2012北京西城高三一模数学理(word版+答案+免费免点数)
北京市西城区2012届高三第一次模拟考试理科数学试题

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学(理科) 2012.4第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集U =R ,集合1{|1}A x x=≥,则U A =ð( ) (A )(0,1) (B )(0,1](C )(,0](1,)-∞+∞ (D )(,0)[1,)-∞+∞2.执行如图所示的程序框图,若输入2x =,则输出y 的 值为( ) (A )2 (B )5 (C )11 (D )233.若实数x ,y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为( )(A )9 (B )3 (C )0 (D )3-4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为3. 其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( ) (A)2 (B)2 (C )28cm(D )24cm5.已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π,那么正数ω=( )(A )2(B )1(C )12(D )146.若2log 3a =,3log 2b =,4log 6c =,则下列结论正确的是( ) (A )b a c << (B )a b c << (C )c b a << (D )b c a <<7.设等比数列{}n a 的各项均为正数,公比为q ,前n 项和为n S .若对*n ∀∈N ,有23n n S S <,则q 的取值范围是( ) (A )(0,1] (B )(0,2)(C )[1,2)(D)8.已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯,其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=,且30a ≠.则A 中所有元素之和等于( ) (A )3240(B )3120(C )2997(D )2889第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[1314),,[1415),, [1516),,[1617),,[1718],,得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,那么成绩在[16,18]的学生人数是_____.10.6(2)x -的展开式中,3x 的系数是_____.(用数字作答)11. 如图,AC 为⊙O 的直径,OB AC ⊥,弦BN 交AC于点M.若OC =1OM =,则MN =_____.12. 在极坐标系中,极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____.ABCOMN13. 已知函数12,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >.那么()f x 的零点是_____;若()f x 的值域是1[,2]4-,则c 的取值范围是_____.14. 在直角坐标系xOy 中,动点A ,B分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运动,且△OAB 的面积为1.则点A ,B 的横坐标之积为_____;△OAB 周长的最小值是_____.三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)在△ABC 中,已知sin()sin sin()A B B A B +=+-. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)若||7BC =,20=⋅,求||AB AC +.16.(本小题满分13分)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(Ⅰ)求甲以4比1获胜的概率;(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率; (Ⅲ)求比赛局数的分布列.17.(本小题满分14分)如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形, ︒=∠=∠60DBF DAB ,且FA FC =. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面BDEF ;(Ⅱ)求证:FC ∥平面EAD ; (Ⅲ)求二面角B FC A --的余弦值.18.(本小题满分13分)已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++,其中1-≥a .(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间. 19.(本小题满分14分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3,定点(2,0)M ,椭圆短轴的端点是1B ,2B ,且12MB MB ⊥.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ,B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分APB ∠?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分13分)对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ,定义“T 变换”:T 将数列n A 变换成数 列12:,,,n n B b b b ,其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=-,且1||n n b a a =-,这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”,得到数列n C ,…,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.(Ⅰ)试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由;(Ⅱ)求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件; (Ⅲ)证明:41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束.北京市西城区2012年高三一模试卷数学(理科)参考答案及评分标准2012.4一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C;2. D;3. A;4.A;5. B;6. D;7. A;8. D .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.;11.1;9.54;10.16012 13.1-和0,(0,4]; 14.2,2(1. 注:13题、14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=. ………………3分因为(0,π)B ∈, 所以 0sin >B , 所以 21cos =A . ………………5分因为(0,π)A ∈, 所以 π3A =. ………………6分(Ⅱ)解:由余弦定理,得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅.………………8分因为 ||7BC =,||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=,所以 22||||89AB AC +=. ………………10分因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=, ………………12分所以 ||129AB AC += ………………13分16.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21. ………………1分记“甲以4比1获胜”为事件A , 则334341111()C ()()2228P A -==. ………………4分(Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B . 因为,乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==, ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==, ………………7分所以 125()16P B P P =+=. ………………8分(Ⅲ)解:设比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7.44411(4)2C ()28P X ===, ………………9分334341111(5)2C ()()2224P X -===, ………………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=, ………………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=. ………………12分比赛局数的分布列为:X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分17.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:设AC 与BD 相交于点O ,连结FO .因为 四边形ABCD 为菱形,所以BD AC ⊥, 且O 为AC 中点. ………………1分又 FC FA =,所以 AC FO ⊥. ………3分 因为 O BD FO = ,所以 ⊥AC 平面BDEF . ………………4分 (Ⅱ)证明:因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,所以AD //BC ,DE //BF ,所以平面FBC//平面EAD . ………………7分又⊂FC 平面FBC , 所以FC// 平面EAD . ………………8分(Ⅲ)解:因为四边形BDEF 为菱形,且︒=∠60DBF ,所以△DBF 为等边三角形.因为O 为BD 中点,所以BD FO ⊥,故FO ⊥平面ABCD .由OF OB OA ,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -. ………………9分设2=AB .因为四边形ABCD 为菱形,︒=∠60DAB ,则2=BD ,所以1OB =,OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -.所以(3,0,CF =,(3,1,0)CB =.设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ,则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+.03,033y x z x 取1=x ,得)1,3,1(--=n . ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v . ………………13分由二面角B FC A --是锐角,得cos ,⋅〈〉==n v n v n v. 所以二面角B FC A --的余弦值为515. ………………14分18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:当1a =时,1()e (2)x f x x =⋅+,211()e (2)xf x x x '=⋅+-. ………………2分由于(1)3e f =,(1)2e f '=,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=. ………………4分(Ⅱ)解:2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x++-'=,0x ≠. ………………6分① 当1-=a 时,令()0f x '=,解得 1x =-.)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-;单调递增区间为(1,0)-,(0,)+∞. (8)分当1a ≠-时,令()0f x '=,解得 1x =-,或11x a =+. ② 当01<<-a 时,)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-,1(,)1a +∞+;单调递增区间为(-,1(0,)1a +. ………………10分 ③ 当0=a 时,()f x 为常值函数,不存在单调区间. ………………11分④ 当0a >时,)(x f 的单调递减区间为(1,0)-,1(0,)1a +;单调递增区间为(,1)-∞-,1(,)1a +∞+. ………………13分19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:由 222222519a b b e a a-===-, 得 23b a =. ………………2分依题意△12MB B 是等腰直角三角形,从而2b =,故3a =. ………………4分所以椭圆C的方程是22194x y +=. ………………5分 (Ⅱ)解:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立, 消去x得22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+,1222049y y m -=+. ………………8分若PF 平分APB ∠,则直线PA ,PB 的倾斜角互补, 所以0=+PB PA k k . ………………9分设(,0)P a ,则有12120y yx a x a+=--. 将 112x my =+,222x my =+代入上式, 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-,所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分将 1221649m y y m -+=+,1222049y y m -=+代入上式, 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分由于上式对任意实数m 都成立,所以 92a =. 综上,存在定点9(,0)2P ,使PM 平分APB ∠. ………………14分20.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:数列3:4,2,8A 不能结束,各数列依次为2,6,4;4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为0的情形. ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束,各数列依次为3,2,7,8;1,5,1,5;4,4,4,4;0,0,0,0. ………………3分(Ⅱ)解:3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==.………………4分若123a a a ==,则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0,从而结束. ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时,先证命题“若数列3()T A 为常数列,则3A 为常数列”.当123a a a ≥≥时,数列3122313():,,T A a a a a a a ---.由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-,解得123a a a ==,从而数列3A 也为常数列.其它情形同理,得证.在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时,得到数列0,0,0(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列3A 也为常数列. ………………8分所以,数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==. (Ⅲ)证明:先证明引理:“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项,其中3n ≥”.证明:记数列n A 中最大项为max()n A ,则0max()i n a A ≤≤.令()n n B T A =,i p q b a a =-,其中p q a a ≥.因为0q a ≥, 所以max()i p n b a A ≤≤,故max()max()n n B A ≤,证毕. ………………9分现将数列4A 分为两类.第一类是没有为0的项,或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,44max()max()1B A ≤-.第二类是含有为0的项,且与最大项相邻,此时44max()max()B A =. 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”,一定可以得到第一类数列. 不妨令数列4A 的第一项为0,第二项a 最大(0a >).(其它情形同理) ① 当数列4A 中只有一项为0时,若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠),则4():,,||,T A a a b b c c--,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠,则4():,0,T A a a b b -;4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠),则4():,,,T A a a b a b b--,此数列各项均不为0,为第一类数列;若4:0,,,A a a a ,则4():,0,0,T A a a ;4(()):,0,,0T T A a a ;4((())):,,,T T T A a a a a , 此数列各项均不为0,为第一类数列.② 当数列4A 中有两项为0时,若4:0,,0,A a b (0a b ≥>),则4():,,,T A a a b b ,此数列各项均不为0,为第一类数列;若4:0,,,0A a b (0a b ≥>),则():,,,0T A a a b b -,(()):,|2|,,T T A b a b b a -,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列.③ 当数列4A 中有三项为0时,只能是4:0,,0,0A a ,则():,,0,0T A a a , (()):0,,0,T T A a a ,((())):,,,T T T A a a a a ,此数列各项均不为0,为第一类数列.总之,第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历3次“T 变换”,数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数,故经过有限次“T变换”后,数列的最大项一定会为0,此时数列的各项均为0,从而结束.………………13分薄雾浓云愁永昼,瑞脑消金兽。
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北京市西城区2012年高三一模试卷数学〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题,每题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|1}A x x =>,2{|4}B x x =<,那么A B =〔 〕〔A 〕(2,2)- 〔B 〕(1,2)-〔C 〕(1,2)〔D 〕(1,4)2.执行如下图的程序框图,假设输入3x =,则输出y 的 值为〔 〕 〔A 〕5 〔B 〕7 〔C 〕15 〔D 〕313.假设2log 3a =,3log 2b =,41log 3c =,则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕a c b << 〔B 〕c a b << 〔C 〕b c a << 〔D 〕c b a <<4.如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA ,OB ,则复数12z z 对应的点位于〔 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ,其三视图 中的俯视图如下图,则其左视图的面积是〔 〕 〔A 〕243cm 〔B 〕223cm 〔C 〕28cm〔D 〕24cm6.假设实数x ,y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为〔 〕〔A 〕6 〔B 〕5〔C 〕4〔D 〕37.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .则“10a >”是“32S S >”的〔 〕 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件8.已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯,其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =,且30a ≠.则A 中所有元素之和是〔 〕〔A 〕120〔B 〕112〔C 〕92〔D 〕84第Ⅱ卷〔非选择题 共110分〕 二、填空题共6小题,每题5分,共30分.9. 已知向量(1,2)=a ,(,2)λ=-b .假设,90︒〈-〉=a b a ,则实数λ=_____.10. 某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[1314),,[1415),, [1516),,[1617),,[1718],,得到如下图的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,那么成绩在[16,18]的学生人数是_____.11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____.12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线30x y -=的距离是_____.13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____;()f x 的值域是_____.14. 如图,已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ,其中120y y >>.过1A ,2A 分别作y 轴的垂线,交抛物线于1B ,2B 两点,直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ,此时就称1A ,2A 确定了3A .依此类推,可由2A ,3A 确定4A ,.记(0,)n n A y ,1,2,3,n =.给出以下三个结论: ① 数列{}n y 是递减数列; ② 对*n ∀∈N ,0n y >;③ 假设14y =,23y =,则523y =. 其中,所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.〔本小题总分值13分〕在△ABC 中,已知2sin cos sin()B A A C =+. 〔Ⅰ〕求角A ;〔Ⅱ〕假设2BC =,△ABC 的面积是3,求AB .16.〔本小题总分值13分〕某校高一年级开设研究性学习课程,〔1〕班和〔2〕班报名参加的人数分别是18和27.现用分层抽样的方法,从中抽取假设干名学生组成研究性学习小组,已知从〔2〕班抽取了3名同学.〔Ⅰ〕求研究性学习小组的人数;〔Ⅱ〕规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动,每次随机抽取小组中1名同学发言.求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率.17.〔本小题总分值14分〕如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB ,将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF .〔Ⅰ〕求证:NC ∥平面MFD ; 〔Ⅱ〕假设3EC =,求证:FC ND ⊥; 〔Ⅲ〕求四面体NFEC 体积的最大值.ADF18.〔本小题总分值14分〕已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63,一个焦点为(22,0)F .〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程;〔Ⅱ〕设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ,B 两点,假设点A ,B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上,求k 的值.19.〔本小题总分值13分〕如图,抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ,点,C D 在抛物线上〔点C 在第一象限〕,CD ∥AB .记||2CD x =,梯形ABCD 面积为S .〔Ⅰ〕求面积S 以x 为自变量的函数式; 〔Ⅱ〕假设||||CD k AB ≤,其中k 为常数,且01k <<,求S 的最大值.20.〔本小题总分值13分〕对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ,定义“T 变换”:T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ,其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=,且331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”,得到数列123:,,C c c c ,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.〔Ⅰ〕试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束?假设能,请依次写出经过“T 变换”得到的各数列;假设不能,说明理由;〔Ⅱ〕设123:,,A a a a ,()B T A =.假设:,2,()B b a a b ≥,且B 的各项之和为2012.〔ⅰ〕求a ,b ;〔ⅱ〕假设数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小,求k 的最小值,并说明理由.北京市西城区2012年高三一模试卷数学〔文科〕参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分.1. C ;2. D ;3. D ;4. B ;5. A ;6. B ;7. C ;8. C .二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9. 9; 10. 54; 11. π; 12. 1; 13. 1-和0,1[,3]4-; 14. ① ② ③. 注:13题第一问2分,第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.假设考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.15.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解:由πA B C ++=,得sin()sin(π)sin A C B B +=-=. ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=. ………………4分因为(0,π)B ∈,所以 0sin >B , 所以 21cos =A . ………………6分因为(0,π)A ∈, 所以 π3A =. ………………7分 〔Ⅱ〕解:由余弦定理,得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅. ………………9分因为 2BC =,1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=. ………………11分因为 4AB AC ⋅=, 所以 2AB =. ………………13分16.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解:设从〔1〕班抽取的人数为m ,依题意得 27318=m ,所以2m =, 研究性学习小组的人数为35m +=. ………………5分 〔Ⅱ〕设研究性学习小组中〔1〕班的2人为12,a a ,〔2〕班的3人为123,,b b b .2次交流活动中,每次随机抽取1名同学发言的基本领件为:11(,)a a ,),(21a a ,),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12a a ,22(,)a a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a , ),(11a b ,),(21a b ,11(,)b b ,),(21b b ,),(31b b , ),(12a b ,),(22a b ,21(,)b b ,22(,)b b ,),(32b b ,),(13a b ,),(23a b ,31(,)b b ,),(23b b ,33(,)b b ,共25种. ………………9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本领件为:),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a ,),(11a b ,),(21a b ,),(12a b ,),(22a b ,),(13a b ,),(23a b ,共12种. ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =. ………………13分17.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明:因为四边形MNEF ,EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥EF ∥CD ,MN EF CD ==. 所以 四边形MNCD 是平行四边形,……………2分 所以 NC ∥MD , ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ,所以 NC ∥平面MFD . ………………4分 〔Ⅱ〕证明:连接ED ,设EDFC O =.因为平面⊥MNEF 平面ECDF ,且EF NE ⊥,所以 ⊥NE 平面ECDF , ………………5分所以 FC NE ⊥. ………………6分又 EC CD =, 所以四边形ECDF 为正方形,所以 FC ED ⊥. ………………7分所以 ⊥FC 平面NED , ………………8分所以 FC ND ⊥. ………………9分〔Ⅲ〕解:设x NE =,则x EC -=4,其中04x <<.由〔Ⅰ〕得⊥NE 平面FEC , 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-. ………………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=. ………………13分当且仅当x x -=4,即2=x 时,四面体NFEC 的体积最大. ………………14分18.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解:设椭圆的半焦距为c ,则c = ………………1分由c e a ==, 得 a =, 从而2224b a c =-=. ………………4分所以,椭圆C 的方程为141222=+y x . ………………5分〔Ⅱ〕解:设),(),,(2211y x B y x A .将直线l 的方程代入椭圆C 的方程,消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=. ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>,得2316k >,且1221513k x x k+=+. …………9分设线段AB 的中点为D ,则21526D k x k =+,255226D Dy kx k -=-=+. ……………10分由点A ,B 都在以点(0,3)为圆心的圆上,得1MD k k ⋅=-, ………………11分即22532611526k k k k++⋅=--+, 解得 229k =,符合题意. ………………13分所以3k =±. ………………14分19.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解:依题意,点C 的横坐标为x ,点C 的纵坐标为29C y x =-+. ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=,解得3B x =,舍去3B x =-. ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+. ………4分由点C 在第一象限,得03x <<.所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+,03x <<. ………………5分〔Ⅱ〕解:由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<,得03x k <≤. ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤,则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+. ………………8分令()0f x '=,得1x =. ………………9分① 假设13k <,即11k <<时,()f x '与()f x 的变化情况如下:所以,当1x =时,()f x 取得最大值,且最大值为(1)32f =. ………………11分② 假设13k ≥,即103k <≤时,()0f x '>恒成立, 所以,()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-. ………………13分综上,113k ≤<时,S 的最大值为32;103k <<时,S 的最大值为227(1)(1)k k +-.20.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解:数列:2,6,4A 不能结束,各数列依次为4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2;….以下重复出现,所以不会出现所有项均为0的情形. ………………3分〔Ⅱ〕解:〔ⅰ〕因为B 的各项之和为2012,且a b ≥, 所以a 为B 的最大项, 所以13||a a -最大,即123a a a ≥≥,或321a a a ≥≥. ………………5分当123a a a ≥≥时,可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=,得132()2012a a -=,即1006a =,故1004b =.……………7分当321a a a ≥≥时,同理可得 1006a =,1004b =. ………………8分〔ⅱ〕方法一:由:B ,2,2b b +,则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为:2,,2b b -;2,2,4b b --;4,2,6b b --;6,8,2b b --;2,10,8b b --;12,2,10b b --.由此可见,经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列,与数列B“结构”完全相同,但最大项减少12.因为1006128310=⨯+,所以,数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10.接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为:6,8,2;2,6,4;4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2,……从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小.所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小,k 的最小值为502. ………………13分方法二:假设一个数列有三项,且最小项为2,较大两项相差2,则称此数列与数列B “结构相同”.假设数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥,则无论其顺序如何,经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) .所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同,除2外其余各项减少2,各项和减少4.因此,数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序) 的数列.通过列举,不难发现各项为0,2,2的数列,无论顺序如何,经过“T 变换”得到的数列会重复出现,各项和不再减少.所以,至少通过502次“T 变换”,得到的数列各项和最小,故k 的最小值为502. ………………13分学习文档仅供参考。
2012西城数学一模答案

北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题(本题共32分,每小题4分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题(本题共16分,每小题4分)9101112x ≥-2()223b a -13 13+-或(各2分)4,4(各2分)三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.解:原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分=323+.…………………………………………………………………… 5分14.解:由①得2->x .……………………………………………………………………1分由②得x ≤37. ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37.………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0,1,2.………………………………………………… 5分 15.(1)证明:如图1.∵ ∠ABC=90º,D 为AB 延长线上一点,∴ ∠A BE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分(2)解:∵ AB=CB ,∠ABC=90º,∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º,∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ,∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解:原式=()()()()2a ab a b a b ba ab ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-2115)1(3x x x ,≥2x -4,∵ 2a +b =0,∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=22224)2()(aaa a =--.∵ a 不为0,∴ 原式=41. (5)分17. 解:(1)∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ,[来源:] ∴ 2m k =,且m >0.∵ AB ⊥x 轴于点B ,△AOB 的面积为1,∴ 1212m ⋅⋅=.解得 1=m . ........................................................................ 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. (2)分∴ 22km ==. (3)分(2)点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). (5)分18.解:设甲工厂每天能加工x 件新产品,则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品. 依题意得 105.112001200+=xx. ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验,40=x 是原方程的解,并且符合题意. …………………………… 4分[来源:学科网ZXXK]∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.解:(1)2,50;…………………………………2分 (2)5040%20⨯=,C 组的户数为20. … 3分补图见图2. …………………………4分 (3)∵ 500(28%8%)180⨯+=,∴ 根据以上信息估计,全社区捐款不少于300元的户数是180.[来源:学科网] ……………………………… 5分20.解:(1)∵ 梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90A ∠=︒,60C ∠=︒,∴ 90ABC ∠=︒,180120AD C C ∠=︒-∠=︒. 在Rt △ABD 中,∵90A ∠=︒,15ABD ∠=︒,)0(>=k xk y 图2捐款户数分组统计图1∴ 75AD B ∠=︒.∴ 45BD C AD C AD B ∠=∠-∠=︒.…… 2分 (2)作BE C D ⊥于点E ,D F BC ⊥于点F .(如图3)在Rt △BCE 中,∵ BC=2,60C ∠=︒,∴ sin 3BE BC C =⋅=,cos 1C E BC C =⋅=. ∵ 45BD C ∠=︒, ∴ 3DE BE ==.∴ 31CD DE CE =+=+. …………………………………………… 3分 ∵ BC D F C D BE ⋅=⋅, ∴ (31)33322C D B E D F B C⋅+⋅+===. …………………………… 4分∵ AD ∥BC ,90A ∠=︒,D F BC ⊥,∴ 332AB D F +==. …………………………………………………… 5分21.解:(1)作O F BD ⊥于点F ,连结OD .(如图4) ∵ ∠BAD=60°,∴ ∠BOD=2∠BAD =120°.……………1分 又∵OB =OD ,∴ 30O BD∠=︒.……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径,AC=4, ∴ OB= OD= 2.在Rt △BOF 中,∵∠OFB =90°, OB=2,︒=∠30OBF , ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ,即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分(2)∵ OB= OD ,O F BD ⊥于点F ,∴ BF=DF .由DE=2BE ,设BE=2x ,则DE=4x ,BD=6x ,EF=x ,BF=3x . ∵ cos 303BF OB =⋅︒=,∴ 33x =, EF=33.在Rt △OEF 中,90O FE ∠=︒, ∵ tan 3O F O ED EF∠==,∴ 60O ED ∠=︒,1cos 2O ED ∠=. …………………………………… 4分∴ 30BO E O ED O BD ∠=∠-∠=︒. ∴ 90D O C D O B BO E ∠=∠-∠=︒. ∴ 45C ∠=︒.∴ 222CD OC ==. ………………………………………………… 5分22.解:(1)135°;………………………………………………………………………… 2分图3FEA DBC图4FE DAOCB(2)120°;………………………………………………………………………… 3分27 . ……………………………………………………………………… 5分五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23.解:(1)∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2,∴ 22 210p q +++=.…………………………………………………… 1分 整理,得 25q p =--. …………………………………………………… 2分 (2)∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++, 无论p 取任何实数,都有2(4)p +≥0,∴ 无论p 取任何实数,都有 2(4)40p ++>.∴ 0∆>. ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点.………………………… 4分(3)∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同,都为直线2p x =-,且开口大小相同,抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到,(如图5所示,省略了x 轴、y 轴) ∴ EF ∥MN ,EF =MN =1.∴ 四边形FEMN 是平行四边形. ………………5分 由题意得 22FEMN p S EF =⨯-=四边形.解得4p =±.………………………………………7分24.证明:(1)如图6.∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ,CH ⊥AB 于点H ,直线DE 交直线CH 于点F , ∴ BF=DF ,DH=BH .…………………1分 ∴ ∠1=∠2.又∵ ∠EDA =∠A ,∠EDA =∠1, ∴ ∠A =∠2.∴ BF ∥AC .……………………………………………………………… 2分 (2)取FD 的中点N ,连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点,N 是FD 的中点,∴ HN ∥BF . 由(1)得BF ∥AC , ∴ HN ∥AC ,即HN ∥EM . ∵ 在Rt △ACH 中,∠AHC =90°,AC 边的中点为M ,图6图5y 2y 1FE N M∴ 12H MAC AM==.∴ ∠A =∠3. ∴ ∠EDA =∠3. ∴ NE ∥HM .∴ 四边形ENHM 是平行四边形.……………………………………… 3分 ∴ HN=EM .∵ 在Rt △DFH 中,∠DHF =90°,DF 的中点为N , ∴ 12H ND F=,即2D F H N =.∴ 2DF EM =. ………………………………………………………… 4分 (3)当AB =BC 时,在未添加辅助线和其它字母的条件下,原题图2中所有与BE相等的线段是EF 和CE . (只猜想结论不给分) 证明:连结CD .(如图8)∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ,CH ⊥AB 于点H ,∴ BC=CD ,∠ABC =∠5. ∵ AB =BC ,∴ 1802ABC A ∠=︒-∠,AB =CD .①∵ ∠EDA =∠A ,∴ 61802A ∠=︒-∠,AE =DE .② ∴ ∠ABC =∠6=∠5. ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角, ∴ 6BD E A ∠=∠+∠. ∵ 45BD E ∠=∠+∠, ∴ ∠A =∠4.③由①,②,③得 △ABE ≌△DCE .………………………………………5分 ∴ BE = CE . ……………………………………………………………… 6分由(1)中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC .由(1)中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF . ∴ ∠CFE=∠ECF . ∴ EF=CE .∴ BE=EF . ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE .(阅卷说明:在第3问中,若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分)图825.解:(1)∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+,∴ 抛物线的对称轴为直线2x =.∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ,点A 的坐标为(1,0),∴ 点B 的坐标为(3,0),OB =3.…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--. ∵ OB =OC ,抛物线与y 轴的正半轴交于点C , ∴ OC =3,点C 的坐标为(0,3).将点C 的坐标代入该解析式,解得a =1.……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+.(如图9)…………………… 3分(2)作△ABC 的外接圆☉E ,设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ,设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ,点1P 关于x 轴的对称点为点2P ,点1P 、点2P 均为所求点.(如图10)可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上.∵ 1AP B ∠、A C B ∠都是弧AB 所对的圆周角,∴ ACB B AP ∠=∠1,且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠. 由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2.可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上.∴ 点E 的坐标为(2,2)E .………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =.∴ 15EP EA ==.∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +.…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --. ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --. (3)∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -,可得直线BD 的解析式为3y x =-,直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°.[来源:学科网]∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A ',(如图11) 若设A A '与∠AQB 的平分线的交点为M ,则有 QA QA '=,AM A M '=,AA QM '⊥,Q ,B ,A '三点在一条直线上. ∵ 2Q A Q B -=,∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N .∵ 点Q 在线段BD 上, Q ,B ,A '三点在一条直线上, ∴ sin 451A N B A ''=⋅︒=,cos 451B N B A '=⋅︒=. ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '. ∵ 点Q 在线段BD 上,图9xyO 1DCBA∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -,其中23x <<. ∵ QA QA '=,∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--. 解得114x =.经检验,114x =在23x <<的范围内.∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -. …………………………………………… 7分 此时1115()2(1)2244Q AA A AB Q AB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=.… 8分图10xy O 1FP 2EP 1DCBA图11xyO QMA'DB AN。
2012北京数学理科(纯word版,含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (理)(北京卷)第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>,{}(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A B = ( ) A .(,1)-∞- B .2(1,)3-- C .2(,3)3- D .(3,)+∞2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A .4π B .22π- C .6π D .44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A . 2 B . 4 C . 8 D . 165.如图,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则() A .CE ·CB=AD ·DB B .CE ·CB=AD ·AB C .AD ·AB= 2CD D .CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数, 其中奇数的个数为( )A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ) A.28+ B.30+ C.56+.60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为( )A .5B . 7C . 9D .11(第4题图)B第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩(α为参数)的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a = ;n S = . 11.在△ABC 中,若2a =,7bc +=,1cos 4B =-,则b = . 12.在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为 ; DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分) 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.16. (本小题14分)如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC ,AB 上的点, 且DE ∥BC ,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD ,如图2. (1)求证:A 1C ⊥平面BCDE;(2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;(3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由. 17.(本小题13分)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ,其中x 为12,,n x x x 的平均数) 18.(本小题13分)已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.(本小题14分)已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,求m 的范围;(2)设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A,B (点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证:A,G,N 三点共线. 20.(本小题13分)设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤; 记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A 中的最小值. (1)对如下数表A,求()k A 的值;(2)设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值;(3)给定正整数t ,对于所有的A ∈S(2,21t +),求()k A 的最大值.(李国波录入2012-6-8)参考答案 一、选择题1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C 二、填空题9、2;10、1,1(1)4n n +;11、4;1213、1,1;14、(4,2)--; 三、解答题15、解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由222,()242k x k x k k Z ππππππ-≤-≤+≠∈得3,()88k x k x k k Z πππππ-≤≤+≠∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-∈,和3(,]()8k k k Z πππ+∈. 16.解:(1) ,AC BC DE BC ⊥∥∴DE AC ⊥∴1DE A D ⊥,DE CD ⊥(1A D CD D = )又 DE ⊥平面1A DC ,∴DE 1AC ⊥ 又∵1A C CD ⊥,(DE CD D = ) ∴1AC ⊥平面BCDE (2)如图,以C 为坐标原点,建立空间直角坐标系C xyz -,则(100A ,,,()020D ,,,M ,()300B ,,,()220E ,,,设平面1A BE 法向量为()n x y z = ,,,则10,0A B n BE n ⋅=⋅=∴(130A B =- ,,,()120BE =- ,,,∴3020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =,则2,x z ==∴(21n = 设CM 与平面1A BE 所成的角为θ∵(0CM =∴sin |cos ,|||||||CM n n CM CM n θ⋅=====⋅CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒(3)线段BC 上不存在点P,使平面1A DP 与平面1ABE 垂直。
2012年北京市西城区高三二模理科数学含答案纯word版-推荐下载

1 n [(x1
x)2
(x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x )2
(xn
6.已知函数 f (x) kx 1,其中实数 k 随机选自区间[2,1] .对 x [0,1] , f (x) 0 的
概率是( )
1
(A)
3
1
(B)
2
7.某大楼共有12 层,有11人在第1层上了电梯,他们分别要去第 2 至第12 层,每层
14.曲线 C 是平面内到定点 F (0,1) 和定直线 l : y 1的距离之和等于 4 的点的轨迹,给
出 下列三个结论:
① 曲线 C 关于 y 轴对称; ② 若点 P(x, y) 在曲线 C 上,则| y | 2 ; ③ 若点 P 在曲线 C 上,则1 | PF | 4 .
其中,所有正确结论的序号是____________.
9.在△ ABC 中, BC 3 , AC 2 , A π ,则 B _____. 3
10.已知复数 z 满足 (1 i) z 1 ,则 z _____.
11.如图,△ ABC 是⊙ O 的内接三角形, PA 是⊙ O 的切 线, PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D .若 PA PE , ABC 60 , PD 1, PB 9 ,则 PA _____; EC _____.
8.对数列{an},如果 k N* 及 1, 2 ,, k R ,使 ank 1ank 1 a2 nk 2 k an 成立,其中 n N* ,则称{an}为 k 阶递归数列.给出下列三个结论: ① 若{an}是等比数列,则{an}为1阶递归数列; ② 若{an}是等差数列,则{an}为 2 阶递归数列; ③ 若数列{an}的通项公式为 an n2 ,则{an}为 3 阶递归数列.
北京市西城区2012届高三数学第一次模拟试题 文(2012西城一模)新人教B版

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学(文科)第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|1}A x x =>,2{|4}B x x =<,那么A B =I ( ) (A )(2,2)-(B )(1,2)-(C )(1,2)(D )(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ,所以}21{<<=⋂x x B A ,选C.2.执行如图所示的程序框图,若输入3x =,则输出y 的值为( )(A )5(B )7(C )15(D )31 【答案】D【解析】输入3=x ,7=y 。
8473<=-,15,7==y x ,88157==-,31,15==y x ,8163115>=-,满足条件,输出31=y ,选D.3.若2log 3a =,3log 2b =,41log 3c =,则下列结论正确的是( ) (A )a c b <<(B )c a b <<(C )b c a <<(D )c b a << 【答案】D【解析】13log 2>,12log 03<<,031log 4<,所以a b c <<,选D. 4.如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA u u u r ,OB uuu r ,则复数12zz 对应的点位于( )(A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2,所以i ii z z +-=--=1221,对应的点在第二象限,选B.5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ,其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )(A )243cm (B )223cm (C )28cm (D )24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽,高为2的矩形,32=AB所以左视图的面积为34232=⨯,选A.6.若实数x ,y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为( )(A )6(B )5(C )4(D )3 【答案】B【解析】做出可行域,如图,设z y x =-3,则,则z x y -=31,由图象可知当直线经过A 和C 点时,Z 取得最值。
高三第一次质量调查(一模)考试数学(理)试题-Word版含答案

数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a,若{1,2}A B,则m 的值为A .-2或-1B .0或1C .-2或1D .0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy,则目标函数32z xy 的取值范围是A .6,22B .7,22C .8,22D .7,233、在ABC 中,若4,3ABAC BC,则sin C 的值为A .23B .19C .53D .4594、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 的值为A .32B .53C .4124D.103605、“125x x ”是“23x ”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点,P 为双曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为2,则ABP 的度数为A .030 B.060 C.0120 D .030或01207、如图,在平行四边形ABCD 中,,2,13BADAB AD ,若,M N 分别是边,AD CD 上的点,且满足MD NC ADDC,其中0,1,则AN BM 的取值范围是A .3,1 B .3,1 C .1,1 D .1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x,若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解,则m 的取值范。
2012年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)

2012年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U=R,集合A={x|1x≥1},则∁U A()A.(0, 1)B.(0, 1]C.(−∞, 0]∪(1, +∞)D.(−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图,若输入x=2,则输出y的值为()A.2B.5C.11D.233. 若实数x,y满足条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3,则z=2x−y的最大值为()A.9B.3C.0D.−34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm,其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是()A.4√3cm2B.2√3cm2C.8cm2D.4cm25. 已知函数f(x)=sin4ωx−cos4ωx的最小正周期是π,那么正数ω=()A.2B.1C.12D.146. 若a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是()A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7. 设等比数列{a n}的各项均为正数,公比为q,前n项和为S n.若对∀n∈N∗,有S2n<3S n,则q的取值范围是()A.(0, 1]B.(0, 2)C.[1, 2)D.(0,√2)8. 已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中a k∈{0, 1, 2}(k=0, 1, 2, 3),且a3≠0.则A中所有元素之和等于()A.3240B.3120C.2997D.2889二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,那么成绩在[16, 18]的学生人数是________.(x−2)6的展开式中x3的系数是________.(用数字作答)如图,AC为⊙O的直径,OB⊥AC,弦BN交AC于点M.若OC=√3,OM=1,则MN=________.在极坐标系中,极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________.已知函数f(x)={x12,0≤x≤cx2+x,−2≤x<0其中c>0.那么f(x)的零点是________;若f(x)的值域是[−14,2],则c的取值范围是________.在直角坐标系xOy 中,动点A ,B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动,且△OAB 的面积为1.则点A ,B 的横坐标之积为________;△OAB 周长的最小值是________. 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.在△ABC 中,已知sin (A +B)=sin B +sin (A −B). (1)求角A ;(2)若|BC →|=7,AB →⋅AC →=20,求|AB →+AC →|.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,∠DAB =∠DBF =60∘,且FA =FC .(1)求证:AC ⊥平面BDEF ;(2)求证:FC // 平面EAD ;(3)求二面角A −FC −B 的余弦值.已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1),其中a ≥−1.(1)当a =1时,求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53,定点M(2, 0),椭圆短轴的端点是B 1,B 2,且MB 1⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ,B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分∠APB ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.对于数列A n :a 1,a 2,…,a n (a i ∈N, i =1, 2,…,n),定义“T 变换”:T 将数列A n 变换成数列B n :b 1,b 2,…,b n ,其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2,…,n −1),且b n =|a n −a 1|,这种“T 变换”记作B n =T(A n ).继续对数列B n 进行“T 变换”,得到数列C n ,…,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.(1)试问A 3:4,2,8和A 4:1,4,2,9经过不断的“T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由;(2)求A 3:a 1,a 2,a 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件;(3)证明:A 4:a 1,a 2,a 3,a 4一定能经过有限次“T 变换”后结束.参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合A的不等式的解集,然后求出集合A在R上的补集即可.【解答】解:∵全集U=R.集合A={x|1x≥1}={x|0<x≤1},∴∁U A={x|x≤0, 或x>1}.故选C.2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:x y是否继续循环循环前25是第一圈511是第二圈1123否故输出y的值为23.故选D.3.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域,z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数,根据图形可得结论.【解答】解:画出不等式表示的平面区域z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数,由{x=3x+y=0可得交点坐标为(3, −3),根据图形可知在点(3, −3)处,z=2x−y取得最大值,最大值为9故选A.4.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm,故左视图是长方形,长为2√3,宽为2,由此能求出左视图的面积.【解答】解:∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm,∴左视图是长方形,长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3,宽为2,∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2),故选A.5.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】利用平方差公式化简函数y=sin4ωx−cos4ωx,再利用二倍角公式化为一个角的一个三角函数的形式,根据周期求出ω.【解答】y=sin4ωx−cos4ωx=sin2ωx−cos2ωx=−cos2ωx因为T=π,所以ω=16.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】根据a=lg3lg2>1,b=lg2lg3<1,c=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=a,从而得出结论.【解答】解:∵a=log23=lg3lg2>1,b=log32=lg2lg3<1,c=log46=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=lg3lg2,故有b<c<a,故选D.7.【答案】A【考点】数列的求和【解析】当q=1时,S2n<3S n成立容易检验,当q≠1时,由S2n<3S n恒成立可得a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q,讨论整理可求q的范围.【解答】解:当q=1时,S2n<3S n成立当q≠1时,由S2n<3S n恒成立∴a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q∵q>1,显然不恒成立,则q2n−3q n+2<0,解得q n<1(q n>2舍去),∵等比数列{a n}的各项均为正数,∴q>0,∴0<q<1综上可得0<q≤1故选A8.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性数列的求和【解析】由题意可知a0,a1,a2各有3种取法(均可取0,1,2),a3有2种取法,利用数列求和即可求得A中所有元素之和.【解答】由题意可知,a0,a1,a2各有3种取法(均可取0,1,2),a3有2种取法,由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法,∴当a0取0,1,2时,a1,a2各有3种取法,a3有2种取法,共有3×3×2=18种方法,即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18;同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18;集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18;集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1+33×2)×27;由分类计数原理得集合A中所有元素之和:S=(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27=18(3+9+27)+81×27=702+2187=2889.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.【答案】54【考点】分布和频率分布表频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1,做出成绩在[16, 18]的频率,从而得出成绩在[16, 18]的学生人数.【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,且它们的面积之和为1,∴最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920,即成绩在[16, 18]的频率为920,由频率分布直方图知,成绩在[16, 18]的人数为120×920=54(人)【答案】−160【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据题意,由二项式定理可得(x−2)6的展开式的通项,令x的系数为3,可得r=3,将r=3代入通项,计算可得T4=−160x3,即可得答案.【解答】根据题意,(x−2)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6−r(−2)r=(−1)r⋅2r⋅C6r x6−r,令6−r=3可得r=3,此时T4=(−1)3⋅23⋅C63x3=−160x3,即x3的系数是−160;【答案】1【考点】与圆有关的比例线段【解析】根据题设条件,先由勾股定理求出BM,再由相交弦定理求MN.【解答】解:∵AC为⊙O的直径,OB⊥AC,弦BN交AC于点M.OC=√3,OM=1,∴OB=√3,BM=√3+1=2,设MN=x,∵CM⋅AM=BM⋅MN,∴(√3+1)(√3−1)=2x,∴x=1,即MN=1.故答案为:1.【答案】√2【考点】圆的极坐标方程【解析】利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,得出直线直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解:直线方程ρsin(θ+π4)=√2,即为ρ(√22cosθ+√22sinθ)=√2,化为普通方程为x+y−2=0,极点的直角坐标为(0, 0),根据点到直线的距离公式求得d=√2=√2故答案为:√2;【答案】−1和0,0<c≤4【考点】函数的值域及其求法函数的零点【解析】分x为正数和负数两种情况讨论,分别解方程即可得到么f(x)的零点.根据二次函数的图象与性质,求出当x∈[−2, 0)时,函数f(x)的值域恰好是[−14,2],所以当0≤x≤c时,f(x)=x12的最大值不超过2,由此建立不等式,可解出实数c的取值范围.【解答】当x≥0时,令x 12=0,得x=0;当x<0时,令x2+x=0,得x=−1(舍零)∴f(x)的零点是−1和0∵函数y=x2+x在区间[−2, −12)上是减函数,在区间(−12, 0)上是增函数∴当x∈[−2, 0)时,函数f(x)最小值为f(−12)=−14,最大值是f(−2)=2∵当0≤x≤c时,f(x)=x12是增函数且值域为[0, √c]∴当f(x)的值域是[−14,2],√c≤2,即0<c≤4【答案】√32,2(1+√2)【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线的点斜式方程【解析】根据题意,OA、OB的斜率之积为−1,得OA⊥OB.设A(x1, √33x1),B(x2, −√3x2),算出|OA|=2√33x1,|OB|=2x2,结合三角形面积为1列式,化简即得x1x2=√32.再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2,当且仅当2√33x1=2x2=√2时,△OAB周长取最小值2(1+√2).【解答】解:∵y =√33x的斜率k1=√33,y=−√3x的斜率k2=−√3∴k1⋅k2=−1,可得OA⊥OB设A(x1, √33x 1),B(x2, −√3x2)∴|OA|=√x12+13x12=2√33x1,|OB|=√x22+3x22=2x2,可得△OAB的面积为S=12|OA|×|OB|=12×2√33x1×2x2=1解之,得x1x2=√32∵|AB|2=|OA|2+|OB|2=43x12+4x22∴|AB|=√(43x12+4x22)≥×2√33x12=√8√33x12=√8√33×√32=2又∵|OA|+|OB|=2√33x1+2x2≥2√2√33x1×2x2=2√4√33x1x2=2√4√33×√32=2√2∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2=2(1+√2)当且仅当2√33x1=2x2=√2,即x1=√62,x2=√22时,△OAB周长取最小值2(1+√2)故答案为:√32,2(1+√2)三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.【答案】解:(1)原式可化为:sin B=sin(A+B)−sin(A−B)=sin A cos B+cos A sin B−sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B,…∵ B ∈(0, π),∴ sin B >0, ∴ cos A =12,…又A ∈(0, π),∴ A =π3;…(2)由余弦定理,得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ,… ∵ |BC →|=7,AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20, ∴ |AB →|2+|AC →|2=89,…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129,…∴ |AB →+AC →|=√129.… 【考点】求两角和与差的正弦 向量的模平面向量数量积的性质及其运算律【解析】(1)将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后根据sin B 不为0,得出cos A 的值,由A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数;(2)利用余弦定理列出关系式|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ,将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出|AB →|2+|AC →|2的值,把所求式子平方并利用完全平方公式展开,将各自的值代入开方即可求出值.【解答】 解:(1)原式可化为:sin B =sin (A +B)−sin (A −B)=sin A cos B +cos A sin B −sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B ,… ∵ B ∈(0, π),∴ sin B >0, ∴ cos A =12,…又A ∈(0, π),∴ A =π3;…(2)由余弦定理,得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ,… ∵ |BC →|=7,AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20, ∴ |AB →|2+|AC →|2=89,…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129,…∴ |AB →+AC →|=√129.… 【答案】解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12. … 记“甲以4比1获胜”为事件A ,则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18. …(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为,乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532,…乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532,…所以 P(B)=P 1+P 2=516. …(3)设比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7.P(X =4)=2C 44(12)4=18,… P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14,…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516,…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516. …比赛局数的分布列为:【考点】离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 相互独立事件的概率乘法公式【解析】(1)先由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率,甲以4比1获胜,根据独立重复试验公式公式,列出算式,得到结果.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .B 包括乙以4:2获胜和乙以4:3获胜,根据独立重复试验公式列出算式,得到结果.(3)比赛结束时比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7,根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列. 【解答】解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12. … 记“甲以4比1获胜”为事件A ,则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18. …(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为,乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532,… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532,…所以 P(B)=P 1+P 2=516. …(3)设比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7.P(X =4)=2C 44(12)4=18,…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14,…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516,…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516. …比赛局数的分布列为:(1)证明:设AC 与BD 相交于点O ,连接FO .因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,且O 为AC 中点. 又 FA =FC ,所以 AC ⊥FO .因为 FO ∩BD =O ,BD ⊂平面BDEF , 所以 AC ⊥平面BDEF .(2)证明:因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形, 所以AD // BC ,DE // BF , 因为AD ∩DE =D ,BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD . 又FC ⊂平面FBC , 所以FC // 平面EAD ;(3)解:因为四边形BDEF 为菱形,且∠DBF =60∘, 所以△DBF 为等边三角形. 因为O 为BD 中点,所以FO ⊥BD ,故FO ⊥平面ABCD .由OA ,OB ,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz .设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形,∠DAB =60∘, 则BD =2,所以OB =1,OA =OF =√3.所以 O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0),C(−√3,0,0),F(0,0,√3). 所以 CF →=(√3,0,√3),CB →=(√3,1,0).设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z), 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0,取x =1,得n →=(1,−√3,−1).∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0). 由二面角A −FC −B 是锐角,得 |cos <n →,v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155. 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155. 【考点】直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 用空间向量求平面间的夹角【解析】(1)设AC 与BD 相交于点O ,连接FO .因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,且O 为AC 中点.由FA =FC ,知AC ⊥FO .由此能够证明AC ⊥平面BDEF .(2)因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,所以AD // BC ,DE // BF ,平面FBC // 平面EAD .由此能够证明FC // 平面EAD .(3)因为四边形BDEF 为菱形,且∠DBF =60∘,所以△DBF 为等边三角形.因为O 为BD 中点,所以FO ⊥BD ,故FO ⊥平面ABCD .由OA ,OB ,OF 两两垂直,建立空间直角坐标系O −xyz .设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形,∠DAB =60∘,则BD =2,所以 CF →=(√3,0,√3),CB →=(√3,1,0).求得平面BFC 的法向量为n →=(1,−√3,−1),平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0).由此能求出二面角A −FC −B 的余弦值. 【解答】(1)证明:设AC 与BD 相交于点O ,连接FO .因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,且O 为AC 中点. 又 FA =FC ,所以 AC ⊥FO .因为 FO ∩BD =O ,BD ⊂平面BDEF , 所以 AC ⊥平面BDEF .(2)证明:因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形, 所以AD // BC ,DE // BF , 因为AD ∩DE =D ,BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD . 又FC ⊂平面FBC , 所以FC // 平面EAD ;(3)解:因为四边形BDEF 为菱形,且∠DBF =60∘, 所以△DBF 为等边三角形. 因为O 为BD 中点, 所以FO ⊥BD , 故FO ⊥平面ABCD .由OA ,OB ,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz .设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形,∠DAB =60∘, 则BD =2,所以OB =1,OA =OF =√3.所以O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0),C(−√3,0,0),F(0,0,√3). 所以 CF →=(√3,0,√3),CB →=(√3,1,0). 设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z), 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0,取x =1,得n →=(1,−√3,−1).∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0).由二面角A −FC −B 是锐角,得 |cos <n →,v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155. 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155. 【答案】解:(1)当a =1时,f(x)=e x ⋅(1x+2),f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2).由于f(1)=3e ,f ′(1)=2e ,所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0. (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2,x ≠0.①当a =−1时,令f ′(x)=0,解得x =−1,所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1),单调递增区间为(−1, 0),(0, +∞); 当a ≠−1时,令f ′(x)=0,解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时,f(x)的单调递减区间为(−∞, −1),(1a+1,+∞), 单调递增区间为(−1, 0),(0,1a+1);③当a =0时,f(x)为常值函数,不存在单调区间; ④当a >0时,f(x)的单调递减区间为(−1, 0),(0,1a+1), 单调递增区间为(−∞, −1),(1a+1,+∞). 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】(1)先求导数f ′(x),欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x =0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决.(2)对字母a 进行分类讨论,再令f ′(x)大于0,解不等式,可得函数的单调增区间,令导数小于0,可得函数的单调减区间. 【解答】解:(1)当a =1时,f(x)=e x ⋅(1x +2), f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2).由于f(1)=3e ,f ′(1)=2e ,所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0. (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2,x ≠0.①当a =−1时,令f ′(x)=0,解得x =−1,所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1),单调递增区间为(−1, 0),(0, +∞); 当a ≠−1时,令f ′(x)=0,解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时,f(x)的单调递减区间为(−∞, −1),(1a+1,+∞), 单调递增区间为(−1, 0),(0,1a+1);③当a =0时,f(x)为常值函数,不存在单调区间; ④当a >0时,f(x)的单调递减区间为(−1, 0),(0,1a+1), 单调递增区间为(−∞, −1),(1a+1,+∞). 【答案】解:(1)由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2,得 ba =23.…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形,从而b =2,故a =3.… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1.…(2)设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),直线AB 的方程为x =my +2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0.… 所以 y 1+y 2=−16m 4m +9,y 1y 2=−204m +9.…若PM 平分∠APB ,则直线PA ,PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0.… 设P(a, 0),则有 y 1x1−a+y 2x 2−a=0.将 x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式,整理得 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my2+2−a)=0,所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0.…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9,y 1y 2=−204m 2+9代入上式,整理得 (−2a +9)⋅m =0.… 由于上式对任意实数m 都成立,所以 a =92.综上,存在定点P(92,0),使PM 平分∠APB .…【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】(1)利用离心率为√53,可得b a=23,由椭圆短轴的端点是B 1,B 2,且MB 1⊥MB 2,可得△MB 1B 2是等腰直角三角形,由此可求椭圆C 的方程;(2)设线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,利用韦达定理,结合PM 平分∠APB ,则直线PA ,PB 的倾斜角互补,建立方程,即可求得结论.【解答】解:(1)由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2,得b a =23.…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形,从而b =2,故a =3.… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1.…(2)设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),直线AB 的方程为x =my +2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0.…所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9,y 1y 2=−204m 2+9.…若PM 平分∠APB ,则直线PA ,PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0.… 设P(a, 0),则有 y 1x1−a+y 2x2−a=0.将 x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式,整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0,所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0.…将 y 1+y 2=−16m4m +9,y 1y 2=−204m +9代入上式,整理得 (−2a +9)⋅m =0.… 由于上式对任意实数m 都成立,所以 a =92. 综上,存在定点P(92,0),使PM 平分∠APB .…【答案】(1)解:数列A 3:4,2,8不能结束,各数列依次为2,6,4;4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为0的情形. …数列A 4:1,4,2,9能结束,各数列依次为3,2,7,8;1,5,1,5;4,4,4,4;0,0,0,0.… (2)解:A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3.… 若a 1=a 2=a 3,则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0,从而结束. …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时,先证命题“若数列T(A 3)为常数列,则A 3为常数列”. 当a 1≥a 2≥a 3时,数列T(A 3):a 1−a 2,a 2−a 3,a 1−a 3.由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3,解得a 1=a 2=a 3,从而数列A 3也为常数列. 其它情形同理,得证.在数列A 3经过有限次“T 变换”后结束时,得到数列0,0,0(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列A 3也为常数列. …所以,数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3.(3)证明:先证明引理:“数列T(A n )的最大项一定不大于数列A n 的最大项,其中n ≥3”. 证明:记数列A n 中最大项为max (A n ),则0≤a i ≤max (A n ). 令B n =T(A n ),b i =a p −a q ,其中a p ≥a q . 因为a q ≥0,所以b i ≤a p ≤max (A n ),故max (B n )≤max (A n ),证毕. … 现将数列A 4分为两类.第一类是没有为0的项,或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,max (B 4)≤max (A 4)−1.第二类是含有为0的项,且与最大项相邻,此时max (B 4)=max (A 4). 下面证明第二类数列A 4经过有限次“T 变换”,一定可以得到第一类数列.不妨令数列A4的第一项为0,第二项a最大(a>0).(其它情形同理)①当数列A4中只有一项为0时,若A4:0,a,b,c(a>b, a>c, bc≠0),则T(A4):a,a−b,|b−c|,c,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若A4:0,a,a,b(a>b, b≠0),则T(A4):a,0,a−b,b;T(T(A4)):a,a−b,|a−2b|,a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若A4:0,a,b,a(a>b, b≠0),则T(A4):a,a−b,a−b,b,此数列各项均不为0,为第一类数列;若A4:0,a,a,a,则T(A4):a,0,0,a;T(T(A4)):a,0,a,0;T(T(T(A4))):a,a,a,a,此数列各项均不为0,为第一类数列.②当数列A4中有两项为0时,若A4:0,a,0,b(a≥b>0),则T(A4):a,a,b,b,此数列各项均不为0,为第一类数列;若A4:0,a,b,0(a≥b>0),则T(A):a,a−b,b,0,T(T(A)):b,|a−2b|,b,a,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列.③当数列A4中有三项为0时,只能是A4:0,a,0,0,则T(A):a,a,0,0,T(T(A)):0,a,0,a,T(T(T(A))):a,a,a,a,此数列各项均不为0,为第一类数列.总之,第二类数列A4至多经过3次“T变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历3次“T变换”,数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数,故经过有限次“T变换”后,数列的最大项一定会为0,此时数列的各项均为0,从而结束.…【考点】数列的应用【解析】(1)根据新定义,可得数列A3:4,2,8不能结束,数列A4:1,4,2,9能结束,并可写出各数列;(2)A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3,先证明a1=a2=a3,则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0,从而结束,再证明命题“若数列T(A3)为常数列,则A3为常数列”,即可得解;(3)先证明引理:“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项,其中n≥3”,再分类讨论:第一类是没有为0的项,或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,max(B4)≤max(A4)−1.第二类是含有为0的项,且与最大项相邻,此时max(B4)=max(A4).证明第二类数列A4经过有限次“T变换”,一定可以得到第一类数列.【解答】(1)解:数列A3:4,2,8不能结束,各数列依次为2,6,4;4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为0的情形.…数列A4:1,4,2,9能结束,各数列依次为3,2,7,8;1,5,1,5;4,4,4,4;0,0,0,0.…(2)解:A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3.…若a1=a2=a3,则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0,从而结束.…当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时,先证命题“若数列T(A3)为常数列,则A3为常数列”.当a1≥a2≥a3时,数列T(A3):a1−a2,a2−a3,a1−a3.由数列T(A3)为常数列得a1−a2=a2−a3=a1−a3,解得a1=a2=a3,从而数列A3也为常数列.其它情形同理,得证.在数列A3经过有限次“T变换”后结束时,得到数列0,0,0(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列A3也为常数列.…所以,数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3.(3)证明:先证明引理:“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项,其中n≥3”.证明:记数列A n中最大项为max(A n),则0≤a i≤max(A n).令B n=T(A n),b i=a p−a q,其中a p≥a q.因为a q≥0,所以b i≤a p≤max(A n),故max(B n)≤max(A n),证毕.…现将数列A4分为两类.第一类是没有为0的项,或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,max(B4)≤max(A4)−1.第二类是含有为0的项,且与最大项相邻,此时max(B4)=max(A4).下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”,一定可以得到第一类数列.不妨令数列A4的第一项为0,第二项a最大(a>0).(其它情形同理)①当数列A4中只有一项为0时,若A4:0,a,b,c(a>b, a>c, bc≠0),则T(A4):a,a−b,|b−c|,c,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若A4:0,a,a,b(a>b, b≠0),则T(A4):a,0,a−b,b;T(T(A4)):a,a−b,|a−2b|,a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若A4:0,a,b,a(a>b, b≠0),则T(A4):a,a−b,a−b,b,此数列各项均不为0,为第一类数列;若A4:0,a,a,a,则T(A4):a,0,0,a;T(T(A4)):a,0,a,0;T(T(T(A4))):a,a,a,a,此数列各项均不为0,为第一类数列.②当数列A4中有两项为0时,若A4:0,a,0,b(a≥b>0),则T(A4):a,a,b,b,此数列各项均不为0,为第一类数列;若A4:0,a,b,0(a≥b>0),则T(A):a,a−b,b,0,T(T(A)):b,|a−2b|,b,a,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列.③当数列A4中有三项为0时,只能是A4:0,a,0,0,则T(A):a,a,0,0,T(T(A)):0,a,0,a,T (T(T(A))):a,a,a,a,此数列各项均不为0,为第一类数列.总之,第二类数列A4至多经过3次“T变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历3次“T变换”,数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数,故经过有限次“T变换”后,数列的最大项一定会为0,此时数列的各项均为0,从而结束.…。
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(18) 空间几何体 理

俯视图正视图十八、空间几何体 第一部分 三视图4.(2012年西城一模理4)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为3. 其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( A ) A .2 B .2 C .28cm D .24cm5.(2012年丰台一模理5)若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示,则该几何体的表面积是( B )A.4B.4+4+10.(2012年朝阳一模理10) 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 答案:32正视图侧视图6.(2012年东城11校联考理6)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( B ) A .112 B.80 C.72 D.647.(2012年石景山一模理7)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A )A.83+B.83+C.83+D.323俯视图 侧视图10.(2012年房山一模10)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . 答案:32。
11.(2012年密云一模理11)已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积 为 . 答案:32。
第第11题图 第12题图C3.(2012年门头沟一模理3)己知某几何体的三视图如右图所示,则其体积为( B ) A.8 B.4 C.主视图 左视图俯视图第二部分 立体几何4.(2012年朝阳一模理4)已知平面α,直线,,a b l ,且,a b αα⊂⊂,则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的( B )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.(2012年东城11校联考理3)已知直线m ,n 与平面α,β,下列命题正确的是 ( D )A .βα//,//n m 且βα//,则n m //B .βα//,n m ⊥且β⊥α,则n m ⊥C .,βm n m =⊥α且βα⊥,则α⊥n D .βα⊥⊥n m ,且βα⊥,则n m ⊥4.(2012年石景山一模理4)设n m ,是两条不同的直线,γβα,,是三个不同的平面,下列命题正确的是( D )A.αα//,//,//n m n m 则若B.βαγβγα//,,则若⊥⊥C.n m n m //,//,//则若ααD.n m n m ⊥⊥则若,//,αα4.(2012年东城11校联考理4)甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线, 乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( A ) A.61 B. 92 C. 185 D. 318.(2012年海淀一模理8)在正方体''''ABCD A B C D -中,若点P (异于点B )是棱上一点,则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为( B )A .0B .3C .4D .616.(2012年海淀一模理16)在四棱锥P ABCD -中,AB //CD ,AB AD ^,4,2AB AD CD ===,PA ^平面ABCD ,4PA =. (Ⅰ)设平面PAB平面PCD m =,求证:CD //m ; (Ⅱ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点,且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3,求PQPB的值.A'B'C'D'ABCDPDCBA证明:(Ⅰ) 因为AB //CD ,CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD //平面PAB . 因为CD ⊂平面PCD ,平面PAB平面PCD m =,所以CD //m .(Ⅱ):因为AP ^平面ABCD ,AB AD ^,所以以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则(4,0,0)B ,(0,0,4)P,(0,D,(2,C . 所以(4,BD =-,(2,AC =,(0,0,4)AP =,所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=,(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥,BD AP ⊥.因为 AP AC A =,AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,所以 BD ⊥平面PAC .(Ⅲ)解:设PQPBλ=(其中01λ#),(,,)Qxyz ,直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以 PQ PB λ=.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+.由(Ⅱ)知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×,所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =.17.(2012年西城一模理17)如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形, ︒=∠=∠60DBF DAB ,且F A F C =.(Ⅰ)求证:AC ⊥平面BDEF ;(Ⅱ)求证:FC ∥平面EAD ;(Ⅲ)求二面角B FC A --的余弦值.证明:(Ⅰ)设AC 与BD 相交于点O ,连结FO .因为 四边形ABCD 为菱形,所以BD AC ⊥, 且O 为AC 中点.又 FC FA =,所以 AC FO ⊥. 因为 O BD FO = ,所以 ⊥AC 平面BDEF . (Ⅱ)因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,所以AD //BC ,DE //BF ,所以 平面FBC //平面EAD . 又⊂FC 平面FBC ,所以FC // 平面EAD . 解:(Ⅲ)因为四边形BDEF 为菱形,且︒=∠60DBF ,所以△DBF 为等边三角形.因为O 为BD 中点,所以BD FO ⊥,故FO ⊥平面ABCD .由OF OB OA ,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -. 设2=AB .因为四边形ABCD 为菱形,︒=∠60DAB ,则2=BD ,所以1OB =,OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O-. 所以 (3,0,CF =,(3,1,0)CB =.设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ,则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+.03,033y x z x 取1=x ,得)1,3,1(--=n .易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v .由二面角B FC A --是锐角,得cos ,⋅〈〉==n v n v n v. 所以二面角B FC A --的余弦值为515. 17.(2012年东城一模理17)如图1,在边长为3的正三角形ABC 中,E ,F ,P 分别为AB ,AC ,BC 上的点,且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置,使二面角1A EF B --成直二面角,连结1A B ,1A P .(如图2) (Ⅰ)求证:E A 1⊥平面BEP ;(Ⅱ)求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.图1 图2证明:(Ⅰ)取BE 中点D ,连结DF .因为1AE CF ==,1DE =,所以2AF AD ==,而60A ∠=,即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. 所以在图2中有1A E EF ⊥,BE EF ⊥. 所以1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角. 又二面角1A EF B --为直二面角, 所以1A E BE ⊥. 又因为BEEF E =,所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .解:(Ⅱ)由(Ⅰ)可知1A E ⊥平面BEP ,BE EF ⊥,如图,以E 为原点,建立空间直角坐标系E xyz -,则(0,0,0)E ,1(0,0,1)A ,(2,0,0)B ,,0)F 在图1中,连结DP . 因为12CF CP FA PB ==,所以PF∥BE,且12PF BE DE==.所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP,且EF DP=.故点P的坐标为(10). 图2所以1(2,0,1)A B=-,(BP=-,1(0,0,1)EA=.不妨设平面1A BP的法向量(,,)x y z=n,则10,0.A BBP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即20,0.x zx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y=(3,6)=n.所以111cos,||||14EAEAEA⋅<>===⨯nnn故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3π.16. (2012年丰台一模理16)四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,侧面PAD⊥底面ABCD,∠B CD=60º,,E是BC中点,点Q在侧棱PC上.(Ⅰ)求证:AD⊥PB;(Ⅱ)若Q是PC中点,求二面角E-DQ-C的余弦值;(Ⅲ)若PQPCλ=,当PA // 平面DEQ时,求λ的值.证明:(Ⅰ)取AD中点O,连结OP,OB,BD.因为 PA=PD,所以 PO⊥AD.…………1分ED CBAQPPQ因为 菱形ABCD 中,∠B CD =60º, 所以 AB=BD ,所以 BO ⊥AD . …………2分 因为 BO ∩PO=O , …………3分 所以 AD ⊥平面POB .………4分 所以 AD ⊥PB . …………5分 解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知BO ⊥AD ,PO ⊥AD .因为 侧面PAD ⊥底面ABCD , 且平面PAD ∩底面ABCD=AD ,所以PO ⊥底面ABCD . ………6分以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O-……7分则(1,0,0)D -,(E -,(0,0,1)P , (C -,因为Q 为PC 中点, 所以1()2Q -. ……8分 所以 DE =,1(0,)2DQ =, 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =. 因为 (DC =-,1(0,)2DQ =, 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z =, 则220,DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩0,10.22x y z ⎧-=+=⎪⎩ 令x =1y =,z =2(3,1,n =. …9分12121221cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==.由图可知,二面角E-DQ-C 为锐角,所以余弦值为7. …10分 (Ⅲ)因为PQPCλ=,所以 PQ PC λ=, 由(Ⅱ)知(1)PC =--,(1,0,1)PA =-,C若设(,,)Q x y z ,则(,,1)PQ x y z =-,由 PQ PC λ=,得21x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩,在平面DEQ中,DE =,(1,,)(12,1)DQ x y z λλ=+=--,所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--, …12分 又因为 PA // 平面DEQ , 所以 10PA n ⋅=, ……13分 即(1)(1)(21)0λλ-+--=,得23λ=. 所以,当23λ=时,PA // 平面DEQ . …14分17.(2012年朝阳一模理17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,=90ABD ∠︒,EB ⊥平面ABCD ,EF//AB ,=2AB,==1EB EF,=BC M 是BD 的中点.(Ⅰ)求证:EM//平面ADF ;(Ⅱ)求二面角D-AF-B 的大小;(Ⅲ)在线段EB 上是否存在一点P ,使得CP 与AF 所成的角为30︒?若存在,求出BP 的长度;若不存在,请说明理由.证明:(Ⅰ)取AD 的中点N ,连接MN,NF .在△DAB 中,M 是BD 的中点,N 是AD 的中点,所以1=2MN//AB,MN AB , 又因为1=2EF//AB,EF AB ,所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形, 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ,⊄EM 平面ADF ,CA F EBMD NCA F EBMD故EM//平面ADF. … 4分解法二:因为EB⊥平面ABD,AB BD⊥,故以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz. ……1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M(Ⅰ)3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=,设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x-y=0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3,则n=. …3分又因为3(=3+0-3=02EM n⋅=⋅,所以EM n⊥,又EM⊄平面ADF,所以//EM平面ADF. ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD,所以EB BD⊥.又因为AB BD⊥,所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一个法向量.所以1cos<=2BDBD,BDnnn⋅>=⋅,又二面角D-AF-B为锐角,故二面角D-AF-B的大小为60︒. …10分(Ⅲ)假设在线段EB上存在一点P,使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P(0t≤≤,则=(3,-2,-),=PC AFt.所以2cos<2PC AFPC,AFPC AF⋅>==⋅,=,化简得35-=,解得0t=<.所以在线段EB上不存在点P,使得CP与AF所成的角为30︒.……14分17.(2012年东城11校联考理17)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,90DAB ∠=,//AD BC ,AD ⊥侧面PAB ,△PAB 是等边三角形,2==AB DA ,12BC AD =,E 是线段AB 的中点.(1)求证:CD PE ⊥;(2)求四棱锥P ABCD -的体积;(3)试问线段PB 上是否存在点F ,使二面角C DE F --的余弦值为41?若存在,确定点F 的位置;若不存在,说明理由.证明:(1)因为AD ⊥侧面PAB ,PE ⊂平面PAB , 所以AD PE ⊥.又因为△PAB 是等边三角形,E 是线段AB 的中点,所以PE AB ⊥. 因为ADAB A =,所以PE ⊥平面ABCD .而CD ⊂平面ABCD ,所以PE CD ⊥. ……4分解:(2)由(1)知PE ⊥平面ABCD ,所以PE 是四棱锥P ABCD -的高.由2==AB DA ,12BC AD =,可得1=BC . 因为△PAB 是等边三角形,可求得3=PE .所以332)21(213131=⨯⨯+⨯=⋅=-PE S V ABCD ABCD P .……8分(3)以E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,0A E B C D P --则有,,,设000(,,),F x y z PF PB=λ,则)3,1,0()3,,(--=-λzyx(0,)F-λ所以.设(,,x y z=)n为平面DEF的法向量,(2,1,0),(0,),ED EF==-λ0,0,EDEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn200.x yy z+=⎧⎪⎨-λ+=⎪⎩,即)x1y2z⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩,所以,(1,=-所以n.设平面CDE的法向量为(0,0,1=)m.1cos,4m n==所以.化简得01232=-+λλ.解得311=-=λλ(舍)或.所以存在点F,且PBPF31= .………13分17.(2012年石景山一模理17)如图,三棱柱111CBAABC-中,1AA⊥面ABC,2,==⊥ACBCACBC,13AA=,D为AC的中点.(Ⅰ)求证:11//BDCAB面;(Ⅱ)求二面角CBDC--1的余弦值;(Ⅲ)在侧棱1AA上是否存在点P,使得1BDCCP面⊥?请证明你的结论.B1 B证明:(I )连接B 1C ,与BC 1相交于O ,连接OD . …1分 ∵BCC 1B 1是矩形,∴O 是B 1C 的中点. 又D 是AC 的中点,∴OD//AB 1.∵AB 1⊄面BDC 1,OD ⊂面BDC 1,∴AB 1//面BDC 1. 解:(II )如图,建立空间直角坐标系, 则C 1(0,0,0),B (0,3,2), C (0,3,0),A (2,3,0), D (1,3,0),1(0,3,2)C B =,1(1,3,0)C D =,……5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量,则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩,取11(1,,)32n =-.…7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. ……8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. ……9分 (III )假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P (2,y ,0)(0≤y ≤3),则 (2,3,0)CP y =-, …10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …12分解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. ……13分∴侧棱AA 1上不存在点P ,使CP ⊥面BDC 1. …14分17.(2012年房山一模17)在直三棱柱111ABC A B C -中,1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点,G 是棱AB 上的动点.(I )求证:⊥C B 1平面BNG ;(II)若CG //平面M AB 1,试确定G 点的位置,并给出证明;(III)求二面角1M AB B --的余弦值.证明:(I)∵在直三棱柱111ABC A B C -中,1CC BC =,点N 是C B 1的中点,∴C B BN 1⊥ …………1分BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCC B …………2分⊂C B 1平面11BCC B∴AB C B ⊥1,即GB C B ⊥1 ……………3分 又B BG BN =∴⊥C B 1平面BNG …………4分(II )当G 是棱AB 的中点时,CG //平面M AB 1.……………5分 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H ,连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线 ∴GH ∥1BB ,121BB GH =………6分 ∵由已知条件,11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ,11BB CC = ∵M 为1CC 的中点,∴121CC CM =……7分 ∴MC ∥GH ,且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥HM又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面⊄⊂ ……8分 ∴CG //平面M AB 1 ………9分 解:(III) ∵ 直三棱柱111ABC A B C -且BC AB ⊥依题意,如图:以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -,…10分∴1(0,0,0)B ,(0,2,0)B ,)0,1,2(M ,(0,2,2)A ,1(2,0,0)C则1(0,2,2)B A =,)0,1,2(1=B 设平面1B AM 的法向量(,,)n x y z =,则1100n B A n B M ⋅=⋅⎧⎪=⎨⎪⎩,即00222x y z y ⎧⎨+=+=⎩,令1=x ,有)2,2,1(-=n ………12分 又平面1B AB 的法向量为11(2,0,0)BC =,∴11cos ,BC n <>=1111B C n B C n⋅⋅=31, ……13分设二面角1M AB B --的平面角为θ,且θ为锐角∴111cos cos ,3B C n θ=-=. ……14分16.(2012年密云一模理16)如图,已知E ,F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点,EF 与AC 交于点O ,PA 、NC 都垂直于平面ABCD ,且4PA AB ==,2NC =,M 是线段PA 上一动点.(Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面NEF ;(Ⅱ)若//PC 平面MEF ,试求:PM MA 的值;(Ⅲ)当M 是PA 中点时,求二面角M EF N --的余弦值.证明:(Ⅰ)连结BD ,∵PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴PA BD ⊥, 又∵BD AC ⊥,AC PA A =,∴BD ⊥平面PAC ,又∵E ,F 分别是BC 、CD 的中点,∴//EF BD , ∴EF ⊥平面PAC ,又EF ⊂平面NEF , ∴平面PAC ⊥平面NEF ; ……4分 解:(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,则(0,0,4)P ,(4,4,0)C ,(4,2,0)E ,(2,4,0)F ,∴(4,4,4)PC =-,(2,2,0)EF =-,设点M 的坐标为(0,0,)m ,平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =,则(4,2,)ME m =-,所以00n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩,令1x =,则1y =,6z m =,故6(1,1,)n m=,第16题图第16题图用心 爱心 专心∵//PC 平面MEF ,∴0PC n ⋅=,即24440m+-=,解得3m =, 故3AM =,即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点;故:1:3PM MA = ----8分(Ⅲ)(4,4,2)N ,则(0,2,2)EN =,设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =,则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩,令1x =,则1y =,1z =-,即(1,1,1)m =-, 当M 是PA 中点时,2m =,则(1,1,3)n =,∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为.----14分16.(2012年门头沟一模理16)如图,在多面体ABCD EF -中,四边形ABCD 为正方形,//EF AB ,EF EA ⊥,2AB EF =,090AED ∠=,AE ED =,H 为AD 的中点.(Ⅰ)求证://EH 平面FAC ;(Ⅱ)求证:EH ⊥平面ABCD ;(Ⅲ)求二面角A FC B --的大小.证明:(Ⅰ)ACBD O =,连结HO ,FO因为ABCD 为正方形,所以O 是AC 中点,EDABCFH用心 爱心 专心 22又H 是AD 中点, 所以1//,2OH CD OH CD =,1//,2EF AB EF AB =, 所以//EF OH 且EF OH =, 所以四边形EHOF 为平行四边形, 所以//EH FO ,又因为FO ⊂平面FAC ,EH ⊄平面FAC . 所以//EH 平面FAC .……………4分 证明:(Ⅱ)因为AE ED =,H 是AD 的中点, 所以EH AD ⊥……………6分又因为//AB EF ,EF EA ⊥,所以AB EA ⊥ 又因为AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面AED , 因为EH ⊂平面AED , 所以AB EH ⊥,……………8分 所以EH ⊥平面ABCD .……………9分解:(Ⅲ)AC ,BD ,OF 两两垂直,建立如图所示的坐标系,设1EF =, 则2AB =,B,(C ,(0,0,1)F …………10分设平面BCF 的法向量为1(,,)n x y z =, (2,2,0),(2,0,1)BC CF =--=,110,0n BC n CF ⋅=⋅=所以 1(1,1n =- …………11分 平面AFC 的法向量为2(0,1,0)n = ………12分1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅. ………13分二面角A FC B --为锐角,所以二面角A FC B --等于3π.……………14分。
北京西城区2012年高三一模文科数学试题

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2012年05月23日亲,很高兴访问《北京西城区2012年高三一模文科数学试题》一文,也欢迎您访问店铺()的高考频道,为您精心准备了2012高考数学模拟题的相关模拟考试试题内容!同时,我们正在加紧建设高考频道,我们全体编辑的努力全是为了您,希望您能在本次高考中能获得好的名次,以及考上满意的大学,也希望我们准备的《北京西城区2012年高三一模文科数学试题》内容能帮助到您。
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2012-2013北京西城高三毕业班第一学期期末数学测试卷及答案

(A) sin 1
(B) sin
3
C cos 1
()
(
cos
D)
3
4.执行如图所示的程序框图.若输出 S 15 , 则框图中
① 处可以填入( )
(A) k 2 (B) k 3 (C) k 4 (D) k 5
5.已知函数 f (x) x b cos x ,其中 b 为常数.那么“ b 0 ”是“ f (x) 为奇函数”的
x2 y 1的 两 个 焦 点 是 F , F , 点 P 在 该 椭 圆 上 . 若
12. 已 知 椭 圆
4
2
2
1
2
| PF1 | | PF2 | 2 ,则△ PF1F2 的面积是______.
13. 已 知 函 数 f (x) sin(2x π ) , 其 中 x [ π , a] . 当 a 时 , f (x) 的 值 域 是
()
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
6.已知 a,b 是正数,且满足 2 a 2b 4 .那么 a2 b2 的取值范围是( )
(A)
(
4 5
,
16 5
)
(B)
(
4 5
,16)
(C) (1,16)
(D)
(16 5
,4)
7.某四面体的三视图如图所示.该四面体的 六条棱的长度中,最大的是( )
北京市西城区 2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
2013.1
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
2012年北京市西城区高三期末理科试卷及答案(打印版)

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末考试数 学 试 题(理)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸 上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.复数i 1i =+ ( )A .1i 22+B .1i 22- C .1i 22-+ D .1i 22-- 2.已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=.在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为( )A .2cos ρθ=B .2sin ρθ=C .2cos ρθ=-D .2sin ρθ=-3.已知向量(3,1)=a ,(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ,则c 可以是( )A .(3,1)-B .(1,3)--C .(3,1)--D .(1,3)-4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 ( ) A .3 B .6- C .10 D .15-5.已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是 ( ) A .[1,4]B .[1,5]C .4[,4]5D .4[,5]56.已知,a b ∈R .下列四个条件中,使a b >成立的必要而不充分的条件是( )A .1a b >-B .1a b >+C .||||a b >D .22a b >7.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ) A .8 B .83 C .4D .438.已知点(1,1)A --.若曲线G 上存在两点,B C ,使ABC △ 为正三角形,则称G 为Γ型曲线.给定下列三条曲线: ① 3(03)y x x =-+≤≤; ② 22(20)y x x =--≤≤;③ 1(0)y x x=->. 其中,Γ型曲线的个数是 ( )A .0B .1C .2D .3第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.函数21()log f x x=的定义域是______. 10.若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0),则实数k =______. 11.如图,PA 是圆O 的切线,A 为切点,PBC 是圆O 的割线.若32PA BC =,则PBBC=______. 12.已知{}n a 是公比为2的等比数列,若316a a -=,则1a = ;22212111na a a +++=______. 13.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若25b =,4B π∠=,5sin C =,则c = ;a = .14.有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =,A M ⊆,B M ⊆,A B =∅,且card()2A =,card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆,则集合X 的个数是_____;若集合Y 满足Y M ⊆,且A Y --⊄,B Y --⊄,则集合Y 的个数是_____.(用数字作答)三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分) 已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+,π[,π]2x ∈.(Ⅰ)求()f x 的零点;(Ⅱ)求()f x 的最大值和最小值.16.(本小题满分13分) 盒中装有7个零件,其中2个是使用过的,另外5个未经使用.(Ⅰ)从盒中每次随机抽取1个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求3次抽取中恰有1次 抽到使用过的零件的概率;(Ⅱ)从盒中随机抽取2个零件,使用后...放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为X ,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,12AB BC AA ==,90ABC ︒∠=,D 是BC 的中点.(Ⅰ)求证:1A B ∥平面1ADC ; (Ⅱ)求二面角1C AD C --的余弦值;(Ⅲ)试问线段11A B 上是否存在点E ,使AE 与1DC 成60︒角?若存在,确定E 点位置,若不存在,说明理由.18.(本小题满分13分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ,且离心率为12.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点,线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ,求0y 的取值范围.19.(本小题满分14分) 已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=,其中a ∈R . (Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间;(Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围.20.(本小题满分13分)已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =,11k k k k b a a b --=+-,其中2,3,,k n =,则称n B 为n A 的“衍生数列”.(Ⅰ)若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -,求4A ; (Ⅱ)若n 为偶数,且n A 的“衍生数列”是n B ,证明:n B 的“衍生数列”是n A ;(Ⅲ)若n 为奇数,且n A 的“衍生数列”是n B ,n B 的“衍生数列”是n C ,….依次将数列n A ,n B ,n C ,…的第(1,2,,)i i n =项取出,构成数列:,,,i i i i a b c Ω.证明:i Ω是等差数列.。
北京市西城区2012届高三第一次模拟考试文科数学试题.pdf

北京市西城区2012年高三一模试卷 数 学(文科) 2012.4 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,,那么()(A)(B)(C)(D) 2.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的 值为( ) (A) (B) (C) (D) 3.若,,,则下列结论正确的是( )(A)(B)(C)(D) 4.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是 ,,则复数对应的点位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为,其三视图 中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )(A)(B)(C)(D)6.若实数,满足条件 则的最大值为()(A)(B)(C)(D)7.设等比数列的前项和为.则“”是“”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件8.已知集合,其中,且 .则中所有元素之和是( )(A)(B)(C)(D) 第Ⅱ卷(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分,.若,则实数_____. 10. 某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒 与秒之间.将测试结果分成组:,, ,,,得到如图所示的频率分 布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ,那么成绩在的学生人数是_____. 11. 函数的最小正周期为_____. 12. 圆的圆心到直线的距离是_____. 13. 已知函数 则的零点是_____;的值域是_____.14. 如图,已知抛物线及两点和,其中.过,分别作轴的垂线,交抛物线于,两点,直线与轴交于点,此时就称, 确定了.依此类推,可由,确定,.记,. 给出下列三个结论: ① 数列是递减数列; ② 对,; ③ 若,,则. 其中,所有正确结论的序号是_____. 三、15.(本小题满分13分) 在△中,已知. (); (),△的面积是,求. 16.(本小题满分13分) 某校高一年级开设研究性学习课程,()班和()班报名参加的人数分别是和.现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从()班抽取了名同学. ()()次交流活动,每次随机抽取小组中名同学发言.求次发言的学生恰好来自不同班级的概率. 17.(本小题满分14分) 如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面. ()∥平面; (),求证:; (Ⅲ)求四面体体积的最大值. 已知椭圆的离心率为,一个焦点为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线交椭圆于,两点,若点,都在以点为圆心的圆上,求的值. 19.(本小题满分13分) 如图,抛物线与轴交于两点,点在抛物线上(点在第一象限),∥.记,梯形面积为. (Ⅰ)求面积以为自变量的函数式; (Ⅱ)若,其中为常数,且,求的最大值. 20.(本小题满分13分) 对于数列,定义“变换”:将数列变换成数列,其中,且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束. (Ⅰ)试问经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由; (Ⅱ)设,.若,且的各项之和为. ()求,; ()若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值,并说明理由. 北京市西城区2012年高三一模试卷 数学(文科)参考答案及评分标准 2012.4 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. C;2. D ;3. D;4. B;5. A;6. B;7. C;8. C . 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. 和,; 14. ① ② ③. 注:13题第一问2分,第二问3分; 14题少选1个序号给2分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:由,得. ………………3分 所以原式化为. ………………4分 因为,所以 , 所以 . ………………6分 因为, 所以 . ………………7分 (Ⅱ)解:由余弦定理, 得 . ………9分 因为 ,, 所以 . ………………11分 因为 , 所以 . ………………13分 16.(本小题满分13分) ())班抽取的人数为, 依题意得 ,所以, 研究性学习小组的人数为. ………………5分 ())班的人为,()班的人为. 次交流活动中,每次随机抽取名同学发言的基本事件为: ,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,,,,共种. ………………9分 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为: ,,,,,,,,, ,,,共种. ………………12分 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为. ………………13分 (Ⅰ)证明:因为四边形,都是矩形, 所以 ∥∥,. 所以 四边形是平行四边形,……………2分 所以 ∥, ………………3分 因为 平面, 所以 ∥平面. ………………4分 (Ⅱ)证明:连接,设. 因为平面平面,且, 所以 平面, ………………5分 所以 . ………………6分 又 , 所以四边形为正方形,所以 .……………7分 所以 平面, ………………8分 所以 . ………………9分 (Ⅲ)解:设,则,其中. 由(Ⅰ)得平面, 所以四面体的体积为.………………11分 所以 . ………………13分 当且仅当,即时,四面体的体积最大. ………………14分 18.(本小题满分14分) (Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为,则. ………………1分 由, 得 , 从而. ………………4分 所以,椭圆的方程为. ………………5分 (Ⅱ)解:设. 将直线的方程代入椭圆的方程, 消去得 . ………………7分 由,得,且.……9分 设线段的中点为,则,.………10分由点,都在以点为圆心的圆上,得, ………………11分 即 , 解得 ,符合题意. ………………13分 所以 . ………………14分 19.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:依题意,点的横坐标为,点的纵坐标为. ……………1分 点的横坐标满足方程,解得,舍去.…………2分 所以.…4分 由点在第一象限,得. 所以关于的函数式为 ,. ………………5分 (Ⅱ)解:由 及,得. ………………6分 记, 则. ………………8分 令,得. ………………9分 ① 若,即时,与的变化情况如下: 极大值所以,当时,取得最大值,且最大值为. ………………11分 ② 若,即时,恒成立, 所以,的最大值为. ………………13分 综上,时,的最大值为;时,的最大值为. 20.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:数列不能结束,各数列依次为;;;;;…. 以下重复出现,所以不会出现所有项均为的情形. ………………3分 (Ⅱ)解:()因为的各项之和为,且, 所以为的最大项, 所以最大,即,或. ………………5分 由,得,即,故.………7分 当时,同理可得 ,. ………………8分 ()方法一:由,则经过次“变换”得到的数列分别为:;;;;;. 由此可见,经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列,与数列“结构”完全相同,但最大项减少12. 因为, 所以,数列经过次“变换”后得到的数列为. 接下来经过“变换”后得到的数列分别为:;;;;; ;,…… 从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小. 所以经过次“变换”得到的数列各项和最小,的最小值为. ………………13分 方法二:若一个数列有三项,且最小项为,较大两项相差,则称此数列与数列 “结构相同”. 若数列的三项为,则无论其顺序如何,经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) . 所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同,除外其余各项减少,各项和减少. 因此,数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列. 通过列举,不难发现各项为的数列,无论顺序如何,经过“变换”得到的数列会重复出现,各项和不再减少. 所以,至少通过次“变换”,得到的数列各项和最小,故的最小值为. ………………13分 北京利德智达文化发展有限公司。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 (1)复数131ii-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i - (2)已知集合{A =,{1,}B m =,A B A =U ,则m =(A )0(B )0或3 (C )1(D )1或3 (3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ,2AB =,1CC =E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B(C(D )1 (5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为 (A )100101 (B )99101(C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,0a b ⋅=r r ,||1a =r ,||2b =r ,则AD =u u u r(A )1133a b -r r (B )2233a b -r r (C )3355a b -r r (D )4455a b -r r(7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α=(A ) (B ) (C (D (8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= (A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e-=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x << (10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种 (12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。
2012西城一模试题答案定稿

北京市西城区2012年高三一模试卷物理试题参考答案 2012.413.C 14.B 15.A 16.C 17.D 18.A 19.D 20.B 21.(18分)(1)①B D ②αβsin sin ③小于(2)①0.516 (0.515~0.519) ②3Ω ③A C E ④b IlUD 4π2⑤镍铬合金评分说明:本题共18分。
第(1)问中每空2分,共6分;第(2)问中,第①、③小 问每空1分,其他题目每空2分。
第(1)问中的第①小问,漏选得1分;不选、多选、 错选不得分。
22.(16分)(1)小木块在弧形轨道末端时,满足R m v m g F 2=-解得:25N =F (2)根据动能定理 02120f -=-mv W mgR解得:J 5.1f =W(3)根据动量守恒定律 vM m mv )(0+=解得:m/s0.1=v评分说明:本题共16分。
第(1)问5分;第(2)问5分;第(3)问6分 23.(18分)(1)带电离子在平行板a 、b 间运动时,根据动能定理 02120-=mv qU① 解得:mqU v 02=,即02kU v = 带电离子在平行板a 、b 间的加速度dm qU a 01=,即dkU a 01= 所以,带电离子在平行板a 、b 间的运动时间0112kU kU d a v t ==带电离子在平行板M 、N 间的运动时间022kU L v L t ==所以,带电离子的全部飞行时间02122kU L d t t t +=+=(2)正离子在平行板M 、N 间水平方向运动位移为x 时,在竖直方向运动的位移为y 。
水平方向满足 vt x = ②竖直方向满足 2221t a y =③加速度 L kU a 12=④由上述②、③、④式得:0214LU x U y =⑤⑤式是正离子的轨迹方程,与正离子的质量和电荷量均无关。
所以,不同正离子的轨迹是重合的。
(3)当M 、N 间磁感应强度大小为B 时,离子做圆周运动,满足R mv Bvq 2=⑥ 由上述①、⑥两式,解得:带电离子的轨道半径qB m U R 202=⑦ 上式表明:在离子质量一定的情况下,离子的电荷量越大,在磁场中做圆周运动的半径越小,也就越不容易穿过方形区从右侧飞出。
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北京市西城区2012年高三一模试卷数 学(理科) 2012.4第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集U =R ,集合1{|1}A x x=≥,则UA =( )(A )(0,1) (B )(0,1](C )(,0](1,)-∞+∞ (D )(,0)[1,)-∞+∞2.执行如图所示的程序框图,若输入2x =,则输出y 的 值为( ) (A )2 (B )5 (C )11 (D )233.若实数x ,y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为( )(A )9 (B )3 (C )0 (D )3-4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为3123cm .其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )(A )243cm(B )223cm(C )28cm(D )24cm5.已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π,那么正数ω=( )(A )2 (B )1(C )12(D )146.若2log 3a =,3log 2b =,4log 6c =,则下列结论正确的是( ) (A )b a c << (B )a b c << (C )c b a << (D )b c a <<7.设等比数列{}n a 的各项均为正数,公比为q ,前n 项和为n S .若对*n ∀∈N ,有23n n S S <,则q 的取值范围是( )(A )(0,1] (B )(0,2) (C )[1,2)(D )8.已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯,其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=,且30a ≠.则A 中所有元素之和等于( ) (A )3240 (B )3120(C )2997(D )2889第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒 与18秒之间.将测试结果分成5组:[1314),,[1415),,[1516),,[1617),,[1718],,得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,那么成绩在[16,18]的学生人数是_____.10.6(2)x -的展开式中,3x 的系数是_____.(用数字作答)11. 如图,AC 为⊙O 的直径,OB AC ⊥,弦BN 交AC于点M .若3OC =,1OM =,则MN =_____.12. 在极坐标系中,极点到直线:l πsin()24ρθ+=的距离是_____.13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >.那么()f x 的零点是_____;若()f x 的值域是1[,2]4-,则c 的取值范围是_____.14. 在直角坐标系xOy 中,动点A ,B 分别在射线3(0)3y x x =≥和3(0)y x x =-≥上运动,且△OAB 的面积为1.则点A ,B 的横坐标之积为_____;△OAB 周长的最小值是_____.ABCOM N三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)在△ABC 中,已知sin()sin sin()A B B A B +=+-. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)若||7BC =,20=⋅AC AB ,求||AB AC +.16.(本小题满分13分)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(Ⅰ)求甲以4比1获胜的概率;(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率; (Ⅲ)求比赛局数的分布列.17.(本小题满分14分)如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形, ︒=∠=∠60DBF DAB ,且FA FC =. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面BDEF ;(Ⅱ)求证:FC ∥平面EAD ; (Ⅲ)求二面角B FC A --的余弦值.18.(本小题满分13分)已知函数()e (1)axa f x a x=⋅++,其中1-≥a .(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)求)(x f 的单调区间.19.(本小题满分14分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3,定点(2,0)M ,椭圆短轴的端点是1B ,2B ,且12MB MB ⊥.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ,B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分APB ∠?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.20.(本小题满分13分)对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ,定义“T 变换”:T 将数列n A 变换成数 列12:,,,n n B b b b ,其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=-,且1||n n b a a =-,这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”,得到数列n C ,…,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.(Ⅰ)试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由;(Ⅱ)求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件; (Ⅲ)证明:41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束.北京市西城区2012年高三一模试卷数学(理科)参考答案及评分标准2012.4一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. C ;2. D ;3. A ;4.A ;5. B ;6. D ;7. A ;8. D .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.54; 10.160-; 11.1;12; 13.1-和0,(0,4]; 14,2(1. 注:13题、14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=. ………………3分因为(0,π)B ∈, 所以 0sin >B , 所以 21cos =A . ………………5分因为(0,π)A ∈, 所以 π3A =. ………………6分(Ⅱ)解:由余弦定理,得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅.………………8分因为 ||7BC =,||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=,所以 22||||89AB AC +=. ………………10分因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=, ………………12分所以 ||129AB AC += ………………13分16.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21. ………………1分记“甲以4比1获胜”为事件A , 则334341111()C ()()2228P A -==. ………………4分(Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B . 因为,乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==, ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==, ………………7分所以 125()16P B P P =+=. ………………8分(Ⅲ)解:设比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7.44411(4)2C ()28P X ===, ………………9分334341111(5)2C ()()2224P X -===, ………………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=, ………………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=. ………………12分比赛局数的分布列为:X 4 5 6 7P18 14 516 516………………13分17.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:设AC 与BD 相交于点O ,连结FO .因为 四边形ABCD 为菱形,所以BD AC ⊥, 且O 为AC 中点. ………………1分又 FC FA =,所以 AC FO ⊥. ………3分 因为 O BD FO = ,所以 ⊥AC 平面BDEF . ………………4分 (Ⅱ)证明:因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,所以AD //BC ,DE //BF , 所以平面FBC//平面EAD . ………………7分又⊂FC 平面FBC , 所以FC// 平面EAD . ………………8分(Ⅲ)解:因为四边形BDEF 为菱形,且︒=∠60DBF ,所以△DBF 为等边三角形.因为O 为BD 中点,所以BD FO ⊥,故FO ⊥平面ABCD .由OF OB OA ,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -. ………………9分设2=AB .因为四边形ABCD 为菱形,︒=∠60DAB ,则2=BD ,所以1OB =,3OA OF ==.所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -.所以 (3,0,3)CF =,(3,1,0)CB =.设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ,则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+.03,033y x z x 取1=x ,得)1,3,1(--=n . ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v . ………………13分由二面角B FC A --是锐角,得 cos ,⋅〈〉==n v n v n v. 所以二面角B FC A --的余弦值为515. ………………14分18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:当1a =时,1()e (2)x f x x =⋅+,211()e (2)xf x x x '=⋅+-. ………………2分由于(1)3e f =,(1)2e f '=,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=. ………………4分(Ⅱ)解:2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x ++-'=,0x ≠. (6)分① 当1-=a 时,令()0f x '=,解得 1x =-.)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-;单调递增区间为(1,0)-,(0,)+∞. (8)分当1a ≠-时,令()0f x '=,解得 1x =-,或11x a =+. ② 当01<<-a 时,)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-,1(,)1a +∞+;单调递增区间为(1,0)-,1(0,)1a +. ………………10分 ③ 当0=a 时,()f x 为常值函数,不存在单调区间. ………………11分④ 当0a >时,)(x f 的单调递减区间为(1,0)-,1(0,)1a +;单调递增区间为(,1)-∞-,1(,)1a +∞+. ………………13分19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:由 222222519a b b e a a -===-, 得 23b a =. ………………2分依题意△12MB B 是等腰直角三角形,从而2b =,故3a =. ………………4分所以椭圆C的方程是22194x y +=. ………………5分 (Ⅱ)解:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去x得22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+,1222049y y m -=+. ………………8分若PF 平分APB ∠,则直线PA ,PB 的倾斜角互补, 所以0=+PB PA k k . ………………9分设(,0)P a ,则有12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+,222x my =+代入上式, 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-,所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分将 1221649m y y m -+=+,1222049y y m -=+代入上式, 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分由于上式对任意实数m 都成立,所以 92a =. 综上,存在定点9(,0)2P ,使PM 平分APB ∠. ………………14分20.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:数列3:4,2,8A 不能结束,各数列依次为2,6,4;4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2; 2,0,2;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为0的情形. ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束,各数列依次为3,2,7,8;1,5,1,5;4,4,4,4;0,0,0,0. ………………3分(Ⅱ)解:3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==.………………4分若123a a a ==,则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0,从而结束. ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时,先证命题“若数列3()T A 为常数列,则3A 为常数列”.当123a a a ≥≥时,数列3122313():,,T A a a a a a a ---.由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-,解得123a a a ==,从而数列3A 也为常数列.其它情形同理,得证.在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时,得到数列0,0,0(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列3A 也为常数列. ………………8分所以,数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==.(Ⅲ)证明:先证明引理:“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项,其中3n ≥”.证明:记数列n A 中最大项为max()n A ,则0max()i n a A ≤≤.令()n n B T A =,i p q b a a =-,其中p q a a ≥.因为0q a ≥, 所以max()i p n b a A ≤≤,故max()max()n n B A ≤,证毕. ………………9分现将数列4A 分为两类.第一类是没有为0的项,或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,44max()max()1B A ≤-.第二类是含有为0的项,且与最大项相邻,此时44max()max()B A =.下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”,一定可以得到第一类数列.不妨令数列4A 的第一项为0,第二项a 最大(0a >).(其它情形同理)① 当数列4A 中只有一项为0时,若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠),则4():,,||,T A a a b b c c --,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠,则4():,0,,T A a a b b -;4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列;若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠),则4():,,,T A a a b a b b --,此数列各项均不为0,为第一类数列;若4:0,,,A a a a ,则4():,0,0,T A a a ;4(()):,0,,0T T A a a ;4((())):,,,T T T A a a a a ,此数列各项均不为0,为第一类数列.② 当数列4A 中有两项为0时,若4:0,,0,A a b (0a b ≥>),则4():,,,T A a a b b ,此数列各项均不为0,为第一类数列;若4:0,,,0A a b (0a b ≥>),则():,,,0T A a a b b -,(()):,|2|,,T T A b a b b a -,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻,为第一类数列.③ 当数列4A 中有三项为0时,只能是4:0,,0,0A a ,则():,,0,0T A a a ,(()):0,,0,T T A a a ,((())):,,,T T T A a a a a ,此数列各项均不为0,为第一类数列.总之,第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历3次“T 变换”,数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数,故经过有限次“T 变换”后,数列的最大项一定会为0,此时数列的各项均为0,从而结束. ………………13分。