宜．（3）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i i t y t yb t t==--⨯⨯====≈--∑∑，102 2.738.5 2.0a y bt =-=-⨯≈-，22.7 2.0y x ∴=-，当11x =时，324.7y =（十亿元），∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、回归方程的求法，考查了学生的数据分析与处理能力，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点.（1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】 【分析】（1）因为31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x y a b+=利用点差法,即可求得答案.（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+, 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y , 31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-,又 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x y a b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b ——①.222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+ ∴ 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ= 设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k -=+,代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k --=+,∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21.已知函数()x f x e ax =-.（1）若函数()f x 在1(,2)2x ∈上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注319e >） （2）设2()()g x f x ax =-，若函数()g x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：12ln(2)2x x a +<. 【答案】（1）(a e ∈（2）见证明 【解析】 【分析】（1）将a 分离，构造函数()xe h x x=，利用导数研究()h x 的图像，得到a 的范围.（2）由已知()g x ，求其导函数，由x 1，x 2是g （x ）的两个不同极值点，可得a ＞0，结合g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0得到1120x e ax a --=，2220x e ax a --=进一步得到12122x x e e a x x -=-，把问题转化为证明1212212x x x x e e ex x +--＜，将其变形后整体换元构造函数()t ϕ．再利用导数证明()t ϕ＞0得答案．【详解】（1）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()0f x =得xe a x =，令()()()21x xe x e h x h x x x ='-=⇒ ∴112x ≤<时，()0h x '<， 12x <≤时，()0h x '>，∴()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在()1,2上是增函数.又12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()222e h =，()1h e =()344161640444e e e e e e ---==>， ∴()122h h ⎛⎫>⎪⎝⎭，∴h（x ）的大致图像：利用()y h x =与y a =的图像知(,2a e e ∈.（2）由已知()2x g x e ax ax =--，∴()2x g x e ax a =--'， 因为1x ，2x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），易知0a >（若0a ≤，则函数()f x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾），且()10g x '=，()20g x '=.所以1120x e ax a --=，2220x e ax a --=. 两式相减得12122x x e e a x x -=-， 于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x x x x e e e x x +-<-，两边同除以2x e ， 即证12122121x x x x e e x x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-， 即证()121221210x x x x x x e e ----+>，令12x x t -=，0t <.即证不等式210t t te e -+>，当0t <时恒成立.设()21t t t te e ϕ=-+，则()2212t t t t te t e e ϕ=+⋅⋅-'= 22211]22t t t t t t e e e e ⎡⎫⎛⎫+-=--+⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭. 设()212t t h t e =--，则()221111222t t h t e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'， 当0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，所以()()00h t h >=，即2102t t e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()0t ϕ'<， 所以()t ϕ在0t <时是减函数.故()t ϕ在0t =处取得最小值()00ϕ=.所以()0t ϕ>得证.所以()12ln 22x x a +<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查了导数在解决不等式证明问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，属于难题．请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2）4【解析】【分析】 （1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 3422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:3422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得257016t +=, 根据韦达定理:124t t +=,125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:124PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（2） ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++ ()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(七)文科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（七）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
1.已知i 是虚数单位，且1zi =，下列命题错误的是（ ） A. z 对应复平面内的点在第四象限 B. ||2z =C. z 的共轭复数为z i = D. 22z z =【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.【详解】∵1zi =+，∴1z i i+==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.2.若k ∈R ，则3k >是方程22133x y k k -=+-表示双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得k 的取值范围，再利用充要条件的知识得出正确选项.【详解】由于方程22133x y k k -=+-表示双曲线则()()330k k +->，解得3k <-或3k >.故3k >是其充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查方程是双曲线的条件，考查充要条件的知识，还考查了一元二次不等式的解法.属于基础题.3.命题“[]0?1?m ∀∈，，12m x x+≥”的否定形式是（ ） A. []10?1? 2m m x x∀∈+<，， B. []10?1? 2m m x x ∃∈+≥，， C. ()()100? 2m m x x∃∈-∞⋃+∞+≥，，， D. []10?1? 2m m x x ∃∈+<，， 【答案】D 【解析】因为命题“P ∀，Q ”的否定形式是“P ∃，Q ⌝”，所以命题“[]0?1?m ∀∈，，12m x x+≥”的否定形式是[]10?1? 2m m x x∃∈+<，，，选D. 点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”. 4.已知,m n 异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αα⊥⊥⊂⊂//，则（ ） A. //αβ且l β⊥B. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：设a αβ⋂=，由已知得平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ；构造n 与m 的平行线m '构成的面γ，然后说明a γ⊥，l γ⊥即可得结论. 【详解】如图所示：设a αβ⋂=，由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，故A ，B 错误；m a ⊥且n a ⊥，作//m m '，使得m '与n 相交，记m '与n 与构成面γ，易知a γ⊥又直线l 满足l m ⊥，l m '⊥，l n ⊥，则l γ⊥，故而l a //，则交线平行于l ，故C 错误，D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面和面面平行、垂直的判定和性质定理及运用，掌握这些定理和正确解题的关键.5.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A. 340x y ±=B. 350x y ±=C. 430x y ±=D.540x y ±=【答案】C 【解析】试题分析：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF 1=4b 根据双曲定义可知4b-2c=2a ，整理得c=2b-a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2-4ab=0，求得b a =43∴双曲线渐进线方程为y=±43x ，即4x±3y=0故选C考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用．点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案．6.三棱锥P ABC -四个顶点均在同一球面上，PA ⊥正ABC ∆面，26PA AB ==，则该球体积（ ）A. B.C. 48πD.【答案】D 【解析】 【分析】由题意把三棱锥P ABC -扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，然后求出球的体积.【详解】由题意画出几何体的图形如图，把三棱锥P ABC -扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，26PA AB ==，3OE =，ABC 是正三角形，∴3AB =， ∴22233?332AE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴2223AO AE OE =+=， ∴()34233233V ππ=⋅=球，故选：D ．【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.7.长方体1111ABCD A B C D -各顶点都在球O 面上，1::1:1:2AB AD AA =，,A B 两点球面距离m ，A 、1D 两点球面距离n ，则mn值（ ） A.3 B. 3C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】设出AB ，求出球的半径，解出A 、B 两点和A 、1D 两点的球心角，分别求出球面距离即可. 【详解】如图所示：设AB a ，则AD a =，12AA a =⇒球的直径222222R a a a a =++=，即R a =， 则OAB 是等边三角形11263m a a ππ⇒=⋅=， 在1AOD 中，1OA OD a ==，13AD a =，1112023AOD n a π∠︒⇒=⋅= 故12m n =， 故选：C .【点睛】本题考查球面距离及其它计算，考查学生空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题.8.从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -等于（ ）3 553-53【答案】C 【解析】【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接OT, 因为O 为'FF ，M 为PF 的中点， 所以MO 为'PFF 的中位线，可得|MO|=11PF ,|FM ||PF|22'==. 又1||||||||||2MT FM FT PF FT =-=-， ()1|MO ||MT |PF |PF ||FT ||FT |a 2'∴-=-+=-， 23,||||35a FT OF ==-=||||53MO MT ∴-=故选：C.9.已知点P 在直线l:y=x-1上,若存在过点P 的直线交抛物线2y x 于A,B 两点,且|PA|=|AB|,则称点P 为“正点”,那么下列结论中正确的是( ) A. 直线l 上的所有点都是“正点” B. 直线l 上仅有有限个点是“正点” C. 直线l 上的所有点都不是“正点”D. 直线l 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“正点” 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设出A ，P 的坐标，进而B 的坐标可表示出，把A ，B 的坐标代入抛物线方程联立消去y ，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l 上的所有点都符合.【详解】如下图：根据题意，设A(m,n),P(x 0,x 0-1), 已知|PA|=|AB| ，则B(2m-x 0,2n-x 0+1),∵点A,B 在y=x 2上,∴()2200,212,n m n x m x ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩.∴消去n,整理得关于x 0的方程为()220041210x m x m --+-=∵△=(4m -1)2-4(2m 2-1)=8m 2-8m+5>0恒成立,即方程恒有实数解,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及了共线向量的坐标表示，本题以满足直线y=x-1的坐标的形式，与抛物线的方程联立，通过一元二次方程根的判别式，可知方程恒有解， 即直线l 上的所有点都符合“正点”.10.某几何体中的一条线段长为7，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为( ) A. 22 B. 23C. 4D. 25【答案】C 【解析】试题分析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得:2227m n k ++=，226m k +=1n ⇒=;21k a +=，21m b+=，所以22(1)(1)6a b -+-=228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b ∴+=++=+≤++=4a b ⇒+≤,当且仅当2a b ==时取等号.故选C.考点：1.三视图；2.均值不等式11.设抛物线22y x = 的焦点为F ，过点30)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF = ，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACFSS等于（ ） A.45B.23C.47D.12【答案】A 【解析】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，， BCF ACFBC S SAC=，又11,B BC A AC ∽11BC BB ACAA =，，由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==． 由12BF BB == 知332B B x y ，==-30332AB y x ∴-=-：（）．把22y x = 代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．故24552BCF ACFBF SSAF===． 故选A ．12.设函数f （x ）在R 上存在导数'(),f x x R ∀∈ ，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞ 上，'()f x x < ，若(6)()1860f m f m m ---+≥ ，则实数m 的取值范围为（ ）A. [2,)+∞B. [3,)+∞C. [-3，3]D. (,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】令g （x ）=f （x ）﹣12x 2，根据已知条件得到g （x ）的单调性，从而得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】令g （x ）=f （x ）﹣12x 2， ∵g （x ）+g （﹣x ）=f （x ）﹣12x 2+f （﹣x ）﹣12x 2=0，∴函数g （x ）为奇函数∵x ∈（0，+∞）时，g′（x ）=f′（x ）﹣x ＜0， 函数g （x ）在x ∈（0，+∞）为减函数， 又由题可知，f （0）=0，g （0）=0， 所以函数g （x ）在R 上为减函数 ∴f （6﹣m ）﹣f （m ） =f （6﹣m ）+12（6﹣m ）2﹣f （m ）﹣12m 2≥0， 即g （6﹣m ）﹣g （m ）≥0， ∴g （6﹣m ）≥g （m ）， ∴6﹣m ≤m ， ∴m ≥3． 故选B【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，考查导数的应用，构造函数g （x ）=f （x ）﹣12x 2，判断出g （x ）的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题． 13.复数201721z i =+的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限.【答案】一 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出共轭复数，得到其坐标得答案 【详解】由()()()2017212211111i z i i i i i -====-+++-， 其共轭复数为1i +，对应的点的坐标为()1,1在第一象限， 故答案为：一.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.14.已知正四棱锥S ABCD -中,SA = ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为__________． 【答案】2 【解析】设底面边长为a ,则高h ==所以体积21133V a h ==， 设461122y a a =-,则y ′=48a 3−3a 5,当y 取最值时,y ′=48a 3−3a 5=0，解得a =0或a =4时，当a =4时，体积最大，此时2h ==.点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．15.P 为椭圆22194x y +=上异于顶点的任意一点，过P 作直线PA 、PB 分别与圆224x y +=相切于A 、B 两点，则直线AB 与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________. 【答案】83【解析】 【分析】设()00,P x y 为椭圆上点，则2200194x y +=，由基本不等式可得003x y ≤，再求出以OP 为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，求出直线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式即可得结果.【详解】设()00,P x y 为椭圆22194x y +=上的点，则2200194x y +=，∴22000011943x y x y +=≥=， 即003x y ≤，当且仅当0023x y =时等号成立，以OP 为直径的圆的方程为22220000224x y x y x y +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＝， 整理得：22000x y x x y y +--=①又圆224x y +=②②-①得，直线AB 的方程为004x x y y +=， 取0y =，得04x x =；取0x =，得04y y =， ∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形面积00116823S x y =⋅≥⋅， 即三角形面积的最小值为83，故答案为：83.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求法，两圆相交公共弦所在的直线方程，关键是求出过点P 与圆相切的两切线切点的直线AB 的方程，是中档题． 16.已知函数21()(0)2xf x x e x =+->与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是__________．【答案】)+∞ 【解析】 【分析】设x ＞0，g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上一点P （x ，y ），则P ′（﹣x ，y ）在函数f （x ）上，得()221x 2xe x ln x a --+-=++（），化简可得：12x e a e x --=-在x<0有解即可，构造函数求其范围则a 的范围可求【详解】设x ＞0，g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上一点P （x ，y ），则P ′（﹣x ，y ）在函数f （x ）上，故：()221x 2xe x ln x a --+-=++（）， 化简可得：12xe a e x --=-在x<0有解即可，不妨设()12x e m x ex --=-，则()()12'10x e xm x ee---=-⨯-＜，则函数m （x ）在区间（-∞,0）上单调递减，即 ()()0m x m >=a >故答案为)+∞【点睛】本题考查了导函数研究函数的性质，函数图象的对称性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．17.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为248sin 2θρ=-，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（([0,)θπ∈，t 为参数） （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点M 的直角坐标为(2,1)，若2MA MB =-，求直线l 的普通方程.【答案】（1）()2224x y -+=；（2）330y -+=或330y +--= 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简极坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线的普通方程得出关于参数的一元二次方程，根据参数的几何意义得出两根，求出sin θ，cos θ，从而写出直线l 的普通方程. 【详解】（1）∵248sin2θρ=-，∴44cos 44cos ρθθ=+-=，∴24cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：22sin 30t t θ+⋅-=， ∴123t t =-，122sin t t θ+=-， ∵2MA MB =-，∴122t t =-， 解得110t =-，2102t =或110t =，2102t =-，∴1210t t +=±，∴102sin θ-=±， ∵([0,)θπ∈，∴10sin θ=， ∴6cos θ=或6-． ∴直线l 的斜率153k =±， ∴直线l 的普通方程为31532150y x --+=或31532150y x +--=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义及应用，属于中档题.18.如图的空间几何体中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，//GE AB ，//EF AD ，且1GE EF ==，3AE =.（1）求证：平面CGF ⊥平面ACE ；（2）求平面CGF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23【解析】 【分析】（1）分别取,AB AD 的中点M ，N ，连接GM ，FN ，MN ，首先证明出四边形GMNF 为平行四边形得到//GF MN ，接着通过证明MN ⊥面EAC 来得到GF ⊥面EAC ，通过面面垂直判定定理即可得结果；（2）如图所示：取GF 中点H ，记MN AC O ⋂=，连接OH ，HC ，利用线面平行性质定理证出两面的交线与GF 平行，然后再证出GC FC =，可得HCO ∠为平面CGF 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在HCO 中即可求得答案. 【详解】（1）如图所示：分别取,AB AD 的中点M ，N ，连接GM ，FN ，MN ， ∵//GE AB ，//EF AD ，1GE EF ==，2AB AD ==， ∴//GM AE ，GM AE =且//FN AE ，FN AE =, ∴四边形GMNF 为平行四边形，∴//GF MN ，由于M ，N 为,AB AD 的中点，四边形ABCD 为边长为2的正方形 ∴MN AC ⊥，又∵AE ⊥平面ABCD ，∴AE MN ⊥, 又∵AEAC A =，∴MN ⊥面EAC ，∴GF ⊥面EAC ， ∴平面CGF ⊥平面ACE .（2）如图所示：取GF 中点H ，记MN AC O ⋂=，连接OH ，HC ，由（1）知，//GF MN ，∴//GF 面ABCD ， 记面GFC ⋂面ABCD m =，则////GF m MN 易得OC MN ⊥，即OC m ⊥，又∵AE ⊥平面ABCD ，∴AE BC ⊥， 又∵BC AB ⊥，ABAE A =，∴BC ⊥面ABGE ，∴BC BG ⊥，即GBC 为直角三角形， 同理FDC△直角三角形，由于BC CD =，FD GB =，由//EF AD ，则//EF BC ，∴GC FC =， ∴HC GF ⊥，即HC m ⊥，∴则HCO ∠为平面CGF 与平面ABCD 所成二面角的平面角， 由四边形ABCD 为边长为2的正方形得322OC =3OH = ∴362HC =，∴3cos 3HCO ∠=，即平面CGF 与平面ABCD 3【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，属于中档题.19.已知椭圆C 两焦点坐标分别为12(3,0),(3,0)F F -，且经过点13,2P ⎫⎪⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若AMN ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求所有满足条件的直线l 的方程.【答案】(1)2214x y +=；(2)35y =【解析】 【分析】（1）通过焦点坐标可设椭圆C 的标准方程且223a b -=，将点12P ⎫⎪⎭代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过AMN ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形可得直线l 与x 轴平行，利用1AM AN k k =-⋅计算即可.【详解】（1）∵两焦点分别为12(F F ， ∴可设椭圆C 的标准方程为：()2222 10x y a b a b+=>>，223a b -=，①又∵椭圆C 经过点12P ⎫⎪⎭， ∴2213 14a b+=，② 联立①②，解得24a =，21b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）知，点()01A -，即为椭圆的下顶点， ∵△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线l 与x 轴平行，设直线l 方程为()11y t t =-<<，则()M t -，()N t ， ∵AM k =，AN k =，∴1AM AN k k ⋅==-，解得：35t =或1t =-（舍），∴直线l 方程为：35y =. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题.20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，ADE ∆，BCF ∆均为等边三角形，//EF AB ，12EF AD AB ==.（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得//AF 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值. 【答案】（1）N 为CF 的中点，证明见解析；（22【解析】 【分析】（1）连结AC 交BD 于M ，连结MN ，证明//MN AF ，根据线面平行判定定理即可得证； （2）过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴AB ⊥，作y 轴BC ⊥于P ，则P 为BC 的中点，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值即可. 【详解】（1）当N 为CF 的中点时，//AF 平面BDN ， 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴M 是AC 的中点，∵N 是CF 的中点，∴//MN AF ， 又AF ⊄平面BDN ，MN ⊂平面BDN ， ∴//AF 平面BDN .（2）过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴AB ⊥，作y 轴BC ⊥于P ，则P 为BC 的中点，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设1AD =，则1BF =，32FP =， ∵112EF AB ==，∴()1221OP AB EF ==-，∴2OF =， ∴13,,022A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022B ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,0,2F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，112,,444N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴() 020AB =，，，13=,222 AF ⎛⎫⎪⎝⎭，，，312=,,444 BN ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ABF 的法向量为(),,x z n y =， 则00n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴20132022y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令2z =，得()20,2,n =， ∴2cos ,n BN n BN n BN⋅==-⋅， ∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为2. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.21.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【答案】(Ⅰ)24x y =(Ⅱ)00220x x y y --=(Ⅲ)92【解析】试题分析：（1）设拋物线C 的方程为24x cy =，利用点到直线的距离,求出1c =,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线,PA PB 的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线AB 的方程；（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+，联立直线与抛物线方程,消去x ,得到一个关于y 的一元二次方程,由韦达定理求得1212,y y y y +的值,还有002x y =+,将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为24x cy =，2=0c >， 解得1c =，所以拋物线C 的方程为24x y =. （2）拋物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得12y x '=， 设()()1122,,,A x y B x y (其中221212,44x x y y ==)则切线,PA PB 的斜率分别为1211,22x x ， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+， 联立方程002220{4x x y y x y--==，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=. 由一元二次方程根与系数的关系可得2212001202,y y x y y y y +=-=，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以2222000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭， 所以当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值,且取得最小值92. 考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PA PB 的方程,得出直线AB 的方程;第三问先用抛物线定义把,AF BF 的值表示出来,联立直线AB 与抛物线方程,得到1212,y y y y +的值, 将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.22.已知函数()ln f x x mx =-（m 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2m ≥时，设2()2()g x f x x =+的两个极值点12,x x ，（12x x <）恰为2()ln h x x cx bx =--的零点，求1212()()2x x y x x h '+=-的最小值. 【答案】（Ⅰ）当0m >时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m，单调递减区间为1(,)m +∞，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；（Ⅱ）2ln 23-+.【解析】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当0m ≤时，导函数不变号，故()f x 的单调递增区间为()0,+∞.当0m >时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（2）先求()g x 导数得12,x x 为方程的两根，再求()h x 导数得()1'2h x cx b x=--，因此1212122'=()2x x h c x x b x x +⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭，而由12,x x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，得22111222ln 0,ln 0x cx bx x cx bx --=--=,两式相减得()()()11212122ln0x c x x x x b x x x --+--=,即得()1121221ln 0x c x x b x x x -+-=-，因此1211212221'=ln 2x x x h x x x x x +⎛⎫- ⎪+-⎝⎭，从而y ()11212111222212ln 2?ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++12ln 1t t t -=-+，其中()1201,x t t x =<<根据韦达定理确定自变量范围：因为2212121212()32321911,()2,0102222x x x x x x m t t t x x t +=+=≥⇒≥⇒++≥<<⇒<≤又()()212?01t y t t '--=<+，所以min 2ln 23y =-+ 试题解析：（1），当0m >时，由10mx ->解得1x m<,即当10x m <<时，()()'0,f x f x >单调递增， 由10mx -<解得1x m >,即当1x m>时，()()'0,f x f x <单调递减,当0m =时，()1'0f x x=>,即()f x 在()0,+∞上单调递增,当0m <时，10mx ->故()'0f x >，即()f x 在()0,+∞上单调递增,所以当0m >时，()f x 的单调递增区间为10,m ⎛⎫⎪⎝⎭,单调递减区间减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞.（2）()()2222ln 2g x f x x x mx x =+=-+,则()()221'x mx g x x-+=,所以()'g x 的两根12,x x 即为方程的两根. 因为32m ≥,所以2121240,,1m x x m x x ∆=->+==,又因为12,x x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，所以22111222ln 0,ln 0x cx bx x cx bx --=--=,两式相减得()()()11212122ln 0x c x x x x b x x x --+--=,得()121212ln xx b c x x x x =-+-,而()1'2h x cx b x=--, 所以()()1212122y x x c x x b x x ⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()()121212121212ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()11212111222212ln 2?ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++令()12101,2ln 1x t t t y t x t -=<<=-+,由()2212x x m +=得22212122x x x x m ++= 因为121=x x ,两边同时除以12x x +，得212t m t++=，因为22m ≥，故152t t +≥，解得12t ≤或2t ≥，所以102t <≤，设()12?ln 1t G x t t -=-+，所以()()()21'2?01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln 223G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为2ln 23-+.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值 【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(十六)文科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（十六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{0,2,4}A =集合2{|1}B x N log x =∈，则A B =( )A. {}2,4B. {}0,1,4C. {}1,2,4D.{}0,1,2,4【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合B ，再利用并集的定义即可.【详解】由题知{}{}{}2|log 1|021,2B x N x x N x =∈≤=∈<≤=，又{}0,2,4A =，所以{}0,1,2,4A B ⋃=.故选：D.2.已知复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 1或1-【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得1z mi =+，计算出iz ，结合纯虚数的概念即可得出结果. 【详解】因为复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，1z mi =+， 因为()1iz i mi m i =+=-+为实数，得0m =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，已知复数的类型求参数的值，属于基础题. 3.命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是（ ） A. 所有偶函数的图象不关于y 轴对称 B. 存在偶函数的图象关于y 轴对称 C. 存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称 D. 不存在偶函数的图象不关于y 轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】首先对原命题补充全称量词，其否定再改写为特称命题即可.【详解】“偶函数的图象关于y 轴对称”等价于“所有的偶函数的图象关于y 轴对称”， 根据全称命题进行否定规则，全称量词改写为存在量词，条件不变，否定结论. 所以原命题否定是“存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称”. 故选：C【点睛】本题考查对命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 4.已知向量a 与向量b 平行，且3a =，4b =，则a b ⋅=（ ） A. 12 B. 12-C. 5D. 12或12-【答案】D 【解析】 【分析】首先得出向量a 与向量b 的夹角为0或180，根据向量数量积的概念即可得出结果. 【详解】分析题意知，向量a 与向量b 的夹角0θ=或180， 当0θ=时，034cos012a b ⋅=⨯⨯= 当180θ=时，034cos18012a b ⋅=⨯⨯=-， 故选：D.【点睛】本题主要考查了向量平行的概念，向量数量积的运算，属于基础题. 5.将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为( )A. 213B. 215C. 217D. 219【答案】B 【解析】 【分析】先求出前14行共有多少个数，然后易得第15行第3个数．【详解】根据题意分析可得，在三角形数阵中，前14行共排了14(114)123 (141052)⨯+++++==个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项1081(1081)2215a =+-⨯=，故选：B .【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项公式，解题时根据图形寻找到数字的规律是解题关键．6.若{1,2,3,4,5)i x i =对应数据如茎叶图所示:现将这五个数据依次输入程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A. 2S =，即5个数据的方差为2B. S = 2，即5个数据的标准差为2C. 10S =，即5个数据的方差为2D. S = 10，即5个数据的标准差为4 【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序运行，得出运行结论． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的值为5，∴输出()()()()()222221018201920222021202020S ==-+-+-+-+-. 故选：C【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，考查方差的概念．模拟程序运行是求解此类问题的基本方法．7.在区间[]0,5上随机地取一个数x ，则事件“1124x -≤≤”发生的概率为（ ） A.25B.15C.12D.14【答案】A 【解析】 【分析】解出指数不等式1124x -≤≤，结合几何概型的概念即可得结果. 【详解】因为1012124222x x --≤≤⇒≤≤，得13x ≤≤， 所以事件“1124x -≤≤”发生的概率为312505P -==-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了指数不等式的解法，几何概型中长度型概率的求法，属于基础题. 8.如图在四棱锥P ABCD —中，PD ⊥平面ABCD ，E 为线段CD 上的一点，则“AE ⊥BD ”是“AE ⊥平面PBD ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合充分、必要条件的判定，得到“AE BD ⊥”是“AE ⊥平面PBD ”的充分条件，再由线面垂直的性质，可得“AE BD ⊥”是“AE ⊥平面PBD ”的必要条件，即可得到结论.【详解】因为PD ⊥平面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ，所以PD AE ⊥， 又AE BD ⊥且PD BD D ⋂=，所以AE ⊥平面PBD . 所以“AE BD ⊥”是“AE ⊥平面PBD ”的充分条件； 又由AE ⊥平面PBD 且BD ⊂平面PBD ，可得AE BD ⊥， 所以“AE BD ⊥”是“AE ⊥平面PBD ”的必要条件， 综上可得“AE BD ⊥”是“AE ⊥平面PBD ”的充要条件. 故选：C .【点睛】本题主要考查了以线面位置关系为背景的充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理上解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 9.函数()211sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图象为( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】令21()sin g x x x x =+，易知()g x 是奇函数，则()f x 的图象关于点 10,π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，排除部分选项，然后再利用特殊值法确定. 【详解】因为()()2211()sin sin =()⎛⎫-=-+=-+- ⎪-⎝⎭g x x x x x g x x x ，所以()g x 是奇函数， 所以()1()π=-f xg x 的图象关于点10,π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，排除B 、C 两个选项，又()0f π=，当(0,)x π∈时，211sin 0,x x x π>>， 所以()0f x >，排除D . 故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析，转化求解问题的能力，属于中档题.10.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 是双曲线右支上任意一点，M 是线段1PF 的中点，则以1PF 为直径的圆与圆222x y a +=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】作出草图，由双曲线定义可得122PF PF a -=，根据中位线定理可以得出212MO PF =，可得出圆心距等于两圆的半径之差，由此易判断得出两圆相切，即可选出正确选项. 【详解】∵P 在双曲线右支上，∴122PF PF a -=∵M 是线段1PF 的中点，∴1112MF PM PF ==∵O 是线段12F F 的中点，∴212MO PF = ∴12111122PF PF a MF OM a OM MF a ⇒-=-=⇒=- 即圆心距等于两圆的半径之差∴以线段1PF 为直径的圆与圆222x y a +=的位置关系是相内切.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与圆的位置关系的判断，解题的关键是熟练掌握双曲线的性质及圆的位置关系的判断方法，属于中档题.11.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比510.6182t =≈还可以表示成2sin18︒，2=（ ）A. 4B.1C. 2D.12【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及诱导公式可将分子化为sin36，将2sin18t =︒代入结合三角恒等式可将分母化为4sin18cos18︒，最后根据二倍角的正弦即可得结果. 【详解】因为2sin18t ︒=2sin 36sin 36124sin18cos182sin 36︒︒︒︒︒︒︒====. 故选：D .【点睛】本题主要考查了通过二倍角的正、余弦公式，诱导公式以及三角恒等式化简求值，属于中档题.12.已知抛物线2:C y x =，P 是直线20x y ++=上的动点，过点P 向曲线C 引切线，切点分别为A ，B ，则PAB △的重心（ ） A. 恒在x 轴上方 B. 恒在x 轴上 C. 恒在x 轴下方 D. 位置不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设()002,P y y --，设()()221122,,,A x x B x x ，求得函数的导数，可得切线的斜率，进而得到切线的方程，由点P 在切线上可得12,x x 是方程2002(2)0x y x y +++=的两根，结合韦达定理可得01203y y y ++>，进而可得结果.【详解】∵P 在直线+20x y +=上，∴设()002,P y y --， ∵,A B 在2yx 上，∴设()()221122,,,A x x B x x ，∵2y x '=，∴1112x x k y x =='=，∴A 点的切线方程1l 为21112()y x x x x -=-，∵点P 在1l 上，∴2011012(2)y x x y x -=---，即()210102+20x y x y ++=，同理，B 点的切线方程有220202(2)0x y x y +++=， ∴12,x x 是方程2002(2)0x y x y +++=的两根，∴1201202(2x x y x x y +=-+⎧⎨=⎩），222122012212120.750333(0.5)x x x y y y x x x x +++++∴==>+∴PAB ∆的重心恒在x 轴上方. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程运用韦达定理，同时考查切线方程的求法，注意运用导数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13.为支援武汉的防疫，某医院职工踊跃报名，其中报名的医生18人，护士12人，医技6人，根据需要，从中抽取一个容量为n 的样本参加救援队，若采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员.当抽取n +1人时，若采用系统抽样，则需剔除1个报名人员，则抽取的救援人员为________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员，结合抽取人数为正整数，则可得到n =6，12，18或36，再由采用系统抽样需剔除1个报名人员，即可得到n =6。
2021年高三4月高考模拟检测数学(文)试题 含答案
2021年高三4月高考模拟检测数学（文）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B． C． D．3. 向量与直线的位置关系是（）A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行4. 复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在等腰中，，，（）A． B． C． D．6. 已知函数则下列结论正确的是A．函数在上单调递增 B．函数的值域是C． D．7．已知正项等差数列满足，则的最小值为（）A．1 B．2 C．xx D．xx8. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形 (如图所示),则它的体积为（）A. B. C. D.9. 直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810. 在数列中，已知，则等于A B C D11.已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A BC D12．已知是函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上13.执行右图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为14．设变量，满足约束条件，则的最小值为．15．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于2的概率是___________。
16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为。
三、解答题：本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上17.（本小题满分12分）某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的数学成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如下所示，规定成绩不小于125分为优秀。
2021年全国高考数学模拟试卷(文科)(四)(全国ⅲ卷)含详解
2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（四）（全国Ⅲ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x ∈Z |0＜x ＜10}，则A ∩B 的子集个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．92．（5分）sin （﹣260°）cos35°﹣sin10°sin145°＝（ ） A ．√22B ．−√22C ．12D ．−√323．（5分）已知复数z =2+ai1+i（a ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣2，2）4．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+x ，则不等式f （lnx ）＜f （﹣1）的解集为（ ） A ．（0，e ） B ．（﹣∞，1e）C ．（0，1e）D ．（1e，+∞）5．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，椭圆上一点M 到F 1的距离为2，P 为线段MF 1的中点，若点P 到坐标原点O 的距离为2，则该椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．25C ．13D ．126．（5分）2020年是国家启动“三支一扶”计划的第十五年，某地接收“三支一扶”大学生5人，其中男生3人，现从中挑选3人派往该地某村开展驻村帮扶工作，其中既有女生又有男生的概率为（ ） A ．35B ．310C ．910D ．387．（5分）如图所示，四边形A 1B 1C 1D 1，BCC 1B 1，DCC 1D 1均为正方形，且它们所在的平面两两相互垂直，则A 1C 1与B 1C 所成的角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．（5分）已知正项等差数列{a n }的公差为d ，则“d ＞0”是“对任意的正整数n ，lg a n+1a n＞0”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）若函数f （x ）＝tan （ωx +π6）（ω＞0）的图象相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π2，则下列结论错误的是（ ）A ．函数f （x ）在区间（−π6，π6）上单调递增B ．函数f （x ）的最小正周期为π2C ．函数f （x ）的图象关于点（π4，0）对称D ．函数f （x ）的图象与直线x =π6不相交10．（5分）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架．榫卯是在两个木构件．上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头）；凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（）A ．12B ．18C ．24D ．3611．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[2，4]时，f （x ）={−x 2+4x ，2≤x ≤3x 2+2x ，3＜x ≤4，g（x ）＝ax +1，若对∀x 1∈[2，4]，∃x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）≥f （x 1），则正实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，2]B ．（0，72]C ．[2，+∞）D ．[72，+∞）12．（5分）已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点A ，B ，与圆x 2+y 2＝a 2+b 2在第一象限交于点P ，且满足|F 1A |：|AB |：|BP |＝3：2：1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．4B ．√19C ．√20D ．√21二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
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2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
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第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 的共轭复数为z ，且()23i z i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 2 B.2C.26 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：()23i z i -=+，∴()()()()3235512225i i i iz i i i i ++++====+--+，则z z ===.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，模的求法，属于基础题. 2.已知集合{|A x y ==，B N =，则A B =（ ）A. {}1,2B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】求解函数的定义域化简集合A ，然后利用交集运算求解即可.【详解】解：{(]|,2A x y ===-∞，B N =，∴{}0,1,2A B =.故选：D.【点睛】本题考查交集运算，函数的定义域的求法，属于基础题.3.已知()12log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，()()2a f f =-，ln π2b =，lncos5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b c a >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可. 【详解】解：由题设知，()()12112log244a ff f ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，ln π1>，∴ln π22b =>，又0cos51<<， ∴lncos50c =<，则b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题.4.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运”，则在12019这2019个数中，能称为“幸运数”的个数是（ ） A. 251 B. 250 C. 252 D. 253【答案】C 【解析】 【分析】利用新定义，求出幸运数的满足条件，然后利用数列通项公式即可. 【详解】解：设两个连续奇数为21n -，()21n n N *+∈，则它们的平方差为()()()2221218n n n n N *+--=∈，故“幸运数”即为能被8整除的正整数， 在12019这2019个数中，幸运数组成一个首项为8，公差为8的等差数列，末项为2016，设共有m 个幸运数，则()2016818m =+⋅-， 解得，252m =. 故选：C.【点睛】本题考查新定义的连接与应用，数列的应用，数列通项公式的运用，考查计算能力，属于基础题. 5.函数()5sin cos 22x f x x x x ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的部分图象可以为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再代入特殊值，进而判断结果.【详解】解：()5sincosfxxxx=-∴函数()f x是奇函数，则图象关于原点对称，则排除B、D，又5sin0.5cos6666fππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝≈-⎭，则排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性，结合三角函数的特殊值的运用，属于基础题.6.某市为庆祝建国70周年，营造一个安全的交通出行环境，方便市民出行，对全市两千多辆出租车的行驶年限进行了调查，现从中随机抽出100辆出租车，已知抽到频率的出租车的行驶年限都在(]0,6年之间，根据调查结果，得到出租车行驶年限情况的残缺频率分布直方图，如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计出租车行驶年限的中位数大约是（）A. 3.5B. 3.4C. 3.3D. 3.6【答案】B【解析】【分析】先算出数据位于[)1,2的频率，再设中位数x，依据中位数的概念可知两边面积都是0.5，进而列式，求出中位数x的值.【详解】解：由频率分布直方图知，数据位于[)1,2的频率为()10.080.120.160.200.300.14-++++=，∴前三个矩形的面积之和为0.080.140.160.38++=设中位数x ，则() 0. 3830.300.5x +-⨯=， 解得， 3.4x =. 故选：B.【点睛】本题考查根据频率直方图运算中位数的问题，考查运算能力，属于基础题.7.22sin 20sin80sin 20sin 40︒︒-︒︒的值为（ ）A.2B.4C.D.12【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式的逆用进行化简，进而算出结果即可.【详解】解：22sin 20sin80sin 20sin 40︒︒-︒︒()sin 202sin 80sin 202sin 80sin 202sin 20cos 202cos 20︒︒-︒︒-︒==︒︒︒()2sin 6020sin 202cos 20︒+︒-︒=︒20sin 20sin 202cos 202︒+︒-︒==︒. 故选：A.【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题.8.已知单位向量1e ，2e ，且()12,OP m n m e n R e =+∈，若12e e ⊥，1OP =，则下列式子一定成立的是（ ） A. 1m n += B. 1mn =C. 221+=m nD. 12mn =【答案】C【分析】根据题意可知2212122222OP m n e e e e mn =++⋅，再利用1e ，2e 是单位向量且12e e ⊥，1OP =，代入化简，即可判断出结果.【详解】解：()12,OP m n m e n R e =+∈，∴2212122222OP m n e e e e mn =++⋅，1e ，2e 是单位向量且12e e ⊥，1OP =，∴221m n =+.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的应用问题，属于基础题.9.如图所示的程序框图，输入2m =，若输出的值为32，则判断框内应填入的条件为（ ）A. 6n >B. 6n <C. 6n ≥D. 6n ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算，即可得出结果.【详解】解：由程序框图知，2m =，4i =，2n =， 第一次：3m =，3i =，32m i +≠，否，循环，3n =， 第二次：5m =，2i =，32m i +≠，否，循环，4n = 第三次：9m =，1i =，32m i +≠，否，循环，5n = 第四次：17m =，0i =，32m i +≠，否，循环，6n = 第五次：33m =，1i =-，32m i +=，是，此时 6n =. 则判断框内应填入的条件为6n ≥.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，属于基础题.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF 距离是8，且椭圆的焦距为a =（ ） A. 8 B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】过O ，2F 作直线1PF 的垂线，垂足为A ，B ，则2//OA F B ，由题设知，||OA =，进而算出22|||sin 602|F B a PF ==︒，由椭圆的定义知，13||2PF a =，运用余弦定理化简得22167c a =，进而算出a 的值.【详解】解：过O ，2F 作直线1PF 的垂线，垂足为A ，B ，则2//OA F B ，由题设知，||OA =，O 是21F F 的中点，∴2||F B =，在2Rt PBF 中，1260F PF ∠=︒，∴22|||sin 602|F B aPF ==︒，由椭圆定义知，13||2PF a =， 在21PF F 中，由余弦定理得，()222313122cos602222c a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⋅⋅︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22167c a =，又椭圆的焦距为，∴c =4a =.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，考查余弦定理的运用，属于中档题.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin tan c A a C =，()222c a b =-+，则ab =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简得1cosC=2，则3C π=，再利用余弦定理求出ab 的值.【详解】解：由正弦定理及2sin tan c A a C =得，sin sin sin s c 2in os A CC A C=，sin 0C ≠，sin 0A ≠，∴1cosC=2，则3C π=，∴由余弦定理得，222c a b ab =+-，又()222c a b =-+，∴22222c a b ab =+-+， 即222222a b ab a b ab +-=+-+，∴2ab =.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理，化简求值，考查分析能力，属于中档题.12.已知双曲线22221x y a b-=() 0,0a b >>的渐近线与圆222x y a +=在第一象限的交点为P ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若121tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率(e e >的值为（ ） A. 2 B. 5C.D.【答案】D 【解析】 【分析】有题意可知222b y xa x y a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得出交点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1, 0F c -可得1122221tan 3PF abab c PF F k a c a c c∠====++，结合,,a b c 关系，求出,a b 关系，进而算出离心率(e e >的值.【详解】解：由222b y x a x y a⎧=⎪⎨⎪+=⎩得，2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭又()1, 0F c -，则112222221tan 23PF abab ab c PF F k a c a b a c c∠=====+++，整理得22230,a ab b b a -+==，或2b a =，,c e e ∴==>舍去，或,c e =∴=故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，离心率的计算方法，考查分析能力和运算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线与抛物线224y x x =-+相切，则a =__________.【答案】2或6- 【解析】 【分析】先求导得()xxf x ae axe '=+，曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线的斜率为()0k f a '==，由切点为()0,0，得切线方程为y ax =，并与抛物线方程联立得()2240x a x -++=，进而算出()22440a ∆=+-⨯=时a 的值.【详解】解：()x f x axe =，∴()x x f x ae axe '=+，则曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线的斜率为()0k f a '==， 又切点为()0,0，∴切线方程为y ax =，联立224y ax y x x =⎧⎨=-+⎩得()2240x a x -++=， ∴()22440a ∆=+-⨯=，解得2a =或6a =-. 故答案为：2或6-.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程，属于中档题.14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，则5S =__________.【答案】512 【解析】 【分析】由数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，得出()142nn S n S -=≥，则数列{}n S 是公比为4的等比数列，则124n n S -=⨯，进而算出结果.【详解】析：数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，∴221log log 2n n S S --=，即()142nn S n S -=≥，又112S a ==， ∴数列{}n S 是公比为4的等比数列，则124n n S -=⨯. ∴4524512S =⨯=.故答案：512.【点睛】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于中档题. 15.函数()2sin2sin2f x x x =+的最小正周期为__________. 【答案】π 【解析】 【分析】分类讨论sin 20x ≥和sin 20x <的情况，化简函数式子，进而可以画出图象，来判断最小正周期即可.【详解】解：当sin 20x ≥时，即,2x k k πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，()3sin 2f x x =， 当sin 20x <时，即,2x k k πππ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()sin 2f x x =， 则函数()2sin2sin2f x x x =+的最小正周期为π 故答案为：π.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期的求法，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，PA PB PC ==，当其外接球的表面积为252π，且P 点到底面ABC 的距离为AC 时，则侧面PAC 的面积为__________. 【答案】4【解析】 【分析】设P 点在底面ABC 上的射影为D ，根据题意可知D 点为ABC 的外心，并且为斜边AC 的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==，设外接球的半径为R ，由题设知，22542R ππ=，则 R =，()2222AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，代入数据解得2a =，进而求出侧面PAC 的面积.【详解】解：设P 点在底面ABC 上的射影为D ，PA PB PC ==，∴DA DB DC ==，则D 点为ABC 的外心，又底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，∴D 点为斜边AC 的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==，设外接球的半径为R ， 由题设知，22542R ππ=，∴R =设球心为O ，则O 在PD 上，∴()2222AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2222⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 解得，2a =，∴侧面PAC 的面积是11422AC P S D =⋅⋅=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查棱锥外接球有关的问题，结合勾股定理的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某市实验中学数学教研组，在高三理科一班进行了一次“采用两种不同方式进行答卷”的考试实验，第一种做卷方式：按从前往后的顺序依次做；第二种做卷方式：先做简单题，再做难题.为了比较这两种做卷方式的效率，选取了50名学生，将他们随机分成两组，每组25人.第一组学生用第一种方式，第二组学生用第二种方式，根据学生的考试分数（单位：分）绘制了茎叶图如图所示.()1若120分（含120分）以上为优秀，根据茎叶图估计两种做卷方式的优秀率； ()2设50名学生考试分数的中位数为m ，根据茎叶图填写下面的22⨯列联表：超过中位数m 的人数 不超过中位数m 的人数 合计 第一种做卷方式 第一种做卷方式 合计根据列联表，能否有99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】()1第一种做卷方式的优秀率为8%；第二种做卷方式的优秀率为36%；()2填表见解析；有99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【解析】【分析】()1根据概率的计算方法运算即可；()2先算出中位数，代入数据算出2K的值，比较数据，得出结论.【详解】解：()1根据茎叶图中的数据知，用第一种做卷方式答卷的分数在120分（含120分）以上的有2人，∴第一种做卷方式的优秀率为28% 25=用第二种做卷方式答卷的分数在120分（含120分）以上的有9人，∴第二种做卷方式的优秀率为936% 25=；()2这50名学生的考试分数按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是100和101，则它们的中位数为100101100.52m+==；由此填写列联表如下：∴()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2507718189.68 6.63525252525⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【点睛】本题考查列联表中的数据计算卡方的方法，概率的求法，属于中档题. 18.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*24n n n a a NS n =+∈.()1证明：数列{}2n S 为等差数列； ()2求使n n S a -≥n 的最小值.【答案】()1证明见解析；()22020. 【解析】 【分析】()1由题意可知214S =，当2n ≥时，由224n n n a S a =+得()()21124n n n n n S S S S S ---=-+，化简得，2214n n S S --=，进而即可求证.()2由()1知，112a S ==，()24144n S n n =+-⨯=，进而得出)2n a n =≥，n n S a -=n 的最小值.【详解】解：()1证明：当1n =时，221124S S =+，∴214S =，当2n ≥时，由224n n n a S a =+得，()()21124n n n n n S S S S S ---=-+，化简得，2214n n S S --=，∴数列{}2n S 是以4为首项，以4为公差的等差数列.()2由()1知，112a S ==，()24144n S n n =+-⨯=，n S >，∴2n S n =，则()2212n a n n n =--≥， 当1n =时，上式也成立，∴21n n S a n -=-，则不等式22019n n S a -≥为2122019n -≥，∴2020n ≥，故使22019n n S a -≥成立的n 的最小值为2020.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查转化能力，属于中档题.19.如图，在直三棱柱ABC DEF -中，2AC BC ==，22AB =，22AB =，4=AD ，M 、N 分别为AD 、CF 的中点.()1求证：AN ⊥平面BCM ；()2设G 为BE 上一点，且34BG BE =，求点G 到平面BCM 的距离.【答案】()1证明见解析；()232. 【解析】 【分析】()1根据222AC BC AB +=得AC BC ⊥，并且得出四边形ACMN 为正方形，进而即可求证；()2先算出点M 到平面GBC 的距离即为2AC =，由13G BCM M BCG BCG V V S AC --==⋅，可求出122BCMS=⨯⨯=设点G 到平面BCM 的距离为h ，则13G BCM V -=⨯，进而求出点G 到平面BCM 的距离.【详解】解：()1证明：2AC BC ==，AB =∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又ABC DEF -是直三棱柱，∴BC ⊥平面ACFD ，则BC AN ⊥，M 、N 分别为AD 、CF 的中点，且4=AD ，2AC =，∴四边形ACMN 为正方形，则CM AN ⊥，又BCCM C =，∴AN ⊥平面BCM .()2由()1知，即AC BC ⊥，又ABC DEF -是直三棱柱，∴AC ⊥平面BCFE ，∴//MA FC ，则点M 到平面GBC 的距离即为2AC =，∴13G BCM M BCG BCGV V S AC --==⋅1112322326BC BG AC =⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=，由()1知，BC CM ⊥，且CM =，∴122BCMS=⨯⨯= 设点G 到平面BCM 的距离为h ，则13G BCM V -=⨯∴123⨯=，则h =即点G 到平面BCM .【点睛】本题考查空间立体几何图形中线面垂直的判定，考查等体积法的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题. 20.已知函数()3223332xf x e x x =+-+，()()g x f x '=，()f x '为()f x 的导数. ()1求证：()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；（其中，()g x '为()g x 的导数） ()2若不等式()()2331g x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】()1证明见解析；()2(],2e -∞-. 【解析】 【分析】()1先写出()()223x g x f x e x x '==+-，求导得()43x g x e x '=+-，则函数()g x '在区间[]0,1上单调递增，进而即可求证()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；()2由()1知，()223xg x e x x =+-，则()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a xx x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--，利用导数判断单调性，进而算出a 的取值范围.【详解】解：()1证明：()3223332x f x e x x =+-+， ∴()()223x g x f x e x x '==+-，则()43xg x e x '=+-，显然，函数()g x '在区间[]0,1上单调递增. 又()01320g '=-=-<，()14310g e e '=+-=+>，∴()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点.()2由()1知，()223x g x e x x =+-，∴不等式()()2331g x x a x ≥+-+即为()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--则()()()222111111x x e x e x h x x x x--+'=+-=-， 当1x ≥时，()1,()10xxu x e x u x e =--'=->，()u x 在[1,)+∞是增函数，()(1)20,10x u x u e e x ∴≥=->∴≥+> ∴当1x ≥时，()()2111x e x h x x -+'=-≥()()211110x x x +-+-=，则()h x 在[)1,+∞单调递增，故()()min 12h x h e ==-，故2a e ≤-，∴实数a 的取值范围是(],2e -∞-.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.21.已知抛物线()2:204C y px p =<<的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限.()1若||4AF =，||AM =，求直线AB 的方程；()2若2p =，点Q 为准线l 上任意一点，求证：直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列.【答案】()1)1y x =-；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知，||||4AN AF ==，设()00,A x y ，列式联立求出2p =，直线AB 的斜率为AB k =AB 的方程；()2若2p =，则抛物线2:4C y x =，准线:1l x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立得消x 得2440y my --=，利用韦达定理，进而求出2QA QB QF k k k +=，即可求证.【详解】解：()1设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知，||||4AN AF ==，设()00,A x y ，()00y >，由题设知，2220||||AM AN y =+，∴22204y =+，解得2012y =，则0y =，∴0122px =，即06px =，①又由抛物线的定义知，02px AF +=，即042p x +=，②联立①②，解得，2p =或6p，04p <<，∴2p =，则03x =，∴焦点为()1,0F，(3,A ，则直线AB的斜率为AB k = 故直线AB的方程为)1y x =-；()2证明：若2p =，则抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,Q t -， 由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y my --=， 则124y y m +=，124y y =-， 则121212121122QA QB y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221122222y t my y t my my my -++-+=++()()()12122121222424my y mt y y tm y y m y y +-+-=+++()228424484m m mt t t m m -+--==--++又2QF t k =-，∴2QA QB QF k k k +=， 故直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列.【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin 2x y βββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=()1求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；()2已知点M 是曲线C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最小值.【答案】()121y x =-60y --=；()2178. 【解析】【分析】()1参数方程转化为普通方程即可，运用转化公式将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程即可；()2由()1知，曲线C 的普通方程为21y x =-，设其参数方程为21x t y t =⎧⎨=-⎩，则()2,1M t t -，利用点到直线的距离公式代入求点M 到直线l 的距离的最小值.【详解】解：()1由sin cos sin 2x y βββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）得， 212sin cos 1sin 21x y βββ=+=+=+，∴曲线C 的普通方程为21y x =-；由ρ=cos sin 6θρθ-=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l的60y --=；()2由()1知，曲线C 的普通方程为21y x =-，设其参数方程为21x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），则()2,1M t t -， 直线l 60y --=，∴点M 到直线l 的距离为d ==， 当2t =时，点M 到直线l 的距离的最小值为178. 【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.【选修4-5不等式选讲】 23.已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥. 【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1根据已知可得1111ab bc ca++=，由柯西不等式求证即可； ()2利用基本不等式求证即可.【详解】解：()1证明：由abc a b c =++得，1111ab bc ca++=， 由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===；()2证明：0a >，0b >，0c >. ∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++， 当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。