集合的含义与表示
集合的含义与表示

集合的含义与表示知识点1集合的含义与表示(1)元素与集合的关系:属于记为∈;不属于记为∉.(2)集合的三种表示法:列举法、描述法、图示法.思考:集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}是同一个集合吗?提示:不是.集合A是函数y=x2的定义域,集合B是函数y=x2的值域,集合C 是函数y=x 2图象上的点集.知识点2集合间的基本关系(1)集合间的基本关系:子集、真子集、相等.(2)“⊆”与“”的区别:A⊆B⇒A=B或A B,若A⊆B和A B同时成立,则AB更准确.思考:若{x|ax+1=0}⊆{x|x2-1=0},则实数a的值为________.提示:0或-1或1.[拓展]1.集合的子集和真子集具有传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.2.含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n -2个非空真子集.知识点3集合的基本运算和性质集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U,则集合A 的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}性质A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆AA∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆BA∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅;∁U(∁U A)=A;∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B);∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B)1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(2){x|x≤1}={t|t≤1}.()(3)对于任意两个集合A、B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×2.(知识点2)若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下面结论中正确的是()A.{a}⊆A B.a⊆AC.{a}∈A D.a∉A解析:选D.A={0,1,2,3},a=22∉A,故选D.3.(知识点3)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁R A)∩B=.⇐源自必修一P11例9解析:因为∁R A={x|x<3或x≥7},所以(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.答案:{x|2<x<3或7≤x<10}4.(知识点3)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}. 若A∩B={1},则B=()⇐源自必修一P12A组T6A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}解析:选C.∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.。
集合的含义及其表示

集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性:思考:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由;(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流。
三、重要数集:四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集:无限集:空集:六、集合的表示方法1、列举法:例1 用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法:3、Venn图:例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合,并指出它们元素间的关系:① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x>1}, B={x | x2>1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} .一、子集的定义:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B 的子集。
记作:读作:Venn图表示:判断集合A是否为集合B的子集,若是则在()打√,若不是则在()打×:①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义:一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集.记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A (A ≠ Φ)③任何一个集合是它本身的子集,即 A A④对于集合A ,B ,C ,如果 A B,且B C ,则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ,求实数x,y 的值.例4 已知集合 与集合 满足Q P , 求a 的取值组成的集合A 作业布置1.教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |-3≤x≤4}, B={x | 2m -1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围.3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算(1)观察集合A,B,C元素间的关系:(1) A={4,5,6,8}B={3,5,7,8} C={3,4,5,6,7,8}(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.例2.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系:A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},C={5,8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的含义与表示

称这两个集合相等
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习1.下列指定的对象,能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
解:当a=0时,x=-1.
当a≠0时,=16-4×4a=0. a=1. 此时x=-2. ∴a=1时这个元素为-2. ∴a=0时这个元素为-1.
课堂练习
1.教科书5面练习第1、2题
2.教科书11面习题1.1第1、2题
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
解:当a=0时,x=-1.
例4已知集合
A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素,求a的值与这个元素.
解:当a=0时,x=-1.
当a≠0时,=16-4×4a=0. a=1. 此时x=-2.
例4已知集合
A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素,求a的值与这个元素.
2.集合的表示:
集合常用大写字母A,B,C,…表示,元素常用 小写字母a,b,c,…表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素,就说a属于集 合A,记作a∈A. 如果a不是集合A的元素,就说a不属 于集合A,记作aA.
例如:A表示方程x2=1的解. 2A,1∈A.
4.常用数集及记法:
N:自然数集(含0)
-1 3
x | 0
x | x
x 2
1.1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义与表⽰1.1.1集合的含义与表⽰1. 元素:我们把研究的对象统称为元素;常⽤⼩写字母a , b , c …表⽰元素。
2. 集合:把能够确定的不同元素的全体叫做集合,简称集.常⽤⼤写字母A ,B ,C …表⽰。
3. 集合的性质:(1)确定性:元素必须是确定的。
是否有⼀个明确的客观标准来鉴定这些对象,若有,则能构成集合,否则不能构成集合。
(2)互异性:元素必须是互异不相同的。
(3)⽆序性: 元素是⽆先后顺序的. 如:{1,2},{2,1}为同⼀集合。
4. 集合相等:构成两个集合的元素是⼀样的。
5. 集合与元素的关系:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作a ∈A . 如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A ,记作a ?A . 6. 重要的数集:N :⾃然数集(含0)N+:正整数集(不含0) Z :整数集 Q :有理数集 R :实数集7. 空集(?):把没有元素的集合叫做空集,记作?。
8. 集合的表⽰⽅法:列举法、描述法、区间表⽰列举法:将集合中元素⼀⼀列举出来,元素之间⽤逗号隔开,⽤花括号{ }括起来。
描述法:⽤集合所含元素的共同特征表⽰集合的⽅法,称为描述法。
如:在⼤括号内先写上表⽰这个集合元素的⼀般符号及取值(或变化)范围,再画⼀条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
区间表⽰:设a 、b 是两个实数,且a①满⾜不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合, 叫作闭区间,记作 [a,b];②满⾜不等式a③满⾜不等式a ≤x{}|10x R x ∈<{}|∈⼀般符号范围共同特征{x| a练习:⼀、说法正确的是( ) 1. 接近于0的数的全体构成⼀个集合 2. 棱柱的全体构成⼀个集合 3. 未来世界的⾼科技产品构成⼀个集合 4. 不⼤于3的所有⾃然数构成⼀个集合 5. 漂亮的花 6. 正三⾓形全体⼆、集合{1,2}与集合{(1,2)}是否相等?集合{(1,2),(2,1)}与集合{(2,1),(1,2)}是否相等?三、⑴ 0 ? ⑵ {0} ? 四、⽤列举法表⽰下列集合:(1) ⽅程x x =2 的所有实数根组成的集合; (2) ⽅程0)1(2=-x 的所有实数根组成的集合;(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合。
集合的含义及表示方法

确定性
集合中的元素具有确定性,即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素,如果它属于某个集合,则它只属于该集合;如果不属于该集合,则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题,是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性,即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性,即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性,即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用,例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中,我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别,帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中,我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ,并分析它们之间的关系,从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′",例如:A′。
补集运算满足反演律,即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序,即元素的位置不影响集合的性质。例如,集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合,因为 元素的无序性,集合A和集合B具有相同的性质。
高中数学知识点总结:集合的含义与表示

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集合的含义与表示
(1)集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法
N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).。
集合的含义与表示

集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点: (1)一、集合的三性:确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点:1.集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
2.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
①列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合(2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}5.元素与集合的关系:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A∉(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a A注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集N*或N+;整数集Z;有理数集Q;实数集R.一、集合的三性:确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案:C。
集合含义及表示

集合的含义及其表示【知识要点】1、集合一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体所构成的就是一个集合。
2、元素集合中的每一个对象称为该集合的元素。
3、元素与集合的关系元素与集合有属于和不属于两种关系4、特定集合的表示非负整数集(或自然数集)——记作N正整数集——记作,或整数集——记作Z有理数集——记作Q实数集——记作R5、集合的分类按集合中元素的个数分为有限集和无限集。
有限集是指含有有限个元素的集合;无限集是指含有无限个元素的集合。
我们把不含任何元素的集合称为空集。
记作。
6、集合的表示方法列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法。
描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
Venn图示法(文氏图法):用封闭曲线(内部区域)表示集合及其关系的图形【方法与应用】1、集合的概念是一种描述性说明,用‘{}’表示,表示所有的、全部的,具有共同特征的研究对象都在花括号内,集合中的元素必须是确定的。
【J】例1、下列各组对象:1、接近于0的数的全体 2、比较小的正整数全体 3、平面上到点O的距离等于1的点的全体 4、正三角形的全体 5、的近似值的全体,其中能构成集合的组数是( A )A,2 B. 3 C. 4 D.5【L】例2、中国的直辖市是否是一个集合。
()【C】例3、下列各种对象,可以构成集合的是()A、某班身高超过1米8的女学生B、某班比较聪明的学生C、某书中的难题D、使||最小的x的值2、元素是指在集合中的每一个具体的对象。
(强行记忆)判定一个元素是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征。
【J】例1、下列各组中,(A D )是集合{b,o,k}中的元素,(BC )不是集合{b,o,k}的元素。
A、oB、cC、uD、 k【L】例2、已知集合{1,2,3,4,5,6,7},那么这个集合中有()个元素【C】例3、由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含有元素()个A、2B、3C、4D、53、当元素a属于集合A时,记作aA,读作a属于集合A;当元素a不属于集合A,记作aA,读作a不属于集合A.。
1.1.1集合的含义与表示

一、集合的含义 1.什么是集合?
一般的,我们把研究对象统称为元素,把一些元 素组成的总体叫做集合(简称为集)。
元素:用小写字母a,b,c...表示 集合:用大写字母A,B,C...表示
2.集合与元素的关系 • 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 a A 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,
• 正整数集:N*或N+ • 整数集:Z
• 有理数集:Q
• 实数集:R
二、集合的表示
• 列举法:把集合的元素一一列举出来,写在大括号内 注:1.元素之间要用逗号隔开 2.元素不能重复
如:地球上的四大洋组成的集合表示为{太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋}
方程(x 1)( x 2) 0 组成的集合表示为{1,-2}
梦 境
集合? 例:(1)1~20内的所有整数 1,2,3,4,5..... • (2)亚洲的所有国家 中国,韩国,日本,印度..... • (3)所有的正方形 • (4)方程x2 3x 2 0 的所有实数根 - 1 , - 2 • (5)化德一中2020年9月入学的所有高一学生
二、集合的表示
• 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合 注:集合的代表元素
如:不等式 x 7 3的解集,共同特征:x R ,且 x 7 3
集合表示为:{x R x 10}
列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法 主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况
记作 a A
• 例:1~20内的所有素数记为集合A,则 3 A,4 A
素数:除1和它本身外,不能被其他自然数整除的 数。
判断下列对象能否组成集合: • 1.小于6的正整数 • 2.大于3小于11的偶数 • 3.中国男子足球队中技术很差的队员 • 4.中国的富翁 • 5.爱好足球的人 • 6.世界上所有的高山
集合的含义与表示

例1:判断下列各组对象能否组成一个集合:
(1)9以内的正偶数;
(2)篮球打得好的人;
(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员;
(4)高一(1)班所有高个子同学.
练习1:有下列4组对象:(1)某校2015级新生;(2)小于0的自然数;(3)所有数学难题;(4)接近1的数.其中能构成集合的是________.
记作: , 读作: 包含于 或 包含 。
特别提醒:1、“ 是 的子集”的含义是:集合 的任何一个元素都是集合 的元素,即由 ,能推出 。如: ; 。2、当“ 不是 的子集”时,我们记作:“ ”,读作:“ 不包含于 ,(或 不包含 )”。如: 。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合 ,它的任何一个元素都属于集合 本身,记作 。4、我们规定:空集是任何集合的子集,即对于任一集合 ,有 。5、在子集的定义中,不能理解为子集 是集合 中部分元素组成的集合。因为若 ,则 中不含有任何元素;若 = ,则 中含有 中的所有元素,但此时都说集合 是集合 的子集。
特别提醒:1、写清楚该集合中元素的代号;2、说明该集合中元素的特征;3、不能出现未被说明的字母;4、多层描述时,应当准确使用“或”、“且”、“非”;5、所有描述的内容都要写在大括号内;6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法: {实数集}或 {全体实数};正确的表示方法为:
(3)韦恩图法:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如:集合 可用韦恩图表示为:
练习2:下列各组对象中,不能组成集合的是()
A.所有的正数B.所有的老人C.不等于零的数D.我国古代四大发明
类型二集合中元素的特性
例2:集合A是含有两个不同实数a-3,2a-1的集合,求实数a的取值范围.
集合的含义和表示

集合的含义和表示知识点一:集合的含义集合的概念:一般地,我们将研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫为集合(简称集)。
元素用小写字母a,b,c表示,集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质:确定性:即那些元素是属于这个集合的,那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合,胖人也不构成集合。
互异性:集合中的元素互不相同。
无序性:元素之间是没有顺序的,如:{0,1}={1,0}元素与集合的关系:“属于”和“不属于”(1)如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a A(“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写)集合的分类:1、有限集:含有有限个元素的集合。
2、无限集:含有无限个元素的集合。
3、空集:不含任何元素的集合。
记作Φ,如:例:1,①接近于0的数的全体;②比较小的正整数全体;③平面上到点O的距离等于1的点的全体;④正三角形的全体;⑤2的近似值的全体.其中能构成集合的组数有( )A.2组B.3组C.4组D.5组2对于集合A={2,4,6},若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是______.3集合{3,x,x2-2x}中,x应满足的条件是______知识点二:常用数集的记法(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{} ,2,1,0=N(2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {} ,,,210±±=Z (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q (5)实数集:全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0(2)非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例: ①1______N ,0______N .-3______Q ,0.5______Z ,2______R .②21______R ,5______Q ,|-3|______N +,|-3|______Z .知识点三:集合的表示方法(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。
集合的含义与表示

1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示Q情景引入ing jing yin ru一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么?”集合是不加定义的概念,数学家很难回答那位渔民.有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合!”问题1:数学家说的集合是指什么?问题2:网中的“大鱼”能构成集合吗?X新知导学in zhi dao xue1.集合的概念(1)含义:一般地,我们把所研究对象统称为元素,把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集).(2)集合相等:只要构成两个集合的__元素__是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等.[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质:(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合.2.元素与集合的关系[合,具有方向性,左右两边不能互换.3.集合的表示法(1)自然语言表示法:用文字语言形式来表示集合的方法.例如:小于3的实数组成的集合. (2)字母表示法:用一个大写拉丁字母表示集合,如A ,B ,C 等,用小写拉丁字母表示元素,如a ,b ,c 等.常用数集的表示:(4)描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.Y 预习自测u xi zi ce1.下列给出的对象中,能组成集合的是 ( D ) A .著名的数学家 B .很大的数 C .较胖的人D .小于3的整数[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准,对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断,因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合;“很大的数”也无明确的标准,所以也不能组成集合;任意给定一个整数,能够判定是否小于3,有明确的标准,故D 能组成一个集合.2.下列关系:①0.21∈Q ;②105∉N *;③-4∈N *;④4∈N .其中正确的个数是 ( C )A .0B .1C .2D .3[解析] ①是正确的,②中105=2∈N *,③中-4∉N *,④是正确的,故有①④正确. 3.集合{x ∈N *|x -2<3}用列举法表示为 ( B ) A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4}C .{0,1,2,3,4,5}D .{1,2,3,4,5}[解析] 由x -2<3,得x <5,又x ∈N *,所以x =1,2,3,4,即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}. 4.下列集合: ①{1,2,2}; ②R ={全体实数}; ③{3,5};④不等式x -5>0的解集为{x -5>0}. 其中,集合表示方法正确的是__③__.[解析] ①违背了集合中元素的互异性;②中全体实数本身就是集合,不能再加大括号;④中用描述法表示的集合,未写出代表元素,应为{x |x -5>0}.5.(1)用列举法表示集合{x ∈N |x <5}为__{0,1,2,3,4}__.(2)方程x2-6x+9=0的解集用列举法可表示为__{3}__.(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为__{x|3<x≤8}__.[解析] (1)因为x∈N,且x<5,所以x=0,1,2,3,4.(2)由x2-6x+9=0,得x1=3,x2=3.(3){x|3<x≤8,x∈R}H互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨集合的基本概念典题1 下列各组对象:①某个班级中年龄较小的男同学;②联合国安理会常任理事国;③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目;④2的所有近似值.其中能够组成集合的是__②③__.[思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性,进而判断能否组成集合.[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”,这些标准均不明确,即元素不确定,所以①④不能组成集合.②③中的对象都是确定的、互异的,所以②③可以组成集合.填②③.『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.2.判断集合中的元素个数时,要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个,即集合中的元素满足互异性.〔跟踪练习1〕下列每组对象能否构成一个集合:(1)我国的小城市;(2)某校2016年在校的所有高个子同学;(3)不超过20的非负数;(4)方程x2-9=0在实数范围内的解;(5)直角坐标平面内第一象限的一些点.[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准,对于某个城市是否“小”无法客观地判断,因此,“我国的小城市”不能构成一个集合.(2)与(1)类似,也不能构成集合.(3)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合.(4)类似于(3),也能构成集合.(5)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.命题方向2 ⇨元素和集合的关系典题2 已知N是自然数集,给出下列命题:①N中最小的元素是1;②若a∈N,则-a∉N;③若a ∈N ,b ∈N ,则a +b 的最小值是2. 其中所有正确命题的个数是( A ) A .0B .1C .2D .3[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N 的意义和集合与元素间的关系.[解析] 自然数集中最小的元素是0,故①③不正确;对于②,若a ∈N ,即a 是自然数,当a =0时,-a 仍为自然数,所以②也不正确.故选A .『规律方法』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集,在数学上分别用N +,N ,Z ,Q ,R 来表示,这些符号是我们学习高中数学的基础,它大大简化了数集的表示方法,应当熟练掌握.2.判断一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征. 〔跟踪练习2〕(1)给出下列几个关系式:2∈R ;0.3∈Q ;0∈N ;0∈{0};0∈N +;12∈N +;-π∈Z ;-5∈Z .其中正确的关系式的个数是( B )A .4B .5C .6D .7[解析] 运用常用数集的概念可作出判断:2∈R ,0.3∈Q,0∈N,0∈{0},-5∈Z 正确.其余均错误,故选B .(2)已知集合M ={大于-2且小于1的实数},则下列关系式正确的是( D ) A .5∈M B .0∉M C .1∈MD .-π2∈M[解析]5>1,故5∉M ,A 选项错;-2<0<1,故0∈M ,B 选项错;显然1不小于本身,故C 错;-2<-π2<1,故D 正确. 命题方向3 ⇨用列举法表示集合典题3 用列举法表示下列集合:(1)36与60的公约数组成的集合;(2)方程(x -4)2(x -2)=0的根组成的集合;(3)一次函数y =x -1与y =-23x +43的图象的交点组成的集合.[思路分析] (1)(2)可直接求出相应元素,然后用列举法表示;(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x -1y =-23x +43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解析] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}; (2)方程(x -4)2(x -2)=0的根是4,2,所求集合为{2,4};(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -y =1,2x +3y =4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =75,y =25,所求集合为{(75,25)}.『规律方法』 1.用列举法表示集合,要注意是数集还是点集.2.列举法适合表示有限集,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便,且使人一目了然. 因此,集合是有限集还是无限集,是选择恰当的表示方法的关键. 〔跟踪练习3〕用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x 2=x 的所有实数解组成的集合; (3)直线y =2x +1与y 轴的交点所组成的集合.[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思.所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=x 的解是x =0或x =1,所以方程的解组成的集合为{0,1}.(3)将x =0代入y =2x +1,得y =1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}. 命题方向4 ⇨用描述法表示集合典题4 用描述法表示下列集合:(1)满足不等式3x +2>2x +1的实数x 组成的集合; (2)平面直角坐标系中,第一象限内的点的集合; (3)所有正奇数组成的集合.[思路分析] 找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合 [解析] (1){x |3x +2>2x +1}或{x |x >-1}; (2){(x ,y )|x >0,y >0,且x ,y ∈R }; (3){x |x =2k -1,k ∈N +}.『规律方法』 1.用描述法表示相应集合时,首先明确代表元素是点集还是数集,在此基础上,结合描述的定义给出集合的表示.2.用描述法表示集合时,其代表元素的范围务必明确,如果省略不写,则默认为x ∈R . 〔跟踪练习4〕把(1),(2),(3)分别更换条件如下,试分别求相应问题. (1)满足不等式3x +2>2x +1的有理数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的集合; (3)所有偶数组成的集合.[解析] (1){x ∈Q |3x +2>2x +1}或{x ∈Q |x >-1}. (2){(x ,y )|xy =0,x ,y ∈R }.(3){x |x =2n ,n ∈Z }.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用)典题5 设集合A ={x 2,x ,xy }、B ={1,x ,y },若集合A 、B 所含元素相同,求实数x 、y 的值.[错解] 由A =B ,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=1xy =y ,或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2=y xy =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1.[错因分析] 当x =1,y ∈0时,A =B ={1,1,y },不满足集合元素的互异性,当x =1,y =1时,A =B ={1,1,1}也不满足元素的互异性,当x =-1,y =0,A =B ={1,-1,0},满足题意.[正解] 由错解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,经检验当取⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y ∈R 与⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,时不满足集合中元素的互异性,所以x =-1,y =0.[点评] 在实际解答过程中,很多同学只是把答案算出来后就结束了,根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求,有没有出现遗漏或增根.在实际解答中要根据元素的特征,结合题目要求和隐含条件,加以重视.〔跟踪练习〕若将上式中的集合A 改为{a ,ba,1},B 改为{a 2,a +b,0},其他条件不改变,怎样求a 2 015+b2 015的值.[解析] 方法一:∵{a ,ba,1}={a 2,a +b,0}, 又∵a ≠0,1≠0,∴b a=0,∴b =0,∴{a,0,1}={a 2,a,0},∴a 2=1,即a =±1,又当a =1时,A ={1,0,1}不满足集合中元素的互异性,舍去,∴a =-1,即集合A ={-1,0,1}, 此时a =-1,b =0, 故a2 015+b2 015=(-1)2 015+02 015=-1+0=-1.方法二:∵{a ,b a,1}={a 2,a +b,0},∴⎩⎪⎨⎪⎧a +ba +1=a 2+(a +b )+0a ·ba ·1=a 2(a +b )·0解得a =±1,b =0,由集合中元素的互异性知a ≠1, ∴a =-1,b =0.∴a2 015+b2 015=(-1)2 015+02 015=-1+0=-1.X学科核心素养ue ke he xin su yang数学抽象能力数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征.数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念,领悟集合的本质属性是学习的首要任务,在此基础上,明确集合元素的属性及集合的表示方法.典题6 选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合.[解析] 描述法:{x|x=2n-1,n∈N*}.列举法{1,3,5,7,…,2n-1,…}.『规律方法』用列举法表示无限集时,一是列出的前几项体现的规律,要和一般项统一起来,二是要加省略号.K课堂达标验收e tang da biao yan shou1.下列各组对象,能构成集合的有 ( C )①对环境污染不太大的塑料;②中国古典文学中的四大名著;③所有的正方形;④方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根.A.①B.①②C.②③④D.①②③④[解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准;②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》;③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性.2.已知集合A={x∈N|-3≤x≤3},则必有 ( B )A.-1∈A B.0∈A C.3∈A D.2∈A[解析] 集合A中元素有两个特征:x∈N且-3≤x≤3,观察四个选项,只有B正确.3.下列各组集合中,表示同一集合的是 ( B )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={3,2},N={(3,2)}[解析] A项中M={(3,2)}中的元素是(3,2),N={(2,3)}中的元素是(2,3),所以这是两个不同的集合;B 项中M ={3,2}中的元素是3,2,N ={2,3}中的元素是2,3,由集合中元素的无序性可知,这是两个相同的集合;C 项中集合M 中的代表元素是(x ,y ),是直线x +y =1上的点,而集合N 中的代表元素是y ,是直线x +y =1上点的纵坐标,因此是两个不同的集合;D 项中两集合M 的元素分别是3、2,而N 中含有一个元素(3,2),因此它们是两个不同的集合.4.由实数x ,-x ,|x |,x 2,-3x 3,所组成的集合最多含有元素的个数为 ( A ) A .2 B .3C .4D .5[解析]x 2=|x |,-3x 3=-x ,集合中的元素最多含有两个.5.用适当的方法表示下列集合.(1)由大于-3且小于11的偶数组成的集合可表示为__{-2,0,2,4,6,8,10}__; (2)不等式3x -6≤0的解集可表示为__{x |x ≤2}__; (3)方程x (x 2+2x -3)=0的解集可表示为__{-3,0,1}__;(4)函数y =x 2-x -1图象上的点组成的集合可表示为__{(x ,y )|y =x 2-x -1}__.A 级 基础巩固一、选择题1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x 2-2=0的实数解”中,能够构成集合的是 ( C )A .②B .③C .②③D .①②③[解析] 高一数学中的难题的标准不确定,因而构不成集合,而正三角形标准明确,能构成集合,方程x 2-2=0的解也是确定的,能构成集合,故选C .2.用列举法表示集合{x |x 2-2x +1=0}为 ( B ) A .{1,1}B .{1}C .{x =1}D .{x 2-2x +1=0}[解析] ∵x 2-2x +1=0,∴x =1.故集合为单元素集合.故选B . 3.已知集合A ={x |x ≤10},a =2+3,则a 与集合A 的关系是 ( A ) A .a ∈AB .a ∉AC .a =AD .{a }∈A[解析] 由于2+3<10,所以a ∈A .4.方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y =22x -3y =27的解集是 ( D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-7B .{x ,y |x =3且y =-7}C .{3,-7}D .{(x ,y )|x =3且y =-7}[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y =22x -3y =27得⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-7,用描述法表示为{(x ,y )|x =3且y =-7},用列举法表示为{(3,-7)},故选D . 5.已知集合S ={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 ( D ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 [解析] 由集合中元素的互异性知a ,b ,c 互不相等,故选D . 二、填空题6.用符号∈与∉填空: (1)0__∉__N *;3__∉__Z ; 0__∈__N ;(-1)0__∈__N *; 3+2__∉__Q ;43__∈__Q .(2)3__∈__{2,3};3__∉__{(2,3)}; (2,3)__∈__{(2,3)};(3,2)__∉__{(2,3)}. (3)若a 2=3,则a __∈__R ,若a 2=-1,则a __∉__R .[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别.(2)中3是集合{2,3}的元素;但整数3不是点集{(2,3)}的元素;同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素;因为坐标顺序不同,(3,2)不是集合{(2,3)}的元素.(3)平方等于3的数是±3,当然是实数,而平方等于-1的实数是不存在的.7.设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =__2__. [解析] 显然a ≠0,则a +b =0,a =-b ,b a=-1,所以a =-1,b =1,b -a =2. 三、解答题8.用适当的方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.导学号 69174028 (1)不超过10的非负质数的集合; (2)大于10的所有自然数的集合.[解析] (1)不超过10的非负质数有2,3,5,7,用列举法表示为{2,3,5,7},是有限集. (2)大于10的所有自然数有无限个,故可用描述法表示为{x |x >10,x ∈N },是无限集.B 级 素养提升一、选择题1.下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( B ) A .{x |x =1} B .{x |x 2=1} C .{1}D .{y |(y -1)2=0}[解析] {x |x 2=1}={-1,1},另外三个集合都是{1},选B .2.下列六种表示法:①{x =-1,y =2};②{(x ,y )|x =-1,y =2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x ,y )|x =-1或y =2}.能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =0,x -y +3=0的解集的是 ( C )A .①②③④⑤⑥B .②③④⑤C .②⑤D .②⑤⑥[解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =0,x -y +3=0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.故选C .3.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 的值为 ( B ) A .2B .3C .0或3D .0或2或3[解析] 因为2∈A ,所以m =2或m 2-3m +2=2,解得m =0或m =2或m =3.又集合中的元素要满足互异性,对m 的所有取值进行一一检验可得m =3,故选B .4.已知x ,y ,z 为非零实数,代数式x |x |+y |y |+z |z |+|xyz |xyz的值所组成的集合是M ,则下列判断正确的是 ( D )A .0∉MB .2∈MC .-4∉MD .4∈M[解析] 当x >0时,x |x |=1,当x <0时,x|x |=-1,故当x ,y ,z 全为正时,原式=4; 当x ,y ,z 两正一负时,xyz <0,原式=0; 当x ,y ,z 两负一正时,xyz >0,原式=0;当x ,y ,z 全为负时,xyz <0,原式=-4,故M 的元素有4,0,-4,∴4∈M .故选D . 二、填空题5.已知P ={x |2<x <k ,x ∈N ,k ∈R },若集合P 中恰有3个元素,则实数k 的取值范围是__{k |5<k ≤6}__. [解析] x 只能取3,4,5,故5<k ≤6.6.用列举法写出集合{33-x ∈Z |x ∈Z }=__{-3,-1,1,3}__.[解析] ∵33-x∈Z ,x ∈Z , ∴3-x 为3的因数. ∴3-x =±1,或3-x =±3. ∴33-x =±3,或33-x=±1. ∴-3,-1,1,3满足题意.C 级 能力拔高1.设A ,B 为两个实数集,定义集合A +B ={x |x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },若A ={1,2,3},B ={2,3},则集合A +B 中元素的个数为 ( B )A .3B .4C .5D .6[解析] 当x 1=1时,x 1+x 2=1+2=3或x 1+x 2=1+3=4;当x 1=2时,x 1+x 2=2+2=4或x 1+x 2=2+3=5;当x 1=3时,x 1+x 2=3+2=5或x 1+x 2=3+3=6.∴A +B ={3,4,5,6},共4个元素... 2.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0}.(1)若A 是单元素集合,求集合A ;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.[分析] 集合A 是方程ax 2-3x +2=0的解集,故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题.(1)集合A 为单元素集合,说明方程有唯一根或两个相等的实数根.要注意方程ax 2-3x +2=0可能不是一元二次方程.(2)至少有一个元素,说明方程有一根或两根.[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2-3x +2=0的解集,则当a =0时,A ={23},符合题意; 当a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0应有两个相等的实数根,则Δ=9-8a =0,解得a =98,此时A ={43},符合题意. 综上所述,当a =0时,A ={23},当a =98时,A ={43}. (2)由(1)可知,当a =0时,A ={23}符合题意; 当a ≠0时,要使方程ax 2-3x +2=0有实数根,则Δ=9-8a ≥0,解得a ≤98且a ≠0. 综上所述,若集合A 中至少有一个元素,则a ≤98. [点评] “a =0”这种情况容易被忽视,如“方程ax 2+2x +1=0”有两种情况:一是“a =0”,即它是一元一次方程;二是“a ≠0”,即它是一元二次方程,只有在这种情况下,才能用判别式“Δ”来解决.3.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A ={-1,1,2}是否为可倒数集;(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中,故集合A 不是可倒数集. (2)若a ∈A ,则必有1a ∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必有一个元素有a =1a,即a =±1,故可以取集合A ={1,2,12}或{-1,2,12}或{1,3,13}等。
集合的含义与表示

自然数组成的集合简称自然数集,记作N 正整数组成的集合简称正整数集,记作N+ 整数组成的集合简称整数集,记作Z 有理数组成的集合简称有理数集,记作Q 实数组成的集合简称实数集,记作R
例如 0∈N 0.168∈Q
3R R
牛刀小试
1.已知集合A中含有三个元素,1、0、x, 3 若 x A,求实数x的值。 2.已知集合A由元素a-3,2a-1, a - 4 组成,且-3 A,求实数a的值。
2
集合的表示方法 把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的 方法叫列举法
步骤:
1.求出集合元素 2.一一列举 3.用{ }括起来
集合的表示方法 把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的 方法叫列举法
大括号不能缺失 a与{a}有什么区别?
是一个元素 是一个集合
A={太湖,洪泽湖} B={2,3,5,7}
元素与集合的(从属)关系
A、B、C…表示集合. a、b、c…表示集合中的元素. 如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A, 记作:a ∈ A; 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集 合A,记作: a∈ A. 集合A是由小于5的自然数组成的集合. 则有数:0 ∈ A -3 ∈ A.
数的集合简称数集
补充练习
一、选择题
1.在“①很大的有理数;②方程x2+1= 0的实数根;③直角坐标平面的第二象限 的一些点;④所有等腰直角三角形”中, 能够表示成集合的是( C ) A.② B.②③④ C.②④ D.①②③④ 2.方程组的解集是( D ) A.{2,1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.{(x,y)|(2,1)}
课堂练习
课本例题以及P5练习
集合的含义与表示

集合的含义与表示☆知识点☆★1、集合的概念:一般地, 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合, 集合中每一个对象叫做这个集合的元素★2、集合元素的特征:确定性,互异性,无序性(1)确定性:设A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的顺序书写即时练习:判断下列各组对象能否构成一个集合? ① 2,3,4②(2,3),(3,4) ③ 三角形④ 2,4,6,8,…⑤ 1,2,(1,2),{1,2} ⑥ 我国的小河流⑦ 方程042=+x 的所有实数解 ⑧ 好心的人 ⑨ 著名的数学家 ⑩ 方程0122=++x x 的解★3、集合相等: 一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素.我们就说集合A 等于集合B.记作A =B.如:{a ,b ,c ,d}与{b ,c ,d ,a}相等; {2,3,4}与{3,4,2}相等; {2,3}与{3,2}相等.“与2相差3的所有整数所组成的集合”,即{}{}5,132-==-∈x N x 思考:A ={x |x =2m +1,m ∈Z},B ={x |x =2n -1,n ∈Z}相等吗? ★4、集合元素与集合的关系:集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示: (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作A a ∈ (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉ ★5、常用数集及其记法:N 表示:非负整数集(或自然数集) N*或N+表示:除0的非负整数集 Z 表示:整数集 Q 表示:有理数集R 表示:实数集 ★6、集合的分类:2、无限集:含有无限个元素的集合。
集合的含义及表示

集合的含义及表示一. 知识卡片1. 一般地,我们把研究对象统称为元素(element ),把一些元素组成的总体叫做集合(set ).2. 集合元素的特征对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征.确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.互异性:同一集合中不应重复出现同一元素.无序性:集合中的元素没有顺序.3. 集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a 是集合A 的元素,就说a 属于(belong to)集合A ,记作:a ∈A ; 如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于(not belong to)集合A ,记作:a A .4. 常见数集的表示非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作N ;正整数集:所有正整数的集合,记作N *或N +;整数集:全体整数的集合,记作Z ;有理数集:全体有理数的集合,记作Q ;实数集:全体实数的集合,记作R .5. 列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法.注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a }不同.6. 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,一般形式为,其中x 代表元素,P 是确定条件.7. 反思与小结:① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如与不同.② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如,. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集Z ,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.∉{|}x A P ∈2{(,)|1}x y y x =-2{|1}y y x =-{|1}x x >{|3,}x x k k Z =∈二. 高考预测本部分内容为高考中频考点,多见于选择题、填空题。
集合的含义与表示

集合的含义与表示一、引言:“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类.如:用到过的“正数的集合”、“负数的集合”如:2x-1>3,x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集.如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合.如:自然数的集合0,1,2,3,……如:高一(4)全体同学组成的集合.结论:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.●对于集合中的元素人们能意识到,并能判断一个给定的元素是否属于这个集合.●集合是数学中最原始的概念之一,我们不能用其他的概念下定义,只能作描述性说明,是不定义概念,即原始概念,和点、直线、平面等基本概念及原理构成了整个数学大厦的基石,是从现实世界中总结出来的.●集合理论是由德国数学家康托尔发现的,他创造的集合论是近代许多数学分支的基础.集合的三要素:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.例1:判断下列一组对象是否属于一个集合呢?(1)很大的数的全体(2)所有的偶数(3)一些四边形(4)高一、二十班所有胖的同学(5)所有3的倍数.评注:判断集合要注意有三点:范围是否确定;元素是否明确;能不能指出它的属性.二、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法:列举法与描述法.常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a A(或a A)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.例2:由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{-1,1}例3:所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1,3,5,7,9}例4:用列举法表示下列列集合(1)小于10的所有自然数组成的集合(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合(3)由1~20以内的所有质数组成的集合解:(1){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2){0,1}(3){2,3,5,7,11,13,17,19}练习:1.你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}2.你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x R|x-3>2}或{x|x-3>2}例5:试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解:(1)描述法{x∈R|x2-2=0}列举法{,-}(2)描述法{x∈Z|10<x<20}列举法{11,12,13,14,15,16,17,18,19}集合的分类:1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合人物介绍创立“实无穷”观念的数学家——康托康托(GeorgGerdinandPhilipCantor,1845-1918),德国数学家。
集合的含义与表示好的

讨论2:集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一 个集合吗?
三、元素与集合的关系
思考1:设集合A表示“1~20以内的所有质数”,那 么3,4,5,6这四个元素哪些在集合A中?哪些不在集合A 中? 思考2:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系?
如果元素 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a A
A ,记作 a A
如果元素 a 不是集合 A 的元素,就说
a 不属于集合
四、重要数集
N:自然数集(含0)即非负整数集
N+或N*: 正整数集(不含0)
Z:整数集
Q:有理数集
R:实数集
五、集合的表示方法
问题提出:
用自然语言描述一个集合往往是不简明的,如“在 平面直角坐标系中以原点为圆心,2 为半径的圆周上的 点”组成的集合,那么,我们可以用什么方式表示集合 呢?
⑵无限集:含有无限个元素的集合.
⑶空 集:不含任何元素的集合.
记作 .
课堂小结
1.集合的含义; 2.集合元素的性质:确定性,互 异性,无序性; 3.元素和集合的关系:属于,不属于 4.数集及有关记法; 5. 集合的表示方法:列举法、描述法、 Venn图 6. 集合的分类:有限集、无限集、空 集
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征。即{x|P(x)}
2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于 这个集合的方法。其一般形式为:
{ x I | p(x) } X为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
第一课时
集合的含义与表示
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(2)在集合的书写形式上,要注意规范性. 如关于x的方程x-a=0的解集应写成{a},而不是a. (3)在没有指定集合的表示方法时,能明确表示集 合的要明确表示出来. 如所有小于20的既是奇数 又是素数的数组成的集合表示{3,5,7,11,13,17,19} 更为明确; 又如非负奇数组成的集合表示为 {x|x=2n+1,n∈N}更为恰当,这一点需要注意.
(2)小于2003的数; (3)和2003非常接近的数。 (4)我国的小河流 (5)大于3小于11的偶数
3、元素与集合之间的关系:
集合常用大写字母A,B,C,D,……标记, 元素常用小写字母a,b,c,d,……标记。
若a是集合A的元素, 就说a属于集合A , 记作 a∈A ; 若a不是集合A的元素, 则a不属于集合A , 记作 aA。 例如:A={1,2,3,4,5}
问题探究:
“集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语解释 为:许多的人或物聚在一起. 在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言, 我们怎样理解数学中的“集合”?
知识探究 考察下列问题: (1)1~20以内的所有质数;
(2)绝对值小于3的整数;
(3)大兴八中高一、3班的所有男同学; (4)平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 上述每个问题都由若干个对象组成,每组对象的全体分别 形成一个集合,集合中的每个对象都称为元素.上述4个集 合中的元素分别是什么?
1 2
、 | - |、 0.5 组成的集合有3个元素。 (3)1
(4)集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}表示 同一个集合。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2.给出下列关系 (1) 0.5 R (2) 2 R
(3) | -3 | N
其中正确的个数为( (A) 1 (B) 2
B={太平洋,大西洋} 是否表示同一集合?
2、集合中元素的特性: (1)确定性:给定的集合,它的元素是确定 的,也就是说,一个元素或者在这个集合里, 或者不在,不能模棱两可. (2)互异性:集合中的元素是互不相同的, 也就是说集合中的元素没有重复出现. (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序 (通常用正常的顺序写出).
相等的集合:只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合相等。
1、“我国的小河流”、“比较大的数”、 “高一所有胖的同学”等能组成集合吗? 2、集合{1,2,2}?还是集合{1,2}? 3、集合{1,2,3}和{1,3,2}表示同一集合?
[例1] 下面各组对象能否构成集合?
(1)所有的好人;
例2:用描述法表示下列集合: {x | x=2n,n∈Z } (2)所有偶数组成的集_____________________;
(3)直角坐标系内,第二象限内的点组成的集合
{x∈Q | x < 10 } (1)小于10的所有有理数组成的集_____________;
{(x,y) |x<0 , 且y>0 } _______________________;
3 A 则 3∈ A , 2
4、常用数集及其记法:
一些常用数集及其记法:
注意:自然 数集包括0
N 非负整数集(即自然数集) 记作_______;
N*或N+ 正整数集记作______________;
Z 整数集记作_______;
Q 有理数集记作______;
R 实数集记作________;
练
习
使用列举法时,应注意以下几点:
(1)元素间用分隔号“,” (2)元素不重复 (3)元素2,4,6,8}吗? 大于等于2且小于等于8的偶数组成的集合
(2)你能用列举法表示不等式x-7<3的解的集合吗?
不等式x-7<3的解集不能用列举法表示,想想它的 元素有怎样的特征? x∈R且x<10
例1:用列举法表示下列集合:
{ 2, 3, 5, 7 } (1)小于10的所有质数组成的集合__________; (2)由大于3小于10的整数组成的集合 { 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 } ___________________; { -4, 4} (3)方程x2-16=0的实数解组成的集合_________;
●
集合理论是由德国数学家康托尔发现的,他 创造的集合论是近代许多数学分支的基础.
●
在我们要了解集合的特征(有三个)前先 看看这些具有代表性的问题。 (1)A={1,3},问3,5哪个是A的元素?
(2)A={素质好的人}能否表示成集合?
(3)A={2,2,4}表示是否正确?
(4)A={太平洋,大西洋},
我们把这个集合表示为:A={x∈R | x<10}. 再如:所有奇数组成的集合可以表示为:
B={x∈Z | x=2k+1,k∈Z}.
(5)描述法——用集合所含元素的共同特征表示
集合的方法.
①语言描述法:例:{正方形}, {地球上的四大洋} ,
②数学式子描述法: 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般 符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后 写出这个集合中元素所具有的共同特征。
1. 用符号“∈”或“
(1) 3.14 Q (3) 0 N+ (5) 2 3 Q
”填空
(2) Q (4) (-2)0 (6)2 3
N+
R
5、集合的表示方法:
(1)字母表示法:大写拉丁字母 (2)自然语言法: 用文字叙述的形式描述集合的方法。 (3)列举法: 把集合中的元素一一列举出来。并用花括号“ { }” 括起来表示集合的方法叫列举法 “地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋、大 西洋、印度洋、北冰洋} 一般用大写拉丁字母表示集合: A={1,2,3,4,5} 把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表 示为C={1,-2}
(4) 3 Q
B
) (D) 4
(C) 3
12 N} 3.已知集合A={x N x -5
{6,7,8,9,11,1 。 用列举法表示A=_______________
7} 4.用描述法表示集合 {xZ|3<x<11} A={4,5,6,7,8,9,10}=___________
B={4,7,10,13,16}=___________。
1、集合的含义:
一般地,我们把研究对象统称为元 素,把一些元素组成的总体叫做集合 (简称集)。 用大写拉丁字母A,B,C…表示集合, 用小写拉丁字母a,b,c …表示集合中的 元素
集合的描述性定义:我们把研究对象统称为元 素.把一些元素组成的全体叫做集合(简称为集).
说明:
集合是数学中最原始的概念之一,我们不能 用其他的概念下定义,只能作描述性说明,是 不定义概念,即原始概念,和点、直线、平面 等基本概念及原理构成了整个数学大厦的基石, 是从现实世界中总结出来的.
5.(1)奇数集合A=____________
(2)偶数集合B=_____________
(3)函数y=x与y=x2的图象的交点组 成的集合C=_________________
作业:红对勾P29
作业
(6)图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线,用 它的内部表示一个集合. 图1-2表示集合{1,2,3,4,5} .
例如,图1-1表示任意一个集合A;
A 图1-1
1,2,3 ,5, 4.
图1-2
1.下列说话中正确的有几个(
B)
(1)某个村的年轻人组成一个集合。
(2)所有的小正数组成的集合。
要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时, 不宜采用列举法
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只 要不引起误解,集合的代表元素也可省略,
探究: 思考1:a与{ a }的含义是否相同? 思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗? 思考3:集合 { y | y x , x R} 与集合 x | y x 2 相同吗?
说明:如果从上下文的关系来看,x∈R,x∈Z等是 明确的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只写其元素x. 如:不等式x-7<3的解集可以表示为A={x | x<10}. 所有奇数组成的集合可以表示为:
B={x| x=2k+1,k∈Z}.
说明: (1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种 方法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题 具体分析.
2
思考4:集合 {( x, y) | y x2 , x R}的几何意义如何?
y
y x2
x
o
思考5:下列表达式是否正确?
(1) Z= {全体整数} (3) {1,2}={2,1}
(2) R= {实数集}={R}
例如:{整数},即代表整数集Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有,全体,全部 或集”的意思, 所以不能写成{全体整数}。下列写法{实数集}, {R}, {高一级全体学生}也是错误的。