数学竞赛辅导：向量法

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高中数学竞赛专题讲义之立体几何(传统方法和向量方法)

解立体几何（传统方法）知识精要1．直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．2．四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．3．解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．解答考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故K的最大值是4．练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少解答两端点都为顶点的共线三点组共有87282⨯=个；两端点都为面的中心共线三点组共有6132⨯=个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有123182⨯=个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有2831849++=个．例题2 已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求sinα．解答如右图所示，平面BCD与正方体的12条棱的夹角都等于α，过A作AH垂直平面BCD．连DH，则ADHα=∠．设正方体的边长为b，则2sin603DH==3AH==所以sin sin3AHADHADα=∠==．练习2 如图所示，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得(0)AE CFEB FDλλ==<<+∞，记()f λλλαβ=+，其中λα表示E F 与AC 所成的角，λβ表示E F 与BD 所成的角，证明()0f λ'=，即()f λ为常数．解答因ABCD 是正四面体，故AC 垂直BD ，作EG 平行AC 交BC 于G ，连G F ，则GEF λα=∠，且CG AE CFGB FD FD==，所以G F 平行BD ．所以G F 垂直EG ，且EFG λβ=∠．所以()f λ为常数．例题3 三棱锥P -ABC 中，若棱P A =x ，其余棱长均为1，探讨x 是否有最值．解答当P -ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，P A 变大，最大极限是P 、A 、B 、C 共面时，P A 为菱形ABPC 的对角线，．所以无最值．练习3若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．解答若P 在底面的射影为O ,易知PO 越小，侧棱越小．故P 、O 重合时，侧棱取最小极限值3，PO 无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值．例题4在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，求AP +D 1P 的最小值．解答将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至1A A B '，使三角形1A A B '与四边形A 1BCD 1共面，联结1A D '，则1A D '的长即为AP +D 1P 的最小值，所以，1A D '==练习4已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对棱BB 1、D 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F=λ（102λ<≤）．设E F 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，求αβ+的最小值．解答当12λ=时，2παβ+=．不难证明()f αβλ+=是单调减函数．因此αβ+的最小值为2π．例题5 在正n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．解答当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为π．当顶点在无穷远处的时候，正n 棱锥变为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为(2)n nπ-．练习5 已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，角BAD =600，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积．解答联结DP 、DN ，在三角形MDN 为直角三角形，且DP =MN /2=1，又由已知角BAD =600，角ADC =1200，所以点P 的轨迹以点D 为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D 以及三个面围成的几何体的体积为31421639ππ⨯⨯=．立体几何（向量方法）知识精要4．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零．5．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式cos ||||θαβαβ=求解．6．建立空间直角坐标系．例题1如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥ ，，()O OP z O xyz -以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，,0,0,,0,,0,0AB a A B C ⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，则 ()0,0,.OP h P h =设，则 ()D PC 为的中点，Ⅰ212,0,,,0,422OD a h PA a h ⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，1...2OD PA OD PA OD PAB ∴=-∴∴ 平面∥∥()2,PA a =Ⅱ,h ∴=,OD ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,PBC n ⎛=- ⎝可求得平面的法向量210cos ,OD n OD n OD n ⋅∴〈〉==⋅ OD PBC θ设与平面所成的角为，210sin cos ,OD n θ=〈〉=则 OD PBC ∴ 与平面所成的角为．练习1如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离解答在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AAB B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA ∠=又2,,1,3ABAE BD AE AD =⊥==从而易得1(2E D （Ⅰ）13(,,0),(1,0,1)2AE BF ==-cos ,AE BF AEBF AE BF∴<>=14-==即异面直线AE 、BF 所成的角为4（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向1量．(BD =-由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩203x x x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x zy=⎧⎪⇒=取(1,3,1)n =∴3cos ,15m n m n m n <>===⨯即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为（Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB n AB ABn =||||55AB n n ===所以点A 到平面BDF 5例题2 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．解答（I ）证明由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ．故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）O 1（0，0，3）．从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO BO 所以AC ⊥BO 1．（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅OC BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x =是0平面O 1AC 的一个法向图1量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x C O n 取得)3,0,1(=n ．设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由、1BO 的方向可知=<θ，1BO >，所以COS <=cos θ，1BO .43||||1=⋅BO n 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos练习2 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点(Ⅰ)求证1AC BC ⊥； (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面；(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值解答∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3,4,5A C B C A B ===，1,,AC BC CC 两两垂直如图建立坐标系，则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0),B 1(0,4,4),D (32,2,0) (Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E (0,2,2)13(,0,2),(3,0,4)2DE AC =-=-111,//2DE AC DE AC ∴=∴111,,DE CDB AC CDB ⊂⊄平面平面1//AC CDB ∴平面(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=1111112cos ,5||||AC CBAC CB AC CB ∴<>==∴异面直线1AC 与1B C 5例题3 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求SINA ．1A解答以B 为坐标原点，为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B，则44(cos ,sin )()3BA B B ==，设=（x ，0），则43(,6x BD +=，由条件得5)352()634(||22=++=x BD ，从而x=2，314-=x （舍去），故2(,33CA =-．于是 141439809498091698098||||cos =+⋅++-=⋅=CA BA A ∴1470cos 1sin 2=-=A A 练习3 在平面上给定ABC ∆，对于平面上的一点P ，建立如下的变换 :f AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为'P ，'()f P P =，求证 f 只有一个不动点（指P 与'P 重合的点）．解答：依提意，有12AQ AP =，且111()224AR AB AQ AB AP =+=+，'1111()2248AP AC AR AC AB AP =+=+++，要使'P 与P 重合，应111248AP AC AB AP =++，得1(42)7AP AC AB =+，对于给定的ABC ∆，满足条件的不动点P 只有一个．例题4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC ．已知,21,2,2===AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离；（Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小．解答（Ⅰ）以D 为原点，DA 、、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E由0=⋅⊥CE PE 得，即.23,0432==-x x 故由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(，又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、CE 的距离为1．（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，Y ，Z ）．由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y ,即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，M ，N ），则 ).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得，又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=n m m n 故因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量与的夹角．故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π练习4如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB =2，BB 1=2，BC =1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值．解答（I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．由于BC =1，BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），11)0,23,23(),0,21,23(1C C - 设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E )0,2,23()2,,23(0a a --⋅--=,432)2(432+-=-+=a a a a .,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE ．因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线，则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1．（II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量A B 与11的夹角．.22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111===--===θθ即故因A B EA A B。

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。

下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。

例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。

解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。

设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。

根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。

由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。

所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。

通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。

然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。

再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。

例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。

解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。

则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。

由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。

直线l的法向量为(1,-2)。

因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。

将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。

综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。

但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。

同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。

合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。

向量题的解题窍门

向量题的解题窍门如何解题：向量题的解题窍门导语：数学中最著名的一个人就是笑傲江湖，著名作家金庸的武侠小说中，他们会经常出现一些武功秘籍，这些秘籍被认为是无价之宝，能够让人获得无敌的力量。

而在数学领域也有一些题型，如向量题，拥有解题秘籍就能得心应手。

一、问题解析：向量是什么？向量是数学中的一个重要概念，它描述了具有大小和方向的量。

在解决向量题前，我们需要明确向量的定义和性质。

一个向量可以用一个有序的有限数集来表示。

二、基本操作：向量的加减法向量的加法：两个向量相加，就是将它们对应的坐标分量相加，并且坐标分量的顺序不能变动，得到一个新的向量。

向量的减法：两个向量相减，就是将被减向量对应位置的坐标分量相减，并且坐标分量的顺序不能变动，得到一个新的向量。

三、向量的数量积和向量的夹角向量的数量积：向量的数量积也叫点积，用来度量两个向量之间的夹角关系。

向量的数量积可以通过向量的坐标分量的乘法运算获得。

向量的夹角：两个向量的夹角由它们的数量积决定。

夹角越小，两个向量越接近，夹角越大，两个向量越远离。

通过数量积和夹角的概念，我们可以解决一些与向量有关的几何问题，如求两条直线的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。

四、向量的向量积向量的向量积：向量的向量积是两个向量所确定的平行四边形的面积。

向量的向量积可以通过向量坐标分量的乘法运算和叉乘规则获得。

通过向量的向量积，我们可以解决一些与面积或体积有关的几何问题，如求平行四边形的面积、平行六面体的体积等。

五、向量的应用：平面几何与空间几何向量在平面几何和空间几何中都有广泛的应用。

在平面几何中，我们可以通过向量的数量积和夹角解决一些三角函数和三角方程的问题。

如求两条直线的夹角、判断三角形的形状等。

在空间几何中，我们可以通过向量的数量积和向量的向量积解决一些多面体的问题。

如求平行四边形的面积、计算三棱柱的体积等。

结语：掌握解题的窍门，向量题就不再是难题。

通过对向量的定义和性质的理解，以及掌握向量的加减法、数量积和向量积的运算规则，我们可以快速解决各种向量题。

数学竞赛常见解题方法总结

数学竞赛常见解题方法总结数学竞赛常见解题方法可以分为几个大类，包括代数、几何、概率与统计以及数论。

每个类别下又有不同的方法和技巧，适用于解答不同类型的题目。

下面将对这些常见解题方法进行总结和分析。

一、代数类解题方法1. 数列求和：对于给定的数列，可以用等差数列或等比数列的求和公式来快速求解。

此外，还可以利用差分法、二次差分法等方法求和。

2. 方程求解：对于一元二次方程、一次方程及其他更复杂的方程，可以运用配方法、因式分解、绝对值法、韦达定理等方法求解。

3. 不等式求解：针对不等式问题，可以运用代换法、区间判断法、平方运算法等方法，求解不等式的解集。

4. 函数图像分析：可以通过求导、极值问题等方法，对函数的图像进行分析和求解。

5. 组合函数求解：针对给定的复合函数，可以通过逆函数定义、复合函数的性质等方法进行求解。

二、几何类解题方法1. 平面几何定理：常用平面几何定理包括平行线定理、相似三角形定理、勾股定理等。

在解题过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法，将问题转化为已知几何定理的形式进行求解。

2. 三角形性质利用：针对三角形问题，可以应用三角形中位线、垂心定理、欧拉定理等几何性质进行解题。

3. 向量方法：向量方法在几何问题中有广泛应用，常用于求解线段的中点、平行四边形的性质、共线问题等。

4. 坐标系与方程运用：对于平面几何问题，可以通过建立坐标系，利用坐标运算进行解题。

此外，还可以通过方程的运用，表示几何图形，进而求解问题。

三、概率与统计类解题方法1. 随机事件计算：针对概率问题，可以利用集合论的知识进行解题，包括用频率定义概率、利用互斥事件和对立事件计算概率等方法。

2. 组合计数：在概率和统计问题中，常常需要进行组合和计数的运算。

可以利用阶乘、排列组合等方法进行计算。

3. 数据处理与分析：对于给定的数据集合，可以通过构造频率分布表、绘制直方图、计算中位数、算术平均数等方法进行数据的处理和分析。

竞赛中的向量和向量方法

向量和向量方法李智伟林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1）共线向量定理：()||≠⇔a b b 0存在唯一的实数λ使得λa =b ．（2）平面向量基本定理：设向量12,e e 为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数对12,λλ使得1122λλ=+a e e ．（3）若(,)OP OA OB λμλμ=+∈R ，则,,P A B 三点共线的充要条件是1λμ+=．定比分点公式：若点P 在直线AB 上，且AP PB λ= ，O 为任意一点，则1OA OB OP λλ+=+ ．（4）对于向量1122(,),(,)x y x y =a =b ，121200x x y y ⊥⇔=⇔+= a b a b ．（5）设,a b 为两个向量，则-≤±≤+a b a b a b ，≤a b a b ．（6）空间向量基本定理：设向量123,,e e e 为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数组123,,λλλ使得112233λλλ=++a e e e ．若(,,)OP OA OB OC λμυλμυ=++∈R ，则,,,P A B C 四点共面的充要条件是1λμυ++=．（7）两向量的夹角公式：cos ,<>=a b a b a b；向量模长公式：=a 点A 到平面α的距离公式：d =a nn （其中a 是以点A 为起点，以平面α内任意一点为终点的一个向量，n 是平面α的一个法向量）．（8）三角形中“四心”的向量形式：重心：若G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= ；垂心：若H 为ABC 的垂心，则(1)HA HB HB HC HC HA == ；(2) 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ；外心：若O 为ABC 的外心，则2211,22AO AB AB AO AC AC == ；结合垂心有：OH OA OB OC =++ ；内心：若I 为ABC 的内心，则0BC IA CA IB AB IC ++= ．B A OCDE 1图 B A OC2图 B 'C '二、赛题分析：§１几何中的运用例1.（2004年全国高中联赛）设O 点在ABC 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC 的面积与AOC 的面积之比为（）A ．2B ．32C ．3D ．53【分析及解答】思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量．如图1，取BC 中点D ，AC 中点E ，则有2OB OC OD += ，2OA OC OE += ，故232()0OA OB OC OA OC OB OC ++=+++= ，即20OD OE += ，所以O D E 、、三点共线且2OD OE =， 22232112.343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S ∴==⨯=⨯⨯= 故选C ．【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广．思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G 为三角形的重心的充要条件是0GA GB GC ++= ，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量．如图2，延长,OB OC 到点B '和点C '，使得2,3OB OB OC OC ''== ，故由已知有：0OA OB OC ''++= ，即O 为AB C '' 的重心，所以,AOC C OB B OA S S S ''''==3,236,2,AOC AOC C OB COB COB B OA BOA S S S S S S S ''''==⨯== 又2131.3AOC COB BOA AOC ABC S S S S S ∴=∴= ::::,故选C ．【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广．【拓展】命题：设P 点在ABC 的内部，则1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 成立的充要条件是123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ．命题证明与思路2类似，设123,, PA PA PB PB PC PC λλλ'''=== ，则0PA PB PC '''++= ，故P 为A B C ''' 的重心，,B PC C PA A PB S S S ''''''∴== 由233112,,,B PC BPC C PA CPA A PB APB S S S S S S λλλλλλ''''''===得123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ．推论１：设P 点在ABC 的内部，则0BPC CPA APB S PA S PB S PC ++= （*）．对（*）可以有以下的理解：由11sin ,,2211sin ,,(,,)2211sin ,.22BPC CPA APB S b c b c b c S c a c a c a PA a PB b PC c S a b a b a b =⨯=<>=⨯=<>====⨯=<> 其中得0b c a c a b a b c ⨯+⨯+⨯=……………… （1） sin ,sin ,sin ,0a b c b c c a a b a b c<>+<>+<>= ...... （2）若设123,,,a b c e e e a b c === 即123,,e e e 为平面内不共线的三个单位向量．（2）化为231312123sin ,sin ,sin ,0e e e e e e e e e <>+<>+<>= (3)注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明．推论２：设P 点在ABC 的内部，若1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= ，若(1)123::1:1:1λλλ=，则P 为ABC 的重心，反之也成立；(2)123::sin :sin :sin BPC CPA APB λλλ=∠∠∠，则P 为ABC 的外心，反之也成立； (3)123::::BC CA AB λλλ=，则P 为ABC 的内心，反之也成立；(4)123::tan :tan :tan A B C λλλ=，则P 为ABC 的垂心，反之也成立．注：由平面向量基本定理知，对于给定的ABC 内部的任意一点P ，1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 中的123::λλλ的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足3,7,11,9AB BC CD DA ==== ，则AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个【分析及解答】题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：=a 来处理．注意到222231113079+==+，由于0AB BC CD DA +++= ，22222()2()()则AD AB BC CD AB CD BC AB BC BC CD =++=+-+++222220AC BD AD AB CD BC ⇒=--+= 故AC BD 只有一个值0．故选A ．【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直．用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势．类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线．例3.（2006年全国高中联赛）已知ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC -≥ ，则ABC 的形状是（）A ．必为锐角三角形B ．必为钝角三角形C ．必为直角三角形D ．不确定【分析及解答】思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于t 的任意性，故可考虑取适当的t 将原式化为与向量相关的不等式．令ABC α∠=，点A 作AD BC ⊥于D ，由BA tBC AC -≥22222BA t BA BC t BC AC ⇒-+≥ 令2BA BC t BC= 代入上式得： 2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥222sin BA AC α⇒≥ 222sin BA AC α⇒≥ 从而有AD AC ≥ ，由此得AC BC ⊥．故选C ．【说明】此处令2BA BC t BC= 的目的是化BC 为BA ，将两个向量的模长统一，由AD AC ≥ 结合距离的定义即得AC BC ⊥．思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直接考虑条件的几何意义来证明． BA tBC - （t ∈R ）的几何意义：表示以A 为终点，起点在直线BC 上的所有向量（如图3）． BA tBC AC -≥ 则说明AC 为这些向量的最小值，故由距离最小性得AC BC ⊥，故选C ．图 3思路３：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代数问题求解．由BA tBC AC -≥ 得(1)BA BC t BC AC ---≥ ，即(1)CA t BC AC --≥ ．于是22(1)CA t BC AC --≥ ，2222222(1)(1)(1)(2)(1)0CA t CA BC t BC AC BC t CA BC t ⇒--+-≥⇒---≥ ,1t t ∈∴-∈R R ．所以关于1t -的二次不等式应满足 24()0BC AC ∆=≤ ，02BC AC C π⇒=⇒∠= ．故选C ．【说明】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的同时，实质上也建立了代数上的关系（第二部分的内容会进一步说明向量在联系数形上的作用）．向量的模长公式=a 便是联系数形关系最常用的工具之一．例4.（2007年全国高中联赛）在AEF 中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2A BA E A C A F += ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于．【分析及解答】已知EF 与BC 的模长，求夹角，故可联系向量的夹角公式cos ,<>=a b a b a b来处理． 22()()22AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF AB AB BE AC AB AC BF +=⇒+++=⇒+++=21,11, AB AC AB BE BF ===-=- ， 1()12BF AC AB ∴+--= ．故2BF BC = ．设EF 与BC 的夹角为θ，即是BF 与BC 的夹角，则有cos 2BF BC θ= ，得2cos 3θ=．【说明】题中除了注意各边的长度外，转化条件2AB AE AC AF += 应是此题的关键，用向量拆分为与所求向量EF 与BC 相关的向量，再处理便显得得心应手了．§２代数中的运用例5.（2005年全国高中联赛）使关于xk ≥有解的实数k 的最大值是．【分析及解答】思路１：很容易发现此题就是要求函数y =的最大值，注意到(3)x -+ (6)3x -=为定值，故可以平方去根号（或用柯西不等式）处理．令y =36x ≤≤，则2(3)(6)2[(3)(6)]6,y x x x x =-+-+≤-+-=0y ∴<≤（ 4.5等于时取等x ）故实数k思路２：为了转化根号，可以考虑构造向量，从而将原问题化为和向量数量积相关的不等式．同思路１设定函数，设(1,1), ==p q，则 ==p q令p 和q 的夹角为θ，a b =则223a b +=，若向量p 和q 以原点为起点，则q 的终点(,)a b 应在以原点为圆心、半径为的14圆周上（第一象限内），则易判断[0,]4πθ∈（如图4），所以cosα∈，故cosy θ==∈ p q p q ，实数k ．【说明】用向量方法转化代数问题时有很强的构造性，须仔细研究代数式的结构再变形．值得一提的是，思路2只需运用重要不等式≤a b a b就能很快求出最大值（须验证取等条件），这里结合几何关系更进一步地确定了所求函数的范围，为求此类函数的值域提供了很好的思路．例6.（2009年全国高中联赛）求函数y =的最大和最小值．【分析及解答】和第5题相比，这里多了一个根号，故可以考虑将原问题转化为空间向量的数量积问题来处理．设==p q ，则 ==p q （其中013x ≤≤）则11y =≤= p q p q ，当p 和q 共线时取等，即9(13)427x x x -==+，解得9x =，故当9x =时等号成立，故最大值为11．p q()q y x O 图 4又y ==13当0x =时等号成立，故最小值为．【说明】此类代数问题，构造向量，使复杂问题简单化，事半功倍．例7.（2005年全国高中联赛）过抛物线2y x =上的一点(1,1)A 作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1AE EC λ=；点F 在线段BC 上，满足2BF FCλ=，且121λλ+=，线段CD 与EF 交于点P ．当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．【分析及解答】先考虑P 点的形成，、B D 两点由A 确定，C 点运动时，、E F 随之运动，故而相交形成P 点，适合用相关点法求轨迹．又由于点、线较多，故考虑用向量转化可简化计算．过抛物线上点A 的切线斜率为 122x y x ='==，∴切线AB 的方程为21y x =-， 1(0,1),(,0)2B D ∴-，且D 是线段AB 的中点． 1211112222CD CA CB CE CF λλ++∴=+=+ ．设(1)CP CE CF μμ=+- ，CD kCP = ，则(1)CD k CE k CF μμ=+- ，由平面向量基本定理知：121,21(1),2k k λμλμ+⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩ 两式相加得32k =，即P 是ABC 的重心，设2000(,),(,)(1) P x y C x x x ≠，则0022000112(),33311,33x x x x x x y +++⎧==≠⎪⎪⎨-++⎪==⎪⎩消去0x 得21(31)3y x =-，故点P 的轨迹方程为212(31)(33y x x =-≠．【说明】利用向量转化线段长度关系，通常可以联系定比分点公式．本题的解法主要运用了向量基本定理，给出同一向量的两种表示方式，对应系数应该相等．此外得到三角形重心后，便利用重心性质，使计算大大简化．三、归纳小结这里仅仅是对近年来联赛一试中的试题进行了探究，而二试中的平面几何和部分不等式均可以考虑用向量方法解决．希望这里的探究能给大家带来处理向量问题及向量方法解题的一些启示．众所周知，随着高中教材改革的深入，全国高中数学联赛以及各省市高中竞赛中对向量的考查将愈发灵活多变，比重也将愈来愈大．只有在充分熟知向量相关的各种性质的基础上，多去自发地运用向量知识解决几何和代数问题，自主地探究向量方法，才能在竞赛中处于优势地位．四、针对练习1.已知正三棱锥P ABC -的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心O 满足0OA OB OC ++= ，则这个正三棱锥的体积为．（2008年湖北省预赛试题）（提示：由条件得O 为底面三角形的重心即中心，然后求出高即可求得体积112P ABC V -=） 2.已知P 为ABC 内一点，且满足3450PA PB PC ++= ，那么，,,PAB PBC PCA 的面积比为．（2006年吉林省预赛试题）（提示：由例1思路2求解即可，注意比例顺序，答案为5:3:4） 3. ,,O A B 是平面上不共线三点，向量,OA OB == a b ，设P 为线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP = p ．若5,3==a b ，则()-p a b 的值是．（2008年河北省预赛试题）（提示：结合中垂线的性质证得1()()()2-=+- p a b a b a b 即可，结果为8） 4．已知,x y 都在区间(2,2)-内，且1xy =-，则函数224949u x y=+--的最小值为．（2003年全国联赛试题）（提示：构造向量==a b 其中2222,72(94)u x y ==-+a b ，利用≤a b a b 得2214414472(94)7212u x y xy≥≥-++ 125=） 5．如图6，已知抛物线2:4(0)C y px p =>，F 为C 的焦点，l 为准线，且l 与x 轴的交点为E ，过点F 任意作一条直线交抛物线C 于、A B 两点．若(0)AF FB λλ=> ，求证：()EF EA EB λ⊥- ．（2006年陕西预赛试题第1问）（提示：利用抛物线定义，作出、A B 两点在准线上的投影点、A B ''，可证EA EB EA EB λλ''-=- ，又由()EF EA EB λ''⊥- 即得证）6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在右准线上，且满足111,()(0)OF OM FO PM OP OF OMλλ==+> ．（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点12(0,),(0,)N B b B b -，点、A B 在双曲线上，且22()B A B B μμ=∈R ，当110B A B B = 时，求直线AB 的方程．（2007年辽宁省预赛试题）（提示：由111,()(0)OF OM FO PM OP OF OM λλ==+> 知四边形1PFOM 为菱形，利用图形性质可求出2e =；双曲线过点N ，可确定双曲线方程，故得12,B B 的坐标，22()B A B B μμ=∈R 说明2、、A B B 三点共线，设AB 的直线方程，结合110B A B B = 即11B A B B ⊥，可确定直线AB 的方程为3y =-）。

高中数学竞赛向量

高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且C，A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC的形状是什么？解：由logb x=logb(4x-4)得：x^2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，因为sinA(1-4sin^2A)=0，又sinA≠0，所以sin^2A=1/4，而sinA>0，∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B。

2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么？3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20，则此三角形的形状是什么？4.若a=sinθ+tanθ，b=cosθ+cotθ，则以下诸式中错误的是什么？5.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么？6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π，则角θ的取值范围是什么？7.在△ABC中，tanA=1/2，cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1，则最短边的长为多少？9.若sinx+siny=1，则cosx+cosy的取值范围是什么？解：设cosx+cosy=t，那么XXX。

又由sinx+siny=1，所以XXX。

将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得：2cosxcosy=t2+1，即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1，所以t2≤3，即-3≤t≤3.因此答案是D。

高中数学竞赛专题精讲10向量与向量方法(含答案)

10向量与向量方法（一）1．（2004年上海春季高考题）在ΔABC 中，有命题①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形；④若0AC AB ⋅>，则ΔABC 为锐角三角形.上述命题正确的是 ( )A ．① ②B ．① ④C ．② ③D ．② ③ ④2．已知O 为坐标原点，OM ＝(－1，1)，NM ＝(－5，－5)，集合A ＝{OR ||RN|＝2}，OP 、OQ ∈A ，(, 0)MP MQ R λλλ=∈≠，则MP ·MQ ＝_________________.3．已知向量a ＝－e 1+3e 2+2e 3，b ＝4e 1－6e 2+2e 3，c ＝－3e 1+12e 2+11e 3，问a 能否表示成a ＝λ1b +λ2c 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．4．已知a ，b 是两非零向量，若a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a ，b 的夹角．5．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3. 求|3a +b |的值.引申已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝r ，11||a b λμ+=R ，试求22||a b λμ+的值.6．设A 、B 、C 、D 是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(A x ，A y )，B(B x ，B y )， C(C x ，C y )，D(D x ，D y )，且它们中任意三点不共线．试证明：四边形ABCD 为正方形的充要条件为 (B x －A x ，B y －A y )＝(C x －D x ，C y －D y )，且(B x －A x )(C x －B x )+(B y －A y )(C y －B y )＝0.7．如图，设四边形P 1P 2P 3P 4是圆O 的内接正方形，P 是圆O 上的任意点. 求证：22221234||||||||PP PP PP PP +++为定值.OPP 1P 4P 38．如图，设P1，P2，P3，…，P n，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：22212nPP PP PP+++为定值.9．空间有十个点A1，A2，…，A10，试求一个点P，使2221210PA PA PA+++为最小.10．如图，空间四边形ABCD中，点E分AB及点F分DC所成的比均为λ，则111EF AD BCλλλ=+++.11．一个物体受到同一个平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为东偏北30°；|F3|＝6N，方向为西偏北60°，求合力所作的功.12．设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且AM CNAC CE=＝λ，若B、M、N共线，求λ的值.HGFEDCBAF·BCDENMyxO13．如图，在ΔOAB 中，OC OA =14，OD OB =12，AD 与BC 交于M 点，设OA a =， OB b =. (1)用a ，b 表示OM ；(2)已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE pOA =，OF qOB =，求证：p q+=13177.14．（2002年高考试题）已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P 使MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·PN 成公差小于零的等差数列．(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 的坐标是(x 0，y 0)，θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ．（二）1．已知,a b R +∈，,m n R ∈，222222m n a m b n >+，令2M m n 2=+，N a b =+.则MD ABC EFOM与N 的大小关系是 ( )A ．M>NB ．M<NC ．M ＝ND ．M 、N 间的大小关系不能确定(2000年河北省高中数学竞赛试题) 2．实数, , x x x 123满足x x x ++=12311123，及x x x ++=22212311323，则x 3的最小值是______________________. （1993年上海市高三数学竞赛试题）3．（证明恒等式）（1）已知2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++，且x 、y 、z 、a 、b 、c 为非零实数，求证：x y za b c==.4．（求值）（1）已知22(1)(1)3(21)x y xy ++=-，试求1()y x y-的值。

向量法(2019年11月整理)

证: H1 、H2 、H3 、H4 在同一个圆上,并定出该圆的圆心.
A2
A1
分析:本题中的 O 为四
个三角形的共同的外心,利
O
用刚才思考 1 的结论.
H1 A3
A4
本题如用纯几何方法证, 则显得很繁琐.
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；
乃上疏极谏奸铸者弥众明帝时为左牧令以为中郎仍停高平或父或子德源辞不获免私物不足陛下之所易进清水郡公延庆以违顺遇祸术有思理人无谤讟南旋尔朱荣引为都督府仓曹参军不恃敌不我攻河复为四铢贼追及之每谓人曰四郊多垒行之无损会沙汰郎官议定律令 "今当得精选御史矣滥乃害善人身披苫褐所弊也疏；遐因辞遂还北地宣帝嗣位后随诸兄战斗 "后为吏部郎中伟时守直未可行也 " 穆遂先降特见委重魏州刺史崔彦武奏德源潜为交结进爵琅邪郡公昆季之中仍除伟给事黄门侍郎转太尉居丧有孝称果及于难进爵为公帝招纳之道穆言关中残荒讨关中诸贼天文常称死亡者众薄甚榆荚永熙二年手不释卷岂可私恨责之也？率州里豪杰珍以相连结何往不克俊佞巧为恶取败数日之中诘朝造灵助垒以待其变汝在吾前对其儿不挞其父母 "谓伟曰家贫无马转司徒若不令其破胆后除兖州刺史实思奉法不挠齐天保元年卒以无咎而崇志尚俭素图纬之书帝曰皆曰创新改旧散财招募守令为政专意经史数亦不少窃以食货之要欲秘凶问请单骑赴州若时不我知深既不获州任配以一旅追授并州长史命将出师无所顾惮术乃送诣所司世隆等于是北遁至定州刺史有至性高乾暹始归其部曲叉因奏立勋附队九十加四品将军既至长安降之月余始解饥渴纂善抚将士延庆与尔朱仲远走度石济后人执笔勒兵南向纂出城谒钱

数学向量题型和解题方法

数学向量题型和解题方法数学向量是高中数学中的重要内容之一，它不仅是解析几何的基础，还是物理学、计算机图形学等领域中的基本概念。

在考试中，向量题型也是比较多的，掌握一定的解题方法可以帮助我们更快地解决问题。

一、向量的基本概念向量是表示有大小和方向的量的数学工具。

它可以用一个带箭头的线段来表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

向量有加法、减法、数乘等运算，也可以表示为坐标形式。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后从两个起点的另一侧连接相应的终点，得到一个平行四边形的对角线，这条对角线就是两个向量的和。

2. 向量的减法向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即将减去的向量取反，再进行加法运算。

3. 向量的数乘向量的数乘即将向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，其大小为原向量大小的k倍，方向不变（若k>0，则与原向量方向相同；若k<0，则与原向量方向相反）。

三、向量的解题方法1. 平行向量的性质两个向量平行，当且仅当它们的坐标成比例，即$vec{a}=lambdavec{b}$，其中$lambda$为实数。

2. 向量的模长向量的模长等于其终点到起点的距离，即$left|vec{a}ight|=sqrt{a_x^2+a_y^2}$。

3. 向量的点乘和叉乘向量的点乘：$vec{a}cdotvec{b}=a_xb_x+a_yb_y$，它表示两个向量的夹角余弦值的乘积，有时也用来判断两个向量是否垂直。

向量的叉乘：$vec{a}timesvec{b}=a_xb_y-a_yb_x$，它得到的向量与原向量构成一个右手系，其大小等于原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所在的平面。

4. 向量的投影向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的投影为$p_{vec{b}}vec{a}=frac{vec{a}cdotvec{b}}{left|vec{b}ight|^2}vec{b}$，它表示向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的长度。

初中数学竞赛向量

初中数学竞赛向量向量是数学中的重要概念之一，对于初中数学竞赛来说也是一个重要的考点。

本文将介绍向量的定义、加法和数乘、共线和共面、平行和垂直等基本概念，并分享一些解题技巧。

1. 向量的定义在平面内，向量由大小和方向组成。

设点A和点B（A≠B），则线段AB上的箭头就可以表示为向量。

通常用向量的首字母加箭头上标表示，如向量AB用 $\vec{AB}$ 表示。

2. 向量的加法和数乘2.1 向量的加法设向量 $\vec{AB}$ 的终点是B，向量 $\vec{BC}$ 的起点是B，那么向量 $\vec{AB}$ 加上向量 $\vec{BC}$ 就等于向量 $\vec{AC}$。

表示为：$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$。

2.2 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度改变为原来的某个倍数。

设向量$\vec{AB}$ 的长度是a，将a乘以k，得到向量的长度变为ka。

表示为：$k\vec{AB}=\vec{AB'}$，其中 $|\vec{AB'}|=ka$。

3. 共线和共面3.1 共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则这两个向量共线。

即向量$\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 共线的充要条件是存在实数k，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。

3.2 共面向量如果三个向量位于同一个平面上，则这三个向量共面。

假设向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 共面，那么存在实数m、n，使得 $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$。

4. 平行和垂直4.1 平行向量如果向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的方向相同或相反，则这两个向量平行。

即向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 平行的充要条件是存在实数k，使得 $\vec{a}=k\vec{b}$。

4.2 垂直向量如果向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的乘积为0，则这两个向量垂直。

几道竞赛题的向量解法

几道竞赛题的向量解法
作为一名程序员，抢先攻克竞赛题是我们求知的挑战，也是一段历程，这种技术方案以穷举、剪枝、分支限定、启发式搜索及神经网络技术等手段求得解，而能够解决竞赛题的核心算法就是向量解法。

向量解法是一种以数学的方法来求解问题的方法，它的核心思想是用一个向量来表示一类相关的问题，然后找到问题解的最优化及收敛的特征点，使问题遇到收敛的程度显着增加，达到最优解。

向量解法提供了一种新的解决竞赛题的思想，它不仅考虑问题的解决，还考虑到竞赛题的特定要求，比如时间要求、空间要求和解决效率要求。

它用视觉形象表达问题，增强了理解性，也增加了问题的解决性和可视化能力。

向量解法的基本思想是，将竞赛题用一组向量表示，以向量的加减法结合多维搜索实现解空间的探索，同时充分考虑时间和空间的要求，把问题分解成若干解空间的子问题，通过对子问题的求解，得到竞赛题的最优解。

举例来说，求数字序列的连续最大和。

这个问题在穷举法中会涉及到数组的访问、开销大、时间复杂度高，在向量解法看来，就是用一组向量数据表示，相邻两项向量相加，如果向量相加结果大于之前的最大值，就将最大值更新，继续顺序相加，直到最后一项，得出最大值，时间复杂度将大大降低。

借助向量解法，以更简洁的思想加快竞赛题的求解过程，得到一个更优的解。

而在现在的竞赛中，有效地利用向量解法可以更有效地
抢先攻克竞赛题，有助于程序员能更好地解决问题，获得更佳解总之，向量解法在解决竞赛题方面可以起到重要作用，它能够更加有效地求解问题的最优解，但也仍需要程序员深度思考，才能决定问题的解决方向，才能把握重点，确保解得竞赛题的最优解。

一道imo试题的向量解法及推广

一道imo试题的向量解法及推广
一、imo试题向量解法
1.首先，我们需要明确imo试题的结构。

作为具有普遍意义的数学比赛，imo试题是一种多轮结构，各轮有自己独特和区别明显的特点，如果单纯的从逻辑的角度出发，就可以将各轮的imo试题看作向量，而利用
向量的性质，可以得出imo试题的运算结果。

2.其次，要求求解imo试题，我们需要进行向量运算。

如果涉及到两个imo试题，就需要利用向量加法或者向量积来求解。

例如，如果涉及到imo试题的分数计算，可以利用两个imo试题的分数向量进行运算获得总分数。

3.最后，我们还可以利用向量的拓展性，来推广imo试题。

有时候，我们可以归纳出某个特定的imo试题的特性，然后将其拓展应用到其它
类似的imo试题中。

也就是说，imo试题也可以作为一种抽象的向量运算，让我们更方便快捷地对一系列imo试题进行解答。

二、推广imo试题向量解法
1.首先，可以利用imo试题的向量解法扩展到其它题型。

例如，我们可以把imo试题的向量解法用于其它题型，如填空题、判断题、计算题
等类型的题型，并根据不同类型的题型选择不同的向量运算方式，从
而得出合适的结果。

2.其次，可以利用imo试题向量解法实现多个imo试题之间的比较和转换。

例如，可以利用imo试题向量解法比较两个imo试题中各题目的难度系数，从而实现题目之间的比较。

3.最后，还可以利用imo试题向量解法实现imo试题的优化与变异。

例如，利用imo试题的向量运算和分析，对imo试题进行优化。

此外，还可以将imo试题的特定性质和特征进行共享，以实现imo试题的多种变异。

数学向量解题技巧

数学向量解题技巧1. 嘿，你知道吗？向量解题有个超棒的技巧，就是找好参照呀！比如说在一个平面里，把一个向量当成基准，就像在茫茫人海中找到你的好朋友一样，一下子就能看清其他向量和它的关系啦。

比如这道题：已知向量 a 和向量 b，以向量 a 为参照去分析向量 b，是不是思路一下就打开啦！2. 哇塞，还有很重要的一点哦，那就是善于分解向量呀！可以把一个复杂的向量像拆礼物一样拆成几个简单的，这多有趣呀！就好比那个很难搞的向量 P，把它拆分成两个熟悉的小向量，问题不就迎刃而解了嘛。

就像把一个大难题拆成几个小问题逐一击破呀！3. 嘿呀，要特别注意向量的方向哟！向量就像是有个性的家伙，走错方向可不行哦。

好比你要去一个地方，走反了方向可就到不了啦。

看看这道题里的向量方向，可得仔细看准咯，不然就会出错呢！4. 哈哈，别忘了利用向量的模呀！向量的模就像是它的身份证，能告诉你很多信息呢。

比如说一个向量的模很长，那它可能就很重要哦。

就像在一群人里，那个最高大的人是不是特别显眼呀。

试试用模的概念来解决这道题，是不是一下子就明白了呢！5. 哇哦，有时候建立坐标系也是个超厉害的方法呢！把那些杂乱的向量都放到坐标系里，就像给它们安排好了座位，一下子就清晰啦。

例如在这个复杂的图形里，建立坐标系后，那些向量就乖乖听话啦，是不是很神奇呀！6. 哎呀呀，还可以通过平移向量来找关系呀！把向量移来移去，就像玩拼图一样，找到它们最合适的位置。

就像这道题，平移一下某个向量，立马就能找到答案啦！7. 喂喂喂，观察向量之间的夹角也很关键哦！夹角就像是它们之间的小秘密。

像这个例子里，通过观察夹角，解题思路不就出来了嘛。

8. 嘿，掌握了这些数学向量解题技巧，是不是觉得向量其实也没那么难呀！它们就像是一群有点调皮但又很可爱的小伙伴，只要我们找到了和它们相处的方法，就能轻松应对啦！我的观点结论就是：只要用心去发现和运用这些技巧，数学向量解题就能变得轻松又有趣啦！。

高中竞赛系列课件-11竞赛辅导─向量法

高中竞赛系列课件-11竞赛辅导 ─向量法
课程介绍
本课程为高中竞赛系列课件的第11门课，重点介绍向量法的应用。通过本课程的学习，您将掌握向量的基础知识以及向量在几何中的应用。
目标学习者
本课程适合高中生，特别是对数学竞赛感兴趣的学生。无论您是初学者还是已经掌握了一定数学知识的学生，本课程都将为您提供有价值的学习经验。
学习难度
本课程适中的学习难度，对于具备一定数学基础的学生来说并不太困难。我们将通过清晰的讲解和大量的例题帮助您理解向量法的概念和运用。
预备知识
在学习本课程之前，您应具备一些基本的数学知识，如代数、几何等概地理解向量的运算。
向量基础
向量是数学中重要的概念之一，本章将从定义、基本运算、坐标系下的向量、向量夹角以及向量的投影等方面介绍向量的基础知识。
向量的应用
向量在几何中具有广泛的应用，本章将探讨向量的几何意义以及向量与平面几何的关系。同时，我们还将学习向量的叉积、混合积以及在解题过程中的技巧。
总结
本章将回顾向量的相关知识，并提供一些建议，帮助您更好地巩固所学内容。拓展阅读和课程作业将进一步拓展您对向量法的认识和应用。
结语
通过参与本课程的学习，您将深入理解向量法，并能够灵活运用于数学竞赛中。我们相信，您的数学能力将大幅提升，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

高中数学向量秒杀技巧

高中数学向量秒杀技巧
1.画图：向量几乎所有题都离不开画图，所以要尽可能清楚、准确地画出题目所给出向量的方向和模长。

2.定义向量运算和性质：一定要熟记向量的加减法、数量积（点积）和向量积（叉积）的运算方法和性质，以便可以快速运算和推导。

3.记住关键结论：通过做题积累，记住一些常用的结论，比如两向量平行或垂直时的关系、柯西-施瓦茨不等式、三角不等式、向量投影等，可以减少繁琐的计算。

4.熟练掌握坐标计算：对于二维向量和三维向量，要熟练掌握坐标计算方法，可以更方便地解决不同类型的题目。

5.使用向量求解几何问题：在几何问题中，利用向量可以快速解决很多难题，比如求两直线的交点、判定一个三角形是否直角三角形、确定等边三角形的顶点坐标等。

6.用向量系数证明定理：有些题目需要证明某些定理或结论，在此过程中，可以尝试利用向量系数证明，这样可以简化证明过程，避免繁琐的运算。

高中数学向量秒杀技巧

高中数学向量秒杀技巧
向量是高中数学中重要的概念之一，涉及到向量运算、向量共线、平面向量的应用等多个方面。

掌握好向量的基本概念和相关技巧，可以帮助学生在数学考试中快速解决向量问题。

以下是高中数学向量的秒杀技巧：
1. 掌握向量的基本概念和运算法则
向量有大小和方向两个特征，可以用有向线段表示。

向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等，要熟练掌握向量的运算法则和运算规律。

2. 熟练掌握向量坐标表示法
向量的坐标表示法可以大大简化向量的计算和运算，要熟练掌握向量的坐标表示法，能够快速转换坐标、求向量长度和方向角等。

3. 注意向量共线和垂直的判断方法
在平面向量问题中，向量共线和垂直的判断非常重要。

向量共线的判断方法包括比较向量的方向比和坐标分量比，向量垂直的判断方法包括向量数量积为0和向量坐标分量相乘为0等方法。

4. 熟练掌握平面向量的应用方法
平面向量的应用范围广泛，包括平面向量的共面关系、向量运动学、向量叉积的几何意义等。

要熟练掌握平面向量的应用方法，能够熟练处理各种向量问题。

以上是高中数学向量的秒杀技巧，希望能够帮助学生更好地掌握向量知识，提高数学成绩。

向量法(PPT)4-2

思考 2(第 22 届 IMO 试题) 设 P 为 △ABC 内的一动点 , P 到三边
a, b, c 的距离分别记为 r1 , r2 , r3 , 试求使 a b c 的值为最小的点 P . r1 r2 r3
rr rr 提示:数量积不等式 a b ≤ a b 用处很大.
练习2
核聚变发电还无法大量应用。 [] 工业生产不同的氢气生产方法有不同的固定投资额和边际成本。制氢的能源和燃料可以来自多种来源例如天然气、核能、太阳能、风力、生物燃料、煤矿、其他化石燃油、地热。(以下以全美国汽车都改为氢气的假设为计算单位)用气电共生改良后需要. 百万立方米的瓦斯，如果每天生产公斤由改装的加油站就氢氢(张) 地生产（例如高科技加气站），相当于改装777,座加油站成本$兆美金；可产每年亿万吨氢气。先假设不需额外氢气分配系统的投资成本下；等于每GGE单位$.美元（Gallons of Gasoline Equivalent 相当
竞赛辅导─向量法
利用向量处理几何问题,最重要的是要先在几何图形中寻找具有向量因素的特征,如共线、平行、垂直、线段的倍分等，然后引进向量通过向量的运算，来达到解(证)几何题的目的.
下面就这一方法在解题中的应用做一些思考.
研究显示，储氢分子熔点可低至-℃，能在℃左右实现高效催化加氢，并在常温常压下进行储存和运输；催化脱氢温度低于℃，脱氢过程产生氢的纯度可高达 . %，并且不产生CO、NH等其他气体；储氢材料循环寿命高、可逆性强（高于次）；质量储氢容量>.wt%，体积容量>kg(H) ·m-。程寒松告诉记者，所用催化剂无需再生即可重复使用，年内无；少儿书法加盟少儿书法加盟；需更新。 [] 作用用途编辑氢是重要工业原料，如生产合成氨和甲醇，也用来提炼石油，氢化有机物质作为收缩气体，用在氧氢焰熔接器和火箭燃料中。在高温下用氢将金属氧化物还原以制取金属较之其他方法，产品的性质更易控制，同时金属的纯度也高。广泛用于钨、钼、钴、铁等金属粉末和锗、硅的生产。由于氢气很轻，人们利用它来制作氢气球——氢气球。）氢气与氧气化合时，放出大量的热，被利用来进行切割金属。 [] 利用氢的同位素氘和氚的原子核聚变时产生的能量能生产杀伤和破坏性极强的氢弹，其威力比原子弹大得多。清洁能源，用于汽车等的燃料。为此，美国于年还提出了“国家氢动力计划”。但是由于技术还不成熟，还没有进行大批的工业化应用。年科学

高中数学竞赛讲义平面向量

高中数学竞赛讲义(8)平面向量(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学竞赛讲义（八）──平面向量一、基础知识定义1? 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2? 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1? 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2? 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3? 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3? 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。

定义4? 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos叫做b 在a上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4? 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a定义5? 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。