住房贷款问题探究(1)———数学建模

住房贷款问题探究
一、摘要
随着人们的生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的标准发展。

为此，住房贷款问题也成为众多购房者关心问题。

本文针对银行等额还贷及相关问题进行探究。

问题（1）实际是一个数学问题，我们通过不完全归纳法得出等额还贷公式：A= P(1+r)12n r/[(1+r)12n-1]
针对问题（2），将有关数据代入问题（1）所得出的公式即得到解决；问题（3），我们查阅了有关资料，得出了这对年轻夫妇的月支出情况（见表1），进而得到他们每月的开支范围。

为了更方便的说明问题，我们约定月余额（D）=月总收入—月正常开支。

判断他们能否买房只需比较定月余额（D）与月还贷额（A）的大小情况；对于问题（4）我们首先根据目前的消费水平及他们的收入情况，计算出他们能够买房。

并且随着时间的推移，他们的工资每年都有8%的增长，就考虑可以提前还贷的问题。

对此，我们首先假设他们一直按照等额还贷方式进行还贷，得出还贷年限；然后假设进行提前还贷。

再比较这两种情况实际所还的本利之和，得出最优还贷方案。

关键词：等额还贷贷款年限月利率提前还贷
二、问题重述
住房贷款问题是众多购房者关心问题。

在购房贷款过程中，现在一般银行现在一般都采用等额还贷的方法。

在这一还贷方式的基础之上，请解决如下几个问题：
（1）若贷款总额为P，月利率为r,贷款年限为n,每月还贷金额为A,请推导出等额还贷公式.
（2）有一对年轻夫妇,计划贷款15万元,贷款年限为15年,月利率为0.01,则每月需还款多少元?
（3）如果现在他们的年收入为3500元,在当前长沙的物价水平下,除去生活开支,他们能否买房?
（4）预计将来收入每年会有8%的增长,在目前的物价水平和贷款利率保持不变的情况下,你对他们的投资及贷款买房有什么样的建议?(请参考银行各期
贷款利率)
三、问题分析
根据题中购房贷款出现的等额还贷这一概念，我们从消费者的角度考虑着。

如何让买房者受益更多？由该问题我们从所给的四个分问题入手，先由给出的参数通过构建等量关系得到了我们所需要的目标等式方程。

然后再通过所给出的实际情况中的参数的具体数值得出了具体的目标数值。

这实际上只是众多的情况中的一种具体数值而已，所以就需要我们在实际给出的实际情况中通过控制某些变量与常量的关系，推出我们的计算是否满足题目中给出的实际情况，最终到底行还是不行、效果好还是不好，这样的话我们就必须对其购房贷款提出合理的建议。

3.1问题（1）的解法
分析问题知我们可以根据求出k个月中每一个月末的贷款金额，由于在k个月中贷款的金额是不断的减少且减少的原因不仅仅是每月还贷金额的填补，还有贷款所产生的利息使贷款金额相对少量的增加。

由此我们便尝试着推导出第1
个月到第个月中的每一个月月末剩余的贷款金额，最后我们通过不完全归纳法得到等额还贷公式。

3.2问题（2）的验证计算
很显问题（2）就是问题（1）的未知参数的数值化，将其代入问题（1）便得到我们所需的结果。

3.3问题（3）的看法
根据问题（3）中给出的这对年轻夫妇的月总收入且在当前长沙市的物价水平下，扣除生活所需。

由此我们通过各种资料途径获得了长沙市上几个月的不同工薪阶层的居民个人消费水平的基本情况；其中详细数据见表（1）。

通过对长沙市家庭收入在3500元的这一工薪阶层的个人生活消费的调查算出平均开支为1700
元到2000元左右。

得到这一数据后我们就很容易分析到要判断这对年轻夫妇是否有能力进行该方式的贷款买房，我们只需要满足夫妇俩的月总收入减去他们的月消费后剩余的资金要大于或等于月还贷金额A。

用简单的关系表示即；
月总收入—月消费总金额—每月还贷金额=E
其中我们引入了一个新的概念，那就是贷款买房后的还贷能力。

很明显若能够贷款买房他们就必需有足够的还贷能力，这就意味着E值必需要≥零，且Z值越大的话表明他们的还贷能力就越强，又因为在实际生活当中居民的消费额一般地存在着一定的波动性，故我们在考虑夫妇能否贷款买房时一般E值必须尽量的大一些。

以便承受消费波动带来的差值不足，且更符合他们的实际生活情况。

3.4问题(4)的想法：
从提问的角度来看，问的是我们对夫妇俩的投资及贷款买房的建议。

仔细研究该问题，我们想到的是这对夫妇既然是贷款买房，那么从主观上讲在他们心目中，所有贷款的金额是固定的，也就是问题（２）中提到的贷款１５万元。

其实仔细考究本问题我们会发现，只有这样的假设才更符合现实意义，也更加便于我们接下来的模型建立与参数的运算。

既然这样的话我们要做的工作就剩下下面几点：
（一）确立一个最优的还贷时限使总利率最少，即还贷总额也尽量减少到最少，且这种方案要在客户可承受能力范围内。

（二）在只有等额还贷的方式下，此时的月工资保持不变，这种还贷方式与月工资的８％的速度增长的情况下还贷且这种反复市包含等额还贷和提前还
贷两种方式来进行比较，通过比较我们可以大概的估算出着两种不同情况所能够创造出来的实惠有所不同，很明显在只有等额还贷的情况与既有等额还贷又有提前还贷的情况下相比要支付更多的贷款利息，且还贷世界也相应的要长。

所以我们就开始采用等额还贷和提前还贷并存的方式，通过查阅文献资料，（见附表２）。

我们了解到了要实行提前贷款所必须符合的条件：例如（１）在原来等额还贷方式下一年后才能进行提前贷款。

（２）提前还贷金额必须是等额还贷金额的６倍以上。

在分析到月工资以每月
８％的速度增长，如果只按原来的等额还贷的方式，每月的闲置资金势必也会以一定的速度积累，不能通过正常的投资发挥出作用，所以采用两种还贷方式并存势在必行。

根据上述解题思路，我们就可以比较好的解决这个问题。

四、模型假设
1.假设年轻夫妻的生活开支基本不变。

2.假设银行各期贷款利率数据准确且不变。

3.假设年轻夫妻从2009年1月开始贷款并开始还贷。

4.假设年轻夫妻的月总收入除去生活所需和月供外,其余都用于提前还贷。

五、模型中符号与名词的定义
P—贷款总额(元) n—年限
ｒ—月利率 A—每月还款金额(元)
ｒ
－各期贷款利率 E—月余额
i
—各期贷款每月还款余额
A
i
C
—第K个月末还款后的本息总金额
i
M—各期贷款时限
—还贷总金额
W
i
—还贷总利息
Q
i
X—采用提前还贷是，除开提前还贷总额,剩余的等额还贷总金额
Y—除去日常生活开支和等额还贷金额外,剩余的闲置金额(用于提前还贷) Z—实施提前还贷时,还贷总额
T R—还贷期间,每个年度的12个月
J—月消费支出
G—月工资
六、模型的建立及求解
６．１问题（１）的求解:
由题意我们了解到，贷款总额为P，月利率为r,贷款年限为n,每月还贷金为第K个月还贷后的本息和。

额为A，令Ｃ
k
=P(1+r)-A
则：C
1
C
=[P(1+r)-A](1+r)-A= P(1+r)2-[(1+r)-1]A
2
={[P(1+r)-A](1+r)-A}(1+r)A
C
3
= P(1+r)3-[(1+r)2+(1+r)-1] A
………
………
由不完全归纳法，一般的有：
C
=P(1+r)K-[(1+r)k-1+(1+r)k-2+(1+r)k-3+……+……(1+r)2+(1+r)-1] A k
=P(1+r)K-[(1+r)k-1]A/r
所以A= P(1+r)K r/[(1+r)k-1]
又因为K=12n,所以A= P(1+r)12n r/[(1+r)12n-1]
故等额还贷公式为: A= P(1+r)12n r/[(1+r)12n-1] (1)
6.2 问题(2)的解决:
由题意知:P=150000 ,n=15,r=0.01,
将上述数据带入(1)式解得 A=1800.25(元)
则这对年轻夫妇每月要还贷1800.25(元).。